5种基本平曲线线型 - 360文档中心

平曲线

平曲线
平曲线【horizontal curve】指的是在平面线形中路线转向处曲线的总称，包括圆曲线和缓和曲线。

连接两直线间的线，使车辆能够从一根直线过渡到另一根直线。

道路纵断面线形常采用直线(又叫直坡段)、竖曲线两种线形，二者是纵断面线形的基本要素。

竖曲线常采用圆曲线，可以分为凸形和凹形两种。

复合型
在道路纵断面上两个相邻纵坡线的交点，被称为变坡点。

为了保证行车安全、舒适以及视距的需要，在变坡处设置竖曲线。

竖曲线的主要作用是：缓和纵向变坡处行车动量变化而产生的冲击作用，确保道路纵向行车视距；将竖曲线与平曲线恰当地组合，有利于路面排水和改善行车的视线诱导和舒适感。

竖曲线技术指标主要有竖曲线半径和竖曲线长度。

凸形的竖曲线的视距条件较差，应选择适当的半径以保证安全行车的需要。

凹形的竖曲线，视距一般能得到保证，但由于在离心力作用下汽车要产生增重，因此应选择适当的半径来控制离心力不要过大，以保证行车的平顺和舒适。

基本型曲线解释

基本型曲线解释
基本型曲线的意思是指由圆曲线和两端连接直线的回旋线。

而且所谓基本型曲线是指道路的平曲线由直线段-缓和曲线-圆曲线-缓和曲线-直线段组成。

扩展资料
在道路线型设计时，分如下几步走：选线、平曲线设计、竖曲线设计、横断面设计。

选线即根据地形特点确定设计道路的走向；平面设计要做的工作就是确定已定走向路线的平曲线要素，附带逐桩坐标表；竖曲线设计在平曲线设计完成的基础上进行，根据平包竖的原则进行竖曲线设计，附带高程表；横断面设计在路基设计和平竖设计完成的基础上进行道路的横断面设计，主要是检验平竖线是否合理、是否需要平移，并便于填挖方量的计算。

当然也可以几个路线方案同时设计，最后平竖横设计完成后再进行方案比选。

平曲线的基本形式

平曲线的基本形式
平曲线是一种经济学上常用的图表类型，用于展示不同替代方案之间成本与收益之间的关系和平衡点。

平曲线的基本形式有以下两种：
1. U 型曲线：U 型曲线表明当成本（如固定成本和可变成本总和）增加的时候，单位产品的成本会降低而单位利润率会增加。

这种曲线形状类似于大写的U 字母，因此称作U 型曲线。

这表明当产量增加时，边际收益（即额外收益）总是大于边际成本（即额外成本），比如适用于生产高质量产品或提供高质量服务的公司。

2. 反U 型曲线：反U 型曲线表明当成本增加时，单位产品的成本会上升并且单位利润率会下降。

这种曲线形状类似于倒过来的U 字母，因此称作反U 型曲线。

这表示当产量增加时，边际成本增加快于边际收益，比如适用于一些制造行业中。

它们会在大规模生产期间面临较高的固定成本，当生产达到饱和状态时，它们将面临较高的可变成本并出现反向趋势。

需要注意的是，实际情况可能比理论曲线更为复杂，因此在使用平曲线进行分析时，需要考虑到实际情况和数据的差异，进行合理的解释和分析。

平面曲线学习平面曲线的特征与方程

平面曲线学习平面曲线的特征与方程在数学中，平面曲线是指二维平面上的曲线。

它的形状各异，具有不同的特征与方程。

本文将介绍平面曲线的一些常见特征以及它们的方程。

一、直线直线是最基本的平面曲线之一，它具有以下特征：1. 直线是无限延伸的，它没有起点和终点。

2. 直线上的任意两点可以通过一条直线段连接。

3. 直线的方程可以表示为y = mx + b的形式，其中m是斜率，b是截距。

二、圆圆是由平面上与一个固定点的距离恒定的点组成的轨迹，它具有以下特征：1. 圆是平面上的封闭曲线，它的每个点到中心点的距离都相等。

2. 圆的方程可以表示为(x - a)² + (y - b)² = r²的形式，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径。

三、椭圆椭圆是平面上一点到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹，它具有以下特征：1. 椭圆是平面上的封闭曲线，它的形状类似于圆，但轴向不同。

2. 椭圆的方程可以表示为((x - h)² / a²) + ((y - k)² / b²) = 1的形式，其中(h,k)是椭圆中心的坐标，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

