第7章 问题求解
第七章 弹性力学空间问题解答
§7-1 空间问题的基本方程 1. 平衡微分方程方程
2. 几何方程
3. 物理方程
各种弹性常数之间的关系
4. 相容方程
5. 边界条件：
位移边界条件：对于给定的表面Su，其上沿 x，y，z方向给定位移为 ，则
应力边界条件：给定表面上的面力为
• 求解空间问题同样有位移法、应力法和应力函 数法三种方法。
§7-2柱坐标和球坐标系下的基本方程
• 一. 柱坐标系下的基本方程
直角坐标系下，空间一点M的位置由（x,y,z）表示，在柱坐 标系下，空间一点M的位置由（r, q, z）表示。两坐标间的关 系为：
在柱坐标系下的应力分量为
应变分量为 位移分量为
柱坐标表示的基本方程 • 1. 平衡方程
（7-1）
• 2. 几何方程
（7-6）
(2)几何方程：将式（7-5）代入式（7-2），得
（7-7）
(3)物理方程：将式（7-5）代入式（7-4），得
（7-8）
(4)空间轴对称问题位移求解的基本方程
空间轴对称问题共有四个应力分量，两个位移分量。 以位移求解更方便。 将几何方程（7-7）代入物理方程（7-8），得
（7-9）
• 将式（7-9）代入平衡方程（7-6），化简后得
1. 位移法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边 界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。
2. 应力法：以应力作为基本未知量。将相容方程用应 力表示——应力控制方程
3. 应力函数法：先引入应力函数，满足微分平衡方
程。 由微分平衡方程得应力函数与应力分量的关系，再将 用应力函数表示的应力分量代入相容方程，得到一组 用应力函数表示的相容方程，即应力函数表示的控制 方程。
人工神经网络原理第7章习题参考答案
1.试述自组织神经网络中“自组织”的含义。
自组织神经网络采用类似于人类大脑生物神经网络的无指导学习方式，能够对外界未知环境进行学习或模拟，并对自身的网络结构进行调整，实现对输入模式的自动分类。
在调整网络结构时，网络按照预定的规则和输入模式，不断调整网络连接权值直至形成一种全局有序的结构，而这种全局有序的结构是通过网络中许多相邻神经元的局部相互作用形成的，这些相邻神经元之间的相互作用最终会使网络在空间模式或时间节奏上达成一致，这也是自组织的本质。
2. 若某一基本竞争神经网络的输入层有5个节点，竞争层有3个节点。
网络的6个学习模式为X 1=(1,0,0,0,0)T ，X 2=(1,0,0,0,1)T ，X 3=(1,1,0,1,0)T ，X 4=(1,1,0,1,1)T ，X 5=(0,0,1,1,0)T ，X 6=(0,0,1,1,1)T ，试计算这6个学习模式的汉明距离。
6个学习模式的汉明距离X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 1 0 1 2 3 3 4 X 2 1 0 3 2 4 3 X 3 2 3 0 1 3 4 X 4 3 2 1 0 4 3 X 5 3 4 3 4 0 1 X 6434313. 采用竞争学习规则，通过训练将第2题中的6个学习模式进行分类，试比较训练后的分类结果和通过汉明距离得到分类结果。
按照前面描述的竞争学习规则对第2题的6个学习模式进行记忆训练，假定学习速率为0.5，网络的初始连接权值如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2.03.02.02.02.03.01.02.02.02.01.02.03.02.01.0W网络的学习过程如下：t =1 X 1=(1,0,0,0,0)T 竞争层各个神经元的净输入为 s 1=w 11x 1+w 21x 2+w 31x 3+w 41x 4+w 51x 5=0.1*1+0.2*0+0.2*0+0.3*0+0.2*0=0.1 s 2=w 12x 1+w 22x 2+w 32x 3+w 42x 4+w 52x 5=0.2*1+0.1*0+0.2*0+0.2*0+0.3*0=0.2 s 3=w 13x 1+w 23x 2+w 33x 3+w 43x 4+w 53x 5=0.3*1+0.2*0+0.1*0+0.2*0+0.2*0=0.3因此，竞争层各个神经元的输出为 y 1=0 y 2=0 y 3=1调整后的连接权如下 w 13=0.3+0.5*(1/1-0.3)=0.65 w 23=0.2+0.5*(0/1-0.2)=0.1 w 33=0.1+0.5*(0/1-0.1)=0.05 w 43=0.2+0.5*(0/1-0.2)=0.1 w 53=0.2+0.5*(0/1-0.2)=0.1t =2 X 2=(1,0,0,0,1)T 竞争层各个神经元的净输入为 s 1=w 11x 1+w 21x 2+w 31x 3+w 41x 4+w 51x 5=0.1*1+0.2*0+0.2*0+0.3*0+0.2*1=0.3 s 2=w 12x 1+w 22x 2+w 32x 3+w 42x 4+w 52x 5=0.2*1+0.1*0+0.2*0+0.2*0+0.3*1=0.5 s 3=w 13x 1+w 23x 2+w 33x 3+w 43x 4+w 53x 5=0.65*1+0.1*0+0.05*0+0.1*0+0.1*1=0.75因此，竞争层各个神经元的输出为 y 1=0 y 2=0 y 3=1 调整后的连接权如下w 13=0.65+0.5*(1/2-0.65)=0.575 w 23=0.1+0.5*(0/2-0.1)=0.05 w 33=0.05+0.5*(0/2-0.05)=0.025 w 43=0.1+0.5*(0/2-0.1)=0.05 w 53=0.1+0.5*(1/2-0.1)=0.3 t =3 X 3=(1,1,0,1,0)T 竞争层各个神经元的输入为 s 1=w 11x 1+w 21x 2+w 31x 3+w 41x 4+w 51x 5=0.1*1+0.2*1+0.2*0+0.3*1+0.2*0=0.6 s 2=w 12x 1+w 22x 2+w 32x 3+w 42x 4+w 52x 5=0.2*1+0.1*1+0.2*0+0.2*1+0.3*0=0.5 s 3=w 13x 1+w 23x 2+w 33x 3+w 43x 4+w 53x 5=0.575*1+0.05*1+0.025*0+0.05*1+0.3*0=0.675 因此，竞争层各个神经元的输出为y 1=0 y 2=0 y 3=1 调整后的连接权如下w 13=0.575+0.5*(1/3-0.575)=0.4542 w 23=0.05+0.5*(1/3-0.05)=0.1917 w 33=0.025+0.5*(0/3-0.025)=0.0125 w 43=0.05+0.5*(1/3-0.05)=0.1917 w 53=0.3+0.5*(0/3-0.3)=0.15 ……按照上述过程经过多次学习后，网络会得到如下分类结果，与通过汉明距离分析的结果完全一致。
第7章 静电场 复习题(2)
第七章 电场7-1回答下列问题：（1）在电场中某一点的场强定义为0q =F E ，若该点没有检验电荷，那么该点的场强如何？不变 如果电荷在电场中某点受到的电场力很大，该点的场强是否一定很大？不一定提示：电场强度是电场的基本性质，由电荷的分布决定，而与试验电荷无关。
因而若该点没有试验电荷，场强并不发生变化；若该点的电场力很大，场强不一定很大。
（2）根据点电荷的场强公式：304q rπε＝r E ，从形式上看，当所考察的场点和点电荷的距离0→r 时，则按上述公式E →∞，但这是没有意义的。
对这个问题如何解释。
提示：点电荷的场强公式304q rπε＝r E 是由库仑定律0304qq F rπε=r 推导而来，而库仑定律是经验公式，当0→r 时，点电荷的模型不成立，库仑定律不成立，此时点电荷的场强公式也不成立。
7-2—个带正电荷的质点。
在电场力作用下从A 点出发经C 点运动到B 点，其运动轨迹如图7-2所示。
巳知质点运动的速率是递减的，下面关于C 点场强方向的四个图示中正确的是( )。
①质点沿曲线运动时，加速度的 方向总是指向曲线凹的一边； ②依题意，质点的切向加速度a τ与线速度υ反向；③电场强度E 的方向即为质点在该点加速度a 的方向，将a 分解为切向加速度a τ与法向加速度n a 提示：D7-3 如7-3题图所示，闭合曲面S 内有—点电荷q ，P 为S 面上一点，在S 面外A 点有—点电荷`q ，若将`q 移至B 点，则（ ）(A)穿过S 面的电通量改变、P 点的电场强度不变； (B)穿过S 面的电通量不变，P 点的电场强度改变； (C)穿过S 面的电通量和P 点的电场强度都不变； (D)穿过S 面的电通量和P 点的电场强度都改变。
提示：B7-4 在真空中有A 、B 两块板，板面积为S ，分别带有电量q +、q -，相距为d ，若忽略边缘效应，则两板间的相互作用力为多少？解：A 板上的电荷q +在B 板q 产生的场中，0022q E Sσεε==。
第7章-分治算法C版
int x; int left=1,right=n,mid; cin >> x;
while (left <= right) {
的函数值为0，则确定x/100为根
printf(“%.2f”,x/100)；
}
其中函数f(x)计算x3+b*x2+c*x+d：
double f(double x)
//计算x3+b*x2+c*x+d
{
f=x*x*x+b*x*x+c*x+d；
}
//f函数
2.分治法 枚举根的值域中的每一个整数x(-100≤x≤100)。由于根与根之差的绝
6 10 11 8 4 1 9 7
一趟快速排序后：
此时i>j,并且i左边的数字都小于等于key,j右边的数字都大于 等于key，进而接下来可以分别对左边段[0, j]和右边段[i,N-1]利 用同样的方法排序。
【程序实现】
void qsort(int le,int ri)
{
int i=le, j=ri, mid=a[(le+ri)/2];
5 1 3 样例输出： 4 1 3
分析： 我们用Left表示询问区间的左边界，用Right表示询问区间的右边界，
[Left,Right]组成询问区间。一开始Left=1，Right=n，我们可以把原始序列 的左边想象成若干个无穷小的数，把序列的右边想象成无穷大的数，这样比较 好理解。序列已经按照升序排好，保证了二分的有序性。
弹性力学 第七章 平面问题的极坐标解
第七章平面问题的极坐标解知识点极坐标下的应力分量极坐标下的应变分量极坐标系的Laplace算符轴对称应力分量轴对称位移和应力表达式曲梁纯弯曲纯弯曲位移与平面假设带圆孔平板拉伸问题楔形体问题的应力函数楔形体应力楔形体受集中力偶作用极坐标平衡微分方程几何方程的极坐标表达应力函数轴对称位移厚壁圆筒作用均匀压力曲梁弯曲应力曲梁作用径向集中力孔口应力楔形体边界条件半无限平面作用集中力一、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。
对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。
本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并且求解一些典型问题。
二、重点1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题§7.1 平面问题极坐标解的基本方程学习思路:选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。
本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。
由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。
应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。
学习要点：1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标表达；6、极坐标系的Laplace算符；7、应力函数。
1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD，其由两个相距dρ的圆柱面和互成dϕ的两个径向面构成，如图所示在极坐标系中，用σρ 表示径向正应力，用σϕ 表示环向正应力,τϕρ 和τρϕ 分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，τϕρ ＝τρϕ 。
