初等数论
初等数论及其应用
= 251649
16
课堂练习
计算: 将237894与251649都转换为二进制.
解: 其八进制表示分别为(720506) 8与(753401)8
易知对八进制0 − 7有如下二进制转换
0 −> 000 1 −> 001 2 −> 010 3 −> 011
4 −> 100 5 −> 101 6 −> 110 7 −> 111
因此, (720506) 8 = (111010000101000110) 2
(753401) 8 = (111101011100000001) 2
17
总结
自然数或者正整数指的是数1, 2,…, 而整数指的是数
0,±1,±2,⋯. 全体整数的集合记为ℤ, 而全体正整数或
除法:
66 = 2 × 33 + 0 (低位)
33 = 2 × 16 + 1
16 = 2 × 8 + 0
8=2×4+0
4=2×2+0
2=2×1+0
1 = 2 × 0 + 1 (高位)
按从低位到高位顺序, 依次取出上述除法中的余数, 得到
(66)10 = (1000010)2.
12
余数的定义
定义1.1.2 带余除法 = + 中的为用除得出
② 如果|, ≠ 0, 那么|.
③ 如果|, |, 那么对任意, ∈ ℤ, 有| + .
④ 如果|, |, 那么 = 或 = −.
初等数论
3 同余
性质：同余关系是等价关系。 模m等价类: 在模m同余关系下的等价类. [a]m, 简记作[a]。 Zm: Z在模m同余关系下的商集。 在Zm上定义加法和乘法如下: a, b, [a]+[b]=[a+b], [a]· [b]=[ab]. 例6：写出Z4的全部元素以及Z4上的加法表和乘法表. 解 Z4={[0],[1],[2],[3]}, 其中[i]={4k+i |k∈Z}, i=0,1,2,3. + [0] [1] [2] [3] [0] [1] [2] [3] [0] [1] [2] [3] [1] [2] [3] [0] [2] [3] [0] [1] [3] [0] [1] [2] · [0] [1] [2] [3] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [2] [0] [2] [0] [2] [3] [0] [3] [2] [1]
解 150=2×3×52, 168=23×3×7. gcd(150,168)=21×31×50×70=6, lcm(150,168)=23×31×52×71=4200.
欧几里得算法-辗转相除法
除法算法: a=qb+r, 0≤r <|b|, 记余数r=a mod b
例如, 20 mod 6=2, 13 mod 4=3, 10 mod 2=0
RSA公钥密码
私钥密码:加密密钥和解密密钥都必须严格保密 公钥密码 (W.Diffie,M.Hellman,1976 ):加密密钥公开,解密 密钥保密
整数. 则 min( rk , sk ) min( r1 , s1 ) min( r2 , s2 ) gcd(a,b)= p1 p2 pk ,
max( rk , sk ) max( r1 , s1 ) max( r2 , s2 ) p p p lcm(a,b)= 1 2 k
初等数论 高等数论
1111
数论是一门研究整数性质的数学分支，它包括了初等数论和高等数论两个方面。
初等数论主要研究整数的基本性质，如整除性、质数、合数、最大公约数、最小公倍数等。
这些概念和性质在小学和初中的数学课程中就已经涉及到了，因此也被称为“小学数论”或“初中数论”。
初等数论的研究方法主要是通过观察、归纳和证明来得出结论，它的研究对象比较具体，结论也比较直观。
高等数论则是在初等数论的基础上，进一步深入研究整数的性质和结构。
它涉及到的概念和方法更加抽象和复杂，如素数分布、数的几何、代数数论、解析数论等。
高等数论的研究需要运用到高等数学的知识和方法，如微积分、线性代数、抽象代数等。
高等数论的研究成果不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在计算机科学、物理学、密码学等领域也有着重要的应用。
总的来说，初等数论是高等数论的基础，高等数论则是初等数论的延伸和深化。
无论是初等数论还是高等数论，它们都是数学中非常重要的分支，对于我们深入理解整数的性质和结构、推动数学的发展都有着重要的意义。
初等数论
序言数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王，数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。
数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。
我将会介绍数论中最基本的概念和理论，希望大家能对这门学问产生兴趣，并且对中小学时代学习过的一些基本概念，例如整除性、最大公因子、最小公倍数、辗转相除法等，有较深入的了解。
第一章整数的整除性§1.1整除的概念一、基本概念1、自然数、整数2、正整数、负整数3、奇数、偶数一个性质：整数+整数=整数整数-整数=整数整数*整数=整数二、整除1、定义：设a，b是整数，b≠0。
如果存在一个整数q使得等式：a=bq成立，则称b能整除a或a能被b整除，记作b∣a；如果这样的q不存在，则称b不能整除a。
2、整除的性质（1）如果b∣a，c∣b，则c∣a.（2）如果b∣a，则cb∣ca.（3）如果c∣a，则对任何整数d，c∣da.（4）如果c∣a，c∣b，则对任意整数m，n，有c∣ma+nb.（5）如果a∣b，b∣a，则a=±b.3、质数、合数质数（素数）是指在大于1的自然数中，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为素数（质数）。
高中数学：“初等数论”
高中数学：“初等数论”一、知识点概述初等数论是研究自然数的性质及其相互关系的一门数学学科，其研究对象是自然数和它们的运算。
初等数论主要研究质数、公因数和最大公因数、同余、数的分解、勒让德符号、二次剩余等数论基础知识。
二、重点概念解释1. 质数：大于1的自然数，除1和它本身外，不能被其它自然数整除的数字称为质数。
2. 素数：素数是指只有1和它本身两个约数的数。
3. 最大公因数：指两个或两个以上整数共有约数中，最大的一个。
4. 同余：对于任意整数a、b、n（n≠0），若n|(a-b)，则称a与b在模n条件下同余，记作a≡b(mod n)。
5. 勒让德符号：勒让德符号（Legendre Symbol）是一种特殊的符号，用来判断一个整数是否是二次剩余，即其是否满足某些特殊性质。
三、典型例题分析例题1：求最大公因数gcd(100, 80)。
答案：首先列出100=2^2×5^2，80=2^4×5，公共因子为2^2×5，即gcd(100,80)=20。
例题2：判断71^25与81在模10下是否同余。
答案：将71=7×10+1，用费马小定理得7^4≡1(mod 10)，于是71^25≡(7×10+1)^25≡7^25≡7(mod 10)。
又81≡1(mod 10)，因此不同余。
例题3：判断21与31在模5下是否有逆元。
答案：首先求21与31分别除以5的余数为1和1，因为1和5互素，所以1有逆元，然后判断31在模5下是否有逆元：31除以5余1，31与5不互素，因此31在模5下没有逆元。
例题4：求解同余方程3x≡4(mod 5)。
答案：gcd(3,5)=1，因此同余方程有解。
将方程两边乘以3的逆元2（即2×3≡1(mod 5)）得到6x≡8(mod 5)，即x≡3(mod 5)。
因此，同余方程的解为x≡3(mod 5)。
例题5：对于勒让德符号(a/p)，当p为素数，a为整数时，有以下性质：i. (a/p)=0当且仅当a≡0(modp)。
初等数论的性质与定理总结
初等数论的性质与定理总结初等数论是数论中的一个基础分支，研究整数的性质和整数运算规律。
本文将总结初等数论中的一些重要性质与定理。
一、整数的整除性质1. 整数的除法基本性质：对于任意整数a、b和非零整数c，存在唯一的整数q使得a = bq + c。
