电子科技大学大学物理杨宏春 刚体力学 杨宏春

刚体力学·角动量定理 (3) 适用条件。其适用条件仍然是惯性系 (4) 角动量定理中的力矩只有外力矩
(5) 角动量守恒定律：当外力冲量矩的矢量和为零时，角动量保持不变
I 2 ω2 I 1ω1
例3.2.1 当 I1=I2 时， 0 ，刚体做匀角速度转动
I 当 I 变化时， 2 1 现象解释 I1 2
Ic 过质心转轴的转动惯量，l 是与过质心转轴平行、相距为 l 另一转轴 证明
I V r 2dm V ( r r )dm 2 2 V ( rc l ) ( rc l )dm V ( rc 2l rc l )dm I c ml 2l V rc dm
j
刚体绕固定z 轴转动 ai ri
Fi sin i f ji sini dmi ri i
j
将上式两边同时乘以 ri 并利用矢量矢积的定义有 2 ri Fi ri f ij dmi ri
j
z
考虑刚体中所有质点、力矩的定义以及内力 ri f ij rj f ji 上式成为
力臂：力与转轴的距离
力矩：力与力臂的矢积
M r F
或
ex M x Fx
ey y Fy
ez z Fz
(3) 保持刚体转动状态的参量——转动惯量 参下节内容
刚体力学·刚体转动定理 3.1.2 绕固定转轴转动的刚体转动定理 (1) 物理模型
z Fi F Fiy iz Fix o y x
I 1 V r 2dm 1 ml 2 sin2 3
刚体力学·刚体转动定理 三个小球的转动惯量 系统的转动惯量 例3.1.4 转动惯量的平行轴定理
I 2 m ri 7ma 2
2 i
I I 1 I 2 7ma 2 1 ml 2 sin2 3
I I c ml 2
I V r 2dm V ( r r )dm V ( xe x ye y ) ( xe x ye y )dm
V ( x 2 y 2 )dm I x I y
o x
例3.1.6 求均匀分布、质量为 m 的球体绕其直径作定轴转动的 I
o 并用力往下拉住。设开始时小球以0 绕孔o 作半径 r 的匀速圆周运动, 现在向下缓慢拉绳，直到小球作圆周运动的半径为 r/2 止
求：这一过程中拉力的功
解：绳的拉力的作用线通过 o 点，对 o 点的角动量守恒
mr 2 0 m( r / 2)2 4 0
刚体力学·角动量定理 由动能定理，拉力的功为
一轻绳一端缠绕于m1上，另一端经 m2 链接 m=10 kg 的物体 求：物体 m 由静止开始下落 h=0.5 m 时，物体的速度及 绳的张力 解：各物体受力情况如图所示
1 m1： T1 R m1 R 2 1 2 1 m 2： T2 r T1 r m 2 r 2 2 2
m： mg T2 ma
a R 1 r 2，v 2 2ah
刚体力学·刚体转动定理 求解联立方程，代入数据，可得
v 2m / s， T1 48 N，T2 58 N
例3.1.9 质量为 m、长为 l 的均匀细棒 AB，可绕水平光滑轴 o 在竖直平面内 转动，o 轴离 A 端的距离为 l/3，棒从静 止开始由水平位置绕 o 轴转动 求：棒转过角 时的角加速度和角速度。 解：各物体受力情况如图所示
y
解：由
I V r 2dm
dm dl
o
r dm
m
在杆上 l 处任取微元 dm

x
而杆的总长度
0
l0 m

l 3 I V r 2dm 0 ( l sin )2 dl 1 sin2 ( l0 ) 1 ml 2 sin2 3 3
例3.1.3 杆上等间距地套上三个质量都等于杆的质量的小球，系统定轴转动 求：系统的转动惯量 解：杆的转动惯量
讨论：冲量矩的讨论完全类似于冲量的讨论，(略，自己补充) (2) 角动量定理与角动量
dJ Mdt d( Iω)
t J t Mdt I 2 ω2 I 1ω1
2 1
其中，I1、1 和 I2、2 分别表示始末状态的转动惯量与角速度 定义刚体绕定轴转动的角动量

3g cosd 2l
积分得
3 g sin l
例3.1.10 质量为 m、半径为 R 的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴 以 o 转动。现将盘置于摩擦系数为的 µ 粗糙水平桌面上 求：圆盘经多少时间、转几圈将停下来？ 解：摩擦力分布在整个盘面上，取半径为 r、宽为dr 的微元，摩擦力矩为
L Iω
刚体力学·角动量定理 于是
dJ dL
J L2 L1
讨论：关于角动量与角动量定理 (1) 角动量的其它表述形式
因 于是
r ω 2 v r dJ d( mr v) dL
即角动量可以定义为 L mr v 角动量的普遍定义式
z
ri o rj x fji
Fi
y
绕定轴转动刚体受力分析
切向分力影响刚体转动状态
对固定转轴刚体，只有分解到 xoy 平面的切向的分力，才影响转动状态
刚体力学·刚体转动定理 (2) 绕定轴转动的刚体转动定理
设位矢 ri 的质点受到质点 j 内力 fji，受到合外力为 Fi，由牛顿第二定律
Fi sin i f ji sini dmi ai
刚体力学·刚体转动定理
T1 T1 m2
解：用隔离体法 对m 对柱 解得
m1
mg T ma TR I， a R T Mmg /(2m M )
T2
mg
2mg /[(2m M ) R]
例3.1.8 可绕水平光滑轴转动的匀质圆盘质量分别为 m1=24 kg ， m2=5 kg，
i 2
y m
2 2 2 2 2 2 2 I m a 2 a 3 a 7 ma 2 2 2
a o x
刚体力学·刚体转动定理 例3.1.2 线密度为 、质量为 m 的均匀细杆与转轴的夹角为 求 其转动惯量
(2) 冲量矩、角动量与角动量定理的矢量性与独立性
t t t J J x e x J y e y J z ez t M x dte x t M y dte y t M z dtez
2 2 2 1 1 1
2 2 J Jx Jy J z2
l M o mg cos 6 1 l 1 I o ml 2 m ( ) 2 ml 2 12 6 9