四、双曲线双曲线是平面上一点到两个固定点的距离之差等于常数的点的轨迹，它具有以下特征：1. 双曲线是平面上的非封闭曲线，它的形状类似于两个分离的开口。

2. 双曲线的方程可以表示为((x - h)² / a²) - ((y - k)² / b²) = 1的形式，其中(h,k)是双曲线中心的坐标，a和b分别是双曲线的长轴和短轴的长度。

五、抛物线抛物线是平面上一点到一个固定点的距离等于另一个固定点的距离的点的轨迹，它具有以下特征：1. 抛物线是平面上的非封闭曲线，它的形状类似于一个U形。

2. 抛物线的方程可以表示为y = ax² + bx + c的形式，其中a、b、c是常数，a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线的整体高度。

平面曲线的基本性质与方程

平面曲线的基本性质与方程平面曲线是几何学中研究的一个重要概念，它可以由一系列方程或参数方程来描述。

平面曲线的基本性质包括曲线的类型、对称性和方程的解析形式等。

在本文中，将介绍平面曲线的基本性质与方程，以便更好地理解和应用这一概念。

1. 曲线的类型平面曲线可以分为直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等不同类型。

直线是最简单的曲线，其方程可以用一次函数来表示。

圆是由到定点距离等于半径的点构成的曲线，其方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。

椭圆是圆在平面上的投影，其方程为(x-a)²/a²+(y-b)²/b²=1，其中(a，b)为椭圆中心坐标。

双曲线的方程为(x-a)²/a²-(y-b)²/b²=1，其中(a，b)为双曲线中心坐标。

抛物线的方程为y=ax²+bx+c，其中a≠0。

2. 对称性平面曲线可以具有对称性，即关于某条轴或点对称。

直线、圆和椭圆都可以具有轴对称性，而双曲线和抛物线不具有轴对称性。

对于方程为f(x, y)=0的曲线，其对称性可由方程的特性决定。

3. 曲线的方程平面曲线的方程可以通过给定的条件或特征来推导。

例如，对于给定的点和斜率，可以使用点斜式方程来表示直线。

若已知两个点，可以使用两点式方程表示直线。

圆的方程可以通过圆心和半径来确定。

椭圆和双曲线的方程可以通过焦点、顶点和离心率等特征来确定。

抛物线的方程可以通过焦点和直线方程来确定。

4. 曲线的参数方程除了用方程来描述曲线，还可以使用参数方程来表示。

参数方程由参数t的函数形式构成，将参数t代入方程中，可以得到曲线上对应点的坐标。

例如，对于直线，可以使用参数方程 x = at + b, y = ct + d 来表示，其中a、b、c、d为常数。

参数方程可以更灵活地描述曲线的变化和特征。

通过研究平面曲线的基本性质与方程，我们可以更好地理解其几何特征和数学表达形式。

认识平面曲线形

认识平面曲线形平面曲线形是数学中的一个重要概念，它包含了很多数学中的基础理论，比如解析几何、微积分等。

在现实生活中，平面曲线形也经常可以被用来描述自然界中物体的形状和运动状态。

本文将简要介绍平面曲线形的相关概念与性质。

一、平面曲线形是什么在数学中，平面曲线形是指在二维平面上的曲线，它可以被用函数方程或者参数方程等形式来表示。

常见的曲线包括直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等，它们都是平面曲线形的特殊形式。

二、平面曲线形的表示方式平面曲线形可以被用多种方式来表示，比如点的坐标、函数方程、参数方程等等。

1.点的坐标对于平面上的直线，可以用两点坐标来表示。

比如，直线AB可以用点A(x1,y1)和点B(x2,y2)来表示。

同理，对于曲线，也可以用点的坐标来表示，但是这种方式比较麻烦且不直观，通常并不常用。

2.函数方程函数方程是指y与x之间的函数关系式，其中y是曲线上的点的纵坐标，x是曲线上的点的横坐标。

例如，圆的方程是x²+y²=r²。

3.参数方程参数方程是指x和y都作为参数的一元函数，通常表示为x=f(t),y=g(t)。

比如，双曲线的参数方程是x=a*t,y=b/sqrt(t²+1)。

三、平面曲线形的性质平面曲线形具有很多重要的性质，下面列举几个常见的性质。

1.切线和法线在曲线上任意一点P处，有一条切线和一条法线。

切线是与曲线相切的直线，法线是与切线垂直的直线。

2.斜率曲线的斜率是切线的斜率，表示曲线在某一点的变化率。

斜率可以用微积分的概念来计算。

3.弧长曲线的弧长是从起点到终点沿曲线走过的距离。

弧长可以用微积分的概念来计算。

4.曲率曲线在某一点的曲率是切线在该点附近的弯曲程度。

