离散傅里叶变换及其快速算法与应用共42页

第2章离散傅里叶变换和快速算法.ppt

真正的傅里叶变换有4种： CTFS给连续周期信号用， CTFT给连续非周期信号用， DTFS给离散周期信号用， DTFT给离散非周期信号用。
杨毅明第2章离散傅里叶变换和快速算法
2.1.1 离散傅里叶级数
离散傅里叶级数的定义：
X~ (k )

N 1 ~x (n)e
j 2 N
kn
n0
~x (n)
杨毅明第2章离散傅里叶变换和快速算法
2.2 利用DFT做连续信号的频谱分析
离散傅里叶变换可以用来分析连续时间信号的频谱，其原理如下：
这种方法存在如下问题：混叠，泄漏，栅栏效应，分辨率，周期效应。根据例6（书上63页）说明上面5个问题。
杨毅明第2章离散傅里叶变换和快速算法
clear;close all; f=10;a=4;T=1/(a*f);t=0:T:3; x=sin(2*pi*f*t); subplot(211);plot(t,x);xlabel('t/s');ylabel('x(t)'); N=length(t);n=0:N-1;k=n; W=exp(-j*2*pi/N*k'*n); X=W*conj(x'); subplot(212);stem(k,abs(X),'.');xlabel('k');ylabel('X(k)');
N 1 ~x1 (m) ~x2 (n rL m) RN (n)
m0
r

yL (n rL) RN (n) r
杨毅明第2章离散傅里叶变换和快速算法
yL(n)和yC(n) 的关系

yC (n) yL (n rL) RN (n) r

5_离散傅里叶变换与快速傅里叶变换

6 X (k ) X * (( N k )) N RN (k )，若 x(n) imagenary
2016/6/2 大连理工大学 26
• 【满足圆周共轭对称性的序列】
2016/6/2
大连理工大学
27
• 【圆周卷积和性质】
– 若： DFT x1(n) X1(k ), DFT x2 (n) X 2 (k )
* * 2 DFT x (( n )) R ( n ) X (k ) N N 1 * 3 DFTRe x(n) X ep (k ) X (( k )) X (( N k )) N RN ( k ) N 2 1 * 4 DFT jIm x(n) X op (k ) X (( k )) X (( N k )) N RN ( k ) N 2 5 X (k ) X * (( N k )) N RN (k ), 若 x(n) real
( n) 和 a k 分别表示周期性信号和频谱。 –定义新符号： x
–定义矩形序列符号 RN (n) 和
RN (k )
为
1, 0 n N 1 1, 0 k N 1 RN (n) 或 RN (k ) 0, 其它 n 0, 其它 k
( n) 和 a k –有限长序列 x(n) 和 ak 可以认为是周期性序列 x 的一个周期。
谱或系统的频率响应也是数字化的。 –实际应用中的信号总是有限时宽的、且为非周期的。希望信号频谱也是有限频宽、且非周期的。 –考察前面介绍的4种傅里叶级数或傅里叶变换，没有任
何一种能够满足这种需求。
–因此，发展新的傅里叶变换方法以适应数字信号处理实际应用的要求称为数字信号处理理论的一个重要任务。 –这就为DFT的发展提供了需求和动力。

