凑微分法解不定积分个人用讲义)
一、凑微分法
1 1 1 ( )d sin x 2 1 sin x 1 sin x
1 1 sin x 1 (1 sin x)2 ln C ln C 2 2 1 sin x 2 cos x
ln | sec x tan x | C.
dx dx 例4. csc xdx x x sin x 2 sin cos 2 2 x x d d (tan ) 2 2 ln | csc x cotx | C. x x x tan cos 2 tan 2 2 2 d (x ) dx 2 ln | sec x tan x | C. cos x sin( x ) x 1 cos x 2 (tan csc x cotx) 2 sin x 例5. x 2 4 3x3 dx
1 x
1 x
1 2 t 原式 t e ( 2 )dt et dt e x C. t
1
定理 :
设f ( x)连续,x (t )及 (t )皆连续,x (t )的反
函数t 1 ( x)存在且连续, 且
f ( (t )) (t )dt F (t ) C ,
g (t )dt
积分公式
带回
x
F ( ( x)) C.
实质上是一种简单换元积分法.
sin x d cos x dx ln | cos x | C. 例2. tan xdx cos x cos x
例3.
dx cos xdx d sin x sec xdx 2 cos x cos x 1 sin 2 x
e
x2
sin x dx , dx , x
浅谈不定积分中“凑微分法”的教学
不定积分的第一换元积分法
不定积分的第一换元积分法不定积分的第一换元积分法也称为凑微分法，这部分内容在解题过程中不易灵活运用。
下面我们把这个方法以及在解题过程的一些技巧简单地向大家介绍一下。
一、第一换元积分法运用的前提条件由于第一换元积分法是由复合函数求导法导出的，所以当被积函数的形式为f(u(x))·g(x)，即被积函数为某个复合函数与某个基本初等函数的乘积时，我们可以想到用第一换元积分法来求此不定积分。
二、第一换元积分法的基本解题思路首先利用g(x)dx凑出微分形式du(x)，然后换元(令u=u(x)) 使复合函数转化为基本初等函数后再利用积分公式来求积分，求出积分后再还原。
其中关键的一步是凑成微分形式du(x)，也是大家感觉最困难的一步，因为题中需要有u′(x)dx才能凑成微分形式du(x)，而u′(x)在题中不易被观察出，也就无法凑出微分形式了。
但反过来如已知u(x)，那么它的微分很容易被求出：du(x)=u′(x)dx，只要在原题中凑出u′(x)dx，就可以写出它的微分形式了。
因此找到u(x)成为灵活运用第一换元积分法的关键。
如何找到u(x)呢？u(x)是一个怎么样的函数呢？其实u(x)就是被积函数中复合函数的中间变量。
三、第一换元积分法的具体求解步骤被积函数一般都可以看成由两部分组成：一部分是一个复合函数f(u(x))，另一部分是某个函数g(x)，即求∫f(u(x))g(x)dx。
其次找出复合函数的中间变量u(x)，求这个中间变量的微分du(x)=u′(x)dx。
将题中的g(x)写成ku′(x)，即∫f(u(x))g(x)dx=∫f(u(x))ku′(x)dx=k∫f(u(x))u′(x)dx最后根据第一换元积分法的公式求出积分：k∫f(u(x))·u′(x)dx=kF(u(x))+c四、举例例1、∫x(1-3x2)10dx解：观察此被积函数有两部分组成：x和(1-3x2)10，其中(1-3x2)10是一个复合函数，中间变量u(x)=1-3x2，求中间变量的微分du=u′dx=-6xdx，然后就需要在题中凑这个微分，∫x(1-3x2)10dx=-■∫(1-3x2)10(-6xdx)=-■∫u10du=-■·■u10+1+C=-■u11+C=-■(1-3x2)11+C例2、∫■dx解：观察此被积函数有两部分组成：■和ln3x其中ln3x是一个复合函数，中间变量u(x)=lnx，求中间变量的微分d(lnx)=(lnx)′dx=■dx，然后就需要在题中凑这个微分，∫■dx=∫ln3x(■dx)=∫u3dx=■u4+C=■(lnx)4+C=■ln4x+C例3：∫tanxdx解：此题被积函数为tanx，似乎不能用第一换元积分法来解，但是利用同角三角函数的关系式有tanx=■，就是由两部分组成：sinx和■。
不定积分凑微分法和换元法(课堂PPT)
1 cos 2x C; 2
解（二） sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 sin xd(sin x)
sin x2 C;
已知
udu
1 2
u2
C
解（三） sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 cos xd(cos x)
cos x2 C.