曲率可以用微积分的概念来计算。

综上所述，平面曲线形是数学中的基础概念之一，它可以被用来描述自然界中物体的形状和运动状态。

对于平面曲线形的认识和理解，对于学习数学的人来说尤为重要。

平曲线的五大要素计算公式

平曲线的五大要素计算公式以下是关于平曲线的五大要素计算公式。

平曲线是指在平面上描述一条曲线的五种基本参数，包括曲线长度、曲线半径、曲线角度、曲线切线和曲线弧度。

下面是这五种要素的计算公式：1.曲线长度（L）：曲线长度可以通过计算曲线上的所有坐标点之间的距离来获得。

对于参数方程表示的曲线，曲线长度L可以通过以下公式计算： L=∫(√((dx/dt)²+(dy/dt)²)dt) 其中，(dx/dt)和(dy/dt)分别是曲线在x和y方向上的速度矢量。

2.曲线半径（R）：曲线半径表示曲线在某一点处弯曲的程度。

对于圆弧曲线，曲线半径R可以通过以下公式计算： R=(dx²+dy ²)^(1/2)/(1+(dy/dx)²)^(1/2) 其中，(dx,dy)是曲线上的某一点坐标。

3.曲线角度（θ）：曲线角度表示曲线在某一点处与x轴的夹角。

对于参数方程表示的曲线，曲线角度θ可以通过以下公式计算： θ=atan2(dy/dx) 其中，(dx,dy)是曲线上的某一点坐标。

4.曲线切线（T）：曲线切线表示曲线在某一点处的切线方向。

对于参数方程表示的曲线，曲线切线T可以通过以下公式计算： T=(dx/dt,dy/dt) 其中，(dx/dt)和(dy/dt)分别是曲线在x和y方向上的速度矢量。

5.曲线弧度（α）：曲线弧度表示曲线在某一点处沿逆时针方向的旋转程度。

对于圆弧曲线，曲线弧度α可以通过以下公式计算： α=θ 其中，θ是曲线在某一点处与x轴的夹角。

 需要注意的是，这些公式适用于平曲线的一般情况。

在实际应用中，根据具体的曲线类型和表示方式，可能需要对公式进行相应的调整。

曲线的基本类型及性质

曲线的基本类型及性质曲线一直是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。

在数学中，曲线可以通过方程、参数方程、极坐标方程等多种形式来表示。

本文将介绍曲线的基本类型以及它们的性质。

一、直线直线是最基本的一种曲线类型，其特点是在平面上无限延伸，始终保持直线状。

直线可以由一元一次方程来表示，形如 y = kx + b，其中k 和 b 是常数。

直线具有以下性质：1. 直线上的任意两点可以唯一确定一条直线；2. 直线的斜率等于直线与 x 轴的夹角的正切值；3. 直线的斜率为正表示直线向上倾斜，斜率为负表示直线向下倾斜；4. 直线的斜率为零表示直线水平，斜率不存在表示直线垂直于 x 轴。

二、抛物线抛物线是一种常见的平面曲线，具有形状如同开口向上或开口向下的弧线。

抛物线可以由一元二次方程来表示，形如 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于零。

抛物线具有以下性质：1. 抛物线的开口方向由二次项的系数a 决定，a 大于零时开口向上，a 小于零时开口向下；2. 抛物线的顶点是抛物线的最值点，其 x 坐标为 -b/2a；3. 抛物线关于顶点对称；4. 当 a 的绝对值越大时，抛物线的形状越扁平。

三、椭圆椭圆是一种闭合曲线，其形状类似于“椭圆”这个几何图形。

椭圆可以由参数方程来表示，形如 x = a cos(t)，y = b sin(t)，其中 a 和 b 是正数，且 a 大于 b。

椭圆具有以下性质：1. 椭圆的长轴在 x 轴上，短轴在 y 轴上；2. 椭圆的离心率小于 1，且离心率等于 0 时为圆形；3. 椭圆的焦点到椭圆上任意点的距离之和是一个常数；4. 椭圆具有对称性，关于 x 轴和 y 轴都对称。

四、双曲线双曲线是一种开口朝外或朝内的曲线，在数学和物理学中有着广泛的应用。

双曲线可以由参数方程来表示，形如 x = a sec(t)，y = b tan(t)，其中 a 和 b 是正数。

道路平面线型概述

一、道路平面线型概述一、路线道路：路基、路面、桥梁、涵洞、隧道和沿线设施构成的三维实体。

路线：是指道路中线的空间位置。

平面图：路线在水平面上的投影。

纵断面图：沿道路中线的竖向剖面图，再行展开。

横断面图：道路中线上任意一点的法向切面。

路线设计：确定路线空间位置和各部分几何尺寸。

分解成三步：路线平面设计：研究道路的基本走向及线形的过程。

路线纵断面设计：研究道路纵坡及坡长的过程。

路线横断面设计：研究路基断面形状与组成的过程。

二、汽车行驶轨迹与道路平面线形（一）汽车行驶轨迹行驶中汽车的轨迹的几何特征：（1）轨迹连续：连续和圆滑的，不出现错头和折转；（2）曲率连续：即轨迹上任一点不出现两个曲率的值。