大物-第7章答案
7 －6 一容器内储有氧气，其压强为Pa 100115⨯.，温度为27 ℃，求：(1)气体分子的数密度；(2) 氧气的密度；(3) 分子的平均平动动能；(4) 分子间的平均距离．(设分子间均匀等距排列)分析 在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体．因此，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解．又因可将分子看成是均匀等距排列的，故每个分子占有的体积为30d V =，由数密度的含意可知n V /10=，d 即可求出． 解 (1) 单位体积分子数325m 1044.2⨯==kTp n (2) 氧气的密度 3-m kg 30.1/⋅===RTpM V m ρ (3) 氧气分子的平均平动动能 J 102162321k -⨯==./kT ε(4) 氧气分子的平均距离m 10453193-⨯==./n d通过对本题的求解，我们可以对通常状态下理想气体的分子数密度、平均平动动能、分子间平均距离等物理量的数量级有所了解．7－7 2.0×10-2 kg 氢气装在4.0×10-3 m 3 的容器内，当容器内的压强为3.90×105 Pa 时，氢气分子的平均平动动能为多大？分析 理想气体的温度是由分子的平均平动动能决定的，即23k /kT =ε．因此，根据题中给出的条件，通过物态方程pV ＝Mm 'RT ，求出容器内氢气的温度即可得k ε． 解 由分析知氢气的温度mRMpV T =，则氢气分子的平均平动动能为 J 1089.3232322k -⨯='==R m pVMk kT ε 7 －11 当温度为0C ο时，可将气体分子视为刚性分子，求在此温度下：（1）氧分子的平均动能和平均转动动能；（2）kg 100.43-⨯氧气的内能；（3）kg 100.43-⨯氦气的内能. 分析 （1）由题意，氧分子为刚性双原子分子，则其共有5个自由度，其中包括3个平动自由度和2个转动自由度.根据能量均分定理，平均平动动能kT 23kt =ε，平均转动动能kT kT ==22kr ε.（2）对一定量理想气体，其内能为RT i M m E 2'=，它是温度的单值函数.其中i 为分子自由度，这里氧气i =5、氦气i =3.而m '为气体质量，M 为气体摩尔质量，其中氧气13mol kg 1032--⋅⨯=M；氦气13mol kg 100.4--⋅⨯=M .代入数据即可求解它们的内能.解 根据分析当气体温度为T=273 K 时，可得（1）氧分子的平均平动动能为 J 107.52321k t -⨯==kT ε氧分子的平均转动动能为J 108.32221k r -⨯==kT ε （2）氧气的内能为 J 10 7.1J 27331.8251032100.42233⨯=⨯⨯⨯⨯⨯='=--RT i M m E （3）氦气的内能为J 10 3.4J 27331.823100.4100.42333⨯=⨯⨯⨯⨯⨯='=--RT i M m E 7－14 有N 个质量均为m 的同种气体分子，它们的速率分布如图所示.(1) 说明曲线与横坐标所包围的面积的含义；(2) 由N 和0v 求a 值；(3) 求在速率0v /2到30v /2 间隔内的分子数；(4) 求分子的平均平动动能.题 7-14 图分析 处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时，关键要理解分布函数()v f 的物理意义. ()υd d N N f =v ，题中纵坐标()v v d /d N Nf =，即处于速率v 附近单位速率区间内的分子数.同时要掌握()v f 的归一化条件，即()1d 0=⎰∞v v f .在此基础上，根据分布函数并运用数学方法(如函数求平均值或极值等)，即可求解本题.解 (1) 由于分子所允许的速率在0 到20v 的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的面积()N Nf S v ==⎰v v d 020即曲线下面积表示系统分子总数N .(2 ) 从图中可知，在0 到0v 区间内，()0/v v v a Nf=；而在0 到20v 区间，()αNf =v .则利用归一化条件有 v v v v v ⎰⎰+=000200d d v v a a N (3) 速率在0v /2到30v /2间隔内的分子数为12/7d d Δ2/300000N a a N =+=⎰⎰v v v v v v v (4) 分子速率平方的平均值按定义为()v v f v v v d /d 02022⎰⎰∞∞==N N 故分子的平均平动动能为20220302k 3631d d 2121000v v v v v v v v v v m N a N a m m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⎰⎰ε。
高中数学 第7章 计数原理 7.4 二项式定理讲义(含解析)湘教版选修2-3-湘教版高二选修2-3数
第一课时 二项式定理及应用[读教材·填要点]1．杨辉三角的特点是两条斜边上的数字都是1，其余的数都是它“肩上”的两个数的和．2．二项式定理对于正整数n ，(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n.3．二项展开式的通项公式 我们称C r n an －r b r是二项展开式的第r ＋1项，其中C r n 称作第r ＋1项的二项式系数．把T r＋1＝C r n an －r b r(其中0≤r ≤n ，r ∈N ，n ∈N ＋)叫做二项展开式的通项公式．[小问题·大思维]1．二项展开式中的字母a ，b 能交换位置吗？提示：二项展开式中的字母a ，b 是不能交换的，即虽然(a ＋b )n 与(b ＋a )n结果相同，但(a ＋b )n 与(b ＋a )n的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，二者不能混淆，如(a ＋b )3的展开式中第2项是3a 2b ，而(b ＋a )3的展开式中第2项是3ab 2，两者是不同的．2．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？提示：二项式系数C r n 与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关．二项式定理的应用[例1] (1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋x 4的展开式；(2)化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．[解] (1)法一：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x＋C 24(3x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝3x ＋14x 2＝1x 2[]C 043x4＋C 143x3＋C 243x2＋C 343x1＋C 443x＝1x2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55(x －1)0－1 ＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.(1)记准、记熟二项式(a ＋b )n的展开式，是解答好与二项式有关问题的前提条件，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷．(2)逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律及各项的系数．1．(1)求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x25的展开式； (2)化简：(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1. 解：(1)法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x25 ＝C 05(2x )5－C 15(2x )4·1x2＋C 25(2x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22－C 35(2x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 23＋C 45(2x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 24－C 55·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25＝32x 5－80x 2＋80x －40x 4＋10x 7－1x10.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x22x 3－15＝－1x10(1－2x 3)5＝－1x10[1－C 15(2x 3)＋C 25(2x 3)2－C 35(2x 3)3＋C 45(2x 3)4－C 55(2x 3)5]＝－1x10＋10x 7－40x 4＋80x－80x2＋32x 5.(2)原式＝C 05(2x ＋1)5－C 15(2x ＋1)4＋C 25(2x ＋1)3－C 35(2x ＋1)2＋C 45(2x ＋1)－C 55(2x ＋1)0＝(2x ＋1－1)5＝(2x )5＝32x 5.二项式系数与项的系数问题[例2] (1)求二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．[解] (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝26－r C r6·(－1)r·x3－3r 2，∴T 6＝－12·x －92.∴第6项的二项式系数为C 56＝6， 第6项的系数为C 56·(－1)5·2＝－12. (2)设展开式中的第r ＋1项为含x 3的项，则T r ＋1＝C r 9x9－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r， 令9－2r ＝3，得r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”．解：由通项T r ＋1＝(－1)r ·C r 6·26－r·x 3－32r ， 知第四项的二项式系数为C 36＝20， 第四项的系数为C 36·(－1)3·23＝－160.求某项的二项式系数或展开式中含x r的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别．2．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n 的值；(2)求展开式中x 2的系数．解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n ·(3x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r n x n －2r 3 .又第6项为常数项， 所以当r ＝5时，n －2r3＝0，即n ＝2r ＝10.(2)由(1)，得T r ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 10x 10－2r3 ，令10－2r3＝2，得r ＝2， 所以展开式中x 2的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－122C 210＝454.与展开式中的特定项有关的问题[例3] (1)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，常数项是( )A ．－54B.54C ．－1516D.1516(2)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12 C ．1D ．