上海高二数学行列式初步(有详细答案)绝对精品
沪教版高中二年级数学第一学期二阶行列式
的
条件。
(B)构造一个二元一次方程组，使它的解的情况分别是
“有唯一解”、“无解”、“有无穷多解”．
选做题：用行列式解方程组
5 x
7 y
3
7
x
9 y
4
9
4
(3) D 2
5
8
5 0, Dx 4
2
5
4
5 0, 2
Dy 2
8 0
4
∴方程组有无穷多解。
2.
解关于x、y的二元一次方程组
mx
y
1
3mx my 2m 3
并对解的情况进行讨论。
解：D m 1 m2 3m m(m 3)
3m m
当D=0，而Dx=0且Dy=0时，方程组有无数多组解。
问题三：解关于x,y的二元一次方程组
mx
x
4 my
ym m
2
，
并对解的情况进行讨论。
解：D= m 4 m2 4
1m
Dx=
m m
2
4 m2 2m
m
m Dy= 1
m2 m
m2 m 2
(1)当D0即m2时，方程组有唯一解
1 1
Dx 2m 3
m 2m 3 (m 3) m
m Dy 3m
1 2m2 3m 3m 2m(m 2m 3
当m0且m-3时，方程组有唯一解
3)
x
Hale Waihona Puke yDx D Dy D
高二数学沪教版9.3.2_二阶行列式 (共11张PPT)
当 D Dx Dy 0 时，方程组有无穷多解
例1.利用行列式判断下列方程组解的情形：
2 3 2 x 3 y 7 D 0 有唯一解 (1) 5 2 5 x 2 y 1 3 2 4 x 2 y 3 D 0, Dx 0 无解 (2) 5 9 18 x 9 y 5
则
Dy Dx ,y 当 D 0 时，解为 x D D
一、二元线性方程组解的其它情形
a1 x b1 y c1 当 a1b2 a2b1 0 时, 没有唯一解 a2 x b2 y c2 a1 b1 c1 b1 a1 c1 若记 D , Dx , Dy a2 b2 c2 b2 a2 c2
8 6 4 x 6 y 8 D 0 , Dx 0 (3) 4 3 2 x 3 y 4 4 8 Dy 0 无穷多解 2 4
mx 2 y m 4 例2.解关于 x, y 的方程 2 x my m
解： D (m 2)(m 2) , Dx m(m 2) , Dy (m 4)(m 2) ①当 m 2 即 D 0 时，方程组有唯一解：
x1 二阶行列式 y1
y
x2 表示平面上 OA, OB 所张成的 y2
推论2： O, A, B 构成 AOB
平行四边形的有向面积. (证明利用第八章知识，这里略)
B( x2 , y2 )
SOAB
A( x1 , y1 )
O
1 x1 2 y1
x2 y2
x
课外阅读材料——二阶行列式几何意义证明
证： SOACB | OA || OB | sin
(选讲)二、二阶行列式的几何意义
第一章 行列式答案详解
第一章行列式习题1.1二阶和三阶行列式1．计算下列二阶行列式．()12112-=4(1)5--=()222111x x x x -++22(1)(1)x x x x =-++-321x x =--【分析】考查二阶行列式的计算公式2．计算下列三阶行列式．()1251312204--1301113113123024204===()2a bcb c a c a b 11()1()011b c b ca b c c a a b c c b a ca b a b b c=++=++----333()3c b a c a b c abc a b c a b b c --=++=-----【分析】考查三阶行列式的计算公式或者行列式性质计算三阶行列式3．当x 取何值时，3140010x x x¹．【解析】31210214040(24)0241010x x x x x x xxxx x且===-【分析】考查三阶行列式的计算公式或者行列式性质计算三阶行列式习题1.2排列1．求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性．()14132；()41324t =，为偶排列()2542316；()5423169t =，为奇排列()3()()246213521n n -L L ．()()()(1)2462135212n n n n t +-=L L ，4142443n k k n k k =++⎧⎨=+⎩或时，为奇排列或时，为偶排列【分析】考查逆序数的计算及奇偶排列的概念*2．设排列12n i i i L 的逆序数为k ，求排列121n n i i i i -L 的逆序数．【解析】考虑第m 个数(m=1,2,...,n-1)，它与后面n-m 个数的每一个数都有一个“序”，这个序要么是“顺序”，要么是“逆序”。
这样全部的“序”共有：（n-1)+(n-2)+...+2+1=n(n-1)/2个。
12n i i i L 逆序数是k ，那么排列121n n i i i i -L 的逆序是n(n-1)/2-k 【分析】考查逆序概念习题1.3n 阶行列式1．写出四阶行列式中含有因子1123a a 的项．【解析】1123344211233244;a a a a a a a a +-【分析】行列式的定义2．在5阶行列式中，下列各项应取什么符号？()11523314254a a a a a ；()152********,+a a a a a 取“”t =()22132441355a a a a a ；()21324413552,+a a a a a 取“”t =()34153122435a a a a a ．()41531224355,a a a a a 取“-”t =【分析】行列式的定义3．设一个n 阶行列式中等于零的元素的个数大于2n n -，试证明该行列式为零．【解析】N 阶行列式共有2n 个元素，等于零的元素的个数大于2n n -，则非零元素个数小于n 个，即一定出现一个0行，则行列式值为0.【分析】行列式的定义4．用行列式的定义计算下列行列式．()1010000200001000n n -L LM M M LML L (23(1)1)112231,11(1)(1)!n n n n n a a a a n τ----=-=- ()2()()1111121211000n n n n a a a a a a --L L MLM M L(1)((1)21)212(1)112(1)1(1)(1)n n n n n n n n n n a a a a a a τ----=-=- 【分析】行列式的定义和主次对角线行列式的结论5．设()11121314212223243132333441424344x a a a a a x a a a f x a a x a a a a a x a --=--，求()f x 中3x 的系数．【解析】根据行列式的定义，3x 系数只能来自于一项11223344()()()()x a x a x a x a ----，即11223344()a a a a -+++【分析】行列式的定义习题1.4n 阶行列式的性质1．用行列式的性质计算下列行列式．()1a x x x x b x xx x c x+++000000a x x x x x x b x xb x x x b x x a x b xc xx c x x x c x x c +=+++=++++2()()()a b x c x x bcx abc ab ac bc x=++-+=+++【分析】各行或各列元素之和相等的行列式+展开定理+三角化方法()22464273271014543443342721621-1321122331299001003279001003270100327190010044310000116100001169001006210029400294c c r r c c c c r r +----===121000011601003272940000000294r r «=-=-【分析】行列式性质+行列式性质+三角化方法()3ab ac aebd cd debf cf ef---1111111111110020204111020002abcdef abcdef abcdef abcdef---=-==-=-【分析】各行或各列元素之和相等的行列式+行列式性质+三角化方法2．将下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值．()1111111111111022281111002211110002-==-----【分析】三角化方法的计算()222401120112011204135413505550111221031233123048304832051205102110211----------=-=-=---------112011201120111011101111010102500047001800180031003100025---------=-=-=-=----------【分析】三角化方法的计算3．计算下列行列式．()111100[(1)][(1)]100x a a aa a a a x a x a x a x n a x n a a a x ax x a-=+-=+--L LL L L L M M L M M M L M M M L M L LL 1[(1)]()n x n a x a -=+--10111011120201600022002200220004----=-=-=-----()33312()02()2()0x y x y y x yx yy x y x x y x y x y x y x y xx yxy x yx++-+=+-=+=-+--+--【分析】各行或各列元素之和相等的行列式的计算4．计算下列行列式()112311110010010na a a a L L LM M M LM L ，其中0,2,3,,.i a i n ¹=L 122123211111000110000nn n n a a a a a a a a a a a ---ç==---ççL L L L L LM M M LML 【分析】箭型行列式计算()212111111111111na a a +++L LM M M LML ，其中0,1,2,,.i a i n ¹=L 111121211212211111111100000100000n n n nna aa a a a a a a a a a a a a a a a a +++++-ç===++++çç-L LL L L L L M M M LMM M M L M L L 【分析】利用性质变换为箭型行列式计算5．证明()33by az bz ax bx ayx y z bx ayby az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++．【证明】左边by az bz ax bx ayby bz ax bx ay azbz ax bx aybx ayby az bz ax bx by az bz ax ay by az bz axbz ax bx ay by az bz bx ay by az ax bx ay by az+++++++=+++=++++++++++++y bz ax bx ay zbz ax bx ayb x by az bz ax a y by az bz axzbx ay by azx bx ay by az ++++=+++++++++22y bz ax bx zax bx ay y bz ax x z x bx ay b x by az bz a yazbz ax b x by azz a yz bz ax zbx ay by x ay by az z bx ay y xy by az++++=+++=+++++++()223333y bz x z x ay y z x z x y x y z b x byz a y z ax b xy z a yz x a b zx y z bx y x y az z xyxyzy zx=+=+=+【分析】拆项性质+行列式性质6．证明121211221100001000000001n n n n nn n x x x a x a x a x a xa a a a a -------=++++-L L L L M M M L M M LL ．【证明】11c n n nD xD a 展开-=+()22121n n n n n n x xD a a x D a x a ----=++=++()3232123232312312121n n n n n n n n n n n n n nx D a x a x a x D a x a x a x a a x a a x a x a x a ----------=+++==+++=++++=++++L L L L 【分析】展开定理+递推发习题1.5行列式的展开1．求行列式30453221--中元素2和2-的代数余子式．【解析】2的代数余子式：313104(1)003A +=-=；2-的代数余子式：323234(1)2953A +-=-=【分析】余子式、代数余子式的概念2．用降阶法计算下列行列式【分析】拉普拉斯展开定理()211122200000000000000=0000000111111231n n na a a a a a a a a nn ------+L L LL MM M L M M MM M L M M L L LL12(1)(1)n nn a a a =+- 【分析】行列式性质+展开定理3．计算下面行列式222244441111a b c d a b c d a b c d ．【解析】4D 中各列元素均缺少3次方幂的元素，在4D 中添加3次方幂的一行元素，则产生5阶范德蒙行列式，再适当添加一列得：22222333334444411111()ab c d x f x a b c d x a b c d x a b c d x =按最后一列展开，得2341525354555()f x A xA x A x A x A =++++，因为()()()()0f a f b f c f d ====，所以,,,a b c d 为()f x 的四个根，则()()()()()f x k x a x b x c x d =----由根与系数关系有4555Aa b c d A +++=-，而4545(1)A D D +=-=-，55()()()()()()A b a c a d a c b d b d c =------，则()()()()()()()D a b c d b a c a d a c b d b d c =+++------.【分析】克莱姆法则+展开定理4．已知四阶行列式D 中第1行的元素分别为1,2,0,4-，第3行的元素的余子式依次为6,,19,2x ，试求x 的值．