平面向量中的最值问题0

平面向量中的最值问题1．求向量的模的最值或取值范围．2．求平面向量的夹角的最值或取值范围．3．求平面向量数量积的最值或取值范围．【复习指导】本讲复习时，应结合平面向量数量积的定义及其几何意义，将有关的量表示出来，代数或几何方法求解最值与取值范围．基础梳理求最值的方法小结㈠．几何方法⑴．平面几何方法：两点之间线段最短、点到直线的距离最短、与圆有关的最值⑵．解析几何方法利用截距、斜率、两点之间的距离等几何意义求最值；先求轨迹，后求最值㈡．代数方法⑴．函数方法：首先分析要求的量的变化和什么因素有关，从而选定变量，建立函数关系式，利用函数有关知识求解最值问题，另外有些问题需结合导数知识求解；⑵．利用基本不等式求解；⑶．利用三角函数求解．双基自测㈠．求模的最值或范围1．平几法求最值【例1】已知向量OA 和OB 的夹角为3π，||4,||1OA OB ==，若点M 在直线OB 上，则||OA OM -的最小值为________．23练习1．⑴．(11全国大纲)设向量,,a b c 满足1||||1,,,602a b a b a c b c ==⋅=-<-->=，则||c 的最大值等于________．【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC 为直径时，||c 最大． 解：如图，构造,,,120AB a AD b AC c BAD ===∠=，60BCD ∠=，所以,,,A B C D 四点共圆，分析可知当线段AC 为直径时，||c 最大，最大值为2．⑵．已知向量,||1a e e ≠=，对任意t R ∈，恒有||||a te a e -≥-，则下列结论正确的是________．①a e ⊥ ②．()a a e ⊥- ③．()e a e ⊥- ④．()()a e a e +⊥-解法一：由||||a te a e -≥-知，22||||a te a e -≥-，即222||2||21a ta e t a a e -⋅+≥-⋅+，化简得，22(1)1t a e t -⋅≤-，当1t ≤时，即212a e t ⋅≥+≤恒成立，故1a e ⋅≥；当1t >时，即212a e t ⋅≤+>，故1a e ⋅≤．故1a e ⋅=，故③成立．解法二：22(1)1t a e t -⋅≤-，即22210t a et a e -⋅+⋅-≥任意t R ∈恒成立，故24()a e ∆=⋅-840a e ⋅+≤，即1a e ⋅=，故③成立．解法三：由几何意义可知，在所有的向量a te -中，以a e -的模最小，故()e a e ⊥-．【例2】(08浙江)已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足：()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最大值是___________．解法一：由()()0a c b c -⋅-=可得，2||()||||cos c a b c a b c θ=+⋅=+(其中θ为a b +与c 的夹角)，即||()||cos 2cos 2c a b c a b θθ=+⋅=+=≤,故||c 的最大值是2．解法二：作四边形OABC ，设,,OA a OB b OC c ===，则由已知得，90,90AOB ACB ∠=∠=，故,,,O A B C 四点共圆，故||c 最大为圆的直径为2．练习2．(08浙江)已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b ⋅-=，则||b 的取值范围是 ________ ．解法一：由()0b a b ⋅-=得，2||0b a b ⋅-=，即2||||cos ||0b a b θ-=，故||cos b θ=，即||b 的取值范围是[0,1]．解法二：也可以借助于几何意义求解，当0b =时，||0b =；当a b =时，||1b =．当0b ≠且a b ≠时，b 与a b -互相垂直，0||1b <<，即||b 的取值范围是[0,1]．2．代数法求最值⑴．通过线性运算求最值【例3】已知G 为ABC ∆的重心，若120A =，2AB AC ⋅=-，则||AG 的最小值为 ．解：由120A =，2AB AC ⋅=-得，||||4AB AC =，由平几知识可知，1()3AG AB AC =+，故2222211114||[()][()](||2||)(||||)33999AG AB AC AB AC AB AB AC AC AB AC =+⋅+=+⋅+=+-14844(2||||)99999AB AC ≥-=-=，即||AG 的最小值为23，不等式当且仅当||||2AB AC ==时取得最小值23．练习3．(10浙江)已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足：||1β=，并且α与βα-的夹角为120，则||α的取值范围是____________．