学而思_小升初专项训练__数论篇_教师版
学而思_小升初专项训练__数论篇(1)_学生版
1 （05年人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （05年101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3 （05年首师附中考题）211+2121202+2121212113131313212121505 =＿＿。
4 （04年人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
5 (02年人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A 、125B 、126C 、127D 、128【例1】（★★★）将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。
将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。
请求出这24个四位数中最大的一个。
【例2】（★★★）一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？【例3】（★★★）由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【例4】（★★）一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7 ，女同学的人数超过总数的2/5 。
问男女生各多少人？【例5】（★★★）2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?[拓展]：2005×684×375×□最后4位都是0，且是7的倍数，问□里最小是_____【例6】（★★★）03 年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及时，04年的招生人数比03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？【例7】（★★★）从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。
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小升初重点中学真题之数论篇数论篇一1 （人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
4 (人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128预测1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？预测2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。
2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？预测3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．数论篇二1 （清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.2 （三帆中学考题）140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。
2002除以这个自然数的余数是 .3 （人大附中考题）某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.4 （101中学考题）一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。
5 （实验中学考题）(1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除?(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个各位数字之和能被4整除?预测1. 如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是多少？预测2．（★★★★）公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前3个数字之和等于后3个数字之和，则称这张车票是幸运的。
小升初数论专项训练数学
小升初数论专项训练数学数论是数学中的一个重要分支，它研究整数的性质和整数之间的关系。
对于小升初的学生来说，掌握数论的基础知识和解题技巧对于提高数学能力至关重要。
以下是一些数论专项训练的内容，帮助学生在小升初考试中取得好成绩。
1. 整数的奇偶性- 奇数与偶数：整数可以被分为奇数和偶数。
奇数是不能被2整除的整数，而偶数是能被2整除的整数。
- 奇偶性的性质：奇数加奇数等于偶数，偶数加偶数也等于偶数，奇数加偶数等于奇数。
2. 整数的因数与倍数- 因数：如果整数a能被b整除，那么b就是a的一个因数。
- 倍数：如果整数a是b的倍数，那么b是a的一个因数。
- 质因数分解：将一个合数分解成几个质数相乘的形式。
3. 最大公约数与最小公倍数- 最大公约数（GCD）：两个或多个整数共有约数中最大的一个。
- 最小公倍数（LCM）：两个或多个整数的公倍数中最小的一个。
- 求法：使用辗转相除法求最大公约数，用两个数的乘积除以它们的最大公约数得到最小公倍数。
4. 素数与合数- 素数：大于1的自然数，且除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数。
- 合数：大于1的自然数，除了1和它本身外，还能被其他自然数整除的数。
5. 整数的整除规则- 2的整除规则：末位为0, 2, 4, 6, 8的数能被2整除。
- 3的整除规则：各位数字之和能被3整除的数能被3整除。
- 5的整除规则：末位为0或5的数能被5整除。
- 9的整除规则：各位数字之和能被9整除的数能被9整除。
6. 同余与同余方程- 同余：如果两个整数a和b除以同一个正整数m后，得到的余数相同，那么a和b关于m同余。
- 同余方程：形如ax ≡ b (mod m)的方程。
7. 中国剩余定理- 定理内容：如果m1, m2, ..., mk是两两互质的正整数，那么对于任意的整数a1, a2, ..., ak，存在唯一的整数x，使得x ≡ ai (mod mi)，对所有的i。
8. 数字的位值问题- 位值：数字在不同数位上代表的值不同，例如在十进制中，100代表1个百和0个十与个位。
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小升初重点中学真题之数论篇数论篇一1 （人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
4 (人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128预测1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？预测2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。
2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？预测3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．数论篇二1 （清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.2 （三帆中学考题）140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。
2002除以这个自然数的余数是 .3 （人大附中考题）某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.4 （101中学考题）一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。