第3章离散傅里叶变换及其快速算法

计算中，在DFT计算中，不论是乘法和加法，运算量均与计算中不论是乘法和加法， N2成正比。因此，N较大时，运算量十分可观。例成正比。因此，较大时运算量十分可观。较大时，计算N=10点的点的DFT，需要次复数相乘，，计算点的，需要100次复数相乘，而次复数相乘 N=1024点时，需要点时，点时需要1048576（一百多万）次复数乘（一百多万）如果要求实时处理，法，如果要求实时处理，则要求有很高的计算速度才能完成上述计算量。度才能完成上述计算量。反变换IDFT与DFT的运算结构相同，只是多与的运算结构相同，反变换的运算结构相同乘一个常数1/N，所以二者的计算量相同。乘一个常数，所以二者的计算量相同。
nk X (k ) = ∑ { Re [ x( n)]Re WN − I m [ x(n)]I m [WNnk ] n =0 N −1
(
+ j Re [ x(n)]I m
(
[ ] [W ]+ I
nk N
)
nk [ x( n)]Re WN } m
[ ])
又每个复数相加包括2个实数相加，所以，每计算一个 X（ k）要进行次实数相乘和次实数相乘和2N+2（ N-1） =2（ 2N-1）次实（）要进行4N次实数相乘和（）（）数相加，因此，整个DFT运算需要 2实数相乘和（2N-1）运算需要4N 实数相乘和2N（数相加，因此，整个运算需要）次实数相加。次实数相加。
虽然频谱分析和DFT运算很重要，但在很长运算很重要，虽然频谱分析和运算很重要一段时间里，由于DFT运算复杂，并没有得到运算复杂，一段时间里，由于运算复杂真正的运用，真正的运用，而频谱分析仍大多采用模拟信号滤波的方法解决，直到1965年首次提出年首次提出DFT运滤波的方法解决，直到年首次提出运算的一种快速算法以后，情况才发生了根本变算的一种快速算法以后，人们开始认识到DFT运算的一些内在规律，运算的一些内在规律，化，人们开始认识到运算的一些内在规律从而很快地发展和完善了一套高速有效的运算方法——快速付里变换（FFT）算法。FFT的出快速付里变换（方法快速付里变换）算法。的出现，使 DFT 的运算大大简化，运算时间缩短二个数量级，一～二个数量级，使 DFT的运算在实际中得到的运算在实际中得到广泛应用。广泛应用。

第四章离散傅里叶变换

• 设 ~x(n)为周期为 N 的周期序列 , 则其离
散傅里叶级数 (DFS) 变换对为 :
• 正变换
X~(k)
DFS[~x(n)]
N
1
~x (n)e
j
2 N
nk
N1 ~x (n)WNnk
• 反变换
n0
n0
•
~x (n)
其中:
IDFS [ X~ (k )]
1 N
x%2 m … 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 … 10 x%2 1 m … 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 … 8 x%2 2 m … 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 … 6 x%2 3 m … 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 … 10 x%2 4 m … 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 … 14 x%2 5 m … 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 … 12
解： y%(n) x%1(m)x%2 (n m)
m0
5
x%1(m)x%2 (n m)
m0
n m …-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 …
x%1 n / m … 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 … x%2 n / m … 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 … y%(n)
1.由非周期连续时间信号推出DFS
• X(t)经过抽样为x(nT),对离散的时间信
号进行DTFT得到周期连续频谱密度函
数。再经过抽样，得到周期性离散频
谱密度函数即为DFS.
x(t)
取样
x(t)
D T

第四章离散傅里叶变换及其快速算法PPT课件

因此， DFT与序列傅里叶变换的关系为
X(k) X(ej)2k X(ejkN ) N
N
2
N
即: X(K)也是X(ej)在w=2πkx/N(n处)e的采jn样值。如图所示
n
X(k)与X(e jω)的关系
X(ej)ej(N1)/2sisni(nN //22)
X
(k )
j3k
e8
sin( 2
对x((n))N进行DFS变换，得X((K))N。即 X((K))N=DFS[x((n))N]
取X((K))N的第一个周期的值，则得X（K） X（K）= X((K))NRN (k)
称 X（K）为有限长序列x(n)的离散傅立叶正变换DFT x(n)为X（K）的离散傅立叶反变换IDFT
N1
X(k)X((k))NRN(k)[ x((n))NWNkn]RN(k) n0
－
o
t
(a )
x p (t )
o Tp
x (n T )
(b ) t
N点
xp(n )
nT
(c)
|X a( j )| 1
－ 0
o
0
|X p ( jk )|
o
k
|X( ej)|
1/T
－
o
| X ( e jks)|
4.离散傅立叶级数
o N点
(d ) n
－
o
s
N点
图 4-1 各种形式的傅里叶变换
四种傅里叶变换形式的归纳
1)、将x(n)以N为周期进行周期延拓得x((n))N 2)、将x((n))N左移m位，得x((n+m))N 3)、取其主值序列x((n+m))N RN(N) 循环移位过程如图所示