已知
udu
1 2
7.2 不定积分的计算
巴马水具有四个显著特征: 一是弱碱性离子水。 二是还原水。 三是小分子团水。 四是营养水。
1
1、第一换元积分法
问题 cos2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
x 2
1 tan
x 2
d
tan
x 2
ln tan x C ln(csc x cot x) C. 2
（使用了三角函数恒等变形）
16
解（二） csc
xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1
1 cos2 x d(cos x) u cos x
1
1 u2
du
1 2
由此可得换元法定理
3
定理7.2.1 设u ( x)在[a,b]可导，(x)[, ]，
g(u) 在[, ]上有原函数G(u) ，则有换元积分公式
g[( x)]( x)dx g(u)du G(( x)) C
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
f [( x)]( x)dx 化为 g(u)du.
不定积分(凑微分)
1 dx x ln x(1 ln x)
1 ln x 1 ln x 1 d lnx 1 ln x
1 1 ln x
2
2
2
dlnx
d lnx
2arcsin lnx C
1 arctan x dx 1 x2
1 因为 (arctan x ) 1 1 1 ( 2 ) 2 1 2 x 1 x 1 ( ) x
1 dsinx dsinx 2 sin x 1 sinx C sin x
3
cos 2 x 1 sin x cos xdx
cos 2 x dx 1 1 sin 2 x 2
1 1 dsin2x 2 1 1 sin 2 x 2 1 1 d(1+ sin2x) 1 2 1 sin 2 x 2
3 2 arctan x C 3
1 dx x (1 x)
1 1 dx 2 d x 1 x x (1 x)
2 1 1 x
2
d x
2arctan x C
da a ln a dx
x
x
2 3 2x d x 2x 3 2
x x
x 2 d ( 3) 1 2 x 2 2 ln 3 1 ( ) 3
e x + C1 , x 0 x e +C2 , x 0
1 C1 1 C2 因为原函数应在 x 0 处连续，所以
记C1 C得
ex + C , x 0 f ( x)dx x e +2+C , x 0
1 1 1 10 10 ( 10 10 dx 10 dx ) 2 10 x ( x 1) ( x 1)
不定积分公式上课讲义
不定积分公式Ch4、不定积分§1、不定积分的概念与性质1、 原函数与不定积分定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。
① 连续函数一定有原函数；② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数； 事实上，())()()(''x f x F C x F ==+③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。
事实上，由[]0)()()()()()('2'1'11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。
定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为⎰dx x f )(，⎰-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。
显然C x F dx x f +=⎰)()(①⎰+=C kx kdx②⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=+-≠++=+1ln 1111μμμμμC x C x dx x2、 基本积分表（共24个基本积分公式）3、 不定积分的性质①[]⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②⎰⎰≠=)0()()(k dxx f k dx x kf⑤()⎰⎰⎰++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2⑥⎰⎰⎰⎰++-=+=+=C x x xdx xdx dx xx xx x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 22222222⑦()⎰⎰+--=-=C x x dx x dx x cot 1csc cot 22§2、不定积分的换元法一、 第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d adx b ax d b ax f a dx b ax f +=++=+⎰⎰1,1即 例1、求不定积分①()C x udu u x x