科学计算方法第一章
数值计算方法第一章
第一章绪论本章以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题.§1*1引言计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，U的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。
由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的•复杂性表现在如下儿个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法.这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括(1)非线性方程的近似求解方法；(2)线性代数方程组的求解方法；(3)函数的插值近似和数据的拟合近似；⑷积分和微分的近似计算方法；(5)常微分方程初值问题的数值解法；(6)优化问题的近似解法；等等从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”.之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的LI标、以及参与计算的数据来源等因素有关.计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差.我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断，从而产生截断误差.如e = l + ； +寺+…的计算是无穷过程，当用丄• 乙•®T +卜加…+ 2作为"的近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了截断误差当用计算机计算5时，因为舍入误差的存在，我们也只能得到5的近似值也就是说最终用/近似0,该近似值既包含有舍入误差，也包含有截断误差.当参与计算的原始数据是从仪器中观测得来时，也不可避免得有观测误差.由于这些误差的大量存在，我们得到的只能是近似结果，进而对这些结果的“可靠性”进行分析就是必须的，它成为计算方法的第二个显著特点.可靠性分析包括原问题的适定性和算法的收敛性、稳定性.所谓适定性问题是指解存在、惟一，且解对原始数据具有连续依赖性的问题.对于非适定问题的求解，通常需要作特殊的预处理，然后才能做数值计算.在这里，如无特殊说明，都是对适定的问题进行求解.对于给定的算法，若有限步内得不到精确解，则需研究其收敛性.收敛性是研究当允许计算时间越来越长时，是否能够得到越来越可靠的结果，也就是研究截断误差是否能够趋于零.对于给定的算法，稳定性分析是指随着计算过程的逐步向前推进，研究观测误差、舍入误差对计算结果的影响是否很大.对于同一类模型问题的求解算法可能不止一种，常希望从中选出高效可靠的求解算法.如我国南宋时期著名的数学家秦九韶就提出求〃次多项式陽於+©"心+…+%+兔值的如下快速算法t = a n_k；s = sx + t伙= 1,2,…它通过“次乘法和H次加法就计算出了任意n次多项式的值.再如幕函数x64可以通过如下快速算法计算出其值S = X ;s = s s；循环6次如上算法仅用了6次乘法运算，就得到运算结果.算法最终需要在计算机上运行相应程序，才能得到结果，这样就要关注算法的时间复杂度（汁算机运行程序所需时间的度量）、空间复杂度（程序、数据对存储空间需求的度量）和逻辑复杂度（关联程序的开发周期、可维护性以及可扩展性）.事实上，每一种算法都有自己的局限性和优点，仅仅理论分析是很不够的，大量的实际计算也非常重要，结合理论分析以及相当的数值算例结果才有可能选择出适合自己关心问题的有效求解算法.也正因如此，只有理论分析结合实际计算才能真正把握准算法.§1.2误差的度■与传播一、误差的度量误差的度量方式有绝对误差、相对误差和有效数字.定义1・1用/作为量x的近似，则称为近似值F的绝对误差. 由于量x的真值通常未知，所以绝对误差不能依据定义求得，但根据测量工具或计算情况，可以估计出绝对误差绝对值的一个较小上界即有e(x") = x -x < £(1.1)称正数g为近似值F的绝对误差限，简称误差.这样得到不等式x"-s<x<x+s工程中常用X = X4 ±£表示近似值”的精度或真值X所在的范围.误差是有量纲的，所以仅误差数值的大小不足以刻划近似的准确程度.如量S = 123 ±0.5c〃= 1.23 ±0.005税=1230000± 5000/劝(1.2)为此，我们需要引入相对误差♦定义1・2用T H O作为量x的近似，称为近似值F的相对误X差.当”是X的较好近似时，也可以用如下公式计算相对误差e r(x) = ^^-(1.3)X显然，相对误差是一个无量纲量，它不随使用单位变化.如式(1.2)中的量$ 的近似，无论使用何种单位，它的相对误差都是同一个值.同样地，因为量x的真值未知，我们需要引入近似值F的相对误差限片X),它是相对误差绝对值的较小上界.结合式(1.1)和(1.3), F相对误差限可通过绝对误差限除以近似值的绝对值得到，即为给出近似数的一种表示法，使之既能表示其大小，乂能体现其精确程度, 需引入有效数字以及有效数的概念.定义1・3设量x的近似值F有如下标准形式X = ±10" xO.a{a^ …aj ・・a卩=±仏X1O"T +&2 X1O"L2 + …+勺X1O"L" + …+竹X1O"LP)(1.5)其中｛%｝红u｛O,l,…,9｝且绚HO,加为近似值的量级.如果使不等式/-X <-xlO w_/,（1.6）2成立的最大整数为“，则称近似值T具有"位有效数字，它们分别是①、①、… 和心.