5 （实验中学考题）(1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除?(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个各位数字之和能被4整除?预测1. 如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是多少？预测2．（★★★★）公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前3个数字之和等于后3个数字之和，则称这张车票是幸运的。
2023年学而思小升初专项训练数论篇教师版
学而思_小升初专项训练__数论篇(1)_教师版名校真题（数论篇）1 （2023人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它自身。
2 （2023101中学考题）假如在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是本来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3 （2023首师附中考题）1 21+2023121++1=（）4 （2023人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
5 (2023人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128 【附答案】1 【解】：62 【解】：设本来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以本来的两位数为45。
3 【解】：周期性数字，每个数约分后为1 21+221+521+1321=14 【解】：题中规定丙与135的乘积为甲的平方数，并且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应当是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。
5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不也许出现8，所以答案是D。
小升初专项训练数论篇基本公式1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。
[讲解练习]：若3a75b能被72整除，问a=＿＿,b=＿＿.（迎春杯试题）2）已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。
3）唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p11a×p22a×...×pkak（#)其中p1<p2<...<pk为质数，a1,a2,....ak为自然数，并且这种表达是唯一的。
学而思_小升初专项训练__比例百分数篇_教师版
名校真题测试卷9 （比例百分数篇）时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________1 （06年清华附中考题）甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是________元.2 （05年101中学考题）100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%，稍微晾晒后，含水量下降到98%，那么这100千克的蘑菇现在还有多少千克呢？3（06年实验中学考题）有两桶水：一桶8升，一桶13升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是5：7，那麽往每个桶中加进去的水量是升。
4 （06年三帆中学考题）有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运12吨给乙堆，那么两堆煤就一样重。
如果从乙堆运12吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的2倍。
这两堆煤共重（）吨。
5 （03年人大附中考题）一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1:5，开始时黑棋子，求白棋子各有多少枚？【附答案】1 【解】：设方程：设甲成本为X元，则乙为2200-X元。
根据条件我们可以求出列出方程：90%×[（1+20%）X+(1+15%)(2200-X)]-2200=131。
解得X=1200。
2 【解】：转化成浓度问题相当于蒸发问题，所以水不变，列方程得：100×（1-99%）=（1-98%）X，解得X=50。
方法二：做蒸发的题目，要改变思考角度，本题就应该考虑成“98％的干蘑菇加水后得到99％的湿蘑菇”，这样求出加入多少水份即为蒸发掉的水份，就又转变成“混合配比”的问题了。
但要注意，10千克的标注应该是含水量为99％的重量。
将100千克按1∶1分配，如下图：所以蒸发了100×1/2=50升水。
3 【解】此题的关键是抓住不变量：差不变。
这样原来两桶水差13-8=5升，往两个桶中加进同样多的水后，后来还是差5升，所以后来一桶为5÷（7-5）×5=12.5，所以加入水量为4.5升。
小升初专项训练-第11讲数论篇2-答案
第11讲小升初专项训练数论篇2－答案姓名____________得分____________一、基本公式1、余数定理⑴两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
例1：7÷3=…1，5÷3=…2，这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3，所以余0。
⑵两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
例2：8÷3=…2，4÷3=…1，这样（8-4）÷3的余数就等于2-1=1，所以余1。
如果是（7-5）÷呢? 会出什么问题？⑶两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
例3：7÷3=…1，5÷3=…2，这样（7×5）÷3的余数就等于1×2=2，所以余2。
2、同余性质：⑴带余除法：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r，当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。
用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r＜b例4：两个整数相除得商数是12和余数是26，被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数是____。
解：除数是：(454-12-26-26)÷(12+1)=30⑵同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为 a≡b(mod m) （*）同余式（*）意味着（我们假设a≥b）a－b=mk，k是整数，即m|(a-b)例5：一个大于10的数，除以5余1，除以6余1，除以9余1，问满足条件的最小自然数为____.解：(5，6，9)+1=91⑶若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除性质⑶非常有用，一定要熟练掌握。
下面是一些和同余有关的题目，这些题型都是考试经常出的，一定要掌握。
典型例题分析-数论篇(教师版) 小学数学总复习专题训练 小升初 知识点归纳总结
名校真题 测试卷 数论篇一时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________1 （13年人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （13年101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3 （13年首师附中考题）211+2121202+2121212113131313212121505=＿＿。
