2019年4月1日起增值税税率由原来的16%,10%,6%、0%调整成税率13%、9%、6%、0%

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江西中烟工业有限责任公司产品信息手册

广告语
花开富贵绽放醇美
市场定位
中高端消费人士
标准名称
金圣（吉品）
产品信息
烟型
烤烟型
价类
一类
条包装
条盒
盒包装
硬盒
烟支长度
84 mm
箱条码
34187
条条码
33890
盒条码
33906
含税批发价
207元/条
建议零售价
230元/条
焦油量
11 mg
烟气烟碱量
1.2 mg
烟气一氧化碳量
10 mg
产品特色
包装特色：年年有余生财运
金圣（大赢家）包装设计取自“年年有余”吉祥大盘，水生财运，鱼送富贵，喜庆祥瑞，寓意如鱼得水，好运相伴，有赢有发。
吸味特色：烤烟本香享醇美
三年自然醇化，突出烤烟本香；本草入烟，支支香；本香透发，口口醇。
广告语
红红火火·大赢家
金圣大赢家好运伴你发
市场定位
普通消费群体
广告语
本草特色超值享受
市场定位
中低消费群体
标准名称
金圣（大赢家）
产品信息
烟型
烤烟型
价类
二类
条包装
条盒
盒包装
硬盒
烟支长度
84 mm
箱条码
36426
条条码
36419
盒条码
36402
含税批发价
132元/条
建议零售价
150元/条
焦油量
10 mg
烟气烟碱量
1.0 mg
烟气一氧化碳量
12 mg
产品特色
硬盒金圣经典品质一脉相承，香气纯正厚实，自然醇和，吸味纯净舒适，1996年硬盒金圣代表金圣品牌以其优良品质的低害功效，获得第24届日内瓦国际发明展览会金奖。

匀变速直线运动的位移与时间的关系+课件高一上学期物理人教版(2019)必修第一册

出，得到它的速度一时间图象如图所
示．试求出它在前2 s内的位移，后2 s内
的位移，前4s内的位移，前4s内的路程。
v/m·s-1
5
S=5m+5m=10m
5m
2
-5
4
t/s
-5m
0
二、匀变速直线运动的位移
由图可知梯形的面积：S梯形=
v/（m∙s-1）
0

1
即位移： =
0 +
2
V
V0
（+）×
动,此过程中飞机加速度的大小及滑行的距离各是多少?
(1)
a= 25m/s2
v0 =10m/s t=2.4s
/
x=？
解:以飞机行驶方向为正方向
已知匀加速的 =10m/s, a= 25m/s2,t=2.4s
根据 =
1
0 + 2 得：
2
1
= 10 × 2.4 + × 25 × 2.42
t
0 t1 t2 t3t4 t5t6 t t
t
样呢？
7
较精确地表示位移
二、匀变速直线运动的位移
V
如果把整个运动过程分割
V
得非常非常细，很多很多小矩
形的面积之和就能非常精确地
代表物体的位移了。这是物理
V0
0
t t
上常用的微元法。
结论：匀变速直线运动的位移仍可用图线
与坐标轴所围的面积表示。
知识运用
练习1.一质点以一定初速度沿竖直方向抛
a= 1m/s2
v0 =？
t=10s
x=180m
/
解：以汽车运动的初速v0为正方向
根据题意已知x=180m，t=10s, a= 1m/s2

MIL-STD-1916抽样标准简介

简介
鼓励供应商建立品质系统与使用有效的管制程序，以取代最终产品之抽样方式建立不合格件制程改进之制度，而非最终检验之品质水准
愿景
目的
MIL-STD-1916与MIL-STD-105E抽样标准的区别：
抽样标准
MIL-STD-1916
1.單次抽樣 2. Ac=0、Re=1 (不允許不良品存在) 持續改善的品質系統多種品質改善工具用預防代替檢驗，在製程中執行統計製程管制(SPC)
2. 合約中應該要提及取代抽樣檢驗的另一種可接受的方法，而這個方法必須和抽樣檢驗相互評估後才能使用。該方法應該包括生產期間的製程能力分析與管制，並且和產品生產的品質系統有密切的關係。同時還需要定期評估與監測，而且至少要達到關鍵品質特性Cpk≧2.0、主要品質特性≧1.33、次要品質特性≧1.0，一但此要求被接受且證實已達成，供應商可降低或刪除抽樣計劃。 3. 供應商應建立顧客可接受的品質保證方法。諸如：ISO9000、QS9000等或其他經政府機構(或客戶)許可之品質系統
1.
若在合約约定使用入MIL-STD-1916標準時，供應商應當執行抽樣檢驗。但必須認清的是，抽樣檢驗並不能管制及改善品質,生產的品質源自於適當的製程管制方法。而當管制方法發揮效用時，抽樣檢驗可視為是次要的程序和不必要的成本浪費。供應商必須建立可接受的品質系統和證實具備有效的製程管制方法，來作為執行抽樣檢驗的先期條件。
3.3.2
转换法则流程图---
连续型
在樣本10倍大小數量內，無不良
启用
在樣本5倍大小數量內有2個以上的不良
加严减量正常
在樣本5倍大小數量內，無不良有任何不合格品被發現
結語&補充說明
MIL-STD-1916的出現係配合ISO9000的持續改善的訴求，它所著重的不是過去MIL-STD-105E的事後抽樣，而是希望供應商能建立持續改善的品質管理系統，使繳交給客戶的產品均為合格品。

第二章第4讲幂函数、指数与指数函数-2025年高考数学备考

第二章函数第4讲幂函数、指数与指数函数学生用书P0291.幂函数（1）幂函数的概念一般地，函数①y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.（2）5种常见幂函数的图象与性质函数y ＝x y ＝x 2y ＝x 3y ＝12y ＝x－1定义域R R R ②{x ｜x ≥0}③{x ｜x ≠0}值域R ④{y ｜y ≥0}R {y ｜y ≥0}⑤{y ｜y ≠0}奇偶性奇函数⑥偶函数奇函数非奇非偶函数⑦奇函数单调性在R 上单调递增在（－∞，0）上单调递减，⑧在R 上单调递增⑨在（0，＋∞）上单调递增⑩在（－∞，0）和（0，＋∞）上单在[0，＋∞）上单调递增调递减图象过定点⑪（1，1）规律总结（1）幂函数y ＝x α在第一象限的图象如图所示，可根据函数的定义域以及奇偶性判断幂函数在第二或第三象限的图象.（2）在（0，1）上，幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴；在（1，＋∞）上，幂函数的指数越小，函数图象越接近x 轴.注意幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，若与坐标轴有交点，则交点一定是原点.2.指数与指数运算（1）根式a.（）n ＝⑫a（n ∈N *，且n ＞1）.b.＝，为奇数，｜U,为偶数.（2）分数指数幂a.＝a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1）.b.－＝1＝a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1）.注意0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（3）有理数指数幂的运算性质a.a r·a s＝⑮ar ＋s（a ＞0，r ，s ∈R ）；＝⑯a r－s（a ＞0，r ，s ∈R ）；b.（a r ）s ＝⑰a rs（a ＞0，r ，s ∈R ）；c.（ab ）r ＝⑱a r b r （a ＞0，b ＞0，r ∈R ）.3.指数函数（1）指数函数的概念函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R.（2）指数函数的图象和性质函数y ＝a x （a ＞1）y ＝a x （0＜a ＜1）图象性质函数的定义域为R ；值域为⑲（0，＋∞）.函数图象过定点⑳（0，1），即当x ＝0时，y ＝1.当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，0＜y ＜1.当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1.函数在R 上单调递㉑增.函数在R 上单调递㉒减.注意当指数函数的底数a 的大小不确定时，需分a ＞1和0＜a ＜1两种情况进行讨论.规律总结1.指数函数的图象过点（0，1），（1，a ），（－1，1），依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象.2.函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）的图象与y ＝a －x 的图象关于y 轴对称，y ＝a x 的图象与y ＝－a x 的图象关于x 轴对称，y ＝a x 的图象与y ＝－a －x 的图象关于坐标原点对称.3.如图，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .1.[2024江苏省南通市质量监测]化简：（π－4）2＋3（π－3）3＝（A ）A.1B.－1C.7－2πD.2π－7解析（π－4）2＋3（π－3）3＝｜π－4｜＋π－3＝4－π＋π－3＝1.故选A.2.[多选]已知幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（16，4），则下列说法正确的有（BCD）A.f （x ）是偶函数B.f （x ）是增函数C.当x＞1时，f（x）＞1D.当0＜x1＜x2时，（1）＋（2）2＜f（1＋22）解析因为幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），所以16α＝4，α＝12，所以f（x）＝12＝，由其图象可知，A错误，B正确；当x＞1时，f（x）＞f（1）＝1，故C正确；由f（x）＝的图象可知（1）＋（2）2＜f（1＋22），故D正确.故选BCD.3.函数f（x）＝a x－1＋2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（1，3）.4.已知函数f（x）＝a x＋b（a＞0，且a≠1）的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝－32.学生用书P031命题点1幂函数的图象与性质例1（1）[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数y＝x n在第一象限内的图象.已知n分别取±2，±12四个值，与曲线C1，C2，C3，C4对应的n依次为（A）A.2，12，－12，－2B.2，12，－2，－12C.－12，－2，2，12D.－2，－12，12，2解析如图所示，作直线x＝2分别与曲线C1，C2，C3，C4相交，因为函数y＝2x为增函数，所以22＞212＞2－12＞2－2，所以交点由上到下对应的n值分别为2，12，－12，－2，由图可知，曲线C1，C2，C3，C4对应的n值分别为2，12，－12，－2.故选A.（2）[全国卷Ⅲ]已知a＝243，b＝425，c＝2513，则（A）A.b＜a＜cB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b解析因为a＝243＝1613，b＝425＝1615，c＝2513，且幂函数y＝13在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a＜c.故选A.方法技巧1.对于幂函数的图象识别问题，解题关键是把握幂函数的性质，尤其是单调性、奇偶性、图象经过的定点等.2.比较幂值大小的方法（1）同底不同指的幂值大小比较：利用指数函数的单调性进行比较.（2）同指不同底的幂值大小比较：利用幂函数的单调性进行比较.（3）既不同底又不同指的幂值大小比较：常找到一个中间值，通过比较幂值与中间值的大小来判断.训练1（1）[2024陕西省汉中市名校联考]已知幂函数f （x ）＝（m 2＋m －1）x m 的图象与坐标轴没有公共点，则f （2）＝（A ）A.12B.2C.2D.22解析因为f （x ）为幂函数，所以m 2＋m －1＝1，解得m ＝－2或m ＝1，又f （x ）的图象与坐标轴无公共点，故m ＜0，所以m ＝－2，故f （x ）＝x －2，所以f （2）＝（2）-2＝12.故选A.（2）若（2m ＋1）12＞（m 2＋m －1）12，则实数m 的取值范围是[5－12，2）.解析因为函数y ＝12的定义域为[0，＋∞），且在定义域内单调递增，所以2+1≥0，2＋－1≥0，2+1>2＋－1，m ＜2，所以实数m 2）.命题点2指数幂的运算例2计算：（1）（－338）－23＋（0.002）－12－10×（5－2）－1＋（2－3）0＝－1679；解析原式＝（－1）－23×（338）－23＋（1500）－121＝（278）－23＋50012－10×（5＋2）＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.（2）若12＋－12＝3，则32＋－32－32＋－2－2＝13.解析由12＋－123，两边平方，得x ＋x －1＝7，∴x 2＋x －2＝47，∴x 2＋x －2－2＝45.由（12＋－12）3＝33，得32＋312＋3－12＋－32＝27.∴32＋－32＝18，∴32＋－32－3＝15.∴32＋－32－32＋－2－2＝13.方法技巧指数幂的运算技巧运算顺序①有括号先算括号内的；②无括号先进行指数的乘方、开方，再乘除，最后加减；③底数是负数的先确定符号.运算基本原则①化负指数为正指数；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数；④化带分数为假分数.训练2（1）[2024重庆八中模拟]已知10α＝2－12，10β＝3213，则1034＋12＝2.解析1034＋12＝（10）34×（10）12＝（3213）34×（2－12）12＝25×13×34＋（－12）×12＝2.（23B 2（1412）－1313＝（a ＞，b ＞0）.解析原式＝（321323）12B 2－1313＝32＋16－1+13·1+13－2－13＝.命题点3指数函数的图象及应用例3（1）已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是（B ）AB C D解析由函数y ＝kx ＋a 的图象可得k ＜0，0＜a ＜1.函数y ＝a x ＋k 的图象可以看作是把y ＝a x的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数y ＝a x ＋k 是减函数，故此函数的图象与y 轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，可知选B.（2）[2024上海奉贤致远高级中学模拟]已知a ∈R ，若关于x 的方程｜3x －1｜－2a ＝0有两个不相等的实根，则a 的取值范围是（0，12）.解析关于x 的方程｜3x －1｜－2a ＝0有两个不相等的实根，即曲线y ＝｜3x －1｜与直线y ＝2a 的图象有两个交点，作出y ＝｜3x －1｜与y ＝2a 的图象，如图，易得a 的取值范围是（0，12）.命题拓展已知a ∈R ，若关于x 的方程｜a x －1｜－2a ＝0有两个不等的实根，则a 的取值范围是（0，12）.解析关于x 的方程｜a x －1｜－2a ＝0有两个不等的实根，即曲线y ＝｜a x －1｜与直线y ＝2a 的图象有两个交点，y ＝｜a x －1｜的图象是由y ＝a x 的图象先向下平移1个单位长度，再将x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的.当a ＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不合题意；当0＜a ＜1时，如图2，要使两个函数图象有两个公共点，则0＜2a ＜1，得0＜a＜12.图1图2综上可知，a 的取值范围是（0，12）.方法技巧与指数函数有关的图象问题的求解策略数形结合指数型函数图象识别，一般通过确定图象是“上升”还是“下降”、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点、函数值域等求解.变换作图对于有关指数型函数的图象问题，一般从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.注意在指数函数图象变换时，注意特殊点（如定点）、特殊线（如渐近线）的变化.训练3[2024重庆市巴蜀中学适应性考试]已知函数f （x ）＝a x －1－2（a ＞0，且a ≠1）的图象恒过定点M （m ，n ），则函数g （x ）＝m ＋x n 的图象不经过（D ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析∵a 0＝1，∴f （x ）＝a x －1－2的图象恒过定点（1，－1），∴m ＝1，n ＝－1，∴g （x ）＝1＋1，其图象不经过第四象限，故选D.命题点4指数函数的性质及应用角度1比较大小例4（1）[2023天津高考]若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（D）A.c＞a＞bB.c＞b＞aC.a＞b＞cD.b＞a＞c解析因为函数f（x）＝1.01x是增函数，且0.6＞0.5＞0，所以1.010.6＞1.010.5＞1，即b＞a ＞1；因为函数g（x）＝0.6x是减函数，且0.5＞0，所以0.60.5＜0.60＝1，即c＜1.综上，b ＞a＞c.故选D.（2）[2023全国卷甲]已知函数f（x）＝e－（－1）2.记a＝fb＝f c＝fA）A.b＞c＞aB.b＞a＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞b解析f（x）＝e－（－1）2是由函数y＝e u和u＝－（x－1）2复合而成的函数，y＝e u为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，由复合函数的单调性可知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.易知f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f＝f（221，所以f＜f（2＜fb＞c＞a，故选A.方法技巧比较指数幂大小的常用方法单调性法不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底.取中间值法不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值（特别是1）比较大小，然后得出大小关系.数形结合法根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小.角度2解简单的指数方程或不等式例5[2024北京市十一学校模拟]若不等式3ax－1＜（13）B2恒成立，则实数a的取值范围是（B）A.（－4，0）B.（－4，0]C.（0，4）D.[0，4）解析因为不等式3ax－1＜（13）B2恒成立，即3ax－1＜3－B2恒成立，所以ax－1＜－ax2恒成立，即ax2＋ax－1＜0恒成立，当a＝0时，－1＜0恒成立，符合题意；当a≠0时，则<0，Δ＝2+4<0，解得－4＜a＜0.综上可得－4＜a≤0，即实数a的取值范围是（－4，0].故选B.方法技巧解简单的指数方程或不等式问题的思路（1）a f（x）＝a g（x）⇔f（x）＝g（x）.（2）①a f（x）＞a g（x）⇔>1，（）＞（）或0<<1，（）＜（p.②形如a x＞b的不等式，一般先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝a x 的单调性求解.角度3指数函数性质的应用例6已知函数f（x）＝（13）B2－4r3.（1）若a＝－1，则f（x）的单调递增区间为（－2，＋∞），单调递减区间为（－∞，－2）；（2）若f（x）有最大值3，则a的值为1；（3）若f（x）的值域是（0，＋∞），则a的值为0.解析（1）当a＝－1时，f（x）＝（13）－2－4r3.令u＝－x2－4x＋3＝－（x＋2）2＋7，则该函数在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，＋∞）上单调递减.因为y＝（13）u在R 上单调递减，所以函数f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，＋∞）上单调递增，即函数f（x）的单调递增区间是（－2，＋∞），单调递减区间是（－∞，－2）.（2）令h（x）＝ax2－4x＋3，则f（x）＝（13）h（x），因为f（x）有最大值3，所以h（x）有最小值－1解得a＝1，即当f（x）有最大值3时，a的值为1.－1，（3）令g（x）＝ax2－4x＋3，由f（x）的值域是（0，＋∞）知，g（x）＝ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.方法技巧1.形如y＝a f（x）的函数的单调性：若a＞1，则函数f（x）的单调递增（减）区间即函数y＝a f（x）的单调递增（减）区间；若0＜a＜1，则函数f（x）的单调递增（减）区间即函数y＝a f（x）的单调递减（增）区间.2.求解指数型函数中的参数取值范围的基本思路一般利用指数函数的单调性或最值进行转化求解.注意当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论.训练4（1）[2024辽宁省名校联考]已知函数f（x）＝1－B（a＞0，且a≠1）在区间[2，3]上单调递增，则a的取值范围为（C）A.（0，12]B.（1，＋∞）C.（0，13]D.[13，12]解析由a＞0且a≠1，得y＝1－B在[2，3]上单调递减，由复合函数单调性法则得a∈（0，1），由1－3a≥0，解得a≤13，故a∈（0，13].故选C.（2）[2024浙江温州联考]如果1＜2a＜2b＜2，那么（C）A.a a＜a b＜b aB.a a＜b a＜a bC.a b＜a a＜b aD.a b＜b a＜a a解析因为函数y＝2x在R上单调递增，20＝1＜2a＜2b＜2＝21，所以0＜a＜b＜1.因为函数y＝a x（0＜a＜1）在R上单调递减，所以a a＞a b.因为函数y＝x a（0＜a＜1）在（0，＋∞）上单调递增，所以a a＜b a，所以a b＜a a＜b a.故选C.（3）[2024黑龙江省肇东市第四中学模拟]已知函数f（x）＝2x＋a·2－x的图象关于原点对称，若f（2x－1）＞32，则x的取值范围为（B）A.（－∞，1）B.（1，＋∞）C.[3，＋∞）D.（－∞，－2）解析因为函数f（x）＝2x＋a·2－x的图象关于原点对称且定义域为R，所以f（0）＝1＋a ＝0，解得a＝－1，所以f（x）＝2x－2－x.因为y＝2x在R上单调递增，y＝2－x在R上单调递减，所以f（x）＝2x－2－x在R上单调递增，由f（1）＝32，f（2x－1）＞32，得f（2x－1）＞f（1），所以2x－1＞1，解得x＞1.故选B.1.[命题点1]某同学研究了一个函数，他给出这个函数的三个性质：①偶函数；②值域是{y｜y∈R，且y≠0}；③在（－∞，0）上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（B）A.f（x）＝x－1B.f（x）＝x－2C.f（x）＝x3D.f（x）＝13解析f（x）＝x－1只满足性质②，f（x）＝x3只满足性质③，f（x）＝13只满足性质③，f（x）＝x－2是偶函数，在（－∞，0）上是增函数，其值域是{y｜y＞0}.故选B.13＜（3－2）－13，则实数a的取值范围是（－∞，－1）2.[命题点1]若（+1）－∪（23，32）.解析由幂函数y＝－13的图象（图略）可知，不等式（+1）－13＜（3－2）－13等价于a ＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a，解得a＜－1或23＜a＜32.3.[命题点2]（2312）·（－31213）÷（131656）＝－9a.解析（2312）·（－31213）÷（131656）＝－923＋12－16·12＋13－56＝－9a.4.[命题点3]若函数f（x）＝（4mx－n）2的大致图象如图所示，则（B）A.m＞0，0＜n＜1B.m＞0，n＞1C.m＜0，0＜n＜1D.m＜0，n＞1解析令f（x）＝0，即4mx＝n，则mx＝log4n，即x＝1log4n，由图可知，1log4n＞0，故当m＞0时，n＞1，当m＜0时，0＜n＜1，排除A，D；当m＜0时，易知y＝4mx是减函数，且当x→＋∞时，y→0，则f（x）→n2，易知C不符合题意.故选B.5.[命题点4角度2]若22+1≤（14）x－2，则函数y＝2x的值域是（B）A.[18，2）B.[18，2]C.（－∞，18）D.[2，＋∞）解析因为22+1≤（14）x－2＝24－2x，所以x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以函数y＝2x的值域是[2－3，2]，即[18，2].故选B.6.[命题点4角度3/2024云南省昆明市第二十四中学模拟]已知奇函数f（x）＝a e x－1x在R 上为增函数，则a＝（A）A.1B.－1C.2D.－2解析因为f（x）在R上为奇函数，则f（0）＝0，即a－1＝0，解得a＝1或a＝－1.当a ＝1时，f（x）＝e x－1e，定义域为R，因为函数y＝e x和y＝－1e在R上都为增函数，所以f（x）在R上为增函数，且f（－x）＝e－x－1e－＝1e－e x＝－f（x），故a＝1符合题意；当a＝－1时，f（x）＝－e x＋1e，在R上为减函数，不合题意，所以a＝1.故选A.7.[命题点4/2024辽宁期中]已知函数f（x）＝e－1e+1，若对任意的正数a，b，满足f（a）＋f（2b－2）＝0，则2＋1的最小值为4.解析因为对任意的x∈R，e x＋1＞0，所以函数f（x）＝e－1e+1的定义域为R.因为f（－x）＝e－－1e－+1＝1－e1+e＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数.因为f（x）＝e+1－2e+1＝1－2e+1，且函数y＝e x＋1在R上为增函数，所以函数f（x）＝e－1e+1在R上为增函数.若对任意的正数a，b，满足f（a）＋f（2b－2）＝0，则f（a）＝－f（2b－2）＝f（2－2b），所以a＝2－2b，即a＋2b＝2，所以2＋1＝12（a＋2b）（2＋1）＝12（4＋＋4）≥12（4＋＝4，当且仅当=1，＝12时，等号成立，故2＋1的最小值为4.学生用书·练习帮P2671.[北京高考]已知函数f（x）＝3x－（13）x，则f（x）（A）A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数解析因为f（x）＝3x－（13）x，且定义域为R，所以f（－x）＝3－x－（13）－x＝（13）x－3x ＝－[3x－（13）x]＝－f（x），即函数f（x）是奇函数.又y＝3x在R上是增函数，y＝（13）x 在R上是减函数，所以f（x）＝3x－（13）x在R上是增函数.故选A.2.[2024吉林省实验中学模拟]若a＝1.442，b＝1.23，c＝32，则（B）A.a＞b＞cB.c＞a＞bC.c＞b＞aD.a＞c＞b解析 1.44＜3，故1.442＜32，即c＞a.1.442＝（1.22）2＝1.222＞1.23，即a ＞b.故c＞a＞b.故选B.3.[2024山东青岛模拟]函数f（x）＝ax2＋2x＋1与g（x）＝x a在同一直角坐标系中的图象不可能为（B）A BC D解析对于A，抛物线开口向下，所以a＜0，不妨取a＝－1，此时g（x）＝1，符合；对于B，抛物线开口向上，所以a＞0，此时g（x）＝x a在（0，＋∞）上单调递增，不符合；对于C，抛物线开口向上，所以a＞0，不妨取a＝12，此时g（x）＝，符合；对于D，抛物线开口向上，所以a＞0，不妨取a＝2，则g（x）＝x2，符合.故选B.4.设函数f（x）＝（12－7，<0，，≥0，若f（a）＜1，则实数a的取值范围是（C）A.（－∞，－3） B.（1，＋∞）C.（－3，1）D.（－∞，－3）∪（1，＋∞）解析当a＜0时，不等式f（a）＜1可化为（12）a－7＜1，即（12）a＜8，即（12）a＜（12）－3，因为0＜12＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f（a）＜1可化为＜1，即0≤a＜1.故a的取值范围是（－3，1）.故选C.5.[2024安徽江淮十校联考]已知幂函数f（x）＝（m2－5m＋5）x m－2是R上的偶函数，且函数g（x）＝f（x）－（2a－6）x在区间[1，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（B）A.（－∞，4）B.（－∞，4]C.[6，＋∞）D.（－∞，4]∪[6，＋∞）解析因为幂函数f（x）＝（m2－5m＋5）x m－2是R上的偶函数，则m2－5m＋5＝1，解得m＝1或m＝4.当m＝1时，f（x）＝x－1，该函数是定义域为{x｜x≠0}的奇函数，不符合题意；当m＝4时，f（x）＝x2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题意，所以f（x）＝x2，则g（x）＝x2－（2a－6）x，其图象的对称轴为x＝a－3，因为g（x）在区间[1，3]上单调递增，则a－3≤1，解得a≤4.故选B.6.[多选]设函数f（x）＝2x，对于任意的x1，x2（x1≠x2），下列结论中正确的是（ACD）A.f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2）B.f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2）C.（1）－（2）1－2＞0D.f （1＋22）＜（1）＋（2）2解析21＋2＝21·22，所以A 正确；21·2≠21＋22，所以B 不正确；函数f （x ）＝2x在R 上是增函数，若x 1＞x 2，则f （x 1）＞f （x 2），则（1）－（2）1－2＞0，若x 1＜x 2，则f （x 1）＜f （x 2），则（1）－（2）1－2＞0，所以C 正确；f （1＋22）＜（1）＋（2）2说明x ＝1＋22时的函数值小于点（x 1，f （x 1））与（x 2，f （x 2））的中点的纵坐标，通过f （x ）＝2x 的图象可知，满足条件，所以D 正确.7.已知幂函数f （x ）＝2－2－3（p ∈N *）的图象关于y 轴对称，且f （x ）在（0，＋∞）上单调递减，实数a 满足（a 2－1）3＜（3a ＋3）3，则a 的取值范围是（－1，4）.解析∵幂函数f （x ）＝2－2－3（p ∈N *）在（0，＋∞）上单调递减，∴p 2－2p －3＜0，解得－1＜p ＜3.∵p ∈N *，∴p ＝1或p ＝2.当p ＝1时，f （x ）＝x －4为偶函数，满足条件.当p ＝2时，f （x ）＝x －3为奇函数，不满足条件.则p ＝1.不等式（a 2－1）3＜（3a ＋3）3，即（a 2－1）13＜（3a ＋3）13，∵y ＝13在R 上为增函数，∴a 2－1＜3a ＋3，解得－1＜a ＜4.8.[2024河南南阳模拟]已知函数f （x ）＝｜3x －1｜，a ＜b ＜c ，且f （a ）＞f （b ）＞f （c ），则下列结论中一定成立的是（D）A.a ＜0，b ＜0，c ＜0B.a ＜0，b ≥0，c ＞0C.3－a ＜3cD.3a ＋3c ＜2解析作出f （x ）的图象，如图所示.因为a ＜b ＜c ，且f （a ）＞f （b ）＞f （c ），所以a ＜b ＜0，且存在b'＞0，使f （b ）＝f （b'），则b ＜c ＜b'，即b ＜0＜c ＜b'或b ＜c ＜0＜b'，故排除A ，B ；取a ＝－1，c ＝0，可排除C ；当c ＞0时，f （a ）＝1－3a ＞f （c ）＝3c －1，所以3a ＋3c ＜2，当c ≤0时，3a ＜1，3c ≤1，则3a ＋3c ＜2，故D 一定成立.9.[2024广东省深圳市人大附中模拟]已知α∈（π4,π2）,a ＝（cos α）sin α，b ＝（sin α）cos α，c ＝（cos α）cos α，则（A）A.b＞c＞aB.c＞b＞aC.c＞a＞bD.a＞b＞c解析已知α∈（π4，π2），则0＜cosα＜sinα＜1，因为y＝（cosα）x是减函数，所以c＝（cosα）cosα＞（cosα）sinα＝a；因为幂函数y＝x cosα在（0，1）上是单调递增的，所以c＝（cosα）cosα＜（sinα）cosα＝b，故b＞c＞a.故选A.10.[2024广西南宁三中模拟]设函数f（x）＝－2＋2－（>0),－3（≤0),若a＝ln2，b＝30.2，c＝log0.32，则（D）A.f（a）＞f（b）＞f（c）B.f（b）＞f（a）＞f（c）C.f（a）＞f（c）＞f（b）D.f（c）＞f（a）＞f（b）解析∵函数f（x）＝－2＋2－（>0),－3（≤0),∴当x＞0时，由y＝2－x和y＝－2x在定义域上单调递减，得f（x）＝－2x＋2－x在（0，＋∞）上单调递减，当x≤0时，f（x）＝－x3单调递减，又－20＋2－0＝－03＝0，∴函数f（x）＝－2＋2－（>0),－3（≤0）在R上单调递减，∵0＜a＝ln2＜1，b＝30.2＞30＝1，c＝log0.32＜0，∴c＜a＜b，∴f（c）＞f（a）＞f（b）.故选D. 11.[多选/2023湖南益阳一中检测改编]已知函数f（x）＝2－12+1，则下列说法正确的是（AC）A.f（x）为奇函数B.f（x）为减函数C.f（x）有且只有一个零点D.f（x）的值域为[－1，1]解析∵函数f（x）＝2－12+1，x∈R，∴f（－x）＝2－－12－+1＝－2－12+1＝－f（x），∴f（x）为奇函数，故A正确；∵f（x）＝2－12+1＝1－22+1，且y＝2x＋1在R上单调递增，∴f（x）＝1－22+1在R上为增函数，故B错误；令f（x）＝0，则2x－1＝0，得到x＝0，∴f（x）有且只有一个零点，故C正确；∵f（x）在R上为增函数，令y＝2－12+1，则2x＝1+1－，∵2x＞0，∴1+1－＞0，即（1＋y）（y－1）＜0，解得－1＜y＜1，∴f（x）∈（－1，1），故D错误.故选AC.12.[情境创新/2024重庆统考]数学家柯布和经济学家保罗·道格拉斯共同提出一个生产函数理想模型：Q＝AKαL1－α，其中Q表示收益（产值），K表示资本投入，L表示劳动投入；A 为一个正值常数，可以解释为技术的作用；α∈（0，1），表示资本投入在产值中占有的份额，1－α表示劳动投入在产值中占有的份额.经过实际数据的检验，形成更一般的关系：Q ＝A12，α1∈（0，1），α2∈（0，1），则（A）A.若α1＝0.6，α2＝0.5，则当所有投入增加一倍时，收益增加多于一倍B.若α1＝0.5，α2＝0.5，则当所有投入增加一倍时，收益增加多于一倍C.若α1＝0.4，α2＝0.6，则当所有投入增加一倍时，收益增加小于一倍D.若α1＝0.5，α2＝0.6，则当所有投入增加一倍时，收益增加小于一倍解析若α1＝0.6，α2＝0.5，则收益Q1＝AK0.6L0.5，当所有投入增加一倍时，收益Q2＝A（2K）0.6（2L）0.5＝21.1AK0.6L0.5＝21.1Q1，收益为原来的21.1倍，即收益增加多于一倍，故A正确；若α1＝0.5，α2＝0.5，则收益Q1＝AK0.5L0.5，当所有投入增加一倍时，收益Q2＝A（2K）0.5·（2L）0.5＝2AK0.5L0.5＝2Q1，收益为原来的2倍，故B错误；若α1＝0.4，α2＝0.6，则收益Q1＝AK0.4L0.6，当所有投入增加一倍时，收益Q2＝A（2K）0.4·（2L）0.6＝2AK0.4L0.6＝2Q1，收益为原来的2倍，故C错误；若α1＝0.5，α2＝0.6，则收益Q1＝AK0.5L0.6，当所有投入增加一倍时，收益Q2＝A（2K）0.5·（2L）0.6＝21.1AK0.5L0.6＝21.1Q1，收益为原来的21.1倍，收益增加多于一倍，故D错误.故选A.。