解析：利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题． 解法一：易知在ABC ∆中，60,1ABC AC ∠==．设ACB ϕ∠=，由正弦定理得，||||sin sin 60αβϕ=，故||33a ϕϕ==≤||a 的取值范围是． 解法二：由正弦定理得，OACOCOCA OA ∠=∠sin sin ，即||1sin sin 60OCA α=∠︒，故1||sin sinsin 60OCA OCA α=⨯∠=∠︒，因为︒<∠<︒1200OCA ，故1sin 0≤∠<OCA ，所以230||3α<≤． 解法三：如图中圆的半径为||1β=，当︒=∠90OCA 时，max 123||sin 603OA α===︒(如图1)，当C B →时，||0a →(如图2)．【例4】(11辽宁)若,,a b c 均为单位向量，且0,()()0a b a c b c ⋅=-⋅-≤，则||a b c +-的最大值为____________．解：由()()10a c b c a b b c a c -⋅-=⋅-⋅-⋅+≤可得，即()1a b c +⋅≥，而22||||a b c a b +-=+-22()||32()a b c c a b c +⋅+=-+⋅，由()1a b c +⋅≥可知，||1a b c +-≤，故||a b c +-的最大值为1．练习4：(09安徽)给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的最大值是____________．解析：设AOC α∠=，则,.OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩，即1cos ,21cos(120).2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩，故2[cos cos(120)]cos 3sin 2sin()26x y πααααα+=+-=+=+≤．⑵．通过向量的坐标运算求解最值【例5】在ABC ∆中，90,1A AB AC ∠=︒==，点P 在边BC 上，则|2|PB PC +的最大值为 ． 解：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,1)C ，易知BC 的方程为1x y +=，故可设(,1)0,1P t t t -≤≤，易知(1,1)PB t t =--，(,)PC t t =-，则2(13,31)PB PC t t +=--，故|2|2|31|[0,22]PB PC t +=-∈，即|2|PB PC +的最大值为22．练习5．(11天津)已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则|3|PA PB +的最小值为 ．解法1．以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系．由题设，(2,0)A ，设(0,)C c ，(0,)P y ，则(1,)B c ．(2,)PA y =-，(1,)PB c y =-．3PA PB += (5,34)c y -．2|3|55PA PB +=≥，当且仅当34c y =时，等号成立，于是，当34cy =时，|3|PA PB +有最小值5．解法2．以相互垂直的向量DP ，DA 为基底表示PB PA 3+，得33PA PB DA DP PC +=-++53(3)2CB DA PC DP =+-．又P 是腰DC 上的动点，即PC 与DP 共线，于是可设DP PC λ=，有DP DA PB PA )13(253-+=+λ．故222255|3|||[(31)](31)42PA PB DA DP λλ+=+-+⨯-DA DP ⋅，即222225|3|||[(31)]25|(31)|4PA PB DA DP DP λλ+=+-=+-．由于P 是腰DC 上的动点，显然当31=λ，即DP PC 31=时，故|3|PA PB +有最小值5．解法3．如图，3PB PF =，设E 为AF 的中点，Q 为AB 的中点，则12QE BF PB ==，PA + 32PB PA PF PE =+=，①因PB PQ PE +=，PB PQ QB -=．则22||||PB PQ PB PQ ++-= 22222||2||||||PB PQ PE QB +=+．②(实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”)设T 为DC 的中点，则TQ 为梯形的中位线，13()22TQ AD BC =+=．设P 为CT 的中点，且设,CP a PT b ==，则22||1PB a =+，229||4PQ b =+，221||()4QB a b =++，代入式②得2222||2||2(1)PB PQ a +=+222912()||()44b PE a b ++=+++，于是222525||()44PE a b =+-≥，于是2||5PE ≥，当且仅当a b =时，等号成立．