2. 整除关系的传递性：如果a能整除b，且b能整除c，则a能整除c。
3. 整除关系的辗转相除法：对于任意整数a和非零整数b，存在唯一的整数q和r使得a = bq + r（其中0 ≤ r < |b|）。
二、质数与合数1. 质数的定义：质数是指大于1且只能被1和自身整除的整数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
2. 质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地表示为若干个质数的乘积。
3. 最大公约数与最小公倍数的性质：对于任意整数a和b，记a和b 的最大公约数为gcd(a, b)，最小公倍数为lcm(a, b)，则有以下性质： - gcd(a, b) = gcd(b, a)- gcd(a, 0) = |a|- lcm(a, b) = |ab| / gcd(a, b)三、模运算与同余1. 模运算的基本性质：对于任意整数a、b和正整数n，有以下性质：- (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n- (a - b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n- (a * b) mod n = (a mod n * b mod n) mod n2. 同余关系的性质：对于任意整数a、b和正整数n，如果a与b模n同余（记作a ≡ b (mod n)），则有以下性质：- a + c ≡ b + c (mod n)- ac ≡ bc (mod n)- 如果a ≡ b (mod n)，则a^k ≡ b^k (mod n)对于任意正整数k四、费马小定理与欧拉定理1. 费马小定理：如果p是质数，a是任意正整数且p不整除a，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
初等数论知识点
初等数论知识点数论是数学的一个重要分支，而初等数论则是数论中较为基础和入门的部分。
它主要研究整数的性质和相互关系，虽然看似简单，却蕴含着深刻的数学思想和广泛的应用。
一、整除整除是初等数论中最基本的概念之一。
如果整数 a 除以整数 b（b≠0），所得的商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，或者b 能整除 a，记作 b ｜ a。
例如，6 能被 3 整除，因为 6÷3 ＝ 2，没有余数；而 7 不能被 3 整除，因为 7÷3 ＝ 21，有余数 1。
整除具有一些基本性质，比如：1、如果 a ｜ b 且 b ｜ c，那么 a ｜ c。
2、如果 a ｜ b 且 a ｜ c，那么对于任意整数 m、n，有 a ｜（mb＋ nc)。
二、因数和倍数如果 a 能被 b 整除（b≠0），那么 b 就是 a 的因数，a 就是 b 的倍数。
一个数的因数是有限的，其中最大的因数是它本身；一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
例如，12 的因数有1、2、3、4、6、12；12 的倍数有12、24、36、48三、质数和合数质数是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。
合数则是指除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的自然数。
例如，2、3、5、7 是质数；4、6、8、9 是合数。
1 既不是质数也不是合数。
质数在数论中有着重要的地位，寻找大质数是密码学等领域中的关键问题。
四、公因数和最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
求最大公因数可以用辗转相除法。
例如，求 24 和 36 的最大公因数，36÷24 ＝ 112，24÷12 ＝ 2，所以24 和 36 的最大公因数是 12。
五、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
《初等数论》教学大纲2024
引言概述：初等数论是数学的一个重要分支，它研究整数的性质和关系，是一门基础性的课程。
本文旨在为《初等数论》课程的教学制定一份详细的大纲，以帮助教师合理安排教学内容，提高教学效果。
正文内容：一、素数与合数1.素数的定义与性质素数的定义：只能被1和自身整除的正整数。
2.合数的定义与性质合数的定义：不是素数的正整数。
二、因数与倍数1.因数的概念因数的定义：能整除一个数的整数。
因子的分类：负因数、正因数、真因数。
2.最大公因数与最小公倍数最大公因数的定义与性质：两个数公共因子中最大的一个。
最小公倍数的定义与性质：两个数公共倍数中最小的一个。
三、整数的整除性与除法算法1.整除的概念与性质整除的定义：一个数能够被另一个数整除。
整除的性质：整数除法原则、整数的对称性。
2.整数的除法算法除法算法的步骤与原理：用减法、用乘法、整数除法算法的应用。
四、余数与模运算1.余数的概念与性质余数的定义：做除法时除不尽的部分。
余数的性质：余数的范围、余数的基本性质。
2.模运算的概念与性质模运算的定义：对于整数a和正整数n，a与n的商所得的余数。
模运算的性质：模运算的加法、减法和乘法规则。
五、同余与模运算应用1.同余的定义与性质同余的定义：对于整数a、b和正整数n，当a与b对n取余相等时，称a与b模n同余。
同余的性质：同余的传递性、同余的运算性质。
2.模运算的应用模运算在代数方程中的应用：线性同余方程、模运算的性质在方程求解中的应用。
总结：本文从素数与合数、因数与倍数、整除性与除法算法、余数与模运算以及同余与模运算应用等五个大点进行阐述。
通过这些内容的学习，学生将能够了解整数的性质和关系，理解数论的基本原理，为后续数学学习打下坚实的基础。
教师在教学过程中，应注重拓展学生的数学思维、培养其解决问题的能力，并结合实际生活和其他数学知识进行应用。
通过系统的教学大纲指导，教师能够更好地组织教学内容，提高学生的学习效果。
初等数论
第一章 整数的唯一分解定理第一节 整除性教学重点：应用带余数除法定义1 设a ，b 是整数，b ≠ 0，如果存在整数c ，使得a = bc成立，则称a 被b 整除，a 是b 的倍数，b 是a 的约数（因数或除数），并且使用记号b ∣a ；如果不存在整数c 使得a = bc 成立，则称a 不被b 整除，记为b |/a . 如果a = bc 里的c 不存在，我们就说b 不能整除a 或a 不被b 整除，记作b |/a . 定理1 （传递性）若a 是b 的倍数，b 是c 的倍数，则a 是c 的倍数， 也就是b |a,c|b ⇒c|a.证 b |a,c|b 就是说存在两个整数1a ，1b 使得111111,(),a ab b bc a a b c a b ===成立因此但是是一个整数，故c|a 定理2 若a ，b 都是m 的倍数，则a ±b 也是m 的倍数.证 a ，b 是m 的倍数的意义就是存在两个整数a 1 , b 1，使得111111,.(),a a m b b m a b a b m a b a b m ==±=±±±因此但是整数，故是的倍数 .定理3 若1212,,,,,,n n a a a m q q q 都是的倍数，是任意个整数，1122.n n q a q a q a m +++ 则是的倍数注：1、显然每个非零整数a 都有约数 ±1，±a ，称这四个数为a 的平凡约数，a 的另外的约数称为非平凡约数.2、若整数a ≠ 0，±1，并且只有约数 ±1和 ±a ，则称a 是素数（或质数）；否则称a 为合数.以后若无特别说明，素数总是指正素数.3、下面的结论成立：(ⅰ) a ∣b ⇔ ±a ∣±b ；·(ⅱ) a ∣b ，b ∣c ⇒ a ∣c ；(ⅲ) b ∣a i ，i = 1, 2, , k ⇒ b ∣a 1x 1 + a 2x 2 + + a k x k ，此处x i （i = 1, 2, , k ）是任意的整数；(ⅳ) b ∣a ⇒ bc ∣ac ，此处c 是任意的非零整数；(ⅴ) b ∣a ，a ≠ 0 ⇒ |b | ≤ |a |；b ∣a 且|a | < |b | ⇒ a = 0；(ⅴi) b ∣a ，a ≠ 0 ⇒ ba ∣a . 