离散数学ch2

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数理逻辑

– Ex.6 {A B, ~A B}┣B
Ch2. 形式命题演算
2.2 完备性定理 (The Adequacy Theorem for L)
– Proposition 2.14 可靠性定理(The Soundness Theorem):L的定理都是重言式 – 证明思路: L的三条公理可靠推演规则(三段论)可靠由归纳法可知,L的所有定理可靠
Ch2. 形式命题演算
– Remark: 演绎定理的逆定理是平凡的: – 若有Г┣A B则一定有Г∪{A}┣A B – 同时显然有Г∪{A}┣A – 使用一次MP就可以得到Г∪{A}┣B
Ch2. 形式命题演算
– Corollary 2.10 {(A B), (B C)}┣(A C)
(HS, (1) (2) (3) (4) (5) Hypothetical Syllogism,假言三段论) (A B) assumption (B C) assumption A assumption B (1),(3)MP C (2),(4)MP
Ch2. 形式命题演算
– Lemma:设∑是命题变元或其否定形式的集合, 对于任何一个真值赋值v,令其对应的∑为: 若v(pi) = T则令pi∈∑, 否则~pi∈∑ – v(A)=T则∑┣A, v(A)=F则∑┣(~A) – 证明: 施归纳法于A的结构归纳奠基若A为命题变元pi,则显然正确归纳奠基: 归纳证明根据A的构成方法分两种情况: 归纳证明:
Ch2. 形式命题演算
问题起源:当命题形式的连接词过多时,我们的直觉并不一定很准确,希望建立一个简单的系统来对应直觉.这也符合我们计算机的思维. "如果A不正确蕴涵正确那么一定正确" 不正确蕴涵A正确那么一定正确" 如果不正确蕴涵正确那么A一定正确

离散数学ppt课件

02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念，是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同的、可区分的对象组成的整体。这些对象称为集合的元素。例如，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}，使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的应用，如计算机通信网络、控制系统、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的应用，掌握离散数学的知识和方法对于解决实际问题具有重要的意义。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思维能力和问题解决能力，对于个人的思维发展和职业发展都有很大的帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一种更有效的表示图的方法，它使用链表来存储与每个节点相邻的节点。

离散数学ch2.二元关系(5、6、7节)

VS
详细描述
关系的对称差运算可以用符号表示为 R△S，其中 R 和 S 是两个关系。它包括属于 R 但不属于 S，以及属于 S 但不属于 R 的所有有序对。如果 (a, b) 在 R△S 中，那么 (a, b) 或者只属于 R，或者只属于 S。
04
CATALOGUE
关系的闭包
闭包的定义
1 2
关系的交运算可以用符号表示为 R ∩ S，其中 R 和 S 是两个关系。它包括同时属于 R 和 S 的所有有序对。如果 (a, b) 在 R ∩ S 中，那么 (a, b) 同时是 R 和 S 的差是一种集合差集操作，它从第一个关系中去除与第二个关系共有的元素。
中可以推导出的新事实。
数据完整性
03
在数据库设计中，闭包的概念用于确保数据的完整性和准确性
，防止出现冗余和不一致的情况。
05
CATALOGUE
关系的类型
函数关系
总结词
函数关系是一种特殊的二元关系，它满足每个自变量都有唯一的因变量与之对应。
详细描述
在函数关系中，对于定义域中的每一个元素，在值域中都有唯一一个元素与之对应。这种关系具有明确性、确定性和无重复性。常见的函数关系有数学函数、映射函数等。
离散数学ch2.二元关系(5、6、7节)
contents
目录
• 引言 • 二元关系的性质 • 关系的运算 • 关系的闭包 • 关系的类型 • 关系在数据库中的应用 • 关系在人工智能中的应用
01
CATALOGUE
引言
定义与概念
定义
二元关系是集合论中的一个基本概念，它描述了两个元素之间的联系。
在设计关系型数据库时，需要考虑数据结构、数据完整性、数据冗余和数据安全性等方面。

考试必备离散数学定理总结

2.8、C1∧C2≈Res(C1,C2)2.10、（消解的完全性）一个合取范式是不可满足的当且仅当它有否证.3.1、由命题公式A1, A2, …, Ak推B的推理正确当且仅当A1∧A2∧…∧Ak→B为重言式.（推理正确不能保证结论一定正确）4.1、闭式在任何解释下都是命题5.1、（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式6.1、空集是任何集合的子集。

