简单微分方程的求解
简单微分方程的求解
一、一阶微分方程1. 线性齐次方程'y ()0p x y +=①分离变量法求解②两边同时乘以()p x dx e ⎰，积分因子法 通解：()p x dx y Ce -⎰=2. 线性非齐次方程'y ()()p x y g x +=①常数变易法②两边同时乘以()p x dx e ⎰，积分因子法 通解：()()(())p x dx p x dx y e C g x e dx -⎰⎰=+⎰线性微分方程的解有一些很好的性质，例如（1）齐次方程的解或者恒等于零，或者恒不等于零（2）齐次方程任何解的线性组合仍是它的解（3）齐次方程的任一解与非齐次方程任一解之和仍是非齐次方程的解（4）非齐次方程任意两解之差必是对应齐次方程的解（5）非齐次方程的任一解与对应齐次方程的通解之和是非齐次方程的通解。
3. Bernoulli 方程'()()y p x y g x y α+=（1）0α=时，该方程为线性非齐次方程（2）1α=时，该方程为线性齐次方程（3）0,1α≠时，作变量替换1z y α-=，该方程转化为(1)()(1)()dz p x z g x dxαα+-=-，这是关于未知函数z 的一阶线性方程 4. Riccati 方程2()()()dy p x y q x y f x dx=++Riccati 方程在一般情况下无法用初等积分求出解，只是对一些特殊情况或者事先知道了它的一个特解，才能求出其通解。
（1）当()p x 、()q x 、()f x 都是常数时，是可分离变量方程，用分离变量法求解。
（2）当()0p x ≡时，是线性方程。
（3）当()0f x ≡时，是Bernoulli 方程。
当()f x r ≡，设已有一特解1()y x命1()()()z x y x y x =-，代得211(2)dz dy dy pz py q z dx dx dx=-=++ 这是一个关于z 的Bernoulli 方程。
微分方程
#
例 例 求解微分方程 解 分离变量 dy dy 2 xy , 2 xdx , dx y
dy 两端积分 2 xdx , y
ln y x 2 C ,
#
例
例： 1 y 2 3 x 2 y dy 求通解 dx 解： y dy dx 分离变量 2 1 y2 3 x y dy dx 1 1 2 C 两端积分 2 2 1 y 2 2 3x 3x 1 y 得通解 注意
特别的，若n 0，即对任意的t R使得f ( tx,ty ) f ( x, y )， 则称f ( x, y )为变量x, y的0次齐次函数。
xy - y 2 例如，对于函数f ( x, y ) 2 ,因为f ( tx,ty ) f ( x, y )， x 2 xy xy - y 2 所以f ( x, y ) 2 为0次齐次函数。 x 2 xy
2
, C2
2
,
于是 C1 1.
§9.2最简单的微分方程 一阶微分方程的一般形式为 F(x,y,y)=0
若可解出y,则可写成显式方程 可分离变量方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程
y=f(x,y)
#
可分离变量方程
( g ( y )和 f ( x ) 连续）
分离变量方程： g( y )dy f ( x )dx
2
练习
2 : 在下列各题中，确定函 数关系式中所含的参数 ， 使函数满足所给的初始 条件：
(1) y (C1 C2 x)e 2 x , y x0 0, y x0 1;
( 2) y C1 sin( x C 2 ), y
解
x
1, y
微分方程
Matlab软件计算数值解 [t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）
du dx
(u ) u x ① 分离变量法；如 dy/dx = fx*y，sin(x*y)
② 齐次方程的变换法； 如 dy/dx = f (y/x) ③ 线性方程的常数变易法或公式法. ……
MATLAB软件实现
解析解
dsolve('eqn1','eqn2', …, ' c1 ',…, ' var1 ',…)
xi 1
f ( t , y ( t )) dt [ f ( x i , y ( x i )) f ( x i 1 , y ( x i 1 ))]
xi
x i 1 x i 2 1 2
h
[ f ( x i , y ( x i )) f ( x i 1 , y ( x i 1 ))]
定义：含有导数的方程称为微分方程。如上例， f(x, V(x), V’(x))=0 1、微分方程的一般形式：
n阶
或
F(x, y, y’,…,y(n) ) = 0 隐式 y(n) = f (x, y, y’,…,y (n-1) ) 显式
微分方程模型
特殊情形：
dy dt f (t , y , y ' )
微分方程方法简介
①简单 的微分 方程。
②复杂、 大型的 微分方 程.