卷烟32位条码信息行政区域对照表(1)

卷烟32位条码信息行政区域对照表(1)卷烟32位条码信息行政区域对照表自定义信息：第17—20位，共4位数字或字母，由商业公司自行定义打码的内容，只能是4位字母或阿拉伯数字。

一般为所在地区烟草拼音缩写。

如：“BJYC”为“北京烟草”。

全国各地市17-20位条烟码重码地区21-24位行政区划码Aabyc 四川阿坝AKYC 陕西安康6109 AKYC 新疆阿克苏6529 alas 内蒙古阿拉善盟ALTY 新疆阿勒泰AQYC 安徽安庆ASYC 辽宁鞍山2103 ASYC 贵州安顺5204 AYYC 河南安阳B BBYC 安徽蚌埠BCYC 吉林白城BDYC 河北保定BHYC 广西北海bjyc 北京1100 BJYC 陕西宝鸡6103 bjzm 贵州毕节BNYC 云南西双版纳BSYC 内蒙古巴彦淖尔1508 BSYC 吉林白山2206 BSYC 广西百色4510 BSYC 云南保山5305 BTYC 新疆石河子bxyc 辽宁本溪BYYC 甘肃白银BZYC 安徽亳州3416 BZYC 山东滨州3716 bzyc 四川巴中5119 BZYC 新疆巴州6528BZYC 新疆博州6527C CCYC 吉林长春CDYC 河北承德4307 CDYC 湖南常德5421 CDYC 西藏昌都cfyc 内蒙古赤峰CHYC 安徽巢湖CJYC 新疆昌吉CSYC 湖南长沙CXYC 云南楚雄Ccyyc 辽宁朝阳czyc 河北沧州1309 CZYC 山西长治1404 CZYC 江苏常州3204 CZYC 安徽滁州3411 CZYC 安徽池州3417 CZYC 湖南郴州4310 czyc 广东潮州4451D DDYC 辽宁丹东dgyc 广东东莞DHYC 云南德宏djys 四川都江堰DLYC 云南大理5329 DLYC 大连2102 DQYC 云南迪庆DQZM 黑龙江大庆DTYC 山西大同DXAL 黑龙江大兴安岭DXYC 甘肃定西DYYC 山东东营3705 dyyc 四川德阳5106 DZYC 山东德州3714 DZYC 海南儋州4690 dzyc 四川达州5117E EEDS 内蒙古鄂尔多斯ELYC 内蒙古二连浩特ESYC 湖北恩施EZYC 湖北鄂州H HAYC 江苏淮安3208 HaYC 青海黄南6323 HBYC 安徽淮北3406 HBYC 河南鹤壁4106 HBYC 青海海北6322 HCYC 广西河池HDYC 河北邯郸1304 HDYC 青海海东6321 HFYC 安徽合肥HGYC 黑龙江鹤岗2304 HGYC 湖北黄冈4211 HHYC 内蒙古呼和浩特1501 HHYC 黑龙江黑河2311 HHYC 湖南怀化4312 HHYC 云南红河5325 HKYC 海南海口hlbe 内蒙古呼伦贝尔hlyc 辽宁葫芦岛HMYC 新疆哈密HNYC 安徽淮南3404 HNYC 青海海南1503 HSYC 河北衡水1311 HSYC 安徽黄山3410 HSYC 湖北黄石4202 HTYC 新疆和田HXYC 青海海西HYYC 湖南衡阳4304 hyyc 广东河源4416 hzyc 浙江杭州3301 hzyc 浙江湖州3305 HZYC 山东菏泽3717 hzyc 广东惠州4413H HZYC 广西贺州4511 HZYC 陕西汉中6107J JAYC 江西吉安JCYC 山西晋城1405 JCYC 甘肃金昌6203 JDZY 江西景德镇jhyc 浙江金华JJYC 江西九江JLYC 吉林吉林JMSY 黑龙江佳木斯JMYC 湖北荆门4208 jmyc 广东江门4407 JNYC 山东济南JQYC 甘肃酒泉jxyc 浙江嘉兴JXZM 黑龙江鸡西JYYC 河南济源4108 jyyc 广东揭阳4452 JZYC 山西晋中1407 jzyc 辽宁锦州2107 jzyc 山东济宁3708 JZYC 河南焦作4108 JZYC 湖北荆州4210K KFYC 河南开封KSYC 新疆喀什6531 KSYC 新疆克拉玛依6502L LAYC 安徽六安LBYC 广西来宾LCYC 山东聊城3715 LCYC 云南临沧5309 LDYC 湖南娄底LFYC 河北廊坊LHYC 河南漯河LJYC 江苏南京3201 LJYC 云南丽江5307 LLYC 山西吕梁LNYC 甘肃陇南lsyc 浙江丽水3311 LSYC 四川乐山5111 LSYC 四川凉山5134L LSYC 西藏拉萨5401 LTYC 江苏南通LWYC 山东莱芜LXYC 甘肃临夏州lyyc 辽宁辽阳2110 LYYC 吉林辽源2204 lyyc 福建龙岩3508 Lyyc 山东临沂3713 LYYC 河南洛阳4103 LZYC 四川泸州5105LZYC 西藏林芝5426 LZYC 甘肃兰州6201M MASH 安徽马鞍山mmyc 广东茂名msyc 四川眉山myyc 四川绵阳MYZM 黑龙江牡丹江MZLY 内蒙古满洲里mzyc 广东梅州Nnbyc 浙江宁波NCYC 江西南昌3601 NCYC 四川南充5113 ndyc 福建宁德njyc 四川内江5110 NJYC 云南怒江5333 nmbt 内蒙古包头NNYC 广西南宁npyc 福建南平NQYC 西藏那曲NYYC 河南南阳P PDSH 河南平顶山PEYC 云南普洱PJYC 辽宁盘锦PLYC 甘肃平凉ptyc 福建莆田PXYC 江西萍乡PYYC 河南濮阳Q QDN1 贵州黔东南QDYC 山东青岛QHYC 海南琼海Qqjyc 湖北潜江4290 QJYC 云南曲靖5303 QNYC 贵州黔南QQHR 黑龙江齐齐哈尔QTHY 黑龙江七台河QXNZ 贵州黔西南qyyc 广东清远4418 QYYC 甘肃庆阳6210 QYZM 河北秦皇岛qzyc 浙江衢州3308 qzyc 福建泉州3505QZYC 广西钦州4507R RKYC 西藏日喀则RZYC 山东日照S SCGA 四川广安SFHY 黑龙江绥芬河sgyc 广东韶关SHYC 黑龙江绥化2312 shyc 上海3100 SLYC 陕西商洛smyc 福建三明SNYC 湖北神农架4290 SNYC 四川遂宁5109 SNYC 西藏山南5422 SPYC 吉林四平SPZH 四川攀枝花SQYC 江苏宿迁3213 SQYC 河南商丘4114 SRYC 江西上饶styc 广东汕头swyc 广东汕尾sxyc 浙江绍兴SYYC 吉林松原2207 SYYC 黑龙江双鸭山2305 SYYC 湖北十堰4203 SYYC 湖南邵阳4305 SYYC 海南三亚4602 SYZM 河北石家庄1301 SYZM 河南三门峡4112 szsy 宁夏石嘴山S SZYC 山西朔州1406 SZYC 江苏苏州3205 SZYC 安徽宿州3413 SZYC 湖北随州4213 SZYC 深圳4403TTAYC 山东泰安TCYC 新疆塔城6542 TCYC/YCTC 陕西铜川6102 THYC 吉林通化TJYC 天津TLFY 新疆吐鲁番TLYC 内蒙古通辽1505TLYC 安徽铜陵3407 TMYC 湖北天门TRYC 贵州铜仁TSYC 河北唐山1302 TSYC 甘肃天水6205 ttyc 辽宁铁岭TYYC 山西太原TZYC 江苏泰州3212 tzyc 浙江台州3310WWfyc 山东潍坊whyc 内蒙古乌海1503 WHYC 安徽芜湖3402 WHYC 山东威海3710 whyc 湖北武汉4201 WLYC 内蒙古乌兰察布WNYC 陕西渭南WSYC 云南文山5326 WSYC 新疆乌鲁木齐6501 WWYC 甘肃武威WXYC 江苏无锡wzyc 浙江温州3303 WZYC 广西梧州4504 wzyc 宁夏吴忠6403Xxayc 内蒙古兴安盟XCYC 安徽宣城3418 XCYC 河南许昌4110 XFYC 湖北襄阳xgyc 湖北孝感4209X XGYC 甘肃嘉峪关6202 XMYC 内蒙古锡林郭勒盟xnyc 湖北咸宁4212 XNYC 青海西宁6301 XTYC 河北邢台1305 XTYC 湖北仙桃4290 XTYC 湖南湘潭4303 XXYC 河南新乡4107 XXYC 湖南湘西4331 XYYC 江西新余3605 XYYC 河南信阳4115 XYYC 陕西咸阳6104 XZYC 山西忻州1409 XZYC 江苏徐州3203Y YAYC 四川雅安5118YAYC 陕西延安6106 YBYC 吉林延边2224 YBYC 四川宜宾5115 YCYC 山西运城1408 YCYC 黑龙江伊春2307 YCYC 江苏盐城3209 YCYC 江西宜春3609 YCYC 湖北宜昌4205 ycyc 宁夏银川6401 yfyc 广东云浮yjyc 广东阳江ykyc 辽宁营口YLYC 广西玉林4509 YLYC 陕西杨凌6104 YLYC 陕西榆林6108 YLYC 新疆伊犁6540 YLYG 江苏连云港YQYC 山西阳泉YSYC 青海玉树YTYC 江西鹰潭3606 YTYC 山东烟台3706 YXYC 云南玉溪YYYC 湖南岳阳4306 YYYC 湖南益阳4309 YZYC 江苏扬州YZYC 湖南永州Z ZBYC 山东淄博ZGYC 四川自贡ZHMD 河南驻马店zhyc 广东珠海ZJJY 湖南张家界ZJKY 河北张家口ZJYC 江苏镇江3211 zjyc 广东湛江4408 ZKYC 河南周口zqyc 广东肇庆zsyc 浙江舟山3309 zsyc 广东中山2102 ZTYC 云南昭通zwyc 宁夏中卫zyyc 四川资阳ZYYC 贵州六盘水5202 ZYYC 甘肃张掖6207 ZYYC 贵州遵义5203 zzyc 福建漳州3506 ZZYC 山东枣庄3704 ZZYC 湖南株洲4302数字订货数量福建厦门3502 分拣编码四川成都5101 分拣编码重庆5000 分拣代码黑龙江哈尔滨2301 分拣线路河南郑州4101 许可证号陕西西安2204 0000 云南昆明5301 0024 辽宁沈阳2101 0701 山西临汾141011。

Dell E1916HV E1916HL E1916HM E2016HV E2016HL E2016

用户指南Dell E1916HVDell E1916HLDell E1916HMDell E2016HVDell E2016HLDell E2016HMDell E2216HVDell E2216HVM认证型号：E1916HV / E1916HL / E1916HM / E2016HV / E2016HL / E2016HM / E2216HV2注： “注”提供可以帮助您更好地使用显示器的重要信息。

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2016 – 10 Rev. A06目录关于您的显示器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5物品清单. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5产品特性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6识别部件和控制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7显示器规格 (9)即插即用功能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12液晶显示器质量和像素政策 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18维护指南 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18设置显示器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19安装底座 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19连接显示器 (20)管理电线. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20卸下显示器底座 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21壁挂（可选） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22操作显示器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23打开显示器电源 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23使用前面板控制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23使用屏幕显示(OSD)菜单 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24设置最大分辨率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46使用倾斜 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483故障排除 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49自检. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49内置诊断 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50常见问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51产品特定问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Dell Soundbar问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53附录 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55安全说明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 FCC声明（仅限美国）和其他管制信息 (55)中国能源效率标识 (55)联系Dell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4关于您的显示器 5关于您的显示器物品清单此显示器在出厂时包括如下所示的全部组件。

高安方言詈词的民俗内涵

２０１９年３月湖北第二师范学院学报Ｍａｒ.２０１９第３６卷第３期ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕｂｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎＶｏｌ.３６㊀Ｎｏ３高安方言詈词的民俗内涵童芳华(华东交通大学外国语学院ꎬ南昌３３００１３)摘㊀要:詈词是詈骂者宣泄愤怒㊁仇恨或不满的方式ꎬ其内容弥漫着贫困㊁污秽㊁卑贱㊁疾病或死亡的气息ꎮ反其道而思之ꎬ这恰恰折射出了人们追求幸福㊁平安㊁健康㊁长寿的心理ꎮ高安方言詈词所揭示的民俗内涵就是这种心理的一个缩影ꎮ关键词:高安方言ꎻ詈词ꎻ民俗ꎻ心理㊀㊀收稿日期:２０１９－０１－３０㊀㊀作者简介:童芳华(１９７３－)ꎬ男ꎬ江西高安人ꎬ副教授ꎬ文学与文化研究所成员ꎬ研究方向为语言人类学㊁语言类型学等ꎮ中图分类号:Ｈ０７２.４㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１６７４￣３４４Ｘ(２０１９)３￣００２４￣０３㊀㊀列维斯特劳斯认为ꎬ人们的思维世界是由两种辩证而对立的范畴组成的ꎬ如善与恶㊁好与坏㊁白日与黑夜㊁神圣与世俗等[１]ꎮ这种辩证的思维结构投射在语言领域便是詈词与祝福语的共存ꎮ詈词是指骂人的词语ꎮ据«说文解字»ꎬ詈ꎬ骂也ꎮ汉语詈词是语文生活的重要现象ꎬ历史久远ꎬ现象丰富ꎬ是国粹之一ꎬ也是汉语研究不能忽略的内容ꎮ汉语詈词的考释古已有之ꎬ如[明]方以智«通雅»中有散论ꎬ[清]赵翼«陔余丛考杂种畜生王八»有专论ꎮ现代学者的论述更不少见ꎬ著名的如鲁迅«坟论他妈的! »㊁梁实秋«骂人的艺术»等[２]ꎮ詈词是传统民俗文化中糟粕ꎬ但这并不妨碍它作为语言的组成部分在社会生活中的客观存在以及它与传统价值观㊁生活方式及思维方式的交互影响和渗透ꎮ作为一种特殊的武器 ꎬ詈词宣泄着詈骂者的愤怒㊁不满甚至仇恨ꎬ不断撞击和挑战着社会价值标准和言语交际原则ꎬ而这反过来恰恰使它成为我们认识社会民风㊁民俗及民间价值标准的绝好标本和途径ꎮ民俗ꎬ是人类社会长时期相沿积久而形成的习俗惯制㊁礼仪㊁信仰㊁风尚等民间文化传承现象的总和ꎬ是经群体㊁社会约定俗成并流行㊁传承的民间文化模式ꎬ是人类社会特有的一种人文意识形态ꎬ是规范个体行为㊁社会秩序和调节社会心理的非主流模式ꎬ在一定程度上ꎬ也是制约社会文明进程的基本要素[３]ꎮ研究詈词并不是要为詈词正名ꎬ更不是要传播詈词ꎬ而是要从纯学术的角度认识詈词的社会文化基础ꎬ揭示詈骂的危害性ꎬ为营造一个文明的语言氛围贡献力量ꎮ高安市位于江西省中部偏西北ꎮ高安方言ꎬ广义上讲ꎬ是指高安市境内的一切方言ꎬ包括流通在北部华林山风景区一带的客家话以及除此之外其它各区域的赣方言ꎮ狭义上讲ꎬ则仅指其中的赣语部分ꎬ以市政府所在地筠阳街道办一带的发音作为标准音ꎮ本文当中的高安方言取其狭义ꎮ高安方言詈词与高安地方民俗之间有着密切的联系ꎮ从心理角度考察ꎬ高安方言詈词的民俗内涵主要包括四个方面ꎮ一㊁避凶就吉心理所谓凶ꎬ从根本上来讲就是疾病㊁灾祸或者死亡ꎻ吉则意味着健康㊁平安和长寿ꎮ在充满酸甜苦辣的现实生活中ꎬ我们难免会经历一些詈骂的场合ꎮ与鞭打相类似的是ꎬ詈骂也具有攻击性㊁侮辱性和危害性ꎮ有时候ꎬ詈骂带给人的伤痛甚至远远超越鞭打ꎬ因为前者主要指向人的肉体ꎬ后者则着重于心灵ꎮ那么詈词为什么会有那么大的杀伤力 ꎬ以至于让每一位身临其境者受伤不已呢?答案在于ꎬ人类具有共同的避凶就吉心理ꎬ詈骂过程反其道而行之ꎬ自然可以从心理上给予对方极大打击ꎮ高安方言拥有一个很大的詈词库ꎮ其中ꎬ与４２死亡相关的詈词数量最大ꎬ疾病类詈词次之ꎬ灾祸类较少ꎮ现择要例举如下(首先出现的是例词ꎬ其后是以国际音标标注的方言发音ꎬ再通过冒号相隔开的是其普通话的基本释义)ꎮ１.死亡类詈词孝子ｈａｕ４４ʦｕ４４:守孝之人ꎬ用来诅咒对方家中已经或者即将有亲人去世河捞ｈｏ１３ｌｏｕ４４:溺死鬼路毙ｌｕ２２ｐｉ４４:死在路边无人收尸的人埋人咯ｍａｉ１３ｉｎ４４ｋｏ４４:该死的短命鬼哩ｔｏｎ４２ｍｉａ５５ｋｕｉ５５ｌｉ５５:短命鬼天收ｔᶄｉɛｎ３５ɕｉｕ３５:被老天爷收走ꎬ即死亡绝灭ｔɕᶄｉɛｔ２ｍｉɛｔ４:灭绝趙阴间哩ʦａｕ４４ｉｎ３５ｋａｎ５５ｌｉ５５:往阴间跑ꎬ即自寻死路除了以上与死相关的詈词之外ꎬ 死在高安方言中甚至直接成为一个词缀ꎬ添加在一些常用单词的前面或后面ꎬ使所在单词詈词化ꎮ例如:哭死ｋᶄｕｋ４ｓｕ４:哭捱死ａｉ１３ｓｕ４:拖拖拉拉吵死ʦᶄａｕ４２ｓｕ４２:吵闹死人哩ｓｕ４２ｉｎ５５ｌｉ５５:死人死ｉ５５走ｓｕ４２ｉ５５ʦɛｕ４２:滚开死开:ｓｕ４２ｋᶄｏｉ３５:滚开死身活口ｓｕ４２ｓəｎ５５ｕɛｔ２ｋᶄｉɛｕ４２:只动嘴皮子不干活的人死绝人毛ｓｕ４２ｔɕ ｉɛｔ２ｉｎ１３ｍｏｕ１３:死绝死嘚冇路ｓｕ４２ｔə２２ｍａｕ２２ｌｕ２２:走投无路死样子死相ｓｕ４２ｉｏ２２ʦｕ２２ｓｕ４２ɕｉｏ４４:很难看的样子２.疾病类詈词生疮ｓａ３５ʦᶄｏ３５:生疮肿颈ｔｕ４２ｔɕｉａ４２脖子肿ꎬ患大脖子病ꎬ用来詈骂他人与饮食相关的行为烂肠哩肚哩ｌａｎ２２ｔᶄｏ１３ｌｉ５５ｔｕ４２ｌｉ５５:肠子和肚子溃烂ꎬ咒骂他们饮食之后得病屙痢疾哩ｌｏ３５ｌｉ２２ｔɕᶄｉｔ２ｌｉ２２:拉肚子３.灾祸类詈词翻蔸ｆａｎ３５ｔɛｕ３５:倒大霉鬼糊ｋｕｉ４２ｕ１３:被鬼迷惑ꎻ遇到鬼二㊁避秽求洁心理个人在社会中的言行总是要受到清规戒律的约束ꎮ«论语»中记载了孔子这样的话: 非礼勿视ꎬ非礼勿听ꎬ非礼勿言ꎬ非礼勿动ꎮ 意思是ꎬ人们在看㊁听㊁说㊁行之时都应该以礼为标准ꎬ即符合当时的社会规范ꎮ不过ꎬ当人循规蹈矩时ꎬ社会规范在发挥作用ꎬ人们之间自然以礼相待ꎻ而当人随心所欲包括破口大骂时ꎬ 犯规㊁破戒和非礼则似乎是一大快事 ꎮ詈骂中那些肮脏的㊁不堪入耳的字眼四处飞舞便是第二种情况的具体反映ꎬ这些污言秽语的出现从反面折射出了人们避秽求洁的心理ꎮ受传统文化的影响ꎬ性在高安人的潜意识中也是不洁且令人不齿的ꎮ在高安方言的不洁詈词当中ꎬ除了客观上的不洁之物ꎬ如屁㊁蛆等ꎬ还包括心理上的不洁之物ꎬ即男女的性器官和性需求等ꎮ对性活动的扭曲常常演变为詈骂者给予对手最无情的打击手段之一了ꎮ１.污物类詈词屁和蛆常常以词缀的方式出现在污物类詈词当中ꎬ例如:冇屁用ｍａｕ２２ｐᶄｉ４４ｉｕ２２:完全没用掐屁ｋᶄａ３５ｐᶄｉ４４:做无用功ꎻ白干一场放屁ｆｏ４４ｐᶄｉ４４:放屁ꎻ胡说ｋᶄａｔ２蛆ｋᶄａｔ２ｔɕᶄｉ３５:念念叨叨( ｋᶄａｔ２为念叨的意思ꎬ本字不详)ｍｉ３５蛆ｍｉ３５ｔɕᶄｉ３５:摆弄东西( ｍｉ３５为摆弄的意思ꎬ本字不详)捱蛆ａｉ１３ｔɕᶄｉ３５:拖拖拉拉ꎻ磨磨蹭蹭２.性詈词屄口屄嘴ｐｉɛｔ４ｋｉɛｕ４４ｐｉɛｔ４ｔɕｉ４４:臭嘴屄崽子ｐｉɛｔ４ʦɛｉ４４ʦｕ４４:臭男人ꎻ有娘生没娘养的家伙一胯咯卵ｉｔ４ｋᶄａ４４ｋｏ４４ｌｏｎ４２:不像话烂鸟牯哩ｌａｎ２２ｌｉɛｕ２２ｋｕ５５ｌｉ５５:鸡鸡溃烂的家伙ꎬ用来詈骂淘气的小孩卵人ｌｏｎ４２ｉｎ１３:鸟人ꎻ混蛋卵事ｌｏｎ４２ｓｕ２２:鸟事ꎻ屁事卵地方ｌｏｎ４２ｔᶄｉ２２ｆｏ２２:鬼地方戳ʦᶄｏｋ４:操ꎻ干戳绝嘚ʦᶄｏｋ４ｔɕᶄｉɛｔ２ｔə２２:断后ꎻ死绝三㊁避卑树尊心理在阶级社会里ꎬ尊卑贵贱是一种社会现实ꎬ也是一种社会心理ꎮ统治阶级为维护和巩固其统治地位ꎬ在利用相关词语来讽刺所谓卑贱者的同时ꎬ还将这种心理泛化至民间ꎬ成功地在社会中营造出一种避卑树尊的价值取向和氛围ꎮ高安方言中卑微詈词的存在ꎬ无疑是一种历史古迹 ꎬ即阶级社会尊卑贵贱心理的孑遗ꎮ高安方言詈词所折射出的地位低下者主要有三类:一类是出身下贱者ꎬ如妓女所生的小孩ꎻ另一类是职业卑微者ꎬ如乞丐㊁妓女ꎬ等等ꎻ还有一类将人斥为物的詈词ꎬ这类詈词毫无疑问是惟天地万物父母ꎬ惟人万物之灵的朴素自然观的逆５２向反映ꎮ１.出身类詈词婊崽ｐｉɛｕ４２ʦɛｉ４２:妓女的孩子婊子崽ｐｉɛｕ４２ʦｕ５５ʦɛｉ４２:同婊崽卖屄咯崽ｍａｉ２２ｐｉɛｔ４ｋｏ４４ʦɛｉ４２:同婊崽２.职业类詈词叫花哩ｋａｕ４４ｕａ５５ｌｉ５５:叫花子ꎻ乞丐卖屄咯ｍａｉ２２ｐｉɛｔ４ｋｏ４４:卖淫的ꎻ妓女埋人咯ｍａｉ１３ｉｎ１３ｋｏ４４:以替人收尸下葬为职业的人３.物化类詈词畜牲ｔᶄｕｋ４ｓɛｎ２２:畜生ꎻ牲口狗戳嘚咯ｋｉɛｕ４２ʦᶄｏｋ４ｔə４４ｋｏ４４:狗种ꎻ野种半斗ｐɛｎ４４ｔɛｕ４４:傻瓜ꎻ笨蛋半斗婆里ｐɛｎ４４ｔɛｕ４４ｐᶄｏ４４ｌｉ４４:傻婆娘叫花子在封建时代属于贱民阶层ꎬ叫作丐户 ꎮ在高安ꎬ人们对丐户这一职业的厌恶心理达到了极大的程度ꎬ以至于一些与丐户相关的词语也加入了詈词行列ꎬ成为詈骂者之间相互攻伐的武器ꎮ例如:路ｔａ２２碗哩ｌｕ２２ｔａ２２ｕɛｎ４４ｌｉ４４:叫花子碗(其中ｔａ２２本字不详)枯拐哩ｋᶄｕ３５ｋｕａｉ５５ｌｉ５５:(乞丐们)干枯残疾的手或者脚四㊁语言崇拜心理民俗学认为民众中存在语言崇拜心理ꎮ老百姓认为语言是有魔力的ꎬ在詈骂时只要恰当地使用某些詈词就可以取得杀伤对手以及保护自己的效果ꎮ这就是民俗学上所说的语言崇拜心理ꎮ据«剑桥语言百科全书»ꎬ谶言㊁咒语㊁祷文ꎬ以及魔术㊁妖术㊁正统宗教的许多仪式ꎬ均表明人们相信语言能够操纵事物㊁人类和神灵[４]ꎮ无怪乎中国古代小说中不乏呼名落马的传说ꎬ解放前的巫师㊁神汉作法时总要念念有词ꎮ高安人的语言崇拜心理是很重的ꎮ除了表现为人们在吵架过程中用詈词来相互攻伐之外这一点在世界各地都极其类似ꎬ还表现在人们甚至用詈词来反击他们所认为的自然界中的某些不吉或不祥之兆ꎮ这种反击常常被认为是非常必要而且有效的ꎮ且看在高安流传甚广的一首民谣«屎雀子»:屎雀子叫四方ꎬ有祸别人当ꎻｓə４２ｔɕｉｏｋ４ｕ４４ｔɕｉɛｕ４４ｓｕ４４ｆｏ３５ꎬｉｕ４２ｆｏ２２ｐᶄｉɛｔ２ｉｎ４４ｔｏ３５别人当不起ꎬ屎雀子烂屄嘴ꎻｐᶄｉɛｔ２ｉｎ４４ｔｏ３５ｐｉｔ５ɕｉ４２ꎬｓə４２ｔɕｉｏｋ４ʦｕ４４ｌａｎ２２ｐｉɛｔ４ｔɕｉ４２先烂头ꎬ后烂脚ꎬ烂嘚屎雀子眼缩缩ꎮɕｉɛｎ３５ｌａｎ２２ｈɛｕ１３ꎬｈɛｕ２２ｌａｎ２２ｔɕｉｏｋ４ꎬｌａｎ２２ｔə２２ｓə４２ｔɕｉｏｋ４ʦｕ４４ａｎ４２ｓｏｋ４ｓｏｋ４屎雀子是江南的一种噪鹃ꎬ其叫声凄厉且被认为是传递死讯的不良之兆ꎮ鉴于此ꎬ哪户人家要是房檐或房前枝头停有噪鹃并且发出叫声的话ꎬ老人们必然大惊失色ꎬ慌慌张张地跑出屋外ꎬ在将这种无辜的小鸟赶走之余ꎬ为了有效消除它们所带来的不吉之气ꎬ老人们必然会将«屎雀子»念上好几遍ꎮ在此咒语中ꎬ詈词屄嘴无疑针对屎雀子不祥叫声最直接最有力的反击武器 ꎮ综合起来ꎬ詈词是高安方言中一道特殊的风景线ꎮ随着岁月的流逝ꎬ许多詈词已经或者正在退出语言舞台ꎮ就连老人们笃信不疑的咒语«屎雀子»也逐渐演变成了孩子们口中的普通民谣而已ꎬ早已失去了它往日的神奇法力ꎮ对于民俗学家和方言学家们而言ꎬ方言詈词的消失乃至于方言功能的衰退都是一种遗憾ꎬ但作为社会文明进步的一种表现ꎬ或许也是我们不得不接受的一种必然ꎮ参考文献:[１]高长江.符号与神圣世界的建构宗教与研学导论[Ｍ].长春:吉林大学出版社ꎬ１９９３:３２９. [２]刘福根.汉语詈词研究汉语骂詈小史[Ｍ].杭州:浙江人民出版社ꎬ２００８:(引言)３－４. [３]曲彦斌.民俗语言学[Ｍ].沈阳:辽宁教育出版社ꎬ２００４:９.[４][英]克里斯特尔(ＣｒｙｓｔａｌꎬＤ.).剑桥语言百科全书[Ｍ].任明ꎬ等ꎬ译.北京:中国社会科学出版社ꎬ２００２:１１.责任编辑:陈君丹ＦｏｌｋＣｏｎｎｏｔａｔｉｏｎｏｆＡｂｕｓｉｖｅＷｏｒｄｓｉｎＧａｏａｎＤｉａｌｅｃｔＴＯＮＧＦａｎｇ￣ｈｕａ(ＳｃｈｏｏｌｏｆＦｏｒｅｉｇｎＬａｎｇｕａｇｅｓꎬＥａｓｔＣｈｉｎａＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＮａｎｃｈａｎｇ３３００１３ꎬＣｈｉｎａ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｃｌｏｓｅｌｙａｓｓｏｃｉａｔｅｄｗｉｔｈｐｏｖｅｒｔｙꎬｆｉｌｔｈꎬｈｕｍｂｌｅｎｅｓｓꎬｉｌｌｎｅｓｓａｎｄｄｅａｔｈꎬａｂｕｓｉｖｅｗｏｒｄｓｐｌａｙｔｈｅｉｒｒｏｌｅａｓａｎｏｕｔｌｅｔｏｆｔｈｅｉｒｕｓｅｒｓａｎｇｅｒꎬｈａｔｒｅｄａｎｄｄｉｓｃｏｎｔｅｎｔｍｅｎｔꎬｗｈｉｃｈꎬｉｎｒｅｖｅｒｓｅｄｔｈｉｎｋｉｎｇꎬｅｘａｃｔｌｙｒｅｆｌｅｃｔｓｐｅｏｐｌｅｓｐｓｙｃｈｏｌｏｇｉｃａｌｐｕｒｓｕｉｔｏｆｈａｐｐｉｎｅｓｓꎬｈｅａｌｔｈꎬｓａｆｅｔｙａｎｄｌｏｎｇｅｖｉｔｙ.ＴｈｅｆｏｌｋｃｏｎｎｏｔａｔｉｏｎｒｅｖｅａｌｅｄｂｙａｂｕｓｉｖｅｗｏｒｄｓｉｎＧａｏａｎｄｉａｌｅｃｔｉｓｊｕｓｔａｎｅｐｉｔｏｍｅｏｆｓｕｃｈａｍｅｎｔａｌｉｔｙ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:Ｇａｏａｎｄｉａｌｅｃｔꎻａｂｕｓｉｖｅｗｏｒｄꎻｆｏｌｋｃｕｓｔｏｍｓꎻｍｅｎｔａｌｉｔｙ６２。