（推论：空集是唯一的）6.2、（包含排斥原理）设集合S上定义了n条性质，其中具有第i 条性质的元素构成子集Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为：6.3、德摩根律：A-(B⋃C)=(A-B)⋂(A-C)A-(B⋂C)=(A-B)⋃(A-C)~(B⋃C)=~B~⋂C~(B⋂C)=~B~⋃C7.9、设R为A上的关系, 则(1) R 在A上自反当且仅当IA ⊆R(2) R 在A上对称当且仅当R=R^(-1)(3) R 在A上传递当且仅当R︒R ⊆R7.10、设R为A上的关系, 则有(1) r(R)=R∪R^0(2) s(R)=R∪R^(-1)(3) t(R)=R∪R^2∪R^3∪…9.1、设◦为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的左和右单位元，则el = er = e为S上关于◦运算的惟一的单位元.9.2、设◦为S上的二元运算，θl和θr分别为S中关于运算的左和右单位元，则θl = θr = θ为S上关于◦运算的惟一的零元.9.3、设◦为S上的二元运算，e和θ分别为◦运算的单位元和零元，如果S至少有两个元素，则e≠θ.9.4、设◦为S上可结合的二元运算, e为该运算的单位元, 对于x∈S 如果存在左逆元yl 和右逆元yr, 则有yl = yr= y, 且y是x 的惟一的逆元.10.2、G为群，∀a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有惟一解. （G中适合消去律）10.3、G为群，a∈G且|a| = r. 设k是整数，则(1) a^k = e当且仅当r | k(r整除k)(2 )|a^-1| = |a|10.4、（子群判定定理一）设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当(1) ∀a,b∈H有ab∈H(2) ∀a∈H有a^-1∈H.10.5、（子群判定定理二）设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab^-1∈H.10.6、（子群判定定理三）设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab∈H.10.7、设H是群G的子群，则He=H，∀a∈G有a∈Ha10.8、设H是群G的子群，则∀a,b∈G有：a∈Hb ⇔ab-1∈H ⇔Ha=Hb10.9、设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：∀a,b∈G, <a,b>∈R ⇔ab-1∈H则R是G上的等价关系，且[a]R = Ha.推论：设H是群G的子群, 则(1) ∀a,b∈G，Ha = Hb或Ha∩Hb = ∅(2) ∪{Ha | a∈G} = G10.10、（Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则：|G| = |H|·[G:H]其中[G:H] 是H在G中的不同右陪集(或左陪集) 数，称为H在G 中的指数.推论1：设G是n阶群，则∀a∈G，|a|是n的因子.推论2：对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G = <a>.10.11、（循环群的生成元）设G=<a>是循环群. ：(1) 若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a-1.(2) 若G是n 阶循环群，则G含有φ(n)个生成元. 对于任何小于n且与n 互质的数r∈{0,1,…,n-1}, ar是G的生成元.10.12、（循环群的子群）设G=<a>是循环群.(1) 设G=<a>是循环群，则G的子群仍是循环群.(2) 若G=<a>是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无限循环群.(3) 若G=<a>是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d 阶子群.14.1、（握手定理）在任何无向图中，所有顶点的度数之和等于边数的2倍.14.2、（握手定理）在任何有向图中，所有顶点的度数之和等于边数的2倍；所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和，都等于边数.推论：任何图(无向或有向) 中，奇度顶点的个数是偶数.14.5、在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vi≠vj）存在通路，则从vi 到vj 存在长度小于或等于n-1 的通路.