【解析】313233346,,19,2A A x A A ==-==-，由展开定理得：162()019(4)(2)0x ⨯+⨯-+⨯+-⨯-=，解得7x =【分析】代数余子式、余子式+展开定理求11121314及11213141．【解析】1112131411111111016110500164241313042463524130635A A A A -----+++===----------1201048428(1)(1)46136313+--=-=--=---11213141112131411521110513131413M M M M A A A A ---+++=-+-=----152142412000424812812081291210912-----==-=-=------【分析】代数余子式、余子式+展开定理的逆运用习题1.6克莱姆法则1．用克莱姆法则求解下列方程组的解12341234123412342326223832242328x x x x x x x x x x x x x x x x ì++-=ïïïï---=ïíï+-+=ïïï-++=-ïî．【解析】1234324,324,648,324,648D D D D D ====-=-，则12341,2,1,2x x x x ===-=-【分析】克莱姆法则2．设1a ，2a ，3a 互不相同，证明方程组123112233222112233000x x x a x a x a x a x a x a x ì++=ïïï++=íïï++=ïïî只有零解．【解析】系数行列式时范德蒙行列式，因为1a ，2a ，3a 互不相同，则系数行列式非零；再由克莱姆法则可知，该齐次方程组只有零解.【分析】克莱姆法则3．当l 为何值时，齐次线性方程组123122334000x x x x x x x l l ì++=ïïï-+=íïï+=ïïî()1只有零解；()2有非零解．当11λλ≠≠-且时，只有零解；当=1=1λλ-或时，有非零解【分析】克莱姆法则自测题1．填空题(每小题10分，共20分)()1行列式103100204199200395301300600=___2000____．()2已知11111111111111D x---=---，则D 中x 的系数是___4-____．2．计算下列行列式：(每小题15分，共30分)()11(1)(1)(2)220000(1)(1)000000n n n n c nn n D αβαββααββα---==-+-展开()212312323411341(1)3452145221211121n n n n n D n n n +==--(1)(1)1231111101111111101111(1)(1)2211110111111111111n n n n n n nnn n n n n n n n-⨯------++==----(1)(2)1122(1)(1)100100(1)(1)(1)(1)(1)221001000n n n n n n n nn n n n n n n ------⨯-++=⋅-=⋅-⋅-⋅(1)12(1)(1)2n n n n n n --+=-⋅⋅(本题15分)已知2231122D yx=，且1112133M M M +-=，1112131A A A ++=，其中ij M 是D 中元素ij a 的余子式，(1)i j ij ij A M +=-，试求D 的值．【解析】1112133235M M M x y +-=⇒-=111213114A A A y x ++=⇒=⇒=则行列式的值为14．(本题15分)解线性方程组231234231234231234231234x ax a x a x e x bx b x b x ex cx c x c x e x dx d x d x e⎧+++=⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩,其中,,,a b c d 互异．【解析】系数行列式非零，由克莱姆法则可知1234,0,0,0x e x x x ====5．(本题20分)证明：11000100,010001n n a b ab a b ab a b a b a b a ba b++++-=¹+-+L L L M M M L M M L ．【解析】上课做为例题已讲过。
上海高二数学矩阵及其运算(有详细答案)精品
上海版高二上数学矩阵及其运算一．初识矩阵 （一）引入：引例1：已知向量()1,3OP =，如果把OP 的坐标排成一列，可简记为13⎛⎫⎪⎝⎭； 引例2：2008我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；引例3：将方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为2332441m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭。
（二）矩阵的概念1、上述形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭这样的矩形数表叫做矩阵。
2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12n b b b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13⎛⎫ ⎪⎝⎭为21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。
有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。
3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）行第j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭第3行第2个数为3221a =。
4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。
如000000⎛⎫⎪⎝⎭为一个23⨯阶零矩阵。
5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列），可称此方阵为n阶方阵，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭均为三阶方阵。
沪教版(上海)高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行列式初步9.4(1)三阶行列式
沪教版（上海）高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行列式初步9.4（1）三阶行列式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．用对角线法则计算行列式：00xy zyxzx--． 2．把41032241D -=--按第一行展开． 3．解方程：111130002x x --=.4．计算：cos cos 0cos 0cos 0cos cos αβγβγα---． 5．计算下列行列式的值：（1）102941320-；（2）102101320-；（3）102840320． 根据计算结果，并观察行列式，你可以得到怎样更一般的结论？二、双空题6．行列式302647219--中，7的余子式为_______，代数余子式为__________．三、填空题7．把51024132---按第二列展开为____________________． 8．用对角线法则计算行列式：10231245-=-____________．9．把22111133332232x y x y x y x y x y x y +-表示成一个三阶行列式为____________． 10．已知(1,1),(1,2),(2,4)A B C -，则ABC 的面积为___________．参考答案1．322x xz xy ++ 【分析】直接利用三阶行列式运算法则计算得到答案. 【详解】()()322200()0()00x y zy x x y z z y xz xy x zx-=+⋅⋅-+⋅⋅------⋅-322x xz xy =++． 【点睛】本题考查了三阶行列式的计算，属于简单题. 2．3202034(1)0412124⎛⎫⨯+-⨯-+⨯ ⎪----⎝⎭【分析】直接根据行列式运算法则计算得到答案. 【详解】4103202030324(1)0412124241-⎛⎫=⨯+-⨯-+⨯ ⎪----⎝⎭--． 【点睛】本题考查了行列式的展开式，属于简单题. 3．1x =或4x = 【分析】根据三阶行列式的计算方法，先得到21111305402x x x x--=-+-，再解一元二次方程，即可得出结果. 【详解】因为111301013130022002x x x x x x ------=-+22(3)2(3)54x x x x x =-+--=-+-，所以方程111130002x x--=可化为2540x x -+-=，即2540x x -+=， 解得：1x =或4x =. 【点睛】本题主要考查解三阶行列式对应的方程，熟记三阶行列式的计算方法即可，属于基础题型. 4．0 【分析】直接根据三阶行列式运算法则计算得到答案. 【详解】()()()cos cos 0cos 0cos cos 0cos cos 0cos cos 0cos 0cos cos αβγβααγγββγα-=⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅--- ()()()0cos cos cos cos cos cos 0βγααγβ--⋅⋅--⋅-⋅-=.【点睛】本题考查了三阶行列式的计算，属于简单题. 5．（1）14 （2）6 （3）8；结论见详解； 【分析】根据三阶行列式的计算方法，分别计算这三个行列式，再根据计算结果进行合情推理，即可得出结论. 【详解】（1）()102419194941102202181214203032320---=⨯-⨯+⨯=-+-=； （2）1020111101011022022620303232---=⨯-⨯+⨯=-+⨯=；（3）()10240808484010200216128203032320=⨯-⨯+⨯=-+⨯-=；由计算结果可得：102102102102941101018403203203201803204+++-=-+=-； 由此可得一般结论如下：设行列式的某一行（或列）的元素都可以写成两项的和那么这个行列式等于把这些两项和各取一项作为相应的行（或列），其余行（或列）不变的两个行列式的和，即111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+.【点睛】本题主要考查计算三阶行列式，以及数与式的合情推理，属于常考题型. 6．3021- 3021--【分析】根据余子式与代数余子式的概念，直接可得出结果. 【详解】由题意，7的余子式为3021-，因为7处在第2行第3列，所以其代数余子式为：()23303012121+-=---.故答案为：3021-；3021--.【点睛】本题主要考查求行列式的余子式与代数余子式，熟记概念即可，属于基础题型.7．510215050241(1)4032322132-⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯+⨯- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--【分析】根据行列式的计算方法，直接展开，即可得出结果. 【详解】把51024132---按第二列展开为： 510215050241(1)4032322132-⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯+⨯- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--.故答案为：510215050241(1)4032322132-⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯+⨯- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--.【点睛】本题主要考查三阶行列式的展开，熟记行列式的计算方法即可，属于基础题型. 8．23 【分析】利用行列式的对角线法则直接求解. 【详解】()()()()10203113501220423241150023245-=⨯-⨯-+⨯⨯+⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯--⨯⨯=-故答案为：23 【点睛】本题主要考查三阶行列式展开式的求法以及行列式的对角线法则，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．112233312x y x y x y --【分析】直接利用三阶行列式的运算法则计算得到答案. 【详解】11221111223333223333212x y x y x y x y x y x y x y x y x y +-=--.故答案为：112233312x y x y x y --. 【点睛】本题考查了三阶行列式的计算，属于简单题. 10．72【分析】直接利用行列式计算面积公式计算得到答案. 【详解】111117121242414222241ABCS =-=-+-+-=△. 故答案为：72. 【点睛】本题考查了根据行列式计算三角形面积，属于简单题.。
上海高二数学行列式初步(有详细答案)绝对精品