① 解析解 y = f(x) ② 数值解 (xi, yi) ③ 图形解
o y
•欧拉方法
• 梯形法
•改进欧拉方法 •龙格-库塔法
x
令
3.2微分方程的经典求解方法讲解
时间常数 T：使e的指数部分等于–1的时间值。因此有，
1 aT 1 及 T a
1.0 Im [s]平面 Re
e at
0.368
m=-a
0
t
T
2T
图3.3 指数项 e –at 的图形及极点 在 S 平面中的位置
22
时间常数定义
时间常数定义
从几何上看，Ae-at曲线在 t=0 处的切线与时间轴的相交点的值等于 时间常数 T 在一个时间常数所对应的时间区间内，指数函数 e-at 的值将从 1 下降至 0.368 例： T 的图解测定 A 1, a 1
2
Aet
• n 越大，则系统暂态衰减越快
问题： 1) 当 =0 时，暂态响应将是如何的？当 >0 或 <0 时呢？
2) 分别当 >0 和 <0 时，暂态相应有什么区别？
20
暂态响应
阻尼比 和无阻尼振荡频率 n
当 >0 时，系统暂态随时间衰减，响应曲线 c(t) 将趋向于稳态值，这
第二节 微分方程的经典求法
稳态响应
正弦输入
多项式输入
稳态响应：正弦输入
输入量 r 假设为：
待解的微分方程具有如下形式
Av Dv c Av 1Dv 1c A0 D0c A1D 1c Aw D wc r
cos t 1 (e 2
j t
r B cos( t )
（过阻尼）
Aet
只有当 是负数时，系统才是 稳定的；如果 是正数，则系 统不稳定，这是我们要避免的 情况。
（欠阻尼）
Aet
17
暂态响应
阻尼比 和无阻尼振荡频率 n
各类微分方程的解法
各类微分方程的解法一、常微分方程的解法。
1. 分离变量法。
分离变量法是解常微分方程的一种常见方法，适用于一阶微分方程。
其基本思想是将微分方程中的变量分离开来，然后对两边分别积分得到解。
例如，对于形如dy/dx = f(x)g(y)的微分方程，可以将其化为dy/g(y) = f(x)dx，然后对两边积分得到解。
2. 积分因子法。
积分因子法适用于一阶线性微分方程，通过求解积分因子来将微分方程化为恰当微分方程，进而求解。
其基本思想是通过乘以一个适当的函数来使得微分方程的系数函数具有某种特殊的性质，使得微分方程变为恰当微分方程。
3. 特征方程法。
特征方程法适用于二阶线性常系数齐次微分方程，通过求解特征方程来得到微分方程的通解。
其基本思想是将二阶微分方程化为特征方程，然后求解特征方程得到微分方程的通解。
4. 变量替换法。
变量替换法是一种常见的解微分方程的方法，通过引入新的变量替换原微分方程中的变量，从而将原微分方程化为更简单的形式，然后求解。
例如，对于形如dy/dx = f(ax+by+c)的微分方程，可以通过引入新的变量u=ax+by+c来简化微分方程的形式，然后求解得到解。
二、偏微分方程的解法。
1. 分离变量法。
分离变量法同样适用于偏微分方程，其基本思想是将偏微分方程中的变量分离开来，然后对各个变量分别积分得到解。
例如，对于形如∂u/∂t = k∂^2u/∂x^2的一维热传导方程，可以将其化为∂u/∂t = k∂^2u/∂x^2，然后对各个变量分别积分得到解。
2. 特征线法。
特征线法适用于一些特殊的偏微分方程，通过引入特征线变量来化简偏微分方程的形式，然后求解。
例如，对于一维波动方程∂^2u/∂t^2 = c^2∂^2u/∂x^2，可以通过引入特征线变量ξ=x-ct和η=x+ct来化简方程的形式，然后求解得到解。
3. 分析法。
分析法是一种常见的解偏微分方程的方法，通过分析偏微分方程的性质和特征来求解。
微分方程常见题型解法
微分方程常见题型攻略一、一阶微分方程1.可分离变量的微分方程及或化为可分离变量的微分方程（齐次）（略）2.一阶线性微分方程（1）一阶线性齐次微分方程：0)( y x P y 法一：分离变量，积分；法二：套公式dxx P Ce y )(.（2）一阶线性非齐次微分方程：)()(x Q y x P y 法一：常数变易法①先求出对应齐次微分方程的通解 dxx P Ce y )(；②常数变易（设原方程的通解为） dx x P e x u y )()(；③代入原方程求出)(x u 即得原方程的通解。
法二：公式法])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P 。
例1【2011年考研】微分方程x ey y xcos 满足条件0)0( y 的解为_________。
解：此为一阶线性微分方程，其中1)( x P ，x ex Q xcos )( ，通解为])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P ]cos [11C dx xe e e dxx dx ]cos [C dx xe e e x x x ]cos [C xdx e x )(sin C x e x 。
由初始条件0)0( y ，得0 C ，故所求特解为x ey xsin 。
注：对于微分方程，经常以积分方程的形式出现，即给出的方程中含有积分上限函数。
（1）对于积分方程，方法是两边同时求导，化为微分方程。
但是在求导过程中要注意，如果两边同时求一阶导后还是含有积分上限函数，那么需要再一次求导，直到方程中不再求有积分上限函数，并且也要注意有时候需要对方程进行恒等变换后再求导。
（2）注意积分方程中隐含的初始条件。
例2已知函数)(x f 满足1)(21)(1x f du ux f ，1)(10 dx x f ，求)(x f 。
解：设ux t ，则dt x du 1，于是 10)(du ux f xdt t f x 0)(1。