2[解析] (1)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6展开式的通项T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x12－3r， 令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.(2)依题意，注意到⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)、x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310、C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2.[答案] (1)D (2)D求展开式中特定项的方法求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项， 再把系数和字母分离， 根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征， 列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．3．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n 的值；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．解：(1)通项为T r ＋1＝C r n x n －r 3 (－3)r x －r 3＝C r n (－3)r x n －2r3 .因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令n －2r3＝2，得r ＝12(n －6)＝2.所以所求的系数为C 210(－3)2＝405. (3)根据通项，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈N ，所以r 可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x －2， 即405x 2，－61 236,295 245x －2.解题高手妙解题30122330123[尝试][巧思] 因为展开式为x ＋2的多项式，因此可考虑将2x ＋3变形为2x ＋3＝2(x ＋2)－1，然后利用二项式定理展开即可．[妙解] 由(2x ＋3)3＝[2(x ＋2)－1]3＝C 03[2(x ＋2)]3(－1)0＋C 13[2(x ＋2)]2(－1)1＋C 23[2(x ＋2)]1(－1)2＋C 33[2(x ＋2)]0(－1)3＝8(x ＋2)3－12(x ＋2)2＋6(x ＋2)－1 ＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3. 则a 0＝－1，a 1＝6，a 2＝－12，a 3＝8. 则a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝5.1．(2x －1)5的展开式中第3项的系数为( ) A ．－20 2 B ．20 C ．－20D ．20 2解析：选D ∵T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(－1)r，∴T 2＋1＝C 25(2x )3(－1)2＝(2)3C 25x 3＝202x 3， ∴第3项的系数为20 2.2．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C nn ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．(－1)nD ．3n解析：选C 逆用公式，将1看作公式中的a ，－2看作公式中的b ，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.3.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 9展开式中的第四项是( ) A ．56x 3B ．84x 3C ．56x 4D ．84x 4解析：选B 由通项公式有T 4＝C 39x 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x3＝84x 3.4.⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 9的展开式中，常数项为________．解析：T r ＋1＝C r 9(2x )9－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r ·29－r ·C r9·x 9－32r ，令9－32r ＝0，得r ＝6.∴T 7＝C 69×23＝672. 答案：6725．若(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案) 解析：二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r10x 10－r a r，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12.答案：126．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n (n ∈N ＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含x 32的项．解：由题意知第五项的系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则C 4n ·－24C 2n ·－22＝101， 解得n ＝8(n ＝－3舍去)． 所以通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝C r 8(－2)r ·x 8－5r2 .令8－5r 2＝32，得r ＝1. ∴展开式中含x32的项为T 2＝－16x32.一、选择题1．(x －2)10展开式中x 6的系数是( ) A ．－8C 410 B ．8C 410 C ．－4C 410D ．4C 410解析：选D T r ＋1＝C r 10x 10－r(－2)r，令10－r ＝6，∴r ＝4，T 5＝(－2)4C 410x 6＝4C 410x 6，系数为4C 410.2．若(1－2x )5的展开式中，第2项小于第1项，且不小于第3项，则x 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－110 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－110，0C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，110D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0解析：选B T 1＝C 05＝1，T 2＝C 15·(－2x )＝－10x ，T 3＝C 25·(－2x )2＝40x 2.根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧T 2<T 1，T 2≥T 3，即⎩⎪⎨⎪⎧－10x <1，－10x ≥40x 2，解得－110＜x ≤0.3.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D 由通项公式T r ＋1＝C rn (x 2)n －r(－1)r x －r＝(－1)r C r n x2n －3r.令2n －3r ＝0，得(－1)r C rn ＝15，由r ＝23n ，r ∈N ＋，排除选项B 、C ，再将选项B 、D 代入验证n ＝6.4．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154B.154C ．－38D.38解析：选C 在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎪⎫x 26－r ⎝⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126－r x 3－r (－2)r，当r ＝1时，为含x 2的项，其系数是C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫125(－2)＝－38.二、填空题5.⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数指数幂的一共有________项．解析：因为T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r ＝C r 10⎝ ⎛⎭⎪⎫－13r x5－32r ，由5－32r ∈N ＋知r ＝0或r ＝2，所以展开式中含x 的正整数指数幂的一共有2项．答案：26．若(1＋2)4＝a ＋b 2，则a －b ＝________.解析：∵(1＋2)4＝C 04(2)0＋C 14(2)1＋C 24(2)2＋C 34(2)3＋C 44(2)4＝1＋42＋12＋82＋4＝17＋122，由已知，得17＋122＝a ＋b 2，∴a ＝17，b ＝12，故a －b ＝17－12＝5. 答案：57.⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋12x 5的展开式中x 8的系数是________________(用数字作答)．解析：∵T r ＋1＝C r 5·(x 3)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r 5·x 15－3r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·x －r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r 5·x30－7r2 (r ＝0,1,2,3,4,5)，由30－7r2＝8，得r ＝2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 25＝52.答案：528．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________．解析：⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中，T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 6x 6－2r，令6－2r ＝0，得r ＝3，T 4＝C 36(－1)3＝－C 36，令6－2r ＝－1，得r ＝72(舍去)，令6－2r ＝－2，得r ＝4，T 5＝C 46(－1)4x －2，所以(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为1×(－C 36)＋C 46＝－20＋15＝－5.答案：－5 三、解答题9．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．解：T 5＝C 4n (x )n －424x －8＝16C 4n x n －202 ， T 3＝C 2n (x )n －222x －4＝4C 2n x n －102 由题意知，16C 4n 4C 2n ＝563，解得n ＝10.T r ＋1＝C r 10(x )10－r 2r x －2r ＝2r C r 10x 10－5r2 ， 令5－5r2＝0，解得r ＝2，∴展开式中常数项为C 21022＝180.10．已知(x ＋3x )n(其中n <15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．(1)求n 的值；(2)写出它展开式中的所有有理项．解：(1)(x ＋3x )n(其中n <15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C 8n ，C 9n ，C 10n .依题意得n ！8！n －8！＋n ！10！n －10！＝2·n ！9！