T4 系列使用手册说明书

5. 组态设定 ................................................................................................................37 5.1 选单架构......................................................................................................37 5.2 参数设定......................................................................................................40 5.2.1 使用者设定.......................................................................................40 5.2.2 传输设定...........................................................................................40 5.2.3 打印机设定.......................................................................................42
I T4 系列使用手册
Ver:1.0
5.2.4 测试打印...........................................................................................44 5.2.5 内存...................................................................................................44 5.2.6 表格...................................................................................................44 5.2.7 警告讯息...........................................................................................45 5.2.8 打印机状态.......................................................................................46 6. 故障排除 ................................................................................................................47 6.1 液晶屏幕错误讯息......................................................................................47 7. 規格 ........................................................................................................................48 7.1 T4+系列規格................................................................................................48 7.2 通用序列总线(USB)接脚图.......................................................................50 7.3 串行端口脚位图..........................................................................................51 7.4 以太网络脚位图..........................................................................................51

第二章第3讲函数的奇偶性、周期性与对称性-2025年高考数学备考

第二章函数第3讲函数的奇偶性、周期性与对称性课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解周期性的概念和几何意义.函数的奇偶性2023新高考卷ⅠT11；2023新高考卷ⅡT4；2023全国卷乙T4；2023全国卷甲T13；2022新高考卷ⅠT12；2022全国卷乙T16；2021全国卷乙T4；2021全国卷甲T12；2021新高考卷ⅠT13；2021新高考卷ⅡT8；2021新高考卷ⅡT14；2020全国卷ⅡT9；2020新高考卷ⅠT8；2019全国卷ⅡT14；2019全国卷ⅢT11本讲为高考命题重点，命题热点有函数奇偶性的判断，利用函数的奇偶性求解析式、求函数值、解不等式等，函数周期性的判断及应用.题型以选择题、填空题为主，函数性质综合命题时难度中等偏大.预计2025年高考命题稳定，备考时注重常规题型训练的同时，关注命题角度创新试题及抽象函数性质的灵活运用.函数的周期性2022新高考卷ⅠT12；2022新高考卷ⅡT8；2022全国卷乙T12函数图象的对称性2022全国卷乙T12函数性质的综合应用2022新高考卷ⅠT12；2022全国卷乙T12；2021新高考卷ⅡT8；2021全国卷甲T12；2020新高考卷ⅠT8；2019全国卷ⅢT11学生用书P0241.函数的奇偶性奇偶性定义图象特征特性单调性奇函数一般地，设函数f （x ）的定义域为D ，如果∀x ∈D ，都有－x ∈D ，且①f （－x ）＝关于②原点对称.（1）如果定义域中包含0，那么f （0）＝③0.（2）若函数在关于原在关于原点对称的区间上单调性⑤相同.－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数.点对称的区间上有最值，则f（x）max＋f（x）min＝④0.偶函数一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且⑥f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数.关于⑦y轴对称.f（x）＝f（｜x｜）.在关于原点对称的区间上单调性⑧相反.注意（1）只有函数在x＝0处有定义时，f（0）＝0才是f（x）为奇函数的必要不充分条件；（2）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f（x）＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集.规律总结1.常见的奇（偶）函数（1）函数f（x）＝a x＋a－x为偶函数，函数g（x）＝a x－a－x为奇函数；（2）函数f（x）＝－－＋－＝2－12+1为奇函数，函数g（x）＝log a－＋为奇函数；（3）函数f（x）＝log a（x＋2+1）为奇函数，函数g（x）＝log a（2+1－x）也为奇函数.2.函数奇偶性的拓展结论（1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则f（x＋a）＝f（－x＋a），函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.（2）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则f（x＋b）＋f（－x＋b）＝0，函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称.2.函数的周期性（1）周期函数一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且⑨f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.（2）最小正周期如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的⑩最小正周期.注意并不是所有的周期函数都有最小正周期，如f（x）＝5.常用结论函数周期性的常用结论设函数y＝f（x），x∈R，a＞0，a≠b.（1）若f（x＋a）＝－f（x），则2a是函数f（x）的周期；（2）若f（x＋a）＝±1（），则2a是函数f（x）的周期；（3）若f（x＋a）＝f（x＋b），则｜a－b｜是函数f（x）的周期.3.函数图象的对称性已知函数f（x）是定义在R上的函数，（1）若f（a＋x）＝f（b－x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线⑪x＝＋2对称.（2）若f（a＋x）＋f（b－x）＝c，则y＝f（x）的图象关于点⑫（＋2，2）对称.注意（1）奇、偶函数的图象平移之后对应的函数不一定有奇偶性，但其图象一定有对称性.（2）注意区分抽象函数的周期性与对称性的表示，周期性的表示中，括号内x的符号相同，对称性的表示中，括号内x的符号相反.常用结论函数f（x）图象的对称性与周期的关系（1）若函数f（x）的图象关于直线x＝a与直线x＝b对称，则函数f（x）的周期为2｜b－a｜；（2）若函数f（x）的图象既关于点（a，0）对称，又关于点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为2｜b－a｜；（3）若函数f（x）的图象既关于直线x＝a对称，又关于点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为4｜b－a｜.1.已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2＋1，则f（－1）＝（A）A.－2B.0C.1D.22.函数f（x）＝r1图象的对称中心为（B）A.（0，0）B.（0，1）C.（1，0）D.（1，1）解析由题知f（x）＝r1＝1＋1，其图象可由y＝1的图象向上平移一个单位长度得到，又y＝1的图象关于（0，0）对称，所以f（x）＝1＋1的图象关于（0，1）对称.3.[多选]以下函数为偶函数的是（AC）A.f（x）＝x2－1B.f（x）＝x3C.f（x）＝x2＋cos xD.f（x）＝1＋｜x｜4.已知函数f（x）为R上的偶函数，且当x＜0时，f（x）＝x（x－1），则当x＞0时，f（x）＝x（x＋1）.5.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x－2），当x∈[0，2）时，f（x）＝x2－4x，则当x∈[4，6）时，f（x）＝x2－12x＋32.解析设x∈[4，6），则x－4∈[0，2），则f（x－4）＝（x－4）2－4（x－4）＝x2－12x ＋32.又f（x）＝f（x－2），所以函数f（x）的周期为2，所以f（x－4）＝f（x），所以当x∈[4，6）时，f（x）＝x2－12x＋32.6.[2024北京市海淀区中国农业大学附属中学模拟]若f（x）＝＋，<0，B－1，>0是奇函数，则a＝1，b＝1.解析由f（x）为奇函数，知f（－x）＝－f（x），当x＞0时，可得－x＋a＝－bx＋1，所以b＝1，a＝1.学生用书P026命题点1函数的奇偶性角度1判断函数的奇偶性例1（1）[全国卷Ⅰ]设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（B）A.f（x）g（x）是偶函数B.f（x）｜g（x）｜是奇函数C.｜f（x）｜g（x）是奇函数D.｜f（x）g（x）｜是奇函数解析因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以f（x）g（x）为奇函数，f（x）·｜g（x）｜为奇函数，｜f（x）｜g（x）为偶函数，｜f（x）g（x）｜为偶函数，故选B.（2）[2021全国卷乙]设函数f （x ）＝1－1+，则下列函数中为奇函数的是（B ）A.f （x －1）－1B.f （x －1）＋1C.f （x ＋1）－1D.f （x ＋1）＋1解析解法一因为f （x ）＝1－1+，所以f （x －1）＝1－（－1）1+（－1）＝2－，f （x ＋1）＝1－（r1）1+（r1）＝－r2.对于A ，F （x ）＝f （x －1）－1＝2－－1＝2－2，定义域关于原点对称，但不满足F （x ）＝－F （－x ）；对于B ，G （x ）＝f （x －1）＋1＝2－＋1＝2，定义域关于原点对称，且满足G （x ）＝－G （－x ）；对于C ，f （x ＋1）－1＝－r2－1，定义域不关于原点对称；对于D ，f （x ＋1）＋1＝－r2＋1，定义域不关于原点对称.故选B.解法二f （x ）＝1－1+＝2－（r1）1+＝21+－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y ＝f （x ）的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y ＝f （x －1）＋1，故选B.方法技巧1.（1）函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提条件；（2）若定义域关于原点对称，则判断f （x ）与f （－x ）是否具有等量关系，具体运算中，可转化为判断f （x ）＋f （－x ）＝0（奇函数）或f （x ）－f （－x ）＝0（偶函数）是否成立.2.在公共定义域内有：奇函数±奇函数＝奇函数，偶函数±偶函数＝偶函数，奇函数×奇函数＝偶函数，偶函数×偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数.注意对于分段函数奇偶性的判断，要分段判断f （－x ）＝f （x ）或f （－x ）＝－f （x ）是否成立，只有当所有区间都满足相同关系时，才能判断该分段函数的奇偶性.角度2函数奇偶性的应用例2（1）[2023新高考卷Ⅱ]若f （x ）＝（x ＋a ）·ln 2－12r1为偶函数，则a ＝（B ）A.－1B.0C.12D.1解析解法一设g（x）＝ln2－12r1，易知g（x）的定义域为（－∞，－12）∪（12，＋∞），且g（－x）＝ln－2－1＝ln2r12－1＝－ln2－12r1＝－g（x），所以g（x）为奇函数.若－2r1f（x）＝（x＋a）ln2－12r1为偶函数，则y＝x＋a应为奇函数，所以a＝0，故选B.解法二因为f（x）＝（x＋a）ln2－12r1为偶函数，f（－1）＝（a－1）ln3，f（1）＝（a＋1）ln13＝－（a＋1）ln3，所以（a－1）ln3＝－（a＋1）ln3，解得a＝0，经检验，满足题意，故选B.（2）[2024江苏南通模拟]已知定义在R上的函数f（x），g（x）分别是奇函数和偶函数，且f（x）＋g（x）＝x2－2x，则f（2）＋g（1）＝－3.解析由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，得f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），∵f（x）＋g（x）＝x2－2x，∴f（－x）＋g（－x）＝（－x）2－2（－x）＝x2＋2x，即－f（x）＋g（x）＝x2＋2x，则有f（x）＝－2x，g（x）＝x2，则f（2）＋g（1）＝－4＋1＝－3.方法技巧函数奇偶性的应用类型及解题策略（1）求函数解析式或函数值：借助奇偶性转化为求已知区间上的函数解析式或函数值，或利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组）求解析式.（2）求参数值：利用定义域关于原点对称或f（x）±f（－x）＝0列方程（组）求解，对于在x＝0处有定义的奇函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解.注意利用特殊值法求参数时要检验.训练1（1）[2024辽宁鞍山一中模拟]下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的是（C）A.f（x）＝x ln xB.f（x）＝ln（－x＋2+1）C.f（x）＝e x＋e－xD.f（x）＝e x－e－x解析对于A，因为f（x）＝x ln x的定义域为（0，＋∞），不关于原点对称，所以f（x）＝x ln x不是偶函数，故A选项不符合题意；对于B，因为f（x）＝ln（－x＋2+1）的定义域为R，关于原点对称，f（x）＋f（－x）＝ln（－x＋2+1）＋ln（x＋2+1）＝ln 1＝0，所以f （x ）＝ln （－x ＋2+1）是奇函数，故B 选项不符合题意；对于C ，因为f （x ）＝e x ＋e －x 的定义域为R ，关于原点对称，且f （－x ）＝e －x ＋e x ＝f （x ），所以f （x ）＝e x ＋e －x 是偶函数.f '（x ）＝e x －e －x ，当x ∈（0，＋∞）时，有e ＞e 0=1>e －，则f '（x ）＝e x －e －x ＞0，所以f （x ）＝e x ＋e －x 在（0，＋∞）上单调递增，故C 选项符合题意；对于D ，因为f （x ）＝e x －e －x 的定义域为R ，关于原点对称，但f （－x ）＝e －x －e x ＝－（e x －e －x ）＝－f （x ），所以f （x ）＝e x －e －x 是奇函数，故D 选项不符合题意.故选C.（2）[2024江苏省扬州中学模拟]定义在R 上的奇函数f （x ），当x ≥0时，f （x ）＝2x －a ·3－x ，当x ＜0时，f （x ）＝3x －2－x.解析因为函数f （x ）为奇函数，定义域为R ，所以f （0）＝20－a ×30＝0，解得a ＝1.若x ＜0，则－x ＞0，所以f （－x ）＝2－x －3x ，又f （x ）为奇函数，所以当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝3x －2－x ，即当x ＜0时，f （x ）＝3x －2－x .命题点2函数的周期性例3（1）已知f （x ＋1）是定义在R 上且周期为2的函数，当x ∈[－1，1）时，f （x ）＝－22+4,－1≤<0，sin π，0≤<1，则f （3）·f （－103）＝（A）A.3B.－3C.解析因为f （x ＋1）是定义在R 上且周期为2的函数，所以f （x ）也是周期为2的函数，（解题关键：由f （x ＋1）的周期得到f （x ）的周期）则f （3）＝f （－1）＝－2＋4＝2，f （－103）＝f （23）＝sin 2π3＝f （3）·f （－103）＝2＝3，故选A.（2）[2022新高考卷Ⅱ]已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝f （x ）·f （y ），f （1）＝1，则∑J122f （k ）＝（A ）A.－3B.－2C.0D.1解析因为f （1）＝1，所以在f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝f （x ）f （y ）中，令y ＝1，得f （x ＋1）＋f （x －1）＝f （x ）f （1），所以f （x ＋1）＋f （x －1）＝f （x ）①，所以f （x＋2）＋f （x ）＝f （x ＋1）②.由①②相加，得f （x ＋2）＋f （x －1）＝0，故f （x ＋3）＋f （x ）＝0，所以f （x ＋3）＝－f （x ），所以f （x ＋6）＝－f （x ＋3）＝f （x ），所以函数f （x ）的一个周期为6.在f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝f （x ）f （y ）中，令x ＝1，y ＝0，得f （1）＋f （1）＝f （1）f （0），所以f （0）＝2，再令x ＝0，代入f （x ＋3）＋f （x ）＝0，得f （3）＝－2.令x ＝1，y ＝1，得f （2）＋f （0）＝f （1）f （1），所以f （2）＝－1.由f （x ＋3）＋f （x ）＝0，得f （1）＋f （4）＝0，f （2）＋f （5）＝0，f （3）＋f （6）＝0，所以f （1）＋f （2）＋…＋f （6）＝0，根据函数的周期性知，∑J122f （k ）＝f （1）＋f （2）＋f （3）＋f （4）＝f （2）＋f （3）＝－1－2＝－3，故选A.方法技巧（1）利用函数的周期性可以将局部的函数性质扩展到整体.（2）判断抽象函数的周期一般需要对变量进行赋值.训练2（1）[2024广东梅州模拟]已知函数f （x ）＝e r1，≤1，－（－1),>1，则f （2024－ln 2）＝（A ）A.－22B.－2C.2D.22解析当x ＞1时，f （x ）＝－f （x －1），则f （x ＋2）＝－f （x ＋1）＝f （x ），所以x ＞1时，f （x ）是周期为2的函数.因为2024－ln 2＝2022＋2－ln 2，且2＞2－ln 2＞2－ln e ＝1，所以f （2024－ln 2）＝f （2－ln 2）＝－f （1－ln 2）＝－e1－ln 2＋1＝－e 2e ln2＝－e 22.故选A.（2）[2024云南部分名校联考]已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）＋f （4－x ）＝0，当0≤x ≤2时，f （x ）＝a ·2x ＋x 2，则f （2024）＝－1.解析因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）＋f （4－x ）＝0，所以f （x ）＝－f （4－x ）＝－f （x －4），f （x －4）＝－f （x －8），所以f （x ）＝f （x －8），故f （x ）是以8为周期的函数，则f （2024）＝f （0）.令x ＝2，则f （2）＋f （4－2）＝2f （2）＝8a ＋8＝0，则a ＝－1，所以f （0）＝－20＝－1，即f （2024）＝－1.命题点3函数图象的对称性例4（1）已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （－x ）＝2－f （x ），若函数y ＝r1与y ＝f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），则∑i=1（x i ＋y i ）＝（B）A.0B.mC.2mD.4m解析由f （－x ）＝2－f （x ）知f （x ）的图象关于点（0，1）对称，而y ＝r1＝1＋1的图象也关于点（0，1）对称，因此两个函数图象的交点也关于点（0，1）对称，且成对出现，则x1＋x m＝x2＋x m－1＝…＝0，y1＋y m＝y2＋y m－1＝…＝2，所以∑i=1（x i＋y i）＝0×2＋2×2＝m.（2）函数f（x）＝（x2－1）（e x－e－x）＋x＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为2.解析设g（x）＝（x2－1）（e x－e－x）＋x，则f（x）＝g（x）＋1.因为g（－x）＝（x2－1）（e－x－e x）－x＝－g（x），且g（x）的定义域关于原点对称，所以g（x）是奇函数.由奇函数图象的对称性知g（x）max＋g（x）min＝0，故M＋N＝[g（x）＋1]max＋[g（x）＋1]min＝2＋g（x）max＋g（x）min＝2.方法技巧1.解决与函数图象的对称性有关的问题，应结合题设条件的结构特征及对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心，进而利用对称性解决求值或参数问题.2.常用结论：三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象的对称中心为（－3，f（－3））.训练3（1）[多选]关于函数f（x）＝sin x＋1sin，下列结论正确的是（BC）A.f（x）的图象关于y轴对称B.f（x）的图象关于原点对称C.f（x）的图象关于直线x＝π2对称D.f（x）的最小值为2解析由题意知f（x）的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}，且关于原点对称.又f（－x）＝sin（－x）＋1sin（－）＝－（sin x＋1sin）＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，所以A错误，B正确.因为f（π－x）＝sin（π－x）＋1sin（π－）＝sin x＋1sin＝f（x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝π2对称，C正确.当sin x＜0时，f（x）＜0，所以D错误.故选BC.（2）已知函数f（x）＝x3－3x2＋x＋1＋sin（x－1），则函数f（x）在（0，2）上的最大值与最小值的和为0.解析由三次函数图象的对称性可得，y＝x3－3x2＋x＋1的图象的对称中心为（1，0），因为y＝sin（x－1）的图象也关于（1，0）对称，所以函数f（x）在（0，2）上的图象关于（1，0）对称，所以f（x）在（0，2）上的最大值与最小值的和为0.命题点4函数性质的综合应用例5（1）[2021全国卷甲]设函数f（x）的定义域为R，f（x＋1）为奇函数，f（x＋2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2＋b.若f（0）＋f（3）＝6，则f（92）＝（D）A.－94 B.－32 C.74 D.52解析因为f（x＋1）为奇函数，所以函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，即有f（x）＋f（2－x）＝0，令x＝1，得f（1）＝0，即a＋b＝0①，令x＝0，得f（0）＝－f（2）.因为f（x＋2）为偶函数，所以函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，即有f（x）－f（4－x）＝0，令x＝1，得f（3）＝f（1），所以f（0）＋f（3）＝－f（2）＋f（1）＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6②.根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f（x）＝－2x2＋2.根据函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，且关于点（1，0）对称，可得函数f（x）的周期为4，所以f（92）＝f（12）＝－f（32）＝2×（32）2－2＝52.（2）[2024平许济洛第一次质检]定义在R上的偶函数f（x）满足f（2－x）＋f（x）＝0，且f（x）在[－2，0]上单调递增.若a＝f（tan5π18），b＝f（3），c＝f（log43），则（A）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜b＜aD.c＜a＜b解析由f（2－x）＋f（x）＝0可得f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，由f（x）为偶函数可得f（x）的图象关于y轴对称，根据函数周期性结论可得函数f（x）的周期为4，所以f（3）＝f（3－4）＝f（－1）＝f（1），因为0＜log43＜1，1＝tanπ4＜tan5π18＜tanπ3＝3＜2，所以0＜log43＜1＜tan5π18＜2，因为偶函数f（x）在[－2，0]上单调递增，所以函数f（x）在（0，2]上单调递减，所以f（tan5π18）＜f（1）＝f（3）＜f（log43），即a＜b＜c.故选A.方法技巧1.对于函数单调性与奇偶性的综合问题，常利用奇、偶函数的图象的对称性，以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性求解.2.对于函数周期性与奇偶性的综合问题，常利用奇偶性及周期性将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的自变量的取值范围内求解.3.函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，在解题时，往往需要先借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.训练4（1）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝e x＋x2＋x，则不等式f（2－a）＋f（2a－3）＞0的解集为（B）A.（－1，＋∞）B.（1，＋∞）C.（－∞，－1）D.（－∞，1）解析易知f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且在（0，＋∞）上，f（x）＞1.因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0，f（x）在（－∞，0）上单调递增，且在（－∞，0）上f（x）＜－1，故f（x）在R上单调递增.原不等式可化为f（2－a）＞－f（2a－3），即f（2－a）＞f（3－2a），所以2－a＞3－2a，故a＞1，选B.（2）[2024湖北部分重点中学联考]已知函数y＝f（x）是R上的奇函数，∀x∈R，都有f（2－x）＝f（x）＋f（2）成立，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2024）＝0.解析因为函数f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0.因为∀x∈R，都有f（2－x）＝f（x）＋f（2），所以令x＝2，得f（0）＝2f（2），得f（2）＝0，所以f（2－x）＝f（x），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称.因为函数f（x）的图象关于原点对称，所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，且函数f（x）的图象关于点（2，0）中心对称，则f（1）＋f（3）＝0，又f（2）＝0，f（4）＝f（0）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2024）＝506[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）]＝0.学生用书P028抽象函数问题的解题策略策略1赋值法例6[多选/2023新高考卷Ⅰ]已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝y2f（x）＋x2f（y），则（ABC）A.f（0）＝0B.f（1）＝0C.f（x）是偶函数D.x＝0为f（x）的极小值点解析解法一令x＝y，则有f（x2）＝2x2f（x）.当x＝0时，可得f（0）＝0，A正确.当x ＝1时，可得f（1）＝2f（1），所以f（1）＝0，B正确.