定积分的概念与性质

ba n lim f ( xi 1 ) 对任一确定的自然数 n, n n i 1 b ba n f ( x i 1 ) a f ( x )dx n i 1
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定积分的概念与性质
b a 取 i x i 1 , x , 记f ( xi ) yi n n ( i 0,1,2,, n) b b a a f ( x )dx n f ( xi 1 ) i 1 b ba a f ( x )dx n ( y0 y1 yn1 ). 矩形法 如取 i xi , 公式 b ba f ( x )dx ( y1 y2 yn ). a n
充 分 条 件
定理1 设f ( x )在[a , b]上连续, 则f ( x )在[a , b]上 可积. 定理2 设f ( x )在[a , b]上有界, 且只有有限个 第一类间断点, 则f ( x )在[a, b]上 可积.
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定积分的概念与性质
下面举例按定义计算定积分. 例1 求函数 f ( x) ex在0,1 上的定积分.
n
f ( x )dx g( x )dx a a
b
0 i 1 b
0 i 1
(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)
21
定积分的概念与性质
性质2 证
a kf ( x )dx k
b
0 n
b
b
a
f ( x )dx (k为常数,且k 0)
n
kf ( )x a kf ( x )dx lim
xi 1 ix i xn1 b x O a x1 在每个小区间 [ xi 1 , xi ] 上任取一点 i， f ( i )为高的小矩形, 以 [ xi 1 , xi ]为底，
面积近似代替 Ai , 有Ai f (i )xi , i 1, 2,n
6
定积分的概念与性质
11
定积分的概念与性质
注
(1) S f ( i )xi 是 与 [a , b]的 分 法 及 在 [ x i 1 , x i ]
上 i 取法 有关;
i 1
n
I lim f ( i )xi 是 与 [a , b]的 分 法 及 在 [ x i 1 , x i ]
0
第五章
定积分
2
第一节
* *
definite integral
定积分的概念与性质
*
定积分问题举例 定积分的定义 定积分的几何意义和物理意义 关于函数的可积性 定积分的性质 小结 思考题 作业
定 积 分
3
定积分的概念与性质
一、定积分问题举例
定积分概念也是由大量的实际问题 抽象出来的, 现举两例. 1.曲边梯形的面积 求由连续曲线y f ( x ) 0及
n
f ( i )xi 0
b
max{x1 , x2 ,, xn }
lim f ( i )xi a f ( x )dx 0
0 i 1
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定积分的概念与性质
例2 比较积分值
x
0
2
e x d x和
0
2
xdx 的大小.
解 令 f ( x) e x

y
矩形法的 几何意义
O
a
b
y f ( x)
x
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定积分的概念与性质
五、定积分的性质
对定积分的补充规定
(1) 当a b时, (2) 当a b时,
a f ( x )dx 0
b
a f ( x )dx b
b
a
f ( x )dx
说明 在下面的性质中, 假定定积分都存在, 且不考虑积分上下限的大小．
f ( x) 0

x [2, 0]

2
0
(e x x )dx 0
2e dx
x
0
0
2
xdx
2 0
于是
0
2
e dx xdx
x
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定积分的概念与性质
性质5的推论1
性质5 如果在区间 [a , b]上 f ( x ) 0, b 则 f ( x )dx 0 ( a b )
i 1 i n
i
lim k f ( i )xi k lim f ( i )xi
0
i 1
0 i 1
k f ( x )dx
a
b
性质1和性质2称为 线性性质.
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定积分的概念与性质
性质3
假设 a c b b b c a f ( x )dx a f ( x )dx c f ( x )dx 补充 不论 a , b, c 的相对位置如何,上式总成立.
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定积分的概念与性质
性质4
a 1 dx
则
b
b
b
a
dx b a
性质5 如果在区间 [a , b]上 f ( x ) 0,
a f ( x )dx 0

