导数与微分练习题

第二章 导数与微分

第一节 导数概念

一．填空题

1.若)(0x f '存在，则x

x f x x f x ∆-∆-→∆)

()(lim

000

=

2. 若)(0x f '存在，h

h x f h x f h )

()(lim

000

--+→= .

000

(3)()

lim

x f x x f x x

∆→+∆-∆= .

3.设20-=')(x f , 则=--→)

()2(lim

)000

x f x x f x

x

4.已知物体的运动规律为2

t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为 5.曲线x y cos =上点（

3π，2

1

）处的切线方程为 ，法线方程为 6.用箭头⇒或⇏表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系，

；

可微 ⇔

可导

<≠

⇒

| 连续 <≠

⇒ 极限存在。

二、选择题

1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x

x f x )

(lim 0→= [ ]

（A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2

1

)0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x

x b x f x a x f x ∆∆--∆+→∆)

()(lim 0 = [ ]

（A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2

b

a +)(x f ' 3.

函数在点

x 处连续是在该点

x 处可导的条件

[ ]

（A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要

4．设曲线22

-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)

:

5.设函数|sin |)(x x f =，则 )(x f 在0=x 处 [ ] （A ）不连续。 （B ）连续，但不可导。 (C)可导，但不连续。 （D ）可导，且导数也连续。

三、设函数⎩⎨⎧>+≤=1

1)(2x b ax x x x f 为了使函数)(x f 在1=x 处连续且可导，a ，b 应取什

么值。

四、如果)(x f 为偶函数，且)0(f '存在，证明)0(f '=0。

五、 证明：双曲线2

a xy =上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。 《

第二节 求导法则（一）

一、填空题

1．x x y sin )sec 2(+=, y '= ; x

e y sin -=, y '= .

2．)2cos(x

e y =，y '= ; y =x

x

2sin ，y '= 3．2

tan

ln θ

ρ=，ρ'= ; =r 2ln log 2+x x , r '=

4. )tan ln(sec t t w +=, w '= . 2

arccos()y x x =+，y '=

5. ='+)1(2x ; (

c x ++2

1 )'= .

6. ]2

tan [ln 'x = ; (

c x x +++)1ln(2

)'= .

{

二、选择题

1．已知y=

x

x

sin ，则 y '= [ ] （A ）2cos sin x x x x - (B) 2sin cos x x x x - (C) 2

sin sin x

x x x - (D)x x x x sin cos 2

3-

2. 已知y=

x

x cos 1sin + ，则

y '

=

[ ] （A ）1cos 21cos +-x x (B) 1cos 2cos 1-+x x (C) x cos 11+ (D) x

x cos 11

cos 2+-

3. 已

知

x

e y sec =，则

y '

=

[ ]

（A ）x

x

x

e e e tan sec (B) x x

e e tan sec

(C) x e tan (D)x

x e e cot

4.

已

知

)

1ln(2x x y ++=，

则

y '

=

[ ] （A ）

2

11x + (B)

21x + (C)

2

1x x

+ (D)

12-x

）

5.

已

知

x

y cot ln ==，

则

4

|

π

=

'x y =

[ ]

（A ）1 （B ）2 （C ）2/1- (D) 2- 6.

已

知

x

x

y +-=

11，则

y '

=

[ ] （A ） 2)1(2+x (B) 2)1(2+-x (C) 2)1(2+x x (D) 2

)

1(2+-x x

三、计算下列函数的导数：

(1) y =+ (2) )tan(ln x y = (3) v

e

u 1

sin 2

-= (4 ) )(ln sec 3

x y =

(5) ln(y x = (6) 1arctan 1x

y x

-=+ 四、-

五、

设)(x f 可导，求下列函数y 的导数

dx

dy （1）)()(x f x

e

e f y =

(2))(cos )(sin 2

2

x f x f y +=

(3) )](arctan[x f y = (4))](sin[)(sin x f x f y +=