xd xdx +-===⎰⎰⎰)5cos(51sin 51555sin 515sin②()()()()⎰⎰+--=+-+⋅-=---=-+C x C x x d x dx x 81777211612117121)21(212121 ③())20(arctan 111222Ca x a a x a x d a x a dx +⎪⎭⎫⎝⎛=+=+⎰⎰④()())23(arcsin 1222Ca x a x a x d xa dx +⎪⎭⎫⎝⎛=-=-⎰⎰2、()()nn n n n n dx dx x dx x f ndx x x f ==--⎰⎰11,1即 例2、求不定积分①()()()()C x C x x d x dx x x +--=+-+⋅-=---=-+⎰⎰232121221221221311112111211②()C e x d e dx e x x x x +-=--=---⎰⎰333323131③⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x d dx x C x x d x dx x x 111sin 11cos 1cos 122 ④⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+==x d dx x Cx x d x dx xx 21sin 2cos 2cos3、,tan sec ,sin cos ,cos sin ,,ln 12x d xdx x d xdx x d xdx de dx e x d dx xx x ==-===,,arcsin 11,arctan 11,sec tan sec 222222x a d dx x a x x d dx xx d dx x x d xdx x ±±=±=-=+=①⎰⎰⎰+=+-=-==)16(sec ln cos ln cos cos cos sin tan C x C x x xd dx x x xdx②⎰⎰⎰+-=+===)17(cos ln sin ln sin sin sin cos cot Cx C x x xd dx x x xdx③()()()⎰⎰⎰++=++=++=)18(tan sec ln tan sec tan sec tan sec tan sec sec sec C x x x x x x d dx x x x x x xdx ④()()()⎰⎰⎰+-=--=--=)19(cot csc ln cot csc cot csc cot csc cot csc csc csc C x x xx x x d dx x x x x x xdx⑤()⎰⎰+==C x xx d dx x x ln ln ln ln ln 1⑥()()()⎰⎰++=++=+C x x x d x x dx 1tan ln 1tan 1tan tan 1cos 2 ⑦()()⎰⎰++=++=+C e ee d dx e e xx x x x 1ln 111 ⑧()()⎰⎰++-=+-+=+C e x ee e e dx x xx x x 1ln 111 ⑨()⎰⎰+=+=+C e e de dx e e x x x x x arctan 1122 ⑩()C e x d e dx e xx x x x +-=+--=++-+-+-⎰⎰2122121211例4、求不定积分①⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-a x a x d a x a x d a dx a x a x a a x dx )()(21112122 )22)(21(ln 21C ax ax a ++-=②dx x x dx x x x dx x x x ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+--+=+--2222213113112 ()()C x x x xdx x x d x +-+-=+-++-=⎰⎰arctan 31ln 211311212222③()()⎰⎰⎰⎰+--+-+-=+---=+--413525221526222152422222x dxx x x x d dx x x x dx x x x ()C x x x +--+-=21arctan 2352ln 212 ④()C x x x xd x dx x xdx +-=⋅-=-=⎰⎰⎰2sin 412122cos 21212122cos 1sin 2⑤()⎰⎰+--=+=C x x dx x x xdx x 2cos 418cos 1612sin 8sin 213cos 5sin⑥⎰⎰⎰⎰+====C x x x d x x x d x xdx dx x x sin ln ln sin ln sin ln sin ln sin sin sin ln sin cos sin ln cot⑦C x x x x d xdx dx xx x dx +-=+=-=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos sec cos sin 1sin 1222 ⑧()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+44csc 214sin 2sin cos πππx d x x dx x x dx C x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cot 4csc ln 21ππ二、 第二类换元法 1、三角代换例1、dx x a ⎰-22解：令)cos (sin t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a cos ,cos 22==-原式=()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅t td dt a dt t a tdt a t a 22cos 21222cos 1cos cos 22C ax a a x a a x a C t a t a +-⋅⋅⋅+=++=22222224arcsin 22sin 42 C x a x a x a +-+=22221arcsin 21 例2、()()C axa x a x d x a dx +=-=-⎰⎰arcsin 1222解：令t a x sin =原式=⎰⎰+=+==C axC t dt t a tdt a arcsin cos cos例3、⎰+22xa dx解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a 222sec ,sec ==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdta 222ln tan sec ln sec sec sec ())24(ln 22C a x x +++=例4、⎰+42x x dx解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt dx t x 22sec 2,sec 24==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdta 222ln tan sec ln sec sec sec 例5、⎰-22ax dx解：令)csc (sec t a t a x 或=，则tdt t a dx t a a x tan sec ,tan 22==-原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++==c aa x a x C t t tdt t a tdtt a 22ln tan sec ln sec tan tan sec ())25(ln 22C a x x +-+=例6、⎰-dx xx 92 解：令t a x sec =，则tdt t dx t x tan sec 3,tan 392==- 原式=()()⎰⎰⎰+-=-==⋅C t t t tdt tdt t tttan 31sec 3tan 3tan sec 3sec 3tan 322 C x x C x x +--=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3arccos 393arccos 39322小结：)(x f 中含有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-222222a x a x x a 可考虑用代换⎪⎩⎪⎨⎧===t a x t a x t a x sec tan sin2、无理代换例7、⎰++311x dx解：令dt t dx t x t x 2333,1,1=-==+则原式=()⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+C t t t dt t t dt t t t dt t 1ln 231113111313222 ()()C x x x +++++-+=333211ln 313123 例8、()⎰+31xx dx解：令dt t dx t x t x 5666,,===则原式=()()⎰⎰⎰+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+C t t dt t dt t t t t dt t arctan 611161616222235 ()C x x +-=66arctan 6例9、⎰+dx xxx 11解：令()22212,11,1--=-==+t tdtdx t x t x x 则 原式=()()⎰⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---C t t t dt t dt t t t tdtt t 11ln 212111212121222222 C x x xx x x +++-+-+-=11ln 12例10、⎰+xedx 