（3）曲率变化连续：即轨迹上任一点不出现两个曲率变化率的值。

（二）平面线形要素行驶中汽车的导向轮与车身纵轴的关系：现代道路平面线形正是由上述三种基本线形构成的，称为平面线形三要素。

二、直线一、直线的特点1、优点：①距离短，直捷，通视条件好。

②汽车行驶受力简单，方向明确，驾驶操作简易。

③便于测设。

2、缺点①线形难于与地形相协调②过长的直线易使驾驶人感到单调、疲倦，难以目测车间距离。

③易超速二、最大直线长度问题：《标准》规定：直线的最大与最小长度应有所限制。

德国：20V（m）。

美国：3mile（4.38km）我国：暂无强制规定景观有变化≧20V；<3KM景观单调≦ 20V公路线形设计不是在平面线形上尽量多采用直线，或者是必须由连续的曲线所构成，而是必须采用与自然地形相协调的线形。

采用长的直线应注意的问题：公路线形应与地形相适应，与景观相协调，直线的最大长度应有所限制，当采用长的直线线形时，为弥补景观单调的缺陷，应结合具体情况采取相应的技术措施。

（1）直线上纵坡不宜过大，易导致高速度。

（2）长直线尽头的平曲线，设置标志、增加路面抗滑性能（3）直线应与大半径凹竖曲线组合，视觉缓和。

（4）植树或设置一定建筑物、雕塑等改善景观。

线路类型的总结

线路类型的总结
一、平曲线
平曲线（圆曲线段长度）指的是道路平面走向改变方向或竖向改变坡度时所设置的连接两相邻直线段的圆弧形曲线。

基本类型
单曲线：由一个圆曲线组成的曲线称为单曲线。

复曲线：由两个或两个以上同向圆曲线组成的曲线，
同向曲线：转向相同的两相邻曲线连同其间的直线段所组成的曲线称为同向曲线；
反向曲线：转向相反的两相邻曲线连同其间的直线段所组成的曲线称为反向曲线。

平面曲线的组合
基本型：按直线-回旋线-圆曲线-回旋线-直线的顺序组合的线形。

S型：两个反向圆曲线用两段回旋线连接的组合。

卵型（蛋型）：用一个回旋线连接两个同向圆曲线的组合。

凸型：在两个同向回旋线间不插入圆曲线而径相衔接的组合。

复合型：两个以上同向回旋线间在曲率相等处相互连接的线形。

C型：同向曲线的两回旋线在曲率为零处径相衔接的线形。

二、竖曲线
竖曲线在线路纵断面上，以变坡点为交点，连接两相邻坡段的曲线称为竖
曲线。

竖曲线有凸形和凹形两种。

鐵路線路採用的豎曲綫，按其形狀可分為一下三種：
1 圓曲綫形豎曲綫
2 抛物線形豎曲綫
3 連續短坡（鏈條坡）
三、缓和曲线
缓和曲线的基本线型分为：
三次抛物线形：曲率和线路横坡是按照直线规律变化的。

