高数(下)练习册第9到12章答案解析

第九章多元函数的微分法及其应用§ 1多元函数概念

1、设.

答案：

2、求下列函数的定义域：

(1)

(2)

3、求下列极限：

(1)（0）

(2)(0)

§ 2偏导数

1、设z=,验证

证明：，

2、求空间曲线在点（）处切线与x轴正向夹角()

3、设, 求 ( 1)

4、设u=(x2+yz3) 3，求及.

解: =3(x2+yz3)2 2x=6x(x2+yz3)2 ，=3(x2+yz3)2 z3=3z3(x2+yz3)2 3(x2+yz3)2 3yz2=9yz2(x2+yz3)2

5、设，证明:

6、设，求。

解：

7、设函数在点处的偏导数存在，求

§ 3全微分

1、单选题

（1）二元函数在点处连续是它在该点处偏导数存在的 D .

(A) 必要条件而非充分条件(B)充分条件而非必要条件

(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件

（2）对于二元函数，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是 B 。

(A)偏导数不连续，则全微分必不存在（B）偏导数连续，则全微分必存在

(C)全微分存在，则偏导数必连续（D）全微分存在，而偏导数不一定存在

2、求下列函数的全微分：

(1) 设求dz

解:

(2) 设函数( 为常数且）求. 解:；

；

；

(3)

解：

3、设，求dz½(1,1)

解: ,

4、设,求：

5、讨论函数在(0,0)点处的连续性、偏导数、可微性。

解：，所以在(0,0)点处连续。

，所以可微。

§4多元复合函数的求导法则

１、设，求

解：

2、设，求

3、设,，其中具有二阶连续偏导数，求。

解：；

4、设，其中具有二阶连续偏导数，求，，解：,

,

=

,

5、设，其中对各变元具有二阶连续偏导数，求。

解：

6、设，，证明：。

证：

；

类似可求得；。

所以。§ 5隐函数的求导公式

1、设，求

解：令，

2、设是由方程确定，求。解：

=

3、设,其中可微。证明:

解：;

=+y=

4、设，求，

( ，)

5、设由方程所确定，可微，求

解：令，则6、设函数是由方程所确定，求。

解：Þ

Þ

7、设由方程所确定，证明：。

证：；

所以

§6微分法在几何中的应用

1、求螺旋线在对应于处的切线及法平面方程

解：切线方程为

法平面方程

2、求曲线在（3，4，5）处的切线及法平面方程

解：切线方程为，法平面方程：

3、求曲面上点(1,1,1)处的切平面和法线方程。

解：设，则

；；。

在点(1,1,1)处；；，所以法向量切平面方程是：，即；

法线方程是：

§7方向导数与梯度

1、设函数，(1)求该函数在点(1,3)处的梯度。2)在点(1,3)处沿着方

向的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向

解：梯度为

, 方向导数达到最大值的方向为，方向导数达到

最小值的方向为。

2、求函数在(1,2,-1)处沿方向角为的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。

解：方向导数为，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向

，此时最大值为

3、求函数在(1,1,-1)处沿曲线在(1,1,1)处的切线正方向(对应于增大的方向)的方向导数。

解：，，

所以该函数在点(1,1,-1)处的方向导数为。

4、求函数在(1,1,-1)处的梯度。

解：，

§8多元函数的极值及求法

1、求函数的极值。

答案：（，）极小值点

2、设函数由方程确定，求函数的驻点。

解：

设Þ

驻点是(0,0)。

3、求的极值。

解：；。令=0,=0，得

Þ

=2；=-1；=1；

在(1,0)点处=2，，=1，>0,函数在(1,0)点处有极值，且由于A=2>0取极小值。

4、求函数在条件下的条件极值。

解：

，

极小值为

5、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。

（长和宽2米，高3米）

6、旋转抛物面被截成一椭圆，求原点到椭圆的最大与最小距离。

解：设为椭圆上的点，原点到的距离为，且满足条件：,。

设

令得方程组：

解得：，

,

,

根据实际问题，最大距离和最小距离存在，所以为最小距离；为最大距离。

7、在第一卦限作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。

解：椭球面上的点。设，则

在点的切平面法向量是，切平面方程：

切平面在轴上的截距是：；切平面在轴上的截距是：；切平面在轴上的截距是：；

三坐标面与切平面所围的四面体的体积是：。要求体积的最小值，只要求

在条件下的最大值即可。

设：

,,,令=0,=0,=0，并与条件

联立解得由于根据实际情况，体积的最小值存在，且所求得驻点唯一，所以即为所求。

第九章自测题

一、选择题：（每题2分，共14分）

1、设有二元函数则[ B ]

A、存在；

B、不存在；

C、存在，且在(0,0)处不连续；

D、存在，且在(0,0)处连续。

2、函数在各一阶偏导数存在且连续是在连续的[ B ]

A、必要条件；

B、充分条件；