定理4(带余数除法) 设a 与b 是两个整数，b ≠ 0，则存在唯一的两个整数q 和r ，使得a = bq + r ，0 ≤ r < |b |. (1)证明 存在性 若b ∣a ，a = bq ，q ∈Z ，可取r = 0. 若b |/a ，考虑集合A = { a + kb ；k ∈Z },其中Z 表示所有整数的集合.在集合A 中有无限多个正整数，设最小的正整数是r = a + k 0b ，则必有0 < r < |b |， (2)否则就有r ≥ |b |. 因为b |/a ，所以r ≠ |b |. 于是r > |b |，即a + k 0b > |b |，a + k 0b - |b | > 0，这样，在集合A 中，又有正整数a + k 0b - |b | < r ，这与r 的最小性矛盾. 所以式(2)必定成立. 取q = - k 0知式(1)成立. 存在性得证.唯一性 假设有两对整数q '，r '与q ''，r ''都使得式(1)成立，即a = q ''b + r '' = q 'b + r '，0 ≤ r ', r '' < |b |，则(q '' - q ')b = r ' - r ''，|r ' - r ''| < |b |， (3)因此r ' - r '' = 0，r ' = r ''，再由式(3)得出q ' = q ''，唯一性得证. 证毕3、定义2 称式(1)中的q 是a 被b 除的不完全商，r 是a 被b 除的余数，也叫最小非负剩余，记作r a b =><.第二节 最大公因数与辗转相除法第三节 最小公倍数教学目的：1、掌握最大公因数与最小公倍数性质；2、掌握辗转相除法；3、会求最大公因数与最小公倍数.教学重点：最大公因数与最小公倍数性质教学难点：辗转相除法一、最大公因数定义 设12,,,2).n a a a n n d ≥ 是（个整数若整数是它们之中每一个的因数， 12,,,n d a a a 那么就叫作的一个公因数.整数a 1, a 2, , a k 的公共约数称为a 1, a 2, , a k 的公约数.不全为零的整数a 1, a 2, , a k 的公约数中最大的一个叫做a 1, a 2, , a k 的最大公约数（或最大公因数），记为(a 1, a 2, , a k ).如果(a 1, a 2, , a k ) = 1，则称a 1, a 2, , a k 是互素的（或互质的）；如果(a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j ，则称a 1, a 2, , a k 是两两互素的（或两两互质的）.显然，a 1, a 2, , a k 两两互素可以推出(a 1, a 2, , a k ) = 1，反之则不然，例如(2, 6, 15) = 1，但(2, 6) = 2.定理1 12,,,n a a a n 若是任意个不全为零的整数，则1212i ,,,,,n n a a a a a a （）与的公因数相同； 1212ii ,,,,,.n n a a a a a a = （）(）（）证 12,,,.,1,2,,,n i d a a a d a i n = 设是的任一公因数由定义12,1,2,,,,,i n d a i n d a a a = 因而故是的一个公因数，121,2,,,.n n a a a a a 同法可证，的任一个公因数都是，a 的一个公因数 121,2,,,n n a a a a a 故与a 有相同的公因数.定理2 若b 是任一正整数，则（i ）0与b 的公因数就是b 的因数， 反之，b 的因数也就是0与b 的公因数 . (ii) (0,b)=b .证 显然0与b 的公因数是b 的公因数 .由于任何非零整数都是0的因数， 故b 的因数也就是0，b 的公因数，于是（i ）得证.其次，我们立刻知道b 的最大因数是b ；而0，b 的最大公因数是b 的最大公因数，故（0，b ）=b.推论2.1 若b 是任一非零整数，则（0，b ）= b .定理3 ,,,,,,)(,).a b c a bq c q a b b c a b b c =+=设是任意三个不全为零的整数，且其中是非零整数，则与有相同的公因数，因而（ 定理4 ,(,)a b a b 若是任意两个整数，则就是a = bq 1 + r 1， 0 < r 1 < |b |，b = r 1q 2 + r 2， 0 < r 2 < r 1 ，r k - 1 = r k q k + 1 + r k + 1，0 < r k + 1 < r k ， (1)r n - 2 = r n - 1q n + r n ， 0 < r n < r n-1 ，r n - 1 = r n q n + 1 .中的最后一个不等于零的余数，即得(,)n a b r =推论4.1 ,(,).a b a b 的公因数与的因数相同例（1）1859,1573185928621431859143.a b =-=-⨯⨯=⨯-=由定理得（，1573）=（1859,1573）.1859=11573+2861573=5286+143所以（，1573）=（1859,1573）例（2）169,121484812532512322311212211.a b ==⨯⨯=⨯+=⨯+=⨯+=⨯=由定理得169=1121+48121=2+25所以（169,121）定理5 ,i (,),a b a b a b δδδδ设是任意两个不全为零的整数，（）若m 是任一正整数，则(am,bm)=(a,b)m.(ii)若是a,b 的任一公因数，则（,）= 特别地, )(),(,),(b a b b a a = 1. 定理6 1212,,,,,,).n n n a a a n a a a d = 若是个整数，则(二、最小公倍数1、定义 整数a 1, a 2, , a k 的公共倍数称为a 1, a 2, , a k 的公倍数. a 1, a 2, , a k 的正公倍数中的最小的一个叫做a 1, a 2, , a k 的最小公倍数，记为[a 1, a 2, , a k ].2、定理1 下面的等式成立：(ⅰ) [a , 1] = |a |，[a , a ] = |a |；(ⅱ) [a , b ] = [b , a ]；(ⅲ) [a 1, a 2, , a k ] = [|a 1|, |a 2| , |a k |]；(ⅳ) 若a ∣b ，则[a , b ] = |b |.3、定理2 对任意的正整数a ，b ，有[a , b ] =),(b a ab . 证明：设m 是a 和b 的一个公倍数，那么存在整数k 1，k 2，使得m = ak 1，m = bk 2，因此ak 1 = bk 2 . (1)于是21),(),(k b a b k b a a =. 由于)(),(,),(b a b b a a = 1，所以 t b a b k k b a b ),(),(11|=即，， 其中t 是某个整数. 将上式代入式(1)得到m =),(b a ab t . (2) 另一方面，对于任意的整数t ，由式(2)所确定的m 显然是a 与b 的公倍数，因此a 与b 的公倍数必是式(2)中的形式，其中t 是整数.当t = 1时，得到最小公倍数[a , b ] =),(b a ab . 推论1 两个整数的任何公倍数可以被它们的最小公倍数整除.证明 由式(2)可得证.这个推论说明：两个整数的最小公倍数不但是最小的正倍数，而且是另外的公倍数的约数.推论2 设m ，a ，b 是正整数，则[ma , mb ] = m [a , b ].证明 由定理2及前面的定理2的推论得到[ma , mb ] =),(),(),(22b a mab b a m ab m mb ma ab m === m [a , b ]. 证毕4、定理3 对于任意的n 个整数a 1, a 2, , a n ，记[a 1, a 2] = m 2，[m 2, a 3] = m 3， ，[m n -2, a n -1] = m n -1，[m n -1, a n ] = m n ，则[a 1, a 2, , a n ] = m n .