江西财经大学线性代数历年试卷

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江西财经大学
2009－2010学年第二学期期末考试试卷
试卷代码：03043 C 授课课时：48 考试用时：150分钟 课程名称：线性代数 适用对象：本科
试卷命题人 何明 试卷审核人 盛积良 ［请注意：将各题题号及答案写在答题纸上，写在试卷上无效］ 一、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分。

）不写解答过程。

1. 行列式1
11111
11---x 的展开式中x 的系数是_________；
2. 已知3阶矩阵A 的特征值为0，1，2，则=+-E A A 752__________；
3. 向量组)0,0,1(),1,1,1(),1,1,0(),1,0,0(4321====αααα的秩为______；
4. 设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=12032211t A ，若3阶非零方阵B 满足0=AB ，则=t ；
5. 设3阶可逆方阵A 有特征值2，则方阵12)(-A 有一个特征值为_________。

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸相应位置处。

答案错选或未选者，该题不得分。

每小题3分，共15分。

） 1. A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是【 】
A .若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵；
B .若A 不是可逆矩阵，则*A 也不是可逆矩阵；
C .若0||*≠A ，则A 是可逆矩阵；
D .A
E AA =||*。

2. 设⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=33
3
222
111c b a c b a c b a A ，若⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=33
3
222
11
1b c a b c a b c a AP ，则P =【 】 A . ⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛010100001； B .
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛010001100；
_
C . ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛001010100； D .
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛010100000. 3. n m >是n 维向量组m ααα,,,21 线性相关的【 】
.A 充分条件 .B 必要条件 .C 充分必要条件
.D 必要而不充分条件
4．设321,,ααα是0=Ax 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示为【 】
A ．321,,ααα的一个等价向量组； B. 321,,ααα的一个等秩向量组； C. 321221,,αααααα+++； D. 133221,,αααααα---.
5. s ααα,,,21 是齐次线性方程组0=AX (A 为n m ⨯矩阵)的基础解系，则=)(A R 【 】 A ．s B ．s n - C ．s m - D ．s n m -+
三、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。

本题10分）。

计算行列式a
a a a ++++432143214
3214
321
四、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。

本题10分）。

求解矩阵方程
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==+350211,101111010,B A X B AX 其中.
五、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。

本题10分）。

已知⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=25
0038000012
0025
A ，求||8A 及*A 。

六、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。

本题10分）
_
设向量组T T T T b a )1,3,2(,)1,2,1(,)3,,2(,)1,3,(4321====αααα的秩为2，求b a , 求该向量组的秩和它的极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。

七、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。

本题10分） 根据参数的取值，讨论线性方程组解的情况，并求解线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+-+=+-+=++-k
x x x x x x x x x x x x 4321
43214321114724212 八、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。

本题10分）
设1=λ是矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=10410213t A 的一个特征向量。

（1） 求参数t 的值；
（2） 求对应于1=λ的所有特征向量。

九、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） (1) 设B A ,都是n 阶矩阵，且A 可逆，证明AB 与BA 相似；
(2) 设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=，证明向量组4321,,,b b b b 线性相关。

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江西财经大学
2009－2010学年第二学期期末考试试卷答案
试卷代码：03043 C 授课课时：48 考试用时：150分钟 课程名称：线性代数 适用对象：本科
试卷命题人 何明 试卷审核人 盛积良 ［请注意：将各题题号及答案写在答题纸上，写在试卷上无效］ 一、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分。

）不写解答过程。

1. 2；
2. 21；
3. 3；
4.-4；
5.1/4。

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸相应位置处。

答案错选或未选者，该题不得分。

每小题3分，共15分。

） 1. D 2.A 3. A 4.C 5. B
三、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。

本题10分）。

分
（分
（分（分
（分
10)10800000
0)1060000
000004
321)
104432
1
4321
4
3
214321
)
10243
2
104321043210432104321
4321432143213-------------------------------------------+=----------------------------------------+=--------------------------------------+=--------------------------------++++=------------------+++++++=++++a a a
a a a a a a a a
a a
a a
a a a a
a a a a a a
四、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。

本题10分）。

求解矩阵方程
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==+350211,101111010,B A X B AX 其中.
解：由X B AX =+得
B X I A B AX -=-⇒-=-)(X -------------------------------------------------2分
可逆所以A I A ,032
011010
11||≠-=----=------------------------------------------------------------------4分
⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-------=--350211*********)|(B I A 做行初等变换
-------------------------------------------------------5分
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→111111100110011331111300110011241111210110011----------------------8分
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→110213100010001110213100010001------------------------------------------------------------10分
五、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。

