2021年九年级数学中考二轮复习《探索图形的变化规律》专题突破训练
2021年九年级数学中考二轮复习探索规律专题突破训练：数字的变化规律(附答案)
2021年九年级数学中考二轮复习探索规律专题突破训练：数字的变化规律（附答案）1．计算1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2017+2018﹣2019﹣2020的值为（）A．0B．﹣1C．2020D．﹣20202．按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……第2020个单项式是（）A．2020a B．﹣2020a C．a2020D．﹣a20203．已知函数f（x）＝，若M＝f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（2014），N＝f （）+f（）+f（）+…+f（）+f（），则M+N＝（）A．2014B．C．2013D．4．一列数1，5，11，19…按此规律排列，第7个数是（）A．37B．41C．55D．715．在数列，，，，，，，，，，…中，请你观察数列的排列规律，推算该数列中的第5055个数为（）A．B．C．D．6．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，按如图所示进行排列，则﹣2021应排在（）A．A位置B．B位置C．D位置D．E位置7．已知f（1）＝2（取1×2的末位数字），f（2）＝6（取2×3的末位数字），f（3）＝2（取3×4的末位数字），…，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2021）的值为（）A．6B．4028C．4042D．40488．已知整数a1，a2，a3，a4，…，满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，…，依此类推，则a2035的值为（）A．﹣2035B．2035C．﹣1018D．﹣10179．一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗的取出，最终盒内都只剩下一颗糖，如果每次以11颗的取出，那么正好取完，则盒子里共有颗糖．10．按一定规律排列的一列数依次为，﹣，，﹣，，﹣，…，按此规律排列下去，这列数中第8个数是，第n个数是（n为正整数）．11．一组按规律排列的式子：，，，，，其中第8个式子是，第n个式子是（用含的n式子表示，n为正整数）．12．已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依此类推，则a2019的值为．13．设第n行第m个数为a n，m．满足a n，n＝a n，1＝，a n，m＝a n+1，m+a n+1，m+1，求a12，11＝．14．正整数按如图所示的规律排列，则第29行第30列的数字为．15．已知a1＝0，a n+1＝﹣|a n+n|（n≥1，且n为整数），则a2020的值是．16．正整数按如图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字．17．观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．18．如果a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝4，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2022＝．19．观察下列两个数的积（这两个数的十位上的数相同，个位上的数的和等于10）；71×79＝5609；24×26＝624；35×35＝1225；53×57＝3021；…（1）计算83×87＝，552＝．（2）根据观察与计算能得出什么结论，请将它用文字或字母表示出来；（3）证明得出的结论．20．阅读材料：求1+2+22+23+…+22019+22020的值．解：设S＝1+2+22+23+…+22019+22020①，将等式①的两边同乘以2，得2S＝2+22+23+24+…+22020+22021②，用②﹣①得，2S﹣S＝22021﹣1，即S＝22021﹣1．即1+2+22+23+…+22019+22020＝22021﹣1．请仿照此法计算：（1）请直接填写1+2+22+23的值为；（2）求1+5+52+53+…+510的值；（3）请直接写出1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102020﹣的值．21．我们把按一定规律排列的一列数称为数列．若对于一个数列中任意相邻有序的三个数a，b，c总满足c＝ab+2a﹣b，则称这个数列为“梦数列”．（1）若0，1，﹣1，2，y是“梦数列”，则y＝；（2）如果数列…，x，3，6x﹣1，…是“梦数列”，求x的值；（3）如果数列…，2m，n，5…是“梦数列”，求代数式8m﹣2n+4mn﹣9的值．22．有一系列等式：第1个：52﹣12＝8×3；第2个：92﹣52＝8×7；第3个：132﹣92＝8×11；第4个：172﹣132＝8×15；……（1）请写出第5个等式：．（2）请写出第n个等式，并加以验证．（3）依据上述规律，计算：8×3+8×7+8×11+……+8×399．23．观察下列等式：＝1，＝，＝．将以上三个等式的两边分别相加，得：+＝1＝1＝．（1）直接写出计算结果：＝．（2）计算：．（3）猜想并直接写出：＝．（n 为正整数）24．阅读下列材料，然后回答问题：观察下列等式：＝1，＝，将以上三个等式相加得：＝1＝1＝．（1）猜想并写出：＝；（2）直接写出下列各式的结果：①＝；②＝；（3）探究并计算：．25．观察下列各式：12+32+42＝2×（12+32+3）；22+42+62＝2×（22+42+8）；32+52+82＝2×（32+52+15）；…（1）用a，b，c表示等式左边的由小到大的三个底数，发现c与a，b的数量关系是；（2）等式右边括号内的三个数可用a，b表示为：；（3）用a，b表示你发现的等式，并加以证明．26．定义一种新运算“⊙”，观察下列等式：①1⊙3＝1×3﹣（﹣1）﹣（﹣3）＝7，②（﹣1）⊙（﹣2）＝（﹣1）×（﹣2）﹣1﹣2＝﹣1，③0⊙（﹣2）＝0×（﹣2）﹣0﹣2＝﹣2，④4⊙（﹣3）＝4×（﹣3）﹣（﹣4）﹣3＝﹣11，…（1）计算（﹣5）⊙3的值；（2）有理数的加法和乘法运算满足交换律，“⊙”运算是否满足交换律？请说明理由．27．有一列数，按一定规律排成1，，，，，，…．（1）这列数中的第7个数是，第n个数是．（2）若其中某三个相邻数的和是，则这三个数中最大的数是多少？28．观察下列等式：①1﹣1﹣＝﹣；②﹣﹣＝﹣；③﹣﹣＝﹣；④﹣﹣＝﹣；…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第⑤个等式；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）并证明其正确性．29．我们将不大于2020的正整数随机分为两组，第一组按照升序排列得到a1＜a2＜…＜a1010，第二组按照降序排列得到b1＞b2＞…＞b1010．求|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a1010﹣b1010|的所有可能值．30．观察下列等式：12＝；12+22＝；12+22+32＝；12+22+32+42＝；…（1）根据上述规律，求12+22+32+42+52的值；（2）你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）．（3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：62+72+82+92+…+592+602．参考答案1．解：∵1+2﹣3﹣4＝﹣4，5+6﹣7﹣8＝﹣4，即每四项结果为﹣4，∵2020÷4＝505，∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2013+2014﹣2015﹣2016＝﹣4×505＝﹣2020．故选：D．2．解：∵一列单项式为：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，…，∴第n个单项式为（﹣1）n+1•a n，当n＝2020时，这个单项式是（﹣1）2020+1•a2020＝﹣a2020，故选：D．3．解：根据题意可知：f（2）＝＝，f（）＝÷（1+）＝，∴f（2）+f（）＝+＝1，…可得：f（2014）+f（）＝1，又∵f（1）＝，∴M+N＝2013+＝．故选：D．4．解：1＝1×2﹣1，5＝2×3﹣1，11＝3×4﹣1，19＝4×5﹣1，…第n个数为n（n+1）﹣1，则第7个数是：55．故选：C．5．解：观察数列发现规律：第n组的分数有n个，它们的分子是从1开始的连续自然数，分母是从n开始的连续降序自然数，因为前100组有：1+2+3+…+100＝5050个分数，所以5055个数在第101组的第5个，分母为101﹣4＝97，分子是5，所以第5055个数为：．故选：B．6．解：由图可知，每个凸起对应5个数字，这些数字的奇数都是负数，偶数都是正数，∵（2021﹣1）÷5＝2020÷5＝404，∴﹣2021应排在E位置，故选：D．7．解：∵f（1）＝2（取1×2的末位数字），f（2）＝6（取2×3的末位数字），f（3）＝2（取3×4的末位数字），f（4）＝0（取4×5的末位数字），f（5）＝0（取5×6的末位数字），f（6）＝2（取6×7的末位数字），f（7）＝6（取7×8的末位数字），f（8）＝2（取8×9的末位数字），f（9）＝0（取9×10的末位数字），f（10）＝0（取10×11的末位数字），f（11）＝2（取11×12的末位数字），…，可知末位数字以2，6，2，0，0依次出现，∵2021÷5＝404…1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2021）＝（2+6+2+0+0）×404+2＝10×404+2＝4040+2＝4042，故选：C．8．解：由题意可得，a1＝0，a2＝﹣|a1+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣2，a5＝﹣|a4+4|＝﹣2，…，∵（2035﹣1）÷2＝2034÷2＝1017，∴a2035＝﹣1017，故选：D．9．解：已知如果每次11颗地取出正好取完，则盒子内糖数必为11的倍数．又知盒子里装有不多于200颗糖，则盒子内糖数可能为11、22、33、44、55、66、77、88、99、110、121、132、143、154、165、176、187、198．又已知如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，则盒子内糖数为12的倍数+1．又知盒子里装有不多于200颗糖则盒子内糖数可能为13，25，37，49，61，73，85，97，109，121，133，145，157，169，181，193．取上面两组数的交集可得121，故盒子里共有121颗糖．故答案为：121．10．解：根据分析可知：一列数依次为：，﹣，，﹣，，﹣，…，按此规律排列下去，则这列数中的第8个数是﹣，所以第n个数是：（﹣1）n+1（n是正整数）．故答案为：﹣；（﹣1）n+1．11．解：∵＝（﹣1）2•，﹣＝（﹣1）3•，＝（﹣1）4•，…∴第8个式子是，第n个式子为：（﹣1）n+1•．故答案是：；（﹣1）n+1•．12．解：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|＝﹣|0+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，a5＝﹣|a4+4|＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，a6＝﹣|a5+5|＝﹣|﹣2+5|＝﹣3，a7＝﹣|a6+6|＝﹣|﹣3+6|＝﹣3，…，所以，n是奇数时，a n＝﹣（n﹣1），n是偶数时，a n＝﹣，∴a2019＝﹣（2019﹣1）＝﹣1009．故答案为：﹣1009．13．解：因为a n，n＝a n，1＝，所以a11，11＝a11，1＝，a12，12＝a12，1＝，因为a n，m＝a n+1，m+a n+1，m+1，所以a12，11＝a11，11﹣a12，12＝﹣＝．故答案为：．14．解：根据图表分析如下：第一行：首个数字1，横向箭头共有1个数字，第二行：首个数字4，横向箭头共有2个数字，第三行：首个数字9，横向箭头共有3个数字，第四行：首个数字16，横向箭头共有4个数字，可以发现每行首个数字是行数的平方，每行横向箭头数字个数等于行数，因此，第29行第30列的数字应该为第30行第1列上面的数字的平方减去30，302﹣30＝870．故答案为：870．15．解：∵a1＝0，a n+1＝﹣|a n+n|（n≥1，且n为整数），∴a2＝﹣|0+1|＝﹣1，a3＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，a4＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，a5＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，a6＝﹣|﹣2+5|＝﹣3，a7＝﹣|﹣3+6|＝﹣3，…，∴a2020＝﹣＝﹣1010，故答案为：﹣1010．16．解：第一行第二列对应的数字为：2＝1×2，第二行第三列对应的数字为：6＝2×3，第三行第四列对应的数字为：12＝3×4，第四行第五列对应的数字为：20＝4×5，…第20行，第21列对应的数字为：20×21＝420；故答案为：420；17．解：观察下列一组数：﹣＝﹣，＝，﹣＝﹣，＝，﹣＝﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是：（﹣1）n．故答案为：（﹣1）n．18．解：∵a1＝4a2＝＝＝﹣，a3＝＝＝，a4＝＝＝4，…数列以4，﹣，三个数依次不断循环，∵2022÷3＝674，∴a2022＝a3＝，故答案为：．19．解：（1）∵83×87＝7221，552＝3025，（2）可得规律为：十位上数字乘以十位上数字加一作为结果的千和百位数字，两个个位相乘作为结果的个位和十位．（3）设十位数字为x，个位数字为y，一个数为10x+y，则另一个数为10x+10﹣y＝10（x+1）﹣y，（10x+y）[10（x+1）﹣y]＝100x（x+1）+y（10﹣y），前一项就是十位上数字乘以十位上数字加一，后一项就是两个个位数字相乘．故答案为：（1）7221；3025．20．解：（1）1+2+22+23＝1+2+4+8＝15，故答案为：15；（2）设S＝1+5+52+53+ (510)则5S＝5+52+53+ (511)∴5S﹣S＝511﹣1，∴4S＝511﹣1，∴S＝，即1+5+52+53+…+510＝；（3）设S＝1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102020，则10S＝10﹣102+103﹣104+105﹣…﹣102020+102021，∴S+10S＝1+102021，∴11S＝1+102021，∴S＝，∴1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102020﹣＝﹣＝．21．解：（1）∵0，1，﹣1，2，y是“梦数列”，∴y＝﹣1×2+2×（﹣1）﹣2＝﹣2+（﹣2）+（﹣2）＝﹣6，故答案为：﹣6；（2）∵数列…，x，3，6x﹣1，…是“梦数列”，∴6x﹣1＝3x+2x﹣3，解得x＝﹣2，即x的值为﹣2；（3）∵数列…，2m，n，5…是“梦数列”，∴5＝2mn+4m﹣n，∴8m﹣2n+4mn﹣9＝2（2mn+4m﹣n）﹣9＝2×5﹣9＝1．22．解：（1）由题意可知：相间两个奇数的乘方差，等于这个两数的平均数的8倍，∴第5个等式为：212﹣172＝8×19，故答案为：212﹣172＝8×19；（2）第n个等式为：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝8（4n﹣1）．验证：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝16n2+8n+1﹣（16n2﹣24n+9）＝32n﹣8＝8（4n﹣1），∴（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝8（4n﹣1）；（3）8×3+8×7+8×11+……+8×399＝52﹣12+92﹣52+132﹣92+……+4012﹣3972＝4012﹣12＝402×400＝160800．23．解：（1）＝1﹣+…+＝1﹣＝，故答案为：；（2）＝1﹣+…+＝1﹣＝＝；（3）＝×（1﹣+…+）＝×（1﹣）＝×＝×＝，故答案为：．24．解：（1）由题意可得，＝，故答案为：；（2）①＝1﹣+…+＝1﹣＝，故答案为：；②＝＝1﹣+…+＝1﹣＝＝，故答案为：；（3）＝×（+…+）＝×（）＝×＝．25．解：（1）∵12+32+42＝2×（12+32+3）；22+42+62＝2×（22+42+8）；32+52+82＝2×（32+52+15）；…，∴用a，b，c表示等式左边的由小到大的三个底数，则c＝a+b，故答案为：c＝a+b；（2）∵12+32+42＝2×（12+32+3）；22+42+62＝2×（22+42+8）；32+52+82＝2×（32+52+15）；…，∴用a，b，c表示等式左边的由小到大的三个底数，则等式右边括号内的三个数可表示为a2+b2+ab，故答案为：a2+b2+ab；（3）a2+b2+（a+b）2＝2（a2+b2+ab），证明：∵a2+b2+（a+b）2＝a2+b2+a2+2ab+b2＝2（a2+b2+ab），∴a2+b2+（a+b）2＝2（a2+b2+ab）．26．解：（1）观察已知等式可知：（﹣5）⊙3＝﹣5×3﹣5﹣（﹣3）＝﹣17；（2）“⊙”运算满足交换律，理由如下：因为a⊙b＝ab﹣（﹣a）﹣（﹣b）＝ab+a+b；b⊙a＝ba﹣（﹣b）﹣（﹣a）＝ab+b+a＝ab+a+b＝a⊙b．所以a⊙b＝b⊙a．27．解：（1）∵一列数为1，，，，，，…．∴这列数的第n个数为，当n＝7时，这个数是＝﹣，故答案为：﹣，；（2）设这三个数是4x，﹣2x，x，则4x+（﹣2x）+x＝，解得x＝﹣，则﹣2x＝，4x＝﹣，故这三个数中最大的数是．28．解：（1）∵左边的第2项和第3项的分母分别是连续的奇数和偶数，右边的分母为是左边第2项和第3项的分母之积，∴第5个等式为：﹣﹣＝﹣；（2）第n个等式为：﹣﹣＝﹣，证明：左边＝＝﹣，右边＝﹣，∴左边＝右边，∴原式成立．29．解：（1）若a k≤1010，且b k≤1010，则a1＜a2＜…＜a k≤1010，1010≥b k＞b k+1＞…＞b1010，则a1，a2，…a k，b k，……，{b1010，共1011个数，不大于1010不可能；（2）若a k＞1010，且b k＞1010，则a1010＞a1009＞…＞a k+1＞a k＞1010及b1＞b2＞…＞b k＞1010，则${b}_{1}，……，{b}_{k}，{a}_{k}……{a}_{1010}共1011个数都大于100，也不可能；∴|a1﹣b1|，……，|a1010﹣b1010|中一个数大于1010，一个数不大于1010，∴|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a1010﹣b1010|＝1010×1010＝1020100．30．解：（1）12+22+32+42+52＝＝55，即12+22+32+42+52的值是55；（2）∵12＝；12+22＝；12+22+32＝；12+22+32+42＝；…∴第n个算式是12+22+32+…+n2＝；（3）62+72+82+92+…+592+602＝12+22+32+…+602﹣（12+22+32+42+52）＝﹣＝73810﹣55＝73755。
备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《找规律之图形变化类》(二)
备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《找规律之图形变化类》（二）1．探究题：（1）数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4，有这样的关系，那么到点100和到点1000距离相等的点表示的数是；到点m和点﹣n距离相等的点表示的数是：；（2）当x＝时，代数式﹣（x﹣2）2+10有最大值，最大值为：（3）如图，将一块正方形纸片，第一次剪成四个大小形状一样的正方形，第二次再将其中的一个正方形，按同样的方法，剪成四个小正方形，如此循环进行下去．剪n次后图中共有个正方形．2．如图所示，由一些点组成形如三角形的图案，每条“边”（包括两个顶点）有n（n＞1）个点，每个图形总的点数S是多少？当n＝7，100时，S是多少？3．AB是⊙O的直径，把AB分成n条线段，以每条线段为直径分别画小圆，设⊙O的半径为r，那么⊙O的周长l＝2πr，⊙O的面积S＝πr2．计算：（1）如图①，把AB分成两条相等的线段，则每个小圆的周长；（2）如图②，把AB分成三条相等的线段，则每个小圆的周长l3＝；（3）如图③，把AB分成n条相等的线段，则每个小圆的周长l n＝．（4）如图④，把AB分成n条不相等的线段，记n个小圆的周长分别为C1，C2，…，∁n，则n个小圆的周长与大圆的周长的关系为．请依照上面的探索方法和步骤，分别计算出如图①、②、③中每个小圆面积与大圆面积的关系．（直接写出结论，不要求写过程）4．观察如图，解答下列问题．（1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第七层有几个小圆圈？第n层呢？（2）某一层上有77个圆圈，这是第几层？（3）数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．比如：前两层的圆圈个数和为（1+3）或22，由此得，1+3＝22．同样，由前三层的圆圈个数和得：1+3+5＝32．由前四层的圆圈个数和得：1+3+5+7＝42．由前五层的圆圈个数和得：1+3+5+7+9＝52．…根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来．（4）计算：1+3+5+…+19的和；（5）计算：11+13+15+…+99的和．5．用棋子摆出下列一组图形：（1）填写下表：（3分）图形编号（1）（2）（3）（4）（5）（6）图形中的棋子（2）照这样的方式摆下去，写出摆第n个图形棋子的枚数．6．某市民广场地面铺设地砖，决定采用黑白2种地砖，按如下方案铺设，首先在广场中央铺3块黑色砖（如图①），然后在黑色砖的四周铺上白色砖（如图②），再在白色砖的四周铺上黑色砖（如图③，再在黑色砖的四周铺上白色砖（如图④）这样反复更换地砖的颜色，按照这种规律，直至铺满整个广场．观察下图，解决下列问题．（1）填表图形序号数①②③④…地砖总数（包括黑白地砖） 3（2）按照这种规律第n个图形一共用去地砖多少块．（用含n的代数式表示）7．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干图案：（1）当黑砖n＝1时，白砖有块，当黑砖n＝2时，白砖有块，当黑砖n ＝3时，白砖有块．（2）第n个图案中，白色地砖共块．8．如图，一个4×2的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形，（1）一个3×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是；画出相应的图形．（2）一个5×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是；画出相应的图形．（3）一个n×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是；小正方形的个数最少是（直接填写结果）（4）一个4×3的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是．9．如图，用正方体石墩垒石梯，下图分别表示垒到一、二、三阶梯时的情况．那么照这样垒下去，请你观察规律，并完成下列问题．（1）填出下表中未填的两个空格：阶梯级数一级二级三级四级石墩块数 3 9（2）当垒到第n级阶梯时，共用正方体石墩多少块（用含n的代数式表示）？并求当n ＝100时，共用正方体石墩多少块？10．用火柴棒按下图的方式搭三角形（1）填写下表：三角形个数 1 2 3 4 5 …．火柴棒根数（2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形，需要多少根火柴棒？参考答案1．解：（1）到点100和到点1000距离相等的点表示的数是550；到点m和点﹣n距离相等的点表示的数是；（2）当x＝2时，代数式﹣（x﹣2）2+10有最大值，最大值为10；（3）根据题意可知：后一个图形中的个数总比前一个图形中的个数多3个，即剪第1次时，可剪出4个正方形；剪第2次时，可剪出7个正方形；剪第3次时，可剪出10个正方形；剪第4次时，可剪出13个正方形；…剪n次时，共剪出小正方形的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1．故答案为：550，；2，10；3n+1．2．解：∵第一图形中有3×2﹣3＝3个点，第二个图形中有3×3﹣3＝6个点，第三个图形中有4×3﹣3＝9个点…∴S＝3n﹣3，当n＝7时，S＝3n﹣3＝3×7﹣3＝18，当n＝100时，S＝3n﹣3＝3×100﹣3＝297．3．解：（2）根据l＝2πr，把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L＝×2πr＝l，3故答案为：l；（3）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长L n＝×2πr＝l．故答案为：l；（4）把AB分成n条不相等的线段，记n个小圆的周长分别为C1，C2，…，∁n，则n个小圆的周长为：2π（r1+r2+…+r n）＝2πr，大圆的周长的关系为：2πr，故n个小圆的周长与大圆的周长的关系为：相等，以r为半径的圆的面积为：S＝πr2．把AB分成两条相等的线段，每个小圆的面积S2＝π×（r）2＝πr2＝S；把AB分成三条相等的线段，每个小圆的面积S3＝πr2＝S；把AB分成n条相等的线段，每个小圆的面积S n＝S．故答案为：相等．4．解：（1）第七层有13个小圆圈，第n层有（2n﹣1）个小圆圈；（2）令2n﹣1＝77，得，n＝39．所以，这是第39层；（3）1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2；（4）1+3+5+…+19＝102＝100；（5）11+13+15+…+99＝（1+3+5+...+99）﹣（1+3+5+ (9)＝502﹣52＝2475．5．解：（1）填写下表：图形编号（1）（2）（3）（4）（5）（6）图形中的棋子 6 9 12 15 18 21 （2）根据（1）中的数字规律可得：3（n+1）＝3n+3．6．（1）填表图形序号数①②③④…地砖总数（包括黑白地砖） 3 15 35 63 （2）（2n﹣1）（2n+1）7．解：（1）观察图形得：当黑砖n＝1时，白砖有6块，当黑砖n＝2时，白砖有10块，当黑砖n＝3时，白砖有14块；（2）根据题意得：∵每个图形都比其前一个图形多4个白色地砖，∴可得规律为：第n个图形中有白色地砖6+4（n﹣1）＝4n+2块．故答案为6，10，14，4n+2．8．解：（1）一个3×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是3或6，作图如下：（2）一个5×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是4或7或10，作图如下：（3）一个n×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是 2n；小正方形的个数最少是①n为偶数，有个；②n为奇数，有个；（4）一个4×3的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是 4或6或9或12．故答案为：3或6；4或7或10；2n；①n为偶数，有个；②n为奇数，有个；4或6或9或12．9．解：（1）第一级台阶中正方体石墩的块数为：＝3；第一级台阶中正方体石墩的块数为：＝9；第一级台阶中正方体石墩的块数为：；…依此类推，可以发现：第几级台阶中正方体石墩的块数为：3与几的乘积乘以几加1，然后除以2．阶梯级数一级二级三级四级石墩块数 3 9 18 30 （2）按照（1）中总结的规律可得：当垒到第n级阶梯时，共用正方体石墩块；当n＝100时，∴当n＝100时，共用正方体石墩15150块．答：当垒到第n级阶梯时，共用正方体石墩块；当n＝100时，共用正方体石墩15150块．10．解：（1）从左向右依次填：7，9，11；（2）由图可知，n个三角形需2n+1根火柴棒．。