4 （04年人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
5 (02年人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A 、125B 、126C 、127D 、128【附答案】1 【解】：62 【解】：设原来数为ab ，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。
3 【解】：周期性数字，每个数约分后为211+212+215+2113=14 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。
5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D 。
小升初专项训练数论篇（一）希望考入重点中学？奥数网是我们成就梦想的地方！一、小升初考试热点及命题方向数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。
由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。
数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。
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小升初重点中学真题之数论篇数论篇一1 （人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
4 (人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128预测1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？预测2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。
2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？预测3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．数论篇二1 （清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.2 （三帆中学考题）140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。
2002除以这个自然数的余数是 .3 （人大附中考题）某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.4 （101中学考题）一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。
5 （实验中学考题）(1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除?(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个各位数字之和能被4整除?预测1. 如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是多少？预测2．（★★★★）公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前3个数字之和等于后3个数字之和，则称这张车票是幸运的。
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小升初重点中学真题之数论篇数论篇一1 （人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
4 (人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128预测1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？预测2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。
2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？预测3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．数论篇二1 （清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.2 （三帆中学考题）140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。
2002除以这个自然数的余数是.3 （人大附中考题）某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.4 （101中学考题）一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。
5 （实验中学考题）(1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除?(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个各位数字之和能被4整除?预测1. 如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是多少？预测2．（★★★★）公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前3个数字之和等于后3个数字之和，则称这张车票是幸运的。
小升初奥数专项之数论(含答案)
小升初奥数专项之数论（含答案）姓名： 日期：1、如图，有个正方体木块，每个面各写了一个自然数，并且相对的两个面上的两个数之和相等，现在只能看见三个面上写的数，如果看不见的各面上写的都是质数，那么这三个质数的和是 ．解析：57对面的数应该是2，所以另外两个数为57+2-6=53，57+2-12=47，这三个数的和为2+53+47=1022、已知a 是质数，b 是偶数，且a 2+b=2008，则a+b+1= ．解析：2008-偶数=偶数，所以a=2，b=2008-22=2004，a+b+1=2+2004+1=20073、若自然数p ，2p+1，4p+1都是素数，那么8P 5+55=？解析：p=3，8×35+55=19994、用285、5615、2120分别去除某一个分数，所得的商都是整数，这个分数最小是 ． 解析：[528，1556，2021]= [5,15,20]{28,56,21}=6075、有一个电子闹钟每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次，中午12时电子钟既响铃又亮灯．下一次既响铃又亮灯是几时？解析：[9，60]=180，需要3小时，所以下一次是下午15点6、黑板上写有一串数：1、2、3、…、2011、2012，任意擦去几个数，并写上被擦去的几个数的和被11除所得的余数，如：擦去8、9、10、11、12，因为（8+9+10+11+12）÷11=4…6，于是写上6，这样操作下去，一直到黑板上只剩下一个数，则这个数是．解析：一次性全部擦掉，（1+2+3+……+2012）÷11，余数为0，所以剩下07、被3除余2，被4除余3，被5除余4的最小的数是．解析：[3，4，5]-1=598、二进制数（101）2可用十进制表示为1×22+0×2+1=5，二进制（1011）2可用十进制表示为1×23+0×22+1×2+1=11，那么二进制数（11011）2用十进制表示为（）A．25 B．27 C．29 D．31解析：16+8+2+1=27，选择B9、右图是一张靶纸，靶纸上的1、3、5、7、9表示射中该靶区的分数．甲说：我打了六枪，每枪都中靶得分，共得了27分．乙说：我打了3枪，每枪都中靶得分，共得了27分．已知甲、乙两人中有一人说的是真话，那么说假话的是．解析：甲，因为得分全是奇数，偶数枪的和为偶数，奇数枪的和为奇数10、一个整数a与1080的乘积是个完全平方数，这a的最小值是．解析：1080=23×33×5，a至少为2×3×5=3011、求最小的正整数n，值得2006+7n是完全平方数。