2013年暑期高二数学行列式初步§ 二阶行列式(1)——二阶行列式 一．引入观察二元一次方程组的解法，设二元一次方程组()()11122212a x b y c a x b y c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 用加减消元法来解，()()()211221122112b b a b a b x c b c b ⨯-⨯⇒-=-; ()()()121221122121a a a b a b y a c a c ⨯-⨯⇒-=-当12210a b a b -≠时，有12211221221122c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩.二. 定义二阶行列式及展开用记号1122a b a b 来表示算式122a b a b -,即1112222a b a b a b a b =-.说明:二阶行列式表示的是四个数的一种特定的算式思考与运用 1. 解方程:3621x x =-.解:()231661204321x x x x x x orx x =⋅--=⇒--=⇒==-.2. 求函数()2212sin 22cos12xf x x =的值域.解: ()[]2222212sin 212sin cos 1sin cos 0,1222cos 12xx x f x x x x ⎛⎫==-=-=∈ ⎪⎝⎭. 3．行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ＝ad －bc ，则a ＝d ＝2，bc ＝－2时，取最大值为6.答案：6三. 利用二阶行列式解二元一次方程组将1221c b c b -和1221a c a c -分别用行列式来表示,可以表示为1122c b c b 和1122a c a c ,即11220a b D a b =≠,1122x c b D c b =,1122y a c D a c =,于是上述二元一次方程组的解可以表示为xy D x DD y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(0D ≠).§ 二阶行列式(2)——作为判别式的二阶行列式一．练习与复习 (一)展开下列行列式: 1. 21111a a a --++()()()231111a a a a =-++-⨯-=;2.22cos sin cos sin 1sin cos θθθθθθ=--=--;5=;4.sin cos sin cos 2cos sin 2sin sin 2cos 2ααααααααα=-=-.(二)解下列方程组1. 12103214515x x y x y y ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩;2. 791313313312177135132x x y x y y x y⎧⎧⎧+===⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪=+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩;3. 231232x y x y +=⎧⎨+=⎩ 无解; 4. 231462x y x y +=⎧⎨+=⎩ 无穷多解.二. 作为判别式的二阶行列式通过加减消元法将二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩化为xy D x D D y D ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩,(1) 当0D ≠时,方程组有唯一解(2) 当0D =时,若x D ,y D 中至少有一个不为零,则方程组无解; 若0x y D D ==,则方程组有无穷多解. 感受与体验 P10 练习(2) 1; P10 习题 3 思考与运用例 解关于,x y 的二元一次方程组,并对解的情况进行讨论:1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩.解: ()133m D m m m m==-+-,()11323x D m m m-==-++-,11323y D m m m -==+-+,当0D ≠,即0m ≠且3m ≠-时有唯一解11,x y m m==-; 当0m =时,0D =,而30x D =-≠,方程组无解;当3m =-时,0D =,且0x y D D ==,方程组有无穷多解. □三. 拓展与提高例1 已知三角形的三个顶点坐标分别为()0,0,()11,x y ,()22,x y ,试用行列式表示三角形的面积.()()1121212211111222S x y x x y y x y x y =++--- 11222112112211111111222222x y x y x y x y x y x y x y =+-+--- ()111221221122x y x y x y x y =-=. □例2 （1）计算行列式2346、792127、34-912-的值；（2）从上述结果中得出一个一般的结论，并证明. 解: (1) 均为0; (2) 0a bka kb=,证明:0a bkab kab ka kb=-=.同理0a ka b kb= □§ 三阶行列式(1)——三阶行列式的展开(1)一. 三阶行列式的概念用记号111222333a b c a b c a b c 表示算式123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++---,称为三阶行列式. 二. 三阶行列式的展开 (一) 按对角线展开例 计算三阶行列式124221342D -=---.解: ()()()()122213424D =⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯-⨯a 11a 22a 33a 12a 23a 31a 13a 21a 32a 11a 23a 32a 12a 21a 33a 13a 22a 31()()()()11422242314-⨯⨯-⨯-⨯---⨯⨯-=-. 感受与体验 P12 练习(1)(二)按一行(或一列)展开1. 余子式 把三阶行列式中某个元素所在的行和列划去,将剩下的元素按原来的位置关系组成的二阶行列式称为该元素的余子式. 例如1133a c a c 和1133a b a b 分别是111222333a b c a b c a b c 中元素2b 和2c 的余子式. 2. 代数余子式 把余子式添上相应的符号,某元素所在行列式中的位置第i 行第j 列,该元素的代数余子式的符号为()1i j+-例如()2211331a c a c +-和()2311331a b a b +-分别是111222333a b c a b c a b c 中元素2b 和2c 的代数余子式. 注：各元素代数余子式的符号如图所示:+-+-+-+-+3. 按一行(或一列)展开111222111111333a b c a b c a A b B c C a b c =++112233a A a A a A =++=例 按第一行和第一列展开行列式124221342D -=---.解: 按第一行展开:124212122221124423234342D -⎛-⎫-=-=⋅+⋅-- ⎪----⎝⎭--14=-; 按第一列展开: 12421242422112314424221342D -⎛-⎫-=-=⋅-⋅--=- ⎪--⎝⎭--. 感受与体验 P15 练习(2) 1; 2§ 三阶行列式(2)——三阶行列式的展开(2)一.复习按对角线或按一行（一列）展开三阶行列式的方法 完成练习 P21 习题 1 (用适当的方法) 二.例题与练习例1 若行列式0021040938k=,求k 的值.解: 002108405938kk k ==⇒=.□例2 已知行列式11110211λλ-=-,求λ的值. 解: 2111134041211or λλλλλλ-=--=⇒==--. □ 例3 已知()2112150f x x x=,若()0f x >,求x 的取值范围.解:()22211212121522527505550f x x xx x x x x xx x==-+=-+-=-+>()5,1,2x ⎛⎫⇒∈-∞+∞ ⎪⎝⎭. □ 例4 把下面的算式写成一个三阶行列式: (1)023*******22132313113312-----=-; (2)112211112233332233111x y x y x y xy x y x y x y x y x y -+=. (答案不唯一) □ 例5 验证三阶行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积之和为零. 解: 例如三阶行列式111222333a b c a b c a b c 的第二行元素222,,a b c 分别与第一行的元素111,,a b c 的代数余子式相乘,即222222212121222333333b c a c a b a A b B c C a b c b c a c a b ++=-+2112222222223332222223330a b c b c a c ab a bc a b c b c a c a b a b c ==-+=. □ 例5 在直角坐标系中,不在一直线的三点:()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 依逆时针顺序排列. (1)探求用行列式表示ABC 的面积公式;(2)当,,A B C 三点依顺时针顺序排列式, ABC 的面积公式有何变化 解: (1)记梯形,,EBCF EBAD DACF 的面积分别为123,,S S S ,()()()123321122S EB FC EF x x y y =+⋅=+-,同理有 ()()2121212S x x y y =+-,()()3313112S x x y y =+-,则 ()()()12323321331122112S S S S x y x y x y x y x y x y =--=---+-⎡⎤⎣⎦ 1122111122333322331111221x y xy x y xy x y x y x y x y x y ⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭(2)11223311121x y S x y x y =-. [说明] 本例可得两个结论:(1) 定点坐标分别为()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 的ABC 的面积为11223311121x y S x y x y =; (2) 平面上三点()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 共线的充要条件为1122331101x y x y x y =. 三.布置作业§ 三阶行列式(3)——三元一次方程组的行列式解法一. 复习二元一次方程组的行列式解法及解的情况的判别方法对于二元一次方程组xy D x D D y D ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩当0D ≠时,方程组有唯一解;当0D =时,若x D ,y D 中至少有一个不为零,则方程组无解;若0x y D D ==,则方程组有无穷多解.二. 三元一次方程组的行列式解法对于三元一次方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,记其系数行列式为111222333a b c D a b c a b c =, 用D 中第一列元素的代数余子式123,,A A A 依次乘以方程组的各方程,得11111111a A x b A y c A z d A ++=, 22222222a A x b A y c A z d A ++=, 33333333a A x b A y c A z d A ++=,将上述三个等式相加,得()()()112233112233112233112233a A a A a A x b A b A b A y c A c A c A d A d A d A ++++++++=++，其中记111112233222333x d b c D d A d A d A d b c d b c =++=，则x D x D ⋅=,同理可得 y D y D ⋅=，z D z D ⋅=，于是方程组x y z D x D D y D D z D ⎧⋅=⎪⋅=⎨⎪⋅=⎩当0D ≠时有惟一解x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩.例 解三元一次方程组:632752215x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩.解: 1113129522D =-=,61171291522x D =-=,161372185152y D ==,116317275215z D =-=,1,2,3x y z ∴===. □感受与体验 P19练习(3) 用行列式解下列方程组三. 当系数行列式0D =的情况当0D =时三元一次方程组可能无解,也可能有无穷多解.例 求关于,,x y z 的方程组13x y mz x mu z m x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有惟一解的条件,并在此条件下写出该方程组的解.解: ()()11111101111mD m m m m ==-+-≠⇒≠±-, 又()()111411311x mD mmm m ==-+--,()()31y D m m =---,()41z D m =-,所以当1m ≠±时,方程组的解为43141x m y m z m ⎧⎪=⎪-⎪=⎨+⎪⎪=-⎪+⎩. □注意与二元一次方程组解的情况相区别。
上海高二数学行列和数列1
矩阵和数列一、行列式概念及运算 1.用记号2211b a b a 表示算式1221b a b a -,即2211b a b a =1221b a b a -,2.二元一次方程组的解 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记2211b a b a 叫做方程组的系数行列式;记=x D 2211b c b c ,2211c a c a D y =即用常数项分别替换行列式D 中x 的系数或y的系数后得到的.(1) 若D ,0≠则方程组有唯一一组解,DD y D D x y x==, ; (2) 若0=D ,且y x D D ,中至少有一个不为零,则方程组无解; (3) 若0===y x D D D ,则方程组有无穷多解. 3。