由①式，|3|2||5PA PB PE +=≥，所以|3|PA PB +有最小值5．小结：问题12---17中，首先要结合图形和已知条件选择几何方法(视为几何图形中的某些量)或者代数方法来表示向量的模，然后选择适当的解决范围或最值问题！F㈡．求角的最值或取值范围【例6】(11浙江)若平面向量,a b 满足：||1a =，||1b ≤，并且以向量,a b 为邻边的平行四边形的面积为12，则a 与b 的夹角θ的取值范围是 ． 解：由平行四边形的面积为12知，则1||||sin ||sin 2S a b b θθ===，故1sin 2||b θ=，由||1b ≤知，1sin 2θ≥，故a 与b 的夹角θ的取值范围是5[,]66ππ． 练习6：㈢．求数量积的最值⑴．通过线性运算求最值 基本不等式求最值【例7】(05江苏)在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值是_________．解析：()(2)22||||(1)2||||2(OA OB OC OA OM OA OM OA OM OA OM ⋅+=⋅=⋅=⨯-=-≤-2||||)22OA OM +=-．练习7．(09全国I )设,,a b c 是单位向量，且0a b ⋅=，则()()a c b c -⋅-的最小值为___________． 解：因为,,a b c 是单位向量，所以2()()()1||||12a c b c a b a b c c a b c -⋅-=⋅-+⋅+=-+=-cos ,12a b c <+>≥-．【例8】已知菱形ABCD 中，对角线3AC =1BD =，P 是AD 边上的动点，则PB PC ⋅的最小值为 ____ ．解法一：由已知可知，菱形ABCD 的边长为1，3BAD π∠=，故()()PB PC AB AP AC AP ⋅=-⋅-=222311||||2||(||1)222AB AC AC AP AB AP AP AP AP AP ⋅-⋅-⋅+=-+=-+≥，故PB PC ⋅的最小值为12． 解法二：以AC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则1(0,)2B -，BP2C，易知AD 所在直线的方程为132y x=+，故设1(,),0322P t t +-≤≤，则331(,1),(,)322PB t t PC t =---=--，故2411322PB PC t ⋅=+≥，当且仅当0t =即点P 与点D 重合时，PB PC ⋅的最小值为12．练习8：如图ABC ∆为正三角形，边长为2，以点A 为圆心，1为半径作圆，PQ 为圆A 的任意一条直径．⑴．若12CD DB =，求||AD ； ⑵．求CP BQ ⋅的最小值．⑶．判断CQ BP ⋅＋CP BQ ⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由．解：⑴．因13AD CD CA CB CA =-=-,故221||()3AD CB CA =- 221242128224939329CB CB CA CA =-⋅+=-⨯⨯⨯+=，故27||3AD =．⑵．设PAB θ∠=，则120CAQ θ∠=︒-，()()BQ CP AQ AB AP AC AQ AB ⋅=-⋅-=⋅-1112cos(120)12cos 221cos2AQ AC AB AP AB AC θθθ=--⨯⨯︒--⨯⨯+⨯⨯=⋅-⋅+⋅--12sin()6πθθ=-+，当sin()16πθ+=时，即2,3k k Z πθπ=+∈时，CP BQ ⋅有最小值为1-．⑶．BP CQ BQ CP ⋅+⋅的值不随点P 的变化而变化！因()()1cos 12sin()6BP CQ BA AP CA AQ πθθθ⋅=+⋅+=+=++，由⑵知，BQ CP ⋅= 12sin()6πθ-+，故2BP CQ BQ CP ⋅+⋅=，故BP CQ BQ CP ⋅+⋅的值不随点P 的变化而变化．⑵．通过向量的坐标运算求解最值①．通过线性规划求最值【例9】在正方形ABCD 中，已知2AB =，M 为BC 的中点，若N 为正方形(含边界)的任意一点，则AM AN ⋅的最大值___．解：以A 为原点，以AB 所在的为x 轴，因正方形ABCD 的边长为2，则(0,0),(2,0),(0,2)A B D ，设(,)N x y ，则(2,1),(,)AM AN x y ==，则,x y 满足条件(*)：02,0 2.x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则2AM AN x y ⋅=+，由(*)知，AM AN ⋅的取值范围是4[1,]3．练习9．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点,M N 分别为线段,BC CD 上的两个不同点，且||1MN ≤，则OM ON ⋅的取值范围是 ________ ．