2021年九年级数学中考二轮复习《探索图形的变化规律》专题突破训练
2021年九年级数学中考二轮复习《探索图形的变化规律》专题突破训练1．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F2．人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么第50个图形中的白色小正方形地砖的块数是（）A．150B．200C．355D．5053．如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．20B．27C．35D．404．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）A．2010B．2011C．2012D．20135．根据右图中已填出的“√”和“×”的排列规律，把②、③、④还原为“√”或“×”且符合右图的排列规律，下面“〇”中还原正确的是（）A．B．C．D．6．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（）A．6B．5C．3D．27．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经2019次跳后它停在的点所对应的数为（）A．1B．2C．3D．58．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2019应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角9．如图中的每次个图是由若干盆花组成的四边形图案，每条边（包括两个顶点）有n（n＞1）盆花，每个图案中花盆的总数是S，按此规律推断，S与n的函数关系式是（）A．S＝n2B．S＝4n C．S＝4n﹣4D．S＝4n+410．探索以下规律：根据规律，从2018到2020，箭头的方向图是（）A．B．C．D．11．将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第一层、第二层、第三层…．则第2020层正方体的个数为（）A．2009010B．2005000C．2041210D．200412．一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2，第三次从A2点起跳，落点为OA2的中点A3；如此跳跃下去…最后落点为OA2019的中点A2020，则点A2020表示的数为．13．如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为．14．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是个．15．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有个○．16．观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的★的个数是．17．如图是各大小型号的纸张长宽关系裁剪对比图，可以看出纸张大小的变化规律：A0纸长度方向对折一半后变为A1纸；A1纸长度方向对折一半后变为A2纸；A2纸长度方向对折一半后变为A3纸；A3纸长度方向对折一半后变为A4纸……A4规格的纸是我们日常生活中最常见的，那么由一张A4的纸可以裁张A8的纸．18．每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为．19．如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为个．20．如图，观察各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第10个图形中小圆点的个数为．21．设△ABC的面积为1．如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1＝．如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2＝；如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3＝；…按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CD n F n E n，其面积S n＝．22．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1＝6个；图2中黑点个数是6×2＝12个：图3中黑点个数是6×3＝18个；……；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．23．（1）观察下列图形与等式的关系，并填空（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：1+3+5+…+（2n﹣1）+（）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝．24．观察下表：序号123…图形xxyxxxxxyyxxyyxxxxxxxyyyxxyyy…xxyyyxxxx我们把某格中各字母的和所得多项式称为“特征多项式”．例如，第1格的“特征多项式”为4x+y．回答下列问题：（1）第3格的“特征多项式”为，第4格的“特征多项式”为，第n格的“特征多项式”为；（2）若第1格的“特征多项式”的值为﹣10，第2格的“特征多项式”的值为﹣16，求x，y的值．25．用若干根火柴可以摆出六个正方形，如下图就是一种摆法，请你再画出与下图不同的两种摆法示意图．并回答：要摆出六个正方形至多需要根火柴，至少需要根火柴．（摆出的六个正方形中，每个正方形的边仅限于一根火柴．）26．观察下面图形，按规律在两个箭头所指的“田”字格内分别画上适当图形（只对一个2分）27．观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：（1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：①→4×0+1＝4×1﹣3②→4×1+1＝4×2﹣3③→4×2+1＝4×3﹣3④→⑤→…（2）通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式．28．（1）计算：；（2）解方程组：；（3）用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：根据规律填空：①第4个图案中有白色地面砖块；②第n个图案中有白色地面砖块。
2021年九年级数学中考复习《图形的变换综合》考前专题突破训练(附答案)
2021年九年级数学中考复习《图形的变换综合》考前专题突破训练（附答案） 1．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，P 是对角线AC 上的动点，连接DP ，将直线DP 绕点P 顺时针旋转使∠DPG=∠DAC ，且过D 作DG ⊥PG ，连接CG ，则CG 最小值为( )A ．65B ．75C ．3225D ．36252．等边△ABC 的边长为6，点O 是三边垂直平分线的交点，∠FOG=120°，∠FOG 的两边OF ，OG 分别交AB ，BC 与点D ，E ，∠FOG 绕点O 顺时针旋转时，下列四个结论正确的是（ ）①OD=OE ；②ODE BDE S S ∆∆=；③2738ODBE S =；④△BDE 的周长最小值为9. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，DEF ∆是由ABC ∆绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是A ．（1，1）B ．（2，0）C ．（0，1）D ．（3，1）4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，有一个等腰直角三角形AOB ，∠OAB ＝90°，直角边AO 在x 轴上，且AO ＝1．将Rt △AOB 绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A 1OB 1，且A 1O ＝2AO ，再将Rt △A 1OB 1绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰三角形A 2OB 2，且A 2O ＝2A 1O ……依此规律，得到等腰直角三角形A 2 021OB 2 021．则点B 2 017的坐标（ ）A ．（22 021，－22 021）B ．（22 020，－22 020）C ．（22 021，22 021）D ．（22 020，22 020）5．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=65°，则∠EFD的度数是( )A．15B．20C．25D．306．如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF，MN相交于中心点O，对三角形ABC分别作下列变换：①以点O为中心逆时针方向旋转180°；②先以A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格，向上平移4格；③先以直线MN为对称轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°．其中，能将三角形ABC变换成三角形PQR的是()A．①②B．①③C．②③D．①②③7．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为()A．2B．3C．13D．108．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P 成中心对称，则点A′的坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣5，﹣4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）9．如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．以点为旋转中心，逆时针方向旋转后与重合B．以点为旋转中心，顺时针方向旋转后与重合C．沿所在直线折叠后，与重合D．沿所在直线折叠后，与重合10．如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得△A′B′C，且A′点在AB上，A′B′交CB于点D，若∠BCB′＝α，则∠CA′B′的度数为（）A．180°﹣αB．90°12α-C．180°12α-D．90°12α+11．如图，将平行四边形ABCD 绕点D 逆时针旋转150，得到平行四边形DEFG ，这时点C 、E 、G 恰好在同一直线上，延长AD 交CG 于点H .若2AD =，75A ∠=，则HG =__________．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 可以看作是△DEF 经过若干次图形的变化（平移、旋转、轴对称）得到的，写出一种由△DEF 得到△ABC 的过程____.13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CB ＝2，CA ＝4，线段AD 由线段AB 绕点A 逆时针方向旋转90°得到，△EFG 由△ABC 沿CB 方向平移得到，当直线EF 恰好经过点D 时，CG 的长等于_____．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝2，点D 是AC 边的中点，E 是直线BC 上一动点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连接AF 、EF ，在点E 的运动过程中线段AF 的最小值为_____．15．如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边AB 、AD 上的点，且A E =AF ，连接EF ，将△AEF 绕点A 逆时针旋转45°，使E 落在E 1，F 落在F 1，联接BE 1并延长交DF 1于点G ，如果AB =22，AE =1，则DG =______.16．如图，将ABC △的边AB 绕着点A 顺时针旋转()090a α︒︒<<得到AB '，边AC绕着点A 逆时针旋转()090ββ︒︒<<得到AC '，联结B C ''．当90αβ︒+=时，我们称AB C ''△是ABC △的“双旋三角形”．如果等边ABC △的边长为a ，那么它的“双旋三角形”的面积是__________（用含a 的代数式表示）．17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），点P 是x 轴上一动点，将线段AP 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AQ ，当点P 从点（−3，0）运动到点（1，0）时，点Q 运动的路径长为____.18．如图，正方形OABC 的边长为2，以O 为圆心，EF 为直径的半圆经过点A ，连接AE ，CF 相交于点P ，将正方形OABC 从OA 与OF 重合的位置开始，绕着点O 逆时针旋转90°，交点P 运动的路径长是______．19．如图，将矩形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边'B C 交CD 边于点G 。
2021年中考二轮复习数学《探索数字的变化规律》自主学习达标测评(附答案)
2021年中考数学二轮复习《探索数字的变化规律》自主学习达标测评（附答案）1．观察下列各算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…根据上述算式的规律，你认为22020的末位数字应该是（）A．2B．4C．6D．82．观察下列等式：（1）13＝12；（2）13+23＝32；（3）13+23+33＝62；（4）13+23+33+43＝102；根据此规律，第10个等式的右边应该是a2，则a的值是（）A．45B．54C．55D．653．在一列数：a1，a2，a3，…，a n中，a1＝7，a2＝1，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2021个数是（）A．1B．3C．7D．94．按一定规律排列的单项式：a，﹣3a2，5a3，﹣7a4，9a5，﹣11a6，…，第n个单项式是（）A．（﹣1）n+1•（2n﹣1）•a n B．（﹣1）n（2n﹣1）•a nC．（﹣1）n+1•（2n+1）•a n D．（﹣1）n•（2n+1）•a n5．在如图的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2020次输出的结果为（）A．3B．6C．1010D．20236．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点：若停在偶数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从1这点开始跳，则经过2020次后它停在哪个数对应的点上（）A．1B．2C．3D．57．将全体自然数按下面的方式进行排列，按照这样的排列规律，2020应位于（）A．位B．位C．位D．位8．观察下列等式：12+22＝×2×（2+1）×（2×2+1），12+22+32＝×3×（3+1）×（2×3+1），12+22+32+42＝×4×（4+1）×（2×4+1），…，按此规律计算102+112+122+…+172+182的值是（）A．1204B．1724C．1824D．21099．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）A．135B．153C．170D．18910．设一列数a1，a2，a3，…，a2015，…中任意三个相邻的数之和都是20，已知a2＝2x，a18＝9+x，a65＝6﹣x，那么a2020的值是（）A．2B．3C．4D．511．为了求1+2+22+23+…+2100的值，令S＝1+2+22+23+…+2100，……①则2S＝2+22+23+24…+2101，……②②﹣①得S＝2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100＝2101﹣1．仿照以上推理计算1+3+32+33+34+35+…+3100的值是．12．观察下列式子：a1＝＝﹣；a2＝＝﹣；a3＝＝﹣；a4＝＝﹣；…，按此规律，计算a1+a2+a3+…+a2020＝．13．根据图中数字的规律，则代数式x﹣（y﹣x）的值是．14．观察下列式子：1×3+1＝22；7×9+1＝82；25×27+1＝262；79×81+1＝802；…可猜想第2020个式子为．15．填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，则a+b﹣c的值是．16．阅读材料：求1+2+22+23+…+22019+22020的值．解：设S＝1+2+22+23+…+22019+22020①，将等式①的两边同乘以2，得2S＝2+22+23+24+…+22020+22021②，用②﹣①得，2S﹣S＝22021﹣1，即S＝22021﹣1．即1+2+22+23+…+22019+22020＝22021﹣1．请仿照此法计算：（1）请直接填写1+2+22+23的值为；（2）求1+5+52+53+…+510的值；（3）请直接写出1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102020﹣的值．17．观察下面三行数﹣3，9，﹣27，81，…；①1，﹣3，9，﹣27，…；②﹣2，10，﹣26，82，…．③（1）第①行数按什么规律排列？（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？（3）设x，y，z分别为第①②③行的第2020个数，求x+6y+z的值．18．观察下列等式解答问题：（1）52﹣51＝4×51；（2）53﹣52＝4×52；（3）54﹣53＝4×53．…（1）按此规律，第④个等式为；第n个等式为；（用含n的代数式表示，n为正整数）（2）按此规律，计算：①4×51+4×52+4×53+4×54+4×55；②51+52+53+…+5n．19．阅读下列材料并解决有关问题：13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，所以13+23＝（1+2）2；13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，所以13+23+33＝（1+2+3）2；13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，所以13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；（1）13+23+33+43+53＝．（2）按照材料提示，求13+23+33+…+n3（n为整数）；（3）求113+123+133+143+153的值．20．探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2（）；23﹣22＝＝2（）；24﹣23＝＝2（）；……（1）请仔细观察，写出第5个等式；（2）请你找规律，写出第n个等式；（3）计算：2+22+…+22018+22019﹣22020．21．观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣．将以上三个等式两边分别相加，得++＝1﹣+﹣+﹣＝1﹣＝．（1）猜想并写出：＝．（2）直接写出下列各式的计算结果：①+++…+＝；②+++…+＝．（3）探究并计算+++…+．22．好学的晓璐同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？根据尝试和总结她发现：一次项就是：x×5×（﹣6）+2x×4×（﹣6）+3x×4×5＝﹣3x．请你认真领会晓璐同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题：（1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的最高次项为，一次项为；（2）若计算（x+1）（﹣3x+m）（2x﹣1）（m为常数）所得的多项式不含一次项，求m的值；（3）若（x+1）2021＝a0x2021+a1x2020+a2x2019+…+a2020x+a2021，则a2020＝．参考答案1．解：2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以2020÷4＝505，则22020的末位数字是6．故选：C．2．解：观察下列等式：（1）13＝12；（2）13+23＝32；（3）13+23+33＝62；（4）13+23+33+43＝102；…∴第十个等式为：13+23+…+93+103＝（1+2+3+4+…+9+10）2＝552；故选：C．3．解：由题意可得，a1＝7，a2＝1，a3＝7，a4＝7，a5＝9，a6＝3，a7＝7，a8＝1，…，∵2021÷6＝336…5，∴这一列数中的第2021个数是9，故选：D．4．解：∵一列单项式：a，﹣3a2，5a3，﹣7a4，9a5，﹣11a6，…，∴第n个单项式为（﹣1）n+1•（2n﹣1）•a n，故选：A．5．解：由题意可得，第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，第三次输出的结果为6，第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为6，…，由上可得，从第三次开始，输出结果依次以6，3循环出现，∵（2020﹣2）÷2＝2018÷2＝1009，∴第2020次输出的结果为3，故选：A．6．解：第1次跳后落在3上；第2次跳后落在5上；第3次跳后落在2上；第4次跳后落在1上；…4次跳后一个循环，依次在1，3，5，2这4个数上循环，∵2020÷4＝505，∴应落在1上．故选：A．7．解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，∵2020是第2021个数，∴2021÷4＝505余1，∴2020应位于第506循环组的第1个数，在A位．故选：A．8．解：102+112+122+…+172+182＝（12+22+32+…+172+182）﹣（12+22+32+…+82+92）＝﹣＝2109﹣285＝1824．故选：C．9．解：根据规律可得，2b＝18，∴b＝9，∴a＝b﹣1＝8，∴x＝2b2+a＝162+8＝170，故选：C．10．解：由题可知，a1+a2+a3＝a2+a3+a4，∴a1＝a4，∵a2+a3+a4＝a3+a4+a5，∴a2＝a5，∵a4+a5+a6＝a3+a4+a5，∴a3＝a6，……∴a1，a2，a3每三个循环一次，∵18÷3＝6，∴a18＝a3，∵65÷3＝21…2，∴a65＝a2，∴2x＝6﹣x，∴x＝2，∴a2＝4，a3＝11，∵a1，a2，a3的和是20，∴a1＝5，∵2020÷3＝673…1，∴a2020＝a1＝5，故选：D．11．解：令S＝1+3+32+33+34+35+…+3100…①则3S＝3+32+33+34+35+…+3101…②②﹣①得2S＝3101﹣1，所以S＝，即1+3+32+33+34+35+…+3100＝．故答案为：．12．解：，，，，…，可得：，a1+a2+a3+…+a2020＝＝，故答案为：．13．解：观察数字的变化可知：21+1＝5；42+1＝17；62+1＝37；所以82+1＝x，所以x＝65，因为2×5+2＝12；4×17+4＝72；6×37+6＝228；所以8x+8＝y，所以y＝8×65+8＝528，所以x﹣（y﹣x）＝65﹣（528﹣65）＝﹣398．故答案为：﹣398．14．解：观察发现，第n个等式可表示为（3n﹣2）×3n+1＝（3n﹣1）2，当n＝2020时，（32020﹣2）×32020+1＝（32020﹣1）2，故答案为：（32020﹣2）×32020+1＝（32020﹣1）2．15．解：由图可知，左上角的数字依次为0，2，4，6，8，10，右上角的数字都是左上角的数字加3，左下角的数字都是左上角的数字加4，右下角的数字都是前一幅图中右上角数字与本幅图中左下角数字的乘积加1，则a＝10+3＝13，b＝10+4＝14，c＝（8+3）×14+1＝155，∴a+b﹣c＝13+14﹣155＝﹣128，故答案为：﹣128．16．解：（1）1+2+22+23＝1+2+4+8＝15，故答案为：15；（2）设S＝1+5+52+53+ (510)则5S＝5+52+53+ (511)∴5S﹣S＝511﹣1，∴4S＝511﹣1，∴S＝，即1+5+52+53+…+510＝；（3）设S＝1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102020，则10S＝10﹣102+103﹣104+105﹣…﹣102020+102021，∴S+10S＝1+102021，∴11S＝1+102021，∴S＝，∴1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102020﹣＝﹣＝．17．解：（1）∵﹣3，9，﹣27，81，﹣243，729…；∴第①行数是：（﹣3）1，（﹣3）2，（﹣3）3，（﹣3）4，…（﹣3）n；（2）第②行数是第①行数相应的数乘﹣即﹣×（﹣3）n，第③行数的比第①行的数大1即（﹣3）n+1．（3）∵x＝32020，y＝﹣×32020＝﹣32019，z＝32020+1，∴x+6y+z＝32020﹣6×32019+32020+1＝1．18．解：（1）①52﹣51＝4×51，②53﹣52＝4×52，③54﹣53＝4×53，第④个等式为：55﹣54＝4×54；第n个等式为5n+1﹣5n＝4×5n，故答案为：55﹣54＝4×54；5n+1﹣5n＝4×5n；（2）①4×51+4×52+4×53+4×54+4×55＝（52﹣51）+（53﹣52）+（54﹣53）+（55﹣54）+（56﹣55）＝52﹣51+53﹣52+54﹣53+55﹣54+56﹣55＝56﹣51＝15620；②51+52+53+ (5)＝＝＝．19．解：（1）由题目中的式子可得，13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2，故答案为：（1+2+3+4+5）2；（2）由题目中的式子可得，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；（3）113+123+133+143+153＝（13+23+33+...+153）﹣（13+23+33+ (103)＝（1+2+3+…+15）2﹣（1+2+3+…+10）2＝1202﹣552＝14400﹣3025＝11375．20．探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝21；23﹣22＝4＝22；24﹣23＝8＝23；故答案为：1；4，2；8，3；解：（1）26﹣25＝2×25﹣1×25＝25 ，（2）2n+1﹣2n＝2×2n﹣1×2n＝2n，（3）21+22+…+22018+22019﹣22020＝21+22+…+22018+（22019﹣22020）＝21+22+…+22018﹣22019＝21+22+…+22017+（22018﹣22019）＝…＝21﹣22＝﹣2．21．解：（1）＝﹣；故答案为：；（2）①原式＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝；②原式＝1﹣++﹣+…+﹣＝1﹣＝；故答案为：①；②；（3）+++…+＝1+++++++…+＝1+（+）+（+）+（+）+…+（+）+＝1++++…++＝1++﹣+﹣+…+﹣+＝2﹣+＝．22．解：（1）由题意得：（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的最高次项为x×3x×5x＝15x3，一次项为：1×1×（﹣3）x+2×3×（﹣3）x+2×1×5x＝﹣11x；（2）依题意有：1×m×（﹣1）+1×（﹣3）×（﹣1）+1×m×2＝0，解得m＝﹣3；（3）通过题干以及前两问知：a2020＝2021×1＝2021．故答案为：15x3，﹣11x；2021。
