材料力学A_(应变分析, 胡克定律)_2学时

对非主单元体由于切应变不改变单元体的体积， 上式仍成立。
19 20
例题
例 题 7
§2 应力应变分析与应力应变关系
*
关于第2章基本概念的几点注意： 1.关于一点处的单元体及单元体三对表面上的应力
单元体每对表面的物理意义是该点沿某个方位截面切开 后的左右两个内部截面——这两个内部截面上的内力是 作用力与反作用力。
52 . 7 MPa
整理后

y
某点的应力状态为纯剪切，在该点 测得与x轴夹角为 45 方向上的正 应变是 45，已知 E , ，求 。
45

x

240.5 2 2 MPa 85.7 138.5 69.2 85.7 154.8 69.1 2 0 3 69.1MPa 1 240.5MPa 1 3 max 154.8MPa 2
x








x
z
y
x
x
x
11
xx
yx
y
z
12
特别对于平面应力状态：仅有 x , y , x 三个应力分 量，其余应力分量为零，故由广义胡克定律：
x
1 x y z E 1 y y z x E 1 z z x y E
§2 应力应变分析与应力应变关系 设 x 0
解： 已知一构件表面一点的应变：
y 90
2 cos90

y
0 12 10
4
4
45 1.5 10 4
则 45
90
x y x y
2
90
x
2
45
0
x
sin 90

2
某点处（某点的单元体上）全体应变（正应变 和切应变）——构成该点单元体上的一个二阶 二阶 对称应变张量 可写为：
y
单位：弧度
xy yx x
记为
x ~ 1 2 yx 1 zx 2
1 xy 2
y
1 zy 2
1 xz 2 1 yz 2 z
证明弹性模量与切变模量、泊松比间的关系 G
x 证明：取一纯剪单元体(正方形) 非零主应力分别为： ，- ，主方向为±45º方向
45
BD BD cos 45 x 2x 2 BD cos 45
E 21
y C

x x
x
u
y
x
x
y
y
x

x
x
y 单元体的相应尺寸与应变相乘得单元体的绝对变形量 y 在 x ， y 坐标下
y
x
x

x 某点各个方位上应变的描述称为该点的应变状态 即
x 方向到 在 x ，y 坐标下，
x ，
xy 分别为该点沿 方向的
方向夹角 ： x
解：由于纯剪切的主方向为与x轴夹角±45º方 向，主应力为 1 , 2 0, 3 y 由该点主方向上的广义胡克定律： 1 45 1 3 1 E E E 45 1

45
x

17
18
4.体积变形 取一体积为V
E
y
y1
y2
x
x =
x1
x1 +
y
y
x2 x2 y2
2 x
x
x
23
x x1 x 2 y y1 y 2 x x1 x 2
x2
1 x y z E 1 y y z x E 广义胡克定律 1 z z x y E ij ij G
K
V V a a b b c c abc1 1 1 2 1 3 abc1 1 2 3
代入广义胡克定律
c
b
3
2
E 31 2
称为体变模量 体变模量
1
则 或
m K
120
直角应变花
比例系数 E 称为材料的弹性模量 弹性模量 纵向应变
x y
2
2
cos2 2 cos 23
x
2
sin 2 2 sin 23
120 °
1

x
2
60
120
等源自文库应变花
可证明：在应力或变形不是很大的情况下（线弹性范 围）主应力与主应变 1 2 3的方向是重合的。
15
16
例题
例 题 5

§2 应力应变分析与应力应变关系
1 E
例题
例 题 6
§2 应力应变分析与应力应变关系
y
平面应力状态下的广义胡克定律
x

x

y

2

y

x
E x E y 1
1 E y E x
2
1 E
y

x

224 . 2 MPa
主应变方向： tan 2 0
x x y
x 2
2
2

2

x y
2
sin 2
x
2
cos 2
(10.64)
5
6
应变分析公式的应用实例： 实验装置——应变花：3个应变片 沿一定角度组合起来 可用于实验测定一点处 的应变状态 x , y , x
x








24
第2章 应力状态分析
承受内压薄壁容器的应力状态
m
t
m t
承受内压薄壁容器的应力状态
mπ D
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l
m
p
Ｄ
π D 2 p 4
m
承受内压薄壁容器的应力状态
承受内压薄壁容器的应力状态
abc
的单元体,受应力作用变形。
1 2 3 1 2 1 2 3
令 m 设
各边长的改变量为：
a 1a
变形后的体积：
b 2 b
c 3c
E 1 1 2 3 称为该点应力的平均应力 平均应力 3