本题10分）。

已知⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=25
0038000012
0025
A ，求||8A 及*A 。

解
：
1112
53
81225||=⨯==
A ----------------------------------------------------------------------------------2分
||8A =11||8==A --------------------------------------------------------------------------------------------------5分
3
*||A A =------------------------------------------------------------------------------------------------------------7分
方
法
二
：
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=85003
200005200
21*A --------------------------------------------------------------------------7分 8
53
25221||*----=
A =1-------------------------------------------------------------------------------------10分
六、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。

本题10分）
设向量组T T T T b a )1,3,2(,)1,2,1(,)3,,2(,)1,3,(4321====αααα的秩为2，求b a , 求该向量组的秩和它的极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。

解
：
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1131323212b a A 做
行
初
等
变
换
-----------------------------------------------------------------------------2分
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→a a a b a b 2132001901131
2123231131------------------------------------------------------------------4分 R
（
A
）
=2
，
说
明
最
后
两
行
对
应
成
比
例
，
得
5,2==b a -------------------------------------------------------5分
将5,2==b a 代入得
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→000004/11014/101000004/1101131014001401131A ---------------------------------------------8分
所以有极大无关组为
21,αα------------------------------------------------------------------------------------------9分
且
14213,4
141ααααα=+=-----------------------------------------------------------------------------------------10分
七、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。

本题10分） 根据参数的取值，讨论线性方程组解的情况，并求解线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+-+=+-+=++-k
x x x x x x x x x x x x 4321
43214321114724212 解
：
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---532000073504121211147141211112k k ------------------------------------------------------3
分 当
5=k 时，有无穷多解，当5≠k 时，无解。

----------------------------------------------------------------5分 当5=k 时，代入得
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----05/35/400005/75/3105/65/10105/3200005/75/3104121032000073504121--------------------8
分
所以通解为R k k k k X T T T ∈--+-+=2121,,)1,0,5/7,5/6()0,1,5/3,5/1()0,0,5/3,5/4( 或
R k k k k X T T T ∈--+-+=2121,,)5,0,7,6()0,5,3,1()0,0,5/3,5/4(---------------------------10分
八、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。

本题10分）
设1=λ是矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=10410213t A 的一个特征值。

（2） 求参数t 的值；
（2） 求对应于1=λ的所有特征向量。

解
：
1
=λ是特征值，所以有
0=-=-A I A I λ-----------------------------------------------------------2分
由于
04202
12=--=-t A I ，所以t 可取任意实数
--------------------------------------------------------5分 解
0)(=-X A I -----------------------------------------------------------------------------------------------------6分
得基础解系
T )1,2,0(---------------------------------------------------------------------------------------------8分
所
以
特
征
向
量
为
0,)1,2,0(≠=k k T α--------------------------------------------------------------------------10分
九、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） (1) 设B A ,都是n 阶矩阵，且A 可逆，证明AB 与BA 相似；
证明：要证AB 与BA 相似，即要证存在可逆矩阵P ，使得BA P AB P =-)(1---------------2分 由
题
意
知
，
A 可逆，又有
BA A AB A =-)(1---------------------------------------------------------------4分
所以有AB 与BA 相似；
(2) 设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=，证明向量组4321,,,b b b b 线性相关。

方法一：观察可得4231b b b b +=+，所以有4321,,,b b b b 线性相关。

---------------------------------5分
方法二：
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=11
0001100011
1001),,,(),,,(43214321a a a a b b b b ------------------------------------------------------2分 又
有
01100011000111001
=⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛---------------------------------------------------------------------------------------------3分
根据
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛≤11
0001100011
1001
),,,(4321R b b b b R 知，
3),,,(4321≤b b b b R -----------------------------------------4分
所以有4321,,,b b b b 线性相关。

江西财经大学
2011－2012学年第一学期期末考试试卷
试卷代码：03043A 授课课时：48 考试时长：110分钟
课程名称：线性代数 适用对象：全校
试卷命题人 何明 试卷审核人：盛积良
一、填空题（将答案写在答题纸的相应位置，不写解答过程。

每空3分，共21分）
1、设行列式322211211==a a a a D ，则=+-+-=22
212112
111112323a a a a a a D 。

2、设A 是三阶方阵，且3
1
=
A ，则=-1)3(A 。

3、 设
B A ,是三阶方阵，E 是三阶单位阵，2=A 且022=++E AB A ，则=+B A _
____。

4、已知向量T T k ),5,2,1(,)3,1,1,2(-==βα，且向量βα,正交，则=k __________.
5．四阶行列式
4
4
3322110
000
00a b a b b a b a =_______________. 6. 已知矩阵⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=110100110000110
00011
00101A ，则=)(A R ______________.
7. 三阶方阵A 的特征值为2,1.1-，则2332A A B -=的特征值为_____________.
二、选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸的相应位置。