三阶行列式及对角线法则用333222111c b a c b a c b a 表示算式;其结果是231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++.我们把333222111c b a c b a c b a 叫做三阶行列式; 231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++叫做三阶行列式的展开式.其计算结果叫做行列式的值;i i i c b a ,,(3,2,1=i )都叫做三阶行列式的元素. 4． 三阶行列式按一行(或一列)展开把行列式中某一元素所在的行和列去后,剩下的元素保持原来的位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式;余子式前添上相应的正负号叫做该元素的代数余子式;其中第i 行与第j 列的代数余子式的符号为j i +-)1(.三阶行列式可以按其一行或一列)展开成该行(或该列)元素与其对应的代数余子式的乘积之和.三阶行列式有有两种展开方式:(1)按对角线法则展开,(2)按一行(或一列)展开.5.三元一次方程组的解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a );)3,2,1(,,((不全为零其中=i c b a i i i记333222111c b a c b a c b a D =为方程组的系数行列式;记333222111c b d c b d c b d D x =,333222111c d a c d a c d a D y =333222111d b a d b a d b a D z =,即用常数项分别替换行列式D 中z y x 或或的系数后得到的.(1) 当0≠D 时,方程组有惟一解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===DD z D D y D D x z y x(2) 当0=D 时,方程组有无穷多组解或无解.一、填空题1.行列式cossin 36sincos36ππππ的值是 .2.行列式（）的所有可能值中，最大的是 .3.将方程组203253x y z x y =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩写成系数矩阵形式为 .4.若由命题A :“22031xx>-”能推出命题B :“x a >”，则a 的取值范围是 ．5.若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为2,1==y x ，则方程组a b c d,,,{1,1,2}a b c d ∈-⎩⎨⎧=++=++03520352222111c y a x b c y a x b 的解为x = ，y = . 6.方程212410139xx ≤-的解集为 . 7.把22111133332224x y x y x y x y x y x y +-表示成一个三阶行列式为 . 8.若ABC ∆的三个顶点坐标为(1,2),(2,3),(4,5)A B C ----， 其面积为 .9.在函数()21112xf x xx x x-=--中3x 的系数是 . 11.矩阵的一种运算该运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线10x y +-=在矩阵的作用下变换成曲线10x y --=，则a b +的值为 .12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和奇数b 构成以原点为起点的向量(),a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则mn= 二.选择题13.系数行列式0D =是三元一次方程组无解的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件 14.下列选项中错误的是（ ）. A.bda c db ca -= B.ab cd db c a =C.d c d b c a 33++ dc ba =,⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛dy cx by ax y x d c b a ),(y x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11b aD.dc ba db ca -----=15.若,,a b c 表示ABC ∆的三边长，且满足0222=++++++cb ac cc b a b bc b a a a ， 则ABC ∆是（ ）.A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形 三、解答题：17. 已知P ：矩阵||51||10x x +⎛⎫⎪+ ⎝的某个列向量的模不小于2，Q ：行列式114203121mx ----中元素1-的代数余子式的值不小于2.若P 是Q 成立的充分条件．．．．，求实数m 的取值范围.19.已知函数1sin ()0sin sin 200xxf x xx m =的定义域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，最大值为4.试求函数()sin 2cos g x m x x =+（x R ∈）的最小正周期和最值．数列经典例题：假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：（Ⅰ）每年年末加1000元；（Ⅱ）每半年结束时加300元。
行列式习题及答案
行列式习题及答案【篇一：上海版教材矩阵与行列式习题(有答案)】lass=txt>姓名成绩一、填空题cos1.行列式?3sincos?6sinac?3bd?6的值是 .2.行列式（a,b,c,d?{?1,1,2}）的所有可能值中，最大的是 .?2x?0?3.将方程组?3y?z?2写成系数矩阵形式为 .?5x?y?3?4.若由命题a:“2x31-x20”能推出命题b:“x?a”，则a的取值范围是．?a1x?b1y?c15.若方程组?的解为x?1,y?2，则方程组ax?by?c?222?2b1x?5a1y?3c1?0的解为x? ，y? . ?2bx?5ay?3c?022?26.方程2x4x2?0的解集为.?39?2x1 y1x3 y3?4x1 y1x2 y27.把x2 y2x3 y3表示成一个三阶行列式为. 8.若?abc的三个顶点坐标为a(1,?2),b(?2,3),c(?4,?5)，其面积为 .2x9.在函数f?x???x1?x2?1x中x3的系数是 x110.若执行如图1所示的框图，输入x1?1,x2?2,x3?4,x4?8,则输出的数等于111.矩阵的一种运算???ab??x??ax?by??ab??????????,该运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下(x,y)????????cd??y??cx?dy??cd??1a???的作用下变换成曲线x?y?1?0，则a?b的b1??变换成点(ax?by,cx?dy)，若曲线x?y?1?0在矩阵??值为 .12.在集合?1,2,3,4,5?中任取一个偶数a和奇数b构成以原点为起点的向量???a,b?.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m，则m?n二.选择题13.系数行列式d?0是三元一次方程组无解的（） a. 充分非必要条件 b. 必要非充分条件c. 充分必要条件d. 既非充分也非必要条件 14.下列选项中错误的是（）. a.abccacbdd??caddbb.abcd?dcbac.a?3cb?3d?acbdd.???a?c?b?d15.若a,b,c表示?abc的三边长，aa2且满足ba?b?ca?b?c?0， a?b?cb2c2c则?abc是（）.a. 等腰三角形b. 直角三角形c. 等腰直角三角形d. 等边三角形 16. 右边（图2）的程序框图输出结果s?（） a．20 b. 35 c. 40 d .45 2图2三、解答题：1?|x|?5?1??mx?217. 已知p：矩阵?|x|?1的某个列向量的模不小于，行列式q：2?01?余子式的值不小于2.若p是q成立的充分条件，求实数m的取值范围. ．．．．18.已知等比数列{an}的首项a1?1，公比为q，（1）求二阶行列式?10?24?3中元素?1的代数1a1a2a3a4的值；（2）试就q的不同取值情况，讨论二元一次方程组??a1x?a3y?3何时无解，何时有无穷多解？?a2x?a4y??2119.已知函数f(x)?0sinxsinx0xsinx0的定义域为?0,2m???，最大值为4.试求函数g(x)?msinx?2cosx?2??（x?r）的最小正周期和最值．320. 将等差数列an?2n?1(n?n)中n2个项依次排列成下列n行n列的方阵,在方阵中任取一个元素,记为x1,划去x1所在的行与列,将剩下元素按原来得位置关系组成(n-1)行(n-1)列方阵,任取其中一元素x2,划去x2所在的行与列?,将最后剩下元素记为xn,记sn?x1?x2??xn，求lim*n??sn的值。
高中数学 矩阵 行列式 专题练习及答案精析版含答案(79页)
高中数学 矩阵 行列式 专题练习及答案精析版含答案（79页）1．定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021.已知πβα=+，2πβα=-，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）.A. 00⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 01⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 10⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．规定运算a bad bc c d=+，若sincos122332cossin22θθθθ=，其中0θπ<<，则sin θ=A ．12-B．2-C．2±D．23．定义行列式运算：32414321a a a a a a a a -=，将()xx x f c os 1s in 3----=向左平移()0>m m 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为（ ）A 、8π B 、3πC 、32πD 、65π4．如图， 111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==， 从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （ ）A ．37 B ．47 C ．114 D ．13145．（选修4－2矩阵与变换）试从几何变换角度求解矩阵AB 的逆矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0 11 0B . 6．定义：a b ad bc c d=-.若复数z 满足112z i i i=-+-，则z 等于A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -7．已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b cc c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是 [答]（ ）A 、0a b c ++=．B 、a b c 、、两两平行． C 、a b //． D 、a b c 、、方向都相同． 8．定义运算a bad bcc d=-,则符合条件120121z i ii+=--的复数z 对应的点在( )A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限 9．定义运算a b ad bc c d=-，若函数()123x f x xx -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-10．定义运算bc ad db ca -=,则符合条件i ziz=12的复数z 的虚部为（ ）A ．51 B ．51- C ．52 D ．52- 11．设1141A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则矩阵A 的一个特征值λ和对应的一个特征向量α为 A ．3=λ，12α⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．1-=λ，21α⎛⎫=⎪-⎝⎭C ．3=λ，12α-⎛⎫=⎪⎝⎭ D ．1-=λ，12α⎛⎫= ⎪⎝⎭12．对2×2数表定义平方运算如下： （ ）222a b a b a b a bc ab bd c d c d c d ac cd bc d ⎛⎫++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 则21201-⎛⎫ ⎪⎝⎭为 A.1011⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1101⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.0110⎛⎫⎪⎝⎭13．已知2010200820062004262422201816141210864,++++-= 则bc ad dc b a =（ ）A ． 2008B ．—2008C ．2010D ．—201014．定义2×2矩阵12142334a a a a a a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若sin()()cos()1x f x x ππ⎛-= +⎝⎭，则()f x 的图象向右平移3π个单位得到的函数解析式为（ ） A ．22sin()3y x π=- B ．2sin()3y x π=+C ．2cos y x =D ．2sin y x =15．已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，且满足0222=ac b c b a ，则A B C ∆一定是（ ）． A 、等腰非等边三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形16．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图1所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…n 2填入n×n 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方，记n 阶幻方的对角线上数的和为N ，如图1的幻方记为N 3=15，那么N 12的值为 （ ）A ．869B ．870C ．871D ．875 17．