微分方程组的数值求解方法
微分方程组的数值求解方法微分方程组数值求解方法微分方程组是数学中非常重要的一个分支，它描述了许多自然界和社会生活中的现象，例如电路的运行、天体的运行、生命体的生长等等。
我们需要对微分方程组进行求解，才能够得到它们的解析解，从而更好地理解和应用它们。
然而，大多数微分方程组不可能用解析法求解，因此，我们需要采用数值方法来求解微分方程组。
常见的微分方程组数值求解方法包括欧拉法、龙格库塔法和变步长法等。
下面，我们将逐一介绍它们的基本原理和优缺点。
一、欧拉法欧拉法是微分方程组数值求解方法中最简单的一种。
它的基本思想是将微分方程组中的各个变量离散化，然后根据微分方程组的导数计算每一步的值。
具体来讲，欧拉法的数值求解公式为：\begin{aligned} &x_{n+1}=x_n+hf_n(x_n,y_n,z_n),\\&y_{n+1}=y_n+hf_n(x_n,y_n,z_n),\\&z_{n+1}=z_n+hf_n(x_n,y_n,z_n), \end{aligned}其中，$x(t)$，$y(t)$，$z(t)$是微分方程组的解，$f_n(x_n,y_n,z_n)$是微分方程组导数在点$(x_n,y_n,z_n)$处的值，$h$为时间步长。
欧拉法的优点是简单易懂，方便实现，缺点是误差较大，计算不够精确。
因此，在实际应用中，往往需要采用更加精确的数值方法。
二、龙格库塔法龙格库塔法是微分方程组数值求解方法中比较常用的一种。
它的基本思想是通过多次计算微分方程组中的导数，以获得更加精确的数值解。
具体来讲，龙格库塔法的求解公式为：\begin{aligned}&k_{1x}=hf_n(x_n,y_n,z_n),k_{1y}=hf_n(x_n,y_n,z_n),k_{1z}=hf_n (x_n,y_n,z_n),\\&k_{2x}=hf_n(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_{1y}}{2},z_n+\frac{k_ {1z}}{2}),k_{2y}=hf_n(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_{1y}}{2},z_n+ \frac{k_{1z}}{2}),k_{2z}=hf_n(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_{1y}}{ 2},z_n+\frac{k_{1z}}{2}),\\&k_{3x}=hf_n(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_{2y}}{2},z_n+\frac{k_ {2z}}{2}),k_{3y}=hf_n(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_{2y}}{2},z_n+ \frac{k_{2z}}{2}),k_{3z}=hf_n(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_{2y}}{ 2},z_n+\frac{k_{2z}}{2}),\\&k_{4x}=hf_n(x_n+h,y_n+k_{3y},z_n+k_{3z}),k_{4y}=hf_n(x_n+h,y_n+k_{3y},z_n+k_{3z}),k_{4z}=hf_n(x_n+h,y_n+k_{3y},z_n+k_{3 z}),\\&x_{n+1}=x_n+\frac{k_{1x}}{6}+\frac{k_{2x}}{3}+\frac{k_{3x}}{ 3}+\frac{k_{4x}}{6},\\&y_{n+1}=y_n+\frac{k_{1y}}{6}+\frac{k_{2y}}{3}+\frac{k_{3y}}{ 3}+\frac{k_{4y}}{6},\\&z_{n+1}=z_n+\frac{k_{1z}}{6}+\frac{k_{2z}}{3}+\frac{k_{3z}}{ 3}+\frac{k_{4z}}{6}, \end{aligned}其中，$k_{1x}$，$k_{1y}$，$k_{1z}$，$k_{2x}$，$k_{2y}$，$k_{2z}$，$k_{3x}$，$k_{3y}$，$k_{3z}$，$k_{4x}$，$k_{4y}$，$k_{4z}$是微分方程组中导数的值。
考研高数必背微分方程初值问题的求解方法
考研高数必背微分方程初值问题的求解方法微分方程初值问题是高等数学中的重要内容，在考研高数中也是一个必备的知识点。
解决微分方程的初值问题可以帮助我们找到函数的特定解，为后续的计算和分析提供基础。
本文将介绍几种常见的求解微分方程初值问题的方法，帮助考生掌握这一知识点。
方法一：分离变量法分离变量法是求解微分方程中常见的一种方法，适用于一阶常微分方程。
其基本思想是将微分方程中的变量分开后，逐个求解。
下面以一个具体的例子来说明分离变量法的具体步骤。
例题：求解微分方程 dy/dx = x/y, y(0) = 1 的特解。
解答：将变量分离得到 y dy = x dx，然后对方程两边同时积分，得到∫dy/y = ∫xdx。
分别求解这两个积分，得到ln|y| = 1/2*x^2 + C1，再两边取指数得到 |y| = e^(1/2*x^2 + C1)。
利用初值条件 y(0) = 1，得到 C1 = 0，因此特解为 y = e^(1/2*x^2)。
方法二：常系数线性齐次微分方程的求解常系数线性齐次微分方程是一类特殊的微分方程，具有形如dy/dx + Py = 0 的特点。
其中，P表示常系数。