证明：我们有m n = [m n -1, a n ] ⇒ m n -1∣m n ，a n ∣m n ，m n -1 = [m n -2, a n -1] ⇒ m n -2∣m n -1∣m n ，a n ∣m n ，a n -1∣m n -1∣m n ，m n -2 = [m n -3, a n -2] ⇒ m n -3∣m n -2∣m n ，a n ∣m n ，a n -1∣m n ，a n -2∣m n ，m 2 = [a 1, a 2] ⇒ a n ∣m n ， ，a 2∣m n ，a 1∣m n ，即m n 是a 1, a 2, , a n 的一个公倍数.另一方面，对于a 1, a 2, , a n 的任何公倍数m ，由定理2的推论及m 2, , m n 的定义，得m 2∣m ，m 3∣m ， ，m n ∣m .即m n 是a 1, a 2, , a n 最小的正的公倍数. 证毕推论 若m 是整数a 1, a 2, , a n 的公倍数，则[a 1, a 2, , a n ]∣m .定理4 整数a 1, a 2, , a n 两两互素，即(a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ n ，i ≠ j的充要条件是[a 1, a 2, , a n ] = a 1a 2 a n . (3)证明：必要性 因为(a 1, a 2) = 1，由定理2得到[a 1, a 2] =),(2121a a a a = a 1a 2 . 由(a 1, a 3) = (a 2, a 3) = 1及前面的定理4推论得到(a 1a 2, a 3) = 1，由此及定理3得到[a 1, a 2, a 3] = [[a 1, a 2], a 3] = [a 1a 2, a 3] = a 1a 2a 3 .如此继续下去，就得到式(3).充分性 用归纳法证明. 当n = 2时，式(3)成为[a 1, a 2] = a 1a 2. 由定理2a 1a 2 = [a 1, a 2] =),(2121a a a a ⇒ (a 1, a 2) = 1， 即当n = 2时，充分性成立.假设充分性当n = k 时成立，即[a 1, a 2, , a k ] = a 1a 2 a k ⇒ (a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j .对于整数a 1, a 2, , a k , a k + 1，使用定理3中的记号，由定理3可知[a 1, a 2, , a k , a k + 1] = [m k , a k + 1]. (4)其中m k = [a 1, a 2, , a k ].因此，如果[a 1, a 2, , a k , a k + 1] = a 1a 2 a k a k + 1，那么，由此及式(4)得到[a 1, a 2, , a k , a k + 1] = [m k , a k + 1] =),(11++k k k k a m a m = a 1a 2 a k a k + 1， 即),(1+k k k a m m = a 1a 2 a k ， 显然m k ≤ a 1a 2 a k ，(m k , a k + 1) ≥ 1.所以若使上式成立，必是(m k , a k + 1) = 1， (5)并且m k = a 1a 2 a k . (6)由式(6)与式(5)推出(a i , a k + 1) = 1，1 ≤ i ≤ k ； (7)由式(6)及归纳假设推出(a i , a j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j . (8)综合式(7)与式(8)，可知当n = k + 1时，充分性成立. 由归纳法证明了充分性. 证毕三、辗转相除法本节要介绍一个计算最大公约数的算法——辗转相除法，又称Euclid 算法.它是数论中的一个重要方法，在其他数学分支中也有广泛的应用.1、定义1 下面的一组带余数除法，称为辗转相除法.设a 和b 是整数，b ≠ 0，依次做带余数除法：a = bq 1 + r 1， 0 < r 1 < |b |，b = r 1q 2 + r 2， 0 < r 2 < r 1 ，r k - 1 = r k q k + 1 + r k + 1，0 < r k + 1 < r k ， (1)r n - 2 = r n - 1q n + r n ， 0 < r n < r n-1 ，r n - 1 = r n q n + 1 .由于b 是固定的，而且|b | > r 1 > r 2 > ，所以式(1)中只包含有限个等式.下面，我们要对式(1)所包含的等式的个数，即要做的带余数除法的次数进行估计.2、引理1 用下面的方式定义Fibonacci 数列{F n }：F 1 = F 2 = 1，F n = F n - 1 + F n - 2，n ≥ 3，那么对于任意的整数n ≥ 3，有F n > α n - 2， (2)其中α =251+.证明：容易验证α 2 = α + 1.当n = 3时，由F 3 = 2 >251+= α 可知式(2)成立.假设式(2)对于所有的整数k ≤ n （n ≥ 3）成立，即F k > α k - 2，k ≤ n ，则F n + 1 = F n + F n - 1 > α n - 2 + α n - 3 = α n - 3(α + 1) = α n - 3α 2 = α n - 1，即当k = n + 1时式(2)也成立.由归纳法知式(2)对一切n ≥ 3成立.证毕. 定理11(1),1,,;k k k k a P b r k n --=-= 若a,b 是任意两个正整数，则Q其中 0111201121,,,0,1,,k k k k k k k k P P q P q P P Q Q Q q Q Q ----===+===+ 其中k=2,,n.推论1.1若a,b 是任意两个不全为零的整数，则存在两个整数s,t 使得as+bt=(a,b).定理2 若a,b,c 是三个整数，且(a,c)=1.则i （）ab,c 与b,c 有相同的公因数，ii （） (ab,c)=(b,c),,.b c 上面假定了至少有一不为零推论2.1 ,.ab c b 若（a,c)=1,c 则推论2.2 1212,,,,,,.n m a a a b b 设及b 是任意两组整数1212,,,,,,.n m a a a b b 若前一组中任意整数与后一组中任意整数互质，则与b 互质例2 用辗转相除法求(125, 17)，以及x ，y ，使得125x + 17y = (125, 17).解：做辗转相除法：125 = 7⋅17 + 6，q 1 = 7，r 1 = 6，17 = 2⋅6 + 5， q 2 = 2，r 2 = 5，6 = 1⋅5 + 1， q 3 = 1，r 3 = 1，5 = 5⋅1， q 4 = 5.由定理4，(125, 17) = r 3 = 1.利用定理2计算（n = 3）P 0 = 1，P 1 = 7，P 2 = 2⋅7 + 1 = 15，P 3 = 1⋅15 + 7 = 22，Q 0 = 0，Q 1 = 1，Q 2 = 2⋅1 + 0 = 2，Q 3 = 1⋅2 + 1 = 3，取x = (-1)3 - 1Q 3 = 3，y = (-1)3P 3 = -22，则125⋅3 + 17⋅(-22) = (125, 17) = 1.例3 求(12345, 678).解：(12345, 678) = (12345, 339) = (12006, 339) = (6003, 339)= (5664, 339) = (177, 339) = (177, 162) = (177, 81)= (96, 81) = (3, 81) = 3.例4 在m 个盒子中放若干个硬币，然后以下述方式往这些盒子里继续放硬币：每一次在n （n < m ）个盒子中各放一个硬币.证明：若(m , n ) = 1，那么无论开始时每个盒子中有多少硬币，经过若干次放硬币后，总可使所有盒子含有同样数量的硬币.解：由于(m , n ) = 1，所以存在整数x ，y ，使得mx + ny = 1. 