因为f（（－x）2）＝2（－x）2·f（－x），即f（x2）＝2x2f（－x），所以f（－x）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，C 正确.因为无法判断函数f（x）的单调性，所以无法确定f（x）的极值点，故D不正确，故选ABC.解法二取x＝y＝0，则f（0）＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f（1）＝f（1）＋f（1），所以f（1）＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f（1）＝f（－1）＋f（－1），所以f（－1）＝0，取y＝－1，则f（－x）＝f（x）＋x2f（－1），所以f（－x）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，故C正确；因为f（0）＝0，且函数f（x）为偶函数，所以函数f（x）的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f（x）的极小值点，也可能为函数f（x）的极大值点，也可能不是函数f（x）的极值点，故D不正确.综上，选ABC.方法技巧赋值法是指利用已知条件，对变量赋值，从而得出抽象函数在某点处的函数值或抽象函数的性质.策略2性质转化法例7（1）[2022全国卷乙]已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）＋g（2－x）＝5，g（x）－f（x－4）＝7.若y＝g（x）的图象关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则∑22J1f（k）＝（D）A.－21B.－22C.－23D.－24解析由y＝g（x）的图象关于直线x＝2对称，可得g（2＋x）＝g（2－x）.在f（x）＋g（2－x）＝5中，用－x替换x，可得f（－x）＋g（2＋x）＝5，可得f（－x）＝f（x）①，所以y＝f（x）为偶函数.在g（x）－f（x－4）＝7中，用2－x替换x，得g（2－x）＝f（－x－2）＋7，代入f（x）＋g（2－x）＝5中，得f（x）＋f（－x－2）＝－2②，所以y＝f（x）的图象关于点（－1，－1）中心对称，所以f（1）＝f（－1）＝－1.由①②可得f （x ）＋f （x ＋2）＝－2，所以f （x ＋2）＋f （x ＋4）＝－2，所以f （x ＋4）＝f （x ），所以函数f （x ）是以4为周期的周期函数.由f （x ）＋g （2－x ）＝5可得f （0）＋g （2）＝5，又g （2）＝4，所以可得f （0）＝1，又f （x ）＋f （x ＋2）＝－2，所以f （0）＋f （2）＝－2，得f （2）＝－3，又f （3）＝f （－1）＝－1，f （4）＝f （0）＝1，所以∑J122f （k ）＝5（f （1）＋f （2）＋f （3）＋f （4））＋f （1）＋f （2）＝－24.故选D.（2）[多选/2022新高考卷Ⅰ]已知函数f （x ）及其导函数f '（x ）的定义域均为R ，记g （x ）＝f '（x ）.若f （32－2x ），g （2＋x ）均为偶函数，则（BC ）A.f （0）＝0B.g （－12）＝0C.f （－1）＝f （4）D.g （－1）＝g （2）解析解法一（转化法）因为f （32－2x ）为偶函数，所以f （32－2x ）＝f （32＋2x ），函数f （x ）的图象关于直线x ＝32对称，则f （－1）＝f （4），所以C 正确；因为g （2＋x ）为偶函数，所以g （2＋x ）＝g （2－x ），函数g （x ）的图象关于直线x ＝2对称，因为g （x ）＝f'（x ），所以函数g （x ）的图象关于点（32，0）对称，（二级结论：若函数h （x ）为偶函数，则其图象上在关于y 轴对称的点处的切线的斜率互为相反数，即其导函数的图象关于原点对称.本题函数f （x ）的图象关于直线x ＝32对称，则其导函数g （x ）的图象关于点（32，0）对称）因为g （x ）的定义域为R ，所以g （32）＝0.由g （x ）的图象既关于直线x ＝2对称，又关于点（32，0）对称，知g （x ）的周期T ＝4×（2－32）＝2，所以g （－12）＝g （32）＝0，g （－1）＝g （1）＝－g （2），所以B 正确，D 错误；不妨取f （x ）＝1（x ∈R ），经验证满足题意，则f （0）＝1，所以选项A 不正确.综上，选BC.解法二（特例法）因为f （32－2x ），g （2＋x ）均为偶函数，所以函数f （x ）的图象关于直线x ＝32对称，函数g （x ）的图象关于直线x ＝2对称.取符合题意的一个函数f （x ）＝1（x ∈R ），则f （0）＝1，排除A ；取符合题意的一个函数f （x ）＝sin πx ，则f'（x ）＝πcos πx ，即g （x ）＝πcos πx ，所以g （－1）＝πcos （－π）＝－π，g （2）＝πcos 2π＝π，所以g （－1）≠g （2），排除D.又该题为多选题，选BC.方法技巧1.思路：利用题设中的条件等式，将其变形为满足函数某些性质的定义表达式，从而利用这些性质转化求解.2.设函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R.（1）若f（x）的图象关于x＝a对称，则f'（x）的图象关于（a，0）对称；（2）若f（x）的图象关于（a，b）对称，则f'（x）的图象关于x＝a对称；（3）若f（x）是以T为周期的函数，则f'（x）也是以T为周期的函数.注意利用函数图象的平移变换解决抽象函数性质问题时，注意在进行图象变换的同时，函数图象的对称轴或者对称中心也进行了相应的变换.策略3特殊函数模型法例8定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy（x，y∈R），f（1）＝2，则f（－3）＝（C）A.2B.3C.6D.9解析解法一由函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy（x，y∈R），联想到函数模型f（x）＝x2＋bx，由f（1）＝2，可得b＝1，则f（x）＝x2＋x，所以f（－3）＝（－3）2＋（－3）＝6.解法二f（1）＝f（1＋0）＝f（1）＋f（0）＋2×1×0＝f（1）＋f（0），得f（0）＝0；f（0）＝f（－1＋1）＝f（－1）＋f（1）＋2×（－1）×1＝f（－1）＋2－2＝f（－1），得f（－1）＝0；f（－2）＝f（－1－1）＝f（－1）＋f（－1）＋2×（－1）×（－1）＝2f（－1）＋2＝2；f（－3）＝f（－2－1）＝f（－2）＋f（－1）＋2×（－2）×（－1）＝2＋0＋4＝6.故选C.方法技巧常用函数模型抽象函数性质基本函数模型f（x±y）＝f（x）±f（y）∓b一次函数f（x）＝kx＋b（k≠0）f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy二次函数f（x）＝x2＋bxf（xy）＝f（x）f（y）或f（）＝（）（）幂函数f（x）＝xαf（x＋y）＝f（x）f（y）或f（x－y）＝（）（）指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）f（xy）＝f（x）＋f（y）或f（）＝f（x）－对数函数f（x）＝log a x（a＞0，且a≠1）f（y）f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）f（y）余弦函数f（x）＝cosωx（ω一般取满足要求的最小正数）注意应用特殊函数模型法解题时，要注意检验所选模型是否满足已知条件.训练5（1）[新高考卷Ⅰ]若定义在R上的奇函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是（D）A.[－1，1]∪[3，＋∞）B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞）D.[－1，0]∪[1，3]解析由题意知f（x）在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减，且f（－2）＝f（2）＝f（0）＝0.当x＞0时，令f（x－1）≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x＜0时，令f（x－1）≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x＜0，∴－1≤x＜0；当x＝0时，显然符合题意.综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，故选D.（2）[多选/2024安徽省阜阳市模拟]已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x－y）＝f（x）－f（y）＋1，且f（1）＝0，当x＞0时，f（x）＜1.则下列选项正确的是（ACD）A.f（0）＝1B.f（2）＝－2C.f（x）－1为奇函数D.f（x）为R上的减函数解析解法一设f（x）＝kx＋1，因为f（1）＝0，所以k＝－1，所以f（x）＝－x＋1，满足x＞0时，f（x）＜1，则易得A，C，D均正确，故选ACD.解法二对于A，取x＝y＝0，则f（0）＝f（0）－f（0）＋1，故f（0）＝1，A正确；对于B，取x＝0，y＝1，则f（－1）＝f（0）－f（1）＋1＝2，取x＝1，y＝－1，则f（2）＝f（1）－f（－1）＋1＝－1，B错误﹔对于C，取x＝0，则f（－y）＝f（0）－f（y）＋1＝2－f（y），f（－y）－1＝－[f（y）－1]，则f（y）－1为奇函数，所以f（x）－1为奇函数，C正确；对于D，当x1＞x2时，x1－x2＞0，f（x1－x2）＜1，则f（x1）－f（x2）＝f（x1－x2）－1＜0，故f（x）是R上的减函数，D正确，故选ACD.（3）已知函数f（x）满足f（1）＝14，且4f（x）f（y）＝f（x＋y）＋f（x－y）（x，y∈R），则f（2024）＝－14.解析解法一令y＝1，得4f（x）f（1）＝f（x＋1）＋f（x－1），即f（x＋1）＝f（x）－f（x－1），f（x＋2）＝f（x＋1）－f（x）＝－f（x－1），即f（x＋3）＝－f（x），所以函数f（x）的周期为6，则f（2024）＝f（2）.令x＝1，y＝0，得f（0）＝12，由f（x＋1）＝f（x）－f（x－1），可得f（2）＝f（1）－f（0）＝－14，所以f（2024）＝－14.解法二因为f（x＋y）＋f（x－y）＝4f（x）f（y），x，y∈R，联想到余弦函数模型cos（x＋y）＋cos（x－y）＝2cos x cos y，两边同除以2，得12cos（x＋y）＋12cos（x－y）＝cos x cos y＝4·12cos x12cos y，故猜想f（x）＝12cos（ωx），又f（1）＝14，则f（1）＝12cosω＝14，当ω∈（0，π）时，可得ω＝π3，即f（x）＝12cos（π3x），故f（x）的周期为T＝6，所以f（2024）＝f（2）＝12cos2π3＝－14.1.[命题点1角度2/全国卷Ⅱ]设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e x－1，则当x＜0时，f（x）＝（D）A.e－x－1B.e－x＋1C.－e－x－1D.－e－x＋1解析依题意得，当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（e－x－1）＝－e－x＋1，故选D.2.[命题点1角度2/2023全国卷乙]已知f（x）＝x e B－1是偶函数，则a＝（D）A.－2B.－1C.1D.2解析解法一f（x）的定义域为{x｜x≠0}，因为f（x）是偶函数，所以f（x）＝f（－x），即x e B－1＝－x－e－B－1，即e（1－a）x－e x＝－e（a－1）x＋e－x，即e（1－a）x＋e（a－1）x＝e x＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0（舍去）或a＝2，故选D.解法二f（x）＝x e B－1＝e（－1）－e－，f（x）是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e（a-1）x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2，故选D.3.[命题点2，3/多选/2024江苏省兴化市名校联考]已知函数f（x）为R上的奇函数，g（x）＝f（x＋1）为偶函数，下列说法正确的有（ABD）A.f（x）图象关于直线x＝－1对称B.g（2023）＝0C.g（x）的周期为2D.对任意x∈R都有f（2－x）＝f（x）解析因为函数f （x ）为R 上的奇函数，所以函数f （x ）的图象关于点（0，0）中心对称，因为g （x ）＝f （x ＋1）为偶函数，所以f （－x ＋1）＝f （x ＋1），即函数f （x ）的图象关于x ＝1对称，所以f （－x ＋1）＝－f （－x －1），所以f （x －1）＝f （－x －1），所以函数f （x ）的图象关于x ＝－1对称，故A 正确；由f （－x ＋1）＝f （x ＋1）可得f （2－x ）＝f （x ），故D 正确；由f （2－x ）＝f （x ）可得f （2＋x ）＝f （－x ）＝－f （x ），所以f （4＋x ）＝f （x ），即函数f （x ）的周期为4，故C 错误；因为f （x ）的周期为4，所以g （2023）＝f （2024）＝f （0）＝0，故B 正确.故选ABD.4.[命题点3/2023大同学情调研]函数f （x ）＝6e +1＋B ｜｜+1在[－5，5]上的最大值为M ，最小值为N ，则M ＋N ＝（C ）A.3B.4C.6D.与m 的值有关解析由题意可知，f （x ）＝6e +1＋B ｜｜+1＝3－3（e －1）e +1＋B ｜｜+1，设g （x ）＝－3（e －1）e +1＋B ｜｜+1，则g （x ）的定义域为（－∞，＋∞），g （－x ）＝－3（e －－1）e －+1＋（－）｜－｜+1＝－[－3（e －1）e +1＋B ｜｜+1]＝－g （x ），所以g （x ）为奇函数，所以当x ∈[－5，5]时，g （x ）max ＋g （x ）min ＝0，所以当x ∈[－5，5]时，f （x ）max ＋f （x ）min ＝M ＋N ＝g （x ）max ＋3＋g （x ）min ＋3＝6，故选C.5.[思维帮角度1，2/2021新高考卷Ⅱ]设函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ＋2）为偶函数，f （2x ＋1）为奇函数，则（B ）A.f （－12）＝0B.f （－1）＝0C.f （2）＝0D.f （4）＝0解析因为函数f （2x ＋1）是奇函数，所以f （－2x ＋1）＝－f （2x ＋1），所以f （1）＝0，f （－1）＝－f （3）.因为函数f （x ＋2）是偶函数，所以f （x ＋2）＝f （－x ＋2），所以f （3）＝f （1），所以f （－1）＝－f （1）＝0.故选B.6.[思维帮角度2/多选/2023四省联考]已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（－∞，0]上均单调递减，则（BD ）A.f （f （1））＜f （f （2））B.f （g （1））＜f （g （2））C.g（f（1））＜g（f（2））D.g（g（1））＜g（g（2））解析因为f（x）与g（x）分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且两函数在（－∞，0]上均单调递减，所以f（x）在[0，＋∞）上单调递增，g（x）在[0，＋∞）上单调递减，即g（x）在R上单调递减，所以f（1）＜f（2），g（2）＜g（1）＜g（0）＝0，（提示：定义在R上的奇函数的图象必过原点）所以f（g（1））＜f（g（2）），g（f（1））＞g（f（2）），g（g（1））＜g（g（2）），故B，D正确，C不正确.若f（1）＜f（2）＜0，则f（f（1））＞f（f（2）），故A不正确.综上所述，选BD.学生用书·练习帮P2661.[2024黑龙江省鸡西市第一中学模拟]下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（C）A.f（x）＝tan（－x）B.f（x）＝2－xC.f（x）＝e－x－e xD.f（x）＝2解析f（x）＝tan（－x）＝－tan x的定义域是{x｜x≠kπ＋π2，k∈Z}，f（x）是奇函数，在定义域上不具有单调性，故A错误；f（x）＝2－x＝（12）x既不是奇函数也不是偶函数，在R上单调递减，故B错误；f（x）＝e－x－e x的定义域为R，∵f（－x）＝e x－e－x＝－f（x），∴f（x）是奇函数，∵y＝e－x，y＝－e x均为R上的减函数，∴f（x）在R上单调递减，故C正确；f（x）＝2的定义域为{x｜x≠0}，f（x）是奇函数，在定义域上不具有单调性，故D错误.故选C.2.若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）＋g（x）＝e x，则g（x）＝（D）A.e x－e－xB.12（e x＋e－x）C.12（e－x－e x）D.12（e x－e－x）解析因为f（x）＋g（x）＝e x，f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，所以f（－x）＋g（－x）＝f（x）－g（x）＝e－x，所以g（x）＝12（e x－e－x）.故选D.3.已知函数f（x）＝2+2，≥0，2－2，<0，若f（－a）＋f（a）≤2f（1），则实数a的取值范围是（C）A.[－1，0）B.[0，1]C.[－1，1]D.[－2，2]解析若x＜0，则－x＞0，f（－x）＝x2－2x＝f（x），若x＞0，则－x＜0，f（－x）＝x2＋2x＝f（x），故函数f（x）为偶函数，且当x≥0时，函数f（x）单调递增，由f（－a）＋f（a）≤2f（1），得2f（a）≤2f（1），即f（a）≤f（1），所以｜a｜≤1，所以－1≤a≤1.故选C.4.[2024青岛市检测]若函数f（x）＝cos x·lg（2＋－x）为奇函数，则m＝（C）A.－1B.0C.1D.±1解析解法一因为函数f（x）＝cos x·lg（2＋－x）为奇函数，又y＝cos x为偶函数，所以g（x）＝lg（2＋－x）为奇函数，则g（x）＋g（－x）＝0，即lg（2＋－x）＋lg（2＋＋x）＝0，即lg[（2＋－x）（2＋＋x）]＝lg（x2＋m－x2）＝lg m＝0，解得m＝1，故选C.解法二因为函数f（x）＝cos x·lg（2＋－x）为奇函数，又y＝cos x为偶函数，所以g（x）＝lg（2＋－x）为奇函数，所以g（0）＝0，即lg＝0，解得m＝1.经检验，符合题意.故选C.5.[2024安徽月考]已知函数f（x）＝2sin x＋x＋2，x∈[－2π，2π]，f（x）的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝（A）A.4 D.2π＋3－1解析因为y＝2sin x＋x的图象关于原点对称，所以f（x）＝2sin x＋x＋2的图象关于点（0，2）对称，所以f（x）在[－2π，2π]上的最大值与最小值的和M＋m＝4.故选A.6.[2023南京市、盐城市一模]若函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d满足f（1－x）＋f（1＋x）＝0对一切实数x恒成立，则不等式f'（2x＋3）＜f'（x－1）的解集为（C）A.（0，＋∞）B.（－∞，－4）C.（－4，0）D.（－∞，－4）∪（0，＋∞）解析由f（1－x）＋f（1＋x）＝0可知，函数f（x）的图象关于点（1，0）中心对称.解法一易得f'（x）＝3x2＋2bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，所以函数f'（x）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，则由f'（2x＋3）＜f'（x－1），得｜2x＋3－1｜＜｜x－1－1｜，解得－4＜x＜0，故选C.解法二函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象的对称中心为点（－3，f（－3）），由－3＝1，a＝1，得b＝－3，所以f'（x）＝3x2－6x＋c，由f'（2x＋3）＜f'（x－1），得3（2x＋3）2－6（2x＋3）＋c﹤3（x－1）2－6（x－1）＋c，解得－4＜x＜0，故选C. 7.[2024福州市一检]已知定义域为R的函数f（x）同时具有下列三个性质，则f（x）＝－x（答案不唯一）.（写出一个满足条件的函数即可）①f（x＋y）＝f（x）＋f（y）；②f（x）是奇函数；③当x＋y＞0时，f（x）＋f（y）＜0.解析因为f（x）是奇函数，且当x＋y＞0时，f（x）＋f（y）＜0，即x＞－y时，f（x）＜－f（y）＝f（－y），所以f（x）是单调递减函数，再考虑到f（x＋y）＝f（x）＋f（y），所以f（x）＝kx（k＜0）都符合题意.8.已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－2x2＋3x＋1，则f（x）的解析式为f（x解析当x＜0时，－x＞0，则f（－x）＝－2（－x）2＋3（－x）＋1＝－2x2－3x＋1.由于f（x）是R上的奇函数，故f（x）＝－f（－x），所以当x＜0时，f（x）＝2x2＋3x－1.因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0.综上，f（x）的解析式为f（x）＝－22+3+1，>0，0，=0，22+3－1，<0.9.[2024安徽六校联考]已知函数f（x）＝ln（2+1＋x）－2+1，则不等式f（x）＋f（2x－1）＞－2的解集是（A）A.（13，＋∞）B.（1，＋∞）C.（－∞，13）D.（－∞，1）解析因为2+1＞｜x｜≥－x，所以2+1＋x＞0在R上恒成立，所以函数f（x）的定义域为R，f（x）＝ln（2+1＋x）＋（e－1）－（e+1）e+1＝ln（2+1＋x）＋e－1e+1－1，令h（x）＝f（x）＋1＝ln（2+1＋x）＋e－1e+1，则h（x）＋h（－x）＝[ln（2+1＋x）＋e－1e+1]＋[ln（2+1－x）＋e－－1e－+1]＝ln（2+1＋x）＋ln（2+1－x）＋e－1e+1＋1－e1+e＝ln1＋0＝0，所以h（x）是奇函数.设g（x）＝ln（2+1＋x），则g（x）为奇函数.当x≥0时，y＝2+1，y＝x均单调递增，则y＝2+1＋x在[0，＋∞）上单调递增.所以g（x）＝ln（2+1＋x）在[0，＋∞）上单调递增.又g（x）为奇函数且g（0）＝0，所以g（x）在R上单调递增.又y＝e x＋1在R上单调递增，所以y＝2e+1在R上单调递减，所以y＝－2e+1在R上单调递增，所以h（x）＝g（x）－2e+1＋1在R上单调递增.不等式f（x）＋f（2x－1）＞－2，即f（x）＋1＞－[f（2x－1）＋1]，也即h（x）＞－h（2x－1）＝h（1－2x），所以x＞1－2x，解得x＞13.故选A.10.[2024黄冈模拟]已知函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，记g（x）＝f'（x＋1），且f（2＋x）－f（2－x）＝4x，g（3＋x）为偶函数，则g'（7）＋g（17）＝（C）A.0B.1C.2D.3解析因为g（3＋x）为偶函数，g（x）＝f'（x＋1），所以f'（x＋4）＝f'（－x＋4），对f（2＋x）－f（2－x）＝4x两边同时求导，得f'（2＋x）＋f'（2－x）＝4，所以有f'（4＋x）＋f'（－x）＝4⇒f'（4－x）＋f'（－x）＝4⇒f'（4＋x）＋f'（x）＝4⇒f'（8＋x）＝f'（x），所以函数f'（x）的周期为8，在f'（2＋x）＋f'（2－x）＝4中，令x＝0，得f'（2）＝2，因此g（17）＝f'（18）＝f'（2）＝2.因为g（3＋x）为偶函数，所以有g（3＋x）＝g（3－x）⇒g'（3＋x）＝－g'（3－x）⇒g'（7）＝－g'（－1）①，f'（8＋x）＝f'（x）⇒g（7＋x）＝g（x－1）⇒g'（7＋x）＝g'（x－1）⇒g'（7）＝g'（－1）②，由①②可得：g'（7）＝0，所以g'（7）＋g（17）＝2，故选C.11.[多选/2024辽宁开学考试]已知函数y ＝xf （x ）是R 上的偶函数，f （x －1）＋f （x ＋3）＝0，当x ∈[－2，0]时，f （x ）＝2x －2－x ＋x ，则（ACD ）A.f （x ）的图象关于直线x ＝2对称B.4是f （x ）的一个周期C.f （x ）在（0，2]上单调递增D.f （2024）＜f （12）＜f （0.50.2）解析由函数y ＝xf （x ）是R 上的偶函数可知，f （x ）为奇函数，则f （－x ）＝－f （x ）.又f （x －1）＋f （x ＋3）＝0，得f （x ）＋f （x ＋4）＝0，则f （x ＋4）＝－f （x ）＝f （－x ），所以f （x ＋2）＝f （2－x ），则f （x ）的图象关于直线x ＝2对称，A 项正确.由f （8＋x ）＝－f （4＋x ）＝f （x ）可知，8是f （x ）的一个周期，由f （x ）＝－f （x ＋4）可知，4不是f （x ）的一个周期，B 项错误.当x ∈[－2，0]时，易知f （x ）＝2x －2－x ＋x 为增函数，又f （x ）为奇函数，所以f （x ）在（0，2]上单调递增，C 项正确；又f （2024）＝f （8×253）＝f （0），0＜0.5＜0.50.2，且f （x ）在[－2，2]上单调递增，所以f （0）＜f （12）＜f （0.50.2），即f （2024）＜f （12）＜f （0.50.2），D 项正确.故选ACD.12.[多选/2024江西分宜中学、临川一中等校联考]已知函数y ＝f （x ）对任意实数x ，y 都满足2f （x ）f （y ）＝f （x ＋y ）＋f （x －y ），且f （1）＝－1，则（AC ）A.f （x ）是偶函数B.f （x ）是奇函数C.f （x ）＋f （1－x ）＝0D.∑J12025f （k ）＝1解析在2f （x ）f （y ）＝f （x ＋y ）＋f （x －y ）中，令x ＝1，y ＝0，可得2f （1）f （0）＝2f （1），即－2f （0）＝－2，解得f （0）＝1≠0，故f （x ）不是奇函数，B 错误；令x ＝0可得2f （0）f （y ）＝f （y ）＋f （－y ），即f （y ）＝f （－y ），故函数f （y ）是偶函数，即f （x ）是偶函数，故A 正确；令x ＝y ＝12，则2f 2（12）＝f （1）＋f （0）＝0，故f （12）＝0，令x ＝12，可得2f （12）f （y ）＝f （12＋y ）＋f （12－y ）＝0，故f （x ）＋f （1－x ）＝0，故C 正确；因为f （x ）是偶函数，所以f （x ）＝f （－x ），故f （－x ）＋f （1－x ）＝0，即f （x ）＋f （1＋x ）＝0，所以f （x ＋1）＋f （2＋x ）＝0，所以f （x ＋2）＝f （x ），故函数f （x ）的周期为2，因为f （1）＋f （0）＝0，f （1）＝－1，所以f （1）＋f （2）＝f （1）＋f （0）＝0，f （2025）＝f （1）＝－1，所以∑J12025f （k ）＝f （1）＋f （2）＋…＋f （2025）＝f （2025）＝f （1）＝－1，故D 错误.故选AC.13.[多选/2024南昌市模拟]f （x ）是定义在R 上的连续可导函数，其导函数为f'（x ），下列说法中正确的是（ACD ）A.若f （x ）＝f （－x ），则f'（x ）＝－f'（－x ）B.若f'（x ）＝f'（x ＋T ）（T ≠0），则f （x ）＝f （x ＋T ）C.若f （x ）的图象关于点（a ，b ）中心对称，则f'（x ）的图象关于直线x ＝a 轴对称D.若f （－1＋x ）＋f （－1－x ）＝2，f'（x ＋2）的图象关于原点对称，则f （－1）＋f'（2）＝1解析对于A ：f （x ）＝f （－x ）两边对x 求导，得f'（x ）＝－f'（－x ），故A 正确.对于B ：f （x ）＝f （x ＋T ）＋C （C 为常数）⇔f'（x ）＝f'（x ＋T ），则C ≠0时，B 错误.对于C ：f （x ）的图象有对称中心（a ，b ）⇒f （a －x ）＋f （a ＋x ）＝2b ，两边对x 求导，得－f'（a －x ）＋f'（a ＋x ）＝0，即f'（a －x ）＝f'（a ＋x ）⇒f'（x ）的图象关于直线x ＝a 对称，C 正确.对于D ：f （－1＋x ）＋f （－1－x ）＝2⇒f （x ）的图象有对称中心（－1，1），则f （－1）＝1.f'（x ＋2）的图象向右平移2个单位长度 f'（x ）的图象⇒f'（x ）的图象有对称中心（2，0），则f'（2）＝0.所以f （－1）＋f'（2）＝1＋0＝1，故D 正确.故选ACD.14.[2022全国卷乙]若f （x ）＝ln ｜a ＋11－｜＋b 是奇函数，则a ＝－12，b ＝ln2.解析解法一f （x ）＝ln ｜a ＋11－｜＋b ＝ln ｜a ＋11－｜＋ln e b ＝ln ｜（r1）e －x 1－｜.∵f （x ）为奇函数，∴f （－x ）＋f （x ）＝ln ｜（r1）2e 2－2e 221－2｜＝0，∴｜（a ＋1）2e 2b －a 2e 2b x 2｜＝｜1－x 2｜.当（a ＋1）2e 2b －a 2e 2b x 2＝1－x 2时，（+1）2e 2=1，2e 2=1，解得＝－12，＝ln2.当（a ＋1）2e 2b －a 2e 2b x 2＝－1＋x 2时，（+1）2e 2＝－1，2e 2＝－1，无解.综上，a ＝－12，b ＝ln 2.解法二易知x≠1.∵函数f（x）为奇函数，∴由奇函数定义域关于原点对称可得x≠－1，∴当x＝－1时，｜a＋11－｜≤0.又∵｜a＋11－｜≥0恒成立，∴当x＝－1时，｜a＋11－｜＝0，∴a＝－12.又由f（0）＝0可得b＝ln2.经检验符合题意，∴a＝－12，b＝ln2.15.[探索创新/2023广西联考]若定义在D上的函数f（x）满足下列条件：①∀x∈D，f（x－2）＋f（2－x）＝0恒成立；②∀x1，x2∈D，当x1≠x2时，x1f（x1）＋x2f（x2）＞x1f（x2）＋x2f（x1）恒成立；③∀x1∈R，∃x2∈D，使得f（x2）·21＝1成立.则称该函数为“χ函数”，下列函数可以称为“χ函数”的是（D）A.f（x）＝1－33r1+3B.f（x）＝2＋sin xC.f（x）＝x4－x2＋1D.f（x）＝ln（2＋1＋x）解析由①∀x∈D，f（x－2）＋f（2－x）＝0恒成立可知，y＝f（x）的图象关于原点对称，“χ函数”为奇函数.②∀x1，x2∈D，当x1≠x2时，x1f（x1）＋x2f（x2）＞x1f（x2）＋x2f（x1）恒成立，整理可得（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0，所以函数y＝f（x）在D上单调递增.③∀x1∈R，∃x2∈D，使得f（x2）·21＝1成立，整理可得f（x2）＝（12）1，因为∀x1∈R，y＝（12）1＞0，所以（0，＋∞）是f（x）的值域的子集.对于选项B，C，均不满足①，对于选项A，f（x）＝1－33r1+3＝2－（3+1）3（3+1）＝23（3+1）－13，在定义域内单调递减，不满足②，f（x）＝ln（2+1＋x）满足①②③，故选D.。