数论综合1(小升初寒假冲刺班)教师版
数论综合1【质数与合数】（1）已知a 是质数，并且10+a 、20+a 也是质数。
则a = 。
【答案】3【解析】从2开始推，a=3。
（2）三个质数x,y,z 。
若x+y=z,则三个质数中的最小的数是__________。
【答案】2【分析】我们知道除了2以外，所有的质数都是奇数，如果x 和y 全是奇数的话，则和为偶数，所以x 、y 有一个数是偶质数，所以有一个数是2，所以最小的质数是2。
（3）用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成_________个质数。
【答案】6【分析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多可以组成6个质数。
（4）7个连续质数从大到小排列是a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 已知它们的和是偶数，那么d 是_________。
【答案】7【分析】因为7个质数的和是偶数，所以这7个质数不可能都是奇数.我们知道是偶数的质数只有2，因此这7个质数中必有一个是2.又因为2是最小的质数，并且这7个连续质数是从大到小排列的，所以g=2.其他6个数从大到小依次是17、13、11、7、5、3.这样d=7。
（5）从20以内的质数中选出6个，然后把这6个数分别写在正方体木块的6个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有 种不同的值。
【答案】7【分析】因为7个质数的和是偶数，所以这7个质数不可能都是奇数.我们知道是偶数的质数只有2，因此这7个质数中必有一个是2.又因为2是最小的质数，并且这7个连续质数是从大到小排列的，所以g=2.其他6个数从大到小依次是17、13、11、7、5、3.这样d=7。
【分解质因数】（6）把5、11、14、15、21、22六个数填入下面的括号内，使等式成立。
11 小升初专项训练 数论篇(2)
1有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.2140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。
2002除以这个自然数的余数是 .3某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.4一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。
5(1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除?(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个各位数字之和能被4整除?1 余数规律【例1】（★★★）大于35的所有数中，有多少个数除以7的余数和商相等？【例2】（★★★）求2222…22共2003个2相乘除以13的余数为____.2 剩余定理【例3】（★★★）一个大于1的自然数去除300，243，205时，得到相同的余数，则这个自然数是______【例4】（★★★）甲、乙、丙三数分别为603，939，393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少？【例5】（★★★）一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是几？【例6】（★★★）一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，问满足条件的最小自然数为____.【例7】（★★★）一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数____.题型四：余数和应用题相结合。
【例8】（★★★）在3×3的方格表中已如右图填入了9个质数。
将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作。
问：你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗？为什么？【例9】（★★★）现有糖果254粒,饼干210块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子。
202X年学而思小升初专项训练数教师版
千里之行，始于足下。
202X年学而思小升初专项训练数老师版学而思小升初专项训练数学老师版敬重的家长伴侣们，大家好！我是负责学而思小升初专项训练数学老师，今日我将为大家介绍一下学而思小升初专项训练数学教材。
学而思小升初专项训练数学教材是特地为学校六班级同学编写的，旨在挂念同学夯实基础学问，提高解题力量，为顺当升入学校打下坚实的数学基础。
教材内容共分为四个部分，分别是数与代数、空间与图形、数据与概率、运算与应用。
每个部分都有具体的教学目标和教学内容，挂念同学逐步把握数学学问和技巧。
在数与代数部分，教材涵盖了数的大小、数的读写、数的比较、数的四则运算、数的倍数与约数等基础学问。
通过一系列的讲解和练习，挂念同学娴熟把握这些基础概念和技巧，并能够用于解决实际问题。
在空间与图形部分，教材围绕立体图形、平面图形、坐标系等内容开放。
通过教材中的图形呈现和题目训练，挂念同学理解和把握图形的特征和性质，提高对图形的分析和推断力量。
在数据与概率部分，教材主要讲解数据的收集和统计方法，并通过实际的数据处理和分析问题，培育同学的数据分析力量和概率思维力量。
在运算与应用部分，教材以实际问题为基础，涵盖了数学运算、数学应用等内容。
通过解决实际问题的训练，挂念同学将数学学问应用到实际生活中去，培育同学的数学思维和解决问题的力量。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
除了教材本身的内容，学而思还为同学供应了丰富的帮助资源，包括在线视频课程、习题讲解、练习册和模拟试卷等。
同学可以通过这些资源随时随地进行学习和巩固，提高学习效果。
最终，我想强调的是，学而思小升初专项训练数学教材的目标是提高同学的数学素养和解题力量，并为他们顺当升入学校打下坚实的数学基础。
我们将依据同学的实际状况和学习进度进行共性化教学，挂念他们克服困难，取得进步。
感谢大家！假如您对学而思小升初专项训练数学教材还有任何疑问或需要进一步了解，请随时与我们联系。
祝愿孩子们在数学学习中取得好成果！。
小升初数学专项解析+习题-数论篇-通用版 13页
小升初重点中学真题之数论篇数论篇一1 （人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
4 (人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128预测1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？预测2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。
2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？预测3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．数论篇二1 （清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.2 （三帆中学考题）140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。
2002除以这个自然数的余数是 .3 （人大附中考题）某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.4 （101中学考题）一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。