这类微分方程的初值问题可以通过特征方程来求解。
例题：求解微分方程 dy/dx + 2y = 0, y(0) = 1 的特解。
解答：首先根据方程的形式可知，这是一个常系数线性齐次微分方程。
它的特征方程为 r + 2 = 0，解得 r = -2。
由于根为实数且不相等，所以特解可以写为 y = C*e^(-2x)，其中C为待定系数。
利用初值条件y(0) = 1，得到 C = 1，因此特解为 y = e^(-2x)。
方法三：二阶线性非齐次微分方程的求解二阶线性非齐次微分方程是一类常见的微分方程，具有形如d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x) 的特点。
其中，P(x)、Q(x)和f(x)分别表示一阶导数、常数和非齐次项。
微分方程的基本类型与解法
微分方程是数学中的一个重要概念，是描述函数变化率的方程。
根据微分方程的形式，可以将其分类为不同的类型，并采用相应的方法进行求解。
首先，最基本的微分方程类型是一阶常微分方程，它的一般形式为dy/dx=f(x)，其中f(x)是已知的函数。
对于这种类型的微分方程，可以直接进行求解。
例如，对于dy/dx=2x，只需要将等式两边同时积分，得到y=x^2+C，其中C为常数。
这个解表示，函数y的导数为2x，那么y就是x的二次函数。
其次，还有一阶线性微分方程。
一阶线性微分方程是形如dy/dx+p(x)y=q(x)的方程，其中p(x)和q(x)是给定的函数。
对于这种类型的微分方程，可以利用积分因子的方法进行求解。
我们首先将方程改写为d(y e^∫p(x)dx)/dx=e^∫p(x)dx q(x)，然后再对两边同时积分得到y e^∫p(x)dx=∫e^∫p(x)dx q(x)dx+C，再对等式两边除以e^∫p(x)dx即可得到y的解。
此外，二阶常系数齐次线性微分方程也是常见的一类微分方程。
它的一般形式为d^2y/dx^2+a1 dy/dx+a0 y=0，其中a0、a1为常数。
对于这种类型的微分方程，可以通过特征方程的方法进行求解。
首先，假设y=e^(r x)，代入方程得到r^2+a1 r+a0=0的特征方程。
然后求解这个特征方程，得到两个解r1和r2。
最后，根据r1和r2的值，可以得到y的解的形式。
如果r1和r2为实数且不相等，那么y=c1e^(r1x)+c2e^(r2x)，其中c1和c2为常数。
如果r1和r2为实数且相等，那么y=(c1+c2x)e^(r1x)，其中c1和c2为常数。
如果r1和r2为复数，那么y=e^(r1x)(c1cos(r2x)+c2sin(r2x))，其中c1和c2为常数。
最后，高阶微分方程和非线性微分方程也是微分方程中的重要类型。
对于高阶微分方程，可以通过降阶的方法将其转化为一系列的一阶微分方程进行求解。
微分方程式的建立与求解
通过建立微分方程式描述物体在重力作用下的运动规律，如速度、加速度与时 间的关系。
02
微分方程的求解方法
分离变量法
总结词
通过将微分方程转化为代数方程，简 化求解过程。
详细描述
分离变量法适用于具有两个变量的微 分方程，通过分离变量，将微分方程 转化为代数方程，然后求解代数方程 得到微分方程的解。
05
微分方程的稳定性分析
线性微分方程的稳定性分析
线性微分方程的稳定性分析主要基于其 特征值和特征向量。如果所有特征值都 位于复平面的左半部分，则系统是稳定 的；否则，系统是不稳定的。
线性微分方程的解可以通过求解其特征值和 特征向量得到，也可以通过积分得到。
线性微分方程的解具有叠加性，即 如果两个解都是稳定的，那么它们 的线性组合也是稳定的。
振动分析
在研究物体的振动时，通过建立位移、速度和加 速度的微分方程来分析振动的规律和特性。
3
热传导方程
在研究热量在物体中的传递时，通过建立温度关 于时间和空间的微分方程来模拟热传导过程。
在经济中的应用
供需关系
01
在分析商品市场的供需关系时，通过建立需求和供给函数的微
分方程来预测价格变动。
经济增长模型
非线性微分方程的稳定性分析
非线性微分方程的稳定性分析比线性微分方程更为复杂，需要考虑更多的因素，如非线性项的性质、 初始条件等。
非线性微分方程的解可以通过数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）得到，也可以通过解析方法（如 分离变量法、幂级数展开等）得到。
非线性微分方程的解具有不可叠加性，即如果两个解都是稳定的，那么它们的线性组合不一定是稳定的。
微分方程式的建立与 求解
目 录
微分方程的求解技巧
微分方程是数学中重要的一个分支，广泛应用于物理、工程、生物等领域。
求解微分方程是解决实际问题的关键步骤，因此掌握微分方程的求解技巧对于学习和研究具有重要意义。
首先，了解微分方程的类型是解决问题的第一步。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程中，若方程中只含有未知函数的一阶导数，则为一阶常微分方程；若方程中含有未知函数的二阶导数，则为二阶常微分方程；以此类推，一般地，若方程中含有未知函数的n阶导数，则为n阶常微分方程。
而偏微分方程中，未知函数的导数是多个变量的函数，如偏导数的形式出现在方程中，因此称为偏微分方程。
对于一阶常微分方程，可以通过分离变量的方法进行求解。
步骤如下：首先将变量分离，将未知函数的导数项移到方程的一边，未知函数的项移到方程的另一边；然后对两边同取积分，得到两边的原函数；最后，解出未知函数即可。
这种方法简单直观，适用于许多类型的一阶常微分方程。
当遇到二阶及以上的常微分方程时，可以考虑使用特解方法。
