高考数学 黄金100题系列 第37题 三角形中的不等问 理

第 37题 三角形中的不等问题

I ．题源探究·黄金母题

【例1】海中一小岛，周围mile n 8.3内有暗礁，海轮由西向东航行，望见该岛在北偏东70°，航行

mile n 8以后，望见这岛在北偏东60°，如果这艘轮船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？ 【解析】根据题意作出如图所示，其中设C 为岛所在位置，B A ,是该轮船航行前后的位置，过C 作

AB CD ⊥于D ，根据题意知，在△ABC 中，8=AB ，︒=∠20CAB ，︒=∠150ABC ，

∴CAB ABC ACB ∠-∠-︒=∠180=10°，∠CBD=30°，

由正弦定理得，ACB

AB

CAB BC ∠=∠sin sin ，

∴ACB CAB AB BC ∠∠=

sin sin =︒

︒

10sin 20sin 8≈15．7560，

∴=∠=CBD BC CD sin ≈7．878＞3．8， ∴没有触礁的危险． 答：没有触礁的危险．

精彩解读

【试题来源】人教版A 版必修5第24页复习参考题A 组第2题．

【母题评析】本题考查利用正余弦定

理解与三角形有关的综合问题，是常考题型．

【思路方法】根据题意画出图形，C 为岛所在位置，B A ,是该轮船航行前后的位置，过C 作AB CD ⊥于D ，根据题意知，在△ABC 中，8=AB ，

︒=∠20CAB ，︒=∠150ABC ，要

判断是否触礁，即需要计算C 点到直线AB 的距离CD ，在△ABC 中利用正弦定理计算出BC ，在通过解直角三角形即可求出CD ．

II ．考场精彩·真题回放

【例2】【2016年高考北京理数】在∆ABC

中，

222+=a c b ．

（1）求B ∠ 的大小；

（2

cos cos A C + 的最大值．

【解析】（1）由余弦定理及题设

得

222cos 2a c b B ac +-===，

【命题意图】本题主要考查利用正余弦定理和三角公式求与三角形有关的三角式的范围问题，考查运算求解能

力，是中档题．

【考试方向】这类试题在考查题型上，

又∵0B π<∠<，∴4

B π

∠=

；（2）由（1）知

34

A C π

∠+∠=

，

3cos cos(

)4

A C A A π

+=+

-22A A A =-+

cos()4

A A A π

=

=-，因为

304

A π

<∠<，所以当

4

A π

∠=

时

，

cos A C +取得最大值1．

【例3】【2016高考山东理数】在△ABC 中，角A ，B ，

C 的对边分别为a ，b ，c ，已知

tan tan 2(tan tan ).cos cos A B

A B B A

+=

+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ； （Ⅱ）求cos C 的最小值． 【解析】()I 由题意知

sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B

⎛⎫

+=+ ⎪

⎝⎭， 化简得

()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，

即()2sin sin sin A B A B +=+． 因为A B C π++=，所以

()()sin sin sin A B C C π+=-=．

从而sin sin =2sin A B C +．由正弦定理得

2a b c +=．

()∏由()I 知2

a b

c +=

， 2

22

2222cos 22a b a b a b c C ab ab

+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭∴==

通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等，考查学生利用正余弦定理及相关知识解决与三角形有关的综合问题．

【难点中心】解答此类问题的关键是熟练学三角恒等变形能力，形成解题

的模式和套路

311

842

b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立．

故 cos C 的最小值为

12

． 【例4】【2015高考湖南，理17】设ABC ∆的内角A ，

B ，

C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B

为钝角．

（1）证明：2

B A π

-=

；

（2）求sin sin A C +的取值范围．

【解析】（1）由tan a b A =及正弦定理，得

sin sin cos sin A a A

A b B

==，∴sin cos B A =，即sin sin()2

B A π

=+，

又B 为钝角，因此(,)22A π

ππ+∈，故2

B A π

=+，即2

B A π

-=

．

（2）由（1）知，()C A B π=-+，

(2)202

2

A A ππ

π-+=->，∴(0,)4

A π∈，

于

是

sin sin sin sin(2)

2A C A A π

+=+-=

sin cos 2A A +

=2

2

192sin sin 12(sin )4

8

A A A -++=--+

，

∵04

A π

<<

，∴0sin A <<

，

因此

2199

2(sin )2488

A <--+≤，由此可知