1解：令()12,1ln ,122-=-==+t tdtdx t x t e x 则 原式⎰⎰+++-+=++-⋅=-=-⋅=C e e C t t t dt dt t t t x x 1111ln 11ln 21212121224、 倒代换例11、()⎰+46x x dx解：令()2676,4111,1t dtdx t t x x t x -=+=+=则 原式()()C x x C t t t d t dt t ++=++-=++-=+-=⎰⎰4ln 24114ln 2411414241416666666 ()C x x ++-=4ln 241ln 416§3、分部积分法分部积分公式：()()V U UV V U V U V U UV '-'=''+'=',()⎰⎰⎰'-'='Vdx U dx UV dx V U ，故⎰⎰-=VdU UV UdV（前后相乘）（前后交换）例1、⎰xdx x cos⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x xd cos sin sin sin sin 例2、⎰dx xe x⎰⎰+-=-==C e xe dx e xe xde x x x x x例3、⎰xdx ln ⎰⎰+-=⋅-=-=C x x x dx xx x x x xd x x ln 1ln ln ln或解：令t e x t x ==,ln原式C x x x C e te dt e te tde t t t t t +-=+-=-==⎰⎰ln 例4、⎰xdx arcsin()⎰⎰⎰+-+=--+=--=-=C x x x xx d x x dxxx x x x xd x x 22221arcsin 1121arcsin 1arcsin arcsin arcsin或解：令t x t x sin ,arcsin ==原式C x x x C t t t tdt t t t td +-+=++=-==⎰⎰21arcsin cos sin sin sin sin 例5、⎰xdx e x sin()⎰⎰⎰⎰⎰--=+-=-=-==xdxe x x e x d e x e x e xde x e xdx e x e xde xxxxxxx x x x sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin故()C x x e xdx e xx +-=⎰cos sin 21sin 例6、⎰dx xx2cos C x x x xdx x x x xd +-=-==⎰⎰sec ln tan tan tan tan 例7、()⎰++dx x x 21ln()()()Cx x x x dxxx x x x dx xx x xx x x x ++-++=+-++=++++⋅-++=⎰⎰222222211ln 11ln 1111ln§4、两种典型积分一、有理函数的积分有理函数01110111)()()(b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x R m m m m n n n n ++++++++==---- 可用待定系数法化为部分分式，然后积分。
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式是一种常用的数学方法，其可以将复杂函数变换为微分形式，从而使得计算过程更加简单，有效地求解复杂问题。
本文结合具体实例，介绍不定积分凑微分法公式，并运用此方法求解复杂函数，以此来认识并理解不定积分凑微分法公式的应用。
首先，让我们来认识不定积分凑微分法公式。
不定积分凑微分法公式（I.F.D.）是一种数学方法，它利用基本定理将一些复杂的函数转换成微分形式，使得计算变得更加简单，能够有效求解一些复杂的问题。
通俗地说，它就是通过记录函数的不同方程参数来求解函数。
此外，它还可以帮助求解积分函数。
具体而言，这就意味着当一个函数被积分时，可以用I.F.D.来简化函数的形式，从而求得函数的极限，即求出函数的精确结果。
下面，让我们来看看不定积分凑微分法公式是如何运用的。
先来看一个例子，假设我们要求解一个复杂函数y = x^3 + 3x^2 + 4x + 5，《不定积分凑微分法公式》可以将它拆解为y = 3x^2 + 6x + 4，于是我们就可以将这个复杂函数转换为微分形式，从而使得计算变得简单。
除此之外，《不定积分凑微分法公式》也可以帮助求解积分函数。
举个例子，假设要求解积分函数y =e^x dx，可以利用不定积分凑微分法公式，从而求解y = e^x + c，而c为常数。
以上就是不定积分凑微分法公式的具体应用，它可以帮助我们将复杂的函数变换为微分形式，更重要的是，它还能帮助求解积分函数，
使计算过程变得更加简单。
总之，不定积分凑微分法公式是一种非常有益的数学方法，它能帮助我们更好地求解复杂的函数，使计算过程变得更加简单，由此也可以更快捷更加准确地求解函数。
4.2 凑微分法
解: 对照基本积分公式，上式和
1 写成 − 3 d ( − 3 x + 1)