推论：在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vi≠vj）存在通路，则从vi 到vj 存在长度小于或等于n-1的初级通路（路径）.14.7、对任意无向图G中，有：κ(G)λ≤(G)δ≤(G)14.8、D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路14.9、D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路14.10、无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇圈15.1、无向图G是欧拉图当且仅当G连通且无奇度数顶点.15.2、无向图G是半欧拉图当且仅当G 连通且恰有两个奇度顶点.15.5、G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且是若干个边不重的圈的并.15.6、设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1⊂V且V1∅≠，均有p(G-V1) ≤ |V1|设无向图G=<V,E>是半哈密顿图，对于任意的V1⊂V且V1∅≠均有p(G-V1) ≤ |V1|+1 15.7、设G是n阶无向简单图，若对于任意不相邻的顶点vi,vj，均有d(vi)+d(vj) ≥n-1则G 中存在哈密顿通路.推论：设G为n(n≥3) 阶无向简单图，若对于G中任意两个不相邻的顶点vi,vj，均有d(vi)+d(vj) ≥n则G中存在哈密顿回路，从而G为哈密顿图.16.1、设G=<V,E>是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的：(1) G 是树(2) G 中任意两个顶点之间存在惟一的路径.(3) G 中无回路且m=n-1.(4) G 是连通的且m=n-1.(5) G 是连通的且G 中任何边均为桥.(6) G 中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到惟一的一个含新边的圈.16.2、设T是n阶非平凡的无向树，则T 中至少有两片树叶.16.3、无向图G具有生成树当且仅当G连通.推论1 ：G为n阶m条边的无向连通图，则m≥n-1.推论2 ：余树的边数为m-n+1.推论3 ：余树为G的生成树T的余树，C为G中任意一个圈，则C与余树一定有公共边17.3、平面图各面次数之和等于边数的两倍.17.4、极大平面图是连通的，并且n（n≥3）阶极大平面图中不可能有割点和桥.17.5、设G为n（n≥3）阶极大平面图，则G的每个面的次数均为3.17.6、（欧拉公式）设G为n阶m条边r个面的连通平面图，则n-m+r=217.7、（欧拉公式的推广）设G是具有k（k≥2）个连通分支的平面图，则n-m+r=k+117.8、设G为连通的平面图，且deg(Ri)≥l, l≥3，则m≤ l(n-2)/( l-2)推论：K5，K3,3不是平面图17.10、设G为n（n≥3）阶m条边的简单平面图，则m≤3n-6.17.11、设G为n（n≥3）阶m条边的极大平面图，则m=3n-6.17.12、设G 为简单平面图，则δ(G)≤5.17.13、G是平面图⇔G中不含与K5或K3,3同胚的子图.17.14、G是平面图⇔G中无可收缩为K5或K3,3的子图18.3、设n阶图G中无孤立顶点.(1) 设M为G中一个最大匹配，对于G中每个M非饱和点均取一条与其关联的边，组成边集N，则W=M⋃N为G中最小边覆盖.(2) 设W1为G中一个最小边覆盖；若W1中存在相邻的边就移去其中的一条，设移去的边集为N1，则M1=W1-N1为G中一个最大匹配.(3) G中边覆盖数α1与匹配数β1满足α1+β1=n.推论：设G是n阶无孤立顶点的图. M为G中的匹配，W是G中的边覆盖，则|M| ≤ |W|，等号成立时，M为G中完美匹配，W为G中最小边覆盖.18.4、M为G中最大匹配当且仅当G中不含M的可增广交错路径.18.5、（Hall定理）设二部图G=<V1,V2,E>中，|V1|≤|V2|. G中存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任意k(k=1,2,…,|V1|)个顶点至少与V2中的k个顶点相邻.本定理中的条件常称为“相异性条件”.18.6、设二部图G=<V1,V2,E>中，V1中每个顶点至少关联t (t≥1)条边，而V2中每个顶点至多关联t 条边，则G 中存在V1到V2的完备匹配.18.7、对于任意无向图G，均有χ(G) ≤∆(G)+1几个相关性质:χ(G)=1当且仅当G为零图χ(Kn)=n若G为奇圈或奇阶轮图，则χ(G)=3，若G为偶阶轮图，则χ(G)=4.若G的边集非空，则χ(G)=2当且仅当G为二部图18.8、（Brooks定理）若连通无向图G不是Kn,（n≥3），也不是奇数阶的圈，则χ(G) ≤∆(G) 18.10、（四色定理）任何平面图都是4-可着色的。