2025年高中数学高考精品备课教案：等差数列

等差数列课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n 项和公式，理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系.等差数列的基本运算2023新高考卷ⅠT20；2023全国卷乙T18；2023全国卷甲T5；2022新高考卷ⅡT3；2022全国卷乙T13；2021新高考卷ⅡT17；2021北京T6；2019全国卷ⅠT9；2019全国卷ⅢT14本讲的命题热点为等差数列的基本运算、等差数列的判定与证明、等差数列的性质的应用、等差数列前n 项和的最值，在客观题和主观题中都有可能出现，难度中等.考查学生的函数与方程思想和数学运算能力.预计2025年高考命题稳定，重点掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式及其变形应用，同时也要关注等差数列与其他知识的综合运用.等差数列的判定与证明2023新高考卷ⅠT7；2022全国卷甲T17；2021全国卷乙T19；2021全国卷甲T18等差数列的性质2020全国卷ⅡT4；2020新高考卷ⅠT14等差数列前n 项和的最值2022全国卷甲T17学生用书P0931.等差数列的概念（1）等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的①差都等于②同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.（2）等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的③等差中项，且A ＝④＋2.（3）等差数列的通项公式及其变形通项公式：⑤a n＝a1＋（n－1）d，其中a1是首项，d是公差.通项公式的变形：a n＝a m＋（n－m）d（m，n∈N*）.由an＝dn＋（a1－d）可知，当d≠0时，a n可看作关于n的一次函数.规律总结等差数列的单调性当d＞0时，数列{a n}为递增数列；当d＜0时，数列{a n}为递减数列；当d＝0时，数列{a n}为常数列.2.等差数列的前n项和（1）等差数列的前n项和公式：S n＝（1＋）2＝⑥na1＋（－1）2d.（2）由S n＝na1＋（－1）2d＝2n2＋（a1－2）n可知，当d≠0时，S n可看作关于n的二次函数，故可借助二次函数的图象和性质来研究S n的最值问题.3.等差数列的性质（1）等差数列项的性质设数列{a n}，{b n}均为等差数列.a.若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则a k＋a l＝a m＋a n，特别地，若p＋q＝2m，则⑦a p＋a q＝2a m.反之不一定成立.b.若{a n}公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为⑧2d.c.{pa n＋qb n}（p，q为常数）也是等差数列.d.若{a n}与{b n}有公共项，则{a n}与{b n}的公共项从小到大排成的新数列也是等差数列，首项是第一个相同的公共项，公差是{a n}与{b n}的公差的⑨最小公倍数.e.若{a n}公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…（k，m∈N*）组成公差为⑩md的等差数列，即下标成等差数列，则相应的项也成等差数列.f.若c是非零常数，则{}是等比数列.（2）等差数列前n项和的性质设S n为等差数列{a n}的前n项和.a.{}是等差数列，其首项等于⑪a1，公差是{a n}的公差的12.b.S m，S2m－S m，S3m－S2m，…（m∈N*）是等差数列.c.两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和S n，T n之间的关系为2－1＝⑫.2－11.[教材改编]如果三角形的三个内角成等差数列，则中间角的大小为60°.解析由题意可设三个内角分别为x－d，x，x＋d，则有（x－d）＋x＋（x＋d）＝180°，可得x＝60°.2.若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝8时，{a n}的前n项和最大.解析由a7＋a8＋a9＞0可得a8＞0，由a7＋a10＜0可得a8＋a9＜0，所以a9＜0，所以当n ＝8时，{a n}的前n项和最大.3.[教材改编]已知{a n}为等差数列，且a20＝30，a30＝20，则a50＝0.解析由题意可得，公差d＝20－3030－20＝－1，所以a50＝a20＋30d＝30－30＝0.4.[教材改编]某公司购置了一台价值220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，每经过一年，其价值减少20万元.当设备价值低于购进价值的5％时，设备将报废，则该机器最多使用10年.解析设使用n年后，该设备的价值为a n万元，则易知{a n}是以（220－20）为首项，－20为公差的等差数列，所以a n＝（220－20）＋（n－1）×（－20）＝220－20n.令220－20n≥220×5％，得n≤10.45，所以该设备最多使用10年.5.已知等差数列{a n}的项数为奇数，其中所有奇数项和为290，所有偶数项和为261，则该数列的项数为19.解析设等差数列{a n}的前n项和为S n，项数为2k－1，则奇偶＝－1＝290261，解得k＝10，则项数为2×10－1＝19.6.[易错题]已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋a n＋1＝n，则a20＝9.解析因为a n＋a n＋1＝n，所以a1＋a2＝1，a2＋a3＝2，…，a19＋a20＝19.因为a1＝1，所以可得a1＝1，a3＝2，a5＝3，a7＝4，…，和a2＝0，a4＝1，a6＝2，a8＝3，…，奇数项、偶数项分别构成等差数列，所以a2k＝k－1（k∈N*），所以a20＝10－1＝9.学生用书P094命题点1等差数列的基本运算例1[2023全国卷甲]记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝（C）A.25B.22C.20D.15解析解法一由a 2＋a 6＝10，可得2a 4＝10，所以a 4＝5，又a 4a 8＝45，所以a 8＝9.设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝8－48－4＝9－54＝1，又a 4＝5，所以a 1＝2，所以S 5＝5a 1＋5×42×d ＝20，故选C.解法二设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2＋a 6＝10，可得a 1＋3d ＝5①，由a 4a 8＝45，可得（a 1＋3d ）（a 1＋7d ）＝45②，由①②可得a 1＝2，d ＝1，所以S 5＝5a 1＋5×42×d＝20，故选C.例2[2023新高考卷Ⅰ]设等差数列{a n }的公差为d ，且d ＞1.令b n ＝2＋，记S n ，T n 分别为数列{a n }，{b n }的前n 项和.（1）若3a 2＝3a 1＋a 3，S 3＋T 3＝21，求{a n }的通项公式；（2）若{b n }为等差数列，且S 99－T 99＝99，求d .解析（1）因为3a 2＝3a 1＋a 3，所以3（a 2－a 1）＝a 1＋2d ，所以3d ＝a 1＋2d ，所以a 1＝d ，所以a n ＝nd .因为b n ＝2＋，所以b n ＝2＋B＝r1，所以S 3＝3（1＋3）2＝3（r3）2＝6d ，T 3＝b 1＋b 2＋b 3＝2＋3＋4＝9.因为S 3＋T 3＝21，所以6d ＋9＝21，解得d ＝3或d ＝12，因为d ＞1，所以d ＝3.所以{a n }的通项公式为a n ＝3n .（2）因为b n ＝2＋，且{b n }为等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，即2×62＝21＋123，所以61＋－11＝61+2，所以12－3a 1d ＋2d 2＝0，解得a 1＝d 或a 1＝2d .①当a 1＝d 时，a n ＝nd ，所以b n ＝2＋＝2＋B＝r1，S 99＝99（1＋99）2＝99（r99）2＝99×50d ，T 99＝99（1＋99）2＝99（2＋100）2＝99×51.因为S 99－T 99＝99，所以99×50d －99×51＝99，即50d 2－d －51＝0，解得d ＝5150或d ＝－1（舍去）.②当a 1＝2d 时，a n ＝（n ＋1）d ，所以b n ＝2＋＝2＋（r1）＝，S 99＝99（1＋99）2＝99（2r100）2＝99×51d ，T 99＝99（1＋99）2＝99（1＋99）2＝99×50.因为S 99－T 99＝99，所以99×51d －99×50＝99，即51d 2－d －50＝0，解得d ＝－5051（舍去）或d ＝1（舍去）.综上，d ＝5150.方法技巧1.等差数列基本运算中常用的数学思想方程思想等差数列中有五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，一般可“知三求二”，通过列方程（组）求解.整体思想将已知和所求都用a 1和d 表示，寻求两者之间的联系，整体代换求解.2.等差数列基本运算中常用的设元技巧若三个数成等差数列，可将三个数设为a －d ，a ，a ＋d ；若四个数成等差数列，可将四个数设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .训练1（1）[2021北京高考]已知{a n }和{b n }是两个等差数列，且（1≤k ≤5）是常值，若a 1＝288，a 5＝96，b 1＝192，则b 3的值为（C）A.64 B.100C.128D.132解析因为{a n }和{b n }是两个等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5＝288＋96＝384，所以a 3＝192，又当1≤k ≤5时，是常值，所以33＝11，即1923＝288192，从而b 3＝128.故选C.（2）[2022全国卷乙]记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若2S 3＝3S 2＋6，则公差d ＝2.解析因为2S 3＝3S 2＋6，所以2（3a 1＋3d ）＝3（2a 1＋d ）＋6，化简得3d ＝6，解得d ＝2.命题点2等差数列的判定与证明例3[2021全国卷甲]已知数列{a n }的各项均为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n }是等差数列；②数列{}是等差数列；③a 2＝3a 1.解析①③⇒②.已知数列{a n }是等差数列，a 2＝3a 1.设数列{a n}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，故d＝2a1，所以S n＝na1＋（－1）2d＝n2a1.因为数列{a n}的各项均为正数，所以＝n1，所以r1－＝（n＋1）1－n1＝1（常数），所以数列{}是等差数列.①②⇒③.已知数列{a n}是等差数列，{}是等差数列.设数列{a n}的公差为d，则S n＝na1＋（－1）2d＝12dn2＋（a1－2）n.因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项是关于n的一次函数，则a1－2＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{}的公差为d，则d＞0，2－1＝41－1＝d，得a1＝d2，所以＝1＋（n－1）d＝nd，所以S n＝n2d2，所以a n＝S n－S n－1＝n2d2－（n－1）2d2＝2d2n－d2（n≥2），a1＝d2也满足上式，所以a n＝2d2n－d2.因为a n－a n－1＝2d2n－d2－[2d2（n－1）－d2]＝2d2（常数）（n≥2），所以数列{a n}是等差数列.方法技巧等差数列的判定与证明的方法定义法a n－a n－1（n≥2，n∈N*）为同一常数⇔{a n}是等差数列＝a n＋a n－2（n≥3，n∈N*）成立⇔{a n}是等差数列等差中项法2a n－1通项公式法a n＝pn＋q（p，q为常数）对任意的正整数n都成立⇔{a n}是等差数列前n项和S n＝An2＋Bn（A，B为常数）对任意的正整数n都成立⇔{a n}是等差数列公式法训练2（1）[2023新高考卷Ⅰ]设S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数列；乙：{}为等差数列.则（C）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析若{a n}为等差数列，设其公差为d，则a n＝a1＋（n－1）d，所以S n＝na1＋（－1）2d，所以＝a1＋（n－1）·2，所以r1r1－＝a1＋（n＋1－1）·2－[a1＋（n－1）·2]＝2，为常数，所以{}为等差数列，即甲⇒乙；若{}为等差数列，设其公差为t，则＝11＋（n－1）t＝a1＋（n－1）t，所以S n＝na1＋n（n－1）t，所以当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝na1＋n（n－1）t－[（n－1）a1＋（n－1）（n－2）t]＝a1＋2（n－1）t，当n＝1时，S1＝a1也满足上式，所以a n＝a1＋2（n－1）t（n∈N*），所以a n＋1－a n＝a1＋2（n＋1－1）t －[a1＋2（n－1）t]＝2t，为常数，所以{a n}为等差数列，即甲⇐乙.所以甲是乙的充要条件，故选C.（2）[多选/2023福建莆田九中质检]已知数列{a n}的前n项和为S n，则下列结论正确的是（BCD）A.若数列{S n}为等差数列，则数列{a n}为等差数列B.若数列{}为等差数列，则数列{a n}为等差数列C.若数列{a n}和{2}均为等差数列，则S3＝2a3D.若数列{a n}和{2}均为等差数列，则数列{a n}是常数列解析对于A，若数列{S n}为等差数列，设公差为d，可得a n＝S n－S n－1＝d（n≥2），但是首项a1的值不确定，所以数列{a n}不一定为等差数列，故选项A错误；对于B，若数列{}为等差数列，设公差为d'，则＝S1＋（n－1）d'，可得S n＝nS1＋n（n－1）d'，当n＝1时，a1＝S1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝nS1＋n（n－1）d'－（n－1）S1－（n－1）（n－2）d'＝S1＋（2n－2）d'，则a n－a n－1＝2d'（n≥3），由a2＝S1＋2d'，a1＝S1，得a2－a1＝2d'，所以a n－a n－1＝2d'（n≥2），故数列{a n}为等差数列，故选项B正确；对于C，由数列{a n}为等差数列，可设a n＝kn＋b，k，b为常数，则2＝k2n2＋2kbn＋b2，所以2＝k2n＋2kb＋2，因为数列{2}为等差数列，所以n≥2时，2－－12－1＝k2＋2－2－1＝k2＋b2（1－1－1）为常数，则b2＝0，所以b＝0，故a n＝kn，所以S3＝a1＋a2＋a3＝6k，又a3＝3k，所以S3＝2a3，故选项C正确；对于D，由数列{a n}为等差数列，可设a n＝pn＋q，p，q为常数，则2＝p2n2＋2pqn＋q2，因为{2}为等差数列，所以2－－12＝（2n－1）p2＋2pq为常数，则p＝0，所以a n＝q，则数列{a n}是常数列，故选项D正确.故选BCD.命题点3等差数列的性质例4（1）[新高考卷Ⅰ]将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为3n2－2n.解析{2n－1}与{3n－2}的第一个公共项为1，则易知{a n}是以1为首项，2×3＝6为公差的等差数列，则S n＝n＋（－1）2×6＝3n2－2n.（2）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且63＝3，则129＝53.解析设S3＝m（m≠0），则S6＝3m.因为{a n}为等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…成等差数列，公差为m，所以可推出S9＝6m，S12＝10m，故129＝53.训练3（1）数列{a n}，{b n}均为等差数列，且a1＝－5，b1＝－15，a2025＋b2025＝100，则数列{a n＋b n}的前2025项和为81000.解析易得数列{a n＋b n}为等差数列，首项为a1＋b1＝－20，∴{a n＋b n}的前2025项和为2025×－20+1002＝81000.（2）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若＝23r1，则1111＝2132，1011＝1932.解析由题意可得1111＝211211＝1＋211＋21＝（1＋21）×21÷2（1＋21）×21÷2＝2121＝2×213×21+1＝2132.由＝23r1＝2232＋及等差数列前n项和性质可设S n＝A·2n2，T n＝A（3n2＋n）（A≠0），∴a10＝S10－S9＝A（2×102－2×92）＝38A，b11＝T11－T10＝A[（3×112＋11）－（3×102＋10）]＝64A，∴1011＝3864＝1932.命题点4等差数列前n项和的最值例5[2022全国卷甲]记S n为数列{a n}的前n项和.已知2＋n＝2a n＋1.（1）证明：{a n}是等差数列.（2）若a4，a7，a9成等比数列，求S n的最小值.解析（1）由2＋n＝2a n＋1，得2S n＋n2＝2a n n＋n①，所以2S n＋1＋（n＋1）2＝2a n＋1（n＋1）＋（n＋1）②，＋2n＋1＝2a n＋1（n＋1）－2a n n＋1，②－①，得2a n＋1－a n＝1，所以数列{a n}是公差为1的等差数列.化简得a n＋1（2）由（1）知数列{a n}的公差为1.由72＝a4a9，得（1+6）2＝（a1＋3）（a1＋8），解得a1＝－12.所以S n＝－12n＋（－1）2＝2－252＝12（n－252）2－6258，所以当n＝12或n＝13时，S n取得最小值，最小值为－78.方法技巧求等差数列前n项和S n的最值的方法（1）通项法：①若a1＞0，d＜0，则S n必有最大值，n可用不等式组≥0，r1≤0来确定；②若a1＜0，d＞0，则S n必有最小值，n可用不等式组≤0，r1≥0来确定.（2）二次函数法：由于S n＝2n2＋（a1－2）n，故可用二次函数求最值的方法求S n的最值，结合n∈N*及二次函数图象的对称性来确定n的值.（3）不等式组法：一般情况下，S n最大时，有≥－1，≥r1（n≥2，n∈N*），解得n的范围，进而确定n的值和对应的S n的值（即S n的最值）.训练4等差数列{a n}的前n项和为S n，若∀n∈N*，S n≤S7，则数列{a n}的通项公式可能是（B）A.a n＝16－3nB.a n＝15－2nC.a n＝2n－14D.a n＝2n－15解析因为数列{a n}是等差数列，且∀n∈N*，S n≤S7，所以该数列从第8项起为非正数，即a7≥0，a8≤0.对于A，a7＝16－3×7＝－5＜0，故A不正确；对于B，a7＝15－2×7＝1＞0，a8＝15－2×8＝－1＜0，故B正确；对于C，a7＝2×7－14＝0，a8＝2×8－14＝2＞0，故C不正确；对于D，a7＝2×7－15＝－1＜0，故D不正确.故选B.1.[命题点1/2021新高考卷Ⅱ]记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求使S n＞a n成立的n的最小值.解析（1）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则由题意，得1+2=51+10，（1＋p(1+3）=41+6，解得1＝－4，=2，所以a n ＝a 1＋（n －1）d ＝2n －6.（2）解法一S n ＝（1＋）2＝（2－10）2＝n 2－5n ，则由n 2－5n ＞2n －6，整理得n 2－7n ＋6＞0，解得n ＜1或n ＞6.因为n ∈N *，所以使S n ＞a n 成立的n 的最小值为7.解法二由S n ＞a n 得S n －1＞0（n ≥2），即（1＋－1)(－1）2＞0，所以a 1＋a n －1＝2n －12＞0，解得n ＞6，所以n 的最小值为7.2.[命题点2/多选]两个等差数列{a n }和{b n }，其公差分别为d 1和d 2，其前n 项和分别为S n 和T n ，则下列说法正确的是（AB）A.若{}为等差数列，则d 1＝2a 1B.若{S n ＋T n }为等差数列，则d 1＋d 2＝0C.若{a n b n }为等差数列，则d 1＝d 2＝0D.若b n ∈N *，则{}也为等差数列，且公差为d 1＋d 2解析由题意得S n ＝12n 2＋（a 1－12）n ，T n ＝22n 2＋（b 1－22）n .若数列{}为等差数列，则由等差数列通项公式的特征，可得a 1－12＝0，即d 1＝2a 1，所以选项A 正确；S n ＋T n ＝1＋22n 2＋（a 1＋b 1－12－22）n ，由等差数列通项公式的特征，可得1＋22＝0，即d 1＋d 2＝0，所以选项B 正确；当d 1＝0或d 2＝0时，数列{a n b n }为等差数列，所以选项C 错误；因为a n ＝a 1＋（n －1）d 1，b n ＝b 1＋（n －1）d 2，b n ∈N *，所以＝1＋（－1）2＝a 1＋[b 1＋（n －1）d 2－1]d 1＝（a 1＋b 1d 1－d 1）＋（n －1）d 1d 2，可知数列{}是等差数列，且公差为d 1d 2，所以选项D 错误.故选AB.3.[命题点2/2021全国卷乙]记S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2＋1＝2.（1）证明：数列{b n }是等差数列.（2）求{a n }的通项公式.解析（1）因为b n 是数列{S n }的前n 项积，所以当n ≥2时，S n ＝－1，代入2＋1＝2可得，2－1＋1＝2，整理可得2b n－1＋1＝2b n，即b n－b n－1＝12（n≥2）.又21＋11＝31＝2，所以b1＝32，故{b n}是以32为首项，12为公差的等差数列.（2）由（1）可知，b n＝r22，则2＋2r2＝2，所以S n＝r2r1，当n＝1时，a1＝S1＝32，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝r2r1－r1＝－1（r1）.当n＝1时，a1＝32≠－11×2＝－12，故a n =1，1（r1），≥2.4.[命题点4]在等差数列{a n}中，若109＜－1，且它的前n项和S n 有最大值，则使S n＞0成立的正整数n的最大值是（C）A.15B.16C.17D.14解析因为等差数列{a n}的前n项和有最大值，所以等差数列{a n}为递减数列，又109＜－1，所以a9＞0，a10＜0，所以a9＋a10＜0，所以S18＝18（1＋18）2＝9（a9＋a10）＜0，且S17＝17（1＋17）2＝17a9＞0.故使得S n＞0成立的正整数n的最大值为17.学生用书·练习帮P3031.[2024河南名校模拟]设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2＋a5＋a8＝15，则S9＝（C）A.15B.30C.45D.60解析由题意得a 2＋a 5＋a 8＝3a 5＝15，所以a 5＝5，所以S 9＝9（1＋9）2＝9a 5＝45.故选C.2.[2024湖北武汉模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 1＝3，22＋44＝18，则S 5＝（C）A.21B.48C.75D.83解析解法一令b n ＝，则数列{b n }为等差数列.b 1＝11＝3，22＋44＝b 2＋b 4＝18，设数列{b n }的公差为d ，则3＋d ＋3＋3d ＝18，解得d ＝3，∴b n ＝3n ，即＝3n .∴S n ＝3n 2，故S 5＝3×52＝75.故选C.解法二设等差数列{a n }的公差为d ，则＝B 1＋（－1）2＝a 1＋－12d ，又因为a 1＝S 1＝3，则22＋44＝a 1＋2＋a 1＋32d ＝2a 1＋2d ＝6＋2d ＝18，解得d ＝6，因此S 5＝5a 1＋5×42d ＝5a 1＋10d ＝5×3＋10×6＝75.故选C.3.[2024吉林白城模拟]已知等差数列{a n }是递增数列，且满足a 3＋a 5＝14，a 2a 6＝33，则a 1a 7＝（C）A.33 B.16C.13D.12解析由等差数列的性质，得a 2＋a 6＝a 3＋a 5＝14，又a 2a 6＝33，解得2=3，6=11或2=11，6=3，又{a n }是递增数列，∴2=3，6=11，∴d ＝6－26－2＝2，∴a 1a 7＝（a 2－d ）（a 6＋d ）＝（3－2）×（11＋2）＝13.故选C.4.[2023陕西宝鸡模拟]已知首项为2的等差数列{a n }的前30项中，奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，且B －A ＝45，则a n ＝（B ）A.3n －2B.3n －1C.3n ＋1D.3n ＋2解析在等差数列{a n }中，首项a 1＝2，设其公差为d ，由前30项中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，且B －A ＝45，可得－a 1＋a 2－…－a 29＋a 30＝15d ＝45，解得d ＝3，∴a n ＝a 1＋（n －1）d ＝2＋3（n －1），即a n ＝3n －1，故选B.5.[多选/2024山东模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，a 3＝a 1－4，S 7＝154，则（AC）A.d ＝－2B.a1＝30C.－320是数列{a n}中的项D.S n取得最大值时，n＝14解析由题意可得a3＝a1＋2d＝a1－4，即d＝－2，A正确；S7＝154＝7a1＋7×62d⇒a1＝28，B错误；a n＝a1＋（n－1）d＝30－2n，令a n＝－320，得n＝175，即C正确；S n＝（1＋）2＝n（29－n），结合二次函数图象的对称性及单调性，可知当n＝14或n＝15时，S n取得最大值，即D错误.故选AC.6.[2023广州市二检]在数列{a n}中，a1＝2，a m＋n＝a m＋a n（m，n∈N*），若a k a k＋1＝440，则正整数k＝10.解析解法一令m＝1，则a n＋1＝a n＋a1，即a n＋1－a n＝2，所以数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，即a n＝2＋（n－1）×2＝2n，又k为正整数，所以a k a k＋1＝2k×2（k＋1）＝440，即k（k＋1）＝110，解得k＝10或k＝－11（舍去）.故填10.解法二（列举法）令m＝n＝1，则a2＝a1＋a1＝4；令m＝1，n＝2，则a3＝a1＋a2＝6；令m＝n＝2，则a4＝a2＋a2＝8.通过观察找规律可知，数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，即a n＝2＋（n－1）×2＝2n，又k为正整数，所以a k a k＋1＝2k×2（k＋1）＝440，即k（k＋1）＝110，解得k＝10或k＝－11（舍去）.故填10.7.[2024江西抚州模拟改编]在数列{a n}中，已知a n＋1－a n＝a n＋2－a n＋1，a1013＝1，则该数列前2025项的和S2025＝2025.解析由a n＋1－a n＝a n＋2－a n＋1可知，数列{a n}为等差数列，所以a1＋a2025＝2a1013＝2，所以S2025＝（1＋2025）×20252＝2×20252＝2025.8.[2024广州大学附属中学模拟]设数列{a n}和{b n}都为等差数列，记它们的前n项和分别为S n和T n，若＝2－12r1，则＝r2.解析由数列{a n}和{b n}都为等差数列，且＝2－12r1，令a n＝k（2n－1），b n＝k（2n＋1），k≠0，k为常数，因此等差数列{a n}的首项a1＝k，等差数列{b n}的首项b1＝3k，所以＝1＋2·1＋2·＝1＋1＋＝＋（2－1）3＋（2r1）＝r2.9.[2024浙江普陀中学模拟]已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2.（1）记c n＝r1·r1，证明：数列{c n}的前n项和T n＜12.（2）若S n＝2a n＋14－2n＋3（n∈N*），证明：数列{2}为等差数列，并求{a n}的通项公式.解析（1）∵c n＝r1·r1＝1－1r1，∴T n＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋1－1－1＋1－1r1＝11－1r1＝12－1r1.∵数列{a n}为正项数列，∴S n＋1＞0，∴12－1r1＜12，即T n＜12.＝2a n－1＋14－2n＋2，（2）当n≥2且n∈N*时，S n－1∴a n＝S n－S n－1＝2a n＋14－2n＋3－2a n－1－14＋2n＋2＝2a n－2a n－1－2n＋2，整理可得a n－2a n－1＝2n＋2，∴2－－12－1＝4（n≥2），当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋14－21＋3，得a1＝2，12＝1，∴数列{2}是以1为首项，4为公差的等差数列，∴2＝1＋4（n－1）＝4n－3，∴a n＝（4n－3）·2n.10.[2024四川南充校考]若一个凸n（n∈N*）边形的最小内角为95°，其他内角依次增加10°，则n的值为（B）A.6或12B.6C.8D.12解析由题知该凸n边形所有内角的取值范围为（0°，180°），内角和为（n－2）·180°.因为最小内角为95°，其他内角依次增加10°，所以它的所有内角按从小到大的顺序排列构成等差数列，且最大内角为95°＋（n－1）·10°＝（10n＋85）°，所以（n－2）·180＝（95+10r85）2，即n2－18n＋72＝0，解得n＝6或n＝12，当n＝12时，95°＋（12－1）×10°＞180°，不合题意，舍去，故n＝6，故选B.11.[2024湖北孝感高中模拟]设等差数列{a n}的前n项和为S n，满足2a3－a5＝7，a2＋S7＝12，则S n的最大值为（B）A.14B.16C.18D.20解析设{a n}的公差为d，则由题意得2a3－a5＝2（a1＋2d）－（a1＋4d）＝a1＝7，a2＋S7＝（a1＋d）＋（7a1＋7×62d）＝56＋22d＝12，d＝－2.因此S n＝7n＋（－1）2×（－2）＝－（n－4）2＋16≤16，故S n的最大值为16.故选B.12.[全国卷Ⅱ]北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（C）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块解析由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{a n}，设数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，易知其首项a1＝9，d＝9，所以a n＝a1＋（n －1）d＝9n.由等差数列的性质知S n，S2n－S n，S3n－S2n也成等差数列，所以（S3n－S2n）－（S2n－S n）＝S2n－2S n，即729＝2（9+18）2－2×（9+9）2，解得n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝S27＝27×（9+27×9）2＝3402.故选C.13.[2024江西吉安万安中学模拟]已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}与{}均为等差数列，请写出一个满足题意的{a n}的通项公式：a n＝2n－1（答案不唯一）.解析令数列{a n}的公差为d，显然a1＞0，由{}是等差数列，得1＋3＝22，即1＋31+3＝221＋，两边平方得4a1＋d＝2312+31，两边平方并整理得d＝2a1，则a n＝a1＋（n－1）d＝（2n－1）a1，此时S n＝1＋2·n＝n2a1，＝n1，有r1－＝1为常数，即{}是等差数列，所以数列{a n}的通项公式是a n＝（2n－1）a1（a1＞0），取a1＝1，得a n＝2n－1.14.已知正项数列{a n}，其前n项和S n满足a n（2S n－a n）＝1（n∈N*）.（1）求证：数列{2}是等差数列，并求出S n的表达式.（2）数列{a n}中是否存在连续三项a k，+1，+2，使得1，1r1，1r2构成等差数列？请说明理由.解析（1）依题意知，正项数列{a n}中，12＝1，得a1＝1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1，则（S n－S n－1）[2S n－（S n－S n－1）]＝1，整理得，2－－12＝1，又12＝12＝1，∴数列{2}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴2＝n（n∈N*），∴S n＝.（2）数列{a n}中不存在连续三项a k，a k＋1，a k＋2，使得1，1r1，1r2构成等差数列.理由如下：当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝－－1，∵当n＝1时，a1＝1，符合上式，∴a n＝－－1（n∈N*），∴1＝＝＋－1，假设数列{a n}中存在连续三项a k，a k＋1，a k＋2，使得1，1r1，1r2构成等差数列，则2（+1＋）＝＋－1＋+2＋+1，即+1＋＝－1＋+2，两边同时平方，得k＋1＋k＋2+1·＝k－1＋k＋2＋2－1·+2，∴（k＋1）k＝（k－1）（k＋2），整理得k2＋k＝k2＋k－2，得0＝－2，又0≠－2，∴假设错误，∴数列{a n}中不存在连续三项a k，a k＋1，a k＋2，使得1，1r1，1r2构成等差数列. 15.[等差数列与向量综合]已知S n，T n分别为等差数列{a n}，{b n}的前n项和，＝3r24r5，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且A ＝2＋43A ＋λA ，则实数λ的值为（B）A.2825B.－925C.325D.18253×5+24×5+5解析因为P，B，C三点共线，所以2＋43＋λ＝1，所以233＋λ＝1，33＝1＋52×51＋52×5＝55＝＝1725，所以233＋λ＝3425＋λ＝1，λ＝－925.故选B.16.记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝18，S10＝165，b n＝cos（π),为奇数，sin（π),为偶数，则b1＋b2＋b3＋…＋b2025＝－1013.解析设数列{a n}的公差为d，则a6＝a1＋5d＝18，S10＝10a1＋45d＝165，得a1＝3，d＝3，所以a n＝3＋（n－1）×3＝3n，当n为奇数时，b n＝cos（3nπ）＝－1，当n为偶数时，b n＝sin（3nπ）＝0，故b1＋b2＋b3＋…＋b2025＝－1013.。