特解方法是通过猜测特殊形式的解，然后代入方程中，找到满足方程的特解。
对于二阶常微分方程，可以通过猜测特解为指数函数、三角函数、多项式函数等形式来进行求解。
通过代入特解后，可确定常数项的值，从而得到方程的通解。
除了特解方法外，常微分方程还可以通过变量代换的方法进行求解。
变量代换是将原方程中的变量进行替换，得到一种新的形式，从而简化方程求解的过程。
常见的变量代换有Euler变换、Legendre变换等，根据具体问题选择适合的变量代换方法，可以简化常微分方程的求解过程。
在偏微分方程的求解中，常用的方法有分离变量法、特征线法、变量代换法等。
分离变量法是将多个变量进行分离，将未知函数表示为分离变量的积的形式，从而将偏微分方程转化为更简单的一阶常微分方程求解。
特征线法主要用于求解一类特殊的线性偏微分方程，通过猜测特解的形式，并代入方程中，找到满足条件的特解。
变量代换法则通过将原方程中的变量进行适当的代换，得到一种新的形式，从而简化偏微分方程的求解过程。
微分方程求解
微分方程要点：如何验证微分方程的解：求出)(x y 的导数)(x y '、)(x y ''等，代入到微分方程中，当等式两边相同时，即说明)(x y 是该方程的解。
1. 验证下列各给定函数是其对应微分方程的解： ⑴ 0222=+'-''y xy x y ，221x C x C y +=； ⑵ 0127=+'-''y y y ，x x e C e C y 4231+=； ⑶ 02=-'+''xy y y x ，x x e C e C xy -+=21。
解：⑴ ∵ 221x C x C y +=，∴ x C C y 212+='，22C y =''，代入方程后，得：左边==++--=+++-=022422)(2)2(22212122212212C x C C x C C x C x C xx C C x C 右边。
⑵ ∵ x x e C e C y 4231+=，∴ x x e C e C y 423143+='，x x e C e C y 4231169+=''，于是左边)(12)43(7169423142314231x x x x x x e C e C e C e C e C e C +++-+===++--+=012122821169423142314231x x x x x x e C e C e C e C e C e C 右边。
⑶ 对所给函数x x e C e C xy -+=21两边分别对x 求导两次，得：x x e C e C y x y --='+21，x x e C e C y x y -+=''+'212，注意到xy e C e C x x =+-21，上面右边的关系式便说明：xy y y x ='+''2成立， 即所给的函数满足微分方程。
3.2微分方程的经典求解方法讲解
n
b0 b2
思考题：给定一个二阶系统，在过阻尼情况下，1）试证明：系统的输出响应 函数是单调函数；2）请问：输出曲线是否一定是单调减的？请说明原因。
21
时间常数定义
时间常数定义
暂态项具有指数形式Aemt，当 m=-a(a>0) 为负实数时，Ae-at 具有如 图3.3 所示的曲线形式（假定A=1）
矢量
c(t )ss C cos(t ) Re(Ce j e jt ) Re(Ce jt )
c(t)ss 的 n 阶微分为
D n c(t ) ss Re[( j) n Ce jt ]
2
稳态响应
稳态响应：正弦输入
Dnc(t )ss Re[( j)n Ce jt ]
系统的有效阻尼常数
m1, 2
b1 j 2b2
2 4b2b0 b1 jd 2 4b2
b1 2 b2b0
阻尼常数的临界值
b1 b1 b1 2 b2b0
令其 为零
定义阻尼比：
和无阻尼振荡频率（自然频率）：
n
b0 b2
18
暂态响应
阻尼比 和无阻尼振荡频率 n
稳态响应
稳态响应：
(**)
c(t ) ss
bq t q b2t 2 b0 b1t 2! q!
输入信号与假设的解
微分方程
系数 b0, b1, ……, bq 可以通过令方程左右两端具有关于 t 的相同阶次 项的相应系数相等而计算得到
方程(*)右端，t 的最高阶数是 k，因此，t k 肯定也出现在方程的左 端
VJ LJ ( j ) 3 m ( j ) ( j ) 2 m ( j ) d m jm ( j ) d p p x( j ) K BC C
微分方程的求解步骤
微分方程的求解步骤嘿，咱今儿个就来唠唠微分方程的求解步骤。
这玩意儿啊，就像是解开一个神秘的谜题，得一步步来，可有意思啦！首先呢，你得搞清楚这个微分方程长啥样，是一阶的还是二阶的呀，有没有啥特殊的形式。
这就好比你要去认识一个新朋友，总得先看看他的模样，了解一下他的特点吧。
然后呢，根据不同的类型选择合适的方法。
就像你出门穿衣服，得根据天气选合适的衣服一样。
要是一阶的，可能用分离变量法就挺合适；要是二阶的，那可能就得用其他的招儿啦。
比如说，分离变量法就像是把一个复杂的东西拆分成简单的部分。
你把方程两边的变量分开，然后分别积分，哇塞，就有新发现啦！再比如，常系数线性方程那可有一套专门的解法。
这就好像是有一套固定的流程，你按照步骤来，一步一步走，就能找到答案。
还有啊，有时候还得用一些特殊的技巧，就像武林高手的绝招一样。
可能要做个变量替换啦，或者利用一些已知的定理啦。
你想想看，这求解微分方程不就像是一场冒险吗？每一步都充满了挑战和惊喜。
咱举个例子吧，就说那个简单的一阶微分方程 dy/dx = f(x)。
咱就可以用分离变量法，把 y 和 x 分别放在两边，然后积分，嘿，答案不就出来啦！哎呀，这微分方程的求解步骤真的是太重要啦！要是弄错了一步，那可就全盘皆输咯。