答案选错或未选者，该题不得分。

每小题3分，共24分。

） 1．设A ，B 均为n 阶方阵，且0)(=-E B A ，则（ ） (A) 0=A 或E B = (B) 0=A 或0=-E B (C) 0=A 或1=B
(D) BA A =
_
2. 设A 是n 阶方阵，且02=A ，则（ ） (A) 0与210都不是A 的特征值；
(B) 0是A 的特征值，210不是A 的特征值； (C) 0与210都是A 的特征值；
(D) 0不是A 的特征值，210不能判断是否A 的特征值。

3. 已知方程组b AX =对应的齐次线性方程组为0=AX ，则（ ） (A) 若0=AX 只有零解，则b AX =一定是唯一解； (B) 若0=AX 有非零解，则b AX =一定有无穷多解； (C) 若b AX =有无穷解，则0=AX 一定有非零解； (D) 若b AX =有无穷解，则0=AX 一定只有零解； 4、若A 是n 阶方阵，且0=A ，则A 中（ ）
(A) 必有一列元素全为0 (B)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (C) 必有两列成比例 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合
5、设P A ,为可逆方阵，下列矩阵中必与矩阵A 有相同的特征值的是（ ） (A) E A +
(B) AP P T (C) E A -
(D) AP P 1-
6、设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，则（ ） (A) 当n m >时，必有行列式0≠AB ； (B) 当n m >时，必有行列式0=AB ； (C) 当m n >时，必有行列式0≠AB ； (D) 当m n >时，必有行列式0=AB 。

7、向量组s ααα,,,21 线性无关的充要条件是（ ） (A) s ααα,,,21 均不为零向量；
(B) s ααα,,,21 中任意两个向量的分量不对应成比例；
(C) s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表示； (D) s ααα,,,21 中有一部分向量线性无关。

8、设αααT E A 2),0,2
1
,0,21(-=-=，则2A =（ ）
(A) A (B) E (C) ααT E 2-
(D) ααT E -
三、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题5分）
计算行列式d
c b a 1
110011001---的值.
四、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
求解矩阵方程⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--11
201
1
111
01
1220
111X 五、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
求向量组的最大无关组，并用极大无关组表示其余向量
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4592,1423,0315,20414321αααα
六、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
求解非齐次线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧-=-+-=+--=++-2
24321
321321x x x x x x x x x 七、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
已知矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=022202220A ，求特征值与特征向量。

八、证明题（要求在答题纸相应位置上写出详细证明过程，每小题5分，共10分）
（1）求证：任意)
m 个n维向量必定线性相关。

m
(n
（2）证明实对称矩阵的特征值都是实数。

江西财经大学
2011－2012学年第一学期期末考试试卷
试卷代码：03043A 授课课时：48 考试时长：110分钟
一、填空题（将答案写在答题纸的相应位置，不写解答过程。

每空3分，共21分）
1、设行列式322211211==a a a a D ，则=+-+-=22
212112
111112323a a a a a a D 6 。

2、设A 是三阶方阵，且3
1
=
A ，则=-1)3(A 1/9 。

3、 设
B A ,是三阶方阵，E 是三阶单位阵，2=A 且022=++E AB A ，则=+B A _ -4
____。

4、已知向量T T k ),5,2,1(,)3,1,1,2(-==βα，且向量βα,正交，则=k ___-5/3____.
5．四阶行列式
4
4
332211
000
00a b a b b a b a =____))((32324141b b a a b b a a --___________. 6. 已知矩阵⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=110100110000110
00011
00101A ，则=)(A R ___5____.
7. 三阶方阵A 的特征值为2,1.1-，则2332A A B -=的特征值为__-5,-1,_4_.
二、选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸的相应位置。

答案选错或未选者，该题不得分。

每小题3分，共24分。

） 1．设A ，B 均为n 阶方阵，且0)(=-E B A ，则（ B ） (A) 0=A 或E B = (B) 0=A 或0=-E B (C) 0=A 或1=B
(D) BA A =
2. 设A 是n 阶方阵，且02=A ，则（ B ）
(A) 0与210都不是A 的特征值；
_
(B) 0是A 的特征值，210不是A 的特征值； (C) 0与210都是A 的特征值；
(D) 0不是A 的特征值，210不能判断是否A 的特征值。