MT16KTF1G64HZ-1G6E1

Pin DescriptionsThe pin description table below is a comprehensive list of all possible pins for all DDR3modules. All pins listed may not be supported on this module. See Pin Assignments forinformation specific to this module.Table 6: Pin Descriptions质量等级领域:宇航级IC、特军级IC、超军级IC、普军级IC、禁运IC、工业级IC，军级二三极管，功率管等;应用领域:航空航天、船舶、汽车电子、军用计算机、铁路、医疗电子、通信网络、电力工业以及大型工业设备祝您:工作顺利，生活愉快!以深圳市美光存储技术有限公司提供的参数为例，以下为MT16KTF1G64HZ-1G6E1的详细参数，仅供参考Functional Block DiagramFigure 2: Functional Block Diagram (PCB 0900, R/C-F)S1#BA[2:0]A[15/14:0]RAS#CAS#WE#CKE0CKE1ODT0ODT1RESET#BA[2:0]: DDR3 SDRAMA[15/14:0]: DDR3 SDRAMRAS#: DDR3 SDRAMCAS#: DDR3 SDRAMCKE0: Rank 0CKE1: Rank 1ODT0: Rank 0VVVVVVCommand, address and clock line terminationsCK[1:0]CK#[1:0]Rank 0 = U1, U2, U7, U9, U11, U12, U17, U19Rank 1 = U5, U6, U8, U10, U15, U16, U18, U20DDNote: 1.The ZQ ball on each DDR3 component is connected to an external 240Ω ±1% resistor that is tied to ground. It is used for the calibration of the component’s ODT and outputdriver.Figure 3: Functional Block Diagram (PCB 1569, R/C-F3)S1#BA[2:0]A[14:0]RAS#CAS#WE#CKE0CKE1ODT0ODT1RESET#BA[2:0]: DDR3 SDRAMA[14:0]: DDR3 SDRAMRAS#: DDR3 SDRAMCAS#: DDR3 SDRAMWE#: DDR3 SDRAMCKE0: Rank 0CKE1: Rank 1ODT0: Rank 0ODT1: Rank 1RESET#: DDR3 SDRAMVVVV DDSPDVVCommand, address and clock line terminationsCK[1:0]CK#[1:0]Rank 0 = U2, U3, U6, U7, U8, U11, U12, U15Rank 1 = U4, U5, U7, U19, U13, U14, U16, U18DDNote: 1.The ZQ ball on each DDR3 component is connected to an external 240Ω ±1% resistor that is tied to ground. It is used for the calibration of the component’s ODT and outputdriver.。

CMYK值

CMYK值CMYK值牛皮纸色C26 M37 Y53 K0 彩虹赤色C0 M100 Y100 K0 彩虹橙色C0 M35 Y100 K0 彩虹黄色C0 M0 Y100 K0彩虹绿色C100 M0 Y100 K0 彩虹青色C100 M50 Y0 K0彩虹蓝色C100 M100 Y0 K0 彩虹紫色C45 M100 Y0 K0赤色C0 M100 Y100 K0 橙色C10 M60 Y100 K0黄色C0 M0 Y100 K0 绿色C100 M0 Y100 K0青色C80 M20 Y30 K0 绿色C100 M0 Y90 K0紫色C100 M100 Y0 K0 深紫色C100 M68 Y10 K25紫罗兰色C100 M100 Y0 K0 驼色C0 M20 Y60 K20血红色C6 M92 Y100 K1 米色C5 M5 Y15 K0深色C38 M47 Y100 K0 浅蓝色C100 M27 Y40 K3茶色C0 M100 Y100 K70 粉红色C0 M60 Y20 K0栗色C40-60 M70-90 Y100 K0 粉红色C5 M40 Y5 K0暖红色C0 M90 Y85 K0 芬兰绿色C100 M0 Y60 K0葡萄酒红色C0 M36 Y21 K10 2 玫瑰红色C30 M100 Y90 K0 深玫瑰粉色C40 M100 Y20 K0 玫瑰粉色C10 M80 Y0 K0翠绿色C100 M3 Y30 K15 蓝金色C0 M24 Y100 K24 20 金色C25 M25 Y60 K25 青金色C40 M20 Y100 K0高亮色C5 M5 Y3 K0 假青金色C100 M0 Y0 K18-30 假黄金色C15 M29 Y100 K0 柠檬色C5 M18 Y75 K0红色C0 M95 Y65 K0 暗红色C20 M100 Y80 K5橘红色C5 M100 Y100 K5 亮红色C2 M93 Y90 K0珊瑚红色C20 M75 Y82 K11 黄色C0 M35 Y90 K0橙色C5 M50 Y100 K0 深褐色C45 M65 Y100 K40黑色C0 M0 Y0 K100 宝蓝色C100 M80 Y0 K0大蓝色C98 M91 Y0 K0 青金石的蓝C95 M80 Y24 K39蓝色C100 M0 Y0 K0 海豚色C45 M33 Y34 K12 3浅灰色C25 M16 Y16 K0 中灰色C50 M37 Y37 K0咖啡色C21 M45 Y52 K61 的灰色C25 M16 Y16 K0 50的灰色C50 M37 Y37 K0 深咖啡色C30 M70 Y100 K60橙黄色C0 M24 Y92 K0 橙红色C0 M81 Y96 K0咖啡红色C20 M100 Y100 K20 咖啡色C0 M80 Y80 K50『偏红』深咖啡红色C20 M100 Y100 K40 酒红色『波尔多红色』C0 M90 Y60 K0 金黄色C9 M40 Y85 K0 不锈钢色C5-8 M0 Y0 K10-20 高级铝塑板中的芬兰绿AX-26: C60 M0 Y39 K0喷绘中的金属色浅色C0 M15 Y75 K35 深色C38 M47Y100 K0 富贵黄C15 M29 Y100 K0或C15 M35 Y100 K0假红金色C15 M35 Y100 K0 C35 M50 Y71 K0金色C0 M20 Y60 K20或C0 M49 Y99 K4 C5 M15Y65 K0银色C25 M20 Y20 K10 或K10 C8 M6 Y7 K0 军绿色C71 M16 Y91 K67朱红色C0 M70 Y100 K0 大红色C0 M100 Y100 K0红金色C20 M40 Y100 K0 深紫红色C85 M98 Y10 K0 P654C天蓝色C60 M23 Y0 K0 海水色C60 M0 Y25 K0非洲人的肤色C35 M45 Y53 K0 亚洲人的肤色C15 M43 Y53 K0 中国红C0 M100 Y100 K10中国黑C0 M0 Y0 K100或C100 M100 Y100 K100国旗红色C4 M88 Y99 K1国旗黄色C1 M15 Y94 K1 5社区医院的标志绿色C5 M20 Y100 K10海尔标志色C10 M90 Y45 K0电信标志蓝色C98 M91 Y0 K0百事可乐标志蓝色C100 M70 Y0 K15中国银行标志红色C30 M100 Y100 K0警徽标志上的蓝色C100 M40 Y0 K0民生银行标志蓝色深蓝色C100 M52 Y16 K1 浅蓝色C100 M27 Y40 K3 奥运五环标志色蓝色C100 M30 Y0 K0交通银行标准蓝色』C100 M69 Y0 K38P032C: C4 M95 Y76 K1 P021CC0 M77 Y100 K0P5125C: C57 M81 Y37 K19 P288C: C100 M75 Y6 K24 P289C: C100 M76 Y10 K65 P186C: C0 M100 Y75 K4 P467C: C9 M15 Y34 K0 P387C: C17 M0 Y89 K0P534C: C95 M83 Y30 K16 P1665C: C5 M86 Y100 K16 P485C: C8 M98 Y100 K1 P540C: C100 M80 Y36 K35 P202C: C0 M100 Y65 K45 P1788C: C0 M85 Y90 K0 P159C: C0 M65 Y100 K5 P320C: C81 M23 Y28 K21 P102C: C5 M3 Y100 K0 P374C: C31 M0 Y79 K0 P072C: C100 M85 Y0 K4 P200CC17 M100 Y82 K7 P134C: C0 M11 Y45 K0 P321C: C100 M27 Y41 K4 印刷肤色参考、常用印刷色值非洲人肤色：C35 M45 Y50 K30亚洲人肤色：C15 M43 Y53 K0白种人肤色：C15-18 M45 Y30 K0 天空的颜色：天蓝：C60 M23 Y0 K0偏暖：C60 M45 Y0 K0偏冷：C60 M15 Y0 K0深紫色：C100 M68 Y10 K45 深紫红：C85 M95 Y10 K0 海水蓝：C60 M20-28柠檬黄：C5 M18 Y75 桔红：C5 M100 Y100 K5 橙色：C5 M50 Y100 K0 粉红色：C5 M40 Y5 K0假金色（四色模拟而非专色）：C5 M15 Y65 K0假银色（四色模拟而非专色）：C20 M15 Y14 K0人物肤色的调图规律：M、Y的量差不多，C是M的1/3至1/5 人脸数值规律：C8 M36 Y35头发数值：C71 M82 Y73 K22苹果：C7 M99 Y71香蕉：C4 M54 Y93橙子：M55 Y78红色系列M10淡粉红色M20 Y10玉红色 M30粉红色M30 Y10淡桃红色M20 K10浅红色C10 M30浅曙红色M50樱红色C20 M50玫红色M70洋红色M40 Y20 K10暗桃色M60 Y20浅桃红色C10 M30 Y30 K10水红色 M50 Y30 K10绯红色C10 M70 Y20桃红色M80猩红色M70 Y50胭脂红色M100品红色M60 Y40 K10橘红色M80 Y20淡艳红色M70 Y4-0珊瑚红色C30 M100玫瑰红色M100 Y60艳红色 C20 M70 Y40 K10锈红色M90 Y85朱红色C20 M80 Y40 K10朱砂色M100 Y100大红色C50 M100紫红色C20 M100 Y30 K10绛红色C40 M70 Y60 K10土红色C10 M100 K30曙红色C20 M90 Y70 K20枣红色C20 M100 Y100 K10石榴红色 C20 M80 Y60 K30酒红色M90 Y50 K50深艳红色M90 Y70 K50棕红色C50 M100 Y90 K20酱红色M100 Y100 K50深红色M100 K80暗红色C80 M100 Y30 K80深玫红色橙（棕）色系列M10 Y10蛋壳色M20 Y20肤色M30 Y30藕色C10 M30 Y40木色M50 Y50橙色M30 Y30 K10奶咖色M40 Y80杏色M60 Y90橘色C10 M20 Y40 K30浅褐色M80 Y60红橘色C20 M40 Y40 K20浅棕色 C40 M50 Y60茶色M80 Y90赤橙色M50 Y80 K20土棕色 M70 Y90 K10黄棕色C10 M80 Y90铁锈色C50 M60 Y50 K30褐色C40 M60 Y80 K30棕色C10 M30 Y70 K80深褐色 C60 M80 Y70 K30紫陶色C20 M70 Y100 K60棕褐色 C10 M50 Y100 K80古铜色 C70 M90 Y100 K30深棕色黄色系列Y10乳白色Y30月黄色M10 Y30米黄色Y50淡黄色Y70菊黄色C5 M10 Y40米黄色Y80黄色M20 Y50奶黄色Y100黄色C20 Y70韭黄色M20 Y80金黄色M30 Y70蛋黄色C10 M20 Y70中米色M20 Y100菜花黄色M20 Y70 K10土黄色C20 M30 Y50 K10暗黄色 M20 Y100 K30深黄色M50 Y100 K10橙黄色M20 Y70 K10灰黄色绿色系列C10 Y10淡青色C10 Y20豆绿色C20 Y20 K10淡湖色 C40 Y30浅绿色C20 M10 Y50新茶色 C50 Y50嫩绿色C40 M10 Y60黄绿色 C40 Y100嫩草色C80 Y50青绿色C90 Y100苹绿色C100 Y50 K10湖绿色C90 Y40 K20蓝绿色C60 M20 Y50 K10秋香绿色 C100 Y100绿色C70 M40 Y80 K10橄榄色Y90 K70咸菜色C90 M50 Y60 K10山青色 C100 M40 Y70 K10深绿色 C90 M40 Y90 K10翡翠色 C80 Y70 K50中绿色C90 M30 Y30 K50黛青色C70 Y60 K70灰绿色C100 M70 Y100 K20墨绿色C100 M10 Y70 K80暗绿色C80 M30 Y80 K80深墨绿色蓝色系列C10粉蓝色C30淡蓝色C20 M10鸭蛋色 C30 Y10玻璃色 C20 K10水蓝色 C50 Y20薄荷青色 C60浅蓝色 C50 M10 Y15浅湖蓝色 C60 M20蔚蓝色C70 Y30湖蓝色C85天蓝色C30 K30浅蓝灰色C85 Y20瓦蓝色C100蓝色C80 M40浅海色C100 M40海蓝色 C80 M60钴蓝色 C60 K50灰蓝色C100 M60普蓝色C100 M10 Y20 K20孔雀蓝色C100 Y20 K30宝蓝色C90 M60 K20藏青色C100 M60 Y40 K20青蓝色 C100 M60 Y10 K50深海蓝色 C100 M10 K80深蓝色紫色系列C10 M10鱼白色C20 M20浅紫色C50 M50淡紫色C30 M70浅红紫色C30 M80 K10海棠红色 C60 M70 Y15绛紫色C40 M40 K30灰紫色C60 M90玫紫色C70 M80明紫色C80 M70 Y20青紫色C70 M80 Y20紫罗兰色C60 M100 K20红紫色C100 M100紫色C80 M80 Y20 K20茄色C60 M100 Y10 K30深玫瑰色C50 M80 K50暗紫色C100 M80 Y10 K30蓝紫色C80 M100 Y40 K30深紫色C90 M70 K80黑紫色灰（黑）色系列Y20 K10豆灰色C30 M20 Y20浅灰色C10 M10 Y10 K20淡灰色C20 M10 K30浅蓝灰色C50 M30 Y50 K20绿灰色C40 M30 Y80 K20黄灰色 C80 M50 K40蓝灰色C60 M60 Y70棕灰色K80纯黑灰色M50 K60红灰色C50 M50 Y50 K30深灰色K100纯黑色C60 M40 Y10 K50铁灰色 C80 M100 M80 K10黑红色 C70 M80 Y80 K30褐灰色 Y100 K100纯黄黑色C100 M100 Y100混黑色C90 M70 Y100 K30绿黑色C90 M100 Y70 K30紫黑色C80 M100 Y100 K30黑棕色C100 K100纯蓝黑色M100 K100纯红黑色C80 M80 Y100 K50土黑色C100 M90 Y60 K50蓝黑色名片成品：90*54mm,加2个毫米出血为：92*56mm。

1916抽样标准

MIL—STD-1916抽样标准简介一、前言为强调过程品管与持续不断改进的重要性,美军于1996年推出新版的抽样标准:MI L-STD—1916，用以取代MIL—STD—105E作为美军采购时主要选用的抽样标准.本标准的目的在鼓励供应商建立品质系统与使用有效的过程控制程序，以取代最终产品的抽样方式,希望供应商远离以AQL(Acceptable Quality Level)为主的抽样计划，而以预防性的品质制度代替它，故本标准之愿景在建立不合格过程改进之制度,而非最终检验品质之水准。

MTL-STD-1916与MIL—STD—105E抽样标准不同之处,主要有以下几点:1、抽样计划以单次抽样（含加严、正常及减量）为主，删除双次与多次抽样，抽样以“0收1退"(ZBA Zero Based Acceptance）当做判定标准，强调不允许不良品之存在.2、建立持续不断改善之品质系统制度与善用多项品质改善工具。

3、以预防代替检验，在过程中执行统计过程品管（SPC)。

4、对计数、计量及连续性抽样作业均可适用（分别有三种抽样表）,不再像以往MIL —STD-105E仅限于计数值抽样，MIL—STD-414仅限于计量值抽样与MIL-STD-1235仅限于连续性抽样（以上标准美军均已废止）。

5、把抽样视为一种浪费的行为，如供应商可提出不同产品的接收计划，如获顾客同意后，则可按约定的接收方式办理验收。

6、MIL—STD-1916强调供应商品质系统的建立，以预防为主,而MIL-STD—105E强调顾客的抽样技术，避免接收不合格件。

此外，以往最常用的MIL-STD—105E抽样标准，使用的查检表上就有加严、正常及减量等对应查检表数十个,在运用上并不是很方便，而MIL—STD-1916所使用的表格（含计数、计量及连续性抽样）,就只有4个，在使用的简便性上,已有大大的改善。

二、适用范围1、本标准所提供的品质计划与程序，不能减轻供应商满足顾客需求的责任，供应商必须建立品质系统,包括制造程序，品管监控等作业，用以生产符合顾客品质要求的产品。