2021年九年级中考数学 图形的变化 专项突破练习(含答案)
2021中考数学图形的变化专项突破练习一、选择题（本大题共8道小题）1. 由一些完全相同的小正方体搭成的立体图形，从上面看和从左面看所得的平面图形如图所示，则搭成这个立体图形的小正方体的个数是()A．5或6或7 B．6或7C．6或7或8 D．7或8或92. 如图，△ABC沿着点B到点E的方向，平移到△DEF，如果BC=5，EC=3，那么平移的距离为()A.2B.3C.5D.73. 如图，在△ABC中，∠ACB为钝角.用直尺和圆规在边AB上确定一点D.使∠ADC=2∠B，则符合要求的作图痕迹是()4. 下列四个几何体中，是三棱柱的为()5. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()6. 在平面直角坐标系中，点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是()A．(－2，3) B．(－3，2)C．(2，－3) D．(3，－2)7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD平分∠CAB交BC于点D，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为()A.B.C.3 D.8. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中从左面看和从上面看得到的平面图形相同的是()二、填空题（本大题共8道小题）9. 如图所示的图形中，是棱柱的有______．(填序号)10. 在平面直角坐标系中，将点A(4，2)绕原点按逆时针方向旋转90°后，其对应点A′的坐标为________．11. 如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0<α<180°)得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α=.12. 如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为.13. 已知点P(x，y)的坐标满足等式(x－2)2＋|y－1|＝0，且点P与点P′关于y轴对称，则点P′的坐标为________．14. 如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝________°.15. 如图，将等边三角形AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点B在第一象限，将△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是________．16. 如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意一点，则PE+PF的最小值是.17. 在小正方形组成的15×15的网格图中，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的位置如图所示．(1)现把四边形ABCD绕D点按顺时针方向旋转90°，画出相应的图形A1B1C1D1；(2)若四边形ABCD平移后，与四边形A′B′C′D′成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形A2B2C2D2.18. 图是由边长为1的小正方形组成的8×4的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D.(1)请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；(2)所画图形是________对称图形；(3)求所画图形的周长(结果保留π)．19. 如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A，B，C的坐标分别为(－2，4)，(－2，0)，(－4，1)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；(2)平移△ABC，使点A移动到点A2(0，2)的位置，画出平移后的△A2B2C2，并写出点B2，C2的坐标；(3)在△ABC，△A1B1C1中，△A2B2C2与________成中心对称，其对称中心的坐标为________.20. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED.(1)试判断△BEC是不是等腰三角形，并说明理由；(2)在原图中画△FCE，使它与△BEC关于CE的中点O中心对称，此时四边形BCFE是什么特殊平行四边形？请说明理由．21. 如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称．已知A，D1，D 三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．(1)求对称中心的坐标；(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标．22. (1)如图(a)，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.①求证：BE＋CF＞EF；②若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．(2)如图(b)，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．2021中考数学图形的变化专项突破练习-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】C2. 【答案】A[解析]观察图形，发现平移前后B，E为对应点，C，F为对应点.根据平移的性质，易得平移的距离=BE=5-3=2.3. 【答案】B[解析]∵∠ADC=2∠B，且∠ADC=∠B+∠BCD，∴∠B=∠BCD，∴点D在线段BC的垂直平分线上，故选B.4. 【答案】 C5. 【答案】C6. 【答案】A[解析] 点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1(3，2)，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2(－2，3)．故选A.7. 【答案】D[解析]在AB上取一点G，使AG=AF，又∵∠CAD=∠BAD，AE=AE，∴△AEF≌△AEG(SAS)，∴FE=EG，∴CE+EF=CE+EG，∴当C，E，G三点共线，且CG垂直AB时，CE+EF的值最小，最小值为.8. 【答案】B二、填空题（本大题共8道小题）9. 【答案】②⑥10. 【答案】(－2，4)11. 【答案】90°[解析]∵旋转图形的旋转中心到对应点的距离相等，∴分别作线段AA1，CC1的垂直平分线，两直线相交于点D，则点D即为旋转中心，连接AD，A1D，则α=∠ADA1=90°.12. 【答案】3[解析]∵DE=EF=AD=3，∠D=90°，∴AE2=AD2+DE2=18，∴AB=AE==3.13. 【答案】(－2，1)[解析] ∵(x－2)2≥0，|y－1|≥0，又(x－2)2＋|y－1|＝0，∴x －2＝0且y－1＝0，即x＝2，y＝1.∴点P的坐标为(2，1)．那么点P关于y轴的对称点P′的坐标为(－2，1)．14. 【答案】20[解析] ∵AB＝AB′，∠BAB′＝40°，∴∠ABB′＝70°.∵B′C′⊥AB，∴∠BB′C′＝20°.15. 【答案】(－2 3，－2)[解析] 过点B作BH⊥y轴于点H，如图．∵△OAB 为等边三角形，A(0，4)，∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，∴BH＝3OH＝2 3，∴点B的坐标为(2 3，2)．∵将△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，∴点B′的坐标是(－2 3，－2)．16. 【答案】菱[解析]∵AC=BC，∴△ABC是等腰三角形.将△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=BC=AD=BD，∴四边形ADBC是菱形.∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴△ABC与△ABD关于AB成轴对称.如图所示，作点E关于AB的对称点E'，连接PE'，根据轴对称的性质知AB垂直平分EE'，∴PE=PE'，∴PE+PF=PE'+PF，当E'，P，F三点共线，且E'F⊥AC时，PE+PF有最小值，该最小值即为平行线AC与BD间的距离.作CM⊥AB于M，BG⊥AD于G，由题知AC=BC=2，AB=1，∠CAB=∠BAD，∴cos∠CAB=cos∠BAD，即=，∴AG=，在Rt△ABG中，BG===，由对称性可知BG长即为平行线AC，BD间的距离，∴PE+PF的最小值=.三、作图题（本大题共2道小题）17. 【答案】(1)旋转后得到的图形A1B1C1D1如解图所示．(2)将四边形ABCD先向右平移4个单位，再向下平移6个单位，四边形A2B2C2D2如图所示．解图18. 【答案】解：(1)如图所示：(2)轴(3)所画图形的周长＝半径为4的圆的周长＝2π×4＝8π.四、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)△ABC关于原点O对称的△A1B1C1如图所示．(2)平移后的△A2B2C2如图所示，其中点B2的坐标为(0，－2)，点C2的坐标为(－2，－1)．(3)△A1B1C1(1，－1)20. 【答案】解：(1)△BEC是等腰三角形．理由：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE.∵EC平分∠BED，∴∠DEC＝∠BEC，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，∴△BEC是等腰三角形．(2)连接BO并延长至点F，使OF＝OB，连接FE，FC，△FCE即为所求．四边形BCFE是菱形．理由：∵OB＝OF，OE＝OC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵BC＝BE，∴▱BCFE是菱形．21. 【答案】解：(1)∵点D和点D1是对称点，∴对称中心是线段DD1的中点，∴对称中心的坐标是(0，5 2)．(2)B(－2，4)，C(－2，2)，B1(2，1)，C1(2，3)．22. 【答案】解：(1)①证明：如图(a)，将△DBE绕点D旋转180°得到△DCG，连接FG，则△DCG≌△DBE.∴DG＝DE，CG＝BE.又∵DE⊥DF，∴DF垂直平分线段EG，∴FG＝EF.∵在△CFG中，CG＋CF＞FG，∴BE＋CF＞EF.②BE2＋CF2＝EF2.证明：∵∠A＝90°，∴∠B＋∠ACD＝90°.由①得，∠FCG＝∠FCD＋∠DCG＝∠FCD＋∠B＝90°，∴在Rt△CFG中，由勾股定理，得CG2＋CF2＝FG2，∴BE2＋CF2＝EF2.(2)EF＝BE＋CF.证明：如图(b)．∵CD＝BD，∠BDC＝120°，∴将△CDF 绕点D 逆时针旋转120°得到△BDM ，∴△BDM ≌△CDF ，∴DM ＝DF ，BM ＝CF ，∠BDM ＝∠CDF ，∠DBM ＝∠C.∵∠ABD ＋∠C ＝180°，∴∠ABD ＋∠DBM ＝180°，∴点A ，B ，M 共线，∴∠EDM ＝∠EDB ＋∠BDM ＝∠EDB ＋∠CDF ＝∠BDC －∠EDF ＝120°－60°＝60°＝∠EDF.在△DEM 和△DEF 中，⎩⎨⎧DE ＝DE ，∠EDM ＝∠EDF ，DM ＝DF ，∴△DEM ≌△DEF ，∴EF ＝EM ＝BE ＋BM ＝BE ＋CF.。
2021届东营中考数学复习专题类型突破专题二探索规律问题训练
2021届东营中考数学复习专题类型突破专题二探索规律问题训练专题类型突破话题二：探索法律类型一数式规律命题视角？数字法初探(2021泰安中考)观察“田”字中各数之间的关系：【分析】依次观察每个“字段”中相同位置的数字，找出数字变化规律，然后观察同一“字段”中每个位置的数字关系。
[独立回答]解数式规律型问题的一般方法（1）当给定的一组数字是整数时，首先观察这组数字是自然数序列、正数序列、奇数序列、偶数序列还是平方、平方加1或减1后的正整数序列，然后观察这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一个符号，最后结合数字定律和符号定律得出结果；（2）当数是分数和整数的组合时，首先将这组数据中的所有整数写成分数，然后分别推导分子和分母定律，最后得到这组数据中第n项的定律；（3）当给定的代数公式包含系数时，首先观察每个项的系数之间是否有一定的对称性，如自然序列、正整数序列、奇数序列、偶数序列或交替，然后观察索引中是否有相似的规律，最后将系数律律和索引律结合起来得到结果1．(2021百色中考)观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16，25，…，则第11个数是()a．－121b、－100c．100d、 1212．(2021十堰中考)如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，例如，如果A1=A2+a3，则A1的最小值为（）a．32b、 36c．38d、 403．(2021枣庄中考)将从1开始的连续自然数按如下规律排列：…则2018在第________行．命题角度?数字循环类规律探索一百一十一(2021成都中考)已知a＞0，s1＝，s2＝－s1－1，s3＝，s4＝－s3－1，s5＝，…(即当n为大于as2s411，Sn=；当n是大于1的偶数时，Sn=-Sn-1-1），根据该定律，s2022=____sn－1【分析】根据sn数的变化找出sn的值每6个一循环，结合2018＝336×6＋2，此题得解．【自主解答】数圈定律的问题是出现了几个数圈。
中考数学总复习 第二轮 专题突破 能力提升 专题五 探
【例1】 （2015·宁波市）如图，将△ABC沿着过AB中点D
的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，
折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿
着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称
为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法
不断操作下去，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014
列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，
11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，
31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数 m 是第 i
组第 j 个数（从左往右数），如A7=（2，3），则
A2015=（
）
A．（31，50）
B．（32，47）
C．（33，46）
D．（34，42）
那么这一组数的第n个数是
． 2n 1
n 12
3.（2016·荆州市）如图，用黑、白两种颜色 的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律 拼成下列图案，若第n个图案中有2 017个白色 纸片，则n的值为（ ）
A.671 B.672 C.673 D.674
探索规律常见于选择、填空及解答题 的压轴题，通过特殊到一般进行探索发现 规律．
分析：先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个 数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．
【例3】 （2016·德州市）如图，在平面直角坐 标系中，函数y=2x和y=-x的图象分别为直线l1，l2， 过点(1，0)作x轴的垂线交l2于点A1，过点A1作y 轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l2于 点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…,依次
2021中考数学专题复习规律探索问题之图形变化类专题训练5(附答案详解)
2021中考数学专题复习规律探索问题之图形变化类专题训练5（附答案详解）1．如图，下面的图形是将三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有三角形的个数是( )A．481 B．483 C．485 D．4872．如图，如果在正方形中画1条纵线和1条横线，便把正方形分成4部分(如图①)；如果在正方形中画2条纵线和2条横线，便把正方形分成9部分(如图②)；如果在正方形中画3条纵线和3条横线，便把正方形分成16部分(如图③...如果在正方形中画9条纵线和9条横线.便把正方形分成（）部分A．72B．81C．100D．1213．观察图中正方形四个顶点所标的数字，按照规律确定数字“2020”应标在()A．第506个正方形的右上角B．第505个正方形的左下角C．第505个正方形的右上角D．第506个正方形的左下角4．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形．．．．．．，如此下去，则第2019个图中共有正方形的个数为()A．2018个B．6049个C．6052个D．6055个5．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第10个图案中涂有阴影的小正方形的个数为( )A ．50B ．45C ．41D ．366．下列图案是用长度相同的牙签按- -定规律摆成的．摆图案()1需8根牙签,摆图案()2需15根牙签···按此规律．摆图案()n 需耍牙签的根数是（ ）A ．78n +B ．74n +C ．71n +D ．71n - 7．设点()11A ,x y 和()22B ,x y 是反比例函数k y x=图象上的两个点，当1x ＜2x ＜时，1y ＜2y ，则一次函数2y x k =-+的图象不经过的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑦个图形中五角星的个数为( )A ．90B ．94C ．98D ．1029．如图，小宋作出了边长为2的第一个正方形A 1B 1C 1D 1，算出了它的面积．然后分别取正方形A 1B 1C 1D 1四边的中点A 2、B 2、C 2、D 2作出了第二个正方形A 2B 2C 2D 2，算出了它的面积．用同样的方法，作出了第三个正方形A 3B 3C 3D 3，算出了它的面积…，由此可得，第六个正方形A 6B 6C 6D 6的面积是（ ）A ．5142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B ．6142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭C ．5142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D ．6144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ 10．如图，已知∠MON ＝30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1B 2，△A 2B 2B 3，△A 3B 3B 4，…均为等边三角形．若OB 1＝1，则△A 8B 8B 9的边长为（ ）A ．64B ．128C ．132D ．25611．阅读思考，完成下列填空．问题提出：如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的""L 形纸片．图②是张a b ⨯的方格纸(a b ⨯的方格纸指边长分别为,a b 的长方形，被分成a b ⨯个边长为1的小正方形，其中2,2a b ≥≥，且,a b 为正整数)．把图①放置在图②中．使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法?问题探究;探究一：把图①放置在22⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图③,显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在32⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形．如图④,在32⨯的方格纸中，共可以找到2个位置不同的22⨯方格，依据探究一的结论可知,把图①放置在32⨯的方格纸中．使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_____种不同的放置方法．探究三：把图①放置在2a ⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图⑤，在2a ⨯的方格纸中，共可以找到_______个位置不同的22⨯方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在2a ⨯的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有________种不同的放置方法．探究四:把图①放置在3a ⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图⑥,在3a ⨯的方格纸中，共可以找到_______个位置不同的22⨯方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3a ⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形共有________种不同的放置方法．……问题解决:把图①放置在a b ⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_________种不同的放置方法．12．用一样长的小木棒按下图中的方式搭图形.（1）按图示规律填空： 图形标号① ② ③ … 小木棒的根数9 …（2）按照这种规律搭下去，搭第n 个图形需要________根小木棒；（3）请求出搭第100个图形需要的小木棒的根数.13．细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．2112+=，112S =； 2213+=，222S =； 2314+=，33S =……（1）请在横线上直接写出15OA 的长度______；（2）请用含n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；（3）求2221220S S S +++的值．14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图1,2,3,4为她们剌绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，研究发现第n 个图案中共有()2221n n -+个；小正方形．(n 为整数，且1n ≥)（1）请写出第5个图案中有____个小正方形；（2）猜想第()1n +个图案和第n 个图案中小正方形个数之差为（3）证明（2）中的猜想．15．问题提出：用若干个边长为1的小等边三角形拼成n 层的大等边三角形，共需要多少个小等边三角形？共有线段多少条？图①图②图③问题探究：如图①，是一个边长为1的等边三角形，现在用若干个这样的等边三角形再拼成更大的等边三角形.（1）用图①拼成两层的大等边三角形，如图②，从上往下，第一层有1个，第二层有2个，共用了123+=个图①的等边三角形，则有长度为1的线段()312⨯+条；还有边长为2的等边三角形1个，则有长度为2的线段31⨯条；所以，共有线段()()3121212312⨯++=⨯++=条.（2）用图①拼成三层的大等边三角形，如图③，从上往下，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，共用了1236++=个图①的等边三角形，则有长度为1的线段()3123⨯++条；还有边长为2的等边三角形123+=个，则有长度为2的线段()312⨯+条；还有边长为3的等边三角形1个，则有长度为3的线段31⨯条；所以，共有线段()()31231213123430⨯+++++=⨯+++=条.……问题解决：（3）用图①拼成四层的大等边三角形，共需要多少个图①三角形？共有线段多少条？请在方框中画出一个示意图，并写出探究过程；（4）用图①拼成20层的大等边三角形，共用了 个图①三角形，共有线段 条； （5）用图①拼成n 层的大等边三角形，共用了 个图①三角形，共有线段 条，其中边长为2的等边三角形共有 个.（6）拓展提升：如果用边长为3的小等边三角形拼成边长为30的大等边三角形，共需要 个小等边三角形，共有线段 条.16．