特别地，如果有n = p，即最后一位数字也是有效数字，则称/是有效数.从定义可以看出，近似数是有效数的充分必要条件是末位数字所在位置的单位一半是绝对误差限.利用该定义也可以证明，对真值进行“四舍五入”得到的是有效数.对于有效数，有效数字的位数等于从第一位非零数字开始算起，该近似数具有的位数.注意，不能给有效数的末位之后随意添加零，否则就改变了它的精度.例1・1设量兀十其近似值<=3.141 , X； =3.142 ,坨=丰.试回答这三个近似值分别有儿位有效数字，它们是有效数吗？解这三个近似值的量级m = \,因为有x； -x = 0.00059--- < 0.005 = 1 x 10-2 =lxl0*-3' 2 2x；—x = 0.0004 --< 0.0005 = -x 10-3 =-xl01-4- 2 2x； =3.1428571428 57成一x = 0.001 - ■ < 0.005 = 1 x 10-2 = - x 101-32 2所以彳和x；都有3位有效数字，但不是有效数.％；具有4位有效数字，是有效数.二、误差的传播这里仅介绍初值误差传播，即假设自变量带有误差，函数值的计算不引入新的误差.对于函数$ = /（羽,®…/”）有近似值:/ 利用在点（兀；,%；,…,%；）处的泰勒公式（Taylor Formula）,可以得到fl</） = y* -ya …工）（x；-兀）r-in=工乞（斤*；,・・工上（€）（1・7）r-l其中fi：=尘，£是兀的近似值，e（x；）是x；的绝对误差（/ = 1,2,式（1.7）ox i表明函数值的绝对误差近似等于自变量绝对误差的线性组合，组合系数为相应的偏导数值.从式（1・7）也可以推得如下函数值的相对误差传播近似计算公式/r£工犬（昭迟,…工）十耳（£）（1.8）/=iy对于一元函数y = 从式（1.7）和（1.8）可得到如下初值误差传播近似计算 公式e （QyX ）eX ）（1.9）-（）「）2 广（1.10）y式（1・9）表明，当导数值的绝对值很大时，即使自变量的绝对误差比较小，函数值 的绝对误差也可能很大.例1・2试建立函数y =/（州宀，…，兀）=州+厂+…+ X”的绝对误差（限）、相对 误差的近似传播公式，以及*: >0｝；；时的相对误差限传播公式.解 山公式（1・7）秋1.8河分别推得和的绝对误差、相对误差传播公式如下e （）「） Q £ 力（x ；，x ；，…,£ "（X ； ）=£ e （X/）r-1J -1e,（y X ）〜（x ；，€，…，兀：）二e,.（x ；）=£= J（x ；）/=iyf=i y进而有例1・3使用足够长且最小刻度为1mm 的尺子，量得某桌面长的近似值6/* =1304.3 mm,宽的近似值//= 704.8mm （数据的最后一位均为估计值）.试求 桌子面积近似值的绝对误差限和相对误差限.解长和宽的近似值的最后一位都是估计位，尺子的最小刻度是毫米，故有误 差限（1・11）i?（X ；）5£|心：）|述£（€）/=l/=1i=l于是有和的绝对误差限近似传播公式£（）「）心亍£（€）r-i当*: >o ｝；；时，由式（1.3）推得相对误差限的近似传播公式1>（€）”6（从号□ 牙，=max £r （x ； ）V —= max s r （x t ） \<i<n 伺 丫 l<r</i /=i\<i<n \<i<nl<r<w£（/） = 0.5 mm, £•（/?*） = 0.5 mm面积S = ab.山式(1・7)得到近似值匚=ab4的绝对误差近似为e(S*) a b*e(a*) + a*e(b')进而有绝对误差限£(S\ a ”*") + ”*(//) = 704.8x0.5 +1304.3 x 0.5 = 1004.55 mnr 相对误差限心、£(Sj 1004.55 nnnil n巧(S ) q —；— = ------------------- 2 0.0011 =0.11%S 1304.3x704.8§13数值实验与算法性能比较本节通过儿个简单算例说明解决同一个问题可以有不同的算法，但算法的性能并不完全相同，他们各自有自己的适用范围，并进而指出算法设计时应该注意的事项.算例1・1表达式丄-一 =—*—,在计算过程中保留7位有效数字，研究X x + \ x(x+l)对不同的X,两种计算公式的计算精度的差异.说明1： Matlab软件采用IEEE规定的双精度浮点系统，即64位浮点系统，其中尾数占52位，阶码占10位，尾数以及阶码的符号各占1位.机器数的相对误差限(机器精度)eps=2一52^2.220446X 10一”，能够表示的数的绝对值在区间(2.2250739X 1O-308, 1.797693X1O308)内，该区间内的数能够近似表达，但有舍入误差，能够保留至少15位有效数字.其原理可参阅参考文献[2, 4].分析算法1：y.W = --一和算法2：y?(A)= —1—的误差时，精确解用X X +1 ~ x(x+1)双精度的计算结果代替.我们选取点集｛*｝二中的点作为X,比较两种方法误差的差异.从图1」可以看出，当X不是很大时，两种算法的精度相当，但当X很大时算法2的精度明显高于算法1.这是因为，当x很大时，丄和丄是相近数，用X x+\算法1进行讣算时出现相近数相减，相同的有效数字相减后变成零，于是有效数字位数急剧减少，自然相对误差增大.这一事实也可以从误差传播公式(1.12)分析出.鉴于此，算法设计时，应该避免相近数相减.在图1.2中我们给出了当x接近-1时，两种算法的精度比较，其中变量x依次取为｛龙7-1｝=.从图中可以看出两种方法的相对误差基本上都为10-7,因而二者的精度相当.