矩阵E =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001的特征值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意实数18．将5,6,7,8四个数填入12349⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭中的空白处以构成三行三列方阵，若要求每一行从左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为 （ ）A ．24B ．18C ．12D ．6 19． 已知bc ad dc b a -=,则=+++20102008200620041816141210864 ( )A －2008B 2008C 2010D -201020．定义运算bc ad db ca -=，则符合条件121211-+--x yy x = 0的点P (x , y )的轨迹方程为（ ）A ．(x – 1)2 + 4y 2 = 1B ．(x –1)2 – 4y 2 = 1C ．(x –1)2 + y 2 = 1D ．(x –1)2 – y 2 = 121．第3行第2列的元素的代数余子式记作()x f ，()x f +1的零点属于区间 （ ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）；22．定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021，已知αβ+=π，2αβπ-=，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）. A.00⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.01⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.10⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.11⎡⎤⎢⎥⎣⎦23．如图，三行三列的方阵中，从中任取三个数，则至少有两个数最大公约数大于1 的概率是 （ ） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛55331135217532 A 8413 B72C8471 D75 24． 已知a b ad bc c d=-,则46121420042006810161820082010+++=( )A ．－2008B ．2008C ．2010D ．－201025．若规定bcad d c ba -=，则不等式0111lg<x的解集是A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．（-∞，2）D ．（-∞，3）26．计算矩阵的乘积=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110n m y x ______________ 27．规定运算a bad bc c d=+，若sincos122332cossin22θθθθ=，则sin θ= ．28．函数x x xx x x x f sin cos sin 2)cos(cos sin )(--+=π的最小正周期=T29．线性方程组21202x z x y y z -=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的增广矩阵是__________________．30．对任意的实数y x ,，矩阵运算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y y x d c b a 都成立，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a . 31．方程组2132x y x y -=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵是__________________.32．定义矩阵变换a b m am bn c d n cm dn +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭；对于矩阵变换11sin 20cos u v αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数1()2y u v =+的最大值为_____________ 33．设二阶矩阵,,a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中每一个数字称为二阶矩阵的元素，又记二阶矩阵乘法222,,a bc ab bd A A A ac cd bc d ⎛⎫++=⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭，请观察二阶矩阵乘法的规律，写出1112322122,,a a A A A a a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭中的元素21a =__________.34．若复数z 满足109z z-=，则z 的值为___________.35．二阶行列式ii i++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）36．计算：122423432⎛⎫⎛⎫⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= . 37．若0ln 1a b π⎛⎫ ⎪⎝⎭是单位矩阵，则a b -= . 38．行列式（a,b,c,d ∈{－1,1,2}）的所有可能值中，最大的是 .39．如果矩阵()111113-是线性方程组{111222a x b y c a x b y c +=+=的增广矩阵，则这个线性方程组的解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 可用矩阵表示为 ▲ ．40．将正整数21,2,3,4,,n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩， ，，当4=n 时数表的“特征值”为_________ 41．当πcos12=a 时，行列式211121a a +-的值是 ．42．方程cos sin sin cos =x x xx 的解为__________________.43．若行列式124012x -=，则x = .44．各项都为正数的无穷等比数列{}na ，满足,,42t a m a ==且⎩⎨⎧==ty mx 是增广矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2221103的线性方程组⎩⎨⎧=+=+2222111211c y a x a c y a x a 的解，则无穷等比数列{}n a 各项和的数值是 _________.45．若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= ． 46．不等式210x x+≥ 1 2 2的解为 .47．已知变换100M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，点(2,1)A -在变换M 下变换为点(,1)A a '，则a b += 48．⎥⎦⎤⎢⎣⎡6421的逆矩阵为 . 49．行列式987654321中元素8的代数余子式为______________.50．已知矩阵10102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，则矩阵A 的逆矩阵为51．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0110的逆矩阵是 ．52．矩阵2130A ⎛⎫=⎪⎝⎭的特征值是_____________________． 53．．由9个正数组成的数阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭中，每行中的三个数成等差数列，且a 11+a 12+a 13，a 21+a 22+a 23，a 31+a 32+a 33成等比数列．给出下列结论：①第二列中的a 12，a 22，a 32必成等比数列；②第一列中的a 11，a 21，a 31不一定成等比数列；③a 12+ a 32≥a 21+a 23； ④若9个数之和大于81，则a 22>9． 其中正确的序号有 ．（填写所有正确结论的序号）． 54．已知函数11()13xf x -=，则1(4)f-= ．55．[选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵1211,121A B x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，向量2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,x y 是实数，若Aa Ba =，求x y +的值.56．定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数cos ()sin xf x x的图象向左平移m个单位（0m >），若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为57．已知矩阵A =1234⎛⎫⎪⎝⎭，矩阵B =4231⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算：AB = ．58．若2211x x x y y y =--，则______x y += 59．对于任意),1()1,0(∞+∈ a ，函数)1(log 111)(--=x x f a 的反函数)(1x f-的图像经过的定点的坐标是______________． 60．已知，则cos2α= ．61．若以⎪⎪⎭⎫⎝⎛1431a a 为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数a 的取值范围为 ．62．规定矩阵3A A A A =⋅⋅，若矩阵31 1 10 10 1x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x 的值是_____________．63．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2563N 的特征值为______________．来源 64．设平面上一伸缩变换把(1,1)A 变换为(2,3)P -,则点(2,3)B -在此变换下所对应的点是65．已知圆22:4C x y +=在矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应伸压变换下变为一个椭圆，则此椭圆方程为66．对2×2数表定义平方运算如下：222a b a b a b a bc ab bd c d c d c d ac cdbc d ⎛⎫++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则21201-⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 67．已知,1->t 当[]2,+-∈t t x 时，函数xxx y 4=的最小值为-4，则t 的取值范围是 68．如图，2(4)nn ≥个正数排成n 行n 列方阵：符号(1,)ij a i j n ≤≤ 表示位于第i 行第j 列的正数．已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且每一列的数的公比都等于q ． 若1112a =，241a =，3214a = ， 则q = ________，ij a =__________．69，则x =__________70．将正整数21,2,3,4,,n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩， ，，当3n =时数表的“特征值”为_________71．若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ=72．增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111311的线性方程组的解为________________. 73．关于z 的方程20132012101i zii izi+=--+（其中i 是虚数单位），则方程的解=z ． 74．三阶行列式12324310中第二行第一列元素0的代数余子式是________.75．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=421x A 可逆，则x 的取值范围为76．已知函数cos ()sin xf x x=， 则方程()021cos =+⋅x x f 的解是________.77．下列命题： ①函数⎪⎭⎫⎝⎛-=2sin πx y 在[]π,0上是减函数； ②点A （1，1）、B （2，7）在直线03=-y x 两侧；③数列{}n a 为递减的等差数列，051=+a a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则当4=n 时，n S 取得最大值； ④定义运算11a b ，b a b a a b 122122-=则函数()13312x x x x x f +=的图象在点⎪⎭⎫⎝⎛31,1处的切线方程是.0536=--y x其中正确命题的序号是________（把所有正确命题的序号都写上）.78．不等式1111x x+-1≤的解集为._______79．若规定a b cd=|ad -bc|，则不等式log2111x<0的解集为80．三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，111213212223313233 a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的的概率为__________．81．不等式1011ax x <+对任意R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．