图a 是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图b ；再分别连接图b 中间小三角形的三边的中点，得到图c（1）图b 有 个三角形，图c 有 个三角形．（2）按上面的方法继续下去，第n 个图形中有多少个三角形（用n 的代数式表示结论）． （3）当n ＝10时，第10个图形中有多少个三角形？17．发现问题、探索规律，要有一双敏锐的双眼，下面的图形是由边长为1的小正方形按照某种规律排列而成的．（1）观察图形，填写下表：图形个数（n ） （1） （2） （3） 正方形的个数8 图形的周长 18 （2）推测第n 个图形中，正方形有 个，周长为 ．（3）写出第30个图形的周长．18．观察下列图形的构成规律，按此规律，第20个图形中棋子的个数为_________．19．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有的个数为 （用含n 的代数式表示）．20．按照图（1）、（2）、（3）的方式分割三角形，所得三角形总个数分别是5个、9个、13个，照此规律分割下去，第n 个图中共有_________个三角形．21．如图，正方形ABCD 的边长为a ，在AB BC CD DA 、、、边上分别取点1111A B C D 、、、，111114AA BB CC DD a ====，在边11111111A B B C C D D A 、、、上分别取点2222A B C D 、、、，使121212121114A A B B C C D D A B ====．．．．．依次规律继续下去，则正方形n n n n A B C D 的面积为__________．22．如图所示，图(a)是一块边长为1，周长记为1P 的正三角形纸板，沿图(a)的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图(b)，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板(即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12后，得图(c)，(d)，……，记第()3n n ≥)块纸板的周长为P n ．则3P P -=1____；1n n PP --=_______．23．如图，n 个全等的等腰三角形的底边在同一条直线上，底角顶点依次重合．连接第一个三角形的底角顶点1B 和第n 个三角形的顶角顶点n A 交12A B 于点n P ，则122:=n A B P B _________．24．如下图所示，它们是一个按一定规律构造的，第（1）个图中有3个三角形，第（2）个图中有7个三角形，第（3）个图中有_____个三角形，依次规律第n 个图形中有__________个三角形．25．用等边三角形、正方形和正六边形按如图所示的规律拼图案，按照这样的规律继续拼下去，则第n 个图案中等边三角形的个数为_____________（用含n 的代数式表示）.26．如图，在矩形ABCD 中有对角线AC 与BD 相等，已知AB=4,BC=3,则有AB 2+BC 2=AC 2,矩形在直线MN 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置……依次类推，则:(1)AC=__________.(2)这样连续旋转2019次后，顶点B在整个旋转过程中所经过的路程之和是________.27．如图，，点P是边上一个动点（不与点O重合），当的度数为_____时，为直角三角形.28．如图由正五边形构成，在图1中有5个点，图2中有12个点，图3中有22个点，以此类推，图4（最长边上有5个点）中共有_____个点；图n（最长边上有n+1个点）中共有_____个点．（用含n的代数式表示）．29．按《航空障碍灯（MH/T6012﹣1999）》的要求，为保障飞机夜间飞行的安全，在高度为45米至105米的建筑上必须安装中光强航空障碍灯（AviationObstructionlight）．中光强航空障碍灯是以规律性的固定模式闪光．在下图中你可以看到某一种中光强航空障碍灯的闪光模式，灯的亮暗呈规律性交替变化，那么在一个连续的10秒内，该航空障碍灯处于亮的状态的时间总和最长可达__秒．30．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形中共有________个〇.参考答案1．C 【解析】 【分析】先数出前3个图形中三角形的个数，找出规律，即可得到第5个图的三角形个数． 【详解】第1个图中三角形的个数为5，第2个图中三角形的个数为253223117⨯+=⨯-=， 第3个图中三角形的个数为3173223153⨯+=⨯-= 依次类推，第n 个图中三角形的个数为231⨯-n ∴第5个图中三角形的个数为5231=485⨯- 故选C ． 【点睛】本题考查图形规律问题，由前几个图形找出规律，得出第n 个图中三角形个数的代数式是解题的关键． 2．C 【解析】 【分析】根据题意寻找规律可知如果在正方形中画n 条纵线和n 条横线，则把正方形分成2(1)n +部分，以及进行求解即可. 【详解】解：由题意可知：如果在正方形中画1条纵线和1条横线，则把正方形分成2242(11)==+部分； 如果在正方形中画2条纵线和2条横线，则把正方形分成2293(21)==+部分； 如果在正方形中画3条纵线和3条横线，则把正方形分成22164(31)==+部分； 所以如果在正方形中画n 条纵线和n 条横线，则把正方形分成2(1)n +部分；即有在正方形中画9条纵线和9条横线，则把正方形分成2(91)100+=部分. 故选：C. 【点睛】本题考查图形的变化规律，根据题意找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题是解题的关键． 3．B 【解析】 【分析】根据每个正方形需要4个数字这一规律,用2020÷4得出结果判断即可. 【详解】由题意知：2020÷4=505,所以2020这一数字正好能标完第505个正方形,且根据每个小正方形数字排列顺序可知,最后一个数字应该位于正方形的左下角. 故选B. 【点睛】本题考查了规律探索题,解决本题的关键是正确理解题意,能够找到数字之间存在的规律. 4．D 【解析】 【分析】根据后面图中的正方形个数比前一个图中正方形个数多3个，即可得到答案． 【详解】由题意得：后面图中的正方形个数比前一个图中正方形个数多3个， ∴第n 个图形中正方形的个数=（3n-2）个，（n ≥1，且n 为整数）， ∴第2019个图中共有正方形的个数=3×2019-2=6055（个）， 故选D ． 【点睛】本题主要考查探究图中正方形个数的规律，找出“后面图中的正方形个数比前一个图中正方形个数多3个”是解题的关键． 5．C 【解析】【分析】根据题目中的图形，可以写出前几个图形中涂有阴影的小正方形的个数，从而发现其中的变化规律，进而得到第10个图案中涂有阴影的小正方形的个数． 【详解】 解：由图可得，第1个图形中，涂有阴影的小正方形的个数为：1+4×1=5， 第2个图形中，涂有阴影的小正方形的个数为：1+4×2=9， 第3个图形中，涂有阴影的小正方形的个数为：1+4×3=13， …故第10个图案中涂有阴影的小正方形的个数为：1+4×10=41， 故选：C ． 【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中涂有阴影的小正方形的个数的变化规律，求出相应的图形中涂有阴影的小正方形的个数． 6．C 【解析】 【分析】根据图案（1）、（2）、（3）中火柴棒的数量可知，第1个图形中火柴棒有8根，每多一个多边形就多7根火柴棒，由此可知第n 个图案需火柴棒（7n+1）根． 【详解】图案（1）有:178+=根小木棒, 图案（2）有:17215+⨯=根小木棒， 图案（3）有:17322+⨯=根小木棒,则图案（7）有:17750+⨯=元50根小木棒， ……第n 个图案有:()17n +根小木棒. 故选：C 【点睛】此题主要考查了图形的变化类，解决此类题目的关键在于图形在变化过程中准确抓住不变的部分和变化的部分，变化部分是以何种规律变化． 7．A 【解析】∵点()11A ,x y 和()22B ,x y 是反比例函数ky x=图象上的两个点，当1x ＜2x ＜0时，1y ＜2y ，即y 随x 增大而增大，∴根据反比例函数ky x=图象与系数的关系：当0k >时函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图象的每一支上，y 随x 的增大而增大．故k ＜0． ∴根据一次函数图象与系数的关系：一次函数1y=k x+b 的图象有四种情况： ①当1k 0>，b 0>时，函数1y=k x+b 的图象经过第一、二、三象限； ②当1k 0>，b 0<时，函数1y=k x+b 的图象经过第一、三、四象限； ③当1k 0<，b 0>时，函数1y=k x+b 的图象经过第一、二、四象限； ④当1k 0<，b 0<时，函数1y=k x+b 的图象经过第二、三、四象限．因此，一次函数2y x k =-+的1k 20=-<，b=k 0<，故它的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选A ． 8．C 【解析】 【分析】根据前三个图形可得到第n 个图形一共有22n 个五角星，当n=7代入计算即可． 【详解】解：第①个图形一共有2221=⨯个五角星；第②个图形一共有2822=⨯ 个五角星；第③个图形一共有21823=⨯个五角星；……第n 个图形一共有22n 个五角星，所以第⑦个图形一共有22798⨯= 个五角星． 故答案选C ． 【点睛】本题主要考查规律探索，解题的关键是找准规律． 9．C 【解析】 【分析】依次求出正方形A 1B 1C 1D 1的面积为4，正方形A 2B 2C 2D 2的面积为4×12；正方形A 3B 3C 3D 3的面积为4×14；正方形A 4B 4C 4D 4的面积为4×18，即可得到规律进行求解. 【详解】正方形A 1B 1C 1D 1的面积为4；顺次连接正方形A 1B 1C 1D 1中点得正方形A 2B 2C 2D 2，则正方形A 2B 2C 2D 2的面积为正方形A 1B 1C 1D 1面积的一半，即4×12；顺次连接正方形A 2B 2C 2D 2得正方形A 3B 3C 3D 3，则正方形A 3B 3C 3D 3的面积为正方形A 2B 2C 2D 2面积的一半，即4×14；顺次连接正方形A 3B 3C 3D 3中点得正方形A 4B 4C 4D 4，则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为正方形A 3B 3C 3D 3面积的一半，即4×18． …第六个正方形A 6B 6C 6D 6的面积是4×（12）5， 故选：C ． 【点睛】本题考查图形类规律，解题的关键是掌握图形类规律题型的基本解题步骤. 10．B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出112233////B A A B A B ，以及212a a =，得出3144a a ==，4188a a ==，5116a a =⋯进而得出答案．【详解】解：∵△A 1B 1B 2是等边三角形，∴∠A 1B 1B 2＝∠A 1B 2O ＝60°，A 1B 1＝A 1B 2，∵∠O ＝30°，∴∠A 2A 1B 2＝∠O +∠A 1B 2O ＝90°， ∵∠A 1B 1B 2＝∠O +∠OA 1B 1， ∴∠O ＝∠OA 1B 1＝30°， ∴OB 1＝A 1B 1＝A 1B 2＝1，在Rt △A 2A 1B 2中，∵∠A 1A 2B 2＝30° ∴A 2B 2＝2A 1B 2＝2，同法可得A 3B 3＝22，A 4B 4＝23，…，A n B n ＝2n ﹣1，∴△A 8B 8B 9的边长＝27＝128， 故选：B ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．11．探究二:8；探究三: ()1;(44)a a --；探究四: ()22;(8)8a a --；问题解决:()()411a b --【解析】 【分析】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按什么规律变化的，通过分析找出各部分的变化规律后直接利用规律求解， 【详解】 解：探究二：根据探究一，把图①放置在32⨯的方格纸中．使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有248⨯=种不同的放置方法；故答案为：8； 探究三：根据探究二，，在2a ⨯的方格纸中，共可以找到(1)a -个位置不同的22⨯方格，根据探究一的结论可知，每个22⨯的方格纸中，有4种不同的放置方法，所以在2a ⨯的方格纸中共可以找到(1)4(44)a a -⨯=+种不同的放置方法；故答案为：(1)a -；(44)a +； 探究四：与探究三相比，矩形的宽改变了，边长为a ，有(a-1)个边长为2的线段，同理，边长为3，则有3-1=2条边长为2的线段，所以在3a ⨯的方格纸中，可以找到2(1)(22)a a -=-个位置不同的22⨯方格，根据探究一，在3a ⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形共有(22)4(88)a a -⨯=-种不同的放置方法； 故答案为：(22)a -；(88)a -； 问题解决：在a b ⨯的方格纸中，共可以找到(1)(1)a b --个位置不同的22⨯方格，依照探究一的结论，把图①放置在a b ⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4(1)(1)a b --种不同的放置方法．故答案为：4(1)(1)a b --． 【点睛】本题考查的知识点是规律型-图形的变化类，探寻规律要认真观察，仔细思考，善用联想来解决这类问题．12．（1）16，23；（2）72n +；（3）702 【解析】 【分析】（1）根据图形可知，后一个图形中小木棒数量比前一个图形小木棒数量多7，据此可填出表中数据；（2）第一个图形需要9根小木棒，后面每一个图形都比前一个多7根，据此即可求得答案； （3）根据（2）的代数式即可求得100n =时的小木棒的数量． 【详解】（1）第一个图形中小木棒的根数为9； 第二个图形中小木棒的根数为9+7=16； 第三个图形中小木棒的根数为16+7=23； 填表如下：故答案为：16，23； （2）根据（1）的规律：可以发现第几个图形中小木棒的根数为：()97172n n +-=+； 故答案为：72n +；（3）当100n =，需要的小木棒的根数为：71002702⨯+=． 故答案为：702． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．观察图形得到后一个图形比前一个图形多7根小木棒是解题的关键．13．（1（2）21n +=，n S =n是正整数）；（3）1052．【解析】 【分析】（1）根据已知式子即可推断出15OA 的长度； （2）观察已知等式，即可得出规律； （3）根据（2）中总结出的规律，计算即可. 【详解】 （1）由题意，得123OA OA OA ==……∴15OA = （2）观察已知式子，可得规律：21n +=，2n S =n是正整数）；（3）2222221220222S S S ⎛⎛⎛++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭12204+++=1052=． 【点睛】此题主要考查图形类规律的探索，解题关键是认真观察图形与已知条件. 14．（1）41；（2）4n ；（3）见解析． 【解析】 【分析】（1）首先观察给出的四个图，可以得出正方体的个数分别为1，14+，148++14812+++，总结一般性的规律，将一般性数列转化为特殊的数列再求解．（2）根据（1）得出的一般规律，可写出第n 个图案中正方形的个数，再与第1n +个图案中正方形的个数做差即可得解．（3）利用数列的求和公式可得第n 个图案中正方形的个数是：()21481241221n n n +++++-=-+，利用此规律可写出第1n +个图案中正方形的个数是()214812414221n n n n +++++-+=++，再让它们做差即可得证．【详解】（1）∵第一个图案中正方形的个数是：1 第二个图案中正方形的个数是：145+= 第三个图案中正方形的个数是：14813++= 第四个图案中正方形的个数是：1481225+++=第n 个图案中正方形的个数是：()1481241n +++++-∴第五个图案中正方形的个数是：148121641++++= 故答案是：41（2）∵由（1）可知第n 个图案中正方形的个数是：()1481241n +++++-第1n +个图案中正方形的个数是：()14812414n n +++++-+∴第()1n +个图案和第n 个图案中小正方形个数之差为()()1481241414812414n n n n +++++-+-+++++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴第()1n +个图案和第n 个图案中小正方形个数之差为4n 故答案是：4n（3）证明：根据题意，得第()1n +个图案中正方形的个数为()()221211n n +-++． ()()222 1 211n n n =++-++． 2221n n =++．∴第()1n +个图案和第n 个图案中正方形个数之差为()222212214n n n n n ++--+=【点睛】本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析、观察、总结其内在联系，得到一般性的结论，若求解的项数较少，可一直推理出结果，若项数较多，则要得到一般的求解方法，再求具体问题．15．（3）10（个），60条；作图见解析，详见解析（4）210；4620（5）(1)2n n +；(1)(2)2n n n ++；(1)2n n -（6）55；660 【解析】 【分析】（3）仿照（1）（2）即可作图求解； （4）根据题意发现规律即可求解； （5）根据题意发现规律即可求解；（6）根据题意知相当边长为1的小等边三角形拼成边长为10的等边三角形，故可求解． 【详解】（3）用图①拼成20层的大等边三角形，共用了123410+++=（个）图①三角形，如图，从上往下，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，第4层有4个，共用了123410+++=个图①的等边三角形，则有长度为1的线段3(1234)⨯+++条；还有边长为2的第边三角形1236++=个，则有长度为2的线段3(123)⨯++条；还有边长为3的等边三角形1+23=个，则有长度为3的线段3(12)⨯+条；还有边长为4的等边三角形1个，则有长度为4的线段31⨯条；所以共有60条线段：3(1234123121)4(12345)60⨯+++++++++=⨯++++=条.（4）根据（1）（2）（3）用图①拼成20层的大等边三角形，共用了12320210++++=个图①三角形，共有线段20(12321)4620⨯++++=条；故答案为：210；4620；（5）用图①拼成n 层的大等边三角形，共用了(1)1232n n n +++++=个图①三角形，共有线段(1)(2)[123(1)]2n n n n n +++++++=条，其中边长为2的等边三角形共有(1)123(1)2n n n -++++-=个.故答案为：(1)2n n +；(1)(2)2n n n ++；(1)2n n -（6）如果用边长为3的小等边三角形拼成边长为30的大等边三角形，相当边长为1的小等边三角形拼成边长为10的等边三角形，共用了1231055++++=个图①三角形，共有线段10(12311)660⨯++++=条；故答案为：55；660． 【点睛】本题考查的是图形的变化规律、三角形的认识，根据题意找出三角形的个数的变化规律是解题的关键．16．（1）b 中有5个三角形，c 中有9个三角形；（2）当n ＝n 时有4n ﹣3个三角形；（3）当n＝10时，有个三角形．【解析】【分析】（1）直接数出三角形的个数，即可；（2）根据题意，后面图形中的三角形个数比前一个图形中的三角形个数多4个，第一个图形中有1个三角形，进而即可得到答案；（3）把n＝10代入第（2）题的代数式，即可得到答案．【详解】（1）图b中有5个三角形，图c中有9个三角形．故答案是：5，9；（2）依题意得：n＝1时，有1个三角形；n＝2时，有5个三角形；n＝3时，有9个三角形；…∴当n＝n时，有4n﹣3个三角形．（3）当n＝10时，有40﹣3＝37个三角形．【点睛】本题主要考查用代数式表示图形的变化规律，找到图形中三角形个数的变化规律，是解题的关键．17．（1）详见解析；（2）5n+3，10n+8；（3）308．【解析】【分析】（1）依此数出n＝1，2，3，…，正方形的个数，算出图形的周长；（2）根据（1）规律依此类推，可得出第n个图形中，正方形的个数及周长；（3）把n＝30代入（1）进行计算即可得到答案．【详解】解：（1）（2）推测第n 个图形中，正方形的个数为5n +3，周长为10n +8． （3）第30个图形的周长：10×30+8＝308． 【点睛】本题考查图形的变化规律，解题思维过程是从特殊情况入手→探索、发现规律→归纳、猜想出结果→取特殊值代入验证，即体现特殊→一般→特殊的解题过程．同时启发同学们在学习过程中关注结果的同时，更应注重概念、法则、公式、公理的形成和发展过程． 18．61 【解析】 【分析】根据各个图形中棋子的个数，找出棋子的变化规律，并归纳公式即可得出结论． 【详解】解：第1个图形中棋子的个数为4=3＋1； 第2个图形中棋子的个数为7=3×2＋1； 第3个图形中棋子的个数为10=3×3＋1； ∴第n 个图形中棋子的个数为3n ＋1 ∴第20个图形中棋子的个数为3×20＋1=61 故答案为：61． 【点睛】此题考查的是探索规律题，找出规律并归纳公式是解决此题的关键． 19．()2n 1+ 【解析】解：第1个图形中点的个数为：1+3=4， 第2个图形中点的个数为：1+3+5=9， 第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16， …，第n 个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）==（n+1）2．故答案为（n+1）2．20．（4n +1）． 【解析】 【分析】根据题目中的图形变化规律可知,每一次变化增加四个三角形,从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得, 图（1）所得三角形总个数为:1+4=5; 图（2）所得三角形总个数为：1+4×2=9; 图（3）所得三角形总个数为：1+4×3=13; 所以第n 个图中共有（4n +1）个三角形; 故答案为:（4n +1）． 【点睛】本题主要考查图形的变化类，解答本题的关键是发现题目中图形的变化规律，求出相应的三角形的个数.21．258na ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用勾股定理可得A 1B 12=58a 2，即正方形A 1B 1C 1D 1的面积，同理可求出正方形A 2B 2C 2D 2的面积，得出规律即可得答案． 【详解】∵正方形ABCD 的边长为a ，111114AA BB CC DD a ====， ∴A 1B 12=A 1B 2+BB 12=2231()()44a +=58a 2，A 1B 1=104a ，∴正方形A 1B 1C 1D 1的面积为58a 2， ∵121212121114A AB BC CD D A B ====，∴A 2B 22=2231()()44+=(58)2a 2，∴正方形A 2B 2C 2D 2的面积为(58)2a 2， ……∴正方形n n n n A B C D 的面积为(58)n a 2， 故答案为：(58)n a 2 【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理，正确计算各正方形的面积并得出规律是解题关键． 22．14112n -【解析】 【分析】根据等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P 1，P 2，P 3，P 4，……根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案． 【详解】 P 1=1+1+1=3， P 2=1+1+12=52， P 3=1+1+14×3=114，P 4=1+1+14×2+18×3=238，… ∴P 1-P 3=3-114=14，p 3-p 2=114-52=14=（12）2， P 4-P 3=238-114=18=（12）3，∴P n -P n-1=11()2n -=112n -，故答案为：14；112n -【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题． 23．n 【解析】 【分析】连接A 1An,根据全等三角形的性质得到∠AB 1B 2=∠A 2B 2B 3，根据平行线的判定得到A 1B 1∥A 2B 2，又根据A 1B 1=A 2B 2，得到四边形A 1B 1B 2A 2是平行四边形，从而得到A 1A 2∥B 1B 2，从而得出A 1An ∥B 1B 2，然后根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接A 1An,根据全等三角形的性质得到∠AB 1B 2=∠A 2B 2B 3， ∴A 1B 1∥A 2B 2， 又A 1B 1=A 2B 2，∴四边形A 1B 1B 2A 2是平行四边形. ∴A 1A 2∥B 1B 2，A 1A 2=B 1B 2=A 2A 3, 同理可得，A 2A 3=A 3A 4 =A 4A 5=…= A n-1A n. 根据全等易知A 1，A 2，A 3，…,An 共线， ∴A 1An ∥B 1B 2，∴P n B 1B 2∽△P n A n A 1，。
中考数学 精讲篇 专题突破二 图形累加规律探索题
B．110
C．120
D．130
【思路点拨】如图，将每个图形沿虚线分成上下两部分：
各部分分析如下表：
序数
①②
③
…
圆圈个 上部分 2＝1×2 6＝2×3 12＝3×4 …
数 下部分 2＝2×1 4＝2×2 6＝2×3 …
总数 4
10
18
…
由表可以看出，上部分圆圈的个数等于图形序数×(图形序数＋1)，下部 分圆圈的个数等于 2×图形序数，故第 个图形中圆圈的个数为 10×11 ＋2×10＝130.
4．(2021·常德)如图中的三个图形都是边长为 1 的小正方形组成的网格， 其中第一个图形有 1×1 个小正方形，所有线段的和为 4，第二个图形有 2×2 个小正方形，所有线段的和为 12，第三个图形有 3×3 个小正方形， 所有线段的和为 24，按此规律，则第 n 个网格中所有线段的和为 2n2(n(n＋＋11))．(用含 n 的代数表示)
【思路点拨】设第 n 个图形需要 an(n 为正整数)根火柴棍，观察发现规律： 第一个图形需要火柴棍：3＝1×2＋1，第二个图形需要火柴棍：5＝2×2 ＋1；第三个图形需要火柴棍：7＝3×2＋1；……，∴第 n 个图形需要火 柴棍：2n＋1.
代数式规律 解决这类问题首先要从简单等式入手，抓住随着“编号”或“序号”增 加时，后一个等式与前一个等式相比，在数量上增加(或倍数)情况的变 化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
故答案为：20.
类型二：图形递变累加型
(重庆：A 卷 2013T10；B 卷 2013T11)
(2021·绥化)下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图① 中有 1 个三角形，图②中有 5 个三角形，图③中有 11 个三角形，图④中 有 19 个三角形，….依此规律，则第 n 个图形中三角形个数是 __n2＋n－1 __.