Mo 3g cos Io 2l
刚体力学·刚体转动定理
又因


d d d d 3 g cos dt d dt d 2 l

所以
0 d 0
课后作业：一些常见物体的转动惯量计算 (参教材 p99-p100)
3.1.4 绕定轴转动的转动定理的应用 例3.1.6 电风扇开启电源经 t1 达到额定转速0，关闭电源时经 t2 停止；设电
风扇的转动惯量为 I，且电机的电磁力矩与摩擦力矩为恒量 求：电机的电磁力矩 解：设电风扇的电磁力矩、摩擦力矩分别为 M、Mf 电风扇开启时受电磁力矩与摩擦力矩的作用，即
1 m 1 1 m R 2v [ mR 2 ( R ) 2 ] 0 mR 2 ( ) 2 ( ) 2 10 2 2 10 2 R
解出
0
0
2v 21R
R/2
刚体力学·角动量定理
(2) 欲使盘静止，令 得
0
v
2v 0 21R
21 R 0 2
负号表示人的运动方向与 0 方向相同 例3.2.3 细绳一端系有置于水平桌面、质量 m 的小球，另一端穿过桌面小孔
刚体力学·刚体转动定理
M M f I 1
M
R
当电风扇达到额定转速时
0 1 t1
T
电风扇关闭过程中，只受到摩擦力矩的作用，即
M f I 2
达到停止时
mg
0 2 t 2 0
M I 0 ( 1 1 ) t1 t 2
解此联立方程组，得
例3.1.7 质量为 M、半径为 R 的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平定 轴转动；柱边缘绕有一根不能伸长的细绳下端挂一质量为 m 的物体 求：柱体的角加速度及绳中的张力
2百度文库
Ic l
I r l
质心坐标求解方法
rc V rdm
I I c ml
2
Ic是过质心转轴的转动惯量
rc
刚体力学·刚体转动定理 例3.1.5 垂直轴定理：平面薄板刚体对垂直于平面任一转轴的转动惯量，等 于刚体对在平面内并与该垂直轴相交的任二正交轴转动惯量之和
I Ix Iy
证明
z
y
1 r 1 3 2 2 A m ( ) 2 2 mr 2 0 mr 2 0 2 2 2 2
例3.2.4 质量、半径分别为 M1、M2 和 R1、R2 的两均匀圆柱各自绕相互平行
中心轴转动，开始时角速度分别为1、2，现将它们缓慢移近并接触
求：两圆柱在它们相互间摩擦力作用下所达到的最终角速度 解：在两圆柱体之间的摩擦力作用下，最终线速度相等
刚体力学·角动量定理 3.2.2 角动量定理的应用
例3.2.2 匀质园盘 (m、R) 与一人(m/10，视为质点) 一起以角速度 0 绕通过其
盘心的竖直光滑固定轴转动，如果此人相对于盘以速率 v、沿半径为 R/2 的园周运动 (方向与盘转动方向相反)
求 (1)圆盘对地的角速度
(2)欲使园盘对地静止，人相对园盘的速度大小和方向？ 解：系统：圆盘+人
力学 · 刚体力学
授课教师 杨宏春
力学·内容结构 力学的内容结构体系
刚体力学·刚体转动定理 3.1 力矩的瞬时效应——刚体转动定理 3.1.1 描述刚体力学的物理参量
(1) 描述刚体转动的角参量
角参量 (角位移、角速度、角加速度)；线参量与角参量的关系 (参第 1 章) (2) 改变刚体转动状态的参量——力矩
3 o R Δ o N 2π 2 16πg
2 2
刚体力学·角动量定理 3.2 力矩的时间累积效应——角动量定理 3.2.1 描述力矩时间累积效应的物理参量 (1) 冲量矩 力矩在时间上的累积矢量，称为冲量矩 记
dJ Mdt
或
t J t Mdt
2 1
ri o rj x fji
Fi
y
M i dmi ri
2 i i
当微元趋于无限小时
M V r 2dm
刚体力学·刚体转动定理 定义转动惯量
I V r 2dm
M I
绕定轴转动的转动定理
A 转动惯量的物理意义：保持刚体原有转动状态惯性的量度
B 绕定轴转动的转动定律适用条件：惯性系 3.1.3 刚体转动惯量的计算 例3.1.1 质量相等的三小球等间距分布在x-y平面角平分线上并绕 y 轴转动 求：系统的转动惯量 解：由 I mi ri
M 0 r g
R
m 2 2 π r d r mgR 2 πR 3
刚体力学·刚体转动定理
转动惯量
于是得
1 I mR 2 2

M 4 g I 3R
0 t 0
t
0 3 R 0 4g
又由 2 02 2 ，所以停下来前转过的圈数为
解：球体的质量密度 采用球坐标系
m 3m 3 V 4 πR
dm dV r 2 sindddr
刚体力学·刚体转动定理
I V r 2dm V ( r sin )2 r 2 sindrdd 2π r 4 sin3 drd
2πR 5 π 8πR 5 2mR 2 2 (1 cos )d cos 0 5 15 5