离散数学ch2

将量词辖域中某个约束出现的变元及相应的指导变元改成辖域中末曾


3.自由变元的代入 替换规则:
出出过的变元,公式中其余部分不变. xy(P(x,y)∧Q(y,z))∧xP(x,y) 改名为 xt(P(x,t)∧Q(t,z))∧xP(x,y)
自由变元的代入用公式中未曾出现的变元去代入该自由出现的变元且
2-4变元的约束
1.辖域 自由出现

约束出现
设α是公式,含有子公式xP(x) 则x中x的称为指导变元 P(x)称为量词x的辖域 P(x)中出现的变元x称为约束出现 若x的出现不是约束的称为自由出现
例:指出下列各公式中的指导变元,量词的辖域,变元的自由出现 和约束出现.
(1) (2) (3)
第二章 谓词逻辑
命题逻辑的特点和局限性

命题是命题演算的基本单位 不再对简单命题进行分解 无法研究命题的内部结构及命题之间内在的联系 在推理方面存在局限性
著名的＂苏格拉底三段论＂
凡人都是要死的. 苏格拉底是人. 所以苏格拉底是要死的.

若用P,Q,R表示上述三个命题
(P∧Q)R表示上述推理,

3.并非每个实数都是有理数.
令:R(x):x是实数. Q(x):x是有理数. 则命题可符号化为: x(R(x)→Q(x)) x(R(x)∧Q(x))
4.尽管有些人聪明,但不是所有人聪明.
令:M(x):x是人. P(x):x聪明. 则命题可符号化为: x(M(x)∧P(x))∧x(M(x)→P(x))
2.项的递归定义如下:
(1)客体常元、客体变元是项; (2)若f是n元函数,t1,t2,…,tn是项,则f(t1,t2,…,tn)是项; (3)只有有限次使用(1)和(2)生成的符号串才是项.
3.原子公式 4.合式公式(简称为公式)
设R是n元谓词, t1,t2,…,tn是项,则R(t1,t2,…,tn)是原子公式.
5.没有一个耗子比任何象重.
令H(x):x是耗子; E(x):x是象; P(x,y):x比y重. 则命题可符号化为: x(H(x)∧y(E(y)→P(x,y))) xy(H(x)∧E(y)→P(x,y)) xy(H(x)∧H(y)∧P(x,y))
6.极限定义的符号表示.
Kimx→af(x)=b εδ((ε>0→δ>0)∧x(|x-a|>0∧|x-a|<δ→|f(x)-b|<ε)
但它不是有效推理. 无法判断＂苏格拉底三段论＂的正确性

其原因在于P,Q,R没有反映它们内在的联系.
需将简单命题做进一步的分析,分析出其中 的个体词,谓词,量词等,研究它们的形式结构 及逻辑关系,总结出正确的推理形式和规则. 这也就是谓词逻辑(一阶逻辑)所研究的内容 本章学习

谓词逻辑的基本概念
(4)

x(P(x)→Q(x)) x(P(x)→yR(x,y)) xy(P(x,y)∧Q(y,z))∧xP(x,y) x(P(x)∧xQ(x,z)→y(R(x,y))∨Q(x,y)
(3)中的y变元既自由出现,又约束出现 (4)中的x和y变元既自由出现,又约束出现

2.约束变元改名 换名规则:
(2)量词与之间的关系

对于任意公式A(x):
xA(x) xA(x) xA(x) xA(x) xA(x) xA(x)
xyH(x,y) yxH(x,y)
xA(x) A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)
H(x,y): x+y=5
例1:将下列命题符号化

1.凡是有理数都可写成分数

2.教室里有同学在讲话
令谓词Q(x):x是有理数 F(x):x可写成分数 则命题符号化为：(x)(Q(x)F(x)) S(x):x在教室里 T(x):x在讲话， 则符号化为：(x)(S(x)∧T(x))
用小写英文字母a,b,c,…表示