因此对于任意的自然数k ，有1 + m (-x + kn ) = n (km + y )，这样，当k 充分大时，总可找出正整数x 0，y 0，使得1 + mx 0 = ny 0 .上式说明，如果放y 0次（每次放n 个），那么在使m 个盒子中各放x 0个后，还多出一个硬币.把这个硬币放入含硬币最少的盒子中（这是可以做到的），就使它与含有最多硬币的盒子所含硬币数量之差减少1. 因此经过若干次放硬币后，必可使所有盒子中的硬币数目相同.四、小结.第四节 素数、整数的唯一分解定理教学目的：1、掌握素数的一系列性质；2、理解并掌握唯一分解定理.教学重点：素数的性质及唯一分解定理的证明及应用教学难点：唯一分解定理的证明及应用教学课时：4课时教学过程一、素数1、定义 大于1的整数，如果只有平凡因子，就叫素数，否则叫合数.2、定理1 设a 是任意大于1的整数，则a 除1以外的最小正因子p 是素数，并且当a 是合数时，则a p ≤ .3、定理2 设p 是素数，a 是任意整数，则a p |或1),(=a p .4、定理3 设p 是素数，p|ab , 则p|a 或p|b.5、定理4 素数有无穷多个.6、定理2 形如4n-1型的素数有无穷多个.例1 写出不超过100的所有的素数。
初等数论及其应用
初等数论及其应用数论可以说是数学中一门最广义的数学分支，它不仅涉及一般的整数理论，更深入地探讨一般的整数关系，以及它们在数学中的应用。
初等数论，也称作元数论，是数论中的一个重要部分，它主要研究了整数的结构，以及它们在其他数学领域的应用。
数论的发展可以追溯到古希腊的费里泽尔时代，他们发现了质数以及质数相关的一系列定理，比如“质数的和是没有最小数的”，“质数的乘积是有限的”等等。
它们对当时的数学研究非常有帮助，而它们也是后来数论研究的基础。
在古希腊时代，数论学习的重点也是探讨质数的特征和性质。
随着数学的发展，数论的研究也越来越深入。
17世纪英国数学家Pierre de Fermat发现了因数分解定理，也就是一个数字可以分解成质数的乘积，这被称作Fermat因子分解定理，它也是后来数论研究的根基之一。
19世纪和20世纪给数论研究带来了新的发展，许多新的定理被发现和推导出来，包括分解数、拉格朗日定理、唯一分解定理和莫比乌斯定理等等，它们都是数论研究的基础。
此外，数论也和一般的数学研究有一定的联系，比如基准定理，它将复数和实数的关系更加紧密地结合在了一起。
它也是数论和一般数学的交叉研究成果之一。
另外，数论也有实际的应用，比如安全性以及数字信号处理等。
它们都是利用数论研究的结果，将数论理论转化成实际应用。
比如RSA密码，它就是采用了Fermat因子分解定理来设计的，它一直被用来保护重要文件和信息的安全性。
此外，数论也被用于数字信号处理，比如合成数字信号、数据压缩和图像处理等。
因此，初等数论是数学中一个重要的分支，它不仅探讨了广义的整数关系，也发掘了它们在各个子数学领域的应用，为数学的发展发挥了重要作用。
初等数论
初等数论初等数论从表面意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。
准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。
它不仅是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是计算机科学等相关专业所需的课程。
纵观数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。
第一部分：整除初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。
整除理论首先涉及整除。
现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。
从小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数，可谓种类繁多。
但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。
首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ，这似乎与中学有一点差别，当然整数的定义改变就相对少得多。
另外，自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。
在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。
自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关自然数的有关性质。
Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件：（ⅰ）对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素记作n+,称为是n的后继元素（或后继）；（ⅱ）有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继；（ⅲ）N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+ 一定可以推出a=b;(ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合，e∈S, 如果n∈S则必有n+ ∈S,那么，S=N.这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。
其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。
数学归纳法在中学已属重点内容，此处就不作介绍。
主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法：（第二种数学归纳法）设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。
初等数论 25课时
初等数论 25课时初等数论通常被当作中学数学的一部分，可以在25个课时内完成。
以下是一个可能的课程安排：第1课：整数的定义和性质- 正整数、负整数、零- 自然数的集合和整数的集合- 整数的性质：加法封闭性、乘法封闭性、零元素、相反元素、相反性质、交换性、结合性第2课：整除和倍数- 整除的定义及性质- 倍数的定义及性质- 整除的运算性质：加法、乘法、整除关系的传递性第3课：素数和合数- 素数的定义和性质- 合数的定义和性质- 素数的性质：质因数分解、唯一性、无穷性第4课：最大公因数和最小公倍数- 最大公因数的定义和性质- 最小公倍数的定义和性质- 最大公因数和最小公倍数的关系：辗转相除法第5课：质因数分解- 质因数分解的定义和性质- 使用质因数分解求最大公因数和最小公倍数- 剩余定理：同余第6课：一次不等式- 一次不等式的定义和性质- 一次不等式的解集表示和图示解- 一元一次不等式的乘法性质和定理第7课：二次不等式- 二次不等式的定义和性质- 二次不等式的解集表示和图示解- 一元二次不等式的乘法性质和定理第8课：整数的奇偶性- 整数的奇数和偶数的定义和性质- 整数的奇数和偶数的四则运算性质- 奇偶性的应用：整数的平方的奇偶性、整数的和的奇偶性第9课：整数的余数- 整数的除法算法及余数的定义和性质- 除法算法的应用：整数的整除性质、整数的周期性第10课：循环小数与无理数- 无限小数的定义和性质- 循环小数的定义和性质- 无理数和有理数的关系第11课：初等数论的证明方法- 数学证明的基本方法和思维方式- 证明的基本结构：前提、推理、结论- 数学归纳法第12课：欧几里得算法和线性同余方程- 欧几里得算法的定义、性质和应用- 线性同余方程的定义和解法第13课：同余模运算- 同余模运算的定义和性质- 同余模运算的运算法则：加法、减法、乘法、幂运算- 同余方程的解法第14课：费马小定理和欧拉函数- 费马小定理的定义和应用- 欧拉函数的定义和性质- 欧拉函数的计算方法第15课：模逆元和扩展欧几里得算法- 模逆元的定义和性质- 模逆元的计算方法- 扩展欧几里得算法的定义、性质和应用第16-25课：综合应用和习题训练- 数论在密码学、编码、排列组合等领域的应用- 习题训练，并讲解常见问题的解法请注意，以上仅是初等数论课程的一个可能安排，具体的教学内容和进度可以根据教学目标和学生水平进行调整。