n －9！，化简得90＋(n －9)(n －8)＝20(n －8)， 即n 2－37n ＋322＝0， 解得n ＝14或n ＝23， 因为n <15，所以n ＝14. (2)展开式的通项T r ＋1＝C r 14x 14－r 2 ·x r 3 ＝C r 14·x 42－r6 ， 展开式中的有理项当且仅当r 是6的倍数， 0≤r ≤14，所以展开式中的有理项共3项是：r ＝0，T 1＝C 014x 7＝x 7； r ＝6，T 7＝C 614x 6＝3 003x 6； r ＝12，T 13＝C 1214x 5＝91x 5.第二课时 二项式系数的性质及应用[读教材·填要点]二项式系数的有关性质 (1)二项展开式一共有n ＋1项．(2)第一个字母a 按降幂排列，第二个字母b 按升幂排列． (3)a 的幂加b 的幂等于n .(4)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C m n ＝C n －mn . (5)二项式系数从两端向中间逐渐增大，且当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数C -12n n ，C +12n n 相等，且同时取得最大值．(6)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n，这可以在二项式定理中取a ＝1，b ＝1得到． (7)C 0n －C 1n ＋C 2n ＋…＋(－1)n C nn ＝0，这可以在二项式定理中取a ＝1，b ＝－1得到．[小问题·大思维]1．若(a ＋b )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 为何值？提示：由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式共有9项，故n ＝8.2．(a ＋b )n的展开式的各个二项式系数的和与a ，b 的取值有关系吗？提示：(a ＋b )n的展开式的各个二项式系数的和与a ，b 的值无关，其和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝2n.求展开式的系数和[例1] 若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求 (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. [解] (1)令x ＝0，则a 0＝－1，令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128.① ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝129. (2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②2得：a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝12[128＋(－4)7]＝－8 128.(4)法一：∵(3x －1)7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6均小于零，a 1，a 3，a 5，a 7均大于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7－(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝8 256－(－8 128)＝16 384.法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|即为(1＋3x )7展开式中各项的系数和， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(1＋3)7＝47＝16 384.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n, (ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1＋f －12，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1－f －12.1．设f (x )＝(x 2＋x －1)9(2x ＋1)6，试求f (x )的展开式中： (1)所有项的系数和；(2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和． 解：(1)所有项的系数和为f (1)＝36＝729. (2)所有偶次项的系数和为f 1＋f －12＝36＋－12＝364，所有奇次项的系数和为f 1－f －12＝36＋12＝365.求展开式中系数或二项式系数最大的项[例2] 在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 28的展开式中，(1)系数绝对值最大的项是第几项？ (2)求二项式系数最大的项； (3)求系数最大的项； (4)求系数最小的项． [解]T r ＋1＝C r8·(x )8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r＝(－1)r ·C r 8·2r·x4－5r 2.(1)设第r ＋1项系数的绝对值最大．则⎩⎪⎨⎪⎧C r8·2r≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1.∴⎩⎪⎨⎪⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r .⇒5≤r ≤6，又∵r ∈N ＋， ∴r ＝5或r ＝6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．∴T 5＝C 48·24·x4－202＝1 120x －6.(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，而7项的系数为正．则系数最大的项为T 7＝C 68·26·x－11＝1 792x －11. (4)系数最小的项为T 6＝－C 58·25x－172＝－1 792x－172.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第r ＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第r 项，第r ＋2项)的系数均不大于第r ＋1项的系数，由此列不等式组可确定r 的X 围，再依据r ∈N *来确定r 的值，即可求出最大项．2．已知⎝⎛⎭⎫x 23＋3x 2n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 解：令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n. 又展开式中二项式系数和为2n， ∴22n2n ＝2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T 3＝C 25(x23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x23)2(3x 2)3＝270x223.(2)设展开式中第k ＋1项的系数最大，则由T k ＋1＝C k5(x23)5－k(3x 2)k ＝3k C k5x10＋4k3，得⎩⎪⎨⎪⎧3k C k5≥3k －1C k －15，3k C k 5≥3k ＋1C k ＋15，∴72≤k ≤92，∴k ＝4， 即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(x23)(3x 2)4＝405x263.解题高手妙解题如果C 0n ＋12C 1n ＋13C 2n ＋…＋1n ＋1C n n ＝31n ＋1，求(1＋x )2n的展开式中系数最大的项．[尝试][巧思] 由于2n 是偶数，且(1＋x )2n展开式中各项的系数即为二项式系数，因此系数最大的项应为第n ＋1项，因此只需确定n 的值即可．等式可变形为(n ＋1)C 0n ＋12(n ＋1)·C 1n ＋13(n ＋1)C 2n ＋…＋1n (n ＋1)C n －1n ＋C n n ＝31，而(n ＋1)C 0n ＝C 1n ＋1，12(n ＋1)C 1n ＝C 2n ＋1，13(n ＋1)C 2n ＝C 3n ＋1，….故利用二项式系数的性质即可解决．[妙解] 由C 0n ＋12C 1n ＋13C 2n ＋…＋1n ＋1C n n ＝31n ＋1，得(n ＋1)C 0n ＋12(n ＋1)C 1n ＋13(n ＋1)C 2n ＋…＋1n (n ＋1)C n －1n ＋C nn ＝31，∴C 1n ＋1＋C 2n ＋1＋C 3n ＋1＋…＋C n n ＋1＋C n ＋1n ＋1＝31， 即2n ＋1－1＝31，∴2n ＋1＝32，∴n ＋1＝5，即n ＝4.1．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( )A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3解析：选C 该式展开共2n ＋2项，中间有两项；第n ＋1项与第n ＋2项，所以第n ＋1项与第n ＋2项为二项式系数最大的项．2．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120解析：选B 由2n＝64，得n ＝6， ∴T r ＋1＝C r 6x6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 6－2r (0≤r ≤6，r ∈N ＋)． 由6－2r ＝0，得r ＝3，∴T 4＝C 36＝20. 3．若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x2 018(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C 令x ＝0，得a 0x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝－1.4．若(x ＋3y )n的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．解析：(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.答案：55．(2x －1)10展开式中x 的奇次幂项的系数之和为________． 解析：设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，再令x ＝－1，得 310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10，两式相减，可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102.答案：1－31026．已知(1＋3x )n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意知，C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121， 即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121，∴1＋n ＋n n －12＝121，解之得n ＝15或n ＝－16(舍去)．∴(1＋3x )15的展开式中二项式系数的最大项为第8项和第9项，且T 8＝C 715(3x )7，T 9＝C 815(3x )8.一、选择题1．已知(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|等于( ) A．29B．49C．39D．1解析：选B x的奇数次方的系数都是负值，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9.∴已知条件中只需赋值x＝－1即可．2．关于(a－b)10的说法，错误的是( )A．