2021年九年级数学中考二轮复习《探索数字的变化规律》专题突破训练
2021年九年级数学中考二轮复习《探索数字的变化规律》专题突破训练1．观察下列两行数：1，3，5，7，9，11，13，15，17，…1，4，7，10，13，16，19，22，25，…探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（）A．18B．19C．20D．212．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（）A．﹣7.5B．7.5C．5.5D．﹣5.53．计算++++…+的结果是（）A．B．C．D．4．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0B．1C．7D．85．一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（）A．50B．60C．62D．716．按一定规律排列的一组数：，，，，…，，，（其中a，b为整数），则a+b的值为（）A．182B．172C．242D．2007．一个整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：6＝2×3，则6的所有正约数之和（1+3）+（2+6）＝（1+2）×（1+3）＝12；12＝22×3，则12的所有正约数之和（1+3）+（2+6）+（4+12）＝（1+2+22）×（1+3）＝28；36＝22×32，则36的所有正约数之和（1+3+9）+（2+6+18）+（4+12+36）＝（1+2+22）×（1+3+32）＝91．参照上述方法，那么200的所有正约数之和为（）A．420B．434C．450D．4658．现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（）A．（1，2，1，2，2）B．（2，2，2，3，3）C．（1，1，2，2，3）D．（1，2，1，1，2）9．下面是按照一定规律排列的一列数：第1个数：﹣（1+）；第2个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）；第3个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×（1+）；…依此规律，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（）A．第10个数B．第11个数C．第12个数D．第13个数10．一列数a1，a2，a3，…，其中a1＝，a n＝（n为不小于2的整数），则a100＝（）A．B．2C．﹣1D．﹣211．我们知道：1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，那么一列数：，，，，，，，，，，，，，，，，，…中，则第200个数是（）A．B．C．D．12．对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定P n（x，y）＝P1（P n﹣1（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2021（1，﹣1）＝（）A．（0，21010）B．（0，﹣21010）C．（0，﹣21011）D．（0，21011）13．某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是个．14．定义：分数（m，n为正整数且互为质数）的连分数（其中a1，a2，a3，…，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1），记作+++…，例如：＝＝＝＝＝＝，的连分数为，记作+++，则++．15．观察下面的变化规律：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，…根据上面的规律计算：＝．16．“书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数超过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为，并可推断出5月30日应该是星期几．17．观察下列一组数的排列规律：，，，，，，，，，，，，，，，…那么，这一组数的第2019个数是．18．探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是．19．已知a＞0，S1＝，S2＝﹣S1﹣1，S3＝，S4＝﹣S3﹣1，S5＝，…（即当n为大于1的奇数时，S n＝；当n为大于1的偶数时，S n＝﹣S n﹣1﹣1），按此规律，S2018＝．20．按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2018个数的和为．21．根据下列各式的规律，在横线处填空：，，＝，…，+﹣＝22．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”从图中取一列数：1，3，6，10，…，记a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，那么a9+a11﹣2a10+10的值是．23．阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S＝1+2+22+…+22017+22018①则2S＝2+22+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29＝；（2）3+32+…+310＝；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．24．观察以下等式：第1个等式：＝+，第2个等式：＝+，第3个等式：＝+，第4个等式：＝+，第5个等式：＝+，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．25．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有x i首，i＝1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组第4组x4x4x4③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：（1）填入x3补全上表；（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为首．26．观察以下等式：第1个等式：++×＝1，第2个等式：++×＝1，第3个等式：++×＝1，第4个等式：++×＝1，第5个等式：++×＝1，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．27．观察下列各个等式的规律：第一个等式：＝1，第二个等式：＝2，第三个等式：＝3…请用上述等式反映出的规律解决下列问题：（1）直接写出第四个等式；（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．28．阅读下列材料，并解决相关的问题．按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1＝1，公比为q＝3．则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为，第4项是．（2）如果一个数列a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：＝q，＝q，＝q，…＝q．所以：a2＝a1•q，a3＝a2•q＝（a1•q）•q＝a1•q2，a4＝a3•q＝（a1•q2）•q＝a1•q3，…由此可得：a n＝（用a1和q的代数式表示）．（3）若一等比数列的公比q＝2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．29．观察下列关于自然数的等式：32﹣4×12＝5 ①52﹣4×22＝9 ②72﹣4×32＝13 ③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：92﹣4×2＝；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．30．观察图形，解答问题：（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：图①图②图③三个角上三个数的积1×（﹣1）×2＝﹣2（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）＝﹣60三个角上三个数的和1+（﹣1）+2＝2（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）＝﹣12积与和的商﹣2÷2＝﹣1（2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x。
2023年中考数学二轮复习《探索与表达规律—图形变化类型》专题提升训练
2023年中考数学二轮复习《探索与表达规律—图形变化类型》专题提升训练一．选择题1．依照图形变化的规律，则第2021个图形中黑色正方形的个数是（ ）A．2021B．3030C．3031D．30322．下列图案是用长度相同的火柴按一定规律拼搭而成，第一个图案需8根火柴，第二个图案需15根火柴，…，按此规律，第n个图案需几根火柴棒（ ）A．2+7n B．8+7n C．7n+1D．4+7n3．如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，…，照此规律，摆成第n个图案需要的三角形个数是（ ）A．（3n﹣2）个B．（3n+1）个C．（4n﹣1）个D．4n个4．如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来（n＝1，2，3，4…），第n个图形中顶点的个数是（结果用含n 的式子表示，不化简）（ ）A．（n+1）（n+2）B．（n+1）（n+3）C．（n+2）（n+3）D．（n+2）（n+4）9．如图：下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，……，则图99中的棋子个数是（ ）A．4528B．5248C．8524D．58426．用一样长的火柴棒按如图的方式搭建图形，图①需要6根火柴棒，图②需要11根火柴棒，图③需要16根火柴棒，…，按照这个规律，图⑥需要火柴棒的根数是（ ）A．26B．30C．31D．367．如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，若用（a，b）表示第a行从左到右第b个数，如（2，2）表示的数是，（3，2）表示的数是，（4，3）表示的数是，则（7，5）表示的数是（ ）A．B．C．D．8．如所示图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第1个图形有6颗棋子，第2个图形一共有10颗棋子，第3个图形一共有16颗棋子，第4个图形一共有24颗棋子，…，则第7个图形中棋子的颗数为（ ）A．41B．45C．50D．609．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，顺次连结各边中点得到菱形A1B1C1D1，再顺次连结菱形A1B1C1D1各边中点，得到矩形A2B2C2D2，再顺次连结矩形A2B2C2D2各边中点，得到菱形A3B3C3D3，…，这样继续下去．则四边形A2022B2022C2022D2022的面积为（ ）A．B．C．D．二．填空题10．某地铺设矩形人行道，由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．现在街道上铺设一条这样的人行道，一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n的代数式表示）．11．将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第10个数为 ，第55个数为 ．12．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，“峰2”中峰顶的位置（C的位置）是有理数﹣9．（1）“峰3”中C的位置是有理数 ；（2）“峰n”中C的位置是有理数 ．13．有一个棋盘如图所示，12个圆圈内分别标有1，2，…，12，电子跳蚤可以按这12个数字的顺序逆时针跳跃一步或连续跳跃多步．若电子跳蚤所在圆圈的数字为n，则电子跳蚤连续跳（3n﹣2）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳3×1﹣2＝1步后到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳3×2﹣2＝4步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从标有数字1的圆圈开始，那么电子跳蚤第2021次能跳到标着数字 的圆圈内．14．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，按此规律，第2022个图形中“〇”的个数为 ．15．如图，已知∠MON ＝30°，点A 1，A 2，A 3，，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…均为等边三角形，若OA 1＝2，则△A 2022B 2022A 2023的边长为 ．三．解答题16．某校一间阶梯教室中，第1排的座位数为a ，从第2排开始，每一排都比前一排增加两个座位．（1）请你在如表的空格里填写一个适当的式子：第1排的座位数第2排的座位数第3排的座位数第4排的座位数…a a +2a+4 …（2）写出第n 排座位数的表达式；（3）求当a ＝22时，第10排的座位数是多少？17．在平面直角坐标系中，一机器人从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标：A 2（ ， ），A 5（ ， ），A 11（ ， ）；（2）写出点A 4n 的坐标（n 是正整数）；（3）指出机器人从点A 2021到A 2022的移动方向．18．如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则A 1的坐标为（2，2）、A 2的坐标为（5，2）（1）A 3的坐标为 ，A n 的坐标（用n 的代数式表示）为 ．（2）2020米长的护栏，需要两种正方形各多少个？19．如图，用火柴棒按下列方式搭三角形：仔细观察，找出规律，解答下列各题：（写出代数式的推导过程）（1）搭6个这样的三角形需要 根火柴棒，搭10个这样的三角形需要 根火柴棒；（2）按照这样的规律，搭n个这样的三角形需要 根火柴棒（用含n的代数式表示）；（3）按照这样的规律，第2012个图形中共有多少根火柴棒？（代入代数式计算）20．如图所示：搭1条、2条、3条“金鱼”各用几根火柴棒？（1）根据上面的图形填写如表：金鱼条数123…n火柴根数 … （2）搭100条金鱼需要多少根火柴棒？（3）搭多少条金鱼需要500根火柴棒？21．（1）为了计算1+2+3+...+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+...+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+ (8)×72＝36．用此方法，可求得1+2+3+…+20＝ （直接写结果）．（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：填空：①1+3+5+…+49＝ ；②1+3+5…+（2n+1）＝ ．（3）请构造一图形，求+++…+（画出示意图，写出计算结果）．参考答案一．选择题1．解：根据图形变化规律可知：第1个图形中黑色正方形的数量为2，第2个图形中黑色正方形的数量为3，第3个图形中黑色正方形的数量为5，第4个图形中黑色正方形的数量为6，...，当n为奇数时，黑色正方形的个数为[3×（n+1）﹣1]，当n为偶数时，黑色正方形的个数为（3×n），∴第2021个图形中黑色正方形的数量是[3××（2021+1）﹣1]＝3032，故选：D．2．解：∵第一个图案有8根火柴，第二个图案有15根火柴，8+7×（2﹣1）＝15，第三个图案有22根火柴，8+7×（3﹣1）＝22，∴第n个图案有：8+7（n﹣1）＝7n+1，故选：C．3．解：第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1，第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1，第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1，…，按此规律摆下去，第n个图案有（3n+1）个三角形．故选：B．4．解：由图形知，当n＝1时，顶点的个数为12＝3×4；当n＝2时，顶点的个数20＝4×5；当n＝3时，顶点的个数30＝5×6；当n＝4时，顶点的个数42＝6×7；……所以第n个图形中顶点的个数为（n+2）（n+3）（个），故选：C．5．解：∵图1中棋子有5＝1+2+1×2个，图2中棋子有10＝1+2+3+2×2个，图3中棋子有16＝1+2+3+4+3×2个，…，∴图n中棋子有1+2+3+4+…+n+（n+1）+2n＝，∴图99中棋子有＝5248，故选：B．6．解：∵图①需要6根火柴棒，图②需要11根火柴棒，即11＝6+5×1，图③需要16根火柴棒，即16＝6+5×2…，∴第n个图形所需要的火柴棒数为：6+5（n﹣1）＝5n+1，∴第6个图形所需要的火柴棒数为：5×6+1＝31（根），故选：C．7．解：由图形的变化可知，第n行有n个数，且两端都是，每个数是它下一行左右相邻两数的和，∴第5，6，7行从左往右第一个数分别是，，；第6，7行从左往右第二个数分别是﹣＝，﹣＝；第7行从左往右第三个数为﹣＝，由图形的特征可得（7，5）表示的数是第7行从左往右第五个，它和（7，3）表示同一个数，故选：B．8．解：设第n个图形中有a n颗棋子（n为正整数），观察图形，可知：a1＝4+1×2，a2＝4+2×3，a3＝4+3×4，a，…，∴a n＝4+n（n+1）＝n2+n+4（n为正整数），∴a7＝72+7+4＝60．故选：D．9．解：根据中点四边形的性质可知，A1B1C1D1、A3B3C3D3…是菱形，A2B2C2D2、A4B4C4D4…是矩形，∵四边形A1B1C1D1的面积＝•S矩形ABCD，四边形A2B2C2D2的面积＝×四边形A1B1C1D1的面积＝（）2•S矩形ABCD，四边形A3B3C3D3的面积＝（）3•S矩形ABCD，…，∴四边形A n B n∁n D n的面积＝（）n•S矩形ABCD＝48•（）n，∴四边形A2022B2022C2022D2022的面积为：48×（）2022＝3×24×＝．故选：B．二．填空题10．解：观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块；观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6＝3+2×1+1＝4+2×1，图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图3：8＝3+2×2+1＝4+2×2，归纳得：4+2n（即2n+4），∴若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（2n+4）块，故答案为：（2n+4）；11．解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：＝3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：×3×（1+3）＝6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：×4×（1+4）＝＝10，…第n个图形中的黑色圆点的个数为n（n+1），则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，…，其中每3个数中，都有2个能被3整除，10÷2＝5，5×3＝15；55÷2＝27……1，27×3+2＝83．则第10个被3整除的数为原数列中第15个数，即×15×16＝120，则第55个被3整除的数为原数列中第83个数，即×83×84＝3486，故答案为：120，3486．12．解：（1）∵每个峰需要5个数，∴5×2＝10，10+1+3＝14，∴“峰3”中C位置的数的是14，故答案为：14；（2）∵“峰1”为4＝（﹣1）n+1×4，“峰2”为﹣9＝（﹣1）n+1×（4+5），“峰3”为14＝（﹣1）n+2×（4+5+5），..．∴“峰3”为（﹣1）n+1[4+5（n﹣1）]＝（﹣1）n+1（5n﹣1），故答案为：（﹣1）n+1（5n﹣1）．13．解：由题意得，第一次跳到标有数字2的圆圈内，第二次跳到标有数字6的圆圈内，第三次跳到标有数字10的圆圈内，第四次跳到标有数字2的圆圈内，…，∴每跳3次循环一次，∵2021÷3＝673……2，∴第2021次跳到标有数字6的圆圈内，故答案为：6．14．解：观察图形的变化可知：第1个图形中“〇”的个数为3×1+1＝4个；第2个图形中“〇”的个数为3×2+1＝7个；第3个图形中“〇”的个数为3×3+1＝10个；…第2022个图形中“〇”的个数为：3×2022+1＝6067．故答案为：6067．15．解：由OA1＝2，可求得，△A1B1A2的边长＝OA1＝2，△A2B2A3，的边长＝OA2＝2×2＝22，△A3B3A4的边长＝OA3＝22×2＝23…，可归纳得△A n B n A n+1＝2n，∴△A2022B2022A2023的边长为22022，故答案为：22022．三．解答题16．解：（1）由题意可得，第4排的座位数为：a+4+2＝a+6，故答案为：a+6；（2）第n排座位数为：a+2（n﹣1）＝a+2n﹣2，即第n排座位数数为a+2n﹣2；（3）当a＝22时，第10排座位数为：22+2×10﹣2＝40，即第10排座位数为40．17．解：（1）由图可知A2（1，1），A5（2，1），A11（5，0），故答案为：1，1；2，1；5，0；（2）由图可知，A4，A8都在x轴上，A4（2，0），A8（4，0），∴OA4n＝4n÷2＝2n，∴点A4n的坐标（2n，0）；（3）机器人从初始依次向上、向右、向下、向右运动，每四个点一个循环，所以2021÷4＝505•••1，∴从点A2021到点A2022的移动方向与从点A1到A2的方向一致，为向右．18．解：（1）∵A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2），∴A1，A2，A3，…，A n各点的纵坐标均为2，∵小正方形的边长为1，∴A1，A2，A3，…，A n各点的横坐标依次大3，∴A3（5+3，2），A n（，2），即A3（8，2），A n（3n﹣1，2），故答案为（8，2）；（3n﹣1，2）；（2）∵2020÷3＝673…1，∴需要小正方形674个，大正方形673个．19．解：（1）观察图形可知，第1个图共有火柴棒1+2＝1+2×1＝3根，第2个图共有火柴棒1+2+2＝1+2×2＝5根，第3个图共有火柴棒1+2+2+2＝1+2×3＝7根，第4个图共有火柴棒1+2+2+2+2＝1+2×4＝9根，第5个图共有火柴棒1+2+2+2+2+2＝1+2×5＝11根，第6个图共有火柴棒1+2+2+2+2+2+2＝1+2×6＝13根，…第10个图共有火柴棒1+2×10＝21根，故答案为：13，21；（2）由（1）中的规律可得，第n个图共有火柴棒（1+2n）根．故答案为：（1+2n）；（3）当n＝2012时，1+2n＝1+2×2012＝4025，即搭2012个这样的三角形需要4025根火柴棒．20．解：（1）第一条金鱼用了8根火柴，第2条金鱼用了8+6＝14根火柴，第3条金鱼用了8+2×6＝20根火柴，…，第n条金鱼用了8+（n﹣1）×6＝（6n+2）根火柴．故答案为：8，14，20，（6n+2）；（2）当n＝100时，6n+2＝602（根），答：搭100条金鱼需要602根火柴棒；（3）根据题意得，6n+2＝500，解得n＝83．答：搭83条金鱼需要500根火柴棒．21．解：（1）1+2+3+•••+20＝（1+20）×20＝21×10＝210；故答案为：210；（2）由点阵图可知：一个数时和为1＝12，2个数时和为4＝22，3个数时和为9＝32，•••，n个数时和为n2．①∵1+3+5+…+49中有25个数，∴1+3+5+…+49＝252＝625．②∵1+3+5…+（2n+1）中有（n+1）个数，∴1+3+5…+（2n+1）＝（n+1）2．故答案为：625；（n+1）2；（3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为1，第一次将正方形分割为和两部分，第二次将正方形的分割为和两部分，•••，以此类推，第2020次分割后，剩余的面积为，那么除了剩余部分的面积，前面所有分割留下的面积应该是：，∴＝1﹣，左右两边同除以2得：．∴原式＝．。
备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《找规律之图形变化类》(四)