初等数论完整资料整合。
第一章考点1、会求最大公因数与最小公倍数解法：最大公因数用辗转相除法最小公倍数为两个数的乘积除以两者的最大公约数，所以也是要先求出两者的最大公约数2、判别一个数是为质数还是合数判别法：用小于√x的所有质数除此数，看能否被整除3、证明整除（最好用同余证）例1证：73|8n+2+92n+1（n∈N）解：法一 8n+2+92n+1=64×8n+9×81n=64×8n+9×（73+8）n=64×8n+9×（C0n73n+C1n73n-1×8+…+C n n8n）=64×8n+9(73q+8n)( q∈Z)=73×8n+9q×73所以73|8n+2+92n+1法二 8n+2+92n+1≡64×8n+9×81n≡64×8n+9×8n≡73×8n≡0（mod73）所以73|8n+2+92n+1例2已知17|2x+3y,证明17|9x+5y解：因为9x+5y=17（x+y）- 4(2x+3y) 且17|2x+3y所以17|9x+5y例3设k为正奇数，证：1+2+3+....+9|1k+2k+3k+ (9)证：记S=1k+2k+3k+ (9)则2S=（1k+9k）+（2k+8k）+…+（9k+1k）=（1+9）q1 （q1∈Z)所以10|2S又因为2S=（0k+9k）+（1k+8k）+…+(9k+0k)=（0+9）q2（q2∈Z）所以9|2S又因为（9,10）=1所以90|2S 即45|S从而1+2+3+....+9|1k+2k+3k+ (9)4、证明某种类型的质数有无穷多个例：证明4n+1形的质数的个数为无穷。
（最后一节课讲的）第三章同余考点：1、同余的性质；（应用在同余解题中）P482、简化剩余系和欧拉函数；（求简化剩余系的个数）P583、欧拉定理和费马定理对循环小数的应用；（利用欧拉定理解题；判断是纯循环还是混循环，若是混循环，从第几位开始）P61具体分析：一、同余的性质1、a≡a (mod m)2、若a≡b (mod m),则b≡a (mod m)3、若a≡b (mod m) b≡c (mod m) 则 a≡c (mod m)4、i.若a1≡b1 (mod m) a2≡b2 (mod m) 则 a1+a2≡b1+b2 (mod m)ii. a+b≡c (mod m) 则 a≡c-b (mod m)5、a1≡b1 (mod m) a2≡b2 (mod m) 则 a1a2≡b1b2 (mod m)特别的，若a≡b (mod m) 则 ak≡bk (mod m)6、若a≡b (mod m) 且a=a1d b=b1d (d,m)=1 则 a1≡b1 (modm)7、i.若a≡b (mod m) k>0 则 ak≡bk （mod mk）ii.若a≡b (mod m) d为a,b及m的任一正公因数，则a/d≡b/d (mod m/d)8、若a≡b (mod m) i=1、2…k 则a≡b(mod m1m2…m k)例：一个小于4000的四位数，被3、4、5、7、9除皆余2，求这个数。
初等数论.pdf
第二十章 初等数论本章简要地介绍了初等数论的基础知识.共分六节.前五节讨论了整数的性质与辗转相除法,连分数与费波那奇序列,同余式与孙子定理,介绍了几种重要的数论函数和麦比乌斯变换,并列出几类不可约多项式的判别方法.最后一节对代数数等基本概念和性质作了简单的介绍.§1 整数[整数部分与分数部分] 设α为一实数,不超过α的最大整数称为α的整数部分,记作[]α.而{}[]ααα=−称为α的分数部分. 例如 [],[11=.]232=,[等等 .]−=−354 整数部分具有下列关系式: [][]ααα≤<+1[][]n n αα⎡⎣⎢⎤⎦⎥=,n 为自然数 [][ααααn n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11L ]]，n 为自然数 [][][][][22αβααββ+≥+++ [][][]αβαβ−=− 或 []αβ−+1注意,在计算机程序中的“取整运算”与这里的“整数部分”意义是有差别的:当α≥0时是一致的;当α<0时不一致,例如[.]−=−354,但计算机上−35.取整后为−3. [整除性] 若有一整数c ,使得整数a 与b 之间适合于bc a =则称b 可整除a ,记作b a 。
这时a 称为b 的倍数,b 称为a 的因数(或约数). 若b 不能整除a ,则记作b a .整除性具有下列性质(下列各式0,0≠≠c b ): 1° 若b a ,c b , 则c a ; 2° 若b a , 则bc ac ;3° 若c d ,c e ,则对于任意整数m,n 有c d m ea +4° 若b 是a 的真因数(即b ),则a ≠1, 1<<b a[素数与爱拉托斯散筛法] 恰有1和本身两个自然数为其因数的大于1的整数称为素数,记作.除2为偶素数外,其余素数都是奇数. p 素数具有性质:1° 素数有无限多个. 如果不超过自然数n 的素数个数记作 π(n),则当时,有n ≥21812⋅≤≤⋅n n n n nlog ()log π*,进一步有 1log )(lim =∞→nnn n π*数论中通常把自然对数记作.x ln x log2° 设p 为素数,若p ab ,则p a 或pb . 3° 中含素数p 的方次数等于n ! [][][]n p n p np+++23L4° 若n N ≤为正整数,它不能被不超过N 的所有素数所整除,则n 必为素数.这种判别自然数是否为素数的方法称为爱拉托斯散筛法.由此法可建立素数表.[唯一分解定理] 大于1的自然数都可唯一地分解为素数幂的积.设n ,为自然数,则n 可唯一地表为>1s a s a a p p p n L 2121⋅= (为自然数) 0,,0,021>>>s a a a L (为素数)s p p p <<<L 21这称为n 的标准分解式。
初等数论
2013，北约，8：至少可以找到多少个两两不同的正整数 使得他们中的任意三个的和都是质数？证明你的结论。
2013，北约，8：至少可以找到多少个两两不同的 正整数使得他们中的任意三个的和都是质数？证明 你的结论。 特殊化猜想：1 3 7 9 一般化证明：假设存在5个符合题意的正整数。考 虑他们除以3的余数，设余数为0,1,2的分别为 a b c 个则 （1）若a b c均不为0则一定存在三个数，他们的余 数分别为0 1 2 取这三个数他们的和为3的倍数，不 是质数 （1）若a,b,c中有零，则根据抽屉原理至少有三个 数，他们的余数相同，这三个数的和为3的倍数一 定不是质数。综上最多能找到4个
2 设m=x1 x2 x3 x4 x5 , c4 6 这5个数中有两个相等；
不妨设x1
x2
x3
a 44, 45, 46, 47 a 46, m 57 x1 13, x2 12, x3 x5 11, x4 10
m x1 44 m x 45 2 x4则 m x3 46 则4m 182 a m x 47 4 m x5 a
初等数论
初等数论是研究数的规律，特别是整数性质 的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。 它以算术方法为主要研究方法，主要内容有 整数的整除理论、同余理论、连分数理论和 某些特殊不定方程。 换言之，初等数论就 是用初等朴素的方法去研究数论。 在自主招生考试中所考察的内容包括：整数， 有理数，实数 整除，同余理论，多项式， 韦达定理，高斯函数等。 特点：形式简单所用知识不多但是富有灵巧 性不易下手
2014数学竞赛河南预赛7（高斯函数）
n n n 符号 x 表示不超过x的最大整数，n是正整数则 ( ) 3 6 n 1 2
初等数论
进而得到
a (aa2 ) (aa ( m ) ) a ( m ) a2 a ( m ) a2 a ( m ) (mod m).