2025年高中数学高考精品备课教案：二项式定理

二项式定理课标要求命题点五年考情命题分析预测能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.展开式中的特定项问题2023天津T11；2022新高考卷ⅠT13；2020全国卷ⅠT8；2020全国卷ⅢT14；2020北京T3；2019全国卷ⅢT4本讲是高考常考内容，主要考查二项展开式的通项，求常数项，求某项系数，求某些项的系数和等，主要以小题的形式出现，难度不大.预计2025年高考命题常规，备考时要掌握各种问题类型及其求解方法.二项式系数与项的系数的问题2022北京T8；2022浙江T12二项式定理的综合应用学生用书P2291.二项式定理二项式定理（a ＋b ）n ＝C 0a n ＋C 1a n －1b 1＋…＋C a n －k b k ＋…＋C b n ，n ∈N *.二项展开式的通项T k ＋1＝①C an －k b k ，即为二项展开式的第k ＋1项.二项式系数C （k ∈{0，1，2，…，n }）.辨析比较二项式系数与项的系数的区别（a ＋bx ）n 的二项展开式中，二项式系数是指C 0，C 1，…，C，其与a ，b 的值无关，如第k ＋1项的二项式系数是C ；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，其与a ，b 的值有关，如第k ＋1项的系数是C an －k b k .2.二项式系数的性质1.[北京高考]在（－2）5的展开式中，x2的系数为（C）A.－5B.5C.－10D.10＝C5（）5－r（－2）r＝解析由二项式定理得（－2）5的展开式的通项T r＋1C5−25－2，令5－2＝2，得r＝1，所以T2＝51（－2）x2＝－10x2，所以x2的系数−10，故选C.2.[教材改编]在（x－y）10的展开式中，系数最小的项是（C）A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项解析展开式共有11项，奇数项系数为正，偶数项系数为负，且第6项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项是第6项.3.已知C0＋2C1＋22C3＋23C3＋…＋2n C＝243，则C1＋C2＋C3＋…＋C＝（A）A.31B.32C.15D.16解析逆用二项式定理得C0＋2C1＋22C2＋23C3＋…＋2n C＝（1＋2）n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以C1＋C2＋C3＋…＋C＝25－1＝31.4.[多选]下列说法正确的是（CD）A.C a n－k b k是（a＋b）n展开式中的第k项B.在二项展开式中，系数最大的项为中间的一项或中间的两项C.在（a＋b）n的展开式中，每一项的二项式系数都与a，b无关D.在（a＋b）n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数不同5.[易错题]已知（2x－1）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n（n∈N*），设（2x－1）n的展开式中所有项的二项式系数和为S n，T n＝a1＋a2＋…＋a n（n∈N*），则S4＝16，T4＝0.解析因为（2x－1）n展开式中所有项的二项式系数和为2n，（易混淆：（2x－1）n展开式的二项式系数和为C0＋C1＋C2＋…＋C＝2n，系数和为a0＋a1＋a2＋…＋a n）所以S n＝2n，S4＝16.令x＝0，则（－1）n＝a0，令x＝1，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋a n，所以T n＝1－（－1）n，所以T4＝0.学生用书P230命题点1展开式中的特定项问题角度1形如（a＋b）n（n∈N*）的展开式中的特定项例1（1）[2023南京市中华中学检测]若2－6＝0+11++21+2+…+ 61+6，则a4＝（B）A.270B.135C.－135D.－270解析（2－x）6＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a6（1＋x）6，以x－1代替x，得（3－x）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，而（3－x）6的展开式的通项公式为T r＋1＝C636−−=C636－r（－1）r x r，令r＝4，则a4＝C64×36－4×（－1）4＝135，故选B.（2）[2023天津高考]在（2x3－1）6的展开式中，x2的系数是60.解析解法一二项式（2x3－1）6的展开式的通项T k＋1＝C6（2x3）6－k（－1）k=－126－C618−4，令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系数为（－1）4×22×64＝60.解法二将二项式（2x3－1）6看成6个多项式（2x3－1）相乘，要想出现x2项，则先在6个多项式中选2个多项式取2x3，然后余下的多项式都取－1，相乘，即C62232×C44−1=602，所以x2的系数为60.方法技巧求形如（a＋b）n（n∈N*）的展开式中的特定项问题的步骤角度2形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N*）的展开式中的特定项例2（1）[2023沈阳市三检]（2x－3）2（1－1）6的展开式中，含x－2项的系数为（B）A.430B.435C.245D.240解析（1－1）6的展开式的通项T k＋1＝C6（－1）k＝（－1）k C61.（2x－3）2＝4x2－12x+9，当在多项式（4x2－12x＋9）中取4x2时，令k＝4，得4x2·（－1）4C6414；当在多项式（4x2－12x＋9）中取－12x时，令k＝3，得－12x·（－1）3C6313；当在多项式（4x2－12x＋9）中取9时，令k＝2，得9×（－1）2C6212.所以含x－2项的系数为4×（－1）4C64＋（－12）×（－1）3C63＋9×（－1）2C62＝60＋240＋135＝435，故选B.（2）[2022新高考卷Ⅰ]（1－）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为－28.（用数字作答）解析（x＋y）8的展开式的通项T r＋1＝C8x8－r y r，r＝0，1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝86x2y6，令r＝5，得T5＋1＝85x3y5，所以（1－）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为C86－C85＝－28.方法技巧求形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N*）的展开式中特定项问题的步骤角度3形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展开式中的特定项例3（1）（x－y＋2）5的展开式中，x3y的系数为（D）A.80B.40C.－80D.－40解析解法一（x－y＋2）5＝[x－（y－2）]5，其通项T r＋1＝C5x5－r（－1）r·（y－2）r，则展开式中含x3的项为C52x3（y－2）2，又（y－2）2的展开式中含y的项为（－2）C21y，所以（x－y＋2）5的展开式中，x3y的系数为C52·C21·（－2）＝－40，故选D.解法二要在展开式中得到x3y，可在5个“x－y＋2”中选3个“x”，1个“－y”，1个“2”，故x3y的系数为C53·C21（－1）1×2＝－40.（2）（1＋2x－3x2）5的展开式中，x5的系数为92.解析（1＋2x－3x2）5＝（1－x）5（1＋3x）5，所以展开式中x5的系数为C50C5535＋C51（－1）C5434＋C52（－1）2C5333＋C53（－1）3C5232＋C54（－1）4C5131＋C55（－1）5C5030＝92.方法技巧求形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展开式中的特定项问题的方法因式分解法通过分解因式将三项式变成两个二项式的积的形式，然后用二项式定理分别展开.逐层展开法将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开，从而解决问题.利用组合知识把三项式（a＋b＋c）n（n∈N*）看成n个a＋b＋c的积，然后利用组合知识求解.训练1（1）已知（2x －a ）（x ＋2）6的展开式中x 2的系数为－240，则该展开式中的常数项为（A ）A.－640 B.－320C.640D.320解析（x ＋2）6的展开式的通项为T k ＋1＝C 6x 6－k ·（2）k ＝C 62k x 6－2k .令6－2k ＝2，得k ＝2；令6－2k ＝1，得k ＝52，舍去.（注意：k 取整数）故（2x －a ）（x ＋2）6的展开式中x 2的系数为－a C 62·22＝－240，得a ＝4.令6－2k ＝－1，得k ＝72，不符合题意，舍去；令6－2k ＝0，得k ＝3.故2−4+的展开式中的常数项为－4×C 63×23＝－640.（2）（x 2＋x ＋y ）5的展开式中，x 5y 2的系数为（C ）A.10B.20C.30D.60解析（x 2＋x ＋y ）5表示5个因式（x 2＋x ＋y ）的乘积，要得到含x 5y 2的项，只需从5个因式中选2个因式取x 2，1个因式取x ，其余2个因式取y 即可，故x 5y 2的系数为C 52C 31C 22＝30.命题点2二项式系数与项的系数的问题角度1二项展开式中的系数和问题例4[多选]已知（1－2x ）2023＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2023x 2023，则下列结论正确的是（ACD）A.展开式中所有项的二项式系数的和为22023B.展开式中所有奇次项的系数的和为32023+12C.展开式中所有偶次项的系数的和为32023－12D.12＋222＋323＋…＋202322023＝－1解析对于A ，（1－2x ）2023的展开式中所有项的二项式系数的和为22023，故A 正确；对于B ，令f （x ）＝（1－2x ）2023，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2023＝f （1）＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2023＝f （－1）＝32023，所以展开式中所有奇次项的系数的和为（1）－（－1）2＝－32023+12，展开式中所有偶次项的系数的和为（1）＋（－1）2＝32023－12，故B 错误，C 正确；对于D ，a 0＝f （0）＝1，12＋222＋323＋…＋202322023＝f （12）－a 0＝－1，故D 正确.故选ACD.方法技巧应用赋值法求项的系数和问题（1）对形如（ax ＋by ）n （a ，b ∈R ，n ∈N *）的式子求其展开式中的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可；求系数之差时，只需根据题目要求令x ＝1，y ＝－1或x ＝－1，y ＝1即可.（2）对（a＋bx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，令f（x）＝（a＋bx）n，则（a＋bx）n的展开式中各项系数之和为f（1），偶次项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝（1）＋（－1）2，奇次项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝（1）－（－1）2.角度2与二项展开式中的系数有关的最值问题例5（1）[全国卷Ⅰ]设m为正整数，（x＋y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x ＋y）2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝（B）A.5B.6C.7D.8解析根据二项式系数的性质，知（x＋y）2m展开式中二项式系数的最大值为C2，而（x ＋y）2m＋1展开式中二项式系数的最大值为C2r1，则C2＝a，C2r1＝b.又13a＝7b，所以13C2＝7C2r1，即13×（2p!！×！＝7×（2r1)!，解得m＝6.（r1)!×！（2）已知（＋n（n≥2）的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中系数最大的项是752和774.解析展开式中前三项的系数分别是1，2，18n（n－1），由题意知，2×2＝1＋18n（n－1），解得n＝8或n＝1（舍去）.＝C8·（）8－k·k＝C8·2－k·4－34，所以第k＋1项的系数是于是展开式的通项T kC8·2－k，第k项的系数是C8－1·2－k＋1，第k＋2项的系数是C8r1·2－k－1.若第k＋1项的系数最大，则C8·2－k≥C8－1·2－k＋1且C8·2－k≥8r1·2－k－1，解得2≤k≤3.又k∈Z，因此k＝2或k＝3.故系数最大的项是T3＝C82·2－2·4－34×2＝752和T4＝C83·2－3·4－34×3＝774.方法技巧1.二项式系数最值的求法当n是偶数时，第2＋1项的二项式系数最大，最大值为C2；当n是奇数时，第r12项和第r32项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为C－12或C r12.2.项的系数最值的求法设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，A n＋1，且第k项系数最大，解不等式组≥－1，≥r1，求出k即可得结果.8，则下列结论正确的是（AB）训练2（1）[多选]已知二项式（xA.第5项的二项式系数最大B.所有项的系数之和为1C.有且仅有第6项的系数的绝对值最大D.展开式中共有4项有理项解析由题意知，展开式中共有9项，二项式系数最大的项为第5项，A正确；所有项的系数和为（1－2）8＝1，B正确；T r＋1＝C8x8－r·（r＝（－2）r C88－32，r＝0，1，2，…，8，显然r＝0，2，4，6，8时，T r＋1是有理项，所以共有5项有理项，D错误；由2C8≥2r1C8r1，2C8≥2－1C8－1，解得5≤r≤6，所以r＝5或r＝6，故第6项和第7项的系数的绝对值最大，C错误.故选AB.（2）[2022浙江]已知多项式（x＋2）（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝8，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.解析由多项式展开式可知，a2＝2C42（－1）2＋C43（－1）3＝12－4＝8.令x＝0可得a0＝2，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.命题点3二项式定理的综合应用例6（1）利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是（D）A.1.23B.1.24C.1.33D.1.34解析 1.056＝（1＋0.05）6＝C60＋C61×0.05＋C62×0.052＋C63×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.（2）设a∈N，且0≤a＜26，若512020＋a能被13整除，则a的值为（D）A.0B.11或0C.12D.12或25解析∵512020＋a＝（52－1）2020＋a＝C20200522020（－1）0＋C20201522019（－1）1＋C20202522018（－1）2＋…＋C20202019521·（－1）2019＋C20202020（－1）2020＋a，又52能被13整除，∴需使20202020（－1）2020＋a能被13整除，即1＋a能被13整除，∴1＋a＝13k，k∈Z，又0≤a＜26，∴a＝12或a＝25，故选D.方法技巧二项式定理应用的常见题型及解题策略题型解题策略近似计算先观察精确度，然后选取展开式中若干项求解.证明整除问题或求余数将被除式（数）合理的变形，拆成二项式，使被除式（数）展开后的每一项都含有除式的因式.逆用二项式定理根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，变形使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.训练3（1）设复数x＝2i1－i（i是虚数单位），则C20241x＋C20242x2＋C20243x3＋…＋C202420242024=（A）A.0B.－2C.－1＋iD.－1－i解析x＝2i1－i＝2i（1+i）＝－1＋i，则C20241x＋C20242x2＋C20243x3＋…＋C20242024x2024＝（1＋（1－i)(1+i）x）2024－1＝i2024－1＝1－1＝0.（2）若（2x＋1）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3除以8的余数为5.解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝3100.令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a100＝1，两式相减得2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）＝3100－1，则2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3＝3100－4.3100－4＝950－4＝（8＋1）50－4＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8＋C5050－4＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－3＝C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－8＋5，则C500×850＋C501×849＋…＋C5049×8－8＋5除以8的余数为5，即2（a1＋a3＋a5＋…＋a99）－3除以8的余数为5.1.[命题点1角度1/2022天津高考]（＋32）5的展开式中常数项为15.解析（＋32）5展开式的通项公式为T k＋1＝5（）5－k（32）k＝3k55－52，令5－52＝0，得k＝1，所以常数项为3×51＝15.2.[命题点1角度2/全国卷Ⅲ]（1＋2x2）（1＋x）4的展开式中x3的系数为（A）A.12B.16C.20D.24＝C414－r x r（r＝0，1，2，3，4）.解析（1＋x）4的展开式的通项公式为T r＋1（1＋2x2）（1＋x）4的展开式中含x3的项的系数为1×（C43×11）＋2×（C41×13）＝12.故选A.3.[命题点1角度3/2023湖南长沙第一中学段考]（x－2y＋z）8的展开式中x3y3z2的系数是－4480（用数字作答）.解析（x－2y＋z）8可看成8个（x－2y＋z）相乘，在8个（x－2y＋z）中的3个式子中取x，3个式子中取－2y，剩下的2个式子中取z，则（x－2y＋z）8的展开式中x3y3z2的系数是C83×C53×（－2）3×C22＝－4480.4.[命题点2角度1/2022北京高考]若（2x－1）4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝（B）A.40B.41C.－40D.－41解析依题意，令x＝1，可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0，令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，以上两式相加可得82＝2（a4＋a2＋a0），所以a0＋a2＋a4＝41，故选B.5.[命题点3]今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过22021天后是（D）A.星期三B.星期四C.星期五D.星期六解析22021＝4×22019＝4×8673＝4×（7＋1）673＝4×（6730×7673＋6731×7672＋…＋673672×7＋673673），由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，故整个式子除以7的余数为4673673＝4，故经过22021天后是星期六，故选D.6.[命题点3]已知－1001（2－x ）＋1002（2－x ）2－1003（2－x ）3＋…＋100100（2－x ）100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99的值是－2.解析记f （x ）＝1－C 1001（2－x ）＋C 1002（2－x ）2－C 1003（2－x ）3＋…＋C 100100（2－x ）100－1＝[1－（2－x ）]100－1＝（x －1）100－1＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝－1.令x ＝0，得a 0＝0，又易知a 100＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝－2.7.[命题点3]0.996的计算结果精确到0.001的近似值是（B）A.0.940B.0.941C.0.942D.0.943解析0.996＝（1－0.01）6＝C 60×1－C 61×0.01＋C 62×0.012－C 63×0.013＋…＋C 66×0.016＝1－0.06＋0.0015－0.00002＋…＋0.016≈0.941.学生用书·练习帮P3841.[2024河北保定部分示范高中统考]（9x5的展开式中含x 2的项的系数为（D ）A.C 52×92×83B.C 54×9×84C.C 51×94×8D.C 52×93×82解析（9x5的二项展开式的通项T r ＋1＝C 5（9x ）5－r ·（8－12）r ＝C 5·95－r ·8r ·5－32，0≤r ≤5，r ∈N ，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以展开式中含x 2的项为T 2＋1＝C 52×93×82x 2，其系数为C 52×93×82.故选D.2.[2024湖北武汉第四十九中模拟]（1＋x ＋x 2）（1－x ）10的展开式中x 5的系数为（D）A.120B.135C.－140D.－162解析（1－x ）10展开式的通项为T r ＋1＝C 10（－x ）r ＝（－1）r ·10x r.令r ＝5，则1×（1－x ）10展开式中x 5的系数为（－1）5C 105＝－252；令r ＝4，则x （1－x ）10展开式中x 5的系数为（－1）4C 104＝210；令r ＝3，则x 2（1－x ）10展开式中x 5的系数为（－1）3C 103＝－120.∴（1＋x ＋x 2）（1－x ）10的展开式中x 5的系数为－252＋210－120＝－162.故选D.3.[2024陕西宝鸡金台区统考]若（x －1）n 的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（C）A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项解析由二项式定理可得展开式中第3项与第9项的二项式系数分别为C2和C8，即C2＝C8，解得n＝10.因此展开式中二项式系数最大的项为C105x5（－1）5，是第6项，故选C.4.[2024山东青岛一中统考]若（x＋）（x－1）5的展开式中常数项是10，则m＝（D）A.－2B.－1C.1D.2解析（x＋）（x－1）5＝x（x－1）5＋（x－1）5.（x－1）5的展开式的通项为T r＋1＝C5x5－r（－1）r＝C5·（－1）5－2.令5－2r＝－1，解得r＝3，则x（x－1）5的展开式的常数项为－C53＝－10，令5－2r＝1，解得r＝2，则（x－1）5的展开式的常数项为m C52＝10m.因为（x＋）（x－1）5的展开式中常数项是10，所以10m－10＝10，解得m＝2，故选D.5.[多选/2024青岛市检测]已知（2x－1）n的展开式中各二项式系数的和为256，则（ABD）A.n＝8B.展开式中x－2的系数为－448C.展开式中常数项为16D.展开式中所有项的系数和为1解析因为（2x－1）n的展开式中各二项式系数的和为256，所以2n＝256，解得n＝8，选项A正确；（2x－1）8的展开式的通项公式为T k＋1＝C8（2x）8－k·（－1）k＝（－1）k28－k C8x8－2k，令8－2k＝－2，解得k＝5，所以展开式中x－2的系数为（－1）5×23×C85＝－448，所以选项B 正确；令8－2k＝0，解得k＝4，所以展开式中常数项为（－1）4×24×C84＝1120，所以选项C错误；令x＝1，得（2x－1）8＝1，所以展开式中所有项的系数和为1，所以选项D正确.综上，选ABD.6.[多选/2024江苏连云港统考]已知（1－2x）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则下列选项正确的是（AC）A.a0＝1B.a2＝120C.｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝729D.a1＋a2＋…＋a5＝0解析选项分析过程正误A令x＝0，则1＝a0√B （1－2x）6展开式的通项为T r＋1＝C6（－2x）r＝C6·（－2）r x r，所以令r＝2可得a2＝C62（－2）2＝60✕C 当r＝1，3，5时，可得a1，a3，a5＜0，同理可得a0，a2，a4，a6＞0，所以令x＝－1，得36＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36＝729√D 令r＝6，可得a6＝66（－2）6＝64，由A知a0＝1.令x＝1，则1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，所以a1＋a2＋…＋a5＝1－64－1＝－64✕7.二项式（2x2－14）6的展开式的中间项是－52x3.解析二项式展开式的通项为T k＋1＝C6（22）6－·（－14）k＝（－14）k26－k C6x12－3k，二项式展开式一共有7项，所以第4项为中间项，即k＝3，T4＝（－14）326－3·C63x12－3×3＝－52x3.8.[2024吉林一中、东北师大附中等校联考]（x2－x＋1）5的展开式中，x5的系数为−51.解析（x2－x＋1）5可以看作5个因式（x2－x＋1）相乘，要想得到含x5的项，可分三种情况：①5个因式中选2个因式取x2，1个因式取－x，2个因式取1；②5个因式中选1个因式取x2，3个因式取－x，1个因式取1；③5个因式中都取－x.所以展开式中含x5的项为C52·（x2）2·C31·（－x）·C22·12＋C51·x2·C43·（－x）3·1＋C55·（－x）5＝－51x5，所以x5的系数为－51.9.[2023湖北十堰6月统考]（2x＋11）10的展开式中系数最大的项是第10项.解析（2x＋11）10展开式的通项为T r＋1＝C10·（2x）10－r11r＝C10·210－r·11r·x10－r，由C10·210－·11≥C10－1·211－·11－1，C10·210－·11≥C10r1·29－·11r1，得10813≤r≤12113，因为r∈N，所以r＝9，故系数最大的项是第10项.10.S＝C271＋C272＋…＋C2727除以9的余数为7.解析依题意S＝C271＋C272＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝（9－1）9－1＝C90×99－C91×98＋…＋C98×9－C99－1＝9×（C90×98－C91×97＋…＋C98）－2.∵C90×98－C91×97＋…＋C98是正整数，∴S被9除的余数为7.11.[开放题]写出一个正整数n，使得（12＋）n的展开式中存在常数项，则n可以是5（答案不唯一，n＝5k，k∈N*均可）.解析二项式（12＋）n的展开式的通项T r＋1＝C·（12）n－r·（）＝C·5－42，若该展开式中存在常数项，则方程5r－4n＝0有解，故可取n＝5，r＝4.12.若x8＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a8（x＋1）8，则a3＝－56.解析令x＋1＝t，则x＝t－1，所以x8＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a8（x＋1）8可转化为（t－1）8＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a8t8，即（1－t）8＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a8t8，所以a3＝－C83＝－56.13.（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）9的展开式中x2的系数是（D）A.60B.80C.84D.120＝x r，所以（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋解析因为（1＋x）n的展开式的通项T r＋1x）9的展开式中x2的系数是C22＋C32＋C42＋…＋C92＝C33＋C32＋C42＋…＋C92＝C43＋C42＋…＋C92＝C53＋C52＋…＋C92＝…＝C93＋C92＝C103＝10×9×83×2×1＝120（组合数性质C r1＝C＋C－1，n，m∈N*，且m≤n的应用）.14.[多选/2024湖南师范大学附中模拟]已知（a＋12）10（a＞0）的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（BCD）A.奇数项的二项式系数和为256B.第6项的系数最大C.存在常数项D.有理项共有6项解析令x＝1，得（a＋1）10＝1024，则a＝1或a＝－3（舍去）.∴（＋12）10的展开＝（）10－r·（12）r＝－52.式的通项为T r＋1解析解法一（1－）6的展开式的通项为C6（－）m＝C6（－1）m2，1+4的展开式的通项为4（）n＝42，则（1－）6（1＋）4的展开式的通项为C6（－1）m C42＋2，其中m＝0，1，2，…，6，n＝0，1，2，3，4.令2＋2＝1，得m ＋n ＝2，于是（1－）6（1＋）4的展开式中x 的系数等于C 60·（－1）0·C 42＋C 61·（－1）1·C 41＋C 62·（－1）2·C 40＝－3.解法二（1－）6（1＋）4＝[（1－）（1＋）]4（1－）2＝（1－x ）4（1－2＋x ），于是（1－）6（1＋）4的展开式中x 的系数为C 40·1＋C 41·（－1）1·1＝－3.16.[2023成都模拟]（5－3x ＋2y ）n 展开式中不含y 的项的系数和为64，则展开式中的常数项为15625.解析（5－3x ＋2y ）n 展开式中不含y 的项，即展开式中y 的指数为0，即（5－3x ）n 的展开式，再令x ＝1，得（5－3x ＋2y ）n 展开式中不含y 的项的系数和为（5－3）n ＝64，∴n ＝6，由（5－3x ＋2y ）6＝[5－（3x －2y ）]6，得展开式中的常数项为C 60×56＝15625.17.[数学文化]“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发了一批又一批数学爱好者的探究欲望.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（D）杨辉三角第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171第8行18285670562881︙︙A.C 32＋C 42＋C 52＋…＋C 92＝120B.第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等C.记第n 行的第i 个数为a i ，则∑i=1r12i －1a i ＝4nD.第20行中第8个数与第9个数之比为8∶13解析根据题意，由“杨辉三角”可得，第n 行的第r 个数为C－1，由此分析选项.选项分析过程正误AC 32＋C 42＋…＋C 92＝C 33＋C 32＋C 42＋…＋C 92－1=C 103－1＝119✕B第2023行中从左往右第1013个数为C 20231012，第1014个数为C 20231013，两者不相等✕C记第n 行的第i 个数为a i ，则a i ＝C －1，则∑i=1r12i －1×a i ＝∑i=1r12i －1Ci －1×1n －i ＋1＝（1＋2）n＝3n✕D第20行中第8个数为C 207，第9个数为C 208，则两个数的比为C 207∶C 208＝20！7！×13！∶20！8！×12！＝8∶13√18.[综合创新/多选]设k ∈R 且k ≠0，n ≥2，n ∈N *，（1＋kx ）n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则（BC ）A.∑i=0a i ＝2nB.∑i=1a i ＝（1＋k ）n －1C.∑i=1ia i ＝nk （1＋k ）n －1D.∑i=2i 2a i ＝2n （n －1）k 2（1＋k ）n －2解析对于A ，在（1＋kx ）n ＝a0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n中令x ＝1，得∑i=0a i ＝（1＋k ）n ，故A 错误；对于B ，在（1＋kx ）n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 中令x ＝0得a 0＝1，所以∑i=1a i ＝（1＋k ）n －1，故B 正确；对于C ，（1＋kx ）n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 两边同时求导，得nk （1＋kx ）n －1＝a 1＋2a 2x＋…＋na n x n－1（*），令x ＝1得∑i=1ia i ＝nk （1＋k ）n －1，故C 正确；对于D ，（*）式两边同时求导得nk 2（n －1）（1＋kx ）n －2＝2a 2＋6a 3x ＋…＋n （n －1）a n x n －2，令x ＝1，得∑i=2i （i －1）a i ＝nk 2（n －1）（1＋k ）n －2，所以∑i=2i 2a i ＝∑i=2i （i －1）a i ＋∑i=2ia i ＝nk 2（n －1）（1＋k ）n －2＋nk （1＋k ）n －1－a 1＝nk （nk ＋1）（1＋k ）n －2－k ，（由对B 的分析得a 1＝k ）故D 不正确.综上所述，故选BC.。

