简单微分方程的求解

一、一阶微分方程

1. 线性齐次方程

'y ()0p x y +=

①分离变量法求解

②两边同时乘以()p x dx e ⎰

，积分因子法 通解：()p x dx y Ce -⎰=

2. 线性非齐次方程

'y ()()p x y g x +=

①常数变易法

②两边同时乘以()p x dx e ⎰

，积分因子法 通解：()()(())p x dx p x dx y e C g x e dx -⎰⎰=+⎰

线性微分方程的解有一些很好的性质，例如（1）齐次方程的解或者恒等于零，或者恒不等于零（2）齐次方程任何解的线性组合仍是它的解（3）齐次方程的任一解与非齐次方程任一解之和仍是非齐次方程的解（4）非齐次方程任意两解之差必是对应齐次方程的解（5）非齐次方程的任一解与对应齐次方程的通解之和是非齐次方程的通解。

3. Bernoulli 方程

'()()y p x y g x y α+=

（1）0α=时，该方程为线性非齐次方程

（2）1α=时，该方程为线性齐次方程

（3）0,1α≠时，作变量替换1z y α-=，该方程转化为

(1)()(1)()dz p x z g x dx

αα+-=-，这是关于未知函数z 的一阶线性方程 4. Riccati 方程

2()()()dy p x y q x y f x dx

=++ Riccati 方程在一般情况下无法用初等积分求出解，只是对一些特殊情况或者事先知道了它的一个特解，才能求出其通解。

（1）当()p x 、()q x 、()f x 都是常数时，是可分离变量方程，用分离变量法求解。

（2）当()0p x ≡时，是线性方程。

（3）当()0f x ≡时，是Bernoulli 方程。

当()f x r ≡，设已有一特解1()y x

命1()()()z x y x y x =-，代得211(2)dz dy dy pz py q z dx dx dx

=-=++ 这是一个关于z 的Bernoulli 方程。

（4）当Riccati 方程的形式为

22dy l b ay y dx x x

+=+，可利用变量替换z xy =，将方程化为可分离变量方程 2(1)dz x az l z b dx

=-+++ 当Riccati 方程的一个特解()y x ϕ=已知时，我们利用变换()y z x ϕ=+，代入方程后可得：

22()()(2()())()(())()dz d x p x z z x x q x z x f x dx dx

ϕϕϕϕ+=+++++ 由于()y x ϕ=是方程的解，从上式消去相关的项后得：

2(2()()())()dz p x x q x z p x z dx

ϕ=++，这是一个Bernoulli 方程。 （5）当Riccati 方程的形式为

2m dy ay bx dx

+=，其中a 、b 、m 都是常数，且设0a ≠，又设0x ≠和0y ≠，则当 440,2,,,(1,2,)2121

k k m k k k --=-=+-时，方程可通过适当的变换化为变量可分离方程。 5. 可分离变量方程

'()()y f x g y =

()()

dy f x dx g y =，通解为()()dy f x dx C g y =+⎰⎰ 6. 齐次方程

()dy y g dx x

= 作变量替换y z x =，则dy dz z x dx dx =+，即()dz g z z dx x

-=

通解为ln ()dz x C g z z =+-⎰。

7. 全微分方程与积分因子

设(,)u F x y =是一个连续可微的二元函数，则它的全微分为：

(,)(,)(,)F x y F x y du dF x y dx dy x y

∂∂==+∂∂ 若有函数使得：(,)(,)(,)dF x y M x y dx N x y dy =+

则称(,)(,)0M x y dx N x y dy +=为全微分方程，此时，微分方程的解就是(,)F x y C = 微分方程的成立条件：设函数(,)M x y 和(,)N x y 在一个矩形区域R 中连续且有连续的一阶偏导数，则(,)(,)0M x y dx N x y dy +=是全微分方程的充要条件是

(,)(,)M x y N x y y x

∂∂=∂∂ 微分方程的解为000(,)(,)(,)x

y

x y F x y M s y ds N x s ds =+⎰⎰（线积分法） 此时还可应用偏积分法与凑微分法

如：22

(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=

重新分组整理为22cos sin ()0x xdx xy dx yx dy ydy -++=

如果有函数(,)x y μ，使得方程 (,)(,)(,)(,)0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=是全微分方程（恰当方程），则(,)x y μ称为方程

(,)(,)0M x y dx N x y dy +=的一个积分因子

积分因子一般很难求解，但有如下情况可求：

（1）微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有一个依赖于x 的积分因子的充要条件是 (,)(,)()/(,)M x y N x y N x y y x

∂∂-∂∂仅于x 有关，则积分因子可求： (,)(,)()/(,)()M x y N x y N x y dx y x x e μ∂∂-∂∂⎰=

（2）微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有一个依赖于y 的积分因子的充要条件是