图1.1算例1」中两种算法的相对误差图（XTRD ）丈,5^ 1015 X Ki. x=prM图1.2算例1.1中两种算法的精度比较（JVT-1）算例1・2试用不同位数的浮点数系统求解如下线性方程组0.0000 LVj +2X 2 = 1<2x, + 3X 2 = 2说明2：浮点数系统中的加减法在运算时，首先按较大的阶对齐，其次对尾数 实施相应的加减法运算，最后规范化存入计算机.算法1首先用第一个方程乘以适当的系数加至第二个方程，使得第二个方程 的州的系数为零，这时可解出心；其次将兀带入第一个方程，进而求得“（在第 三章中称该方法为高斯消元法）.当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法， 分别记之为算法la 和算法lb.2D 0 -2X - ■ ■ ■ ■ ■A O.5-1.5-2.5-3.5-4.S 0.-1Z.-3.-4. . ・. . •算法2首先交换两个方程的位置，其次按算法1计算未知数(第三章中称其为选主元的高斯消元法).当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法，分别记之为算法2a和算法2b.方程组的精确解为=0.25000187 ...» x2 = 0.49999874 ...,用不同的算法计算出的结果见表1.1.表1.1对算例1.2用不同算法的讣算结果比较算例1.2X；g；）X；■巧(x；)算法la0.00000.10X1010.50000.25X IO-7算法2a0.25000.75 X10-70.50000.25X IO-7算法lb0.26000000.40X10-10.49999870.10X10-60.2500020O.5OX1O-80.50000000.25 X10-7对于算例1.2,表中的数据表明，当用4位尾数计算时，算法1给出错误的结果，算法2则给出解很好的近似.这是因为在实现算法1时，需要给第一个方程乘以-2/0.00001加至第二个方程，从而削去第二个方程中比的系数，但在计算孔的系数时需做如下运算• _2 -x2 + 3 = -0.4xlO6 +0.3x10*= -0.4x 106 +0.000003x 106(1.13) 0.00001对上式用4位尾数进行计算，其结果为一0.4X106.因为舍入误差，给相对较大的数加以相对较小的数时，出现大数“吃掉”小数的现象.计算右端项时，需做如下运算-~2 -x 1 + 2 = -0.2x 106 +0.2xl0*=-0.2xl06-F0.000002xl06(1.14) 0.00001同样出现了大数吃小数现象，其结果为-0.2X106.这样，得到的变形方程组‘0」xioj +0.2x10'x2=0.1x10"-0.4X106X2=-0.2X1 0&中没有原方程组中笫二个方程的信息，因而其解远偏离于原方程组的解.该算法中之所以出现较大数的原因是因为运算-2/0.00001,因而算法设计•中尽可能避免用绝对值较大的数除以绝对值较小的数.其实半分子的量级远远大于分母的量级时，除法运算还会导致溢出，计算机终止运行.虽从单纯的一步计算来看，大数吃掉小数，只是精度有所损失，但多次的大数吃小数，累汁起来可能带来巨大的误差，棋至导致错误.例如在算法la中出现了两次大数吃小数现象，带来严重的后果.因而尽可能避免大数吃小数的出现在算法设计中也是非常必要的.当用较多的尾数位数进行计算，舍入误差减小，算法1和2的结果都有所改 善，算法1的改进幅度更大些.算例13计算积分/” =「丄心有递推公式/,严丄-5/心（〃 =1,2,…），已知Jux + 5 n6取人的近似值为/（； =0.18232155 679395 ,按递推公式/：=丄一5/二计n算心W 1/39<J —^=5x(39+1/ 取厶的近似".00458333 333333 ,按递推公式 /二“丄一计算5 5 ）算法1和算法2的计算结果见表1.2.误差绝对值的对数图见图1.3. 表1・2算例1.3的计算结果n 算法1 n 算法2I:I ： -Ini;I ： -In18.8392e-OO2 1.9429e-016 39 4.5833e-003 3.9959e-004 2 5.8O39e-OO2 9.8532e-016 38 4.2115e-003 7.9919e-005 3 4.3139e-002 4.9197e-015 37 4.4209e-003 1.5984.005 4 3.4306e-002 2.4605e-014 36 4.5212e-003 3.1967e-006 5 2.8468e-002 1.2304e-013 35 4.6513e-003 6.3935e-007 62.4325e-002 6.1520e-013 34 4.7840e-0031.2787e-007 • • • • • •• •33 4.9255e-003 2.5574e-008 25 1.1740e+0011.1734e+001 32 5.0755e-003 5.1148e-009 26 -5.8664e+001 5.8670e+001 31 5.2349e-003.0230e-009 27 2.9336e+002 2.9335e+002 305.4046e-0032.0459e-01028 -1.4667e+003 .4668e+00329 7・3338e+003 7.3338e+OO330 -3.6669e+0043.6669e+004釆用IEEE 双精度浮点数，分别用如下两种算法计算人。
科学计算器使用方法
科学计算器使用方法第一篇：科学计算器使用方法（上）科学计算器是一种能够进行科学计算的工具，它具有各种功能和特点，可以满足不同类型计算的需求。
本文将介绍科学计算器的基本操作方法，以便读者能够轻松使用科学计算器进行计算。
1. 基本键科学计算器通常包含数个基本键，如数字键、运算符键、清除键等。
其中数字键可用于输入数字，运算符键可用于进行加减乘除等基本运算，清除键可用于删除输入错误或清空计算历史。
