数学竞赛专题讲座七年级第5讲-计算—工具与算法的变迁(含答案)

第五讲 计算——工具与算法的变迁

研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的算盘、

纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算．

初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有： 1．巧用运算律； 2．用字母代数； 3．分解相约； 4．裂项相消； 5．利用公式； 6．加强估算等．

“当今科学活动可以分成理论、实验和计算三大类，科学计算已经与理论研究、科学实验一起，成为第三种科学方法．——威尔逊

注：威尔逊，著名计算物理学家，20世纪80年代诺贝尔奖获得者．

【例1】 现有四个有理数3，4，6-，l0，将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算式有：

(1) ；(2) ；(3) ． (浙江省杭州市中考题) 思路点拨 从24最简单的不同表达式人手，逆推，拼凑．

链接： 今天，计算机泛应用于社会生活各个方面，计算机技术在数学上的应用，不但使许多繁难计算

变得简单程序化，而且还日益改变着我们的观念与思维． 著名的计算机专家沃斯说过：“程序=算法十数据结构”． 有理数的计算与算术的计算有很大的不同，主要体现在： (1)有理数的计算每一步要确定符号； （2）有理数计算常常是符号演算；

(3)运算的观念得以改变，如两个有理数相加，其和不一定大于任一加数；两个有理数相减，其差不一定小于被减数．

程序框图是一种用规定、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形，能清晰地展现算法的逻辑结构，常见的逻辑结构有：顺序结构、条件结构和循环结构．

【例2】 如果4个不同的正整数q p n m 、、、满足4)7)(7)(7)(7(=----q p n m ，那么，q p n m +++等于( )．

A ．10

B ．2l

C ．24

D ．26

E ．28 (新加坡数学竞赛题) 思路点拨 解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式． 【例3】 计算： (1)100

321132112111+++++++++++

； (“祖冲之杯”邀请赛试题) (2)19492

—19502

+19512

—19522

+…+19972

—19982

+19992

(北京市竞赛题) (3)5+52+53+…十52002

．

思路点拨 对于(1)，首先计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手；(2)式使人易联想到平方差公式，对于(3)，由于相邻的后一项与前一项的比都是5，可从用字母表示和式着手．

链接：裂项常用到以下关系式： （1）

b

a a

b b a 1

1+=+； （2）

11

1)1(1+-=+a a a a ；

（3）

b

a a

b a a b +-=+1

1)(．

运用某些公式，能使计算获得巧解，常用的公式有： （1）))((2

2

b a b a b a -+=-； （2）2

)

1(321+=

++++n n n ． 错位相减、倒序相加也是计算中常用的技巧．

【例4】(1)若按奇偶分类，则22004+32004+72004+92004

是 数；

(2)设553=a ，444=b ，33

5=c ，则c b a 、、的大小关系是 (用“>”号连接)； (3)求证：32002

+42002

是5的倍数．

思路点拨 乘方运算是一种特殊的乘法运算，解与乘方运算相关问题常用到以下知识：①乘方意义；②乘方法则；③02≥n

a

；④n a 与a 的奇偶性相同；⑤在r k n +4中(k ，r 为非负整

数，0≠n ，0≤r <4)，当r =0时，r

k n +4的个位数字与n 4

的个位数字相同；当0≠r 时，?

r k n +4的个位数字与r n 的个位数字相同．

【例5】有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法），每次加法，将上次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：

（1）证明：可以得到22； （2）证明；可以得到222

97100

-+．

思路点拨 （1）试值可以得到22，从计算中观察得数的规律性，为（2）做准备；（2）连续地运用同一种运算以获得高次，在进行适当的变换可以求解．

【例6】（1）已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，0

2005

20042003)()(e d c ab -+--的值为__________． (第19届江苏省竞赛题)

（2）已知2006200512

2006

220052)1(164834121-++-++-+-=

+ k k k S ，则小于S 的最大整数是______． （第11届“华杯赛“试题）

思路点拨 对于（1）从倒数、相反数的概念入手；（2）通过对数式的分组，估算S 的值的范围．

【例7】按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（）．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个（义乌市中考题）

思路点拨看懂程序图，循环运算是解本题的关键．

【例8】如图所示是一3

3⨯的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列及对角线上的和都是相等的，求k的值．（两岸四地少年数学邀请赛试题）

思路点拨为充分利用条件，需增设字母，运用关系式求出k的值．

基础训练

一、基础夯实

1.(1)计算:211×(-455)+365×455-211×545+545×365=_________;

(2)若a= -2004

2003

,b=-

2003

2002

,c=-

2002

2001

,则a、b、c的大小关系是___________(用“〈”号

连接〉.

2.计算:(1)0.7×14

9

+2

3

4

×(-15)+0.7×

5

9

+

1

4

×(-15)=________;

(第15届江苏省竞赛题)

(2) 191919

767676

-

7676

1919

=________. (第12届“希望杯”邀请赛试题)

(3)

1

35

⨯

+

1

57

⨯

+…+

1

19971999

⨯

=________; (天津市竞赛题)

(4)(13.672×125+136.72×12.25-1367.2×1.875)÷17.09=________.

(第14届“五羊杯”竞赛题)

3.在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号(不再添加括号),•使得等式成立:6□3□2□12=2

4. (第17届江苏省竞赛题)

4.1999加上它的1

2

得到一个数,再加上所得的数的

1

3

又得到一个数,再加上这次得数的

1

4

又得到一个数,……,依此类推,一直加到上一次得数的

1

1999

,那么最后得到的数是

_________.

5.根据图所示的程序计算,若输入的x值为3

2

,则输出的结果为( ).

A.7

2

B.

9

4

C.

1

2

D.

9

2

(2002年北京市海淀区中考题

)

输出结果