n i 1
(a b)
证 f ( x) 0
f ( i ) 0
i 1,2,, n
xi 0
直线x a, x b和y 0所 围 成
的曲边梯形的面积 A.
O
y
y f ( x)
A?
a
b
x
4
定积分的概念与性质
f ( x ) h(常数)时, 矩形面积公式为 A (b a )h
思想 以直代曲
用矩形面积 近似取代曲边梯形面积
y y
O
（五个小矩形）
x O
（十个小矩形）
x
显然,小矩形越多, 矩形总面积越接近曲边 梯形面积．
(3) 求和 这些小矩形面积之和可作为曲边梯形
面积A的近似值.
A
f ( i )xi i 1
n
(4) 求极限 为了得到A的精确值, 分割无限加细,
即小区间的最大长度 max{x1 , x2 ,xn }
趋近于零 ( 0) 时， 取极限, 极限值就是曲边梯
形的面积:
A lim f ( i )xi
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定积分的概念与性质
性质1
a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx
b
n
b
b
b
证
a [ f ( x ) g( x )]dx
lim [ f ( i ) g ( i )]xi
0 i 1
n
lim f ( i )xi lim g( i )xi
n
上 i 取法 无关.
(2)
i 1
a f ( x )dx a f ( t )d t a f (u)du
b
b
b
定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数 的结构和上、下限, 而与积分变量的记号无关.
今后将经常利用定积分与变量记号无关性 进行推理.
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定积分的概念与性质
三、定积分的几何意义和物理意义
怎样的取法, 只要当 0时,和S总趋于确定的
极限I, 称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的
定积分.记为 积分上限
b n
积分和
f ( i )xi a f ( x )dx I lim 0 i 1
被 [a,b]积分区间 积 函 数
积分下限
积 分 变 量
被 积 表 达 式
s v ( i )t i
i 1
n
(4) 取极限 max{t1 , t 2 ,, t n } 令 0
路程的精确值 s lim v ( i )t i
0 i 1
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n
定积分的概念与性质
上两例共同点: 1) 量具有可加性, I I ; 二、定积分的定义 2) 方法一样 ; (1) 3) 结果形式一样 . 定义 设函数f (x)在[a,b]上有界 ,在[a,b]中任意插入 若干个分点 a x0 x1 x2 xn1 xn b 把区间[a,b]分成n个小区间, 各小区间长度依次为 (2) xi xi xi 1 , (i 1,2,, n), 在各小区间上任取
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定积分的概念与性质
讨论定积分的近似计算问题. b 设f ( x ) C[a , b], f ( x )dx 存在.
a
将[a, b] n等分, 用分点 a x0 , x1 , x2 ,, xn b
将[a, b]分成n个长度相等的小区间, 每个小区间 b a 取 x ,有 , 长度 x i i 1 n n n b ba f ( x i 1 ) f ( x )dx lim f ( i )xi lim a 0 n n i 1 i 1
第五章
定积分
definite integral
定积分和不定积分是积分学的两个 主要组成部分.
不定积分侧重于基本积分法的训练,
而定积分则完整地体现了积分思想 — 一种认识问题、分析问题、解决问题的 思想方法.
1
基本要求
理解定积分的定义和性质,微积分基 本定理,了解反常积分的概念,掌握用定积 分表达一些几何量与物理量(如面积、体 积、弧长、功、引力等）的方法.
例 若a b c
a f ( x )dx
则
b
c
b
a
f ( x )dx f ( x )dx
b
c a c
c
a f ( x )dx
f ( x )dx f ( x )dx
c
a
f ( x )dx f ( x )dx
c
b b
(定积分对于积分区间具有可加性)
1. 几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,

A1
b
a b
f ( x )dx A 曲边梯形的面积
a
f ( x )dx A 曲边梯形的面积 的负值 y
f ( x)
A3
a
A2 O
b
x

b
a
f ( x )dx A1 A2 A3
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定积分的概念与性质

b
y 1 x2
1
4
b
o
x
2. 物理意义
当v(t ) 0时, 定积分 a v ( t )dt 表示以变速
v v(t )作直线运动的物体从时刻 t = a 到时刻
t = b所经过的路程 s.
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定积分的概念与性质
四、关于函数的可积性
当函数 f ( x )在区间[a , b]上的定积分存在时, 称f ( x )在区间[a , b]上可积. 或 黎曼可积,记为 f R[a , b]. 黎曼 德国数学家(1826–1866)
一点 i ( i xi ), 作乘积 f ( i )xi ( i 1,2,, n) n (3) 并作和 S f ( i )x i i 1 (4) x1 , x2 ,, xn },如果不论对 [a , b] 记 max{
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定积分的概念与性质
wk.baidu.com怎样的分法, 也不论在小区间 [ xi 1 , xi ]上点 i
a
f ( x )dx几何意义
它是介于x轴、函数 f (x) 的图形及两条
直线 x =a, x = b之间的 各部分面积的代数和.
在 x 轴上方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积
取负号.
y
f ( x)

a


O
b
x
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定积分的概念与性质
1
例 求 解
0
1 x 2 dx
2
y
1
0
1
1 x dx
0 i 1
n
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定积分的概念与性质
思想 以不变代变
2.求变速直线运动的路程 设某物体作直线运动, 已知速度 v v ( t ) 是时间间隔 [T1 , T2 ]上t 的一个连续函数, 且v(t ) 0, 求物体在这段时间内所经过的路程.
思路 把整段时间分割成若干小段, 每小段上
速度看作不变, 求出各小段的路程再相加, 便
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定积分的概念与性质
a x0 x1 x2 xn1 xn b, 的窄曲边梯形的面积 把区间 [a, b] 分成 n个 y y f ( x) 小区间 [ xi 1 , xi ]， 长度为
xi xi xi 1;
(2) 取近似
Ai
采取下列四个步骤来求面积A. (1) 分割 任意用分点 Ai 表示[ xi 1 , xi ]上对应
得到路程的近似值, 最后通过对时间的无限
细分过程求得路程的精确值．
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定积分的概念与性质
(1) 分割 T1 t0 t1 t 2 t n1 t n T2
t i t i t i 1
si 表示在时间区间 [ti 1 , ti ]内走过的路程.
(2) 取近似 si v( i )t i (i 1,2,n) 某时刻的速度 (3) 求和