1
90
45
45° 45 °
§2.7
应力应变关系
1.单向应力状态 在线弹性、小变形范围内：
0 0
°
单向胡克定律
E
横向应变
0
0
x y x y
2 x y

2

3
x y
2
2

2 x y
cos 21
x
2
sin 21
书上 (10.30) (10.31)
类似，也可求出该点的主应变 该点的主应变，主应变方向 主应变方向

x
2
sin 2 x cos 2
x y x y 2 2
二向应力对应的应变分析公式 应变分析公式： 书上 x y x y cos 2 x sin 2 (10.63) 2 2 2
x
z y
故在直角坐标下，两两正 交方向的切应变有3个：
yz zy 记为 y
1
zx xz 记为 z
2
x
2.平面内的应变状态(与平面应力状态所对应) y x ， y x , y y y x y x 2 x
y v
13 14
y
1 1 1 2 3 E 1 2 2 3 1 E 1 3 3 1 2 E
主轴2
2
1
3
主轴3
主轴1
例题
例 题 5
§2 应力应变分析与应力应变关系
例题
例 题 5

90 6 10
45
0
x x y 245
E 200GPa
0. 3
(126 21.5)104 9104
y
求该点的主应力和最大切应力。
x G x
E x 21
x
x
200103 9 104 69.2MPa 2 1.3
m K
体积应变与平均应 力关系 x y z m 3
a
V V V V 1 2 3 单位体积的改变量 V V
此时
x y z
体积应变 1 2 3
1 2 1 2 3 E
y
G
45
2G 1 1 1 3
E 则G
E 2 1
45
E

B A
y
2.关于某点的应力状态及主应力 和主方向
x

x
D D’
21
y
x y
x 状态(6个应力分量)表示时与坐标系的
1）一点处的主应力表示了该点处应力 主应力表示了该点处应力 状态的本质特征——用一点处的应力 选择有关，但该点的内力分布本质上 应与坐标系的选择无关，即该点的 点的3个 主应力及3个主方向是坐标不变量。
§2.6 应变分析
1. 某点处（单元体的）变形的描述——应变 一点的变形有正应变(线应变)和切应变(剪应变) 1)正应变——某方向的线段单位长度的改变量： l z （无量纲） l 在直角坐标下，可有沿3个坐标轴 方向的正应变： x y z 2)切应变——沿2个正交方向的线段 构成的直角的角度改变量： x
对主单元体，广义胡克定律为：


ij

ij
G
x
x
y
y


y
x x
x
1 x x E 1 y y E x x G

y


x
且有： y z ( x y ) E 即平面应力状态会产生z方向的 正应变—使板的厚度发生变化
比例系数 称为泊松比 泊松比 0
7
1 2
8
负泊松比材料
2.纯剪应力状态 在线弹性、小变形范围内： 剪切胡克定律
G
G ——切变模量
E 21
可证明
G


10
3.广义胡克定律（适用于任意的三向应力状态） 只有 x 作用时 只有 y 作用时 只有 z 作用时
故某点为任意应力状态时应满足：
E y x E
x
x
x
y
E
x y
z
E
y
y
E
z
E
z
x
E
z
y
E
y
z
z
x
z
E
y
只有 x , y作用时:
x
x
G
1 x y z E 1 y y z x E 广义胡克定律 1 z z x y zz z E zy yz zx ij ij xz yy G xy
22

2）某一点处的应力状态的叠加 变形体因受外力作用产生内力及应力，则在变形 体内部某一点，几组外力共同引起的应力可视为 每组外力引起的应力的叠加：叠加时应在相同方 位的单元体上将相同的应力分量代数叠加
3.关于广义胡克定律： 广义胡克定律适用于任意应力状态 而单向胡克定律只适用于单向应力状态 单向胡克定律
u x x
v y y
u
y
x
v
u x y
x
u
3
正应变和切应变， 与平面应力状态的分析类 2 似，若作变量代换，令：
4
二向应力状态的斜面应力公式 斜面应力公式：
x y
2
x y
2
y
cos 2 x sin 2
pDl
m π D
Ｄ
π D 2 p 4
p
t
p
t
F
m π D p π D2 4
x
0
m
pD 4
Ｄ
t (2 l )