问题已知双曲线的渐近线方程,其对应的双曲线方程是唯一的吗若

双曲线的渐近线

问题1：双曲线渐近线的理解

在双曲线的几何性质中，渐近线是双曲线所特有的性质，因此学好双曲线的渐近线对学习双曲线的几何性质有很大的帮助。在学习这部分内容时，应注意：

（1）明确双曲线的渐近线是哪两条直线。过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线。画双曲线时，应先画出它的渐近线。

（2）理解“渐进”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的。也可以这样理解：当双曲线上的动点M 沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0。

问题2：双曲线渐近线的斜率a

b

±，与离心率e 存在着怎样的数量关系？由此，你发现了离心率e 的双曲线张口大小有何影响？

答：1|tan |2-==

e a b α，e 越大，a

b

也越大，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，由此可知，双曲线的离心率越大，它的张口越大。

问题3：根据双曲线的标准方程怎样尽快正确地写出渐近线方程 答：根据双曲线的标准方程写出渐近线方程的方法有两种：

（1）画出以实轴长，虚轴长为邻边的矩形，写出其对角线方程，特别要注意对角线的斜率的确定。 （2）如果给出的双曲线方程为――将双曲线标准方程等号右边的1改为0，即得双曲线的渐近线方程，再由此推出y=kx 的形式。如：

12

222=-b y a x （a>0,b>0），其渐近线方程为x a b

y ±=，

12

222=-b

x a y （a>0,b>0），其渐近线方程则为x b a

y ±=。 从某种意义上说，当双曲线的两个焦点无限靠近时，双曲线退化成它的渐近线。

问题3：已知双曲线的渐近线方程，其对应的双曲线方程是唯一的吗？若不是，它们有何共同特点，请用曲线系方程表示。

答：双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程是x a b y ±=，但是以x a b

y ±=为渐近线的双曲线方程不一定

是12222=-b y a x ，而可以是)0(2222≠=-λλb

y a x 。所以x a b

y ±=为渐近线的双曲线，焦点可以在x 轴上

)0(>λ，也可以在y 轴上)0(<λ，而且有无数多个。类似直线系方程这些双曲线称为共渐近线的双曲线

系。

根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程的方法具体的例子。

例1：求与双曲线

11692

2=-y x 有共同的渐近线，并且过点A （28,6）的双曲线的方程。 解法1：由于双曲线的方程是116922=-y x ，所以其渐近线的方程是x y 3

4±=，容易判断点A （28,6）

在直线x y 34

=的上方，故所求双曲线的焦点在y 轴上，所以设双曲线的方程是12222=-b

x a y 。

根据已知条件有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=1

1283634

2

2a b b a ，解得642=a ，362

=b 。所以所求双曲线方程是

1366422=-x y 。 解法2：实际上，与双曲线

116922=-y x 有共同渐近线的双曲线方程都可以表示t y x =-16

92

2（0≠t ）的形式。

当0>t 时，所求双曲线的焦点在x 轴上，这时其渐近线方程是x x t

t

y 34

34±=±

=；

当0

1)

(9)(162

2=---t x t y ，其渐近线方程是x x t

t

y 3434±=--±

=。

所以，可设双曲线方程是

t y x =-16

92

2。 由于点A （28,6）在双曲线上，所以有t =-16128

936，

∴4-=t 。故所求双曲线方程是1366422=-x y 。 结论1：与双曲线12222=-b y a x 有共同渐近线的双曲线的方程可表示为t b y a x =-22

22（0≠t ，R t ∈）。

结论2：若双曲线的渐近线方程是x a b

y ±=【或 a x ± b y = 0】，则双曲线的方程可表示为t

b

y a x =-2222（0≠t ，R t ∈）【或 a 2x 2 - b 2y 2 = k 】。（可以先变形为

0=±b

y

a x ，这样就与结论1一致了） 例2．求以2x ±3y=0为渐近线，且经过点（1，2）的双曲线方程 解法一，当x=1时，代入渐近线方程x y 3

2

=

，得232y <=。 ∴ 点（1，2）一定在2x-3y=0的上方，∴ 双曲线的实轴所在的坐标轴一定是y 轴

可设方程为12222=-b x a y ，其渐近线方程为0,02222=⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-a y b x a y b x b x a y

∴

23=a b ∴a b 23= ① 又 ∵（1，2）在双曲线上，∴ 11

422=-b

a ②

① 代入② 8,932,14

91422

2

2

==∴=-b a

a

a

∴ 所求双曲线方程为1893222=-x y 解法二：方程4x 2

-9y 2=λ，是所有渐近线方程为032=±y x 的双曲线系方程，即共渐近线方程，因为

（1，2）点适合此方程 ∴ 4-36=λ，∴ λ=-32

∴ 方程为4x 2-9y 2=-32，即189

322

2=-x y 问题4：你能发现双曲线的渐近线有哪些特殊的性质？等轴双曲线的渐近线、共轭双曲线（实轴与虚轴对换）的渐近线有何特点？双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离与那个基本几何量有关？（b ） 与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线交点有几个？

答：（1）等轴双曲线(即实轴和虚轴等长的双曲线)，其渐近线方程为x ±y=0，它们互相垂直，且平分双曲线实轴和虚轴所成的角，离心率为2。

（2）共轭双曲线：双曲线122

22=-b y a x 与双曲线12222=-a

x b y （a>0,b>0）实轴与虚轴对换。

它们有相同的渐近线，是互为共轭的，课外参考书称为共轭双曲线。它们的四个焦点共圆，且它们的离心率21,e e ，满足

22

2111e e +=1。 （3）从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴的长b 。利用数形结合Rt △O E A 2≌RT △OH 2F |2F H|=|E A 2|=b

（4）与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线交点有几个？

解：设双曲线12222=-b y a x （a>0,b>0）直线)0(≠+=m m x a b y 代入得1)(12

222=+-m x a

b b a x ，化简得

x=mb

m b a 2)

(22-+

仅有一解，即双曲线与直线仅有一个交点，但并非切线！