解：以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，因正方形ABCD 的边长为2，则(1,1)O ，设(2,),(,2)M s N t ，则(1,1),(1,1)OM s ON t =-=-，则由已知条件可知，,s t 满足条件(*)：2202,02(2)(2) 1.s t t s ⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪-+-≤⎩(2s =与2t =不能同时成立！)，则2OM ON s t ⋅=+-，由(*)知，OM ON ⋅的取值范围是[22 2)-，． ②．函数法求最值【例10】(12上海)在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边,AB AD 的长分别为2,1．若,M N 分别是边,BC CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AN AM ⋅的取值范围是_________． 【解析】如图建系，则1353(0,0),(2,0),(),(22A B D C ．设||||[0,1]||||BM CN t BC CD ==∈，则||,||2BM t CN t ==，故3(2,)22t M +， 53(2,22N t -，故22533(2)(2)25(1)6()2222t AM AN t t t t t f t ⋅=+-+⋅=--+=-++=，因为[0,1]t ∈，故()f t 递减，故max min ()(0)5,()(1)2AM AN f AM AN f ⋅==⋅==．[评注]当然从抢分的战略上，可冒用两个特殊点:M 在B (N 在C )和M 在C (N 在D )，而本案恰是在这两点处取得最值，蒙对了，又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了! 练习10．如图，半径为1圆心角为23π圆弧AB 上有一点C ． ⑴．当C 为圆弧AB 中点时，D 为线段OA 上任一点，求||OD OC +的最小值．⑵．当C 在圆弧AB 上运动时，,D E 分别为线段,OA OB 的中点，求CE DE ⋅的取值范围． 解：⑴．以O 为原点，以OA 为x 轴正方向，建立如图坐标系，设22(,0)(01),(22D t t C ≤≤-，xy ABC DMN故22(,)22OC OD t +=-+，故22211||221(01)22OC OD t t t t t +=-++=-+≤≤，当22t =时，最小值为22．⑵．设3(cos ,sin )(0)2OC πααα=≤≤，故CE OE OC =-11(0,)(cos ,sin )(cos ,sin )22αααα=--=---，又1(,0)2D ，1(0,)2E -，故11(,)22DE =--，故1(cos sin )2CE DE αα⋅=+21sin()244πα=++，因7444πππα≤+≤，故1212[,]4242CE DE ⋅∈-+． 【例11】如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC DE AP λμ=+，则λμ+的最小值为________________．考点：平面向量的基本定理及其意义．分析：建立坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，求出向量(cos 2AC DE AP λλμμθ=+=+，sin )(1,1)λμθ-+=，用cos ,sin θθ表示λ和μ，根据cos ,sin θθ的取值范围, 求出λμ+=32sin 2cos 2cos sin θθθθ+-+的最小值．解：以A 为原点，以AB 所在的为x 轴，建立坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，则1(,1)2E ，(1,1),(0,1),(0,0)C D A ，设(cos ,sin )P θθ，则(1,1)AC =．再由向量(2AC DE AP λλμ=+=+cos ,sin )μθλμθ-+，所以cos 1,sin 12λμθλμθ+=-+=，所以2sin 2cos ,2cos sin θθλμθθ-==+ 32cos sin θθ+，故32sin 2cos 2cos sin θθλμθθ+-+=+．由题意得，02πθ≤≤，故0cos 1,0sin θθ≤≤≤1≤，当cos θ取最大值1时，同时，sin θ取得最小值0，这时λμ+取最小值12．练习11：如图在Rt ABC ∆中，E 为斜边AB 的中点，,1CD AB AB ⊥=，则()()CA CD CA CE ⋅⋅的最大值是 ．