5 （实验中学考题）(1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除?(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个各位数字之和能被4整除?预测1. 如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是多少？预测2．（★★★★）公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前3个数字之和等于后3个数字之和，则称这张车票是幸运的。
奥数六年级千份讲义603六年级精英班第十四讲小升初专项训练数论二教师版初稿徐岚.docx
名校真题测试卷14 （数论篇二）时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________1（07年十一学校考题）n为4位整数，且组成它的各位数码是从左到右呈降序排列连续数字•则n除以37的所有可能的余数之和为________ .2（07年人大附中考题）一个千位数字是1的四位自然数，它分别被4个不同的质数去除，余数都是1,则满足这些条件的所有偶数有个.3（07年实验中学考题）12+22+32+—+20012+20 022除以7的余数是多少?4（06年清华附中考题）有3个吉利数888, 518, 666,用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a, a+7, a+10,则这个自然数是 ____ •5（06年实验中学考题）有两个自然数相除，商是17,余数是13,已知被除数、除数、商与余数之和为2113,则被除数是______【附答案】1【解L “组成的各位数码是从左到右呈降序排列的连续数字”指的是“4321、5432、6543、7654、 8765、9876” 这些数字，从 43214-37=……29, 54324-37=……30, 65434-37=……31 可知,余数是从 29开始的连续自然数，所以29+30+31+32+33+34=187.2 【解】：因为这些偶数被质数除，余数都是1,说明都是奇质数.设这些奇质数分别为a, b,c,d;根据题意得，这些偶数-1二abed;又因为3X5X7=105,所以确定范围，另一个质数最大为19, (W [2000—105])另一个质数最小为11, ($[1000—105])所以有3, 5, 7这三个奇质数时，另一个质数可能是11、13、17、19四种.而当没有7时，3X5XllX13>2000,所以，没有其它四个奇质数的乘积在1000至2000范围 所以，只有4种情况符合要求.即(3, 5, 7, 11), (3, 5, 7, 13), (3, 5, 7, 17), (3, 5, 7, 19)・【解法二】：因为连续7个自然数的平方和能被7整除，又因为20024-7=……0,所以这2002个数的平方和能被7整除，因此l 2+22+32+-+200f+20022被7除的余数为0.【解法三找余数的规律.4 【解处理成余数相同的，则888、518-7. 666-10的余数相同，这样我们可以转化成同余问题. 这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余0.那么这个自然数是888-511=377的约数，又是 888-656=232的约数，也是656-511=145的约数，因此就是377、232、145的公约数，所以这个自然数 是29.5 【解】： 被除数+除数+商+余数二211317 除数+13+除数+17+13=211318 除数=2070除数=115=1001X2003X40054-7= 0所以：被除数=115X17+13=1968.第十四讲 小升初专项训练 数论篇(二)一、小升初考试热点及命题方向关于余数的数论问题并继续讨论一些数论的应用•和余数有关的问题在各种杯赛中频繁出现，是一个非 常重要的内容，在07年各大名校的考试题中涉及到余数的试题较多，但均以小题的形式出现.二、2008年考点预测2008年的小升初考试不排除继续考察和余数有关的数论题型，特别是有关于余数性质的题型，因为这 是07年考试的热点，08年可能会继续出现. 三、基本公式余数定理： a ：两数的和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和.［讲解练习］:7J3二・・・1, 5宁3二…2,这样(7+5)十3的余数就等于1+2=3,所以余0・ b:两数的差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差.［讲解练习］:8一3二…2, 4*3二…1,这样(8-4) -3的余数就等于2-1=1,所以余1・ 如果是(7-5)十呢？ 会出什么问题？c:两数的积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积.［讲解练习］:7三3=・・・1, 5一3二…2,这样(7X5) 一3的余数就等于1 X2=2,所以余2・ 性质：(1) 带余除法：一般地，如果a 是整数，b 是整数(bHU),那么一定有另外两个整数q 和「OWrV b,使得 a=bXq+r当r=0时，我们称a 能被b 整除.当rHO 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的不完全商(亦简称 为商)•用带余数除式又可以表示为a^b=q ……r, OWrVb［讲解练习］:两个整数相除得商数是12和余数是26,被除数、除数、商数及余数的和等于454,除数 是—・(2) 同余定义：若两个整数a, b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a, b 对于模in 同余，用式子表示为a=b(mod m) (*) 同余式(*)意味着(我们假设a$b) a —b=mk, k 是整数，即ml(a ・b) ［讲解练习］:一个大于10的数，除以5余1,除以6余1,除以9余1,问满足条件的最小自然树为—.定理盂牢记 做题有信心! 厂/希望考入重点屮学？C 奥数网是我们成就梦的地方！于是我们有下面的(3)若两个数a, b除以同一个数c得到的余数相同，则a, b的差一定能被c整除性质(3)非常有用，一定要熟练掌握•下面是一些和同余有关的题目，这些题型都是考试经常出的，一定要掌握.［讲解练习］:从1〜20中最多可以找出几个数，使任意两个数的差是9的倍数？四、常用解题方法1.找规律法(对应例题：1、2、3)2.运用余数定理和性质亦称逐步满足法(对应例题：4、5、6、7、8)3・方程法(对应例题：6)4.余数判别法(对应例题：10、11)五、典型例题解析1余数规律【例1】(★★★)大于35的所有数中，有多少个数除以7的余数和商相等？【解】：除以7的余数只能是0〜6,所以商只能是0〜6,满足大于7的数只有商和余数都为5、6,所以只能是40、4&【例2】(★★★) 2OO62008除以2007的余数是—・【来源】2006年“我爱数学杯”数学竞赛【解】：因为A2-l= (A+l) (A-1),所以(A2-l)能被(A+1)整除，即A?除以(A+1)余1 •推知20062 除以2007余1・又因为20062OO8= (20062) 1004,而20062除以2007余1,所以2OO62008除以2007的余数与2006?除以2007的余数相同都是1.【前铺】(★★★)求2222-22共2003个2相乘除以13的余数为_____ ・【解】：除以13、11、7的规律是六个数222222可以看成周期性数字222222=222X 1001=222X7X11X 13,这样必是13的倍数，所以每六个数都可以整除，所以20034-6余5,所以22222除以13余5.【例3］ (★★★)设n是一个正整数，求n个n相乘的积(即/)除以(n+1)的余数【来源】2006年小学数学ABC卷【解】：n2= (n-1) (n+l)+ln2-r (n+1) = (n~l) ........ 1.当n为偶数时，令n=2k,则n n =n2k =(n2)k.因为每个『除以(n+1)都余1,所以k个『相乘的积除以(n+1)也余1.当n为奇数时，令n=2k+l,则n n = n2k+} = n2k xn. n2k除以(n+1)余1, n除以(n+1)余n,所以如除以(n+1)余n.2 余数定理、性质的运用【例△[(★★★)已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10.