离散数学第二版最全课后习题答案详解

离散数学第二版最全课后习题答案详解离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、电气工程等领域都有着广泛的应用。

对于学习离散数学的同学们来说，课后习题的解答是巩固知识、加深理解的重要环节。

本文将为您提供离散数学第二版的最全课后习题答案详解，希望能对您的学习有所帮助。

在开始讲解具体的习题答案之前，让我们先简要回顾一下离散数学的主要内容。

离散数学包括集合论、数理逻辑、图论、代数结构等几个部分。

集合论是离散数学的基础，它研究集合的性质、运算和关系。

在集合论的习题中，常见的问题包括集合的表示、集合的运算（并集、交集、补集等）、集合的包含关系以及集合的基数等。

例如，有这样一道习题：设集合 A ＝｛1, 2, 3}，B ＝｛2, 3, 4}，求 A ∪ B 和A ∩ B。

答案是：A ∪ B ＝｛1, 2, 3, 4}，A ∩ B ＝｛2, 3}。

这是因为并集是包含两个集合中所有元素的集合，而交集是同时属于两个集合的元素组成的集合。

数理逻辑是研究推理和证明的工具，它包括命题逻辑和谓词逻辑。

在数理逻辑的习题中，需要掌握命题的符号化、逻辑公式的等价变换、推理规则的应用等。

比如，给出这样一个命题：“如果今天下雨，那么我就不去公园”，将其符号化。

我们可以设“今天下雨”为 P，“我去公园”为 Q，那么这个命题可以符号化为P → ¬Q。

图论是研究图的性质和应用的分支。

图的概念在计算机网络、交通运输等领域有着重要的应用。

图论的习题常常涉及图的表示、顶点的度、路径、连通性、图的着色等问题。

假设有这样一道题：一个无向图有 10 个顶点，每个顶点的度都为 6，求这个图的边数。

根据顶点度数之和等于边数的两倍这个定理，我们可以计算出边数为 30。

代数结构则包括群、环、域等概念，在这部分的习题中，需要理解和运用代数结构的定义和性质来解决问题。

接下来，我们具体来看一些习题的详细解答。

例 1：设集合 A ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正奇数}，B ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正偶数}，求 A B。

离散数学第2章关系(祝清顺版)

第二章二元关系 2007年8月20日
离散数学
关系矩阵的实例
例9 设A={3, 5, 6, 9}, A上的二元关系
R={<x, y｜x＞y},
试求出关系矩阵。
[解] 关系的集合表示为:
R＝{9, 3, 9, 5, 9, 6, 6, 3, 6, 5, 5, 3}.
关系矩阵为: 0 1 MR= 1 1
关系的三种表示方法：集合表达式关系矩阵
关系图
关系矩阵和关系图可以表示有限集合上的关系。
离散数学
第二章二元关系
2007年8月20日
关系矩阵
设给定集合A={a1,a2,…,an}，B={b1,b2,…,bm}，R为从A到B
的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标注矩
阵的行，用集合B的元素标注矩阵的列，对于aiA和bjB，令
n2 n2
个. 不
每一个子集代表一个A上的二元关系，所以A上有 2 同的二元关系。 |Ai|=mi，则A1×A2×…×An上有 2 二元关系。
离散数学第二章二元关系 2007年8月20日
m1m2…mn
个不同的
常用的关系
定义对任意集合A，定义 (1) 空关系 (2) 全域关系 EA={<x, y>|x∈A且y∈A}=A×A (3) 恒等关系 IA={<x, x>|x∈A} (4) 小于或等于关系：LA={<x, y>|x, y∈A且x≤y}, 其中 AR。 (5) 整除关系：DA={<x, y>|x, y∈A且x整除y}, 其中 AZ* , Z*是非零整数集 (6) 包含关系：R＝{<x, y>|x, y∈A且xy}, 其中A是集合族。

离散数学-详解

离散数学-详解离散数学（Discrete Mathematics）目录• 1 什么是离散数学• 2 离散数学的发展• 3 离散数学与现代信息技术• 4 参考文献什么是离散数学离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，离散数学是数学几个分支的总称，研究基于离散空间而不是连续的数学结构。

更一般地，离散数学被视为处理可数集合（与整数子集基数相同的集合，包括有理数集但不包括整数集）的数学分支。

与光滑变化的实数不同，离散数学的研究对象———例如整数、图和数学逻辑中的命题———不是光滑变化的，而是拥有不等、分立的值。

离散数学中的对象集合可以是有限或者是无限的。

特别是，有限数学一词通常指代离散数学处理有限集合的那些部分，特别是在与商业相关的领域。

包括基本的概率论、线性规划、矩阵和行列式的理论。

离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域，它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学等必不可少的科研基础。