展开式中的二项式系数之和为1 024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小解析：选C 根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．3．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A．29B．210C．211D．212解析：选A 由C3n＝C7n，得n＝10，故奇数项的二项式系数和为29.4．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于( )A．5 B．6C．7 D．8解析：选B 由二项式系数的性质知，二项式(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值有一项，即C m2m＝a，二项式(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值有两项，即C m2m＋1＝C m＋12m＋1＝b，因此13C m2m ＝7C m2m＋1，所以13·2m ！m ！m ！＝7·2m ＋1！m ！m ＋1！，所以m ＝6. 二、填空题5．(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7等于________．解析：令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝25，∴－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝25－1＝31. ∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝－31. 答案：－316．(1－x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为________．解析：二项式(1－x )20的展开式的通项是T r ＋1＝C r 20·120－r ·(－x )r ＝C r 20·(－1)r·x 12r .因此，(1－x )20的展开式中，x 的系数与x 9的系数之差等于C 220·(－1)2－C 1820·(－1)18＝C 220－C 220＝0.答案：07．若对任意的实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为________． 解析：设x －2＝t ，则x ＝t ＋2，原等式可化为(t ＋2)3＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3，所以a 2＝C 13·2＝6.答案：68．在(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中，x 2项的系数是________．(用数字作答)解析：由题意知C 22＋C 23＋C 24＋C 25＋C 26＝C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋C 26 ＝C 34＋C 24＋C 25＋C 26 ＝C 35＋C 25＋C 26 ＝C 36＋C 26＝C 37 ＝7×6×53×2×1＝35.答案：35三、解答题9．设(2－3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.解：(1)令x＝0，则展开式为a0＝2100.(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100，(*)∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100－2100.(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)100.与(*)式联立相减得a1＋a3＋…＋a99＝2－3100－2＋31002.(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1.(5)∵T r＋1＝(－1)r C r1002100－r(3)r x r，∴a2r－1<0(r∈N＋)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)100.10．已知(3x2＋3x2)n展开式中各项系数和比二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解：令x＝1得展开式各项系数和为(1＋3)n＝4n. 又展开式二项式系数和为C0n＋C1n＋…＋C n n＝2n，由题意有4n－2n＝992.即(2n )2－2n －992＝0，(2n －32)(2n＋31)＝0， ∴2n ＝－31(舍去)或2n＝32. 所以n ＝5.(1)因为n ＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，它们是T 3＝C 25(3x 2)3·(3x 2)2＝90x 6.T 4＝C 35(3x 2)2(3x 2)3＝270x 223.(2)设展开式中第r ＋1项的系数最大，又T r ＋1＝C r 5(3x 2)5－r ·(3x 2)r ＝C r 53rx10＋4r3，得⎩⎪⎨⎪⎧C r 5·3r ≥C r －15·3r －1C r5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r 15－r ≥3r ＋1⇒72≤r ≤92. 又因为r ∈N ＋，所以r ＝4，所以展开式中第5项系数最大．T 5＝C 4534x 263＝405x 263.。
第7章5-8节二阶微分方程
故 y Y ( x) y * ( x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 . 证毕
例如, 方程 对应齐次方程
有特解
有通解
Y C1 cos x C2 sin x
因此该方程的通解为
定理 4.
分别是方程
y P( x) y Q( x) y f k ( x) (k 1, 2 ,, n )
1、 型的微分方程
对此类方程只需通过连续两次积分就可得到通解．
" 例1 求方程 y cos x 的通解． " y cos x ，所以 解 因为
y ' cos xdx sin x C1
y (sin x C1 )dx cos x C1 x C2
例2.
2
化为关于 uc 的方程:
故有
i E~
q q K
例1
例2 方程的共性 — 可归结为同一形式:
y p( x) y q( x) y f ( x) , 为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
y
( n)
a1 ( x) y
( n 1)
an 1 ( x) y an ( x) y f ( x)
重点与难点
理解线性方程解的结构
一、二阶线性微分方程举例
例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解:
代入方程得
(1 x 2 ) p 2x p 分离变量
新编物理基础学上册第7章课后习题(每题都有)详细答案
第七章7-1 氧气瓶的容积为32,L 瓶内充满氧气时的压强为130atm 。
若每小时用的氧气在1atm 下体积为400L 。
设使用过程温度保持不变，当瓶内压强降到10atm 时，使用了几个小时?分析 氧气的使用过程中，氧气瓶的容积不变，压强减小。
因此可由气体状态方程得到使用前后的氧气质量。
进而将总的消耗量和每小时的消耗量比较求解。
解 已知123130,10,1;P atm P atm P atm === ,3221L V V V ===L V 4003=。
质量分别为1m ，2m ，3m ,由题意可得:11m PV RT M = ○1 22m PV RT M = ○2 233m PV RT M= ○3 所以一瓶氧气能用小时数为:()121233313010329.61.0400m m PV PV n m PV -⨯--====⨯小时7-2 一氦氖气体激光管，工作时管内温度为 27C ︒。
压强为2.4mmHg ，氦气与氖气得压强比是7:1.求管内氦气和氖气的分数密度. 分析 先求得氦气和氖气各自得压强，再根据公式P nkT =求解氦气和氖气的分数密度。
解:依题意, n n n =+氦氖， 52.41.01310760P P P Pa =+=⨯⨯氦氖；:7:1P P =氦氖 所以 552.10.31.01310, 1.01310760760P Pa P Pa =⨯⨯=⨯⨯氦氖, 根据 P nkT =所以 ()5223232.1760 1.01310 6.76101.3810300P n m kT --⨯⨯===⨯⨯⨯氦氦 2139.6610P n m kT-=⨯氖氖7-3 氢分子的质量为243.310-⨯克。
如果每秒有2310个氢分子沿着与墙面的法线成︒45角的方向以510厘米/秒的速率撞击在面积为22.0cm 的墙面上,如果撞击是完全弹性的,求这些氢分子作用在墙面上的压强. 分析 压强即作用在单位面积上的平均作用力，而平均作用力由动量定理求得。
并联机器人-习题解答-第7章 并联机器人的动力学分析习题解答-20210528
（4）
再运用三矢量的两重叉积的运算方法，由式（4），得铰链bi的垂直于第i 根连杆轴线的 作用力：
Fbiuv li
1 lCi
wi
M bfi I Cib i i
i 1
i 1
（12） （13）
6
6
6
bi fbiwwi I P P P I P P bi Fbiuv M P M bfi
i 1
i 1
i 1
由式（13）和式（14）得铰链bi的沿连杆轴线方向的作用力的大小的列向量：
f bw U 1W
式(15)中:
fbw fb1w
的反摩擦力矩。
7-7. 根据式(17)，写出6-SPS并联机构的驱动力的计算步骤。
解：
计入重力时驱动力的计算步骤如下：
第1步：计算式（7-8）、式（7-14）、式（7-16）、式（7-24）或式（7-25）中等号右边的 可计算的量。
根据并联机构的结构参数、构件的重力及作用在动平台的力和力矩，先确定并联机器人
w~ ~ bli
、bli
i
i
、 bli
bli
i
i
a G I M 、bli
、bli
bGi
、bli
biCib ；取Bfi来自cBii 和 M bfi
cbi
i
P
，
cBi 和 cbi
分别为铰链Bi和铰链bi的摩擦阻尼系数，计算
Bli
M
和 bli
Bfi
M
bfi ；用式（7-24）求
fbw
时，先求 D wi 、
mbiabGi FDi FCi Fbi Gbi
第07章 整数规划
➢ (3)任取一个非整数变量xi=bi，构造两个新的约
束条件：xi ≤[bi] ,xi ≥ [bi]+1,分别加入到上一
个LP问题，形成两个新的分枝问题。 ➢ (4)不考虑整数要求，解分枝问题。若整数解的Z
值>所有分枝末梢的Z值，则得最优解。否则， 取 Z值最大的非整数解，继续分解，Go to (3)
3.求解下列PIP问题
s.t. 210x1+300x2+150x3+130x4+260x5 ≤ 600
X1+x2+x3=1
X3+x4=1
x5 ≤ x1
Xj=0或1 j=1，2,…,5
增加过滤条件：160x1+210x2+60x3+80x4+180x5 ≥ 240
(x1,x2,x3,x4,x5）
（1，0，0，1，0） （1，1，1，1，1） （1，1，1，1，0）
素，圈之。 (0)所在行和列其它0元素划掉
➢ 第三步 打——无(0)的行打，打行上
划0列打 ，打列上(0)行打，打行上 划0列打 …
➢ 第四步 划线——无行、打列划线 ➢ 第五步 造0——直线未覆盖的元素，减
去其最小值，交叉点上加最小元素，产 生新的0元素，Go to 2
➢ 最优解：x13=1,x21=1,x32=1,x44=1 Z=15
例7.1某集装箱运输公司，箱型标准体积 24m3，重量13T,现有两种货物可以装运，甲 货物体积5m3、重量2T、每件利润2000元； 乙货物体积4m3、重量5T、每件利润1000元， 如何装运获利最多？
解：max Z=2000x1+1000x2
s.t. 5x1+4x2≤24
第7章-积分变换法 (更新版)
下用初始条件来确定通解中的F和 G。 代入初始条件，可得
F (x) G(x) (x), aF '(x) aG'(x) (x).