82．规定矩阵A A A A ∙∙=3，若矩阵31 1 10 10 1x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x 的值是_____________.83． 已知线性方程组的增广矩阵为103210⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其对应的方程组为_____________ 84．若1250120131xx =，则实数x = ． 85．矩阵1141⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值为 ． 86．若=642531222c b a 222222C c B b A a ++，则2C 化简后的最后结果等于__________．87．已知矩阵2134A -⎛⎫=⎪⎝⎭，2143B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A B ⨯=____________ 88．cos()αβ-计算公式可用行列式表示为_____________． 89．若1312,2433A B -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则=-B A 3 ．90．若关于x, y 的线性方程组的增广矩阵为0603m n ⎛⎫⎪⎝⎭，该方程组的解为3,4.x y =-⎧⎨=⎩则mn的值为 ．91．已知N=0110-⎛⎫⎪⎝⎭,计算N 2.92．三阶行列式xb x x D 31302502-=， 元素b ()R b ∈的代数余子式为()x H ，(){}0≤=x H x P ，(1) 求集合P ；(2)函数()()22log 22f x ax x =-+的定义域为,Q 若,P Q ⋂≠∅求实数a 的取值范围；93．已知矩阵A =⎪⎭⎫ ⎝⎛b a 12有一个属于特征值1的特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12α. (Ⅰ) 求矩阵A ； (Ⅱ) 若矩阵B =⎪⎭⎫⎝⎛-1011，求直线10x y ++=先在矩阵A ，再在矩阵B 的对应变换作用下的像的方程.94．点(－1，k)在伸压变换矩阵001m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m 、k 的值．95．已知矩阵A ＝ ⎝⎛0a ⎪⎪⎭⎫b 1把点（1，1）变换成点（2，2） （Ⅰ）求b a ,的值（Ⅱ）求曲线C ：122=+y x 在矩阵A 的变换作用下对应的曲线方程. 96．选修4—2：矩阵与变换 (本小题满分10分)已知矩阵3222-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41α，试计算：10M α． 97．（1）（矩阵与变换）求矩阵12A 14⎛⎫= ⎪-⎝⎭的特征值和对应的特征向量。
行列式基础习题答案
行列式基础习题答案行列式是线性代数中的一个重要概念，它在解决线性方程组、矩阵运算等问题中起着关键作用。
在学习行列式的过程中，掌握基础习题的解答是非常重要的。
本文将以行列式基础习题的答案为主题，为读者提供一些参考。
一、二阶行列式基础习题答案1. 已知行列式A = |a b|，求A的值。
|c d|解答：根据二阶行列式的定义，A的值等于对角线元素之积减去反对角线元素之积。
即A = ad - bc。
2. 已知行列式B = |2 3|，求B的值。
|4 5|解答：同样地，根据二阶行列式的定义，B的值等于对角线元素之积减去反对角线元素之积。
即B = 2*5 - 3*4。
二、三阶行列式基础习题答案1. 已知行列式C = |1 2 3|，求C的值。
|4 5 6||7 8 9|解答：对于三阶行列式，可以采用按行展开的方法求解。
按第一行展开，C的值等于第一行元素与其代数余子式之积的和。
即C = 1*|5 6| - 2*|4 6| + 3*|4 5|。
|8 9| |7 9| |7 8|2. 已知行列式D = |2 0 1|，求D的值。
|3 1 0||1 2 1|解答：同样地，按第一行展开，D的值等于第一行元素与其代数余子式之积的和。
即D = 2*|1 0| - 0*|3 0| + 1*|3 1|。
|2 1| |1 1| |1 2|三、n阶行列式基础习题答案1. 已知行列式E = |1 2 3 ... n|，求E的值。
|2 3 4 ... n+1||3 4 5 ... n+2||... ... ... ...||n n+1 n+2 ... 2n-1|解答：对于n阶行列式，可以采用按行展开的方法求解。
按第一行展开，E的值等于第一行元素与其代数余子式之积的和。
即E = 1*|3 4 ... n+2| - 2*|2 4 ...n+2| + 3*|2 3 ... n+2| - ... + n*(-1)^(n+1)*|2 3 ... n+1|。
行列式习题及答案
行列式习题及答案行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中起着重要的作用。
本文将介绍一些行列式的习题及其答案，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
1. 习题一：计算行列式的值已知行列式A = |2 3||4 5|求解行列式A的值。
答案：根据行列式的定义，可以得到A的值为：2*5 - 3*4 = 10 - 12 = -2。
2. 习题二：行列式的性质已知行列式B = |a b||c d|如果行列式B的值为0，是否可以得出a、b、c、d中至少有一个为0的结论？答案：是的，如果行列式B的值为0，根据行列式的性质，可以得出至少存在一组a、b、c、d中的一个为0的情况。
这是因为行列式的值为0意味着矩阵的行向量或列向量线性相关，即存在线性关系式使得行向量或列向量之间存在依赖关系。
3. 习题三：行列式的展开已知行列式C = |1 2 3||4 5 6||7 8 9|求解行列式C的值。
答案：根据行列式的展开定理，可以选择第一行或第一列展开计算。
选择第一行展开，可以得到C的值为：1 * (-1)^(1+1) * |5 6| - 2 * (-1)^(1+2) * |4 6| + 3 * (-1)^(1+3) * |4 5||8 9| |7 9| |7 8|= 1 * (5*9 - 6*8) - 2 * (4*9 - 6*7) + 3 * (4*8 - 5*7)= 1 * (-3) - 2 * (-6) + 3 * (-3)= -3 + 12 - 9= 04. 习题四：行列式的性质已知行列式D = |a b||c d|如果行列式D的值为1，是否可以得出a、b、c、d中至少有一个为1的结论？答案：不可以。
行列式的值为1并不能直接得出a、b、c、d中至少有一个为1的结论。
因为行列式的值为1并不代表矩阵的元素本身就是1，行列式的值只是表示了矩阵的行向量和列向量之间的线性关系。
5. 习题五：行列式的性质已知行列式E = |1 2||3 4|如果行列式E的值为k，是否可以得出a、b、c、d中的元素之和等于k的结论？答案：是的。
沪教版(上海) 高二第一学期 新高考辅导与训练 第9章 矩阵和行列式初步 9.3二阶行列式
沪教版(上海) 高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行
列式初步 9.3二阶行列式
一、解答题
(★★) 1. 展开并化简下列行列式：.
(★★) 2. 利用行列式解方程组：
(★★) 3. 利用行列式解此方程组：
(★★) 4. 不等式的解集为__________.
(★★★) 5. 求和：.
(★★) 6. 利用行列式解下列方程组：
（1）；（2）；（3）.
(★★) 7. 利用行列式解方程组：
二、双空题
(★★) 8. 展开并化简下列行列式：
（1）__________；
（2）____________.
三、填空题
(★) 9. 将代数式用行列式表示为___________.
(★★) 10. 计算是否正确？______________.
(★) 11. 已知，则________.
(★★★) 12. 已知关于的方程组有唯一解，则实数 a的取值范围是 __________ .
四、单选题
(★) 13. 设二元一次方程组为若，则为（）. A．B．C．D．(★) 14. 已知互不相同的三个实数，则行列式可能的值有（）. A．3个B．4个C．5个D．6个。
2020届上海(沪教版)高考考典——第8章-矩阵和行列式初步教师版
第8章矩阵和行列式初步考点解读1.理解矩阵的有关概念（1）矩阵的定义：由m n⨯个数(1,2,3,;1,2,3,)ija i m j n==L L，按一定次序排列成的矩阵表111212122212()nnij m nm m mna a aa a aA aa a a⨯⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎝⎭LLL L L LL，叫做一个m行n列的矩阵，简记为m n⨯矩阵.（2）在一般矩阵中，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素；线性方程组11112211211222221122n nn nm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩LLL LL，矩阵A=111212122212nnm m mna a aa a aa a a⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLL L L LL叫做一般线性方程组的系数矩阵，A-=11121121222212nnm m ma a a ba a a ba a b⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLL L L L LL L叫做一般线性方程组的增广矩阵；如：方程组2538x yx y-=⎧⎨+=⎩对应系数矩阵1231-⎛⎫⎪⎝⎭，其中1行2列的矩阵()()1,2,3,1-叫做系数矩阵的两个行向量；2行1列的矩阵12,31-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭叫做系数矩阵的列向量；（3）当矩阵的行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵；我们把主对角线元素为1、其余元素均为零的方矩阵，如1001⎛⎫⎪⎝⎭，叫做单位矩阵.2.矩阵的运算及其性质（1）矩阵的加法，若111212122212()n n ij m nm m mn a a a a a a A a a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，111212122212()n n ij m n m m mn b b b b b b B b b b b ⨯⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭LL L LL L L，则C A B =+=111112121121212222221122n n n n m m m m mn mna b a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++++L LL L L L L.（2）矩阵的加法满足性质: 交换律,结合律.（3）数与矩阵乘法定义：以数k 乘矩阵()ij A a =的每个元素所得的矩阵()ij ka 叫做数k 与矩阵A 相乘的积，记作kA ； （4）设矩阵111211121112212221222122,,a a b b c c A B C a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.如果它们元素间的关系可以用下列等式表示：1122(1,2;1,2)ij i j i j c a b a b i j =+==，则C 叫做矩阵A 和矩阵B 的积，记作C =AB（5）矩阵A 的初等变换，指的是对A 实施如下变换：3．行列式的有关概念与性质（1）初中代数中，二元线性方程组111222,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩当12210a b a b -≠时，二元线性方程组有唯一解：1221122112211221c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，为了方便记忆，引入定义a c b d =ad bc -，a c b d 叫做二阶行列式， ad bc -叫做二阶行列式的展开式；设1122a b D a b =，1122x c b D c b =，1122y a c D a c =，则方程组的唯一解可表示为：xy D x D D y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. （i ）0D ≠，方程组有唯一解；（ii ）0D =：①x y D D 、中至少有一个不为零，方程组无解； ②0x y D D ==，方程组有无穷多解.（3）三阶行列式的两种展开方法：①按对角线展开.123123123a b c b c a c a b=++321123132a b c b a c a b c---②按一行（或一列）展开.111222333a b ca b ca b c=123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c++---123321322312332()()()a b c b c b a c a c c a b a b=-+-+-(4)把三阶行列式某元素所在的行和列划去，剩下的元素组成的二阶行列式，叫做这个元素的余子式；如果用,i j分别表示某个元素所在的行数和列数，那么这个元素的余子式．补充与提高：行列式运算性质：①把行列式的某一行的所有元素乘以一个数k，等于用k乘以这个行列式；②行列式中某一行所有元素的公因子可以提到行列式记号的外边；③如果行列式中某一行的元素全为0，那么这个行列式的值为0；④交换行列式的任意两行，行列式的绝对值不变，符号相反；⑤如果行列式有两行的对应元素相同，那么这个行列式的值为0；⑥如果行列式有两行的对应元素成比例，那么这个行列式的值为0；⑦如果行列式的某一行的元素都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项组成相应的行，而其余行不变的两个行列式的和；例如：111222222333a b ca ab bc ca b c'''+++=111222333a b ca b ca b c+111222333a b ca b ca b c'''.