解法一：记A θ∠=，则()()[cos (cos sin )sin ]CA CD CA CE θθθθ⋅⋅=422223111122(cos cos )cos sin cos cos sin ()2244327θθθθθθθ==≤=， CADE BA E D CB故()()CA CD CA CE ⋅⋅的最大值是227． 或设2sin t θ=，易知(0,1)t ∈，则421()()cos sin 2CA CD CA CE θθ⋅⋅== 23211(1)(2)22t t t t t -=-+，记321()(2)2f t t t t =-+，则'211()(341)(31)(22f t t t t t =-+=-- 1)，由导数知识易知，max 12()()327f t f ==，故()()CA CD CA CE ⋅⋅的最大值是227． 解法二：以C 为原点，以CA 所在的直线为x 轴，因1AB =，则(0,0)C ，设A θ∠=，则(cos A θ，10),(cos sin sin ,cos sin cos ),(2D E θθθθθθ 1cos ,cos )2θθ，则2()()(cos CA CD CA CE θ⋅⋅=⋅ 224211sin )(cos )cos sin 22θθθθ=(下略)．【例12】如图，点P 是单位圆在第一象限上的任意一点，点(1,0)A -，点(0,1)B -，PA 与y 轴交于点N ，PB 与x 轴交于点M ，设PO xPM yPN =+，(,)x y R ∈，(cos ,sin )P θθ． ⑴．求点M 、点N 的坐标，(用θ表示)；⑵．求x y +的取值范围． 解：⑴．cos (,0)1sin M θθ+，sin (0,)1cos N θθ+．⑵．由已知得，cos (cos ,sin ),(1sin PO PM θθθθ=--=+sin cos cos,sin )(,sin ),(cos 1sin PN θθθθθθ---=-=-+，sin sin cos sin )(cos ,)1cos 1cos θθθθθθθ--=-++，代入PO =xPM yPN +，得sin cos cos (cos )1cos x y θθθθθ-=-+-+，整理得，sin (1sin )1sin x y θθθ++=+，sin sin x θθ-=--sin cos 1cos y θθθ+，整理得，(1cos )x θ+ cos 1cos y θθ+=+，将上两式相加可得：2sin cos 1111sin cos 1sin cos x y θθθθθθ+++==+=+++++112)4πθ+，由02πθ<<可知，2sin()124πθ<+≤，故1+ 2)(2,12]4πθ+∈，即1[1)212x y +∈++，故3[2,)2x y +∈．练习12．(10全国I )已知圆O 的半径为1，,PA PB 为该圆的两条切线，,A B 为两切点，那么PA PB ⋅的最小值为 ．小结：首先要选择合适的形式表示数量积，然后是如何选择适当的量来表示数量积，再次是如何解决范围或最值问题！【解析1】如图所示：设(0),PA PB x x APO ==>∠=α，则2,APB PO αα∠===，22422222(1)||||cos 2(12sin )11x x x x PA PB PA PB x x x αα--⋅==-==++，令y PA PB =⋅，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x R ∈，故2[(1)]41y ∆=-+-⨯⨯ ()0y -≥，即2610y y ++≥，故3y ≤--3y ≥-+min ()3PA PB ⋅=-+．此时x =或：设21t x =+，则4221x x y x -=+可变形为2(1)(1)233t t y t t t---==+-≥，当且仅当t =，即x =min ()3PA PB ⋅=-+【解析2】设,0APB θθπ∠=<<，则222cos 12||||cos ()cos (1tansin 22PA PB PA PB θθθθθ⋅===-2222(1sin )(12sin )222sin )2sin 2θθθθ--=，设2sin 2x θ=，则01x <≤，故(1)(12)x x PA PB x --⋅== 1233x x+-≥．【解析3】建系得，圆的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，则10(,PA PB x x ⋅=-222110111001)(,)2y x x y x x x x y ⋅--=-+-，又OA PA ⊥，故11101(,)(,)0x y x x y ⋅-=，即2110x x x -+210y =，故101x x =，故22222222110011011022(1)23PA PB x x x x y x x x x x ⋅=-+-=-+--=+-≥3．③．轨迹法求最值【例13】在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅的取值范围是_______________． 