离散数学的发展历史上，离散数学涉及各个领域的一系列挑战性问题。

在图论中，大量研究的动机是企图证明四色定理。

这些研究虽然从1852年开始，但是直至1976年四色理论才得到证明，是由肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯大量使用计算机辅助来完成的。

在逻辑领域，大卫·希尔伯特于1900年提出的公开问题清单的第二个问题是要证明算术公理是一致的。

1931年，库尔特·哥德尔的第二不完备定理证明这是不可能的———至少算术本身不可能。

大卫·希尔伯特的第十个问题是要确定某一整系数多项式丢番图方程是否有一个整数解。

1970年，尤里·马季亚谢维奇证明这不可能做到。

第二次世界大战时盟军基于破解纳粹德军密码的需要，带动了密码学和理论计算机科学的发展。

英国的布莱切利园因而发明出第一部数字电子计算器———巨像计算机。

离散数学（1）复习笔记

离散数学（1）复习笔记Ch1 命题逻辑的基本概念1.1 命题命题：能判断真假且⾮真即假的陈述句。

命题的真值，真命题，假命题。

* 真值待定 *简单命题 | 原⼦命题，复合命题。

1.2 常⽤的5个命题联结词否定，合取，析取，蕴涵，双蕴涵。

* 异或 | 排斥或 | 不可兼或 * 注意语义判断。

* p→q = ﹁ p∨q ** 必要条件 * 只有……才……；仅当……，……；……，仅当……。

注意命题符号化的蕴涵⽅向。

* domain * A horse is white. （×）联结词集，⼀元联结词，⼆元联结词。

* 优先顺序 * （），﹁，∧，∨，→，↔1.3 合式公式及其赋值命题常项 | 命题常元（值是确定的），命题变项 | 命题变元（真值可以变化的陈述句）。

合式公式 | 命题公式 | 命题形式 | 公式（wff）（well formed formulas），原⼦命题公式（单个命题变项），⼦公式。

* 单个命题变项是合式公式，没说命题常项。

*赋值 | 解释，成真赋值，成假赋值。

真值表。

* 真值表要点：赋值从00…0开始，按照⼆进制加法，直到11…1为⽌；按照运算的优先次序写出各⼦公式。

*命题公式的分类：重⾔式 | 永真式，⽭盾式 | 永假式，可满⾜式。

1.4 重⾔式与代⼊规则代⼊规则。

* 1. 公式中被代换的只能是命题变项（原⼦命题），⽽不能是复合命题。

2.对公式中某命题变项施以代⼊，必须对该公式中出现的所有同⼀命题变项施以相同的代换。

* 1.5 命题形式化命题形式化 | 符号化。

Ch2 命题逻辑的等值和推理演算2.1 等值定理等值 | 等价，等值定理：设A，B为两个命题公式，A = B的充分必要条件是 A↔B为⼀个重⾔式。

离散数学知识点总结

离散数学知识点总结离散数学知识点总结同时要善于总结，在学习《离散数学》的过程，对概念的理解是学习的重中之重。

本文就来分享一篇离散数学知识点总结，希望对大家能有所帮助！一、认知离散数学离散数学是计算机科学基础理论的核心课程之一，是计算机及应用、通信等专业的一门重要的基础课。

它以研究量的结构和相互关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素，充分体现了计算机科学离散性的特点。

学习离散数学的目的是为学习计算机、通信等专业各后续课程做好必要的知识准备，进一步提高抽象思维和逻辑推理的能力，为计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。

1．定义和定理多离散数学是建立在大量定义、定理之上的逻辑推理学科，因此对概念的理解是学习这门课程的核心。

在学习这些概念的基础上，要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质。

在考试中有一部分内容是考查学生对定义和定理的识记、理解和运用，因此要真正理解离散数学中所给出的每个基本概念的真正的含义。

比如，命题的定义、五个基本联结词、公式的主析取范式和主合取范式、三个推理规则以及反证法；集合的五种运算的定义；关系的定义和关系的四个性质；函数（映射）和几种特殊函数（映射）的定义；图、完全图、简单图、子图、补图的定义；图中简单路、基本路的定义以及两个图同构的定义；树与最小生成树的定义。

