浙江大学电磁学课件-第一章-静电场

U 1 4 0
p rˆ r2
p ql
等位面 --电位相等的点构成的曲面
等位面性质
(a) 等位面与电力线（电场强度）处处正交 因为电场沿等位面作功为零
q0Edl cos 0, / 2
(b) 等位面密集的地方电场强度大 设两相邻等位面垂直距离为：n
Q
| U || P E dl | En
S
侧面
E e 与 r 成反比 2 0 r
例题4: 求均匀带正电无限大平面薄板 的场强，板的电荷面密度为 e
解: 如何选高斯面？
E e 2 0
与 r 无关
§1.4 电位、电位梯度
静电场力是保守力 -- 做功与路径无关 证明：
(1) 单个点电荷
dA F dl
F cos dl F KN F K' N'
静电场的环路定理 E dl 0
L
Q P E dl E dl E dl 0
P
Q
L
电力线不能闭合，否则 E dl 0
L
电位差
U PQ
WPQ q0
Q E dl
P
WPQ是电场从P到Q做的功，
注意，电位差与积分路径无关!
选一参考点，可定义某点P的电位，例如
P
2 0 r
与 r 成反比！（如何简单论证？）
请注意：电场是矢量！
对称性分析、微元法、矢量运算、 积分是电磁学的典型思路
电场分布，特别是其与 r 的关系 如何随带电体变化是典型结论
例如，无穷大带电平面板的场强 分布是常数
带电体在电场中所受力、力矩及其运动
例题４：电偶极子在均匀电场中 所受力、力矩及其运动
U (P) P E dl E dl
电位差也可表示为:
U PQ U (P) U (Q)
例题１：点电荷的电位分布
解： U (P)
E dl
q
dr
q
P
4 0 r rP 2 4 0rP
例题2: 均匀带电球壳的电位分布，球壳半径R, 带电q
解：已求得
q
E
4
0
r
2
0
rR rR
q
U (r)
(b) 若带电体具有等量的正、负电荷， 则正电荷发出的电力线全部终止于负电荷上
(c) 电力线不会相交
(d) 静电场中的电力线不会闭合
(a)、(b)可用高斯定理描述 (d)可用安培环路定理证明 (c) 如何理解？
电通量
通过面积元 S 的电通量
E
n
E
E S
S 的方向为法线
ES cos n的方向
法线方向有两个，对非闭合
在任意曲面S内部取一球面S”， 只需证明
E
E ''
q
0
d E
E cos dS q
4 0
dS cos r2
q dS '
4 0
r2
q
d
4 0
E
d E
E ''
q 0
(c) 不包围点电荷的任意闭合曲面
dE E dS E' dS ' dE'
E (dE dE' ) 0
解: 选高斯面为与球壳的同心球面,
半径为 r， 由球对称性
E E dS 4r 2E
S
若 r R, 则 E 0, E 0
R
r
若 r R,
则 E q /0
E
1
4 0
q r2
rˆ
例题3: 求均匀带正电无限长细棒的场强,
棒线电荷密度为 e
解: 选高斯面为圆柱面
E E dS E dS 2rlE ηel / 0
l
P
2
r
近似计算：设 r l
延长线上
1 2 p
E
4 0
r3
E
中垂面上
E
P’
x
E
1
p
E
40 r3
其中
p
ql
称电偶极矩矢量
-q
r +q
E E E
l
P
方向从负电荷指向正电荷
2
r
电荷的宏观连续分布
(a) 电荷体密度
取一体积元 V，在 V 中包含总电荷 q
q
e
lim
V 0
V
(b) 电荷面密度
E
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------
第一章 静电场
§1.1 静电的基本现象和基本规律 摩擦起电
绸子摩擦玻璃棒产生正电荷 毛皮摩擦橡胶棒产生负电荷
同号电荷互相排斥，异号互相吸引
静电感应
Q
电荷守恒定律 电荷的代数和守恒
例如，感应的正负电荷大小相等
-Q Q 金属
物质的电结构
分子由原子组成，原子有带正电荷的原子核和
带负电荷的电子组成 电荷是量子化的
q
e
lim S 0
S
(c) 电荷线密度
q
e
lim
l 0
l
例题３：求均匀带电细棒中垂面上的场强分布，
棒长为２l，线密度ηe 。
解：体系具有轴对称
dE
1 4 0
ηedz r2 z2
l
E 2dE cos
0
ηe 2 0
l 0
(r 2
rdz z2 )3/2
ηel
20r r 2 l 2
当 l ，E ηe
E 0 (或 0)
即高斯面内必含正电荷(或负电荷)，且电力线不会在有限 空间中断 (b) 若带电体具有等量的正、负电荷，则正电荷发出的电
力线全部终止于负电荷上
选大高斯面包含等量的正、负电荷, 则
E 1 2 0
即正电荷发出的电力线全部终止于负电荷上.
高斯定理的应用
适合于具有对称性体系
E
例题1: 求均匀带正电球壳内外的 电场强度, 球壳半径R，带电q
U PQ
U x
dx
Ex
dx
所以
E U
U
i
U
j
U
k
x
y
z
例题６：求均匀带电圆形细环轴线上的电位和场强
分布。环半径 R，电荷线密度e
0, cos 1
E E dS
S
S
1 4 0
q r 2 dS
1q
40 r 2 S dS
1 q 4r 2 q
40 r 2
0
结果与球面半径大小也无关
(b) 单个点电荷，任意闭合曲面
平面角 s
r
s与ｒ 垂直
单位是弧度，与半径无关
2
立体角
d
dS r2
也与半径无关
球面角 4
r
E
dl
40r
q
40 R
rR rR
（壳内为等位体！）
电位叠加原理
设有若干电荷产生的电场，
k
由场强叠加原理， U (P) Ui (P)
其中
Ui (P) P Ei dl
i 1
例题４：电偶极子远处的电位
解：由电位叠加原理 U U U
U q (1 1)
4 0 r r
做近似计算得
U(x,y) U(x,y) dy 0
x
y dx
t
dxi
dy
dxj
i
dy
j
dx
dx
n
U(x,
y)
i
U(x,
y)
j
x
y
t
n
U(x,
y)
U(x,
y)
dy
0
x
y dx
如何推广到三维？
t
dy
dx
电位差
U PQ
U (P) - U (Q)
Q
P E dl
取
P
r
Q r dx i
导体带自由电荷 绝缘体只带束缚电荷 半导体带少量载流子
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
能带理论
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
S
(d) 推广到多个点电荷情形
E E1 E2 ... Ek
dE E cos dS E1 cos 1dS1 E2 cos 2dS2 ... dE1 dE2 ...