由于 a 2 ,, a ( m ) 与 m 互素，得
其中 fj(x)( 1 ≤j ≤k )是整系数多项式,称为同余方程组。若整数 c 同时满足同余方程组
f j (c) 0(mod m j ),
1 ≤j ≤k ，
孙子定理和大衍求一术
在我国古代的《孙子算经》 （纪元前后）里提出了这样的一个问题： “今 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” “答曰：二十三”. 孙子给出解法： “术曰：三三数之剩二，置百四十；五五数之剩三，置 六十三；七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之即 得.” 所谓“孙子定理”，便是蕴含在这解法中的数学原理。它要解决的问题的 一般形式是： “已知 m1、m2、m3 是两两互素的正整数，求最小正整数 x ，使它被
c 如果 a, b Œ ，则方程无整数解。
如果 a, b |c ，则方程一定有整数解。根据辗转相除法可以知道： 一定存在整数 x0 , y0 使得 ax0 by0 a, b ，则（
cx0 cy0 , ） a, b a, b
就是方程 ax by c 的一组整数解。设 a1 则不定方程的一切整数解可以表示为
m1、m2、m3 除所得余数分别为 a1 、 a2 、 a3 .”
这个问题的实质就是要求解同余方程组
x a1 (mod m1 ), x a2 (mod m2 ), x a3 (mod m3 )
孙子定理和大衍求一术
大学数学初等数论
大学数学初等数论在数学的学习中，数论是一个非常重要的分支，它研究的是数的性质和规律。
在大学数学中，初等数论是数论的基础课程，它主要包括了以下几个方面的内容：整除性理论：整除性理论是数论的基础，它主要研究的是整数之间的除法性质。
通过研究素数和分解定理，我们可以更好地理解整数的内部结构和性质。
同余理论：同余理论是数论的核心内容之一，它主要研究的是整数之间的同余关系。
通过研究同余方程和模逆元，我们可以解决许多与整数相关的问题。
椭圆曲线理论：椭圆曲线理论是数论的一个重要分支，它主要研究的是椭圆曲线上的点的性质和规律。
椭圆曲线是一个非常复杂的对象，但通过一些特定的方法和技巧，我们可以找到它的内部结构和性质。
密码学应用：数论在密码学中有着广泛的应用。
例如，RSA加密算法就是基于数论中的一些特殊性质和规律设计的。
通过学习数论，我们可以更好地理解密码学的原理和方法。
在学习初等数论的过程中，我们需要掌握一些基本的数学知识和方法，如代数、分析、几何等。
我们还需要具备一些基本的数学素养，如逻辑推理、抽象思维、证明能力等。
只有具备了这些基础和能力，我们才能够更好地理解和掌握数论的基本概念和原理。
大学数学初等数论是一门非常重要的课程，它不仅可以帮助我们更好地理解整数的基本性质和规律，还可以在密码学等领域中有着广泛的应用。
通过学习这门课程，我们可以提高自己的数学素养和思维能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
中学数学奥林匹克是培养学生数学兴趣和选拔数学人才的重要途径。
其中，初等数论问题作为数学奥林匹克中的重要组成部分，可以有效提高学生的数学能力和逻辑思维能力。
本文将对中学数学奥林匹克中的初等数论问题进行深入研究，探讨其背景、特点及解决方法。
初等数论是数学的基础分支之一，主要研究整数的性质和结构，以及它们之间的相互关系。
中学数学奥林匹克中的初等数论问题，主要涉及以下几个方面：整除与因数分解：研究整数的整除性质和因数分解的方法，以及它们在数学奥林匹克中的应用。
初等数论
证明:唯一性
设m=p1p2…pr=q1q2…qs 只要证明只是顺序不同就好了 p1|q1q2…qs，所以对于某个i,p1|qi，显然p1=qi 则m/p1=p2…pr=q1q2…qi-1qi+1…qs 可以继续这样做，直到最后可以证明p1,p2,…,pr和 q1,q2,…,qs之间存在一一对应关系 严格叙述可以用数学归纳法或最小整数原理
引理3
假定ab≠0,(a,b)=1,且x0,y0是ax+by=c的一组解, 则ax+by=c的所有解可写为 x=x0+bt , y=y0-at, 其中t是整数
证明
由引理2,因为(a,b)=1,对任何c,有1|c,方程确实有解. 设r,s是ax+by=c的任意解. 我们要证,r=x0+bt,s=y0-at必对某一整数t成立.由 ax0+by0=c得 c-c=(ax0+by0)-(ar+bs) 即 a(x0-r)+b(y0-s)=0 由a|a(x0-r)和a|0,可得a|b(y0-s),由于(a,b)=1,所以a|y0s 即存在一个整数t,使at=y0-s 可知,s=y0-at,r=x0+bt
function gcd(a , b : longint;var x , y : longint) : longint; Var _x , _y : longint; Begin if (b = 0) then begin gcd := a; x := 1; y := 0; end else begin gcd := gcd(b , a mod b , _x , _y); x := _y; y := _x – _y * (a div b); end; End;
初等数论论文
初等数论论文引言初等数论是研究自然数的性质和关系的数学分支。
自古以来，人们就对数的性质产生了浓厚的兴趣，而初等数论正是对数的一系列性质进行系统研究的学科。
本文将介绍初等数论的基本概念、性质以及应用领域。
一、初等数论的基本概念1.自然数：自然数是指从1开始的整数数列，即1, 2, 3, 4, …。
2.整除关系：对于任意两个自然数a和b，如果b能够整除a，即a是b的倍数，那么我们称b为a的约数，a为b的倍数。
用数学符号表示为b | a。
3.最大公约数：对于两个非零整数a和b，能够同时整除它们的最大的正整数，称为它们的最大公约数。
用数学符号表示为gcd(a, b)。
4.素数：素数是只能被1和自身整除的正整数，不包括1。
例如，2、3、5、7等都是素数。
5.质因数分解：对于一个大于1的自然数，可以将它表示为几个素数的乘积的形式，这个过程称为质因数分解。
二、初等数论的性质1.唯一分解定理：任意一个大于1的自然数都可以唯一地表示为一系列素数的乘积。
2.素数无穷性：素数是无穷多的。
3.质数间的差距：任意两个相邻的自然数之间必然存在一个素数。
4.最大公约数和最小公倍数：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数之间存在特定的关系，即gcd(a, b) * lcm(a, b) = a * b。
5.费马小定理：对于任意一个素数p和不是p的倍数的自然数a，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)，其中mod表示取余运算。
三、初等数论的应用领域初等数论在密码学、密码学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
1.密码学：初等数论提供了很多用于构建密码系统的算法，如RSA加密算法和椭圆曲线密码算法。