掌握和理解这些概念对于学好离散数学是至关重要的。

2. 方法性强在离散数学的学习过程中，一定要注重和掌握离散数学处理问题的方法，在做题时，找到一个合适的解题思路和方法是极为重要的`。

如果知道了一道题用怎样的方法去做或证明，就能很容易地做或证出来。

反之，则事倍功半。

在离散数学中，虽然各种各样的题种类繁多，但每类题的解法均有规律可循。

所以在听课和平时的复习中，要善于总结和归纳具有规律性的内容。

在平时的讲课和复习中，老师会总结各类解题思路和方法。

作为学生，首先应该熟悉并且会用这些方法，同时，还要勤于思考，对于一道题，进可能地多探讨几种解法。

离散数学课件-绪论

离散数学课件-绪论
目录
• 离散数学的概述 • 离散数学的主要分支 • 离散数学的基本概念 • 离散数学的研究方法 • 离散数学的学习意义和价值
01
离散数学的概述
离散数学的定义
• 离散数学：离散数学是研究数学结构中非连续、分离对象的数学分支。它主要关注集合论、图论、逻辑、组合数学等领域，用于描述和研究离散对象之间的关系和性质。
在离散数学中，形式化方法常用于描述集合、关系、图等数学对象，如集合论中的集合定义和关系定义。
归纳法
归纳法是从个别到一般的推理方法，通过对一些具体实例的分析，归纳出一般规律或性质。
VS
在离散数学中，归纳法常用于证明一些关于自然数的性质和定理，如归纳法在证明阶乘性质中的应用。
反证法
反证法是一种间接证明方法，通过假设与要证明的命题相矛盾的命题成立，推出矛盾，从而证明原命题成立。
逻辑学
01
逻辑学是研究推理和论证的规则和结构的数学分支。逻辑学为离散数学的各个分支提供了推理和证明的工具和方法。
02
逻辑学中的基本概念包括命题、量词、推理规则、证明等，这些概念为离散数学的各个分支提供了推理和证明的工具和方法。
组合数学
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支。组合数学在计算机科学、统计学和运筹学等领域有广泛应用。
离散数学的起源和发展
起源
离散数学的起源可以追溯到古代数学中的一些研究，如几何学和逻辑学。随着时间的推移，离散数学的各个分支逐渐形成和发展，成为一门独立的学科。
发展
离散数学的发展与计算机科学的发展密切相关。随着计算机科学的兴起，离散数学在理论和实践方面都得到了广泛的应用和发展。
离散数学的应用领域

离散数学复习(08)

等价关系与等价类及其性质
偏序关系,哈斯图,极大元,极小元,最大元, 偏序关系,哈斯图,极大元,极小元,最大元, 最小元,上界,下界,上确界, 最小元,上界,下界,上确界,下确界
序关系
1,设R是集合上的一个自反关系.则R是对称和传递的,当 , 是集合X上的一个自反关系是对称和传递的, 是集合上的一个自反关系. 是对称和传递的且仅当<a,b>∈R∧<a,c>∈R,有<b,c>在R之中. 且仅当 ∈ ∧ ∈ , 在之中. 之中 2,若关系和S在集合上是等价的,证明在集合X上是等价的也是等价的. ,若关系R和在集合上是等价的,证明R∩S也是等价的. 也是等价的 3,如果关系在集合上是等价的,证明 c也是等价的. 如果关系R在集合上是等价的, 如果关系在集合X上是等价的证明R 也是等价的. 4,设R是集合上的等价关系,则对于所有是集合A上的等价关系 , 是集合上的等价关系,则对于所有a,b ∈A ,或者 [a]R=[b]R或者 R ∩[b]R= . 或者[a] 5,设集合A有一个划分 ,设集合有一个划分S={S1,S2,…,Sm},试由此划分确定一 , 有一个划分个等价关系. 个等价关系. 6,设S是X上的二元关系,S是传递的当且仅当 S S. 上的二元关系, 是传递的当且仅当是传递的当且仅当S , 是上的二元关系 . 7,设R是X上的二元关系,则: 上的二元关系, , 是上的二元关系 a)R是对称的,当且仅当是对称的, ) 是对称的当且仅当R=Rc b)R是反对称的,当且仅当 ∩ R c Ix 是反对称的, ) 是反对称的当且仅当R