离散傅里叶变换及快速算法

（5-5）
W e N
j
2 N
的性质:
正交性，周期性，
共轭对称性（偶序列），可约性。
§5．离散傅里叶变换及快速算法
1.离散傅里叶级数
1.2离散傅里叶级的计算
例5-1 求出下面周期序列的DFS
x(n) 0 ,1,2,3, 0 ,1,2,3, 0,1,2,3
n0
为改进嵌套循环计算的效率，将循环结构改为矩阵形式计算
§5．离散傅里叶变换及快速算法
0.概述
离散时间傅里叶变换(DTFT)是通过周期频谱来描述一个离散信号序列，即DTFT是连续变量w的连续函数。离散傅里叶变换(DFT)则是针对有限长序列，是对DTFT采样后得到的离散序列。此种表示方法非常有利于数值计算以及数字信号处理算法的DSP硬件实现。本章将研究离散傅里叶级数，离散傅里叶变换 (DFT)，及离散傅里叶变换的快速算法FFT。
（5-3）
n0
称之为离散傅里叶级数DFS的系数。是一个基波周期为N的周期序列。
X (k) X (k N)
§5．离散傅里叶变换及快速算法
W e 在DFS变换中引入复数 N
j
2 N
将DFS正反变换描述为
N 1
X (k) x(n)WNnk
n0
x (n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
x
1 N
WN* X
WN WNkn 0
k,n
N
1
1 1
1
WN1
1
W ( N 1) N
1
W ( N 1) N

数字信号处理第三章离散傅里叶变换DFTppt课件

2 N
kn
n
xN (n) IDFT[ X (k)]
x(n)与xN (n)的关系？
26
离散傅里叶变换（DFT）
xN (n)
~
x(n)
~
X (k)
X (k)
~
x(n)
~
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1 ~
X (k )WNkn
k 0
1 0
1 N
N 1
[
如果序列x(n)的长度为M ,则只有当频域采样点数 N M时，才有xN (n) IDFT[ X (k)] x(n)
28
离散傅里叶变换（DFT）
[例] 已知 x(n) R8 (n) ，X (e j ) FT[x(n)] 对 X (e j )
采样得
X (k)
X (e j )
, k
2 6
k
1 N
N 1
X1(l) X 2 ((k
k 0
l))N
RN (k)
1 N
X1(k)
NX 2 (k)
1 N
N 1
X 2 (l) X1((k
k 0
l))N RN (k)
1 N
X 2 (k )
NX 1 (k )
22
离散傅里叶变换（DFT） 4.复共轭序列的DFT
X (k) DFT[x(n)]
证明： DFT[x(n)] X (N k)且X (N ) X 0
第三章离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换的定义
主
离散傅里叶变换的基本性质
要
内
容
频率域采样
DFT的应用举例
2

离散傅里叶变换及其快速算法与应用44页PPT

46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
离散傅里叶变换及其快速算法与应用
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯

第四章离散傅里叶变换及其快速算法

离散连续
周期延拓非周期

4.1 离散傅里叶变换的定义
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN , n 0 N 1 N 1 n 0 2 kn N
= x ( n )e
j
k=0, 1, , N-1
X ( k )WN kn k 0 N 1
1 x(n) IDFT [ X (k )] N 1 N
4 N
x D1X N
W N ( N 1 ) 2 ( N 1 ) WN W N ( N 1 )( N 1 ) 1
1
D
1 N
W N 2 ( N 1 )
1 DN N
dftmtx(N) 函数产生N×N的DFT矩阵DN conj(dftmtx(N))/N 函数产生N×N的IDFT矩阵DN-1
二、圆周移位性质
1. 序列的圆周移位 x(n)的圆周移位定义为
y(n)=x((n+m))N RN(n) 其过程为: 1)、将x(n)以N为周期进行周期延拓得x((n))N 2)、将x((n))N左移m位，得x((n+m))N 3)、取其主值序列x((n+m))N RN(n) 循环移位过程如图所示
WNN 1

2 WN ( N 1)
WNN 1 2 WN ( N 1) ( WN N 1) ( N 1)
DFT
IDFT矩阵形式为
1 1 1 W 1 N 1 D 1 1 W N 2 N N 1 W N ( N 1 ) 1 W N 2 W
0 n N `1 0 k N `1
DFT 则： x1 (n) x2 (n) X1 ( K ) X 2 ( K )