所以啊，咱可得认真对待，就像对待宝贝一样。
在这个过程中，可不能马虎，得仔细琢磨每一个细节。
这就跟做一件精细的手工活儿似的，得有耐心，有细心。
总之呢，微分方程的求解步骤就像是一把钥匙，能打开知识的大门，让我们看到里面奇妙的世界。
大家可得好好掌握哦，别小瞧了它！这可是数学世界里的一大法宝呢！怎么样，是不是觉得挺有意思的呀？快去试试吧！。
微分方程解法的十种求法(非常经典)
微分方程解法的十种求法(非常经典)本文将介绍微分方程的十种经典求解方法。
微分方程是数学中重要的概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。
通过研究这十种求解方法，读者将更好地理解和应用微分方程。
1. 变量可分离法变量可分离法是最常见和简单的微分方程求解方法之一。
该方法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的微分方程，其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。
通过将方程两边分离变量，即把f(x)和g(y)分别移到不同的方程一边，然后进行积分，最后得到y的表达式。
2. 齐次方程法齐次方程法适用于形如dy/dx=F(y/x)的微分方程。
通过令v=y/x，将微分方程转化为dv/dx=g(v)，其中g(v)=F(v)/v。
然后再使用变量可分离法求解。
3. 线性微分方程法线性微分方程法适用于形如dy/dx+a(x)y=b(x)的微分方程。
通过乘以一个积分因子，将该方程转化为可以进行积分的形式。
4. 恰当微分方程法恰当微分方程法适用于形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的微分方程。
通过判断M(x,y)和N(x,y)的偏导数关系，如果满足一定条件，则可以找到一个函数u(x,y)，使得u满足偏导数形式的方程，并且通过积分得到原方程的解。
5. 一阶线性常微分方程法一阶线性常微分方程法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的微分方程。
通过先求齐次线性方程的通解，然后再利用待定系数法找到特解，最后求得原方程的通解。
6. 二阶常系数齐次线性微分方程法二阶常系数齐次线性微分方程法适用于形如d²y/dx²+a1dy/dx+a0y=0的微分方程。
通过设y=e^(mx)，将微分方程转化为特征方程，然后求解特征方程得到特征根，利用特征根找到原方程的通解。
7. 二阶非齐次线性微分方程法二阶非齐次线性微分方程法适用于形如d²y/dx²+a1dy/dx+a0y=F(x)的微分方程。
通过先求齐次线性方程的通解，再利用待定系数法找到非齐次线性方程的特解，最后求得原方程的通解。
简单常微分方程
两边积分，得
P ( x ) dxdx C , 代入(4-3)，即得 C ( x ) Q( x ) e
一阶线性非齐次微分方程的通解公式：
ye
P ( x )dx
C Q( x )e P ( x )dx dx （4-4）
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(C为任意常数 )
C ( x ) e
P ( x ) dx
P ( x ) e P ( x ) dx C ( x) P ( x ) dx P( x) C ( x) e Q( x )
P ( x ) dx , 即 C ( x ) Q ( x ) e
微分方程；当Q (x) ≠ 0时， 方程（4-1）称为一阶线 性非齐次微分方程．
2 sin2 x 如方程y y ，y (sin x ) y 0 x x
都是一阶线性微分方程，其中第二个是齐次的．
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1. 一阶线性齐次微分方程
当Q (x) ≡0时，方程(4-1)是可分离变量的． 分离变量，得 两边积分，得
因此，原方程的通解为
1 y sin x C ，C为任意常数 x 将初始条件 ( ) 1代入, 得C , y
1 因此所求特解为 sin x . y x
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sin x sin x 例7 求方程 ye e y cos x 1 0 的通解.
x
+ e – x是方程 y + 2y + y = 4e x的解.
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3 ) 例2 验证 y Cx (C为任意常数 是方程3y-xy 0
的通解,并求满足初始条件 y(1) = 1/3 的特解.
微分方程组的消元法和首次积分法
0, 故原方程组的通解为
2 3t 1 11 t x1 2c1e 3 c2 e 3 t 36 t 5 t 3t x2 c1e c2 e 8 12
注
对例3，也可以用下面的方法求解
c1t
y c1c2e 由（5.6）还可得 p 0, 从而有 x c, 由 第一方程得 y 0, 该组解包含在上面所得的
通解中,故原方程组的通解为
x c2 e c1t , c1t y c1c2 e .
二 微分算子与线性微分方程组 这里介绍微分算子D及其用消元法解线性 微分方程组的应用. 设 x(t ) 是定义在某区间I上的具有n阶连续 导数的函数，微分算子D被定义为
微分方程组的消元法和首次积分法
这一节,我们介绍微分方程组的两种求解方法: 消元法和首次积分法,这两种方法对求解一些简单的 微分方程组是很有效的方法,但在学习这两种方法时 必需注意它们的局限性.
