导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中的应用

【自主归纳，自我查验】

一、自主归纳

1．利用导函数判断函数单调性问题

函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与其导数的正负有如下关系

(1)若____ ___，则f (x )在这个区间上是增加的．

(2)若____ ___，则f (x )在这个区间上是减少的．

(3)若_____ __，则f (x )在这个区间内是常数．

2．利用导数判断函数单调性的一般步骤

(1)求f ′(x )．

(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.

(3)根据结果确定f (x )的单调区间．

3．函数的极大值

在包含0x 的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都_____0x 点的函数值，称点0x 为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (0x )为函数的极大值．

4．函数的极小值

在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都_____0x 点的函数值，称点0x x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (0x )为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值点与极小值点统称为极值点．

5．函数的最值与导数

1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值点0x 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f (0x )．

2．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最小值点0x 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f (0x )．

二、自我查验

1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( )

A ．(0，＋∞)

B ．(－∞，0)

C ．(－∞，0)和(0，＋∞)

D ．R

2．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________．

3.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

4．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 等于( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

5.函数ln x y x =的最大值为（ ）

A ．1e -

B ．e

C ．2e

D ．10

3

【典型例题】

考点一 利用导数研究函数的单调性

【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．

(1)讨论f (x )的单调性；

(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．

【变式训练1】已知()3222f x x ax a x =+-+．

（1）若1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；

（2）若0a >，求函数()f x 的单调区间．

考点二 利用导函数研究函数极值问题

【例2】已知函数()ln 3,f x x ax a =-+∈R .

（1）当1a =时，求函数的极值；

（2）求函数的单调区间.

【变式训练2】(2011·安徽)设f (x )＝e x

1＋ax 2，其中a 为正实数.当a ＝43时，求f (x )的极值点；

考点三 利用导函数求函数最值问题

【例3】已知a 为实数，.

（1）求导数；

（2）若，求在[]2,2-上的最大值和最小值.

【应用体验】

1.函数ln y x x =-的单调递减区间为（ ）

A ．](1,1-

B ．)(0,+∞

C ．[)1,+∞

D ．](0,1 ()))(4(2a x x x f --=()x f '()01=-'f ()x f