三次抛物线余弦改善形：在三次抛物线缓和曲线超高的起、终点处，插入一定长度的余弦曲线圆顺坡。

三次抛物线圆改善型：在三次抛物线缓和曲线超高的起、终点处，插入一定长度的圆曲线顺坡。

七次四项式
半波正弦形：曲率和线路横坡是按照正弦规律变化的。

一波正弦形。

平面曲线的判定与初中几何应用

平面曲线的判定与初中几何应用在初中数学中，学生们学习了许多基础的几何知识，其中包括平面曲线的判定和应用。

平面曲线是几何学中的重要概念，它们在现实生活中有着广泛的应用。

本文将探讨平面曲线的判定方法以及它们在初中几何中的应用。

一、平面曲线的判定方法平面曲线的判定方法有很多种，下面介绍几种常见的方法。

1. 直线判定：直线是最简单的平面曲线，它由无数个点组成，且任意两点可以确定一条直线。

在初中几何中，学生们学习了直线的判定方法，如两点确定一条直线、斜率相等的两条直线平行等。

2. 圆判定：圆是由一个固定点到平面上任意一点的距离相等的所有点组成的。

在初中几何中，学生们学习了圆的判定方法，如给定圆心和半径、给定直径等。

3. 抛物线判定：抛物线是一种特殊的曲线，它的形状像一个弯曲的碗。

在初中几何中，学生们学习了抛物线的判定方法，如给定焦点和准线、给定顶点和焦距等。

4. 椭圆判定：椭圆是一种特殊的曲线，它的形状像一个拉长的圆。

在初中几何中，学生们学习了椭圆的判定方法，如给定焦点和准线、给定焦点和两个顶点等。

5. 双曲线判定：双曲线是一种特殊的曲线，它的形状像两个分离的开口。

在初中几何中，学生们学习了双曲线的判定方法，如给定焦点和准线、给定焦点和两个顶点等。

二、平面曲线在初中几何中的应用平面曲线在初中几何中有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用。

1. 圆的应用：圆是几何学中最常见的曲线之一，它在现实生活中有着广泛的应用。

例如，我们常常使用圆来描述轮胎的形状，圆形的轮胎能够更好地与地面接触，提供更好的摩擦力。

此外，圆还被广泛应用于建筑、机械制造等领域。

2. 抛物线的应用：抛物线是一种特殊的曲线，它在现实生活中也有着许多应用。

例如，抛物线的形状可以用来设计喷泉的喷水路径，使得喷水能够更好地展示出美丽的水花。

此外，抛物线还被应用于抛物线天线、抛物线反射器等领域。

3. 椭圆的应用：椭圆是一种特殊的曲线，它在现实生活中也有着许多应用。

7-2平面曲线

一般平面曲线是按“直线+缓和曲线+圆曲线+缓和曲线+直线”的顺序连接组成完整的线形。

平面曲线最基本的是圆曲线和缓和曲线，其他曲线是由其派生而成曲线。

一、圆曲线二、有缓和曲线的圆曲线三、回头曲线四、复曲线五、立交曲线一、圆曲线（一）圆曲线要素及其计算JD——路线转角点，称交点；ZY——圆曲线起点，称直圆点；YZ——圆曲线终点，称圆直点；QZ——圆曲线中点，称曲中点。

T——切线长；L——曲线长；E——外矢距；q——切曲差；R ——圆曲线半径；α——路线的转角。

YZZYEROTL主点曲线要素TQZJD一、圆曲线（一）圆曲线要素及其计算2tanα⋅=R T 曲线长：0180παR L =外矢距：)12(sec -=αR E 切曲差：LT q -=2切线长：2αYZ ZYαEROTLTQZJDR一、圆曲线（一）圆曲线要素及其计算例题——某圆曲线的半径，转向角，试计算该圆曲线的曲线要素。

52100'=α解：切线长：曲线长：外矢距：切曲差：m R 800=m R T 92.722tan =⋅=αmR L 44.145180==παmR E 32.3)12(sec =-=αmL T q 40.02=-=OYZZYJDQZαERTLR一、圆曲线（二）圆曲线主要点里程的计算☞ZY里程= JD里程–切线长T☞YZ里程= ZY里程+ 曲线长L☞QZ里程= YZ里程–L/2检核：JD里程= QZ里程+ q/2QZ里程= JD里程-切线长T + 曲线长L –L/2= JD里程-（T-L/2）切曲差q = 2T -LJDYZ ZYEROTLTQZR一、圆曲线（二）圆曲线主要点里程的计算例题——设上例中的交点里程为K11 + 295.78，求各主点里程曲线要素：切线长：T=72.92m；曲线长：L=145.44m外矢距：E=3.32m；切曲差：q=0.40m一、圆曲线（二）圆曲线主要点里程的计算JDK11+295.78-T)72.92ZY+222.86+L)145.44YZ+368.30-L/2)72.72QZ+295.58+q/2)0.20JD+295.78检核无误切线长：T=72.92m 曲线长：L=145.44m 外矢距：E=3.32m 切曲差：q=0.40m☞ZY 里程= JD 里程–切线长T☞YZ 里程= ZY 里程+ 曲线长L ☞QZ 里程= YZ 里程–L/2 JD 里程= QZ 里程+ q/2二、有缓和曲线的圆曲线（一）缓和曲线列车在曲线上行驶会产生离心力，所以在曲线上要用外轨超高的方法来克服离心力。

平曲线

平曲线、超高、竖曲线、超高在线形设计时，各级公路（高速公路和一级公路除外）的视距应不小于两倍停车视距；并应根据需要，结合地形设置保证超车视距的路段。

平曲线半径：当汽车在平曲线上行驶时，所产生的横向力应不超过轮胎与路面摩阻力所允许的界限，并使驾驶员无不顺适感觉。

平曲线半径、行车速度、路面超高和横向摩阻系数[kg2]的关系式为[147-01],[kg2]其中(+) 直接关系到汽车在平曲线上行驶时的安全和顺适感。

极限最小半径：是公路受到地形或地物等限制所允许采用的最小半径。

其计算的条件是：为0.10（=120公里/小时）～0.15（=40公里/小时），这时驾驶员仍感顺适；是路面超高允许最大值，一般用6％，个别用8％，特殊情况下用10％。