一、 微分方程组的消元法
将一阶微分方程组：
dy1 f ( x , y , y , , y ) 1 1 2 n dx dy 2 f 2 ( x, y1 , y2 , , yn ) dx dyn f n ( x, y1 , y2 , , yn ) dx 中的未知函数 y1 , y2 ,, yn 只保留一个，消去
L4 L1 x1 L4 L2 x2 L4 g1 (t )
L2 L3 x1 L2 L4 x2 L2 g 2 (t )
( L1L4 L2 L3 ) x1 L4 g1 (t ) L2 g 2 (t )
d x1 dx1 8 2 16 24 x1 2 8t dt dt 11 t t 3t x1 k1e k 2e 36 3
微分方程的基本概念和解法技巧
微分方程的基本概念和解法技巧微分方程是数学中重要的一种方程，它涉及到函数与它的导数之间的关系。
在物理学、工程学、经济学等领域中，微分方程广泛应用于描述各种变化和运动的规律。
了解微分方程的基本概念和解法技巧，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍微分方程的基本概念以及一些常见的解法技巧。
一、微分方程的基本概念1. 定义：微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
一般形式可以表示为 F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中 y 是未知函数。
2. 阶数：微分方程的阶数是指该方程中导数的最高阶数。
常见的阶数有一阶、二阶和高阶微分方程。
3. 解：微分方程的解是满足方程的函数。
一般来说，一个微分方程可以有无穷多个解。
4. 初值问题：初值问题是求解微分方程时给定一个或多个初始条件，根据这些条件确定方程的解。
初值问题通常涉及到一个点上的初始状态。
5. 常微分方程和偏微分方程：常微分方程只涉及到一个自变量，而偏微分方程则涉及到多个自变量。
常微分方程的解是一类函数，而偏微分方程的解是一个函数族。
二、微分方程的解法技巧1. 变量可分离法：适用于可以将微分方程的变量分离开的情况。
通过将方程两边同时乘以不同变量的函数，使得方程可以变为两个积分的形式，从而得到解。
2. 齐次方程法：适用于可以通过变量代换将微分方程化为齐次方程的情况。
齐次方程中的未知函数可以表示为一个比值函数，通过变量代换后，方程可以化为一个仅依赖于一个变量的方程，从而得到解。
3. 一阶线性常微分方程：适用于形如 y' + p(x)y = q(x) 的一阶线性常微分方程。
通过乘以一个适当的积分因子将方程化为可积形式，然后求解积分得到方程的解。
4. 常系数线性微分方程：适用于形如 y⁽ⁿ⁾ + aₙy⁽ⁿ⁻¹⁾ + ... + a₁y' + a₀y =g(x) 的常系数线性微分方程。
通过猜测形式，得到特解和齐次方程的通解，从而得到方程的通解。
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一、一阶微分方程1. 线性齐次方程'y ()0p x y +=①分离变量法求解②两边同时乘以()p x dx e ⎰，积分因子法 通解：()p x dx y Ce -⎰=2. 线性非齐次方程'y ()()p x y g x +=①常数变易法②两边同时乘以()p x dx e ⎰，积分因子法 通解：()()(())p x dx p x dx y e C g x e dx -⎰⎰=+⎰线性微分方程的解有一些很好的性质，例如（1）齐次方程的解或者恒等于零，或者恒不等于零（2）齐次方程任何解的线性组合仍是它的解（3）齐次方程的任一解与非齐次方程任一解之和仍是非齐次方程的解（4）非齐次方程任意两解之差必是对应齐次方程的解（5）非齐次方程的任一解与对应齐次方程的通解之和是非齐次方程的通解。
3. Bernoulli 方程'()()y p x y g x y α+=（1）0α=时，该方程为线性非齐次方程（2）1α=时，该方程为线性齐次方程（3）0,1α≠时，作变量替换1z y α-=，该方程转化为(1)()(1)()dz p x z g x dxαα+-=-，这是关于未知函数z 的一阶线性方程 4. Riccati 方程2()()()dy p x y q x y f x dx=++ Riccati 方程在一般情况下无法用初等积分求出解，只是对一些特殊情况或者事先知道了它的一个特解，才能求出其通解。
（1）当()p x 、()q x 、()f x 都是常数时，是可分离变量方程，用分离变量法求解。
（2）当()0p x ≡时，是线性方程。
（3）当()0f x ≡时，是Bernoulli 方程。
当()f x r ≡，设已有一特解1()y x命1()()()z x y x y x =-，代得211(2)dz dy dy pz py q z dx dx dx=-=++ 这是一个关于z 的Bernoulli 方程。
（4）当Riccati 方程的形式为22dy l b ay y dx x x+=+，可利用变量替换z xy =，将方程化为可分离变量方程 2(1)dz x az l z b dx=-+++ 当Riccati 方程的一个特解()y x ϕ=已知时，我们利用变换()y z x ϕ=+，代入方程后可得：22()()(2()())()(())()dz d x p x z z x x q x z x f x dx dxϕϕϕϕ+=+++++ 由于()y x ϕ=是方程的解，从上式消去相关的项后得：2(2()()())()dz p x x q x z p x z dxϕ=++，这是一个Bernoulli 方程。
（5）当Riccati 方程的形式为2m dy ay bx dx+=，其中a 、b 、m 都是常数，且设0a ≠，又设0x ≠和0y ≠，则当 440,2,,,(1,2,)2121k k m k k k --=-=+-时，方程可通过适当的变换化为变量可分离方程。
5. 可分离变量方程'()()y f x g y =()()dy f x dx g y =，通解为()()dy f x dx C g y =+⎰⎰ 6. 齐次方程()dy y g dx x= 作变量替换y z x =，则dy dz z x dx dx =+，即()dz g z z dx x-=通解为ln ()dz x C g z z =+-⎰。