大部分计算器也包含一个等号键，可用于显示计算结果。
2. 科学函数科学计算器具有很多科学函数，如三角函数、对数函数、指数函数等。
这些函数可使用二次功能键或变换键访问。
科学函数可以使计算更加准确和方便。
3. 存储器科学计算器通常包含存储器功能，可用于存储输入的数字或结果。
存储器通常用 M1、M2 等字母表示。
当需要存储数字或结果时，可以按下存储器键和相应的字母键，然后输入要存储的数字或结果。
当需要读取存储的数字或结果时，可以按下相应的存储器键，然后按等号键显示结果。
4. 十进制和科学计数法科学计算器通常具有支持十进制和科学计数法的功能。
支持科学计数法的科学计算器将使用类似于“ 5.67E-3”这样的指数表示法来显示较大或较小的数字。
在使用科学计算器时，可以通过选择相应的设置来在十进制和科学计数法之间进行切换。
使用科学计算器进行计算有时可能会遇到困难或错误。
要正确使用科学计算器，必须了解其功能和特点，遵循正确的操作方法，并在存在问题时及时寻求解决方案。
下一篇将继续介绍科学计算器的高级功能和技巧，帮助读者更好地应用科学计算器。
第二篇：科学计算器使用方法（下）上一篇介绍了科学计算器的基本操作方法，本文将继续介绍科学计算器的高级功能和技巧，以便读者能够更好地应用科学计算器进行计算。
1. 复数和矩阵计算科学计算器通常具有支持复数和矩阵计算的功能。
这些功能可使用特定的功能键或变换键从计算器中访问。
复数计算可以进行基本运算、三角函数和指数运算等。
九年级科学第一章计算题
在九年级科学第一章中，学生可能会遇到一些计算题，这
些题目通常涉及到化学反应、物质的质量和能量等概念的计算。
以下是一些可能的九年级科学第一章计算题示例：
1. 计算一个化学反应中各物质的质量比。
2. 计算一个化学反应的能量变化。
3. 计算一个物质的质量，给定其物质的量和摩尔质量。
4. 计算一个物质的摩尔数，给定其质量和物质的量。
5. 计算一个物质在化学反应中的转化率。
6. 计算一个物质在化学反应中的产率。
7. 计算一个化学反应的平衡常数。
8. 计算一个化学反应的反应速率。
9. 计算一个物质的溶解度，给定其在一定温度下的饱和
溶液中的质量分数。
10. 计算一个物质在一定温度下的饱和溶液中的质量分数，给定其溶解度和密度。
请注意，以上只是可能的示例，具体的题目和难度可能会
因教材、地区和考试要求而有所不同。
为了确保准确性，建
议查阅教材或向老师请教相关的计算题和解题方法。
信息与计算科学专业计算方法习题参考解答(教师用)
第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1. 若误差限为0.5×10－5，那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2. 14159.3=π，具有4，5位有效数字的近似值分别是多少？（有效数字的计算） 3. 已知 1.2031,0.978a b ==是经过四舍五入后得到的近似值，问,a b a b +⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）4. 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0|*|≤-，cm r r 1.0|*|≤-，求圆柱体体积h r V2π=的绝对误差限与相对误差限。
（误差限的计算）5. 设ny x =，求y 的相对误差与x 的相对误差的关系。
设x 的相对误差为%a ,求nx 的相对误差.（函数误差的计算）6. 计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大何？（函数误差的计算）7. 设110n x n I e x e dx -=⎰求证：（1）11(0,1,2,)n n I nI n -=-=（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。
（计算方法的比较选择）第二章 插值法姓名 学号 班级习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。
1.求一个次数小于等于三次多项式，满足如下插值条件：，，，（插值多项式的构造）2. 已知：，，，求的Lagrange 插值多项式。
（拉格朗日插值）3. 已知y=x ，0x =4，1x =9，用线性插值求7的近似值。
（拉格朗日线性插值）4. 若(0,1,,)j x j n = 为互异节点，且有01110111()()()()()()()()()()()j j n j j j j j j j j n x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x -+-+-----=-----5. 证明(),0,1,,nk kj jj x l x xk n =≡=∑ （拉格朗日插值基函数的性质）6. 已知sin0.32=0.314567，sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274，用抛物线插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。
科学的计算方法
科学的计算方法1.十几乘十几：口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。
例：12×14=？解: 1×1=1２＋４＝６２×４＝８12×14=168注：个位相乘，不够两位数要用0占位。
２.头相同，尾互补(尾相加等于10)：口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾。