注意：红线上三元素的乘积均为正，蓝线上三元素的乘积均为负.乘以(1)i j+-所得的式子，叫做这个元素的代数余子式.（5）三阶行列式D 等于它的任意一行（或列）的所有元素分别和它们的代数余子式的乘积的和.例如：111222333a b c D a b c a b c ==222222a A b B c C ++.(6)三元线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，对应系数行列式111222333a b c D a b c a b c =,111222333x d b c D d b c d b c =，111222333y a d c D a d c a d c =，111222333z a b d D a b d a b d =.①当0D ≠时，方程组有唯一解x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②当0=0x y D D D =且，时，方程组有无穷多解；③当0x y D D D =且，不全为0时，方程组无解.(7)①三角形的面积公式: △ABC 的三个顶点坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则ABC S =△11223311121x y x y x y .②同一平面上A B C 、、三点共线的充要条件为112233111x y x y x y =0.8.1矩阵的概念例题精讲【例1】写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵：（1）3560437x y x y ++=⎧⎨=-⎩（2）214625x z y z x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩一个元素的代数余子式通常用这个元素相应的大写字母并附加相同的下标来表示【参考答案】（1）35356,43437-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ （2）1021021014,01462112115--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭8.2矩阵的运算例题精讲【例1】已知矩阵 3 0-2 1A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，矩阵-2 1 2 2B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求矩阵X ，使其满足B X A =-32．【参考答案】813320⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭【例2】已知下列矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3110146,602413,591732C B A ，计算： （1）A(B+C) (2)(B+C)A (3)BA+CA (4)从（1）（2）（3）的计算结果你能得出什么结论？ 【参考答案】（1）1198245⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）151842234610131133---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭ （3）151842234610131133---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭（4）(B+C)A= BA+CA8.3二阶行列式例题精讲【例1】展开并化简下列行列式： （1）3423- （2）245lg 2lg - 【参考答案】（1）17- （2）2lg 24lg5+【例2】判断m 取什么值时，下列关于x,y 的线性方程组（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷解？⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=--1)1()1(1)5(22y m x m y m x【参考答案】221(5)(1)(2)(3)1(1)m D m m m m m --==++-+-+221(5)2(1)(2)1(1)x m D m m m ---==-+-+11211y D m m -==++（1）1,2,3m ≠--时，方程组有唯一解； （2）13m =-或 方程组无解； （3）2m =-方程组有无穷解．8.4三阶行列式例题精讲【例1】按要求计算下列行列式（1）直接化简计算行列式D=412101423--的值； （2）按照第一行展开； （3）按照第一列展开． 【参考答案】（1）19D = （2）011110324142421D --=-+（3）01242431214141D ---=-+-【例2】通过对课本知识的学习，我们知道，对于三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a ，其中x ，y ，z是未知数，系数)3,2,1(=i c b a i i i 、、不全为零，当系数行列式D=0时，方程组无解或有无穷多解． 以下是几位同学在D =0的条件下，类比二元一次方程组的解的情况，对三元一次方程组的解的情况的一些探索结论：结论一：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组有无穷多解 结论二：当D=0，且都z y x D D D ,,不为零时，方程组有无穷多解 结论三：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组无解．可惜的是这些结论都不正确，下面分别给出了一些反例，现在请你分析一下，这些给出的方程组分别是哪个错误结论的反例，并说出你的理由．（A ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++232132032z y x z y x z y x （B ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+0420202y x z y x y x （C ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+230212z y x z y x y x【参考答案】 （A ）x y z D D D D ====而方程组无解，是结论一的反例． （B ）x y z D D D D ====而方程组无穷多解，是结论三的反例． （C ）0125x y z D D D D ====- 而方程无解，是结论二的反例．过关演练2020年一模汇编——矩阵、行列式一、填空题【宝山2】已知5124=--λλ，则=λ . 【答案】3【解析】由行列式的运算得：524=---)()(λλ，即3=λ【杨浦2】 关于x ，y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为【答案】211130-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据增广矩阵的含义，所以是211130-⎛⎫⎪⎝⎭【长宁，嘉定，金山3】行列式12 31-的值为_______.【答案】7【解析】行列式的化简，12 31-=711--32=⨯⨯）（【浦东4】若关于y x 、的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为____________．【答案】111112⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】矩阵行列式定义【松江6】若关于x y 、的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =【答案】2- 【解析】令24401m D m m==-=，2m ∴=±；令22420x m D m m mm+==-=，得0m =或2；令22201y m m D m m m+==--=，得2m =或1-；因为方程组无解，0D ∴=，x D 、y D 不同时为0，2m ∴=-二、选择题【黄浦13】方程2153x x=的解集是（ ） 【A 】{2} 【B 】{2,2}- 【C 】{1,1}- 【D 】{i,i}- 【答案】B【解析】2235,2x x -==±，解集是{2,2}-2020届高三数学一轮复习典型题专项训练6、（2019届嘉定长宁区高三二模）若线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=7、（2019届普陀区高三二模）行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为﹣10，则k＝ ．8、（2019届徐汇区高三二模）函数cos2sin ()3cos x xf x x-=在区间(0,]2π上的最小值为9、（宝山区2018高三上期末）关于x y ，的二元一次方程组x y x y 341310+=⎧⎨-=⎩1、（2019届黄浦区高三二模）行列式1247的值为 2、（2019届闵行松江区高三二模）若x 、y 的方程组10240x my x y n +-=⎧⎨-+=⎩有无穷多组解，则11m n 的值为3、（2019届浦东新区高三二模）若行列式128012x -=，则x =4、（2019届杨浦区高三二模）函数arcsin 211xx y =-的值域是5、（2019届宝山区高三二模）方程sec 301sin x x=的解集为__________的增广矩阵为 （ ）（A ）3411310-⎛⎫⎪-⎝⎭ （B ）3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭ （C ）3411310⎛⎫⎪-⎝⎭ （D ）3411310⎛⎫ ⎪⎝⎭10、（奉贤区2018高三上期末）关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛222111c b a c b a ，则方程组存在唯一解的条件是（ ）．A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 平行 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛21b b 不平行 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 11、（杨浦区2018高三上期末）已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 12、（虹口区2019届高三一模）若复数sin i 1cos iz θθ-=（i 为虚数单位），则||z 的最大值为 13、（宝山区2019届高三上期末（一模））关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为12-3015⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += ．14、（奉贤区2019届高三上期末（一模））下列以行列式表达的结果中，与sin()αβ-相等的是（ ）A.sin sin cos cos αβαβ- B.cos sin sin cos βαβα C. sin sin cos cos αβαβ D. cos sin sin cos ααββ-15、（黄浦区2019届高三上期末（一模））已知三阶行列式123456789，元素8的余子式的值与代数余子式的值之和为16、（闵行区2019届高三上期末（一模））方程110322x =-的解为17、（浦东新区2019届高三上期末（一模））不等式2log 1021x >的解为18、（松江区2019届高三上期末（一模））若增广矩阵为1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组无解，则实数m 的值为19、（徐汇区2019届高三上期末（一模））若数列{}n a 的通项公式为*2()111n na n N n n=∈+，则lim n n a →∞=___________.20、（杨浦区2019届高三上期末（一模））在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+的零点是参考答案： 二、行列式1、－12、33、34、14[,]22ππ-+ 5、,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭6、37、－148、9、C 10、ｃ 11、－16012、1213、－8 14、C 15、0 16、2log 5x = 17、(4,)+∞ 18、－1 19、－1 20、－1。
(沪教版高二上)数学第九章矩阵和行列式初步
37
3) 0;
3n
5) 0
0
4) 1A2E;
3
0 0
0
1 0 ; 6) 0
0
4n
1 8
2) 4;
0 1 2 1 5 0 ; 0 0
2 1 0
三.
X 1 3 4.
1 0 2
谢谢观赏！
2020/11/5
40
kk
即 A k AAA 。规定 A0 E
k个
易证 AkAl Akl, Ak l Ak.l k,l为正整数
转置矩阵:
把 mn 矩阵
A 的行与列依次互换得到另
nm 一个
矩阵，称为
A 的转置矩阵，记作
AT
转置矩阵的运算性质
1A TTA ;
2 A B T A T B T ;
3kA TkT A ;
4 AT B B T A T .
对称阵:
A n 设 为 阶方阵，如果满足
，即.
AAT
a ij a jii,j 1 ,2 , ,n
A 则 称为对称阵.
反对称阵: 伴随方阵:
如果 ATA则矩 A称 阵为反.对称
A 设
是行列式
ij
A a ij 中元素
a 的代数 ij
余子式,称方阵
A 为方阵 的伴随方阵.
3 5 3
t
.
3) 已知
A 23 31 , f(x)x25x3,
则 f(A)
.
4 )若 n 阶A 矩 满阵 足 A 2 2 A 方 3 E 程 0 ,则
A1
.