解：易知点P 在以MN 为焦点，长轴的长为10的椭圆上，以MN 所在直线为x 轴，线段MN 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则(3,0),(3,0)M N -，设(,)P x y ，则2212516x y +=，那么(3,),(3,)PM x y PN x y =+=-，故22222169916972525x x PM PN x y x ⋅=+-=+--=+，由已知可知2[0,5)x ∈，故PM PN ⋅的取值范围是[7,16)．练习13：(09安徽)给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为90．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的最大值是_____． 解：以O 为原点，以OA 为x 轴正方向，建立如图坐标系，设(0,0),(1,0),(0,1)O A B ，设(,)C x y ，则已知2201,01,1.x y x y ⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪+=⎩，则由(,)OC xOA yOB x y =+=，由可行域可知，x y +．变题：22)1(y x +-的最大值为 ．[0,2]．④．放缩法求最值【例14】在平面直角坐标系xOy 中，设,,A B C 是圆221x y +=上相异三点，若存在正实数,λμ，使得OC OA OB λμ=+，则22(3)λμ+-的取值范围是 ．解：由存在正实数,λμ，使得OC OA OB λμ=+，故向量OA 与向量OB 的夹角的范围是(0,)π，则向量OB 与向量OC 的夹角θ的范围是(0,)π，由OC OA OB λμ=+可知，OA OC OB λμ=-，故2222222||()||2||12cos OA OC OB OC OB OC OB λμμμμμθ=-=-⋅+=+-，则2(λμ+-22223)22(3cos )1028102(4)22μμθμμμ=-++>-+=-+≥，故22(3)λμ+-的取值范围是(2,)+∞．练习14．在面积为2的ABC ∆中，,E F 分别是,AB AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC PB ⋅+2BC 的最小值是______________．分析：根据ABC ∆的面积为2，可得PBC ∆的面积为1，从而可得2||||sin PB PC BPC=∠，故2cos ||||cos sin BPCPB PC PB PC BPC BPC∠⋅=∠=∠，由余弦定理得，222||||||2||BC BP CP BP =+- ||cos CP BPC ∠，进而可得，2||2||||2||||cos BC BP CP BP CP BPC ≥-∠，从而PC PB ⋅+24cossin BPC BC BPC -∠≥∠，易得4cos sin BPCBPC-∠∠的最小值为从而可得2PC PB BC ⋅+的最小值为解：因,E F 分别是,AB AC 的中点，故PBC ∆的面积为1，又PBC ∆的面积为：1||||2BP PC sin BPC ∠，则2||||sin BP PC BPC =∠．即2cos ||||cos sin BPCPB PC PB PC BPC BPC∠⋅=∠=∠，由余弦定理得，222||||||2||||cos BC BP CP BP CP BPC =+-∠．显然，||,||BP PC 都是正数，故22||||2||||BP PC BP CP +≥，即2||2||||2||||cos BC BP CP BP CP BPC ≥-∠，则PC PB ⋅+24cos ||||cos 2||||2||||cos sin BPCBC BP PC BPC BP PC BP PC BPC BPC-∠≥∠+-∠=∠，令y =4cossin BPC BPC -∠∠，易得4cos sin BPCy BPC-∠=∠的最小值为2PC PB BC ⋅+的最小值为作业1．设向量(1,0),(sin θ,cos θ),0θπa b ，则||a b 的取值范围是 _______．解：易知(1sin ,cos )ab，则||22cos[0,2]ab ．2．已知O 为坐标原点，,A B 是圆221x y +=分别在第一、四象限的两个点，(5,0)C 满足：3OA OC ⋅=，4OB OC ⋅=，则()OA tOB OC t R ++∈模的最小值为________．解：设(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ，则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ==，由OA OC ⋅=3及4OB OC ⋅=知，34cos ,cos 55αβ==，因为,A B 分别为在第一、四象限的两个点，所以43sin ,cos 55αβ==-，即3443(,),(,)5555OA OB ==-，则42843(,)55t tOA tOB OC +-++=，故2||OA tOB OC t ++==≥4．