备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《找规律之图形变化类》（四）1．一张方形桌子可坐4人，按下图方式将桌子拼在一起．（1）两张桌子拼在一起可坐人；三张桌子拼在一起可以坐人；n张桌子拼在一起可坐人．（2）一家酒楼有60张桌子，按照上图方式每4张拼成一个大桌子，则60张桌子可拼成15张大桌子，共可坐人．（3）有问题（2）中，若4张桌子拼成一个大的正方形桌子，则可坐人．2．如图所示，有25个点，横竖都以相等的间隔排列．请你想出尽可能多的方法，将点连成面积不同的正方形．图中一共给出8个备用栏，但不一定有8个答案，请在一个备用栏里画出一个图形．3．在表格中分别填写下列图形的周长，当梯形的个数是n 时，用代数式表示图形的周长．梯形个数 1 2 3 4 5 6 … n周长 5 8 11 14 …4．观察图中正六边形“蜘蛛网”的变化规律：（1）表： 边上的小数点 1 2 3 4 5 小数点的总数（2）如果用n 表示六边形边上的小点数，m 表示这个正多边形中小点的总数，那么m 和n 的关系是什么？5．如图，每一个图形都是由小三角形“△”拼成的：观察发现，第10个图形中需要个小三角形，第n个图形需要个小三角形．6．观察下列三角形图案，填下表．每边上圆点数 2 3 4 …n图形中圆点总数…7．花卉市场为了扩大花卉的销售量，举行了花卉展销活动，将每盆花摆成如图所示的形式，以吸引顾客，并把每盆花的单价标在图案下面：（每种图案的盆花一次性出售，最后一种图案的每盆花单价不低于2.1元）（1）按上表规律：第八种图案的盆花总数为盆，总价为元；（2）设第n种图案的盆花总数为S盆，则S与n的关系式是，n的取值范围是；（3）设第n种图案的盆花的单价为m，则m与n的关系式是；（4）这个花卉市场将盆花摆成第n种图案时，其销售总价y与n的关系式是．8．探索规律：用火柴棒按下面的方式搭图形，填写下表：照这样的规律搭下去：（1）第n个图形的大三角形周长的火柴棒是几根？（2）第n个图形的小三角形个数有几个？第200个图形的小三角形个数有几个？（3）第n个图形需要多少根火柴棒？9．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答有关问题：（1）在第5个图中共有块白瓷砖；（2）在第n个图中共有块白瓷砖，块黑瓷砖；10．观察图①至⑤中，小黑点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中的小黑点个数为y．解答下列问题：（1）填表n 1 2 3 4 5 …y 1 3 …（2）写出求y的公式（用含n的代数式表示）（3）当n＝50时，小黑点的个数y是多少？参考答案1．解：（1）4+2＝6，6+2＝8，4+2（n﹣1）＝2n+2；（2）（2×4+2）×（60÷4）＝150；（3）2×4×（60÷4）＝120．答：（1）两张桌子拼在一起可坐6人；三张桌子拼在一起可以坐8人；n张桌子拼在一起可坐（2n+2）人．（2）一家酒楼有60张桌子，按照上图方式每4张拼成一个大桌子，则60张桌子可拼成15张大桌子，共可坐150人．（3）有问题（2）中，若4张桌子拼成一个大的正方形桌子，则可坐120人．2．解：如图，面积共有七种可能（所连点可以不同）．3．解：周长是在5的基础上依次多3．第n个图形的周长：5+3（n﹣1）＝3n+2．4．解：（1）根据图表，查找点数可得表中第2行依次为：7，19，37，61，91．（2）根据数据可得：7＝3×（1+1）2﹣3×（1+1）+1；19＝3×（2+1）2﹣3×（2+1）+1…故m和n的关系是m＝3（n+1）2﹣3（n+1）+1．5．解：观察图形可知，第一个图形有1＝12个小三角形“△”拼成．第二个图形有1+3＝4＝22个小三角形“△”拼成．第三个图形有1+3+5＝9＝32个小三角形“△”拼成．第四个图形有1+3+5+7＝16＝42个小三角形“△”拼成．以此类推，可知第10个图形中需要102＝100个小三角形．第n个图形中需要n2个小三角形．6．解：．每边上圆点数 2 3 4 …n图形中圆点总数 3 6 9 … 3n﹣37．解：（1）由图中会发现，花盆的个数分别为1，4，7，10，13…，由这一系列数字可知他们之间的规律是个数＝1+3（n﹣1），所以把8代入计算即可得：1+3（8﹣1）＝22，由题中价格表可发现：总价的规律递减0.2，所以单价＝5﹣0.2（n﹣1），所以第八种图案的盆花单价为5﹣0.2（8﹣1）＝3.6，总价为3.6×22＝79.2元；（2）由题（1）可知S＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，正整数；（3）由题（1）可知m＝5﹣0.2（n﹣1）＝5.2﹣0.2n；（4）由题（1）可知y＝（3n﹣2）（5.2﹣0.2n）．8．解：（1）3n根．（2）n2个，第200个图形的小三角形个数有2002个即40000个．（3）．9．解：（1）第1个图形中有1×2＝2块白瓷砖；第2个图形中有2×3＝6块白瓷砖；第3个图形中有3×4＝12块白瓷砖；…第5个图形中有5×6＝30块白瓷砖；故答案为30；（2）第n个图形中有n（n+1）块白瓷砖，（n+2）（n+3）﹣n（n+1）＝（4n+6）块黑瓷砖，故答案为n（n+1）；（4n+6）．10．解：（1）n 1 2 3 4 5 …y 1 3 7 13 21（2）当n＝3时，y＝3×2+1＝7；当n＝4时，y＝4×3+1＝13；…∴y＝n（n﹣1）+1＝n2﹣n+1（3）当n＝50 时，y＝502﹣50+1＝2451．。
2023年+九年级数学中考二轮复习专题训练 探索与表达规律—图形变化类型(含答案)
2023年春九年级数学中考二轮复习《探索与表达规律—图形变化类型》专题训练（附答案）一．选择题1．已知某点阵的第①②③个图如图所示，按此规律第（ ）个点阵图中，点的个数为2022个．A．1009B．2018C．2022D．20482．如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2023个白色纸片，则n的值为（ ）A．672B．673C．674D．6753．如图图形是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，则第10个图形中圆的个数为（ ）A．30B．41C．31D．404．观察图中点阵，发现第①个图中有5个点，第②个图中有12个点，第③个图中有22个点，第④个图中有35个点，…，按此规律，则第⑩个图有（ ）个点．A．145B．176C．187D．2105．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理数____，2021应排在A、B、C、D、E中的_____位置．正确的选项是（ ）A．30，D B．﹣29，E C．﹣29，B D．﹣31，A6．如图是由同样大小的星星按照一定规律摆放的，第1个图有4个星星，第2个图有8个星星，第3个图形有13个星星，…，第8个图形的星星个数为（ ）A．43B．52C．53D．647．如图是组有规律的图案，第1个图案是由4个▲组成，第2个图案是由7个▲组成，第3个图案是由10个▲组成，第4个图案是由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案是由6067个▲组成．则n为（ ）A．2019B．2020C．2021D．20228．将1，2，4按如图方式进行排列，记（m，n）为该图形中第m行从左往右第n个数，例如图中圆圈中的“2”可以用（3，4）表示．若a＝（2021，9），b＝（5，7），则﹣a b＝（ ）A．﹣1B．﹣4C．﹣16D．49．如图所示，用火柴棍按如下规律拼图，若第①个图形需要4根火柴棍，则第⑩个图形需要的火柴棍根数为（ ）A．110B．180C．220D．264二．填空题10．用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，如下图所示，第四个图形中需要黑色瓷砖 块，第n个图形中需要黑色瓷砖 块．（用含n的代数式表示）11．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形；…；如此下去．则图⑨中共有 个正方形．12．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中★的个数为 ．13．用黑、白两种颜色的地砖按如上图所示的规律拼成若干个图案，则第10个图案中有白色地砖 块．14．用棋子摆成如图所示的“T”字图案．按这样的规律摆下去，摆成第n个“T”字需 个棋子．（用含n的代数式表示）15．如图，一组数据按图中规律从左向右依次排列，则第11个图中m＝ ．三．解答题16．将边长相等的黑、白两色小正方形按如图所示的方式拼接起来，第1个图由5个白色小正方形和1个黑色小正方形拼接起来，第2个图由8个白色小正方形和2个黑色小正方形拼接起来，第3个图由11个白色小正方形和3个黑色小正方形拼接起来，依此规律拼接．（1）第4个图白色小正方形的个数为 ；（2）第10个图白色小正方形的个数为 ；（3）第n个图白色小正方形的个数为 （用含n的代数式表示，结果应化简）；（4）是否存在某个图形，其白色小正方形的个数为2021个，若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说明理由．17．按如图方式摆放餐桌和椅子：（1）1张餐桌可坐4人，2张餐桌可坐 人．（2）按照如图的方式继续排列餐桌，完成如表．桌子张数34n可坐人数 （3）某班有50人，求需要几张桌子？18．将正方形ABCD（如图1）作如下划分：第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再作划分，得图3，则图3中共有9个正方形；（1）若每次都把左上角的正方形依次划分下去，则第n次划分后，图中共有 个正方形；（2）能否将正方形ABCD划分成有2018个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．（3）如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果吧．计算＝ ．（直接写出答案即可）19．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，…依此类推．（1）阴影部分的面积是 ；（2）受此启发，试求+++…+的值．20．阅读下列材料并完成将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接对应的各分点，则图形中一共有多少个正方形？问题探究：为了解决上面的问题，我们先研究特殊的情形，再逐次递进最后得出结论．探究一：将一个边长为2的正方形四条边分别平分，连接各边对应的中点，则图形中一共有多少个正方形？如图1，连接边长为2的正方形四条边的中点，边长为1的正方形有22＝4个；边长为2的正方形有12＝1个，总共有12+22＝1+4＝＝5个正方形．探究二：将一个边长为3的正方形四条边分别三等分，连接各边对应的三等分点，则图形中一共有多少个正方形？如图2，连接边长为3的正方形四条边对应的三等分点，边长为1的正方形有32＝9个；边长为2的正方形有22＝4个；边长为3的正方形有12＝1个，总共有12+22+32＝1+4+9＝＝14个正方形．探究三：请你仿照上面的方法，探究将边长为4的正方形四条边四等分，连接各边对应的四等分点，则图形中一共有多少个正方形？（在图3中画出示意图，并写出探究过程）探究四：将边长为5的正方形四条边五等分，连接各边对应的五等分点，则图形中一共有 个正方形．问题解决：将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接各边对应的n等分点，则图形中一共有 个正方形？应用拓展：计算：1+3+8+24+…+899＝ ．21．如下图中表示，寻找其中规律，图1正三边形中共有4个点．图2正四边形中共有13个点．图3正五边形中共有26个点．图4正六边形中共有 个点．正七边形中共有 个点．依此类推…图n正n+2边形中共有 个点．参考答案一．选择题1．解：第1个图里有6个点，6＝4+2；第2个图有8个点，8＝4+2×2；第3个有10个点，10＝4+3×2；…则第n个图中点的个数为4+2n，令4+2n＝2022，解得n＝1009．故选：A．2．解：由图可得，第1个图案中白色纸片的个数为：1+1×3＝4，第2个图案中白色纸片的个数为：1+2×3＝7，第3个图案中白色纸片的个数为：1+3×3＝10，…，第n个图案中白色纸片的个数为：1+n×3＝3n+1，令3n+1＝2023，解得n＝674，故选：C．3．解：观察图形的变化可知：第1个图形中圆的个数为4；第2个图形中圆的个数为4+3＝4+3×1＝7；第3个图形中圆的个数为4+3+3＝4+3×2＝10；…则第10个图形中圆的个数为4+3×（10﹣1）＝31．故选：C．4．解：∵第①个图中有点的个数为：5＝1+（1+1）2，第②个图中有点的个数为：12＝1+2+（1+2）2，第③个图中有点的个数为：22＝1+2+3+（1+3）2，第④个图中有点的个数为：35＝1+2+3+4+（1+4）2，…，∴第n个图中有点的个数为：1+2+3+…+n+（1+n）2＝+（1+n）2，∴第⑩个图中有点的个数为：+（1+10）2＝176．故选：B．5．解：∵每个峰需要5个数，∴5×5＝25，25+1+3＝29，∴“峰6”中C位置的数的是﹣29，∵（2021﹣1）÷5＝404，∴﹣2021为“峰404”的第五个数，排在E的位置．故选：B．6．解：由题意可得，第n个图形中可分为上面是n个星星和下面摆成的三角形形状的共个星星，∴第n个图形中图形中共有星星的个数为：n+＝n+++1＝+ +1（个），∴当n＝8时，++1＝++1＝32+20+1＝53，故选：C．7．解：观察发现：第一个图形有3×2﹣3+1＝4个三角形；第二个图形有3×3﹣3+1＝7个三角形；第一个图形有3×4﹣3+1＝10个三角形；…第n个图形有3（n+1）﹣3+1＝（3n+1）个三角形；当3n+1＝6067，解得n＝2022．故选：D．8．解：由题意可得，前1行的数字个数总数是1＝12，前2行的数字个数总数是4＝22，前3行的数字个数总数是9＝32，…，所以前n行的数字个数总数是n2，当n＝2020时，n2＝20202＝4080400，即a是第4080400+9＝4080409个数字，4080409÷3＝1360136……1，∴a＝1，当n＝4时，n2＝42＝16，即b是第16+7＝23个数字，23÷3＝7……2，∴b＝2，∴﹣a b＝﹣12＝﹣1．故选：A．9．解：由图形的变化知：第1个图形需要的火柴棍根数为4＝2×1×（1+1）；第2个图形需要的火柴棍根数为12＝2×2×（2+1）；第3个图形需要的火柴棍根数为24＝2×3×（3+1）；第4个图形需要的火柴棍根数为40＝2×4×（4+1）；…，第n个图形需要的火柴棍根数为[2n（n+1）]，∴第⑩个图形需要的火柴棍根数为2×10×（10+1）＝220，故选：C．二．填空题10．解：n＝1时，需要黑瓷砖7块；n＝2时，需要黑瓷砖11块；n＝3时，需要黑瓷砖15块；…∴当n＝n时，需要黑瓷砖4n+3块，所以当n＝4时，需要的黑瓷砖数为19块．11．解：根据题意：从图1开始，每次分割，都会增加3个正方形．故图⑨中共有3×9﹣2＝25个正方形．12．解：根据已知图形得：第1个图形五角星个数：4＝1×3+1，第2个图形五角星个数：7＝2×3+1，第3个图形五角星个数：10＝3×3+1，第4个图形五角星个数：13＝4×3+1，由此规律得：第n个图形中共有（3n+1）个图形；故答案为：3n+1．13．解：结合图形，第一个图案有白色地砖6块，后边每多一个图案，则多4块白色地砖．根据这个规律第n个图案中有白色地砖：（4n+2）块．第10个图案中有白色地砖的块数为：4×10+2＝42（块）．故答案为：42．14．解：由题意可得：摆成第1个“T”字需要5个棋子；摆成第2个“T”字需要8个棋子，8＝5+3＝5+3×1；摆成第3个“T”字需要11个棋子，11＝5+3+3＝5+3×2；…由此可得出规律：摆成第n个“T”字需要5+3（n﹣1）＝3n+2．故答案为（3n+2）．15．解：∵左上角的数为：0，2，4，...，∴第n个数为2（n﹣1），∵右上角的数为：1，2，3，...，∴第n个数为：n，∵左下角的数为：3，6，8，...，∴第n个数为：3n，∵1＝3×0+1，14＝6×2+2，39＝9×4+3，∴右下角第n个数为：3n×2（n﹣1）+n＝6n2﹣3n，∵第11个图中，右上角的数为11，∴m＝6×112﹣3×11＝671，故答案为：671．三．解答题故答案为：3（n﹣1）．16．解：（1）由题意得：第4个图中白色小正方形的个数为：11+3＝14（个），故答案为：14；（2）∵第1个图有5个白色小小正方形，第2个图有8个白色小正方形，即8＝5+3＝5+3×1，第3个图有11个白色小正方形，即11＝5+3+3＝5+3×2，..．∴第n个图有白色小正方形的个数为：5+3（n﹣1）＝3n+2，∴第10个图中小正方形的个数为：3×10+2＝32（个），故答案为：32；（3）由（2）得：第n个图有白色小正方形的个数为3n+2，故答案为：3n+2；（4）存在，设第n个图白色小正方形的个数为2021，则3n+2＝2021，解得n＝673，所以第673个图白色小正方形的个数为2021．17．解：（1）2张餐桌可坐4+2＝6（人），故答案为：6；（2）3张餐桌可坐4+2+2＝8（人），4张餐桌可坐4+2+2+2＝10（人），则n张餐桌可坐4+2（n﹣1）＝（2n+2）人，故答案为：8，10；（3）当有50人时，则有2n+2＝50，解得：n＝24．答：需要24张桌子．18．解：（1）∵第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，∴第n次可得（4n+1）个正方形，故答案为：4n+1；（2）不能，∵4n+1＝2018，解得：n＝504.25，∴n不是整数，∴不能将正方形ABCD划分成有2018个正方形的图形；（3）由题意：＝S正方形ABCD﹣（）n+1•S正方形ABCD＝1﹣．故答案为：1﹣．19．解：∵观察图形发现部分①的面积为，部分②的面积为＝，…，部分n的面积，∴（1）阴影部分的面积是＝；（2）原式＝1﹣＝；20．解：探究三：如图，边长为1的正方形有42＝16个；边长为2的正方形有32＝9个；边长为3的正方形有22＝4个，边长为4的正方形有12＝1个，总共有12+22+32+42＝1+4+9+16＝＝30个正方形；探究四：将边长为5的正方形四条边五等分，连接各边对应的五等分点，则图形中正方形的个数为：12+22+32+42+52＝1+4+9+16+25＝＝55个，故答案为：55；问题解决：将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接各边对应的n等分点，则图形中正方形的个数为12+22+32+…+n2＝1+4+9+…+n2＝个，故答案为：；应用拓展：原式＝1+（22﹣1）+（32﹣1）+（42﹣1）+…+（302﹣1）﹣（42﹣1）＝12+22+32+42+…+302﹣29﹣15＝﹣44＝9411．故答案为：9411．21．解：图1为正三边形中共有4个点，4＝6×1﹣2；图2为正四边形中共有13个点，13＝8×2﹣3；图3为正五边形中共有26个点，26＝10×3﹣4；∴图4为正六边形中点的个数为12×4﹣5＝43，图5为正七边形中点的个数为14×5﹣6＝64，…，图n为正n+2边形中点的个数为2n（n+2）﹣（n+1）＝2n2+3n﹣1．故答案为：43，64，（2n2+3n﹣1）．。
2021-2022学年北师大版九年级数学中考二轮复习《探索与表达规律》专题突破训练2(附答案)
2021-2022学年北师大版九年级数学中考二轮复习《探索与表达规律》专题突破训练2（附答案）1．观察依次排列的一串单项式x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5，…，按你发现的规律继续写下去，第8个单项式是（）A．﹣128x7B．﹣128x8C．﹣256x7D．﹣256x82．根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为（）A．100B．121C．144D．1693．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．20194．按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（）A．B．C．D．5．按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是（）A．n2a n+1B．n2a n﹣1C．n n a n+1D．（n+1）2a n6．观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，则2+22+23+…+22019的末位数字是（）A．8B．4C．6D．07．仔细观察下列数字排列规律，则a＝（）A．206B．216C．226D．2368．观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7…将这列数排成下列形式：记a ij为第i行第j列的数，如a23＝4，那么a98是（）A．56B．72C．88D．989．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…解答下列问题：3+32+33+34+…+32022的末尾数字是（）A．3B．2C．9D．010．如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（）A．A1B．B1C．A2D．B311．小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．2022B．2024C．2026D．202812．如图，按大拇指，食指，中指，无名指，小指，再无名指，中指……的顺序数数，当数到2026时，对应的手指是（）A．食指B．中指C．无名指D．小指13．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：（2）、（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），…，现有等式A m＝（i，j）表示正偶数m是第i组第j个数（从左往右数）．如A2＝（1，1），A10＝（3，2），A18＝（4，3），则A200可表示为（）A．（14，9）B．（14，10）C．（15，9）D．（15，10）14．四个小朋友站成一排，老师按图中所示的规则数数，数到2019时对应的小朋友可得一朵红花．那么得红花的小朋友是（）A．小沈B．小叶C．小李D．小王15．观察下列关于x、a的单项式的特点：a，﹣，，﹣，……按此规律，第10个单项式是（）A．B．C．D．16．一组按规律排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，……，其中第10个式子的次数是（）A．10B．17C．19D．2117．任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，…．这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．该“卡普雷卡尔黑洞数”为（）A．594B．459C．954D．49518．已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…以此类推，则a2021的值为（）A．2020B．﹣2020C．﹣1010D．101019．有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，﹣2，7，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，﹣11，﹣2，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（）A．2015B．1036C．518D．25920．已知一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第4个数是（）A．﹣4954B．4954C．﹣4953D．495321．有一组数：﹣，，﹣，，﹣…，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n个数是（）A．（﹣1）n+1B．（﹣1）n+1C．（﹣1）n D．（﹣1）n22．观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10，12，…，若最后三个数之和是3000，则n等于（）A．500B．501C．1000D．100223．某校七年级（1）班的小新同学，观察下面三行数后，用乘方的形式表示了每行数中有规律的某一个，其中正确的是（）（1）﹣3，9，﹣27，81，﹣243…；（2）﹣5，7，﹣29，79，﹣245…；（3）﹣1，3，﹣9，27，﹣81…．A．第（1）行第9个数是39B．第（2）行第16个数是316+2C．第（3）行第2021个数是﹣32021D．第（3）行第n个数是（﹣1）n3n﹣124．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是．如果a1＝﹣3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…依此类推，那么a1﹣a2+a3﹣a4…+a401﹣a402+a403﹣a404的值是（）A．B．﹣3C．D．25．将正偶数按如图排成5列：根据上面的排列规律，则2020应在（）A．第253行，第2列B．第252行，第2列C．第253行，第3列D．第252行，第3列26．观察下列各式：13＝1213+23＝3213+23+33＝6213+23+33+43＝102……猜想13+23+33+…+103＝（）A．502B．552C．562D．60227．如图，按照所示的运算程序计算：若开始输入的x值为10，则第1次输出的结果为5，第2次输出的结果为8，…，第2020次输出的结果为（）A．1B．2C．4D．628．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…第2016次输出的结果为（）A．3B．6C．4D．829．如图，将整数按规律排列，若有序数对（a，b）表示第a排从左往右第b个数，则（9，4）表示的数是（）A．49B．﹣40C．﹣32D．2530．将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，…，记a1＝1，a2＝，a3＝…，S1＝a1，S2＝a1+a2，S3＝a1+a2+a3，…，S n＝a1+a2+…+a n，则S2019＝．31．观察下列各项：1，2，3，4，…，则第n项是．32．设a1、a2、a3，…，a2021是从﹣1，0，2这三个数中取值的一列数，若a1+a2+a3+…+a2021＝9，a12+a22+a32+…+a20212＝51，则a13+a23+a33+…+a20213＝．参考答案1．解：（4x3）÷（﹣2x2）＝﹣2x，（﹣8x4）÷（4x3）＝﹣2x，（16x5）÷（﹣8x4）＝﹣2x，…所以从第二个单项式起，每一个单项式与它前面的单项式的商都是﹣2x；按发现的规律可知：x，﹣2x2，4x3＝22x3，﹣8x4＝﹣23x4，16x5＝24x5，…所以第8个单项式是﹣27x8＝﹣128x8．故选：B．2．解：通过观察可得规律：p＝n2，q＝（n+1）2﹣1，∵q＝143，∴（n+1）2﹣1＝143，解得：n＝11，∴p＝n2＝112＝121，故选：B．3．解：由题意可知：行数为1的方阵内包含“1”，共1个数；行数为2的方阵内包含“1、3、5、7”，共22个数；行数为3的方阵内包含“1、3、5、7、9、11、13、15、17”，共32个数；∴行数为32的方阵内包含“1、3、5、7、......”共322个数，即共1024个数，∴位于第32行第13列的数是连续奇数的第（1024﹣12）＝1012个数，∴位于第32行第13列的数是：2×1012﹣1＝2023．故选：B．4．解：观察这排数据发现：分子为连续的奇数，分母为序号的平方+1，∴第n个数据为：．当n＝3时，□的分子为5，分母＝32+1＝10，∴这个数为＝，故选：D．5．解：∵第1个单项式a2＝12•a1+1，第2个单项式4a3＝22•a2+1，第3个单项式9a4＝32•a3+1，第4个单项式16a5＝42•a4+1，……∴第n（n为正整数）个单项式为n2a n+1，故选：A．6．