证明a是的逆元的逆元? 证明是b的逆元 a * b= b * a =e 例如: 例如:(a * b)-1=b-1 * a-1 群中满足消去律群中不可能有零元. 群中不可能有零元. 任何一个循环群必定是阿贝尔群. 任何一个循环群必定是阿贝尔群. 中的幺元. 群<G,*>中的幺元 e 必定也是其子群<S,*>中的幺元. 中的幺元必定也是其子群中的幺元子群的判定定理: 有限集: 在子群的判定定理:当S是有限集: *在S上封闭无限集: , ∈ , 当S是无限集: a,b∈S, 有a*b-1∈S 任何质数阶的群必定是循环群. 任何质数阶的群必定是循环群.

离散数学的ppt课件

科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科，主要研究如何在有限资源下做出最优决策，离散数学在运筹学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、整数规划和非线性规划等理论，可以解决运筹学中的许多问题。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。

离散数学 ch2.二元关系(3,4节)

下边R3、R4、 R6 、 R8均是对称关系。
1
。

1
。
2
。。 3
R1
1
。。 3
R2
1
。。 2。。 3 3
R3
1
R4
1
。
2
。
2
。
。
2
。。 3
R5
。。 3
R6
。。 2。。 3 3
R7 R8
四.反对称性
定义:设R为集合X中关系,若对任何x, y∈X,如果有（x,y)∈ R,和(y ,x)∈ R,就有x=y,则称R为A中反对称关系。如实数的小于关系<，≤ ，均是反对称的。父子关系是反对称的。
R 3 {(1,2), (3,0), (3,2)}
性质判定自反性
从关系的有向图每个结点都有环
从关系的矩阵主对角线全是1
反自反性
对称性反对称性
每个结点都无环
主对角线全是0
不同结点间如果有边, 是以对角线为对称则有方向相反的两条的矩阵边. 不同结点间,最多有一以主对角线为对称条边. 的位置不会同时为1
实际上r(R)、(s(R) 、t(R)) 就是包含R的“最小” 的自反(对称、传递)关系。三.计算方法定理1.给定 A中关系R,则 r(R)=R∪IA。证明：令R’=R∪IA,显然R’是自反的和RR’，下面证明R’是“最小的”：如果有A上自反关系 R”且RR”,又IAR”,所以 R∪IAR”,即R’R”。所以R’就是R的自反闭包。即r(R)=R∪IA 。 ~ R 定理2.给定 A中关系R,则 s(R)=R∪ 。证明方法与1.类似。（集合法）定理3.给定 A中关系R,则 t(R)=R∪R2∪R3∪... 。证明：令R’= R∪R2∪R3∪..., ⑴显然有 RR’ ；

《离散数学》完整课件

第三节复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、关系的复合对于集合的并(交)是否有分配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基数大于A的基数.
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23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限集与无限集、可数集与不可数集、较为常见的集合的基数等.集合的基数反映了集合的元素的多少，它是集合的一种性质，一种与该集合等势的集合构成的集合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴涵式；
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义；
3.为了研究推理，还引进演绎的概念；
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节形式演绎

离散数学ch2 (10)

i
1
i
证明：由定理14.1，必要性显然充分性：由已知条件可知，d中有2k个奇数，不妨设它们为 d1, d2, …, dk , dk+1 ， dk+2 …, d2k，构造以d为度数列的n阶无向图G=<V,E>,如下： V={v1, v2, …, vn}，在顶点vr和vr+k之间连边，r=1,2，…, k，若di为偶数，令di’= di ，若di为奇数，则令di’= di -1，得到d’=(d1’, d2’, …, dn’),则di’均为偶数，再在vi处画di’/2条环，i= 1,2，…, n, 这就证明了d是可图化的易知：(2, 4, 6, 8, 10)，(1, 3, 3, 3, 4) 是可图化的，而(1, 2, 3, 4, 5)，(3, 3, 3, 4) 不是可图化的
第五部分图论
本部分主要内容图的基本概念欧拉图、哈密顿图树平面图支配集、覆盖集、独立集、匹配与着色
1
图论的研究可以追溯到1736 年, 图论中几个重要的结论也是在19 世纪得到的，但图论引起人们兴趣是20 世纪20 年代。应用：计算机科学、化学、运筹学、经济学、语言学等。内容：图的基本概念包括路径和环，欧拉回路，哈密尔顿回路/货郎担问题，图同构、平面图等。
9
相关概念
7. 设D=<V,E>为有向图， ek =<vi,vj>E ，称vi,vj为ek的端点， vi为ek的始点，vj为ek的终点， ek与vi（vj）关联，若vi =vj，则称ek为D中的环 8. 若两个顶点之间有一条有向边，则称这两个顶点相邻，若两条边中一条边的终点是另一条边的始点则称这两条边相邻图（无向的或有向的）中没有边关联的顶点称作孤立点