客体变元：表示抽象的或泛指的客体
用小写英文字母x,y,z,…表示

个体域(论域)：客体变元的取值范围
论域可为有限集，可为无限集 全总个体域
与谓词相关的概念

谓词常元：表示具体性质或关系的谓词 谓词变元：表示抽象的或泛指的谓词 例:
用大写的英文字母表示 F: …比…高2厘米 3比2高2厘米 记作: F(3,2)
(1)原子公式是合式公式; (2)若A是合式公式,则(A)也是合式公式; (3)若A,B是合式公式,则(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B)也是合式公式; (4)若A是合式公式,则(xA(x)), (xA(x))也是合式公式; (5)只有有限次地使用(1)至(4)构成的符号串是合式公式.
任何人都能做哪件事. 有些人活百岁以上.

对应日常语言中＂一切＂,＂所有的＂,＂任意的＂ x表示对个体域里的所有个体

对应于日常语言中＂存在着＂,＂有一个＂,＂至少有一
个＂ x表示存在个体域里的个体
带量词命题的符号化

例:
(1)任何人都能做哪件事. (2)有些人活百岁以上. 解: D(x): x能做哪件事 G(x): x活百岁以上 假设个体域是人类的集合 (1)符号化为xD(x) (2)符号化为xG(x) 若个体域是全总个体域 需引进新的谓词 M(x):x是人. (1)符号化为x(M(x)→D(x)) (2)符号化为x(M(x)∧G(x))
谓词逻辑合式公式及其解释
谓词逻辑等值式 谓词逻辑推理理论
2-1谓词的概念与表示

简单命题分解成客体(个体词、主词) 和谓词 客体:
可以是具体的事物,也可是抽象的概念
例, 李明,黑板,自然数,思想,定理等都是个体词

谓词:用来刻划客体的性质或客体之间关系的词语 例:在下面三个简单命题中:
DN={1,2,3,…} DN上的加法是f的解释 DN上的相等关系是A的解释 (*)的含义: 对所有x,y∈DN,并非对所有z 有x+z≠y． 即对所有x,y∈DN,存在z有 x+z=y． 在此解释下,(*)是假命题.


定义解释I:
DI是正有理数集 DI上的乘法是f的解释 DI上的相等关系是A的解释 (*)的含义: 对所有x,y∈DN,并非对所有z 有x.z≠y． 即对所有x,y∈DN,存在z有 x.z=y． 在此解释下,(*)是真命题.
使用量词时的注意点

在不同的个体域中,命题符号化的形式不一样. 若事先没给出个体域,应以全总个体域为个体域. 当个体域是有限集时,如D={a1,a2,…,an},对任意 谓词A(x),有:
xA(x) A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)

多个量词同时出现时,不可随意颠倒它们的次序.
2.永真 可满足 等价

定义2-5.1~2-5.4
设A是一公式,如果A在任可解释下都是真的,
则称A为永真的(逻辑有效的). 设A是一公式,如果A在任可解释下都是假的, 则称A为永假的(矛盾的). 若存在一解释使A为真,则称A为可满足的. 设A,B为公式,若A↔B为永真的, 则称A与B是等价的.记为AB. 设A,B为公式,若A→B为永真的, 则称A蕴涵B.记为AB.
处处代入. xy(P(x,y)∧Q(y,z))∧xP(x,y) 代入后 xy(P(x,y)∧Q(y,z))∧xP(x,t)


换名规则与替换规则均可达到将同一公式中变元调整为不会 既自由出现又约束出现. 不同点是: 实施的对象不同,范围不同,结果的形式不同
2-5谓词演算的等价式与蕴涵式
所谓一阶逻辑的“一阶”的含义就是指其中的量词只能作
用在个体上
给定下述谓词,将下列公式翻译成自然语言
P(x): x是素数E(x): x是偶数 Q(x): x是奇数 N(x, y): x可以整除y

(1) P(5) (2)(x)(N(2, x)E(x)) (3)(x)(E(x) N(2, x)) (4)(x)(P(x)(y)(Q(y)N(y, x)))
(1)命题公式的推广

代换实例 设A0是含命题变元P1,P2,…,Pn的命题公 式, A1,A2,…,An是谓词公式.用Ai(1≤i≤n) 处处代换Pi, 所得公式A称为A0的代换实例.
命题公式中的重言式代换实例在谓词逻辑中是逻辑有效的,
仍称为重言式. 命题公式中的矛盾式代换实例在谓词逻辑中是永假的,仍 称为矛盾式. 命题演算中的等价公式表和蕴涵公式表可推广在谓词演算 中.