例：23×27=？解：２＋１＝３２×３＝６３×７＝2123×27=621注：个位相乘，不够两位数要用0占位。
３.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾。
例：37×44=？解：3+1=44×4=167×4=2837×44=1628注：个位相乘，不够两位数要用0占位。
４.几十一乘几十一：口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。
例：21×41=？解：2×4=82+4=61×1=121×41=861５.11乘任意数：口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。
例：11×23125=？解：2+3=53+1=41+2=32+5=72和5分别在首尾11×23125=254375注：和满十要进一。
６.十几乘任意数：口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。
例：13×326=？解：13个位是33×3+2=113×2+6=123×6=1813×326=4238注：和满十要进一。
第1章 计算、计算机与计算思维
第12次人口普查共做了6300万人的调查登记，1个
月就完成了统计制表工作。 制表机穿孔卡第一次把数据转变成了二进制信息。 被称为“数据处理”之父。 创办CTR公司，后改名为国际商用机器公司IBM。
河北农业大学 信息科学与技术学院
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2. 机电式计算机---艾肯的继电器计算机
1937年，哈佛大学博士艾肯（1900-
河北农业大学 信息科学与技术学院
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2. 圆周率的计算史
（6）总结
Π值
计算 方法
相辅相成
共同促进
计算机
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1.2 计算机
计算机的发展历程
手动式 计算工具 电子 计算机
计算 工具
机械式 计算工具 机电式 计算机
河北农业大学 信息科学与技术学院
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1.2.1 计算机文化
1991年，为纪念巴贝奇诞辰 200周年，伦敦科学博物馆采 用18世纪的技术设备，制作了 完整的差分机。
河北农业大学 信息科学与技术学院
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2. 机电式计算机---霍列瑞斯的制表机
起因：1880年，美国举行全国性人口普查。手摇计 算机“摇”得满头大汗，一天也算不出几张表格。 这次人口调查统计制表工作花了7年半的时间。 1888年，霍列瑞斯发明了他的制表机。1890年的
Π =3. 14159265358979323846264338327950288419716939937510 58209749445923078164062862089986280348253421170679 82148086513282306647093844609550582231725359408128 48111745028410270193852110555964462294895493038196 44288109756659334461284756482337867831652712019091 45648566923460348610454326648213393607260249141273 72458700660631558817488152092096282925409171536436 78925903600113305305488204665213841469519415116094 3305727036575959195309………….
第1章 计算机与计算思维
21
while(r!=0) /*利用辗除法，直到r为0为止*/
{ m=n; n=r; r=m%n;
} intGreatComDiv=n; intLeaseComMul=M*N/intGreatComDiv; printf("m和n的最大公约数是:
一个可以使用计算机解决的问题应该被定 义为“可以在有限步骤内被解决的问题”， 故哥德巴赫猜想这样的问题是不属于“可 计算问题”之列的，因为计算机没有办法 给出数学意义上的证明。
不能期待计算机能解决世界上所有的问题。
24
1.2计算思维
计算思维是运用计算机科学的基础概念 进行问题求解、系统设计，以及人类行为理 解的涵盖计算机科学之广度的一系列思维活 动。计算思维的本质是抽象和自动化。如同 所有人都具备“读、写、算”（简称3R）能 力一样，计算思维已经成为必须具备的科学 思维能力。
设计一个算法完成这个查找过程，那么这个算法 的思想和人工查找是基本一致的，即逐个对比 s1,s2,…,sn，
如果其中某一个的学号值与key=10011087匹配， 则查找成功，结束查找过程；
如果所有的学号都不与key匹配，则说明没有要找 的这个学生，称为查找失败，结束查找过程。
演规则）。任何结论都要从公理集合出发， 经过推演系统的合法推理，得出结论。
31
计算思维
计算思维是人类科学思维中，以抽象化和 自动化，或者说以形式化、程序化和机械 化为特征的思维形式。
计算思维也是与人类思维活动同步发展的 思维模式，但是计算思维概念的明确和建 立却经历了较长的时期。
32