3. 已知方程组b AX =对应的齐次线性方程组为0=AX ，则（ C ） (A) 若0=AX 只有零解，则b AX =一定是唯一解； (B) 若0=AX 有非零解，则b AX =一定有无穷多解； (C) 若b AX =有无穷解，则0=AX 一定有非零解； (D) 若b AX =有无穷解，则0=AX 一定只有零解； 4、若A 是n 阶方阵，且0=A ，则A 中（ B ）
(A) 必有一列元素全为0 (B)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (C) 必有两列成比例 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合
5、设P A ,为可逆方阵，下列矩阵中必与矩阵A 有相同的特征值的是（ D ） (A) E A +
(B) AP P T (C) E A -
(D) AP P 1-
6、设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，则（ B ） (A) 当n m >时，必有行列式0≠AB ； (B) 当n m >时，必有行列式0=AB ； (C) 当m n >时，必有行列式0≠AB ； (D) 当m n >时，必有行列式0=AB 。

7、向量组s ααα,,,21 线性无关的充要条件是（ C ） (A) s ααα,,,21 均不为零向量；
(B) s ααα,,,21 中任意两个向量的分量不对应成比例；
(C) s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表示；
(D) s ααα,,,21 中有一部分向量线性无关。

8、设αααT E A 2),0,2
1
,0,21(-=-=，则2A =（ A C ）
(A) A (B) E (C) ααT E 2-
(D) ααT E -
三、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题5分）
计算行列式d
c b a 1
110011001---的值.
四、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
求解矩阵方程⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--11
201
1
111
01
1220
111X 五、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
求向量组的最大无关组，并用极大无关组表示其余向量
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4592,1423,0315,20414321αααα
六、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
求解非齐次线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧-=-+-=+--=++-2
24321
321321x x x x x x x x x 七、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
已知矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=022202220A ，求特征值与特征向量。

八、证明题（要求在答题纸相应位置上写出详细证明过程，每小题5分，共10分）
（1）求证：任意)(n m m >个n 维向量必定线性相关。

（2）证明实对称矩阵的特征值都是实数。

江西财经大学
2011－2012学年第一学期期末考试试卷
试卷代码：03043C 授课课时：48
考试时长：110分钟
课程名称：线性代数 适用对象：全校
试卷命题人 何明 试卷审核人：盛积良
一、填空题（将答案写在答题纸的相应位置，不写解答过程。

每空3分，共21分） 1、设21321,,,,ββααα都是4维列向量，且4阶行列式,2,,,1321=βααα，,3,,,3221=αβαα则4阶行列式=+)(,,,21321ββααα 。

2、设A 是n 阶方阵，*A 为其伴随矩阵，2
1=
A 则=--*115)41
(A A 。

3、齐次线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=++=++02030
32321321x kx x x x x kx x 只有零解，则k 满足的条件是 ____。

4、已知向量T T k ),5,2,1(,)1,3,2,1(-==βα，且向量βα,正交，则=k __________.
5、n 维单位向量组n εεε,,,21 均可由向量组s ααα,,,21 线性表出，则向量个数n 和s 满足关
系_________.
6、设n 阶矩阵A 及m 阶矩阵B 都可逆，则=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1
00
B
A ___________.
7、A 是45⨯矩阵，⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛--==50110306002
00001
,4)(B A R ，则=)(AB R ___________.
二、选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸的相应位置。

答案选错或未选者，该题不得分。

每小题3分，共24分。

）
1．设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则)0()(1≠-k kA 必有一个特征值是（ ） (A)
01
λk
(B)
1λk
(C) 0λk
(D)
λk
2. 设T T )1,1,0(,)2,0,1(21-==αα都是线性方程组0=AX 的解，则A =（ ）
(A) )1,1,2(- (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110102 (C) ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--110201 (D) ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---110224110 3. 设A 是n m ⨯矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是系数矩阵的秩)
(A r （ ） (A) m A r <)( (B) n A r <)( (C) m A r =)( (D) n A r =)(
4、当λ=（ ）时，矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=8638242
1λλ
A 的秩为1 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5、n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是（ ） (A) 矩阵A 有n 个特征值
(B) 矩阵A 的行列式0≠A
(C) 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量 (D) 矩阵A 的秩等于n 6、设A 为n 阶方阵，且A A 22=，则未必有（ ）
(A) A 可逆 (B) E A -可逆 (C) E A 2-可逆 (D) E A 3-可逆 7、若B 、A 是等价的n 阶矩阵，则矩阵B 、A 一定满足（ ）
(A) 特征值相等 (B)秩相等 (C) 行列式相等 (D) 逆矩阵相等 8、n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值，是矩阵A 与对角矩阵相似的（ ） (A) 充分必要条件
(B)充分而非必要条件
(C) 必要而非充分条件 (D)既非充分也非必要条件
三、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题5分）
计算行列式
7
1
1
0228
2
021
4214
的值. 四、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
求解矩阵方程⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-312013
25
1302
1230
201X 五、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
求向量组的最大无关组，并用极大无关组表示其余向量
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4403,4270,2312,21214321αααα
六、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
求解非齐次线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=++-=++-=++-=++-11
109489
873676524543124
321432143214
321x x x x x x x x x x x x x x x x
七、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
已知矩阵⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=000200300300
2000A 求矩阵A 的特征值与特征向量。