第四章第5讲三角函数的图象与性质-2025年高考数学备考

第四章三角函数第5讲三角函数的图象与性质课标要求命题点五年考情命题分析预测1.借助单位圆能画出三角函数（正弦、余弦、正切）的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在（－π2，π2）上的性质.三角函数的定义域本讲每年必考，主要考查三角函数的定义域、值域（最值）、周期性、单调性、对称性和奇偶性，有时与函数零点和极值点综合命题，题型以选择题和填空题为主，难度中等.预计2025年高考命题趋势变化不大，备考时要注意区分正弦函数和余弦函数的图象与性质，不要混淆，另应关注新角度、新综合问题.三角函数的值域（最值）2021全国卷乙T4三角函数的性质及应用2023新高考卷ⅠT15；2023全国卷乙T6；2023天津T5；2022新高考卷ⅠT6；2022全国卷乙T15；2022全国卷甲T11；2022北京T5；2021新高考卷ⅠT4；2020全国卷ⅢT16；2019全国卷ⅠT11；2019全国卷ⅡT9学生用书P0801.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象上，起关键作用的五个点是（0，0），（π2，1），①（π，0），（3π2，－1），②（2π，0）.在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象上，起关键作用的五个点是（0，1），（π2，0），③（π，－1），（3π2，0），④（2π，1）.五点法作图有三步：列表、描点、连线（注意光滑）.2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质三角y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x函数图象定义域R R ⑤{x ｜x ≠k π＋2，k ∈Z}值域⑥[－1，1]⑦[－1，1]R周期性周期是2k π（k ∈Z 且k ≠0），最小正周期是⑧2π.周期是2k π（k ∈Z 且k ≠0），最小正周期是⑨2π.周期是k π（k ∈Z 且k ≠0），最小正周期是⑩π.对称性对称轴方程是⑪x ＝k π＋2（k ∈Z ），对称中心是⑫（k π，0）（k ∈Z ）.对称轴方程是⑬x ＝k π（k ∈Z ），对称中心是⑭（k π＋2，0）（k ∈Z ）.无对称轴，对称中心是⑮（2，0）（k ∈Z ）.奇偶性⑯奇函数⑰偶函数⑱奇函数单调性在⑲[－2＋2k π，2＋2k π]（k ∈Z ）上单调递增，在⑳[2＋2k π，32＋2k π]（k ∈Z ）上单调递减.在㉑[2k π－π，2k π]（k ∈Z ）上单调递增，在㉒[2k π，2k π＋π]（k ∈Z ）上单调递减.在㉓（－2＋k π，2＋k π）（k ∈Z ）上单调递增.注意y ＝tan x 在其定义域内不单调.常用结论1.三角函数的对称性与周期T 的关系（1）相邻的两条对称轴（或两个对称中心）之间的距离为2；（2）相邻的对称中心与对称轴之间的距离为4；（3）相邻的两个最低点（或最高点）之间的距离为T .2.与三角函数奇偶性有关的结论（1）若函数y ＝A sin （ωx ＋φ）（x ∈R ）是奇函数，则φ＝k π（k ∈Z ）；若为偶函数，则φ＝k π＋π2（k ∈Z ）.（2）若函数y ＝A cos （ωx ＋φ）（x ∈R ）是奇函数，则φ＝k π＋π2（k ∈Z ）；若为偶函数，则φ＝k π（k ∈Z ）.（3）若y＝A tan（ωx＋φ）为奇函数，则φ＝kπ（k∈Z）.1.设A是△ABC最小的内角，则sin A＋cos A的取值范围是（D）A.（－2，2）B.[－2，2]C.（1，2）D.（1，2]解析∵A是△ABC最小的内角，∴0＜A≤π3，∴π4＜A＋π4≤7π12，sin（A＋π4）≤1，则sin A＋cos A＝2sin（A＋π4）∈（1，2]，故选D.2.函数f（x）＝tan（－4x＋π6）的最小正周期为（A）A.π4B.π2C.πD.2π解析函数f（x）＝tan（－4x＋π6）的最小正周期T＝π｜｜＝π｜－4｜＝π4.3.[全国卷Ⅱ]若x1＝π4，x2＝3π4是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（A）A.2B.32C.1D.12解析依题意得函数f（x）的最小正周期T＝2π＝2×（3π4－π4）＝π，解得ω＝2，选A.4.函数f（x）＝sin（x－π4）的图象的一条对称轴的方程是（C）A.x＝π4B.x＝π2C.x＝－π4D.x＝－π2解析函数y＝sin x的图象的对称轴方程为x＝kπ＋π2（k∈Z），令x－π4＝kπ＋π2（k∈Z），得x＝kπ＋3π4（k∈Z），故函数f（x）＝sin（x－π4）的图象的对称轴方程为x＝kπ＋3π4（k∈Z）.令k＝－1，得x＝－π4.故选C.5.[易错题]函数y＝2sin（－x＋π3）（x∈[－π，0]）的单调递增区间是（A）A.[－π，－π6]B.[－5π6，－π6]C.[－π3，0]D.[－π6，0]解析令π2＋2kπ≤－x＋π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，则－7π6－2kπ≤x≤－π6－2kπ，k∈Z.又x∈[－π，0]，所以所求单调递增区间为[－π，－π6].6.函数f（x）＝tan（3x＋π6）的图象的对称中心为（χ6－π18，0）（k∈Z）.解析令3x ＋π6＝χ2，k ∈Z ，解得x ＝χ6－π18，k ∈Z ，所以f （x ）的图象的对称中心为（χ6－π18，0），k ∈Z.学生用书P082命题点1三角函数的定义域例1函数y ＝lg （sin x 的定义域为{x ｜2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z}.解析要使函数有意义，则sin >0，Hs －12≥0，解得2χ＜＜π+2χ（Ap,－π3+2χ≤≤π3+2χ（Ap,所以2k π＜x ≤π3＋2k π（k ∈Z ），所以函数的定义域为{x ｜2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z}.方法技巧求三角函数的定义域实质上是解不等式或不等式组，常借助于三角函数的图象解决.训练1函数f （x ）＝tanbtan2tan2－tan 的定义域为{x ｜x ≠χ4，k ∈Z}.解析tan 2x ，tan x 有意义，则≠π2＋χ，2≠π2＋χ，k ∈Z ，又tan 2x －tan x ≠0，即2tan1－tan 2－tan x ≠0，则tan x ≠0，即x ≠k π，k ∈Z ，综上可得，x ≠χ4，k ∈Z ，则函数f （x ）的定义域为{x ｜x ≠χ4，k ∈Z}.命题点2三角函数的值域（最值）例2（1）[2021全国卷乙]函数f （x ）＝sin3＋cos3的最小正周期和最大值分别是（C）A.3π和2B.3π和2C.6π和2D.6π和2解析因为函数f （x ）＝sin3＋cos 3＝2（sin 3cos π4＋cos3sin π4）＝2sin （3＋π4），所以函数f （x ）的最小正周期T ＝2π13＝6π，最大值为2.故选C.（2）已知函数f （x ）＝cos （2x ＋π3）＋2的定义域为[α，π]，值域为[52，3]，则α的取值范围是（C ）A.[2π3，π]B.[0，2π3]C.[2π3，5π6]D.[π2，5π6]解析由题意知，2x＋π3∈[2α＋π3，7π3]，且y＝cos（2x＋π3）在[α，π]上的值域为[12，1]，∴2α＋π3≥5π3，且2α＋π3≤2π，解得2π3≤α≤5π6，∴α的取值范围是[2π3，5π6]，故选C.方法技巧三角函数值域的不同求法1.把所给的三角函数式变换成y＝A sin（ωx＋φ）＋b的形式求值域.2.把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.3.利用sin x±cos x和sin x cos x的关系转换成二次函数求值域.训练2（1）[2023四川省模拟]已知函数f（x）＝cos2x＋sin x－14的定义域为[0，m]，值域为[34，1]，则实数m的最大值为（A）A.πB.7π6C.4π3D.3π2解析由已知，得f（x）＝cos2x＋sin x－14＝1－sin2x＋sin x－14＝－sin2x＋sin x＋34，令t＝sin x，函数f（x）可转换为y＝－t2＋t＋34＝－（t－12）2＋1，因为y∈[34，1]，所以根据二次函数的图象与性质可得t∈[0，1]，即sin x∈[0，1]，又x∈[0，m]，所以根据三角函数的图象与性质可得m∈[π2，π]，所以实数m的最大值为π，故选A.（2）函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x12解析令sin x－cos x＝t，则t＝2sin（x－π4），t∈[－2，2]，t2＝sin2x＋cos2x－2sin x cos x，故sin x cos x＝1－22，所以y＝t＋1－22＝－12（t－1）2＋1，所以当t＝1时，函数有最大值1；当t＝－2时，函数有最小值－2－12，即值域为[－2－12，1].命题点3三角函数的性质及应用角度1三角函数的周期性例3（1）[2023天津高考]已知函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝2，f（x）的一个周期为4，则f（x）的解析式可能为（B）A.f（x）＝sin（π2x）B.f（x）＝cos（π2x）C.f（x）＝sin（π4x）D.f（x）＝cos（π4x）解析对于A，f（x）＝sin（π2x），其最小正周期为2ππ2＝4，因为f（2）＝sinπ＝0，所以函数f（x）＝sin（π2x）的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f（x）＝cos（π2x），其最小正周期为2ππ2＝4，因为f（2）＝cosπ＝－1，所以函数f（x）＝cos（π2x）的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数y＝sin（π4x）和y＝cos（π4x）的最小正周期均为2ππ4＝8，均不符合题意，故排除C，D.综上，选B.（2）[全国卷Ⅲ]函数f（x）＝tG1+B2的最小正周期为（C）A.π4B.π2C.πD.2π解析f（x）＝tan1+tan2＝sin cos1+sin2cos2＝sinvoscos2＋sin2＝sin x cos x＝12sin2x，所以f（x）的最小正周期T＝2π2＝π.故选C.方法技巧1.求三角函数周期的基本方法（1）定义法.（2）公式法：函数y＝A sin（ωx＋φ）（或y＝A cos（ωx＋φ））的最小正周期T＝2π｜｜，函数y＝A tan（ωx＋φ）的最小正周期T＝π｜｜.（3）图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期.2.有关周期的2个结论（1）函数y＝｜A sin（ωx＋φ）｜，y＝｜A cos（ωx＋φ）｜，y＝｜A tan（ωx＋φ）｜的最小正周期T均为π｜｜.（2）函数y＝｜A sin（ωx＋φ）＋b｜（b≠0），y＝｜A cos（ωx＋φ）＋b｜（b≠0）的最小正周期T均为2π｜｜.角度2三角函数的单调性例4（1）[2022北京高考]已知函数f（x）＝cos2x－sin2x，则（C）A.f（x）在（－π2，－π6）上单调递减B.f（x）在（－π4，π12）上单调递增C.f（x）在（0，π3）上单调递减D.f（x）在（π4，7π12）上单调递增解析依题意可知f（x）＝cos2x－sin2x＝cos2x，对于A，因为x∈（－π2，－π6），所以2x∈（－π，－π3），函数f（x）＝cos2x在（－π2，－π6）上单调递增，所以A不正确；对于B，因为x∈（－π4，π12），所以2x∈（－π2，π6），函数f（x）＝cos2x在（－π4，π12）上不单调，所以B不正确；对于C，因为x∈（0，π3），所以2x∈（0，2π3），函数f（x）＝cos2x在（0，π3）上单调递减，所以C正确；对于D，因为x∈（π4，7π12），所以2x∈（π2，7π6），函数f（x）＝cos2x在（π4，7π12）上不单调，所以D不正确.故选C.（2）[全国卷Ⅱ]若f（x）＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是（A）A.π4B.π2C.3π4D.π解析f（x）＝cos x－sin x＝2cos（x＋π4），因为函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋π4≤π，得－π4≤x≤3π4.因为f（x）在[－a，a]上是减函数，｜－π4｜＜3π4，所以－a≥－π4，解得a≤π4.又区间[－a，a]有意义时，a＞0，所以0＜a≤π4，所以a的最大值是π4.方法技巧三角函数单调性问题的常见类型及求解策略常见类型求解策略已知三角函数解析式求单调区间（1）将函数化简为“一角一函数”的形式，如y＝A sin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）；（2）利用整体思想，视“ωx＋φ”为一个整体，根据y＝sin x的单调区间列不等式求解.对于y＝A cos（ωx＋φ），y＝A tan（ωx＋φ），可以利用类似方法求解.注意求函数y＝A sin（ωx＋φ）＋b的单调区间时要先看A和ω的符号，尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆.已知三角函数的单调性求参数（1）求出原函数的相应单调区间，由已知区间是求出的单调区间的子集，列不等式（组）求解.（2）由所给区间求出“ωx＋φ”的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解.角度3三角函数的奇偶性与对称性例5（1）[2022全国卷甲]将函数f（x）＝sin（ωx＋π3）（ω＞0）的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（C）A.16B.14C.13D.12解析记曲线C的函数解析式为g（x），则g（x）＝sin[ω（x＋π2）＋π3]＝sin[ωx＋（π2ω＋π3）].因为函数g（x）的图象关于y轴对称，所以π2ω＋π3＝kπ＋π2（k∈Z），得ω＝2k＋13（k∈Z）.因为ω＞0，所以ωmin＝13.故选C.（2）[2022新高考卷Ⅰ]记函数f（x）＝sin（ωx＋π4）＋b（ω＞0）的最小正周期为T.若2π3＜T ＜π，且y＝f（x）的图象关于点（3π2，2）中心对称，则f（π2）＝（A）A.1B.32C.52D.3解析因为2π3＜T＜π，所以2π3＜2π＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f（x）的图象关于点（3π2，2）中心对称，所以b＝2，且sin（3π2ω＋π4）＋b＝2，即sin（3π2ω＋π4）＝0，所以3π2ω＋π4＝kπ（k∈Z），又2＜ω＜3，所以13π4＜3π2ω＋π4＜19π4，所以3π2ω＋π4＝4π，解得ω＝52，所以f（x）＝sin（52x＋π4）＋2，所以f（π2）＝sin（52×π2＋π4）＋2＝sin3π2＋2＝1.故选A.方法技巧1.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法：对于函数f（x）＝A sin（ωx＋φ）（ω≠0），令ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，求出对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，求出对称中心的横坐标（纵坐标为0）.对于y＝A cos（ωx＋φ），y＝A tan（ωx＋φ），可以利用类似方法求解（注意y＝A tan（ωx＋φ）的图象无对称轴）.说明选择题可以通过验证f（x0）的值进行判断，即f（x0）＝±A⇔x＝x0是函数f（x）图象的对称轴方程；f（x0）＝0⇔点（x0，0）是函数f（x）图象的对称中心.2.三角函数中奇函数一般可化为y＝A sinωx或y＝A tanωx的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cosωx＋b的形式.训练3（1）[2023全国卷乙]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（π6，2π3）单调递增，直线x＝π6和x＝2π3为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－5π12）＝（D）A. B.－12 C.12解析由题意得12×2π｜｜＝2π3－π6＝π2，解得｜ω｜＝2，易知x＝π6是f（x）的最小值点.若ω＝2，则π6×2＋φ＝－π2＋2kπ（k∈Z），得φ＝－5π6＋2kπ（k∈Z），于是f（x）＝sin（2x－6π5＋2kπ）＝sin（2x－5π6），f（－5π12）＝sin（－5π12×2－5π6）＝sin（－5π3）＝sinπ3＝ω＝－2，则π6×（－2）＋φ＝－π2＋2kπ（k∈Z），得φ＝－π6＋2kπ（k∈Z），于是f（x）＝sin（－2x－π6＋2kπ）＝sin（－2x－π6）＝sin（2x－56π），所以f（－5π12）故选D.（2）在函数①y＝cos｜2x｜，②y＝｜cos x｜，③y＝cos（2x＋π6），④y＝tan（2x－π4）中，最小正周期为π的所有函数为（A）A.①②③B.①③④C.②④D.①③解析对于①，y＝cos｜2x｜＝cos2x，其最小正周期为2π2＝π；对于②，y＝｜cos x｜的最小正周期为π；对于③，y＝cos（2x＋π6）的最小正周期为2π2＝π；对于④，y＝tan（2x－π4）的最小正周期为π2.所以最小正周期为π的所有函数为①②③.（3）函数f（x）＝3sin（2x－π3＋φ）＋1，φ∈（0，π），且f（x）为偶函数，则φ＝5π6，f（x）图象的对称中心为（π4＋χ2，1），k∈Z.解析∵f（x）＝3sin（2x－π3＋φ）＋1为偶函数，∴－π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝5π6＋kπ，k∈Z.又φ∈（0，π），∴φ＝5π6，∴f（x）＝3sin（2x＋π2）＋1＝3cos2x＋1.由2x＝π2＋kπ，k∈Z，得x＝π4＋χ2，k∈Z，∴f（x）图象的对称中心为（π4＋χ2，1），k∈Z.1.[命题点2/2023福建模拟]若对任意x∈R都有f（sin x）＝－cos2x＋cos2x＋2sin x－3，则f（x）的值域为[－4，0].解析易知f（sin x）＝2sin2x－1＋1－sin2x＋2sin x－3＝sin2x＋2sin x－3，所以f（x）＝x2＋2x－3（－1≤x≤1），曲线y＝x2＋2x－3的对称轴为直线x＝－1，所以函数f（x）在区间[－1，1]上单调递增，所以f（－1）≤f（x）≤f（1），即－4≤f（x）≤0，所以f（x）的值域为[－4，0].2.[命题点2/2023潍坊市高三统考]已知函数f（x）＝3sin x＋4cos x，且f（x）≤f（θ）对任意x∈R恒成立，若角θ的终边经过点P（4，m），则m＝3.解析因为f（x）＝3sin x＋4cos x＝5sin（x＋φ），其中cosφ＝35，sinφ＝45，则sin（θ＋φ）＝1，所以θ＋φ＝π2＋2kπ（k∈Z），所以θ＝π2－φ＋2kπ（k∈Z），所以sinθ＝sin（π2－φ）＝cosφ＝35，同理cosθ＝45，所以tanθ＝4＝sin cos＝34，所以m＝3.3.[命题点3角度1/多选/2023福建省福州市联考]如图所示，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈.该质点到x轴的距离关于时间t的函数记为f（t）.下列说法正确的是（AC）A.f（t）＝｜2sin（2π3t－π4）｜B.f（t）＝2sin（2π3t－π4）C.f（t）的最小正周期为32D.f（t）的最小正周期为3解析由题可知，质点的角速度为2π3rad/s，因为点P为起始点，沿逆时针方向运动，设经过t s之后所成角为φ，则φ＝2π3－π4，根据任意角的三角函数定义有y P＝2sin（2π3－π4），所以该质点到x轴的距离为f（t）＝｜2sin（2π3t－π4）｜，故A正确，B错误；因为f（t）＝｜2sin（2π3t－π4）｜，所以f（t）的最小正周期为π2π3＝32，故C正确，D错误.故选AC.4.[命题点3/多选/2023河北名校联考]已知函数f（x）＝2sin（ωx＋π4）＋b（ω＞0）的最小正周期T满足π2＜T＜3π2，且P（－π8，1）是f（x）图象的一个对称中心，则（AC）A.ω＝2B.f（x）的值域是[－2，2]C.直线x＝π8是f（x）图象的一条对称轴D.f（x＋π4）是偶函数解析对于A，因为P（－π8，1）是函数f（x）图象的一个对称中心，所以－π8ω＋π4＝kπ（k∈Z），且b＝1，得ω＝2－8k（k∈Z）.又π2＜T＜3π2，且ω＞0，即π2＜2π＜3π2，所以43＜ω＜4，所以ω＝2，故A正确.对于B，由对A的分析得f（x）＝2sin（2x＋π4）＋1，因为－1≤sin（2x＋π4）≤1，所以f（x）∈[－1，3]，故B不正确.对于C，解法一由2x＋π4＝kπ＋π2（k∈Z），得x＝χ2＋π8（k∈Z），当k＝0时，x＝π8，所以直线x＝π8是函数f（x）图象的一条对称轴，故C正确.解法二将x＝π8代入f（x），可得f（π8）＝3（f（x）的最大值），所以直线x＝π8是f（x）图象的一条对称轴，故C正确.对于D，因为f（x＋π4）＝2sin[2（x＋π4）＋π4]＋1＝2sin（2x＋π2＋π4）＋1＝2cos（2x＋π4）＋1，显然该函数不是偶函数，故D不正确.综上所述，选AC.学生用书·练习帮P2961.函数f（x）＝tan（2x＋π4）的定义域为（C）A.{x｜x≠kπ＋π2，k∈Z}B.{x｜x≠2kπ＋π2，k∈Z}C.{x｜x≠χ2＋π8，k∈Z}D.{x｜x≠kπ＋π8，k∈Z}解析由2x＋π4≠kπ＋π2，k∈Z，得2x≠kπ＋π4，k∈Z，∴x≠χ2＋π8，k∈Z，∴函数y＝tan（2x＋π4）的定义域为{x｜x≠χ2＋π8，k∈Z}.2.[2023天津新华中学统练]下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（D）A.y＝sin（2x＋π2）B.y＝tan2xC.y＝2sin（π－x）D.y＝tan（x＋π）解析对于函数y＝sin（2x＋π2）＝cos2x，最小正周期为π，是偶函数，排除A；对于函数y＝tan2x，最小正周期为π2，是奇函数，排除B；对于函数y＝2sin（π－x）＝2sin x，最小正周期为2π，是奇函数，排除C；对于函数y＝tan（π＋x）＝tan x，最小正周期为π，是奇函数，故选D.3.下列函数中，以π2为周期且在区间（π4，π2）单调递增的是（A）A.f（x）＝｜cos2x｜B.f（x）＝｜sin2x｜C.f（x）＝cos｜x｜D.f（x）＝sin｜x｜解析A中，函数f（x）＝｜cos2x｜的最小正周期为π2，当x∈（π4，π2）时，2x∈（π2，π），函数f（x）单调递增，故A正确；B中，函数f（x）＝｜sin2x｜的最小正周期为π2，当x∈（π4，π2）时，2x∈（π2，π），函数f（x）单调递减，故B不正确；C中，函数f（x）＝cos｜x｜＝cos x的最小正周期为2π，故C不正确；D中，f（x）＝sin｜x｜＝sin，≥0，由正弦函数图象知，在x≥0和x＜0时，f（x）均以2π为周期，但在整个－sin，<0，定义域上f（x）不是周期函数，故D不正确.故选A.4.已知函数f（x）＝sin（ωx＋θ）＋3cos（ωx＋θ）（θ∈[－π2，π2]）是偶函数，则θ的值为（B）A.0B.π6C.π4D.π3解析由已知可得f（x）＝2sin（ωx＋θ＋π3），若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝kπ＋π2（k∈Z），又由于θ∈[－π2，π2]，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意.故选B.5.[2023江西月考]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的两个相邻的零点为－13，23，则f（x）的图象的一条对称轴方程是（B）A.x＝－16B.x＝－56C.x＝13D.x＝23解析设f（x）的最小正周期为T，则2＝23－（－13）＝1，得T＝2π＝2，所以ω＝π，又因为－π3＋φ＝kπ（k∈Z），且0＜φ＜π2，所以φ＝π3，则f（x）＝sin（πx＋π3），由πx＋π3＝kπ＋π2（k∈Z），解得x＝k＋16（k∈Z），取k＝－1，得一条对称轴方程为x＝－56.6.已知函数f（x）＝－2tan（2x＋φ）（0＜φ＜π2）的图象的一个对称中心是点（π12，0），则该函数的一个单调递减区间是（D）A.（－5π6，π6）B.（－π6，π3）C.（－π3，π6）D.（－5π12，π12）解析因为函数f（x）＝－2tan（2x＋φ）的图象的一个对称中心是点（π12，0），所以2×π12＋φ＝χ2，k∈Z，解得φ＝χ2－π6，k∈Z.又0＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f（x）＝－2tan（2x＋π3）.令－π2＋kπ＜2x＋π3＜π2＋kπ，k∈Z，解得－5π12＋χ2＜x＜π12＋χ2，k∈Z，所以函数f（x）的单调递减区间为（－5π12＋χ2，π12＋χ2），k∈Z.当k＝0时，得f（x）的一个单调递减区间为（－5π12，π12）.7.[全国卷Ⅰ]设函数f（x）＝cos（ωx＋π6）在[－π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（C）A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2解析解法一由题图知，f（－4π9）＝0，∴－4π9ω＋π6＝π2＋kπ（k∈Z），解得ω＝－3+94（k∈Z）.设f（x）的最小正周期为T，易知T＜2π＜2T，∴2π｜｜＜2π＜4π｜｜，∴1＜｜ω｜＜2，当且仅当k＝－1时，符合题意，此时ω＝32，∴T＝2π＝4π3.故选C.解法二由题图知，f（－4π9）＝0且f（－π）＜0，f（0）＞0，∴－4π9ω＋π6＝－π2（ω＞0），解得ω＝32，经验证符合题意，∴f（x）的最小正周期T＝2π＝4π3.故选C.8.[2024安徽铜陵模拟]已知函数f（x）＝a sin4x＋cos4x的图象关于直线x＝π12对称，则f（π24）＝（A）A.3 C.－12 D.－1解析由题设f（x）＝2+1sin（4x＋φ）（a≠0）且tanφ＝1，又函数图象关于直线x＝π12对称，所以π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z⇒φ＝π6＋kπ，k∈Z，则tanφ＝tan（π6＋kπ）＝tanπ6＝1⇒a＝3，综上，f（x）＝3sin4x＋cos4x＝2sin（4x＋π6），故f（π24）＝2sinπ3＝3.故选A.9.[多选/2023江苏南京模拟]已知x1，x2是函数f（x）＝2sin（ωx－π6）（ω＞0）的两个不同零点，且｜x1－x2｜的最小值是π2，则下列说法正确的是（ABD）A.函数f（x）在[0，π3]上单调递增B.函数f（x）的图象关于直线x＝－π6对称C.函数f（x）的图象关于点（π，0）中心对称D.当x∈[π2，π]时，函数f（x）的值域是[－2，1]解析由题意可知，最小正周期T＝2π＝π，所以ω＝2，f（x）＝2sin（2x－π6）.对于选项A，当x∈[0，π3]时，2x－π6∈[－π6，π2]，所以f（x）在[0，π3]上单调递增，故A正确；对于选项B，f（－π6）＝2sin[2×（－π6）－π6]＝2sin（－π2）＝－2，所以f（x）的图象关于直线x ＝－π6对称，故B正确；对于选项C，f（π）＝2sin（2π－π6）＝－1≠0，所以f（x）的图象不关于点（π，0）中心对称，故C错误；对于选项D，当x∈[π2，π]时，2x－π6∈[5π6，11π6]，sin（2x－π6）∈[－1，12]，f（x）∈[－2，1]，故D正确.故选ABD.10.定义运算a*b为：a*b＝（≤p,（＞p,例如，1*2＝1，则函数f（x）＝sin x*cos x的值域为[－1，22].解析f（x）＝sin x*cos x，当x∈[π＋2kπ，5π4＋2kπ]，k∈Z，这时sin x≥cos x，所以f（x）＝cos x，这时函数的值域为[－1；当x∈[－3π4＋2kπ，π4＋2kπ]，k∈Z，这时sin x≤cos x，所以f（x）＝sin x，这时函数的值域为[－1综上，函数的值域为[－1 11.[2023上海松江二中模拟]若函数y＝sin（πx－π6）在[0，m]上单调递增，则m的最大值为23.解析由x∈[0，m]，知πx－π6∈[－π6，mπ－π6]，因为函数在[0，m]上单调递增，所以－π6＜mπ－π6≤π2，即0＜m≤23，所以m的最大值为23.12.[2024安徽合肥一中模拟]已知函数f（x）＝sin x cos x－3cos2x（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[－π6，π4]上的值域.解析（1）因为f（x）＝sin x cos x－3cos2x＝12sin2x＝12sin2x－2x＝sin（2x－π3），所以函数f（x）的最小正周期为T＝2π2＝π.由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2（k∈Z）可得kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12（k∈Z），所以函数f（x）的单调递减区间为[kπ＋5π12，kπ＋11π12]（k∈Z）.（2）当－π6≤x≤π4时，－2π3≤2x－π3≤π6，则－1≤sin（2x－π3）≤12，因此，函数f（x）在区间[－π6，π4]上的值域为[－1，12].13.设函数f（x）＝2cos（12x－π3），若对于任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则｜x1－x2｜的最小值为（C）A.π2B.πC.2πD.4π解析函数f（x）＝2cos（12x－π3），若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，｜x1－x2｜的最小值就是函数的半个周期，故2＝12×2π12＝2π，故选C.14.[2023湘潭模拟]若函数f（x）＝cos2x＋sin（2x＋π6）在（0，α）上恰有2个零点，则α的取值范围为（B）A.[5π6，4π3）B.（5π6，4π3]C.[5π3，8π3）D.（5π3，8π3]解析由题意得，函数f（x）＝cos2x＋sin（2x＋π6）＝3sin（2x＋π3），因为0＜x＜α，所以π3＜2x＋π3＜2α＋π3，又由f（x）在（0，α）上恰有2个零点，可得2π＜2α＋π3≤3π，解得5π6＜α≤4π3，所以α的取值范围为（5π6，4π3].15.[2023福建龙岩模拟]已知函数f（x）＝2｜sin x｜＋cos x，则f（x）的最小值为（C）A.－5B.－2C.－1D.0解析解法一f（x）＝2｜sin x｜＋cos x，分别作出y＝2｜sin x｜（图1）与y＝cos x （图2）的部分图象，如图所示.图1图2从图中可以看出，当x＝π时，两个函数同时取得最小值，此时f（π）＝2｜sinπ｜＋cosπ＝－1最小.解法二因为f（－x）＝2｜sin（－x）｜＋cos（－x）＝2｜sin x｜＋cos x＝f（x），所以f（x）＝2｜sin x｜＋cos x为偶函数，又f（x＋2π）＝2｜sin（x＋2π）｜＋cos（x＋2π）＝2｜sin x｜＋cos x＝f（x），所以f（x）的一个周期为2π.当x∈[0，π]时，f（x）＝2sin x＋cos x，f'（x）＝2cos x－sin x，令f'（x）＝0，则tan x＝2，故存在x0∈（0，π2），使得f'（x0）＝0，当x∈[0，x0）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（x0，π]时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，又f（0）＝1，f（π）＝－1，结合f（x）为偶函数，周期为2π，作出f（x）＝2｜sin x｜＋cos x的图象如图，由图可知，函数的最小值为－1.故选C.16.[多选/2022新高考卷Ⅱ]已知函数f（x）＝sin（2x＋φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（2π3，0）中心对称，则（AD）A.f（x）在区间（0，5π12）单调递减B.f（x）在区间（－π12，11π12）有两个极值点C.直线x＝7π是曲线y＝f（x）的对称轴D.直线y x是曲线y＝f（x）的切线解析因为函数f（x）的图象关于点（2π3，0）中心对称，所以sin（2×2π3＋φ）＝0，可得4π3＋φ＝kπ（k∈Z），结合0＜φ＜π，得φ＝2π3，所以f（x）＝sin（2x＋2π3）.对于A，解法一由2kπ＋π2≤2x＋2π3≤2kπ＋3π2（k∈Z），得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12（k∈Z）；当k ＝0时，－π12≤x≤5π12.因为（0，5π12）⊆（－π12，5π12），所以函数f（x）在区间（0，5π12）单调递减，故A正确.解法二当x∈（0，5π12）时，2x＋2π3∈（2π3，3π2），所以函数f（x）在区间（0，5π12）单调递减，故A正确.对于B，解法一由2x＋2π3＝kπ＋π2（k∈Z），得x＝χ2－π12（k∈Z），当k＝0时，x＝－π12；当k＝1时，x＝5π12；当k＝2时，x＝11π12.所以函数f（x）在区间（－π12，11π12）只有一个极值点，故B不正确.解法二当x∈（－π12，11π12）时，2x＋2π3∈（π2，5π2），所以函数f（x）在区间（－π12，11π12）只有一个极值点，故B不正确.对于C，解法一由选项B解法一的分析知，函数f（x）图象的对称轴方程为x＝χ2－π12（k∈Z），而方程χ2－π12＝7π6（k∈Z）无解，故C不正确.解法二因为f（7π6）＝sin（2×7π6＋2π3）＝sin3π＝0，所以x＝7π6不是曲线y＝f（x）的对称轴，故C不正确.对于D，因为f'（x）＝2cos（2x＋2π3），若直线y x为曲线y＝f（x）的切线，则由2cos（2x＋2π3）＝－1，得2x＋2π3＝2kπ＋2π3或2x＋2π3＝2kπ＋4π（k∈Z），所以x＝kπ或x＝kπ＋π3（k∈Z）.当x＝kπ（k∈Z）时，f（x）kπ（k∈Z），解得k＝0；当x＝kπ＋π3（k∈Z）时，f（x）kπ－π3（k∈Z）无解.综上所述，直线y x为曲线y＝f（x）的切线，故D正确.综上所述，选AD.17.[条件创新]已知函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）在区间[－3π4，π4]上单调递增，且直线y＝－2与函数f（x）的图象在[－2π，0]上有且仅有一个交点，则实数ω的取值范围是[14，23].解析易知f（x）的图象关于点（0，0）对称，则由函数f（x）在[－3π4，π4]上单调递增可得4≥3π4（T为f（x）的最小正周期），即2π4≥3π4，结合ω＞0，解得0＜ω≤23.因为直线y＝－2与函数f（x）的图象在[－2π，0]×2π≤2π，×2π>2π，解得14≤ω＜54.综上，ω∈[14，23].18.[2023湖北省部分重点中学联考]已知函数f（x）＝4sin2（π4＋2）sin x＋（cos x＋sin x）·（cos x－sin x）－1.（1）求f（x）的解析式及其图象的对称中心；（2）若函数g（x）＝12[f（2x）＋af（x）－af（π2－x）－a]－1在区间[－π4，π2]上的最大值为2，求实数a的值.解析（1）f（x）＝2[1－cos（π2＋x）]·sin x＋cos2x－sin2x－1＝sin x·（2＋2sin x）＋1－2sin2x－1＝2sin x.对称中心为（kπ，0），k∈Z.（2）g（x）＝sin2x＋a sin x－a cos x－2－1，令sin x－cos x＝t，则sin2x＝1－t2，（小技巧：函数式中既含正余弦的和或差（sin x－cos x或sin x＋cos x），又含二者的乘积（即sin x·cos x），可令sin x－cos x＝t或sin x＋cos x＝t，然后转化为关于t的二次函数求最值）∴y＝1－t2＋at－2－1＝－（t－2）2＋2 4－2.∵t＝sin x－cos x＝2sin（x－π4），x∈[－π4，π2]，∴x－π4∈[－π2，π4]，∴－2≤t≤1.①当2＜－2，即a ＜－22时，y max ＝－（－2－2）2＋24－2＝－2a －2－2.令－2a －2－2＝2，解得a .②当－2≤2≤1，即－22≤a ≤2时，y max ＝24－2，令24－2＝2，解得a ＝－2或a ＝4（舍去）.③当2＞1，即a ＞2时，y max ＝－（1－2）2＋24－2＝2－1，由2－1＝2，得a ＝6.综上，a ＝－2或6.19.[条件创新/多选]已知函数f （x ）＝cos （2x ＋φ）（｜φ｜＜π2），F （x ）＝f （x ）＋'（x ）为奇函数，则下述四个结论正确的是（BC ）A.tan φ＝3B.若f （x ）在[－a ，a ]上存在零点，则a 的最小值为π6C.F （x ）在（π4，3π4）上单调递增D.f （x ）在（0，π2）上有且仅有一个极大值点解析由f （x ）＝cos （2x ＋φ），得f '（x ）＝－2sin （2x ＋φ），则F （x ）＝f （x ）＋'（x ）＝cos （2x ＋φ）－3sin （2x ＋φ）＝－2sin （2x ＋φ－π6）.因为F （x ）为奇函数，所以φ－π6＝k π（k ∈Z ），所以φ＝k π＋π6（k ∈Z ）.因为｜φ｜＜π2，所以φ＝π6.对于A ，由以上可得tan φA 错误；对于B ，令f （x ）＝cos （2x ＋π6）＝0，得2x ＋π6＝k π＋π2（k ∈Z ），则x ＝χ2＋π6（k ∈Z ），即函数f （x ）的零点为x ＝χ2＋π6（k ∈Z ），且该函数零点的绝对值的最小值为π6，所以a 的最小值为π6，故B 正确；对于C ，F （x ）＝－2sin 2x ，当x ∈（π4，3π4）时，2x ∈（π2，3π2），此时函数F （x ）单调递增，故C 正确；对于D ，函数f （x ）＝cos （2x ＋π6），令2x ＋π6＝2k π（k ∈Z ），得x ＝k π－π12（k ∈Z ），所以函数f （x ）在（0，π2）上无极大值点，故D 错误.。

MTL-STD-1916与MIL-STD-105E抽样标准不同之处

MTL-STD-1916与MIL-STD-105E抽样标准不同之处，主要有以下几点：1、抽样计划以单次抽样（含加严、正常及减量）为主，删除双次与多次抽样，抽样以“0收1退”（ZBA Zero Based Acceptance）当做判定标准，强调不允许不良品之存在。

2、建立持续不断改善之品质系统制度与善用多项品质改善工具。

3、以预防代替检验，在过程中执行统计过程品管（SPC）。

4、对计数、计量及连续性抽样作业均可适用（分别有三种抽样表），不再像以往MIL-STD-105E 仅限于计数值抽样，MIL-STD-414仅限于计量值抽样与MIL-STD-1235仅限于连续性抽样（以上标准美军均已废止）。

5、把抽样视为一种浪费的行为，如供应商可提出不同产品的接收计划，如获顾客同意后，则可按约定的接收方式办理验收。

6、MIL-STD-1916强调供应商品质系统的建立，以预防为主，而MIL-STD-105E强调顾客的抽样技术，避免接收不合格件。

MIL-STD-105E抽样计划又称计数值的调整型抽样计划，二次大战期间美军军方采购军需武器装备时，对于供货商均以验收检验、制程检验、产品检验、出货检验等方式进行严格的检验以确保武器装备的品质，但由于产品与种类的急遽增多，且制程日益复杂庞大，先前的监督检验制度无法因应此一趋势，而改用稽查检验方式所开发出来的抽样计划。

抽样检验之术术语与符号1抽样检验：由一批产品或材料中，分散、随机抽取一定数量的样本，按规定项目加以检验或测试，将结果与判定基准比较，判定全批为合格或不合格的整个作业。

2批（LOT）：同条件下生产之产品的集合。

3送验批：送来检验的批。

4批量（LOT SIZE）：送验批中含有检验个体之总数，一般以N代表。

5样本（SAMPLE）：由批中抽取作业检验对象的产品。

6抽样（SAMPLING）：从批中抽取样本的工作。

7样本数（SAMPLE SIZE）：样本之个数以n代表。

8合格判定个数：判定批为合格时，样本内容许含有之最高不良品个数，以Ac或c表示之。

联想ThinkPad E16 2023款怎么样,有哪些优点

联想ThinkPad E16 2023款怎么样，有哪些优点售价行情：联想ThinkPad E16 2023款AMD锐龙（R5-7530U 16G 512G 2.5K 100%sRGB、R7-7730U 16G 512G 2.5K 100%sRGB)京东电商平台售价分别是：4499.000元/4999.00，需查询联想ThinkPad E16 2023款最新活动报价的，请查看京东官方了解。

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联想 Lenovo K14 Gen 1 设置指南

Lenovo K14 Gen 1笔记本产品执行标准GB/T 9813.2-2016Printed in China* 适用于特定型号* Lenovo USB-C toVGA Adapter* Lenovo USB-C toDisplayPort Adapter* Lenovo HDMI toVGA Adapter电源按钮 / 带指纹读取器的电源按钮 *USB-C 接口（仅支持 USB 数据传输）Commercial Vantage*设置、智能助手、更新、WiFi 安全、支持和保修USB 传输速率请阅读《用户指南》中的 USB 传输速率声明。

要访问《用户指南》，请访问https://。

安全信息塑料袋声明危险：塑料袋具有危险性。

请将塑料袋放在婴儿和儿童接触不到的位置，以避免窒息危险。

常规电池声明（适用于特定型号）危险：Lenovo 提供的用于产品的电池已经过兼容性测试，并应该仅用核准的部件进行更换。

非Lenovo指定的电池或经过拆卸或改装的电池不在保修范围之内。

电池使用不当或错误操作可能导致电池过热、漏液或爆炸。

为避免可能造成的伤害，请注意以下几点：•请勿打开、拆开或维修任何电池。

•请勿挤压或刺穿电池。

•请勿使电池短路、接触水或其他液体。

•使电池远离儿童。

•使电池远离火源。

如果电池损坏，或发现从电池中流出异物或电池引线上堆积异物，请停止使用电池。

请在室温下存放可充电电池或含有可充电电池的产品，并将电池电量充至大约 30% 到 50%。

建议每年对电池充电一次以防止过量放电。

请勿将电池丢入以掩埋方式处理的垃圾中。

处理电池时，请遵守当地的法令或法规。

可拆卸充电电池声明（适用于特定型号）危险：只能严格按照产品文档中包含的说明对电池进行充电。

更换电池不当有爆炸的危险。

电池中含有少量有害物质。

内置充电电池声明（适用于特定型号）危险：请勿尝试拆卸或更换内置可充电电池。

必须由 Lenovo 授权维修机构、技术人员或独立的有资质的专业人员更换电池。

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6%主要就是适用于销售服务的，除了9%正列举的服务，还有动产的租赁服务，其他服务适用6%。比如增值电信服务，金融服务，租赁服务以外的现代服务，生活服务。
0%，主要就是纳税人出口货物，境内单位和个人跨境销售国务院规定范围内的服务、无形资产。
2019年4月1日起增值税税率由原来的16%，10%，6%、0%调整成税率13%、9%、6%、0%。
具体如下：
在中华人民共和国境内销售货物或者加工、修理修配劳务（以下简称劳务），销售服务、无形资产、不动产以及进口货物的单位和个人，为增值税的纳税人，应当依照本条例缴纳增值税。”
13%，纳税人销货物。
13%的税率基本都是和货物相关的，比如货物的销售、货物的加工、修理修配、货物的租赁、货物的进口。
但凡货物相关的一些行为，除特殊情况外，都使用13%的税率。
特殊情况要例外
1、涉及货物的这种特殊行为，那就是出口，税率0%。
2、这类23类特殊货物销售或进口行为，税率9%。
粮食等农产品、食用植物油、食用盐；
不是所有的服务都是9%税率。
1、有形动产的租赁服务，它适用13%
2、除了9%正列举的服务和有形动产的租赁服务的其他服务，适用6%。
3、境内单位和个人跨境销售国务院规定范围内的服务、无形资产，税率为0%。
9%也不是完全不涉及货物，我们23类的货物销售或进口行为，就适用9%的税率。
那么剩下的6%、0%，其实就很好记忆了，其实基本前面都说了。
自来水、暖气、冷气、热水、煤气、石油液化气、天然气、二甲醚、沼气、居民用煤炭制品；
图书、报纸、杂志、音像制品、电子出版物；
饲料、化肥、农药、农机、农膜；
9%，纳税人销售交通运输、邮政、基础电信、建筑、不动产租赁服务，销售不动产，转让土地使用权，销售或者进口23类货物，税率为9%
9%的税率基本就是正列举了，9%的税率主要和货物没有太大关系，大部分都是涉及销售服务、无形资产、不动产的。