计算思维中的抽象化与数学（逻辑思维） 的抽象化有不同的含义。计算思维的抽象 化不仅表现为研究对象的形式化表示，也 隐含这种表示应具备有限性、程序性和机 械性。
科学八年级上第一章综合计算题
科学,八年级,上,第一章,综,合计,算题,、,有关,1、有关密度的计算：1）.现用油罐车来装用煤油850吨，每一节油罐车的容积是50米3，问共需油罐车几节？（煤油的密度是0.8×103千克/米3 ）2）.一个玻璃瓶能装500克水，现改装密度另一种不明液体，只能装400g，请问该不明液体的密度是多少？3）.一个容积为2L的桶里装有1.8L的水时，它的质量是多少？现将其放在冰库中，问其全不结冰后质量为多少？冰的体积又是多少?(冰的密度为0.9×103千克/米3)4）.有一个质量为4.44Kg，体积为650cm3铸铁球（已知该铸铁的密度是7.4×103kg/m3)1. 问该球是实心的还是空心的?(你最多能想到几种方法)2. 求出空心部分的体积？5）.有一个空瓶子质量为300g，装满水后称起质量为800g，现改装为另一不明液体，装满后称其质量为700g,求这种不明液体的密度？2、有关压强的计算：1）．将质量为5千克、底面积为20厘米2的铝块放在面积为1米2的水平桌面中央，铝块对桌面的压强为多少? (取g=10牛/千克)2）.重力为20万牛的坦克，每条履带与地面的接触面积是2米2 。
求：若某冰面能承受的最大压强为6×104帕，坦克能否直接通过这个冰面?3）.小刚的妈妈买了一箱牛奶，放在地上，箱与地面的接触面积是0.025m2，箱和牛奶总质量是5Kg，箱中每小袋牛奶包装袋上标有“净含量221ml、227g”字样（g=10N/Kg）。
试求：（1）这种牛奶的密度是多少克/厘米3（保留两位小数）（2）这箱牛奶对地板的压强是多少帕斯卡？4）边长为8厘米的正方体金属块放在面积为100厘米2的水平木板中央，金属块对木板产生的压强为6.125×103帕，求：该金属块的密度？3、有关浮力的计算：1）体积为100厘米3的铁块，浸没在酒精里，它受到的浮力是多少牛？（ρ酒精=0.8×103千克/米3，g=9.8牛/千克）2）．把l00g0℃的硝酸钾饱和溶液加热到60℃，如不蒸发水分，还需加人多少克硝酸钾晶体，才能重新达到饱和?(硝酸钾在60℃和10℃时的溶解度分别为110g和20g)3）一木块的质量是500g，漂浮于水面。
科学计算(计算方法)
科学计算计算方法科学计算器使用方法科学计算器的使用方法科学与工程计算方法所得税计算方法个人所得税计算方法养老金计算方法企业所得税计算方法退休金计算方法年假计算方法
第一章 数值计算工具MATLAB
1、Matlab (Matrix Laboratory)的起源
Algol 语言程序 Wilkinson J H, Reinsch C, eds. Handbook for Automatic Computation, Vol. 2, Linear Algebra, Springer-Verlag, 1971
8、数学函数
9、功能函数 sort(x) sum(x) max(x) min(x) mod(x,y) rand(n) eval(s) 10、编程（编写M文件） 11、绘图
2.1 矩阵 A=zeros(m,n) m行n列的零矩阵
I=eye(n)
n阶单位矩阵
A=ones(m,n) 元素均为1 A’ A的转置 A(:,k) A(k,:) A(m1:m2,n1:n2) inv(A) A的逆
6、程序结构
分支：if __else__end; if__elseif__end; if__break__end 循环：for__end; while__end
7、读写
输入数据：z=input(‘type youe input:’) 键盘输入 格式化输出：fprintf(‘e_format %12.5e \n’,vol)
病态矩阵的一个重要标志是条件数：
cond( A) A A1
MATLAB命令： cond(A)
当矩阵是病态时，其条件数一定很大，但它并不能直 接说明解的误差。
科学计数法的计算方法
科学计数法的计算方法嘿，朋友！今天咱来聊聊超有趣的科学计数法的计算方法！你知道吗，科学计数法就像是一把神奇的钥匙，能打开那些看起来超级复杂的数据大门呢！比如说，1 后面跟着好多好多 0 的数字，像，哎呀，写起来多麻烦呀！但用科学计数法，就可以写成1×10 的 10 次方，是不是简单多啦！那怎么计算呢？来，咱们一步一步看。
比如有两个数，3×10 的 5 次方和4×10 的 3 次方，这怎么算呀？这就好比搭积木，我们先把它们“拆”开看。
3×10 的 5 次方就是 3 乘以10×10×10×10×10，4×10 的 3 次方就是 4 乘以10×10×10。
那把它们乘起来呢，就是3×4 等于 12，然后 10 的 5 次方乘以 10 的 3 次方，就等于 10 的 8 次方。
所以最后的结果就是12×10 的 8 次方。
但这还没完哦，还要把它变成标准的科学计数法，12 可以写成×10，那最后就是×10 的 9 次方啦！哇塞，是不是很神奇！再比如，5×10 的 4 次方除以2×10 的 2 次方，这就像分苹果一样。
5 除以 2 等于，10 的 4 次方除以 10 的 2 次方等于 10 的 2 次方，所以结果就是×10 的 2 次方呀！你想想，要是没有科学计数法，遇到那些巨大或极小的数字，咱得多头疼呀！科学计数法真是我们的好帮手呢！所以说呀，科学计数法的计算方法真的超有用，学会了它，就像是拥有了一把开启数据奥秘的钥匙，让我们能更加轻松地处理那些让人眼花缭乱的数字。
朋友，赶紧去试试吧！。
第1章误差科学与工程计算(数值分析)详解
误差来源与分类
如:
ex 1 x x2 x3
2! 3!
sin x x x3 x5 x7 Taylor展开
3! 5! 7!
ln(1 x) x x2 x3 x4 2! 3! 4!