谓词填式： 注
谓词字母后填以个体所得的式子． 常称为谓词.
谓词中所含个体的数目称为该谓词的元数

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

多元谓词个体填入的顺序有关
一元谓词,二元谓词,…n元谓词 一元谓词刻划个体的性质，n元谓词刻划个体间的关系 0元谓词看成是命题
2-2命题函数与量词


简单命题函数: n元谓词P(x1,x2,…,xn)是以个体变元 x1,x2,…,xn的个体域为定义域，以{0,1}为值域的n元 函数. 复合命题函数 谓词与命题的关系
2-3谓词公式的定义
1.符号表
(1)客体常元:a,b,c,…,ai,bi,ci,…,i≥1; (2)客体变元:x,y,z,…,xi,yi,zi,…,i≥1; (3)函数符号:f,g,h,…,fi,gi,hi,…,i≥1; (4)谓词符号:F,G,H,…,Fi,Gi,Hi,…,i≥1; (5)量词符号:, (6)联结词:,∧,∨,→, ↔ (7)括号和逗号:(, ), 注: 在一阶逻辑中还可描述对个体所进行的某种变换，即引入所谓函词
一般P(x1,x2,…,xn)不是命题 例:R(x):x是大学生.
R(x)的真假与讨论范围密切相关
P(x,y)解释为:x小于y
例:(P(x,y)∧P(y,z))→P(x,z)
P(x,y)解释为:x是y的儿子
P(x,y)解释为:x距离y10米
量词

有些命题除了表示个体词和谓词外,还有表示数量的 词,称为量词 例: 量词的种类: 全称量词 用符号＂＂ 存在量词 用符号＂＂
例如命题：的平方是非负数. a: , f(x)=x2, R(x):x>0. 符号化为:R(f(a)) a: , R(x):x>0, P(x,y):x是y的平方. 符号化为: y(P(y,a)∧R(y))

函词与谓词不同
函词作用在个体上，而产生另一个个体 而谓词作用在个体上之后产生的是一个命题
1.解释(赋值)
一个解释I由下面四部分组成: (1)非空的个体域D (2)D中特异的元素 (3)D上函数 (4)D上谓词
当用一个解释去解释一个A公式时,将A中的客体
常元用D中的特异元素,函数符号和谓词用D上的 函数和谓词代.
例:考察公式xyz(A(f(x,z),y)) (*)
定义解释N:
7.每个自然数n都有后继数n+1.
令F(x):x是自然数.
H(x,y):y是x的后继数. 则命题可符号化为： x(F(x)→y(F(y)∧H(x,y)))

8.对于任意的x, y，都存在唯一的z，使得x+y=z .
符号化为： (x)(y)(z)((x+y = z)∧(u)((u = x + y) (u = z)) )

例：
(*)是可满足的; xA(x)→xA(x)永真; xA(x)→BxA(x)∨B
3.常用的等价和蕴涵式
(1) (2)
(3)
(4) (5) (6)
命题公式的推广 量词与之间的关系 量词作用域的扩张和收缩 量词与命题联结词之间的一些等价式 量词与命题联结词之间的一些蕴涵式 多个量词的使用
3是无理数. 王宏是程序员. 小李比小王高2厘米．
客体：３, 王宏, 小李,小王 谓词: ＂…是无理数＂， ＂…是程序员＂，＂…比…高2厘米＂ ＂…是无理数＂， ＂…是程序员＂刻划个体的性质 ＂…比…高2厘米＂表示客体与客体之间的关系

与客体相关的概念

客体常元：表示具体的或特定的客体