7. 全微分方程与积分因子设(,)u F x y =是一个连续可微的二元函数，则它的全微分为：(,)(,)(,)F x y F x y du dF x y dx dy x y∂∂==+∂∂ 若有函数使得：(,)(,)(,)dF x y M x y dx N x y dy =+则称(,)(,)0M x y dx N x y dy +=为全微分方程，此时，微分方程的解就是(,)F x y C = 微分方程的成立条件：设函数(,)M x y 和(,)N x y 在一个矩形区域R 中连续且有连续的一阶偏导数，则(,)(,)0M x y dx N x y dy +=是全微分方程的充要条件是(,)(,)M x y N x y y x∂∂=∂∂ 微分方程的解为000(,)(,)(,)xyx y F x y M s y ds N x s ds =+⎰⎰（线积分法） 此时还可应用偏积分法与凑微分法如：22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=重新分组整理为22cos sin ()0x xdx xy dx yx dy ydy -++=如果有函数(,)x y μ，使得方程 (,)(,)(,)(,)0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=是全微分方程（恰当方程），则(,)x y μ称为方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=的一个积分因子积分因子一般很难求解，但有如下情况可求：（1）微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有一个依赖于x 的积分因子的充要条件是 (,)(,)()/(,)M x y N x y N x y y x∂∂-∂∂仅于x 有关，则积分因子可求： (,)(,)()/(,)()M x y N x y N x y dx y x x e μ∂∂-∂∂⎰=（2）微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有一个依赖于y 的积分因子的充要条件是(,)(,)()/(,)N x y M x y M x y x y∂∂-∂∂仅于y 有关，则积分因子可求： (,)(,)()/(,)()M x y N x y M x y dy y x x e μ∂∂-∂∂⎰=积分因子是求解微分方程的一个极为重要的办法，绝大多数方程的求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来解决。
但求一个微分方程的积分因子十分困难，需要灵活运用各种微分法的技巧与经验。
例如，当一个微分方程中出现xdy ydx -的项时，函数1xy 、21x 、21y 和221x y +都有可能成为其积分因子，可以根据方程中其他项进行适当的选择。
下面的几个方程和对应的积分因子分别为：10,xy xdy ydx xydx -+= 2210,x xdy ydx x dx -+= 2210,yxdy ydx y dx -+= 22221)(0,x y xdy ydx x y dx ++-+= 另外，若有微分方程：1122((,)(,))((,)(,))0M x y dx N x y dy M x y dx N x y dy +++=其中第一组和第二组各有积分因子1(,)x y μ和2(,)x y μ，使得1111(,)((,)(,))(,)x y M x y dx N x y dy dF x y μ+=2222(,)((,)(,))(,)x y M x y dx N x y dy dF x y μ+=由于对任意可微函数1()u G 和2()u G ，111(,)((,))x y F x y G μ是第一组的积分因子，222(,)((,))x y F x y G μ是第二组的积分因子。
如果能选取的1()u G 和2()u G ，使得： 111222(,)((,))(,)((,))x y F x y x y F x y G G μμ=则111(,)((,))(,)x y F x y x y G μμ=就是该微分方程的一个积分因子。
8. 变量替换法（1）形如()f ax by c dy dx=++的方程 对于这种类型的方程，引入新变量z ax by c =++ 则a b dy dz dx dx =+，于是原方程就化为()a bf z dz dx=+ 这是一个变可分离方程，它的通解为()dz x C a bf z =++⎰ 此时注意：形如111222a xb yc a x b y c dy dx ++=++的微分方程，若上下二元一次方程组有解，则利用齐次解法依靠解的坐标点化简此式，若无解则利用变量替换法求解。
（2）形如()()0yf xy dx xg xy dy +=的方程对于这类方程，引入新变量z xy =，则z x y=，2xdz zdx x dy -= 原方程可以化为(()())()0z f z g z dx g z dz x-+=，这是一个可分离变量方程。
（3）用变量替换法求解微分方程是十分灵活的，依赖于方程的形式和求导的经验，在学习过程中要多积累。
9. 一阶隐式微分方程解法10. 近似解法（1）逐次迭代法逐次迭代法是利用证明初始值问题解的存在唯一性时所构造的Picard 迭代序列的前若干项来近似初始值问题的解，其近似序列为：00()y x y =0100()(,())x x y x y f t y t d t=+⎰ 001()(,())xn n x y x y f t y t dt -=+⎰当初始值问题满足解的存在唯一性定理的条件时，上面的迭代序列在一个区间一致收敛到它的解。
故当n 较大时，()n y x 就是初始值问题解的一个较好的近似。
（2）Taylor 级数法设初始值问题的解可以在0x 的邻域内展开为收敛幂级数：00()()n n n y x a x x ∞==-∑由Taylor 级数理论知，n a 是由()y x 的n 阶导数确定的，即：()000()()()!n n n y x y x x x n ∞==-∑ 于是，级数形式的解实际上就是要求出()y x 在0x 点的各阶导数值。
如果我们能计算出()y x 前面一些导数值()0()n y x 时，就可以利用函数()000()()()!n Nn N n y x y x x x n ==-∑来近似初始值问题的解()y x 。
由复合链导法则和方程初始值得：(0)000()()y x y x y ==(1)000()(,)x x dyy x f x y dx ===02(2)''00000002()(,())(,)(,)(,)x y x x x x d y d y x f x y x f x y f x y f x y dx dx =====+ 0(3)''''''0000000()((,)(,)(,)(,)2(,)(,)x y xx xy x x d y x f x y f x y f x y f x y f x y f x y dx ==+=++ ''2'''2000000000000(,)(,)(,)(,)((,))(,)yy y x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ++ 根据需要，当函数(,)f x y 已知时，我们可以计算出解()y x 在0x 点直到N 阶导数值 从而得出()y x 的近似表达式。