离散数学课件第一章

图的连通性
04
CHAPTER
逻辑基础
命题逻辑中的基本概念包括命题、真值和逻辑运算，通过这些基本概念可以表达和推理复杂的命题关系。
命题逻辑在计算机科学、人工智能、自动化等领域有广泛应用，是形式化方法的重要基础。
命题逻辑是研究命题之间关系的逻辑分支，主要涉及命题的否定、合取、析取、蕴含等基本运算。
命题逻辑
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等。并集是指两个或多个集合合并为一个新的集合，包含所有元素；交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合；差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合。这些运算在离散数学中有着广泛的应用。
总结词
集合的运算
集合的基数是指集合中元素的个数，通常用大写字母表示。
鸽巢原理
THANKS
感谢您的观看。
集合论
图论是研究图（由节点和边构成的结构）的数学分支，它广泛应用于计算机科学和工程学科。
图论
逻辑是离散数学的另一个重要分支，它研究推理的形式和规则，是计算机科学和人工智能的基础。
逻辑
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支，它在计算机科学和统计学中有重要的应用。
组合数学
离散数学的研究内容
02
CHAPTER
离散数学课件第一章
目录
绪论集合论基础图论基础逻辑基础组合数学基础
01
CHAPTER
绪论
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树等）的数学分支，它不涉及连续的量或函数。
离散数学的定义
离散数学的起源
离散数学的特点
离散数学的起源可以追溯到古代数学，如欧几里得几何和数论。
离散数学强调结构、关系和组合，而不是连续性和微积分。

离散数学(第四版)讲义2

第9章树[离散数学离散数学(第四版)清华出版社]第二章一阶逻辑（Predicate Logic）1、一阶逻辑基本概念2、一阶逻辑公式及解释3、一阶逻辑等值式1、一阶逻辑基本概念前两节介绍的命题与命题演算是命题逻辑的内容，其基本组成单位是原子命题。

一般地，原子命题作为具有真假意义的句子至少由主语和谓语两部分组成。

例如，电子商务是计算机技术的一个应用系统，这里“电子商务”是主语，而“是……”是谓语。

当主语改变为“电子政务”时就得到新的原子命题：电子政务是计算机技术的一个应用系统。

由此可知，主语是独立存在的个体，而谓语用来描述该个体的性质或个体间的关系，这里我们称其为谓词。

用P表示谓词“是……”。

则P（电子商务）或P（电子政务）分别等值于前述两个命题的表达。

将个体用变量（称为个体变量）x推广，则P(x)表示：x是计算机技术的一个新的应用系统。

这时该语句就不是一个命题，而是一个命题函数。

DEFINITION 1.一个谓词P连同相关的n(n≥0)个个体变量组成的表达式称为n元谓词(n-predicate)，记P(x1, x2, …, x n)，其中n是该表达式中不同个体变量的数目。

EXAMPLE 1设P(x)表示语句“x > 3.”，则P(4)和P(2)的真值是多少?P(4) = 1P(2) = 0EXAMPLE 2设Q(x, y)表示语句“x = y + 3.”，则Q(1, 2) 和Q(3, 0)的真值是多少?Q(1,2) = 0Q(3,0) = 1EXAMPLE 3设R(x, y, z) 表示语句“x+y=z.”，则R(1, 2, 3) 和R(0, 0, 1) 的真值是多少?R(1, 2, 3)= 1R(0, 0, 1)= 0当n>1时，通常P给出了xi(i=1,2,…,n)之间的关系。

例如，P(x,y,z)表示x位于y与z之间，是一个三元谓词。

当x,y,z分别用赤道、南半球、北半球代入时，得到命题：赤道位于南半球与北半球之间，其真值为1。