已知两个单位向量a 与b 的夹角为︒120，若||1a b λ+<，则实数λ的取值范围是 ．)1,0(5．在ABC ∆中，AB 边上的中线2OC =，动点P 满足22sin cos ()AP AO AC R θθθ=+∈，求()PA PB PC +⋅的最小值．解：由22sin cos ()AP AO AC R θθθ=+∈知，2sin PC OC θ=，由20sin 1θ≤≤知，即动点P在线段OC 上，又O 为AB 的中点，故2PA PB PO +=，故()22||PA PB PC PO PC PO +⋅=⋅=-22||||||||2()2()222PO PC OC PC +≥-=-=-，当且仅当||||1PO PC ==时，()PA PB PC +⋅的最小值2-．6．若正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，则()AP PB PD ⋅+的取值范围是 ． 解：以A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，因为正方形ABCD 的边长为1，则(0,0),(1,0)A B ，(0,1)D ，设(,)P t t ，则(,),(1,),(,1),[0,1]AP t t PB t t PD t t t ==--=--∈．故()AP PB PD ⋅+ 224t t =-，由01t ≤≤知，()AP PB PD ⋅+的取值范围是1[2]4-，．6．已知平面向量,,a b c 满足|1,|2a b ==||，,a b 的夹角等于π3，且()()0a c b c -⋅-=，则||c 的取值范围是 ．解：设,,CA a CB b CD c ===，由|1,|2a b ==||，,a b 的夹角等于π3及正弦定理可知，2CAB π∠=，设BAD θ∠=，则||3cos BD θ=，由余弦定理得，22||13cos cos()12c πθθθ=++=+3535(1cos 2)cos cos 22)22222θθθθθθϕ++=+=++，其中sin ϕ=,cos 77ϕ=255||[22c -+∈，即||c 的取值范围是． 7．已知A 为单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，,(0)AOP θθπ∠=<<，OQ =OA OP +，四边形OAPQ 的面积为S ．⑴．求OA OQ S ⋅+的最大值及此时θ的值0θ．⑵．设点B 的坐标为34(,),55AOB α-∠=，在⑴的条件下，求0cos()αθ+的值．8．已知(1,1),(1,1),(2cos )a b c αα==-=，实数,m n 满足：ma nb c +=，则22(2)m n -+的最大值为 ．解：由ma nb c +=知，故,.m n m n αα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则221m n +=，易知22(2)[1,9]m n -+∈．9．边长为1的正方形ABCD 的顶点,A D 分别在,x y 轴的正半轴上(含原点)滑动，则OB OC ⋅有最大值为 ．解：设OAD θ∠=，故(cos ,0)A θ，则(cos sin ,cos )B θθθ+，同理(sin ,sin cos )C θθθ+，故(cos sin ,cos )(sin ,sin cos )1sin 2OB OC θθθθθθθ⋅=+⋅+=+，即OB OC ⋅有最大值为2．10．在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，1AD DC ==，3AB =，动点P 在BCD ∆(含边界)，设(,)AP AB AD R αβαβ=+∈，则αβ+的取值范围为____ ___．解：以AB 为所在直线为x 轴，以AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，则(0,0),(3,0),(0,1)A B D ，(1,1)C ，设点(,)P x y ，则,x y 满足：330,230,0 1.x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤≤⎩，由AP AB AD αβ=+知，(3,0)(0,1)(3,)AP AB AD βαβαβα+=+==，故3,x y αβ==，则10,3230,0 1.αβαββ+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤≤⎩，设z αβ=+，由可行域知，当点P 为点1(,1)3E 时，z αβ=+取最大值43，故αβ+的取值范围为4[1,]3．。