八、证明题（要求在答题纸相应位置上写出详细证明过程，每小题5分，共10分）
（1）已知n 阶矩阵A 满足0232=+-I A A ，求证A 可逆，并求1-A 。

（2）设A 为实对称矩阵，则A 对应于互异特征值的特征向量必定正交。

江西财经大学
2011－2012学年第一学期期末考试答案
试卷代码：03043C 授课课时：48
考试时长：110分钟
课程名称：线性代数 适用对象：全校
试卷命题人 何明 试卷审核人：盛积良
一、填空题（将答案写在答题纸的相应位置，不写解答过程。

每空3分，共21分） 1、1-
2、22
7()21
()7(1⋅-=--n
n n ）
3、2
1≠
k
4、12-=k
5、s n ≤
6、⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--001
1A B 7、4)(=AB R
二、选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸的相应位置。

答案选错或未选者，该题不得分。

每小题3分，共24分。

）
1．B 2. A 3. D 4. D 5. C 6. A C 7. B 8.B 三、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题5分）
分
分
518
8
2
459)1(711
820
4590
)1(37
1
1
820
427
)1(711
0820020214270711
022*********--------=---=---=-----------=----=
四、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
求解矩阵方程⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-31
2013
251302
1230
201
X
解：由于⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-251302
1230
201，可逆，所以有 1
1
251331201302
123
201
--⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=X --------------------------------4分
计算得⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
----=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---3512
2513231
2
311132202
1230
201
1
1
，------8分
所以得
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
----=1831
14243661
3512312013
231
2
3111
322X ------10分
五、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
求向量组的最大无关组，并用极大无关组表示其余向量
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4403,4270,2312,21214321αααα
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--→
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=0000310012103021000012106730302144224231071230
21A -----4分 ⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛--→000
03100501013001 ------8分 最大无关组为321,,ααα。

且有32143513αααα--= -------10分
六、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
求解非齐次线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=++-=++-=++-=++-11
109489
873676524543124
321432143214
321x x x x x x x x x x x x x x x x
解:
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛----96
3
06420032100
543121110
9
4
8987367652454312 -----------3分
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛---
→⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝
⎛-→00
0000003210021021100
0000003210054312 ------------7分
通解为
R
k k k k X ∈⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-+
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121,030212010012/1 -----------10分
七、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题10分）
已知矩阵⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=000200300300
2000A 求矩阵A 的特征值与特征向量。

解：)3)(3)(2)(2(0
2
3003
0200
-+-+=----=
-λλλλλ
λλλ
λA I ------------5分
所以矩阵的特征值为3,2,2,3-- -------------6分 对应于3-=λ的特征向量是0,)0,1,1,0(11≠-k k T -------------7分 对应于2-=λ的特征向量是0,)1,0,0,1(22≠-k k T -------------8分 对应于2=λ的特征向量是0,)1,0,0,1(33≠k k T -------------9分 对应于3=λ的特征向量是0,)0,1,1,0(11≠k k T -------------10分
八、证明题（要求在答题纸相应位置上写出详细证明过程，每小题5分，共10分）
（1）已知n 阶矩阵A 满足0232=+-I A A ，求证A 可逆，并求1-A 。

证明：I I A A I A A 2)3(0232-=-⇒=+- -------------3分 所以A 可逆，且I A I A A 2
3
2231+-=--=
-
-------------5分
（2）设A 为实对称矩阵，则A 对应于互异特征值的特征向量必定正交。

证明：设不同特征值为21,λλ，对应特征向量为βα, βλβαλα21,
==A A
--------------2分
所以有βλαβααλβαβ21,T T T T A A ==
--------------4分
即0)(2121=⇒-⇒=βαβαλλβλααλβT T T T ，βα,正交 ----------------5分。