将（1）式两端关于 x 求导一次，得
F '(x) G'(x) '(x).
由（2）、（3）两式，解得
F '(x) 1 (a '(x) (x)),
2a
G'(x) 1 (a '(x) (x)).
x1 at x x2 at,t 0.
举例，求解弦振动方程的柯西问题
u
(
2u t 2
x, 0)
2u x2
0
x,
u ( x, t
0)
(t 0, sin x
x ) ( x
)
由达朗贝尔公式可得其解为：
u(x,t) 1 ((x t) (x t)) 1
x
t
sin
d
2
2 xt
区间[x-at, x+at]称为点(x,t)的依赖区域。它的求法是过点 (x,t)作斜率为1/a,-1/a的两条直线与x轴交截而得的区间。
t
t
(x, t)
x-at
x+at
x1
x
0
x2
x
0
x1
x2 x
a)点(x,t)的依赖区间
b)区间[x1,x2]的决定区域 图1.2 依赖区间、决定区域及影响区域
c)区间[x1,x2]的影响区域
第七章 行波法、积分变换法
在这一章中，我们将介绍求解数学物理问题 的另两种方法，行波法与积分变换法. 行波法又称为达朗贝尔方法，它是求解无界域 内波动方程定解问题的一种有效的方法。 积分变换法: Laplace 变换
第7章思考题与参考答案
第7章思考题参考答案1． 为什么说结构的自振频率是结构的重要动力特征，它与那些量有关，怎样修改它？ 答：动荷载（或初位移、初速度）确定后，结构的动力响应由结构的自振频率控制。
从计算公式看，自振频率与质量与刚度有关。
质量与刚度确定后自振频率就确定了，不随外部作用而改变，是体系固有的属性。
为了减小动力响应一般要调整结构的周期（自振频率），只能通过改变体系的质量、刚度来达到。
总的来说增加质量将使自振频率降低，而增加刚度将使自振频率增加。
2．自由振动的振幅与那些量有关？答：振幅是体系动力响应的幅值，动力响应由外部作用和体系的动力特性确定。
对于自由振动，引起振动的外部作用是初位移和初速度。
因此，振幅应该与初位移、初速度以及体系的质量和刚度的大小与分布（也即频率等特性）有关。
当计及体系阻尼时，则还与阻尼有关。
3． 任何体系都能发生自由振动吗？什么是阻尼比，如何确定结构的阻尼比？答：并不是所有体系都能发生自由振动的，当体系中的阻尼大到一定程度时，体系在初位移和初速度作用下并不产生振动，将这时的体系阻尼系数称为临界组尼系数，其值为2m ω。
当阻尼系数小于该值时（称为小阻尼），可以发生自由振动。
阻尼比是表示体系中阻尼大小的一个量，它为体系中实际阻尼系数与临界阻尼系数之比。
若阻尼比为0.05，则意味着体系阻尼是临界阻尼的5%。
阻尼比可通过实测获得，方法有多种，振幅法是其中之一，振幅法确定阻尼比读者可见教材例题7-1。
4． 阻尼对频率、振幅有何影响？答：按粘滞阻尼（或等效粘滞阻尼）假定分析出的体系自振频率计阻尼与不计阻尼是不一样的，2者之间的关系为d ω=，计阻尼自振频率d ω小于不计阻尼频率ω，计阻尼时的自振周期会长于不计阻尼的周期。
由于相差不大，通常不考虑阻尼对自振频率的影响。
阻尼对振幅的影响在频比（荷载频率与自振频率的比）不同时大小不同，当频比在1附近（接近共振）时影响大，远离1时影响小。
为了简化计算在频比远离1时可不计阻尼影响。
第7章图习题及参考答案
第7章习题一、单项选择题1. 在无向图中定义顶点的度为与它相关联的（ ）的数目。
A. 顶点B. 边C. 权D. 权值2. 在无向图中定义顶点 v i 与v j 之间的路径为从v i 到达v j 的一个（ ）。
A. 顶点序列B. 边序列C. 权值总和D. 边的条数 3. 图的简单路径是指（ ）不重复的路径。
A. 权值B. 顶点C. 边D. 边与顶点均 4. 设无向图的顶点个数为n ，则该图最多有（ ）条边。
A. n-1B. n(n-1)/2C. n(n+1)/2D. n(n-1) 5. n 个顶点的连通图至少有（ ）条边。
A. n-1B. nC. n+1D. 06. 在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的 ( ) 倍。
A. 3 B. 2 C. 1 D. 1/27. 若采用邻接矩阵法存储一个n 个顶点的无向图，则该邻接矩阵是一个 ( )。
A. 上三角矩阵 B. 稀疏矩阵 C. 对角矩阵 D. 对称矩阵 8. 图的深度优先搜索类似于树的（ ）次序遍历。
A. 先根B. 中根C. 后根D. 层次 9. 图的广度优先搜索类似于树的（ ）次序遍历。
A. 先根B. 中根C. 后根D. 层次10. 在用Kruskal 算法求解带权连通图的最小（代价）生成树时，选择权值最小的边的原则是该边不能在图中构成（ ）。
A. 重边B. 有向环C. 回路D. 权值重复的边11. 在用Dijkstra 算法求解带权有向图的最短路径问题时，要求图中每条边所带的权值必须是（ ）。
A. 非零B. 非整C. 非负D. 非正12. 设G1 = (V1, E1) 和G2 = (V2, E2) 为两个图，如果V1 V2，E1 E2，则称（ ）。
A. G 1是G 2的子图 B. G 2是G 1的子图 C. G 1是G 2的连通分量 D. G 2是G 1的连通分量13. 有向图的一个顶点的度为该顶点的（ ）。
A. 入度 B. 出度C. 入度与出度之和D. (入度﹢出度))／214. 一个连通图的生成树是包含图中所有顶点的一个（ ）子图。
微积分第2版-朱文莉第7章 定积分及其应用习题详解
微积分第2版-朱文莉第7章定积分及其应用习题详解1. 引言在微积分学中，定积分是一个非常重要的概念。
定积分可以用于求解曲线下面的面积、物体的质量和重心等问题，是微积分中的核心内容之一。
本章将重点介绍定积分的定义、性质以及应用。
2. 定积分的定义定积分的定义为：$$ \\int_{a}^{b} f(x)dx = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\sum_{i = 1}^{n} f(x_i^*)\\Delta x_i $$其中，f(f)是被积函数，f和f是积分的下限和上限。
3. 定积分的性质定积分具有以下几个基本性质：3.1 线性性质$$ \\int_{a}^{b}(c_1f(x) + c_2g(x))dx =c_1\\int_{a}^{b}f(x)dx + c_2\\int_{a}^{b}g(x)dx $$3.2 区间可加性$$ \\int_{a}^{b}f(x)dx + \\int_{b}^{c}f(x)dx =\\int_{a}^{c}f(x)dx $$3.3 固定上限与下限交换积分$$ \\int_{a}^{b}f(x)dx = -\\int_{b}^{a}f(x)dx $$3.4 积分上下限相同，结果为0$$ \\int_{a}^{a}f(x)dx = 0 $$4. 定积分的应用定积分在实际问题中具有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用。
4.1 曲线下面的面积定积分可以用于求解曲线下面的面积问题。