3 0 0
5) 设A0 1 0,则An
.
0 0 4
0 0 2
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2013年暑期高二数学行列式初步§ 二阶行列式(1)——二阶行列式 一．引入观察二元一次方程组的解法，设二元一次方程组()()11122212a x b y c a x b y c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 用加减消元法来解，()()()211221122112b b a b a b x c b c b ⨯-⨯⇒-=-;;()()()121221122121a a a b a b y a c a c ⨯-⨯⇒-=-当12210a b a b -≠时，有12211221221122c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩.二. 定义二阶行列式及展开用记号1122a b a b 来表示算式122a b a b -,即1112222a b a b a b a b =-.说明:二阶行列式表示的是四个数的一种特定的算式|思考与运用 1. 解方程:3621x x =-.解:()231661204321x x x x x x orx x =⋅--=⇒--=⇒==-.2. 求函数()2212sin 22cos12xf x x =的值域.解: ()[]2222212sin 212sin cos 1sin cos 0,1222cos 12xx x f x x x x ⎛⎫==-=-=∈ ⎪⎝⎭. 3．行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ＝ad －bc ，则a ＝d ＝2，bc ＝－2时，取最大值为6.答案：6~三. 利用二阶行列式解二元一次方程组将1221c b c b -和1221a c a c -分别用行列式来表示,可以表示为1122c b c b 和1122a c a c ,即11220a b D a b =≠,1122x c b D c b =,1122y a c D a c =,于是上述二元一次方程组的解可以表示为xy D x DD y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(0D ≠).§ 二阶行列式(2)——作为判别式的二阶行列式一．练习与复习~(一)展开下列行列式: 1. 21111a a a --++()()()231111a a a a =-++-⨯-=;2.22cos sin cos sin 1sin cos θθθθθθ=--=--;3.5=;4.sin cos sin cos 2cos sin 2sin sin 2cos 2ααααααααα=-=-.(二)解下列方程组1. 12103214515x x y x y y ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩; 2.791313313312177135132x x y x y y x y⎧⎧⎧+===⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪=+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩;3. 231232x y x y +=⎧⎨+=⎩ 无解; 4.231462x y x y +=⎧⎨+=⎩无穷多解. )二. 作为判别式的二阶行列式通过加减消元法将二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩化为xy D x D D y D ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩,(1) 当0D ≠时,方程组有唯一解(2) 当0D =时,若x D ,y D 中至少有一个不为零,则方程组无解; 若0x y D D ==,则方程组有无穷多解. 感受与体验 P10 练习(2) 1; P10 习题 3 思考与运用例 解关于,x y 的二元一次方程组,并对解的情况进行讨论:1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩.【解: ()133m D m m m m==-+-,()11323x D m m m-==-++-,11323y D m m m -==+-+,当0D ≠,即0m ≠且3m ≠-时有唯一解11,x y m m==-; 当0m =时,0D =,而30x D =-≠,方程组无解;当3m =-时,0D =,且0x y D D ==,方程组有无穷多解. □三. 拓展与提高例1 已知三角形的三个顶点坐标分别为()0,0,()11,x y ,()22,x y ,试用行列式表示三角形的面积.()()1121212211111222S x y x x y y x y x y =++--- 【11222112112211111111222222x y x y x y x y x y x y x y =+-+--- ()111221221122x y x y x y x y =-=. □例2 （1）计算行列式2346、792127、34-912-的值； （2）从上述结果中得出一个一般的结论，并证明. 解: (1) 均为0; (2) 0a bka kb=,证明:0a bkab kab ka kb=-=.同理(0a ka b kb= □§ 三阶行列式(1)——三阶行列式的展开(1)一. 三阶行列式的概念用记号111222333a b c a b c a b c 表示算式123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++---,称为三阶行列式. 二. 三阶行列式的展开 (一) 按对角线展开]例 计算三阶行列式124221342D -=---.解: ()()()()122213424D =⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯-⨯()()()()11422242314-⨯⨯-⨯-⨯---⨯⨯-=-. 感受与体验 P12 练习(1)—(二)按一行(或一列)展开1. 余子式 把三阶行列式中某个元素所在的行和列划去,将剩下的元素按原来的位置关系组成的二阶行列式称为该元素的余子式. 例如1133a c a c 和1133a b a b 分别是111222333a b c a b c a b c 中元素2b 和2c 的余子式. 2. 代数余子式 把余子式添上相应的符号,某元素所在行列式中的位置第i 行第j 列,该元素的代数余子式的符号为()1i j+-例如()2211331a c a c +-和()2311331a b a b +-分别是111222333a b c a b c a b c 中元素2b 和2c 的代数余子式. 注：各元素代数余子式的符号如图所示:+-+-+-+-+3. 按一行(或一列)展开[111222111111333a b c a b c a A b B c C a b c =++112233a A a A a A =++=例 按第一行和第一列展开行列式124221342D -=---.解: 按第一行展开:124212122221124423234342D -⎛-⎫-=-=⋅+⋅-- ⎪----⎝⎭--14=-; 按第一列展开: 12421242422112314424221342D -⎛-⎫-=-=⋅-⋅--=- ⎪--⎝⎭--. 感受与体验 P15 练习(2) 1; 2 a 11a 22a 33a 12a 23a 31a 13a 21a 32a 11a 23a 32a 12a 21a 33a 13a 22]§ 三阶行列式(2)——三阶行列式的展开(2)一.复习按对角线或按一行（一列）展开三阶行列式的方法 完成练习 P21 习题 1 (用适当的方法) 二.例题与练习例1 若行列式0021040938k=,求k 的值. 解: 002108405938kk k ==⇒=.□例2 已知行列式11110211λλ-=-,求λ的值. 解: 2111134041211or λλλλλλ-=--=⇒==--. □ 】例3 已知()2112150f x x x=,若()0f x >,求x 的取值范围.解:()22211212121522527505550f x x x x x x x x x x x==-+=-+-=-+>()5,1,2x ⎛⎫⇒∈-∞+∞ ⎪⎝⎭. □例4 把下面的算式写成一个三阶行列式: (1)023*******22132313113312-----=-; (2)112211112233332233111x y x y x y x y x y x y x y x y x y -+=. (答案不唯一) □ 例5 验证三阶行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积之和为零. 解: 例如三阶行列式111222333a b c a b c a b c 的第二行元素222,,a b c 分别与第一行的元素111,,a b c 的代数余子式相乘,即222222212121222333333b c a c a b a A b B c C a b c b c a c a b ++=-+^2112222222223332222223330a b c b c a c ab a bc a b c b c a c a b a b c ==-+=. □例5 在直角坐标系中,不在一直线的三点:()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 依逆时针顺序排列. (1)探求用行列式表示ABC 的面积公式; (2)当,,A B C 三点依顺时针顺序排列式,ABC 的面积公式有何变化解: (1)记梯形,,EBCF EBAD DACF 的面积分别为123,,S S S ,()()()123321122S EB FC EF x x y y =+⋅=+-,同理有 ()()2121212S x x y y =+-,()()3313112S x x y y =+-,则 《()()()12323321331122112S S S S x y x y x y x y x y x y =--=---+-⎡⎤⎣⎦ 1122111122333322331111221x y x y x y x y x y x y x y x y x y ⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭ (2)11223311121x y S x y x y =-. [说明] 本例可得两个结论:(1) 定点坐标分别为()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 的ABC 的面积为11223311121x y S x y x y =; (2) 平面上三点()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 共线的充要条件为1122331101x y x y x y =. 三.布置作业§ 三阶行列式(3)——三元一次方程组的行列式解法/一. 复习二元一次方程组的行列式解法及解的情况的判别方法对于二元一次方程组xy D x D D y D ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩当0D ≠时,方程组有唯一解;当0D =时,若x D ,y D 中至少有一个不为零,则方程组无解;若0x y D D ==,则方程组有无穷多解.二. 三元一次方程组的行列式解法对于三元一次方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,记其系数行列式为111222333a b c D a b c a b c =, 用D 中第一列元素的代数余子式123,,A A A 依次乘以方程组的各方程,得11111111a A x b A y c A z d A ++=, 22222222a A x b A y c A z d A ++=, 33333333a A x b A y c A z d A ++=,…将上述三个等式相加,得()()()112233112233112233112233a A a A a A x b A b A b A y c A c A c A d A d A d A ++++++++=++，其中记111112233222333x d b c D d A d A d A d b c d b c =++=，则x D x D ⋅=,同理可得 y D y D ⋅=，z D z D ⋅=，于是方程组x y z D x D D y D D z D ⎧⋅=⎪⋅=⎨⎪⋅=⎩当0D ≠时有惟一解x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩.例 解三元一次方程组:632752215x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩.解: 1113129522D =-=,61171291522x D =-=,161372185152y D ==,116317275215z D =-=,1,2,3x y z ∴===. □\感受与体验 P19练习(3) 用行列式解下列方程组三. 当系数行列式0D =的情况当0D =时三元一次方程组可能无解,也可能有无穷多解.例 求关于,,x y z 的方程组13x y mz x mu z m x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有惟一解的条件,并在此条件下写出该方程组的解.解: ()()11111101111mD m m m m ==-+-≠⇒≠±-, 又()()111411311x mD mmm m ==-+--,()()31y D m m =---,()41z D m =-,…所以当1m ≠±时,方程组的解为43141x m y m z m ⎧⎪=⎪-⎪=⎨+⎪⎪=-⎪+⎩. □注意与二元一次方程组解的情况相区别。