若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式, 由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差。
误差来源与分类
输入复杂问题或运算
x,
ax,
ln x,
Ax b,
b f ( x)dx,
d f ( x), ......
a
dx
近似解
计算机
数值 分析
1.1 数值分析研究对象与特点
计算机只能进行加减乘除四则运算和 简单的函数计算 1.数值代数:求解线性和非线性方程的解法, 分直接方法和间接方法。 2.插值和数值逼近。 3.数值微分和数值积分。 4.常微分方程和偏微分方程数值解法。
关于本身是病态的问题，我们还是留给数学家去头痛吧！
例：计算
In
1 e
1 xne xdx ,
0
n 0,1, 2, ......
公式一： In 1 n In1
I0
1 e
1 e xdx
0
1
1 e
0.63212056
记为
I注0* 意此公式精确成
则初始误差 E0 I0 I0 0.5108
立
1.2 数值计算的误差 误差的基本理论
1 用计算机进行实际问题的数值计算时,往往 求得的是问题的近似解,都存在误差
误差来源与分类
在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽 象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因 素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际 问题有一定的区别.—模型误差
在建模和具体运算过程中所用的数据往往 是通过观察和测量得到的,由于精度的限制, 这些数据一般是近似的,即有观测误差
第1章_数值分析与计算科学引论
误差来源与分类
在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽 象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因 素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际 问题有一定的区别.—模型误差
在建模和具体运算过程中所用的数据往往 是通过观察和测量得到的,由于精度的限制, 这些数据一般是近似的,即有观测误差
误差来源与分类
如:
或
x x s*ize of the exact value.
误差限的大小还不能完全表示近似值的好坏.
若对于 x 15 2
x* 15
(x*) 2
y 1000 5 y* 1000
定义2哪. 个设更x为精准确N确呢Soinwa值f?eyoDrIr…rBow,moxnuxrowa*’t*uott为 bhwilftodeaeh2ncntlxa0al’1id的 tcutsmmoks5cteeeh一 ai±吗 sn…lieltdt’1个 rhistecoa？5lmsfta近i%mt5?i%v似 pele(值 . y
数值运算的误差估计
问题：对于 y = f (x)，若用 x* 取代 x，将对y 产生什么影响？
分析：e*(y) = f (x*) f (x) Mean Value e*(x) = x* x
Theorem
= f ’( )(x* x)
x* 与 x 非常接近时，可认为 f ’( ) f ’(x*) ，则有：
* 3.141 592 7 有8位有效数字
* 3.1415 只有4位有效数字
有效数字
x的近似值 x*可以表示成下列形式：
x* 10m (a1 a2 101 an 10(n1) ) 其中a（i i 1, , n) 是0到9中的一个数字。
科学计算方法
科学计算方法科学计算方法是指利用计算机和数学方法进行科学研究和工程设计的一种技术手段。
它是现代科学技术发展的重要支撑，广泛应用于物理、化学、生物、地球科学等领域。
科学计算方法的发展，不仅加速了科学研究的进程，也为工程设计和生产提供了强大的支持。
在科学计算方法中，数值计算是其中的重要组成部分。
数值计算是利用数值方法对科学问题进行近似求解的过程，通过离散化、逼近和数值求解等手段，将连续的科学问题转化为离散的数值问题，然后利用计算机进行求解。
数值计算的精度、稳定性和效率对科学计算方法的应用至关重要。
科学计算方法的应用范围非常广泛，例如在物理学中，科学家们利用数值方法模拟天体运动、量子力学问题等；在工程设计中，利用有限元分析、流体力学模拟等方法进行结构分析和流场计算；在生物医学领域，利用数值模拟进行疾病传播和药物研发等。
可以说，科学计算方法已经渗透到了各个科学领域和工程技术中。
在进行科学计算时，选择合适的数值方法和算法非常重要。
不同的科学问题需要采用不同的数值方法进行求解，例如常微分方程、偏微分方程、最优化问题等，都需要针对性地选择合适的数值方法。