设函数f(f)在区间[f,f]上连续，则曲线f=f(f)和f轴所围成的图形的面积可以表示为：$$ S = \\int_{a}^{b}f(x)dx $$4.2 物体的质量和重心假设物体的质量分布在直线上，密度函数为$\\rho(x)$，物体的质量可以通过定积分来计算：$$ m = \\int_{a}^{b}\\rho(x)dx $$物体的重心可以通过下面的公式来计算：$$ \\bar{x} = \\frac{1}{m}\\int_{a}^{b}x\\rho(x)dx $$4.3 函数的平均值函数f(f)在区间[f,f]上的平均值可以通过定积分来计算：$$ \\bar{f} = \\frac{1}{b - a}\\int_{a}^{b}f(x)dx $$5. 总结本章介绍了定积分的定义、性质以及应用。
八年级数学第7章《三角形角的关系》题型讲解
(2) 探 究 ：小 明 认 为 如 果 条 件 ∠ B＝ 70° ， ∠ C＝ 30°改成∠B－∠C＝40°，也能得出∠DAE的 度数，你认为能吗？若能，请你写出求解过程； 若不能，请说明理由．
解：能．因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°， 所以∠BAC＝180°－∠B－∠C. 因为 AE 平分∠BAC， 所以∠BAE＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠C)＝ 90°－12(∠B＋∠C)．
_______.90°
(2)如图②，改变直角三角尺XYZ的位置，使三角尺XYZ 的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，那么 ∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说 明；若不变化，请求出∠ABX＋ ∠ACX的大小．
解：不变化． 因为∠A＝30°，所以∠ABC＋∠ACB＝150°. 因为∠X＝90°，所以∠XBC＋∠XCB＝90°， 所 以 ∠ ABX ＋ ∠ ACX ＝ (∠ABC － ∠ XBC) ＋ (∠ACB －∠XCB)＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠XBC＋∠XCB)＝ 150°－90°＝60°.
(2)∠D的度数． 解：因为 D 是外角∠ACH 与内角∠ABC 的平分线的交点， 所以∠DCH＝12∠ACH，∠DBC＝12∠ABC， 所以∠D＝∠DCH－∠DBC＝12(∠ACH－∠ABC)＝ 12∠A＝30°.
7．如图①，在折纸活动中，点D，E分别在AB，AC上，A 与 A′ 为 对 应 点 ， 则 ∠ 1 ， ∠ 2 与 ∠ A 的 关 系 是 __∠__1_＋__∠__2_＝__2_∠__A__；如图②，∠1，∠2，∠A的关系 是__∠__2_－__∠__1_＝__2_∠__A__．
2 ． 如 图 ， ∠ ACD 是 △ ABC 的 外 角 ， ∠ ABC 的 平 分 线 与 ∠ACD的平分线交于P点．
管理运筹学 第7章——运输问题
1 月份 2 月份 3 月份 4 月份 5 月份 6 月份
已知上年末库存103台绣花机，如果当月生产出来的机器当月不交货，则需要运 到分厂库房，每台增加运输成本0.1万元,每台机器每月的平均仓储费、维护费为 0.2万元。 在7-8月份销售淡季，全厂停产1个月，因此在6月份完成销售合同后还要留出库 存80台。加班生产机器每台增加成本1万元。 问应如何安排1-6月份的生产，可使总的生产费用（包括成本、仓储、维护）最 少？
7.1 运输规划问题的数学模型
产销不平衡的运输问题
例4. 由于需大于供，经院研究决定一区供应量可减少0~300吨，二区必须满足需
求量，三区供应量不少于1500吨，试求总费用为最低的调运方案（P131E4）。
山西盂县 河北临城 需要量 一区 1.80 1.60 3000 二区 1.70 1.50 1000 三区 1.55 1.75 2000 产量 4000 1500
例6. 解： 设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目：
把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第 j 季度交货 的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；成本加储存、维护等费用看作 运费。可构造下列产销平衡问题（P134E6）： 目标函数：Min f = 10.8 x11 +10.95 x12 +11.1 x13 +11.25 x14 +11.1 x22 + 11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44
例6. 解： 设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目：
生产：x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 25 x22 + x23 + x24 ≤ 35 x33 + x34 ≤ 30 x44 ≤ 10
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③ 如果没有一个地方是通奇数座桥的，则无论从哪里出发，
所要求的路线都能实现。
• 欧拉回路的判定规则为：
图中所有地方都通偶数座桥（图中所有节点的边均为偶
数）。根据判定规则可以得出，任一连通无向图存在欧拉回路 的充分必要条件是图的所有顶点均有偶数度 。 • 有向欧拉通路的判定规则： ① 图连通； ② 除两个节点外，其余节点的入度=出度；
将第一根柱子上的64个盘子借助第二根柱子全部移到第三根柱子
上，即将整个塔迁移，同时定下3条规则：
①每次只能移动一个盘子； ②盘子只能在三根柱子上来回移动，不能放在别处； ③在移动过程中，三根柱子上的盘子必须始终保持大盘在
下，小盘在上。
据说当这64个盘子全部移到第三根柱子上后，世界末日就 要到了。 汉诺塔问题是一个典型的用递归方法来解决的问题。递归 是计算机学科中的一个重要概念，它是将一个较大的问题归约为
塔求解问题。再由 1 个盘子的汉诺塔的解求出 2 个盘子的汉诺塔
……直到解出64个盘子的汉诺塔问题。
从左到右的柱子依次为A，B，C。移动时首先把上面n-1个盘 子移动到柱子C上，然后把最大的一块放在B上，最后把C上的所 有盘子移动到B上，由此可以得出移动n个盘子的次数H(n)表达式:
H(1) = 1
为已知数，如图7.6、7.7所示。从图中可以看到，可供选择的路
线共有6条，可以很快选出一条总距离最短的路线。
当城市数目为n时，那么组合路径数则为（n-1）！。很显然 ，当城市数目不多时要找到最短距离的路线并不难，但随着城 市数目的不断增大，组合路线数将呈阶乘级急剧增长，以至达 到无法计算的地步，这就是所谓的“组合爆炸问题”。假设现 在 城 市 的 数 目 增 为 20 个 ， 组 合 路 径 数 则 为 （ 20-1 ） ！ ≈ 1.216×1017 ，如此庞大的组合数目，若计算机以每秒检索
③ 1个节点的入度比出度大1，1个节点的入度比出度小1，或者
所有节点的入度=出度。 • 有向欧拉回路的判定规则： ① 图连通； ② 所有节点的入度=出度。
欧拉的论文为图论的形成奠定了基础。今天，图论已广泛 地应用于计算机科学、运筹学、信息论、控制论等科学之中，并 已成为我们对现实问题进行抽象的一个强有力的数学工具。随着 计算机科学的发展，图论在计算机科学中的作用越来越大，同时