一般最小半径：为使公路平面线型在整体组合上不致不协调，驾驶员感到较为顺适的常用的最小半径。

这时，为0.05～0.06；为6％～8％，不用10％。

不设超高的最小半径公路的平曲线保持直线上的路拱（即不设超高），驾驶员不感到有弯道的最小半径，这时，为0.035；为－2％或－1.5％。

回头曲线：当公路需要展线以争取高程，而又受地形限制不能继续前进而须折返展线时，在折返处设转角一般大于180°的平曲线,称为回头曲线。

回头曲线因受地形限制，常采用极限甚至小于极限的最小半径。

超高：汽车在平曲线上行驶时产生离心力，设置超高，可抵消其部分离心力，使汽车不致向外倾覆。

超高值过大不利于驾驶操作和行车安全，也不利于公路养护、施工;过小则不利于排水。

专供汽车行驶的高速公路,一级公路的超高横坡度不超过10％，其他各级公路不超过8％。

在积雪寒冷地区，最大超高横坡度不超过6％。

平曲线加宽：汽车在平曲线上行驶时，后轮的轨迹在前轮的内侧,其车轮所占有宽度比在直线上的要宽,因此车道内侧应予加宽。

加宽值视车型和平曲线半径()而定,[kg2]一般可按/2计算。

式中为汽车前后轴距；如为半挂车时，可分别按牵引车和挂车的前后轴距[kg2],计算。

平面曲线的性质与分类解析

平面曲线的性质与分类解析平面曲线是一个重要的数学概念，广泛应用于几何学、物理学以及工程学等领域。

了解平面曲线的性质和分类对于深入理解曲线的特点以及解决实际问题具有重要意义。

本文将对平面曲线的性质和分类进行解析。

1. 曲线的性质曲线是由点按照一定的规律在平面上绘制出来的，具有以下几个基本性质：1.1 曲线长度：曲线长度是指从曲线上任意两点之间的弧长。

对于光滑曲线，可以通过积分计算得到曲线长度。

1.2 曲率：曲线在任意一点的曲率是指曲线在该点处的曲率圆半径的倒数。

曲率越大，曲线越弯曲。

1.3 弯曲的方向：曲线的弯曲方向可以通过曲率的正负来确定。

当曲率为正时，曲线向凸侧弯曲，当曲率为负时，曲线向凹侧弯曲。

2. 平面曲线的分类平面曲线可以根据其数学表达式、图形特征以及几何性质进行分类。

下面将介绍几种常见的平面曲线分类。

2.1 直线直线是一种最简单的曲线，它由无数个点按照同一方向上等距离排列而成。

直线的数学表达式可以用线性方程表示，例如y = kx + b。

直线的特点是具有恒定的斜率，不会弯曲。

2.2 抛物线抛物线是一种开口朝上或开口朝下的曲线，它具有对称轴和焦点。

抛物线的数学表达式可以用二次方程表示，例如y = ax^2 + bx + c。

抛物线的特点是在焦点处反射光线呈现出特殊的性质。

2.3 椭圆椭圆是一种闭合曲线，它由离两个焦点的距离之和恒定的点构成。

椭圆的数学表达式可以用标准方程表示，例如(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1。

椭圆的特点是具有两个焦点，离焦点越远的点离椭圆越远。

2.4 双曲线双曲线是一种开口朝左和开口朝右的曲线，它由离两个焦点的距离之差恒定的点构成。

双曲线的数学表达式可以用标准方程表示，例如(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1。

双曲线的特点是具有两个独立的分支。

2.5 阿基米德螺线阿基米德螺线是由一个定点绕着一根直线旋转而成的曲线。

阿基米德螺线的数学表达式可以用极坐标表示，例如r = aθ。

平曲线认识

第三讲公路平面坐标计算1、平曲线认识道路是一个三维空间的工程结构物，它的中线是一个空间曲线，叫路线，其在水平面的投影就是平面线形。

道路平面线形由于受到沿线地形、地质、水文、气候等自然条件和人为条件的制约而改变方向。

在路线平面方向的转折处为满足行车要求，需要用适当的曲线把前、后直线连接起来，这种曲线称为平曲线。

平曲线包括圆曲线和缓和曲线。

①圆曲线要素主点桩号计算：ZY点里程=JD点里程-TQZ点里程=ZY点里程+L/2 YZ点里程=ZY点里程+LJD里程=QZ里程+D/2（校核）②缓和曲线要素切线长：外距：曲线长：()s s 18022180l aR l a R L h +=+-=πβπ切线加长：q =/2－3/(240R2)圆曲线相对切线内移量：p = 2/(24R)切曲差 Dh = 2T －Lh上式中：α 为线路转向角；β0为缓和曲线角；其中q 、p 、β0缓和曲线参数。