同时，算法的稳定性和收敛性也是科学计算中需要考虑的重要问题，一个稳定、高效的算法能够大大提高计算的准确性和效率。
除了数值计算，科学计算方法还包括符号计算、统计计算、数据挖掘等内容。
符号计算是指利用计算机进行代数运算、方程求解、微积分运算等，它在数学推导和物理模型建立中起着重要作用；统计计算则是利用统计学方法对数据进行分析和预测，广泛应用于经济学、社会学、生态学等领域；数据挖掘则是通过对大量数据进行分析和挖掘，发现其中的规律和信息，对商业决策和科学研究有着重要意义。
总之，科学计算方法是现代科学技术发展不可或缺的重要手段，它的应用范围广泛，涉及的内容丰富多样。
随着计算机技术和数学方法的不断发展，科学计算方法将会在更多领域发挥重要作用，推动科学研究和工程技术的进步。
科学计算方法
科学计算方法科学计算方法是指利用数学和计算机技术来解决科学和工程问题的方法。
它涉及到数值计算、数值分析、模拟和仿真等方面，是现代科学技术发展中不可或缺的重要组成部分。
首先，科学计算方法的基础是数学。
数学是科学计算的理论基础，包括微积分、线性代数、概率统计等数学知识都是科学计算方法必不可少的基础知识。
在实际应用中，科学家和工程师需要利用数学方法建立模型，利用计算机进行数值计算和分析，从而得到问题的解决方案。
其次，科学计算方法的核心是数值计算。
数值计算是利用计算机对数学模型进行数值近似求解的方法。
它涉及到离散化、数值逼近、误差分析等内容。
通过数值计算，科学家和工程师可以对复杂的科学和工程问题进行求解，例如求解微分方程、优化问题、数据拟合等。
另外，科学计算方法还包括模拟和仿真。
模拟是利用计算机对实际系统进行虚拟实验，从而得到系统的行为和性能。
仿真是利用计算机对系统进行动态模拟，模拟系统在不同条件下的运行情况。
模拟和仿真在科学研究和工程设计中起着至关重要的作用，可以帮助人们理解系统行为、预测系统性能，并进行优化设计。
总的来说，科学计算方法是一种强大的工具，它为科学家和工程师提供了解决复杂问题的途径。
在当今信息化和数字化的时代，科学计算方法的应用范围越来越广，已经成为科学研究和工程设计中不可或缺的重要手段。
通过不断地发展和创新，科学计算方法将会在更多领域发挥重要作用，推动科学技术的进步和发展。
综上所述，科学计算方法在当今社会中具有重要意义，它为科学研究和工程设计提供了强大的支持。
通过学习和掌握科学计算方法，可以更好地解决实际问题，推动科学技术的发展，为人类社会的进步做出贡献。
希望广大科学家和工程师能够深入研究和应用科学计算方法，不断推动科学技术的发展，为人类社会的繁荣和进步做出更大的贡献。
第一章数值分析与科学计算引论
第一章 数值分析与科学计算引论1.1误差采用数值方法求解问题，获得的是近似解。
若近似程度满足不了实际问题的需要，这方法就将失效。
因此构造一个合理的数值方法时必须注重误差分析，注意误差的影响. 1.1.1误差来源(1) 模型误差：数学描述与实际问题之间的误差(2) 观测误差： 数值问题的原始数据，一般由观测或实验手段获得。
由于测量或实验工具的精度有限，因此总有误差。
(3) 截断误差：实际计算只能用有限次运算来完成，而理论上的精确值往往要求用无限的过程来实现，因此需要将无穷过程进行截断。
这样产生的误差通常称作截断误差(与具体算法有关)。
如：!201!21!111++++≈ e 产生的误差. (4) 舍入误差：计算机数系是有限集。
因此大多数数只能用计算机数系中和它们比较接近的数来表示。
由此而产生的误差就是舍入误差，如：取14159265.3≈π产生的误差。
每一步的舍入误差虽是微不足道的，但经过计算过程的传播和积累，舍入误差甚至可能会“淹没”所要求的真解。
从上述四种误差的来源来看，模型误差和观测误差往往是科学计算工作者不能独立解决的，甚至是尚待解决的问题。
因此在数值计算过程，一般只讨论截断误差和舍入误差，讨论它们在计算过程中的传播和对计算结果的影响，研究控制它们的影响以保证最终结果有足够的精度，既希望解决问题的算法简便而有效，又使最终结果准确而可靠。
1.1.2 绝对误差和相对误差为了刻划近似数的精确程度，引入绝对误差和相对误差的概念。
绝对误差：设数x 精确值，*x 为其近似值，*x x e -=称为近似数*x 的绝对误差。
绝对误差限：准确值x 是未知的，因此绝对误差e 也是未知的。
因此我们常常设法估计x 的取值范围，即求出一个正数ε使ε≤-=||||*x x e称ε为近似值*x 的绝对误差限或精度。
则有：εε+<<-**x x x 或表示成: ε±=*x x 相对误差:***x x x x x e r --=或相对误差限r ε： r r e ε≤ 注：1、绝对误差限与相对误差限惟一；2、绝对误差限与相对误差限越小，近似值的近似程度越高；3、实际中通常按四舍五入取近似值。