这些自然数共有几个？【来源】第十五届迎春杯试题【解】：2008被这样的自然数除余数是10,那么1998就是这些自然数的倍数，换句话说我们要求1998的约数有几个，但注意到除数比余数大，所以我们要求的是1998的约数中那些大于10 的，枚举显然不可取，我们考虑用约数个数公式1998=2X3八3X37, d (1998) = (1 + 1) X (3 + 1) (1 + 1) =16其中小于10的约数有1, 2, 3, 6, 9去掉它们还有11个.因此这样的自然数共有11个.【例5] (★★★)甲、乙、丙三数分别为339, 405, 549•某数a除甲数所得余数是a除乙数所得余数的比为1： 2, a除乙数所得余数是a除丙数所得余数的比为2： 3.求a等于多少？[思路]:题中不知道余数是多少，所以我们能做的就是消去余数.【解L设339除以a的余数为m,则339-ra=Al***m405-ra=A2***2m549 a 二A3 …3m要消去余数m, 2m, 3m,我们只能先把把余数处理成相同的，再两数相减.因为1、2、3的最小公倍数是6,所以我们把第一个式子乘以6,第二个式子乘以3,第三个式子乘以2.这样我们就把余数处理成相同的•最后两两相减消去余数，意味着能被a整除.339X6-405X3=819, 405X3-504X2=217, (819, 2170) =7.所以a 等于7.3一个数除以多个数，得不同余数一般解题步骤：①凑“多”相同，即把余数处理成相同条件：余数与除数的和相同②凑“缺”相同，即把余数处理成缺的数字相同条件：除数与余数的差相同③先考虑上面两种，如果都不行，则用“中国剩余定理”【例6】(★★★) (★★★)智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人, 老人说我知道你们年级的人数应该是()人.【来源】第十一届“华杯赛”决赛【解】：除以3余1,除以5余2,除以7余1的最小自然数是22,所以人数是22+(3X5X7)k=22+105k.(k为自然数)考虑到该年级有一百多名同学，所以人数是22+105=127.【例7] (★★★) 一个小于200的自然数，被7除余2,被8除余3,被9除余1,这个数是多少？【解】：注意到7-2=8-3 = 5也就是说该数加上5以后可被7和8整除，也就是56的倍数因此这个数只可能是56-5 56X2-5 56X3-5经检验发现只有56X3-5 = 163被9除余1符合要求，因此该数为163【前铺】(★★★)一个小于200的数，它除以11余8,除以13余10,这个数是几？【解】：根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于11-8=13-10=3,观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除，所以[11、13]=143,所以这个数是143-3=140.【例8] (★★★★)已知三个连续自然数，它们都小于2002,其中最小的一个能被13整除，中间的一个能被15整除，最大的一个能被17整除.那么，最小的一个自然数是几？【来源】第十八届迎春杯试题【解】：假设中间的一个是a,那么a被13除余1,被15整除，被17除余16•先满足前2个条件，被15整除且被13除余1 •因为15除以13余2, 2X7=14除以13余1,所以该数为15X7=105.如果加上13><15=195仍然符合前2条，因此该数形如105+195n,我们只需要满足该数被17除余16即可.105+195n= (102+187n) + (3+8n),所以3+8n 被17 除余16 即可，即8n 被17 除余13, n=8 即可满足要求.因此，a=105+195X8=1665,所以最小的一个自然数是1664.4余数和应用题相结合【例9】(★★★)甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69人、85人、93人、97人•现在要把这四个旅行团分别进行分组，使每组是A名游客，以便乘车前往参观游览.已知甲、乙、丙三个旅行团分成每组A人的若干组后，所剩的人数都相同，问丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩几人？【来源】第四届小数报数学竞赛决赛试题【解要与整除性联系，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了•因为在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了. 详解过程：由85-69=16, 93-85=8,推出A二8或4或2,所以丁团分成每组A人的若干组后还剩1人.【例10] (★★★)现有糖果254粒，饼干210块和桔子186个•某幼儿园大班人数超过40•每人分得一样多的糖果，一样多的饼干,也分得一样多的桔子•余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：1： 3： 2,这个大班有 ___ 名小朋友，每人分得糖果____ 粒，饼干____ 块，桔子____ 个.【来源】南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛D卷第11题【解】：设大班共有a名小朋友•由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比是1:3:2,所以余下的糖果、桔子数目的和正好等于余下的饼干数，从而254+186-210 一定是a的倍数，即254+186-210=230=1 X 230=10 X 23=2 X 5 X 23 是a 的倍数.同样，2X254-186=322=23X 14=23X 14=23X2X7也一定是a的倍数•所以，a只能是23X2的因数.但 a > 40,所以a二46.此时254=46X5+24, 210=46X3+72, 186=46X3+48・故大班有小朋友46名，每人分得糖果5粒，饼干3块，桔子3个. 学而思教育08年寒假六年级精英班第十四讲教师版【例11］（★ ★★）六张卡片上分别标上1193, 1258, 1842, 1866, 1912, 2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲，乙各自手中卡片上的数之和，一个人是另一个人的2倍，则丙手中卡片上的数是几？【解儿甲，乙手中卡片上的数之和必是3的倍数•六张卡片上的数分别除以3,依次余2, 1, 0, 0, 1, 1,因此只有后5个数的和能被3整除，所以丙手中卡片上的数是1193.【例12】（★★★★）有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9, 17, 24, 28, 30, 31, 33, 44块.甲先取走了一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走•已知乙、丙取走的糖的块数相同且为丁的2倍.问：甲取走的一盒中有多少块奶糖？［方法一］:［思路］:倍数和奇偶性讨论解：：根据乙、丙取走的糖的块数相同且为丁的2倍，丁取走的为奇数，乙、丙取走的为偶数，且乙、丙分别加上丁的数量都应是3的倍数，9, 17, 24, 28, 30, 31, 33, 44被3除的余数分别为：0、2、0、1、0、1、0、2, 17+24+33=30+44=74=2X （9+28）,所以，甲取走的是31 块的.［方法二］:余数运用解：已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍.2+2+1=5,则乙、丙、丁三人取到的糖的块数的总和是5的倍数.9+17+24+28+30+31+33+44=216.216/5=43 ......... 1.则甲取到的糖的块数的个位数字是1 •其中只有31个位是1 •所以甲走的一盒有31块奶【例13】（★★★★）公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前3个数字之和等于后3 个数字之和，则称这张车票是幸运的•试说明，所有幸运车票号码的和能被13整除・・【解】:设幸运车票的号码为A,则号码为A' =999999-A的车票也是幸运的，并且以HA （因为999999是奇数），因而A+A' =1001X999=13X77X999能被13整除•所以，所有幸运车票号码的和也能被13整除.