ZH 桩号 = JD 桩号－T HY 桩号 = ZH 桩号＋QZ 桩号 = HY 桩号＋L/2YH 桩号 = QZ 桩号＋L/2 = HY 桩号＋L = ZH 桩号＋＋LHZ 桩号 = YH 桩号＋= ZH 桩号＋LhJD 桩号 = ZY 桩号－Th ＋Dh （检核）m)2)(（q tgp R T ++=α）（m 2sec)(R p R E -+=αLs Ls Ls Ls Ls Ls注意：上面计算需要大家掌握主点桩号计算，五大主点：ZH、HY、QZ、YH、HZ，还会遇到一些特殊点例如起点QD、终点ZD、公切点GQ。

可以判断下图即可。

重点知识必须掌握（线元法基础）：直线：曲率为0，起终点半径无穷大。

圆曲线：具有一定曲率半径的圆弧，半径为固定值。

缓和曲线：在直线与圆曲线之间或两个不同半径的圆曲线之间设置的曲率连续变化的曲线（指从直线上半径无穷大到圆曲线的定值之间曲率半径逐渐变化的过渡段），我国公路缓和曲线的形式采用回旋线。

（曲率为半径的倒数）A1,A2——缓和曲线参数R——圆曲线半径Ls1,Ls2——缓和曲线长度一段完整缓和曲线满足公式：A²=R x Ls1，A²=R x Ls2入缓和曲线：从ZH点到HY点，A固定不变，随着Ls1的增大，半径从∞减小到R出缓和曲线：从YH点到HZ点，A固定不变，随着Ls2的减小，半径从R增大到∞如果A²≠R x Ls，那么这段缓和曲线是不完整的，叫做不完整缓和曲线。

道路平曲线概念讲解

道路平曲线概念讲解道路平曲线是什么意思呢？其实可以理解不同坡度的道路之间，用于过渡的曲线，防止坡度突然变化影响车辆的平稳，坡度变化过大且没有平曲线的话车辆容易腾空或者挂碰车辆底盘，造成危险。

所以在道路测量中就离不开道路平曲线这个概念了。

但是很许多刚入门的测量新手对道路平曲线的概念还不是很了解，今天就为大家讲解一下道路平曲线的概念。

首先是道路中线的组成，道路的中线，包括立交匝道的中线，无论多么复杂的线形，都是由直线、圆曲线和缓和曲线三个基本线元组成，如图所示：一、直线概念：直线：具有固定的曲率半径，且曲率为 0 （半径无穷大），可理解为一种特殊的圆曲线。

特点：1）两点之间以直线为最短。

2）笔直的道路给人以短捷、直达的良好印象。

3）汽车在直线上行驶受力简单，方向明确，驾驶操作简易。

4）测设施工方便。

二、缓和曲线概念：缓和曲线 :为了使路线的平面线形更加符合汽车的行驶轨迹、离心力逐渐变化，确保行车的安全和舒适，需要在直线和圆曲线之间或半径相差较大的两个同向圆曲线之间设置一段曲率连续变化的曲线，此曲线称为缓和曲线。

目前我国公路设计中，以回旋线作为缓和曲线。

缓和曲线类型：1.完整缓和曲线 :判断标准： A²=R x Ls2、非完整缓和曲线：判断标准： A²≠R x LsA= 缓和曲线参数缓和曲线三、圆曲线概念：圆曲线：即圆的一部分（圆弧），具有固定的曲率半径。