欧拉不仅给出了哥尼斯堡七桥问题的证明，还将问题进行
了一般化处理，即对给定的任意一个河道图与任意多座桥，判
定可能不可能每座桥恰好走过一次，并用数学方法给出了3条判 定规则。 • 欧拉通路的判定规则： ① 如果通奇数座桥的地方不止两个，满足要求的路线是找不 到的； ② 如果只有两个地方通奇数座桥，可以从这两个地方之一出 发，找到所要求的路线；
城市且只能在每个城市逗留一次，最后回到原出发城市。问如何
事先确定好一条最短的路线，使其旅行的费用最少？
人们在考虑解决这个问题时，首先想到的最原始的一种方法
是：列出每一条可供选择的路线（即对给定的城市进行排列组合
），计算出每条路线的总里程，最后从中选出一条最短的路线。 假设现在给定4个城市分别为A、B、C和D，各城市之间的距离
面体投影到平面上，在图 7.3 中标出了一种走法，即从城市 1 出发
，经过2，3，…，20，最后回到1。
图7.3 周游世界示意图
“哈密尔顿回路问题”与“欧拉回路问题”看上去十分相 似，然而又是完全不同的两个问题。“哈密尔顿回路问题”是 访问每个结点一次，而“欧拉回路问题”是访问每条边一次。
对图G是否存在“欧拉回路”前面已给出充分必要条件，而对图
于排序和查找，我们对比较次数计数。空间由实施该算法所需的
最大内存来衡量。 算法M的复杂性是一个函ƒ(n)，它对于输人数据的规模n给
出运行该算法所需时间与所需存储空间。执行一个算法所需存储
空间通常就是数据规模的倍数。因此，除非特殊情况，“复杂性 ”将指运行算法的时间。
对于时间复杂性函数ƒ(n)，它通常不仅与输入数据的规模有 关，还与特定的数据有关。例如，在一篇英文短文中查找第一次 出现的3个字母的单词W。那么，如果W为定冠词“the”，则W
网络爬虫
网络爬虫是一个自动提取网页的程序。整个互联网中所有网 页构成的图中每一个网页URL作为一个结点。网络爬虫涉及图
论中经典的搜索算法，网页链接构成了节点之间边，整个万维
网可以看作一个图是网络爬虫的理论基础。
• 广度优先搜索 广度优先搜索策略是指在网页获取过程中，在完成当前层次 的搜索抓取后，再进行下一层次的搜索抓取。目前，为覆盖尽
G是否存在“哈密尔顿回路”至今仍未找到满足该问题的充分必 要条件。
中国油路问题 我国著名数学家管梅谷教授在1960年提出了一个有重要理论
意义和广泛应用背景的问题，被称为“中国邮路问题”。邮递
员要把信送往各地点，由于送信地点多、道路不好走、还要绕 过楼房，出发前需要设计一条送信路线，从邮局出发不但把信 送到每一个地点，而且路线不重复，最后回到邮局。这一问题 可以表示为图7.4，其中，“· ”代表送信地点，空白方格“□”
一个或多个子问题的求解方法，这些子问题比原问题简单，但在
性质上与原问题相同。
图7.5 汉诺塔问题示意图
按照这种思想要解决64个盘子的汉诺塔问题可以转化为63 个盘子的汉诺塔问题。依此类推，63个盘子的汉诺塔求解问题可 以转化为62个盘子的汉诺塔求解问题，62个盘子的汉诺塔求解问 题又可以转化为 61个盘子的汉诺塔求解问题直到 1个盘子的汉诺
C
A
B
D
图7.2 哥尼斯堡七桥问题示意图
为了解决哥尼斯堡七桥问题，欧拉用4个字母A、B、C、D
代表 4 个城区，并用 7 条线表示 7 座桥，如图 7.2 所示。图中，只 有4 个点和 7条线，这样做是基于该问题的本质考虑，抽象出问 题最本质的东西，忽视问题非本质的东西（如桥的长度等）， 从而将哥尼斯堡七桥问题抽象成为一个数学问题，即经过图中 每边一次且仅一次的回路问题。欧拉在论文中论证了这样的回 路是不存在的，后来，人们把有这样回路的图称为欧拉图，即 包含有经过所有边的简单生成回路的图称为欧拉图。
(n=1)
（7.1）
（7.2）
H(n) = 2*H(n-1)+1 (n>1)
那么就能得到H(n)的一般式（其中n为盘子数目）：
H(n) = 2n – 1
(n>0)
（7.3）
因此，要完成64个盘子的汉诺塔的搬迁，需要移动盘子的次 数为： 264-1 = 18446744073709551615 次。如果每次移动花费 一秒,这表明移完这些盘子需要 5845.54亿年以上，而地球存在至 今不过 45 亿年，太阳系的预期寿命据说是数百亿年。真的过了
，图论本身也得到了充分的发展。
首 页
7.2 计算机领域的典型问题
7.2.1 图论问题
哈密尔顿回路问题 在图论中除了欧拉回路以外，还有一个著名的“哈密尔顿回
路问题”。十九世纪爱尔兰数学家哈密尔顿(Hamilton)发明了一种
叫做周游世界的数学游戏。它的玩法是：给你一个正十二面体， 它有二十个顶点，把每个顶点看作一个城市，把正十二面体的三 十条棱看成连接这些城市的路。请你找一条从某城市出发，经过 每个城市恰好一次，并且最后回到出发点的路线。我们把正十二
─ 对于这一问题，可以采用以下几步来解决： ① 图论建模：由于街道是双向通行的，可以把它看成是赋权无 向连通图，将路口抽象为点，街道抽象为边，街道的长度就
是每条边的权值，问题转化为在图中求一条回路，使得回路
的总权值最小。最理想的情况：若图中有欧拉回路，即可通 过所有的边，因此任何一个欧拉回路即为此问题的解。
目 录
7.2.2 算法复杂性问题 7.2.2 算法复杂性问题
汉诺塔问题
传说在古代印度的贝拿勒斯神庙里安放了一块黄铜座，座上竖 有三根宝石柱子。在第一根宝石柱上，按照从小到大、自上而下 的顺序放有 64 个直径大小不一的金盘子，形成一座金塔，如图 7.5所示，即所谓的汉诺塔（又称梵天塔）。天神让庙里的僧侣们
要的促进作用。本章将从图论问题、算法复杂性问题、机器智能
问题、并发控制问题和分布式计算进行分析。
目录
7.1 问题求解的一般过程
7.2 计算机领域的典型问题
7.2.1 图论问题 7.2.2 算法复杂性问题 7.2.3 计算智能问题 7.2.4 并发控制问题
7.2.5 分布式计算问题
7.1 问题求解的一般过程
1000万条路线的速度计算，也需要花上386年的时间。
算法复杂性分析与难解性问题 算法分析是计算机科学的一项主要工作。为了进行算法比较 ，我们必须给出算法效率的某种衡量标准。假设M是一种算法， 并设n为输入数据的规模。实施 M 所占用的时间和空间是衡量该 算法效率的两个主要指标。时间由“操作”次数衡量。比如，对
定义：问题求解是一个发现问题、分析问题，最后导向问题 目标与结果的过程，一般包括提出问题、明确问题、提出假
设、检验假设四个基本步骤。欧拉回路问题就是一个典型的
问题求解过程。 哥尼斯堡七桥问题：18世纪中叶，当时东普鲁士有一座哥尼
斯堡（ Konigsberg ）城，城中有一条贯穿全市的普雷格尔（
完七桥，最后回到出发地点？即寻找走遍这7座桥，且只许走过 每座桥一次，最后又回到原出发点的路径。试验者都没有解决 这个难题。1736年，瑞士数学家列昂纳德· 欧拉（L.Euler）发表 图论的首篇论文，论证了该问题无解，即从一点出发不重复地 走遍七桥，最后又回到原来出发点是不可能的。他论证所用的 图为图 7.2 所示。后人为了纪念数学家欧拉，将这个难题称为 “哥尼斯堡七桥问题”。
表示两个送信地点之间必须经过的区域，行走时不能走对角。
该问题归结为图论问题就是：给定一个连通无向图（没有孤立 的点），每条边都有非负的确定长度，求该图的一条经过每条 边至少一次的最短回路。