小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）余数规律. 参见例1, 22）余数定理、性质的运用. 参见例3, 4,3）一个数除以多个数，得不同余数参见例5, 6, 74）余数和应用题相结合. 参见例8, 9, 10, 11, 12, 13【课外知识】中国剩余定理我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题：“今有物不知其数：三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何・”这个问题一般称孙子问题.这个问题可译成：求被3除余2,被5除余3,被7除余2的最小正整数.《孙子算经》中记载了这个问题的解法，有人将其解法编成歌诀：“三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知•”它的意思是用3除的剩余数乘70,用5除的剩余数乘21,用7除的剩余数乘15,将所得的结果相加再减去105 的倍数，即可得所求数.算式是2x70+3x21+2x15=233, 233—105x2 = 23,所以，最小的正整数解是23.这种解法，实际上是特殊的一次同余式组的求解定理・1801年，德国数学家高斯在《算术探究》中明确提出一次同余式组的求解定理.西方数学著作中将一次同余式的求解定理称为中国剩余定理奇数和偶数活动课上，黑熊老师笑着对大家说：“我们来做个游戏好不好？”“好！”小动物们齐声回答.“请你们每位准备两张小纸条.”黑熊老师清了清嗓子说.小动物们不知道黑熊老师要他们做什么游戏，一个个兴奋的眼睛发亮，很快都把小纸条准备好了.黑熊老师环视一下全班同学，说：“请你们在两张小纸条上分别写一个奇数和一个偶数，写好后，两手各握一张•不要给我也不要给你身边的同学看.”小动物们不久前刚学过关于奇数和偶数的知识，不一会儿，大家都完成了黑熊老师提出的要求•“听着，”黑熊老师一字一句清晰地说道：“你们各位都请将右手中的数乘2,左手中的数乘3,再把乘积相加•不要算出声音来."等小动物们一个个都算好了，黑熊老师又叫算出得数是奇数的小动物们排成一队；得数是偶数的排成一队•小动物们都站好了，一个个感兴趣地看着黑熊老师，猜测着它下以步要它们做什么.“好了！”黑熊老师指着得数是奇数的那排小动物说：“你们左手握的都是奇数.”它又指着另一排小动物说：“你们左手握的都是偶数.”两排小动物们摊开手掌一看，可不是，黑熊老师猜得完全正确.小动物们惊奇极了，忍不住纷纷问道：“老师，您是怎么知道的？”黑熊老师于是分析道：“奇数乂2 =偶数奇数乂3 =奇数偶数><2 =偶数偶数乂3 =偶数偶数+偶数=偶数偶数+奇数=奇数左手是奇数时，奇数X3是奇数，奇数+偶数(右手中的偶数X2),结果是奇数•而如右手是奇数时，奇数X2成偶数，偶数+偶数(左手中的偶数X3),结果是偶数.这就是最后结果与左手中数字奇偶相同的原因，也即我这个猜法的根据.” 小动物们恍然大悟……作业题(注：作业题一例题类型对照表，供参考) 题1, 7—类型2；题2—类型：奇偶性；题3—类型：整除性质；题5—类型3 题4, 6—杂型1. (★★★)已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10,那么，这些自然数共有几个？解：2008被它除余数是10,因此该数是1998的约数且大于10 1998=2X3X3X3X37共有2X4X2=16 个约数，其中比10小的有1, 2, 3, 6, 9共5个所以比10大的就有11个，因此这样的自然数共有11 个.2. (★★)将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数45045?解：设这两个数分别是a和b,那么有ab (a-b) =45045,分析奇偶性可知这是不可能的.因此不可能得到45045.3.(★★★★)公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前3个数字之和等于后3个数字之和，则称这张车票是幸运的•试说明，所有幸运车票号码的和能被13整除•・解：设幸运车票的号码为A,则号码为A' =999999-A的车票也是幸运的，并且A' HA (因为999999 是奇数)，因而A+A，=1001X999=13X77X999能被13整除.所以，所有幸运车票号码的和也能被13 整除4.(★★★)某校师生为贫困地区捐款1995元，这个学校共有35名教师，14个教学班•各班学生人数相同且多于30人不超过45人.如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款 ______ 元. 解：1995=3X5X7X19,设有x个班级，那么总人数是14x+35,又因为每班人数在30和45之间，所以总人数在455和665之间所以平均每人捐款3元.，5.(★★★)有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍•且这个三位数除以5余4,除以11 余3.这个三位数是—・解：首先个位数不是4就是9,又因为它是百位的3倍所以一定是9,那么百位就是3,又因为它被11 除余3,因此十位是96.(★★★)如果1 = 1! , 1X2 = 2! , 1X2X3 = 3! ..................... 1X2X3X ........... X99X100=100!那么1!+2! +3! +……+100!的个位数字是多少？解：从5!开始个位数字都是0 了因此只需要计算前4个数，1! +2! +3! +4! =1+2+6+24二33 所以末位数字一定是37.(★★★) 一个两位奇数除1477,余数是49,那么，这个两位奇数是多少？解：这个两位奇数能被1477-49=1428整除，且必须大于49,1428=2X2X3X7X 17,以这样的两位奇数只有51・。
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学而思_小升初专项训练__数论篇(1)_教师版名校真题（数论篇）1 （05年人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （05年101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3 （05年首师附中考题）4 （04年人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
5 (02年人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128 【附答案】1 【解】：62 【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。
3 【解】：周期性数字，每个数约分后为4 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。
5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。
小升初专项训练数论篇基本公式1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。
[讲解练习]：若3a75b能被72整除，问a=＿＿,b=＿＿.（迎春杯试题）2）已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。
3）唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p11a×p22a×...×pkak（#)其中p1<p2<...<pk为质数，a1,a2,....ak为自然数，并且这种表示是唯一的。
该式称为n的质因子分解式。
[讲解练习]：连续3的自然树的积为210，求这三个数为＿＿.4）约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如（#）那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)所有约数和：（1+P1+P12+…p11a）（1+P2+P22+…p22a）…（1+Pk+Pk2+…pkak）[讲解练习]：1996不同的质因数有＿＿个，它们的和是＿＿。