特点1、曲线上任一点曲率半径R为常数2、大半径的圆曲线线形美观、顺适、行车舒适，是公路上常采用的线形。

四、道路中常见的线形组合在道路及立交匝道设计中，实际采用的线形往往是直线、圆曲线、缓和曲线中的一种或几种组合而成。

主要有以下几种：(1)基本型曲线是按“直线－回旋曲线－圆曲线－回旋曲线－直线”的顺序组合起来的线型。

基本型中，又可以根据其中两个回旋曲线参数相等与否而分为对称式和不对称式两种。

(2)S 型曲线把两个反向圆曲线用回旋曲线连接起来的线型,GQ处R=∞。

平曲线认识

第三讲公路平面坐标计算1、平曲线认识道路是一个三维空间的工程结构物，它的中线是一个空间曲线，叫路线，其在水平面的投影就是平面线形。

道路平面线形由于受到沿线地形、地质、水文、气候等自然条件和人为条件的制约而改变方向。

在路线平面方向的转折处为满足行车要求，需要用适当的曲线把前、后直线连接起来，这种曲线称为平曲线。

平曲线包括圆曲线和缓和曲线。

①圆曲线要素主点桩号计算：ZY点里程=JD点里程-TQZ点里程=ZY点里程+L/2 YZ点里程=ZY点里程+LJD里程=QZ里程+D/2（校核）②缓和曲线要素切线长：外距：曲线长：()s s 18022180l aR l a R L h +=+-=πβπ切线加长：q =/2－3/(240R2)圆曲线相对切线内移量：p = 2/(24R)切曲差 Dh = 2T －Lh上式中：α 为线路转向角；β0为缓和曲线角；其中q 、p 、β0缓和曲线参数。

ZH 桩号 = JD 桩号－T HY 桩号 = ZH 桩号＋QZ 桩号 = HY 桩号＋L/2YH 桩号 = QZ 桩号＋L/2 = HY 桩号＋L = ZH 桩号＋＋LHZ 桩号 = YH 桩号＋= ZH 桩号＋LhJD 桩号 = ZY 桩号－Th ＋Dh （检核）m)2)(（q tgp R T ++=α）（m 2sec)(R p R E -+=αLs Ls Ls Ls Ls Ls注意：上面计算需要大家掌握主点桩号计算，五大主点：ZH、HY、QZ、YH、HZ，还会遇到一些特殊点例如起点QD、终点ZD、公切点GQ。

可以判断下图即可。

重点知识必须掌握（线元法基础）：直线：曲率为0，起终点半径无穷大。

圆曲线：具有一定曲率半径的圆弧，半径为固定值。

缓和曲线：在直线与圆曲线之间或两个不同半径的圆曲线之间设置的曲率连续变化的曲线（指从直线上半径无穷大到圆曲线的定值之间曲率半径逐渐变化的过渡段），我国公路缓和曲线的形式采用回旋线。

（曲率为半径的倒数）A1,A2——缓和曲线参数R——圆曲线半径Ls1,Ls2——缓和曲线长度一段完整缓和曲线满足公式：A²=R x Ls1，A²=R x Ls2入缓和曲线：从ZH点到HY点，A固定不变，随着Ls1的增大，半径从∞减小到R出缓和曲线：从YH点到HZ点，A固定不变，随着Ls2的减小，半径从R增大到∞如果A²≠R x Ls，那么这段缓和曲线是不完整的，叫做不完整缓和曲线。

5种基本平曲线线型.doc

??? 在进行道路平面线形设计时，一般会遵循下列原则：1、平面线形应直捷、连接、顺适，并与地形地物相适应，与周围环境相协调；2、必须满足行驶力学要求，视觉和心理上的要求对高速路应尽量满足；3、保持平面线形的均衡与连贯；4、应避免连续急弯的线形；5、平曲线应有足够的长度。

一般来说道路线型分为以下六类：
1、基本型
直线+缓和曲线+圆曲线+缓和曲线+直线，这种线型和地铁平曲线里的大部分线型是一样的。

2、S型
缓和曲线1+圆曲线1+缓和曲线1+（反向）+缓和曲线2+圆曲线2+缓和曲线2
S型曲线几点注意：
（1）相邻两个回旋参数A1和A2宜相等，当采用不同参数时，A1/A2<2.0，有条件时应<1.5；
（2）两反向曲线之间不设直线，不得已插入直线时，必须尽量短，其直线长度或重合段的长度应满足L≤（A1+A2）/40。

（3）S型两圆曲线半径之比不宜过大，宜为：R2/R1=11/3。

3、卵型
缓和曲线1+圆曲线1+缓和曲线（过渡）+圆曲线2+缓和曲线2
卵型曲线的几点注意：
（1）卵型上的回旋参数A不应小于该级公路关于回旋线最小参数的规定，同时宜在下列界限内：R2/2≤ A≤ R2（R2为小圆半径）；
（2）两圆曲线半径之比宜在下列界限之内：0.2≤R2/R1≤ 0.8（R1为大圆半径）；
（3）两圆曲线的间距，宜在下列界限之内：0.003≤D/R2≤ 0.03（D为两圆曲线最小间距）。

4、凸型
直线+缓和曲线1+（同向）缓和曲线2+直线
5、复合型
直线+缓和曲线1+（同向）缓和曲线2+圆曲线+……
6、C型
圆曲线1+缓和曲线1+（同向）缓和曲线2+圆曲线2。