这些算法的安全性都基于数论的基本性质。
2.密码破解：初等数论的方法在密码破解中也有重要应用，如通过分解大整数来破解RSA加密算法。
3.网络安全：初等数论方法可以应用于网络安全领域，用于验证数字签名、构建安全协议等。
4.数据压缩：初等数论的方法在数据压缩算法中也有应用，如哈夫曼编码算法利用字符出现的频率分布进行压缩。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
问题一：数学教育专业分为专业基础课：高等代数，数学分析，空间解析几何以及专业课：实变函数论，点集拓扑，复变函数论，微分几何，概率与数理统计，数学建模，初等数论，数学教学论。
数学主要的学科首要产生于商业上计算的需要、了解数与数之间的关系、测量土地及预测天文事件。
这四种需要大致地与数量、结构、空间及变化(即算术、代数、几何及分析)等数学上广泛的领域相关连著。
除了上述主要的关注之外，亦有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域：至逻辑、至集合论(基础)、至不同科学的经验上的数学(应用数学)、及较近代的至不确定性的严格学习。
一、李永乐：李永乐老师毕业于北京大学数学系，后来在清华大学数学系任教，
他还是前二李全书的代数执笔者，李永乐全书和660题的主编，可以说是考研数学界的权威代表。
他的研究方向是线性代数。
二、汤家凤：汤老师是南京大学数学系博士，南京工业大学副教授。
他的研究方
向为高等代数。
三、李林：李林老师毕业于北师大数学系，大连理工大学数学科学学院数学研究
所教师，职称为讲师，研究方向为常微分方程。
四、武忠祥：西安交通大学数学系教授，从事高等数学教学和考研辅导23年，
国家高等数学试题库骨干专家。
五、王式安：王式安本人毕业于复旦大学数学系，后来任教于北京理工大学。
王
式安老师是前考研命题组的老师，主要是讲概率。
六、方复全：首都师范大学特聘教授，教育部长江学者特聘教授。
主要研究方向
为微分几何、微分拓扑学。
七、曹一鸣：北京师范大学数学学科学院教授，博士生导师，贵州师范大学特聘
教授。
主要从事数学课程与教学、数学史与数学教育研究。
八、戎小春：首都师范大学数学系硕士毕业，后留校任教。
现为美国Rutgers大
学教授。
他的研究方向主要为微分几何理论。
九、王贵君：天津师范大学数学学院教授。
研究方向：模糊测度与积分,模糊神
经网络,模糊系统逼近。
十、汪晓勤：中国科学院科学技术史博士专业，获哲学博士学位。
现任华东师范
大学数学系教授，学科教育（数学）专业博士生导师。
研究方向为数学史与数学教育。
问题二：数论的发展史及现状
数论早期称为算术。
到20世纪初，才开始使用数论的名称，而算术一词则表示“基本运算”，不过在20世纪的后半，有部份数学家仍会用“算术”一词来表示数论。
1952年时数学家Harold Davenport仍用“高等算术”一词来表示数论，戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特在1938年写《数论介绍》简介时曾提到“我们曾考虑过将书名改为《算术介绍》，某方面而言是更合适的书名，但也容易让读者误会其中的内容”。
古希腊数学家——欧几里得
公元前300年，古希腊数学家欧几里德证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种寻找素数的埃拉托斯特尼筛法。
寻找一个表示所有素数的素数通项公式，或者叫素数普遍公式，是古典数论最主要的问题之一。
数论从早期到中期跨越了1000—2000年，在接近2000年时间，数论几乎是空白。
中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马，梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特、Heegner等人发展的。
内容是寻找素数通项公式为主线的思想，开始由初等数论向解析数论和代数数论转变，产生了越来越多的猜想无法解决，遗留到20世纪，许许多多的困难还是依赖素数通项公式，例如黎曼猜想。
如果找到一个素数通项公式，一些困难问题就可以由解析数论转回到初等数论范围。
到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，但是仍然没有找到素数产生的模式。
德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术研究》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。
这部书开始了现代数论的新纪元。
在《算术研究》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和已知的方法进行了分类，还引进了新的方法。
高斯在这一著作中主要提出了同余理论，并发现了著名的二次互反律，被其誉之为“数论之酵母”。
黎曼在研究ζ函数时，发现了复变函数的解析性质和素数分布之间的深刻联系，由此将数论领进了分析的领域。
这方面主要的代表人物还有英国著名数论学家哈代、李特伍德、拉马努金等等。
在国内，则有华罗庚、陈景润、王元等等。
另一方面，由于此前人们一直关注费马大定理的证明，所以又发展出了代数数论的研究课题。
比如库默尔提出了理想数的概念--可惜他当时忽略了代数扩环的唯一分解定理不一定成立）。
高斯研究了复整数环的理论--即高斯整数。
他在3次情形的费马猜想中也用了扩环的代数数论性质。
代数数论发展的一个里程碑，则是希尔伯特的《数论报告》。
随着数学工具的不断深化，数论开始和代数几何深刻联系起来，最终发展称为当今最深刻的数学理论，诸如算术代数几何，它们将许多此前的研究方法和研究观点最终统一起来，从更加高的观点出发，进行研究和探讨。
现状：
由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。
比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。
此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。
特别是由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。
数论在国际上的代表人物：高斯、黎曼、英国著名数论学家哈代、李特伍德、拉马努金等等。
我国古代及现代在初等数论的有关杰出人物及成就
《孙子定理》西方常称此定理为中国剩余定理秦九韶：大衍求一术陈景润证明“歌德巴赫猜想”
我国的哪些大学研究数论这个方向
一、中国科学院谁在研究：田野研究成果：拉马努金奖
二、南京大学孙智伟他独立完成的成果“关于覆盖系等数论问题的研究”
三、北京大学李文威
四、山东大学刘建亚
五、北京大学刘若川《p进局部系统的刚性与黎曼希尔伯特对应》被世界顶
级数学期刊Inventiones Mathematicae接受并在线发表。
目前中小学教材有关数论的的相关知识
中小学已经完全掌握了自然数，且学会了公倍数，公约数等基础知识；而初等数论是进一步强化和延续，增强对整数跟深刻的理解和运用。
尤其是整除同余等理论。