（1996年小学数学奥林匹克初赛）5) 用[a,b]表示a和b的最小公倍数，(a,b)表示a和b的最大公约数，那么有ab=[a,b]×(a,b)。
[讲解练习]：两个数的积为2646，最小公倍数为126，问这两个数的和为＿＿。
（迎春杯刊赛第10题）6）自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。
[讲解练习]：3aa1能被9整除，问a=＿＿.（美国长岛数学竞赛第三试第3题）7）平方数的总结：1：平方差A2-B2=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。
[讲解练习]：82-72+62-52+42-32+22-12=＿＿。
2：约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
[讲解练习]：1～100中约数个数为奇数个的所有数和为＿＿。
3：质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。
[讲解练习]：a与45的乘积一个完全平方数，问a最小是＿＿。
8）十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。
9）周期性数字：abab=ab×101[讲解练习]：2005×20062006-2006×20052005=＿＿。
四、典型例题解析1 数的整除【例1】（★★★）将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。
将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。
请求出这24个四位数中最大的一个。
【例2】（★★★）一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？【例3】（★★★）由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【例4】（★★）一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7 ，女同学的人数超过总数的2/5 。
问男女生各多少人？2 质数与合数（分解质因数）【例5】（★★★）2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?[拓展]：2005×684×375×□最后4位都是0，且是7的倍数，问□里最小是_____ 【例6】（★★★）03 年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及时，04年的招生人数比03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？3 约数和倍数【例7】（★★★）从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。
按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？【例8】（★★★）一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？【例9】（★★★）1、2、3、4…2008这2008个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积？【例10】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。
1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。
（写出解题过程）4 数论的综合题型【例11】（★★★★）某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？【例12】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。
1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。
（写出解题过程）作业题1．（★★）在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？2．（★★）某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占71，得80～89分的人数占21，得70～79分得人数占31，那么得70分以下的有________人。
3．（★★）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有_______个。
4. （★★★）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？5、（★★★）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这样一组数中的最大数的最小值是多少？6、（★★）一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？7、（★★★）从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．8、（★★★）有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积．其中只有三个数不是l，而是三个不同的质数．那么，这样的三个质数可以是、、．四、典型例题解析1 数的整除【例1】（★★★）将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。
将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。
请求出这24个四位数中最大的一个。
【解】：不妨设这4个数字分别是a>b>c>d那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5; 从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2 从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4；因为a>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。
而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍数，和条件矛盾。
因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。
这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3 所以这24个四位数中最大的一个是7543。
【例2】（★★★）一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？[思路]：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手【解】：5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。
这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。
【例3】（★★★）由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【解】：各位数字和为1+3+4+5+7+8=28 所以偶数位和奇数位上数字和均为14为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6 那么第3位一定是5，第5位为1 该数最大为875413。
[拓展]：一个三位数，它由0，1，2，7，8组成，且它能被9整除，问满足条件的总共有几个？【例4】（★★）一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7 ，女同学的人数超过总数的2/5 。