解：∵2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，2019÷4＝504…3，∴22019的个位数字与23的个位数字相同是8，故2+22+23+24+25+…+22019的末位数字是2+4+8+6+…+2+4+8的尾数，而2+4+8＝14，则2+22+23+24+25+…+22019的末位数字是4．故选：B．7．解：观察发现：2＝1×2﹣0；10＝3×4﹣2；26＝5×6﹣4；50＝7×8﹣6；…a＝15×16﹣14＝226，故选：C．8．解：由图可知，第一行1个数，第二行3个数，第三行5个数，…，则第n行有（2n﹣1）个数，这列数奇数个数是负的，偶数个数正的，第8行有2×8﹣1＝15个数，则前8行一共有1+3+5+…+15＝＝64，故a98是64+8＝72，故选：B．9．解：∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，∴3＝3，3+32＝12，3+32+33＝39，3+32+33+34＝120，3+32+33+34+35＝363，…，∴3的末尾数字是3，3+32的末尾数字是2，3+32+33的末尾数字是9，3+32+33+34的末尾数字是0，3+32+33+34+35的末尾数字是3，…，由上可得，上面式子的末尾数字以3，2，9，0依次出现，∵2022÷4＝505…2，∴3+32+33+34+…+32022的末尾数字是2，故选：B．10．解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，整理得：2n＝260，则n不是整数，故A1的值不可以等于789；A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，整理得：2n＝254，则n不是整数，故A2的值不可以等于789；B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，整理得：2n＝256＝28，则n是整数，故B1的值可以等于789；B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，整理得：2n＝252，则n不是整数，故B3的值不可以等于789；故选：B．11．解：因为3，6，9，12，…称为三角形数，所以三角数都是3的倍数，因为4，8，12，16，…称为正方形数，所以正方形数都是4的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的是12的倍数，因为2022÷12＝168…6，2024÷12＝168…8，2026÷12＝168…10，2028÷12＝169，所以2028既是三角形数又是正方形数．故选：D．12．解：根据题意，按大拇指，食指，中指，无名指，小指，再无名指，中指……的顺序数数，如右图，可观察出第1次数时是5个数，其余都是4个数，且每两组循环按照“无名指，中指，食指，大拇指，食指，中指，无名指，小指”循环一次，∴2026﹣5＝2013，2021÷8＝252……5，∴5对应的应是食指，故选：A．13．解：200是第100个数，设200在第n组，则1+2+3+…+n＝n（n+1）当n＝13时，n（n+1）＝91，当n＝14时，n（n+1）＝105，∴第100个数在第14组，第14组的第一个数是2×91+2＝184，则200是第（+1）＝9个数，∴A200＝（14，9）．故选：A．14．解：由图可知，第一排所报数字有4个，以后每排3个，偶数排从大到小，前三个报数；奇数排从小到大，后三个报数；∵（2019﹣4）÷3＝2015÷3＝671…2，∴2019在第673排第2个数字，∴得红花的小朋友是小李，故选：C．15．解：a，﹣，，﹣，……按此规律，第10个单项式的符号是负号，分子是10×11x2a10，分母是每一项都等于其前两项的和，即3、5、8、13、21、34、55、89、144、233．∴第10个单项式是﹣x2a10．故选：D．16．解：由a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7……可得规律：第n个式子是a n+（﹣1）n+1b2n﹣1，∴第10个式子是a10﹣b19，∴第10个式子的次数是19，故选：C．17．解：若选的数为325，则用532﹣235＝297，以下按照上述规则继续计算：972﹣279＝693，963﹣369＝594，954﹣459＝495，954﹣459＝495，…．故“卡普雷卡尔黑洞数”是495．故选：D．18．解：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|＝﹣|0+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，a5＝﹣|a4+4|＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，a6＝﹣|a5+5|＝﹣|﹣2+5|＝﹣3，a7＝﹣|a6+6|＝﹣|﹣3+6|＝﹣3，…以此类推，经过前几个数字比较后发现：从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值是其顺序数的一半的相反数，即a2n＝﹣n，则a2021＝﹣+1＝﹣1011+1＝﹣1010，故选：C．19．解：∵第一次操作增加数字：﹣2，7，第二次操作增加数字：5，2，﹣11，9，∴第一次操作增加7﹣2＝5，第二次操作增加5+2﹣11+9＝5，即每次操作加5，第100次操作后所有数之和为2+7+9+100×5＝518．故选：C．20．解：第1行：1第2行：﹣2，3第3行：﹣4，5，﹣6第4行：7，﹣8，9，﹣10第5行：11，﹣12，13，﹣14，15…∴第n行第一个数为（﹣1）[+1]，∴第100行4951，﹣4952，4953，﹣4954...．故选：A．21．解：∵有一组数：﹣，，﹣，，﹣…，∴第n个数为（﹣1）n•，故选：C．22．解：根据题意可得第n个数为2n，则后三个数分别为2n﹣4，2n﹣2，2n，∴2n﹣4+2n﹣2+2n＝3000，解得n＝501．故选：B．23．解：（1）﹣3，9，﹣27，81，﹣243…；∴第n个数为：（﹣1）n×3n，∴第（1）行第9个数是﹣39，故A错；（2）﹣5，7，﹣29，79，﹣245…；∴第n个数为：（﹣1）n×3n﹣2，∴第（2）行第16个数是316﹣2，故B错；（3）﹣1，3，﹣9，27，﹣81…；∴第n个数为：（﹣1）n3n﹣1，∴第（3）行第2021个数是﹣32020，故C错D对；故选：D．24．解：∵a1＝﹣3，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣3，……∴这个数列以﹣3，，依次循环，∵404÷3＝134…2，∴a403的值是﹣3，a404的值是，那么a1﹣a2+a3﹣a4…+a401﹣a402+a403﹣a404＝﹣3﹣++3+﹣﹣3﹣++3+﹣﹣ (3)＝﹣3﹣＝﹣．故选：A．25．解：由已知，奇数行从小到大排列，从第二列开始到第五列结束，有四个数，偶数行从大到小排列，从第一列开始到第四列结束，有四个数；∵2020＝2×1010，1010÷4＝252…2，∴2020是第1010个偶数，在第253行，∴2020在第253行第3列，故选：C．26．解：13＝12，13+23＝32，13+23+33＝62，13+23+33+43＝102，……所以13+23+33+…+103＝（1+2+3+…+10）2＝552，故选：B．27．解：根据运算程序可知：开始输入的x值为10，第1次输出的结果为5，第2次输出的结果为8，第3次输出的结果为4，第4次输出的结果为2，第5次输出的结果为1，第6次输出的结果为4，…，发现：从第3次输出的结果开始，4，2，1，三个数循环，所以2020﹣2＝2018，2018÷3＝672…2，所以第2020次输出的结果为2．故选：B．28．解：由题意可得，开始输入的x值为48，第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，第3次输出的结果为6，第4次输出的结果为3，第5次输出的结果为8，第6次输出的结果为4，第7次输出的结果为2，第8次输出的结果为1，第9次输出的结果为6，…，由上可得，输出结果从第三次开始，依次以6，3，8，4，2，1循环出现，∵（2016﹣2）÷6＝335…4，∴第2016次输出的结果为4，故选：C．29．解：根据有序数对（m，n）表示第m行从左到右第n个数，对如图中给出的有序数对和（3，2）表示整数5可知：（3，2）：+2＝5；（3，1）：﹣（+1）＝﹣4；（4，4）：﹣（+4）＝﹣10；…由此可以发现，对所有数对（m，n）（n≤m）有，（m，n）：（1+2+3+…+m﹣1）+n＝+n．表示的数是偶数时是负数，奇数时是正数，所以（9，4）表示的数是：﹣（+4）＝﹣40．故选：B．30．解：∵1+2+3+…+n＝，+3＝2019，∴前2019个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个，3个，∴S2019＝1×1+2×+3×+…+63×+3×＝1+1+ (1)＝63．故答案为63．31．解：∵一列数为1，2，3，4，…，、∴这列数可以写成：1，2，3，4，…，∴第n项是n+，故答案为：n+．32．解：设这一列数中有x个﹣1，y个2，∵a1+a2+a3+…+a2021＝9，a12+a22+a32+…+a20212＝51，∴﹣x+2y＝9，（﹣1）2•x+22•y＝51，∴，解得：，∴a13+a23+a33+…+a20213＝x•（﹣1）3+y•23＝﹣x+8y＝﹣11+80＝69．故答案为：69．。
2021年九年级数学中考复习——专题：找规律之图形变化类(六)【有答案】
2021年九年级数学中考复习——专题：找规律之图形变化类（六）1．将图1所示的正六边形进行分割得到图2，再将图2中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图3，再将图3中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割…，则第2014个图形中，共有（ ）个正六边形．A ．4027B ．6040C ．10066D ．以上都不对2．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第6个图形有（ ）个小圆．A ．42B ．44C ．46D ．483．在图1、图2、图3…中，菱形A 1B 1C 1D 1、菱形A 2B 2C 2D 2、菱形A 3B 3C 3D 3…都是由全等的小三角形拼成，菱形A n B n ∁n D n 中有200个全等的小三角形，则n 的值为（ ）A ．10B ．15C ．20D ．254．下列图形都是由同样大小的黑点按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有4个黑点，第②个图形中一共有9个黑点，第③个图形中一共有14个黑点，…，则第⑩个图形中黑点的个数是（ ）A．44 B．48 C．49 D．545．如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…，则第10个图形中花盆的个数为（）A．110 B．120 C．132 D．1406．下列图形都是由边长为“1”的小正方形按一定规律组成，其中第1个图形有9个边长为1的小正方形，第2个图形有14个边长为1的小正方形…则第10个图形中边长为1的小正方形的个数为（）A．72 B．64 C．54 D．507．如图，把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间一个小三角形，仅剩下的三个小三角形再重复以上做法…一直到第六次挖去后剩下的三角形有（）个．A．35B．35+1 C．36D．36+18．用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第13个“口”字需用棋子颗数为（）A．52 B．50 C．48 D．469．下列各图形都是由同样大小的菱形按一定规律组成的，其中第（1）个图形中菱形的个数是1，第（2）个图形中菱形的个数是5，第（3）个图形中菱形的个数是14，第（4）个图形中菱形的个数是30，…，则第（8）个图形中菱形的个数是（）A．196 B．204 C．214 D．22810．如图所示图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中一共有2个圆；第（2）个图形中一共有7个圆；第（3）个图形中一共有16个圆；第（4）个图形中一共有29个圆，…，则第（20）个图形中圆的个数为（）A．781 B．784 C．787 D．67811．观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出第n个图中最小的三角形的个数有（）个．A．4n B．3n﹣2 C．n4D．4n﹣112．用棋子按下列方式摆图形，第一个图形有1枚棋子，第二个图形有5枚棋子，第三个图形有12枚棋子，…依此规律，第7个图形比第6个图形多（）枚棋子．A．20 B．19 C．18 D．1713．下列图形是按一定规律排列的，依照此规律，第15个图形中共有★（）A．30个B．46个C．53个D．37个14．有一些黑、白两种颜色的小正方体积木，把它们摆成如图的形状．已知相邻的积木颜色不同（有公共面的两块积木叫做相邻的积木），标有A的积木为黑色．图中共有黑色积木多少块？（）A．15块B．16块C．17块D．18块15．用同样大小的黑色五角星按如图的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第10个图案需要的黑色五角星的个数是（）A．15 B．16 C．17 D．1816．四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色按逆时针方向改变一次，则开灯32分钟四盏灯的颜色排列为（）A．B．C．D．17．如图，以O为端点画五条射线后OA，OB，OC，OD，OE，OF，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第1314个点在（）A．射线OC B．射线OD C．射线OE D．射线OF18．如图，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形，则第6个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于（）A．60 B．58 C．45 D．4019．如图，下列图案是相同的小正方形按一定的规律拼搭而成：第一个图案有2个小正方形，第2个图案有4个小正方形，…，依次规律，第10个图案有小正方形的个数是（）A．54个B．55个C．56个D．57个20．如图案是由边长为单位长度的小正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第5个图案中小正方形的个数是（）A．25 B．33 C．41 D．61。
2021年九年级数学中考复习—— 专题：找规律之图形变化类(二)(含答案)
2021年九年级数学中考复习——专题：找规律之图形变化类（二）1．一电子青蛙落在数轴上的原点，第一步向左跳1个单位到点A1，第二步由点A1向右跳2个单位到点A2，第三步由点A2向左跳3个单位到点A3，第四步由点A3向右跳4个单位到点A4，…，按以上规律进行下去．（1）求跳了第五步后得到的点A5所表示的数？（2）求跳了第100步后得到的点A100所表示的数？（3）若电子青蛙的起点不是数轴上的原点，而是A点，跳跃方式不变，当跳了第100步后，落在数轴上的点A100所表示的数恰好是20.07，试求电子青蛙的起点A所表示的数．2．如图所示，用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：（1）第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子．（2）第n个“上”字需用枚棋子．（3）如果某一图形共有102枚棋子，你知道它是第几个“上”字吗？3．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，完成下列题目：（1）填写下表：图案序号 1 2 3 4 …N〇个数 4 7 …（2）若按上面的规律继续摆放，是否存在第n个图形，其中恰好含有2020个〇？4．用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按如图所示的规律拼图，请根据图中的信息完成下列的问题．（1）在第5个图中用了块黑色正方形；（2）第n个图形要用块黑色正方形；（3）如果有足够多的白色正方形，能不能恰好用完90块黑色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由．5．【规律探索】如图所示的是由相同的小正方形组成的图形，每个图形的小正方形个数为S n ，n 是正整数．观察下列图形与等式之间的关系【规律归纳】（1）S 9﹣S 8＝ ；S n ﹣S n ﹣1＝ ； （2）S 9+S 8＝ ；S n +S n ﹣1＝ ； 【规律应用】 （3）计算的结果为 ．6．观察下列图形：如果按这个规律一直排到第n个图形，请探究下列问题：，问：它们之间（1）设第n个图形和第n﹣1个图形中所有三角形的个数分别为a n、a n﹣1有什么数量关系？请写出这个关系式．（2）请你用含n的代数式来表示a n，并证明你的结论．7．如图所示，将一张矩形纸片对折，可得到一条折痕（图中的虚线），连续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，连续操作三次可以得到7条折痕，那么对折n次可得到折痕的条数是．…8．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推．（1）图1的阴影部分的面积是；（2）受此启发，得到++++的值是；（3）若按这个方式继续分割下去，受前面问题的启发，可求得+++…+的值为；（4）请你利用图2，再设计一个能求+++…+的值的几何图形．9．【问题提出】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有多少种不同的选择方法？【问题探究】为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论探究一：如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，会有多少种不同的选择方法？如图1，当m＝3，n＝2时，显然有2种不同的选择方法；如图2，当m＝4，n＝2时，有1，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法；如图3，当m＝5，n＝2时，有种不同的选择方法；……由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有种不同的选择方法．探究二：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择3个，4个……n（n≤100）个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空1 2 3 …93 94 95 96 97 98 99 100 从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有种不同的选择方法；从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有种不同的选择方法；……从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有种不同的选择方法；……由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100）个连续的自然数，有种不同的选择方法．【问题解决】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有种不同的选择方法．【实际应用】我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．（1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他共有种不同的选择．（2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排3号到15号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有种不同的选择方法．【拓展延伸】如图4，将一个2×2的图案放置在8×6的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形，共有种不同的放置方法．10．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为．第2层第1层…第n层（1）当图（1）中小圆圈有10层的时候小圆圈的个数是：；（2）图（2）中的小圆圈一共有个（用含n的代数式表示）（3）如果图（1）中的圆圈共有13层，图（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边第三个圆圈中的数是；（4）我们自上往下，在每个圆圈中都按图（4）的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，一共填写13层求图（4）中所有圆圈中各数的绝对值之和．参考答案1．解：（1）0﹣1+2﹣3+4﹣5＝﹣3，表示的数是﹣3；∴A5（2）0﹣1+2﹣3+4﹣…﹣99+100＝﹣1×50+100＝﹣50+100＝50，表示的数是50；∴A100所表示的数是x，（3）设电子青蛙的起点A则x﹣1+2﹣3+4﹣…﹣99+100＝20.07，即x+50＝20.07，解得x＝﹣29.93．所表示的数是﹣29.93．故电子青蛙的起点A2．解：（1）∵第一个“上”字需用棋子4×1+2＝6枚；第二个“上”字需用棋子4×2+2＝10枚；第三个“上”字需用棋子4×3+2＝14枚；∴第四个“上”字需用棋子4×4+2＝18枚，第五个“上”字需用棋子4×5+2＝22枚，故答案为：18，22；（2）由（1）中规律可知，第n个“上”字需用棋子4n+2枚，故答案为：4n+2；（3）根据题意，得：4n+2＝102，解得：n＝25，答：第25个上字共有102枚棋子．3．解：（1）观察图形的变化，得第1个图形有1+3×1＝4个〇第2个图形有1+3×2＝7个〇第3个图形有1+3×3＝10个〇第4个图形有1+3×4＝13个〇…第n个图形有1+3×n＝（3n+1）个〇故答案为：10；13；3n+1．（2）∵3n+1＝2020，解得，n＝673，∴第673图恰好含有2020个〇，故存在第n个图形，其中恰好含有2020个〇．4．解：（1）观察如图可以发现，第1个图中，需要黑色正方形的块数为3×1+1＝4，第2个图中，需要黑色正方形的块数为3×2+1＝7；第3个图中，需要黑色正方形的块数为3×3+1＝10；…由此可以发现，第几个图形，需要黑色正方形的块数就等于3乘以几，然后加1．所以，按如图的规律继续铺下去，那么第n个图形要用3n+1块黑色正方形；所以第5个图形中，要用：3×5+1＝16（块）黑色正方形；故答案是：16；（2）由（1）知，第n个图形要用3n+1块黑色正方形；故答案是：（3n+1）；（3）假设第n个图形恰好能用完90块黑色正方形，则3n+1＝90，解得：n＝．因为n不是整数，所以不能．5．解：（1）根据图形与等式之间的关系可知：S 2﹣S1＝2；S 3﹣S2＝3；S 4﹣S3＝4；…发现规律：S n ﹣S n ﹣1＝n ；∴S 9﹣S 8＝9； 故答案为9、n ； （2）S 2+S 1＝22；S 3+S 2＝32； S 4+S 3＝42；… 发现规律：S n +S n ﹣1＝n 2；∴S 9+S 8＝92＝81； 故答案为81、n 2；（3）结合（1）（2）可知：＝＝．故答案为．6．解：（1）按题中图形的排列规律可得：an ＝3a n ﹣1+2．（2）由（1）得：an ＝3a n ﹣1+2，a n ﹣1＝3a n ﹣2+2，两式相减得：an ﹣a n ﹣1＝3（a n ﹣1﹣a n ﹣2）①当n 分别取3、4、5、n 时，由①式可得下列（n ﹣2）个等式：a 3﹣a 2＝3（a 2﹣a 1），a 4﹣a 3＝3（a 3﹣a 2），a 5﹣a 4＝3（a 4﹣a 3）， an ﹣a n ﹣1＝3（a n ﹣1﹣a n ﹣2）．显然an ﹣a n ﹣1≠0，以上（n ﹣2）个等式的左右两边分别相乘约去相同的项后得：an ﹣a n ﹣1＝3n ﹣2（a 2﹣a 1）②∵a 2﹣a 1＝17﹣5＝12，由（1）又可知a n ﹣1＝（a n ﹣2），将它们代入②式即得：a n ＝2×3n ﹣1． 7．解：根据题意可知， 第1次对折，折痕为1， 第2次对折，折痕为1+2，第3次对折，折痕为1+2+22，第n次对折，折痕为1+2+22+…+2n﹣1＝2n﹣1．故答案为：2n﹣1．8．解：（1）∵观察图形发现部分①的面积为：；部分②的面积为＝；…∴图1的阴影部分的面积是；故答案为：；（2）++++＝1﹣＝；故答案为：；（3）+++…+＝1﹣；故答案为：1﹣；（4）如图为+++…+的值的几何图形，9．解：探究1：当m＝5，n＝2时，由图可知有4种不同的选择方法，根据根据规律可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有（m﹣1）种不同的选择方法；故答案为：4、m﹣1．探究2：选择3个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少2，选择4个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少3，以此类推，选择8个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少7，选择n个连续自然数，选择方法的数量比数的个数少（n﹣1）；故从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有100﹣2＝98种不同的选择方法；从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有100﹣3＝97种不同的选择方法；……从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有100﹣7＝93种不同的选择方法；……由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100）个连续的自然数，有（100﹣n+1）种不同的选择方法．故答案为：98、97、93、100﹣n+1．【问题解决】由规律可知：从m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有（m﹣n+1）种不同的选择方法．故答案为：（m﹣n+1）．【实际应用】（1）从连续7天选择连续2天，则m＝7，n＝2，总共有（7﹣2+1）＝6种选择；（2）3号到15号总共13张电影票，选择3连号，则m＝13，n＝3，总共有（13﹣3+1）＝11种不同的选择；故答案为：6、11．【拓展延伸】图案向右移动，每次一格，可看作8选2，可得7种放置方法，图案向下移动，每次一格，可看作，6选2，可得5种放置方法，故总共7×5＝35种放置方法．故答案为：35．10．解：（1）如图（1），当小圆圈有10层时，图中共有：1+2+3+…+10＝55个圆圈；故答案为：55；（2）当有n层时，一个正三角形共有：1+2+3+…+n＝个圆圈，∴图（2）中的小圆圈一共有：n（n+1）个，故答案为：n（n+1）；（3）图（1）中，当有12层时，图中共有：1+2+3+…+12＝78个圆圈；∴如果图（1）中的圆圈共有13层，最底层最左边第一个圆圈中的数是79，则第三个圆圈中的数是：78+3＝81，故答案为：81；（4）图4中所有圆圈中共有1+2+3+…+13＝＝91个数，其中23个负数，1个0，67个正数，所以图4中所有圆圈中各数的绝对值之和为：|﹣23|+|﹣22|+...+|﹣1|+0+1+2+ (67)＝（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+67），＝276+2278，＝2554．。
2021年九年级数学中考复习—— 专题：找规律之图形变化类(三)
2021年九年级数学中考复习——专题：找规律之图形变化类（三）1．小明同学对平面图形进行了自主探究：图形的顶点数V，被分成的区域数F，线段数E 三者之间是否存在确定的数量关系．如图是他在探究时画出的5个图形：（1）根据上图完成下表：平面图形V F E平面图形（1） 3 6平面图形（2） 5 8平面图形（4）10 6（2）猜想：一个平面图形中顶点数V，区域数F，线段数E之间的数量关系是；（3）计算：已知一个平面图形有24条线段，被分成9个区域，则这个平面图形的顶点有个．2．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放．根据图中小正方形的排列规律解答下列问题：（1）第5个图中有个小正方形，第6个图中有个小正方形；（2）写出你猜想的第n个图中小正方形的个数是（用含n的式子表示）．3．观察如图，填空：4．将图1中的正方形剪开得到图2，则图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中4个较小的正方形中的一个剪开得到图4，则图4中共有10个正方形，照这个规律剪下去：（1）根据图中的规律补全表：图形标号 1 2 3 4 5 6 正方形个数 1 4 7 10（2）第n个图形中有多少个正方形？（3）当n＝673时，图形中有多少个正方形？5．用火柴棒按照如图示的方式摆图形．（1）请根据图填写下表：图形编号 1 2 3 4 5 …7 …火柴棒根数（2）第n个图形需要多少根火柴棒（用含n的代数式表示）6．某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式：（1）对于方式一，4张桌子拼在一起可坐多少人？n张桌子呢？对于方式二呢？（2）该餐厅有40张这样的长方形桌子，按方式一每5张拼成一张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？按方式二呢？（3）在（2）中，若改成每8张拼成一张大桌子，则共可坐多少人？（4）一天中午，该餐厅来了98为顾客共同就餐，但餐厅中只有25张这样的长方形桌子可用，若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆餐桌呢？7．如图，一圆桌周围有20个箱子，依顺时针方向编号1～20．小甬在1号箱子中丢入一颗红球后，沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子就依下列规则丢入一颗球：（1）若前一个箱子丢红球，经过的箱子就丢绿球．（2）若前一个箱子丢绿球，经过的箱子就丢白球．（3）若前一个箱子丢白球，经过的箱子就丢红球．已知他沿着圆桌走了100圈，求4号箱内有几颗红球．8．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．（1）图②有个三角形；图③有个三角形；（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有个三角形（用含n的代数式表示）．（3）是否存在正整数n，使得第n个图形中存在2018个三角形？如果存在，请求出n 的值；如果不存在，请说明理由．9．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，…，按此规律，求图8、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1＝6个；图2中黑点个数是6×2＝12个；图3中黑点个数是6×3＝18个；…，所以容易求出图8、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第6个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于331吗？请求出是第几个点阵．10．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．尝试（1）求前4个台阶上数的和是多少？（2）求第5个台阶上的数x是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和．发现试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．参考答案1．解：（1）通过观察图形的变化可知：平面图形（1）中顶点数V＝4，区域数F＝3，线段数E＝6，平面图形（2）中顶点数V＝5，区域数F＝4，线段数E＝8，平面图形（3）中顶点数V＝10，区域数F＝6，线段数E＝15．故答案为4、4、15．（2）根据（1）中所得结果可知：平面图形中顶点数V，区域数F，线段数E之间的数量关系为V+F＝E+1或V+F﹣E＝1．故答案为V+F＝E+1或V+F﹣E＝1．（3）根据题意，得E＝24，F＝9，∵V+F＝E+1，∴V＝24+1﹣9＝16．故答案为16．2．解：（1）∵第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；…；∴第5个图形共有小正方形的个数为6×6+5＝41，第6个图形共有小正方形的个数为7×7+6＝55，故答案为：41、55；（2）由（1）知第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n＝n2+3n+1，故答案为：n2+3n+1．3．解：观察图形变化可知：第1个图形中黑心圈的个数为8＝1×6+2，五角星的个数为1＝12，两种图形的总和为8+1＝9；第2个图形中黑心圈的个数为14＝2×6+2，五角星的个数为4＝22，两种图形的总和为14+4＝18；第3个图形中黑心圈的个数为20＝3×6+2，五角星的个数为9＝32，两种图形的总和为20+9＝29；…第n个图形中黑心圈的个数为（6n+2），五角星的个数为n2，两种图形的总和为n2+6n+2（n是正整数）；故答案为：6n+2，n2，n2+6n+2（n是正整数）4．解：（1）按图示规律填写下表：图形标号 1 2 3 4 5 6 正方形个数 1 4 7 10 13 16 故答案为13，16；（2）第1个图形有正方形1个，第2个图形有正方形4个，第3个图形有正方形7个，第4个图形有正方形10个，…，第n个图形有正方形（3n﹣2）个．（3）第673个图中共有正方形的个数为3×673﹣2＝2017．5．解：（1）7+5＝12，12+5＝17，17+5＝22，22+5＝27；（2）7+5（n﹣1）＝5n+2．6．解：（1）第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人．4张桌子可以坐18人，有n张桌子时是6+4（n﹣1）＝4n+2．第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，四桌子可以坐12人，n张桌子可以坐6+2（n﹣1）＝2n+4．（2）方式一：40张桌子拼成8张大桌子可以坐8×[6+16]＝176人，方式二：40张桌子拼成8张大桌子可以坐8×[6+8]＝112人；（3）方式二：40张桌子拼成5张大桌子可以坐5×[6+14]＝100人；（4）第一种，因为，当n＝25时，4×25+2＝102＞98，当n＝25时，2×25+4＝54＜98．所以，选用第一种摆放方式．7．解：由题意可得，第一圈红球在1、4、7、10、13、16、19号箱内，第二圈红球在2、5、8、11、14、17、20号箱内，第三圈红球在3、6、9、12、15、18号箱内，第四圈红球在1、4、7、10、13、16、19号箱内，…，由上可得每3全一个循环，100÷3＝33…1，∴他沿着圆桌走了100圈，4号箱内有33+1＝34颗红球，即他沿着圆桌走了100圈，4号箱内有34颗红球．8．解：（1）图②中有5个三角形，图③中有9个三角形．故答案为：5，9；（2）依题意得：n＝1时，有1个三角形；n＝2时，有5个三角形；n＝3时，有9个三角形；…∴当n＝n时，有（4n﹣3）个三角形．故答案为：4n﹣3；（3）假设存在正整数n，使得第n个图形中有2018个三角形，根据题意得：4n﹣3＝2018，解得：n＝，不是整数，故不存在正整数n，使得第n个图形中有2018个三角形．9．解：图1中黑点个数是6×1＝6个；图2中黑点个数是6×2＝12个；图3中黑点个数是6×3＝18个； …，所以图8、图n 中黑点的个数分别是48，6n ； 故答案为：48，6n ；（1）观察点阵可知： 第1个点阵中有1个圆圈；第2个点阵中有7个圆圈；7＝2×3×1+1； 第3个点阵中有19个圆圈；19＝3×3×2+1； 第4个点阵中有37个圆圈；37＝4×3×3+1； 第6个点阵中有圆圈个数为：6×3×5+1＝91（个）； 发现规律：第n 个点阵中有圆圈个数为：n ×3（n ﹣1）+1＝3n 2﹣3n +1． 故答案为：91；n ×3（n ﹣1）+1＝3n 2﹣3n +1． （2）会；第11个点阵． 3n 2﹣3n +1＝331 整理得，n 2﹣n ﹣110＝0解得n 1＝11，n 2＝﹣10（负值舍去），答：小圆圈的个数会等于331，是第11个点阵．10．解：尝试：（1）由题意得前4个台阶上数的和是﹣5﹣2+1+9＝3； （2）由题意得﹣2+1+9+x ＝3， 解得：x ＝﹣5，则第5个台阶上的数x 是﹣5；应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环， ∵31÷4＝7…3，∴7×3+1﹣2﹣5＝15，即从下到上前31个台阶上数的和为15；发现：数“1”所在的台阶数为4k﹣1．。
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2021年九年级数学中考二轮复习《探索图形的变化规律》专题突破训练1．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F2．人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么第50个图形中的白色小正方形地砖的块数是（）A．150B．200C．355D．5053．如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．20B．27C．35D．404．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）A．2010B．2011C．2012D．20135．根据右图中已填出的“√”和“×”的排列规律，把②、③、④还原为“√”或“×”且符合右图的排列规律，下面“〇”中还原正确的是（）A．B．C．D．6．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（）A．6B．5C．3D．27．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经2019次跳后它停在的点所对应的数为（）A．1B．2C．3D．58．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2019应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角9．如图中的每次个图是由若干盆花组成的四边形图案，每条边（包括两个顶点）有n（n＞1）盆花，每个图案中花盆的总数是S，按此规律推断，S与n的函数关系式是（）A．S＝n2B．S＝4n C．S＝4n﹣4D．S＝4n+410．探索以下规律：根据规律，从2018到2020，箭头的方向图是（）A．B．C．D．11．将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第一层、第二层、第三层…．则第2020层正方体的个数为（）A．2009010B．2005000C．2041210D．200412．一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2，第三次从A2点起跳，落点为OA2的中点A3；如此跳跃下去…最后落点为OA2019的中点A2020，则点A2020表示的数为．13．如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为．14．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是个．15．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有个○．16．观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的★的个数是．17．如图是各大小型号的纸张长宽关系裁剪对比图，可以看出纸张大小的变化规律：A0纸长度方向对折一半后变为A1纸；A1纸长度方向对折一半后变为A2纸；A2纸长度方向对折一半后变为A3纸；A3纸长度方向对折一半后变为A4纸……A4规格的纸是我们日常生活中最常见的，那么由一张A4的纸可以裁张A8的纸．18．每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为．19．如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为个．20．如图，观察各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第10个图形中小圆点的个数为．21．设△ABC的面积为1．如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1＝．如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2＝；如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3＝；…按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CD n F n E n，其面积S n＝．22．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1＝6个；图2中黑点个数是6×2＝12个：图3中黑点个数是6×3＝18个；……；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．23．（1）观察下列图形与等式的关系，并填空（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：1+3+5+…+（2n﹣1）+（）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝．24．观察下表：序号123…图形xxyxxxxxyyxxyyxxxxxxxyyyxxyyy…xxyyyxxxx我们把某格中各字母的和所得多项式称为“特征多项式”．例如，第1格的“特征多项式”为4x+y．回答下列问题：（1）第3格的“特征多项式”为，第4格的“特征多项式”为，第n格的“特征多项式”为；（2）若第1格的“特征多项式”的值为﹣10，第2格的“特征多项式”的值为﹣16，求x，y的值．25．用若干根火柴可以摆出六个正方形，如下图就是一种摆法，请你再画出与下图不同的两种摆法示意图．并回答：要摆出六个正方形至多需要根火柴，至少需要根火柴．（摆出的六个正方形中，每个正方形的边仅限于一根火柴．）26．观察下面图形，按规律在两个箭头所指的“田”字格内分别画上适当图形（只对一个2分）27．观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：（1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：①→4×0+1＝4×1﹣3②→4×1+1＝4×2﹣3③→4×2+1＝4×3﹣3④→⑤→…（2）通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式．28．（1）计算：；（2）解方程组：；（3）用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：根据规律填空：①第4个图案中有白色地面砖块；②第n个图案中有白色地面砖块2021年九年级数学中考二轮复习《探索图形的变化规律》专题突破训练答案1．解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p 格，这时p是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．2．解：由图形可知：第1个图形12块白色小正方形，第2个图形19个白色小正方形，第3个图形26个白色小正方形则图ⓝ的白色小正方形地砖有（7n+5）块，当n＝50时，7n+5＝350+5＝355．故选：C．3．解：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3＝5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4＝9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）＝个，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7＝27个．故选：B．4．解：由题意，可知中间截去的是5n+3（n为正整数），由5n+3＝2013，解得n＝402，其余选项求出的n不为正整数，则选项D正确．故选：D．5．解：根据已知可以得出规律：上面若是一对一错，下面就是错号，上面两个若都是对号，下面也是对号，上面两个都是错号，下面也是对号，依此规律可从下往上推出，∵④与右侧的对号下面是对号，∴④这个位置是对号，∵②的上面为一对一错，∴②代表的是错号，∵①与右侧错号的下面是错号，∴①是对号，∵①与它的左侧是一错一对，∴③是错号，故选：C．6．解：根据题意可知连续3次变换是一循环．所以10÷3＝3…1．所以是第1次变换后的图形．故选：B．7．解：由5起跳，5是奇数，沿顺时针下一次能跳2个点，落在2上．由2起跳，2是偶数，沿逆时针下一次只能跳一个点，落在1上1是奇数，沿顺时针跳两个点，落在3上．由3起跳，是奇偶数，沿顺时针跳两个点，落在5上．2﹣1﹣3﹣5﹣2，周期为4；又由2019＝4×504+3，∴经过2019次跳后它停在的点所对应的数为3．故选：C．8．解：通过观察发现：正方形的左下角是4的倍数，左上角是4的倍数余3，右下角是4的倍数余1，右上角是4的倍数余2∵2019÷4＝504…3，∴数2019应标在第503个正方形的左上角．故选：C．9．解：第1个图形中，每条边上有2盆花，共有4×2﹣4＝4盆花，第2个图形中，每条边上3盆花，共有4×3﹣4＝8盆花，…∴S＝4n﹣4，故选：C．10．解：根据题意分析可得：箭头方向为向下，右，上，右．依次循环．故选：C．11．解：根据摆放的方式，知：第1层是1个；第2层是1+2＝3个；第3层是1+2+3＝6个；…则第2020层是1+2+3+…+2020＝2041210．故选：A．12．解：第一次落点为A1处，点A1表示的数为1；第二次落点为OA1的中点A2，点A2表示的数为；第三次落点为OA2的中点A3，点A3表示的数为（）2；…则点A2020表示的数为（）2019，即点A2020表示的数为；故答案为：．13．解：第①个图形中一共有3个菱形，即2+1×1＝3；第②个图形中一共有7个菱形，即3+2×2＝7；第③个图形中一共有13个菱形，即4+3×3＝13；…，按此规律排列下去，所以第⑦个图形中菱形的个数为：8+7×7＝57．故答案为：57．14．解：因为第1个图形中一共有1×（1+1）+2＝4个圆，第2个图形中一共有2×（2+1）+2＝8个圆，第3个图形中一共有3×（3+1）+2＝14个圆，第4个图形中一共有4×（4+1）+2＝22个圆；可得第n个图形中圆的个数是n（n+1）+2；所以第9个图形中圆的个数9×（9+1）+2＝92．故答案为：92．15．解：观察图形可知：第1个图形共有：1+1×3，第2个图形共有：1+2×3，第3个图形共有：1+3×3，…，第n个图形共有：1+3n，∴第2018个图形共有1+3×2018＝6055，故答案为：6055．16．解：∵第一个图形有2+1×2＝4个，第二个图形有2+2×3＝8个，第三个图形有2+3×4＝14个，第四个图形有2+4×5＝22个，…∴第n个图形共有：2+n×（n+1）＝n2+n+2．故答案为：n2+n+2．17．解：由题意得，一张A4的纸可以裁2张A5的纸一张A5的纸可以裁2张A6的纸一张A6的纸可以裁2张A7的纸一张A7的纸可以裁2张A8的纸，∴一张A4的纸可以裁24＝16张A8的纸，故答案为：16．18．解：由图可得，第1层三角形的个数为：1，第2层三角形的个数为：3，第3层三角形的个数为：5，第4层三角形的个数为：7，第5层三角形的个数为：9，……第n层的三角形的个数为：2n﹣1，∴当n＝2018时，三角形的个数为：2×2018﹣1＝4035，故答案为：4035．19．解：∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝6+6＝12＝9+3；∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝11+10＝21＝9×2+3；∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝16+14＝30＝9×3+3，…，∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和＝（9n+3）．故答案为：（9n+3）．20．解：由题意可得，第一个图形的小圆点的个数为：3×3＝9，第二个图形的小圆点的个数为：4×4＝16，第三个图形的小圆点的个数为：5×5＝25，……第十个图形的小圆点的个数为：12×12＝144，故答案为：144．21．解法一：如图所示，连接D1E1，D2E2，D3E3，∵图1中，D1，E1是△ABC两边的中点，∴D1E1∥AB，D1E1＝AB，∴△CD1E1∽△CBA，且＝＝，∴S△CD1E1＝S△ABC＝，∵E1是BC的中点，∴S△BD1E1＝S△CD1E1＝，∴S△D1E1F1＝S△BD1E1＝×＝，∴S1＝S△CD1E1+S△D1E1F1＝+＝，同理可得：图2中，S2＝S△CD2E2+S△D2E2F2＝+＝，图3中，S3＝S△CD3E3+S△D3E3F3＝+＝，以此类推，将AC，BC边（n+1）等分，得到四边形CD n E n F n，其面积S n＝+×n×＝；解法二：S1＝＝．S2＝＝；S3＝＝；…∴S n＝＝＝；解法三：S1＝＝＝．S2＝＝＝；S3＝＝＝；…∴S n＝；故答案为：．22．解：图10中黑点个数是6×10＝60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1＝7个，第3个点阵中有：3×6+1＝19个，第4个点阵中有：4×9+1＝37个，第5个点阵中有：5×12+1＝61个，…第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1＝3n2﹣3n+1，故答案为：61，3n2﹣3n+1；（2）3n2﹣3n+1＝271，n2﹣n﹣90＝0，（n﹣10）（n+9）＝0，n1＝10，n2＝﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．23．解：（1）1+3+5+7＝16＝42，设第n幅图中球的个数为a n，观察，发现规律：a1＝1+3＝22，a2＝1+3+5＝32，a3＝1+3+5+7＝42，…，∴a n﹣1＝1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2．故答案为：42；n2．（2）观察图形发现：图中黑球可分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，即1+3+5+…+（2n﹣1）+[2（n+1）﹣1]+（2n﹣1）+…+5+3+1，＝1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1，＝a n﹣1+（2n+1）+a n﹣1，＝n2+2n+1+n2，＝2n2+2n+1．故答案为：2n+1；2n2+2n+1．24．解：（1）观察图形发现：第1格的“特征多项式”为4x+y，第2格的“特征多项式”为8x+4y，第3格的“特征多项式”为12x+9y，第4格的“特征多项式”为16x+16y，…第n格的“特征多项式”为4nx+n2y；（2）∵第1格的“特征多项式”的值为﹣10，第2格的“特征多项式”的值为﹣16，∴，解得：x＝﹣3；y＝2，∴x、y的值分别为﹣3和2．25．解：最少时，画图例举如下：至少12根，最多任何两个正方形无公共边，则需要24根火柴．26．解：由图可看出每8个田字是一个循环．箭头所指的是第9个和第十个田字．那么根据第一个循环中，第一个田字和第二个田字的图形，便可画出所求的图形．27．解：前3个式子等号左边为4×序数减1+1，右边为：4×序数﹣3，那么其余式子也应按这个规律．（1）④4×3+1＝4×4﹣3；⑤4×4+1＝4×5﹣3．（2）4（n﹣1）+1＝4n﹣3．28．解：（1）原式＝1+5＝6；（4分）（2）把y＝x+1代入x+y＝5，得2x+1＝5（5分）∴x＝2（6分）∴y＝2+1＝3（7分）∴原方程组的解为；（8分）（3）①从图中白砖与黑砖的块数找规律．我们可以发现，黑砖的数量是1，2，3，4，…，白砖的数量是6，10，14…，所以从第二块砖起，我们可以看出黑砖与白砖的数量关系是白＝6n﹣2（n﹣1），其中n是黑砖的数量．所以第4个图案中有白色地面砖＝18；（10分）②第n个图案中有白色地面砖4n+2．（12分）。