u
相似
就可以使用公式 于是
∫e
u
dx = e
+ C
∫e
−3 x +1
1 −3 x+1 dx = − ∫ e d (−3x + 1) 3
1 − 3 x +1 = − e +C 3
1 （ 3） ∫ 1 + 4 x 2 dx
解: 对照基本积分公式，上式和
= − ln cos x + C
( 2 ) ∫ sin xdx
3
解: :
sin 3 xdx = ∫ sin 2 x ⋅ sin xdx ∫
= −∫ (1 − cos x)d cos x
2
= − ∫ d cos x + ∫ cos2 xd cos x
1 3 = − cos x + cos x + C 3
∫
∫
1 x−4 = ln +C 3 x −1
(2)∫
解: :
1 dx 2 x + 4x + 5
1 1 ∫ x2 + 4x +5dx= ∫1+ (x + 2)2 dx d ( x + 2) =∫ 1 + ( x + 2) 2
= arctan( x + 2) + C
1 （ 3）∫ 1 + e
x
dx
解: :
因为 d (1 + x ) = 2 xdx
1 2 所以 xdx = d (1 + x ) 2
则
∫1+
浅谈不定积分中“凑微分法”的教学
浅谈不定积分中“凑微分法”的教学不定积分是高中数学和大学微积分课程中的重要内容，掌握不定积分是解决相关问题的必要步骤。
在不定积分的教学中，“凑微分法”是一种常见的技巧，可以帮助学生在解决一些特殊类型的积分问题时更加便捷地求解。
本文将就“凑微分法”的教学进行浅谈。
一、凑微分法的基本思想凑微分法是指通过构造等价的式子，将原有的积分式子转化为简单易求的形式，然后进行求解的方法。
其基本思想是在积分被积函数中凑出一个微分式子，以此来转化原式。
其实质可以理解为微分运算和反微分运算的互逆性。
二、凑微分法教学中应注意的问题1、选择适当的凑微分法凑微分法并非适用于所有的积分问题，教师在传授凑微分法时，应该指出使用该方法的情况。
有些时候，选择代数恒等式、三角函数恒等式或积化和分化等其他的技巧更为适用。
同时，凑微分法也不应作为通用解决积分问题的方法，应该帮助学生了解其思想，理解其原理和应用范围。
凑微分法在教学中需要明确的是，它的基本步骤。
凑微分法的基本步骤包括：选出适当的凑微分的项，进行凑微分转化，然后进行常规的积分求解，最后恢复原式。
为了帮助学生掌握这些步骤，教师可以教授一些典型的例题，通过讲解题目操作步骤来帮助学生掌握该方法。
3、鼓励学生思考、积极尝试凑微分法的教学中还应该鼓励学生思考，积极尝试。
学生需要掌握的不仅仅是方法，更是对问题分析和求解的思维能力。
在实际解决问题过程中，有些时候可能需要发挥自己的想象力，巧妙地运用存在的数学知识和技巧，将问题转化为容易求解的形式。
三、总结凑微分法在不定积分中常常被使用，其思想简单，方法易掌握，但也需要教师在教学中引导学生灵活运用，提高他们的思维能力和解题能力。
在学生理解基本步骤后，教师应该通过出示一些典型例题，帮助学生宽泛地运用该方法，从而加深其对该方法的理解和掌握。
浅谈不定积分中“凑微分法”的教学
浅谈不定积分中“凑微分法”的教学1. 引言1.1 概述在数学教学中，凑微分法在教学中起着至关重要的作用。
通过凑微分法的教学，可以帮助学生更好地理解不定积分的概念和方法，提高他们的解题能力和逻辑思维能力。
凑微分法的应用举例也可以让学生更直观地理解该方法的实际应用，增强学生的学习兴趣和信心。
深入探讨凑微分法在不定积分教学中的应用和意义具有重要的研究价值。
目前，关于凑微分法在不定积分中的教学研究还比较有限，对于该教学方法的优化和改进还有待进一步探讨。
本文将从凑微分法的概念、教学方法、应用举例、优缺点和教学策略等方面展开讨论，旨在为教师和学生提供更多关于不定积分中凑微分法的教学指导和帮助。
1.2 研究意义不限、作者、日期等。
的内容如下：不定积分是高等数学中的重要内容，也是数学分析课程中的难点之一。
在不定积分的学习过程中，凑微分法是一种常用的方法，可以帮助学生更好地理解和掌握积分运算的技巧和方法。
凑微分法可以使学生在解决复杂的不定积分问题时更加得心应手，提高他们的解题效率和准确性。
在教学实践中，深入研究凑微分法的教学策略和方法，可以帮助教师更好地指导学生掌握不定积分的解题技巧，提高教学效果和教学质量。
对凑微分法的研究具有重要的理论和实践意义，有助于推动数学教育的发展和提高学生的数学素养。
1.3 研究现状在国内，各级学校的数学教师们纷纷对凑微分法进行了教学实践，并不断总结经验，提出教学方法，以期提高学生的数学解题能力。
一些教育研究机构也开始重视凑微分法在数学教学中的应用，探讨如何更好地将其融入教学实践中。
这些研究为凑微分法在数学教学中的推广和应用提供了有力支持。
在国外，一些著名大学的数学教授们也对凑微分法进行了深入的研究，提出了许多新颖的观点和解决问题的方法。
他们通过理论探讨和实际运用，进一步完善了凑微分法的理论体系，为不定积分中的解题提供了更多的思路和方法。
凑微分法在不定积分中的研究现状较为活跃，学者们纷纷投身共同探讨如何更好地利用凑微分法解决数学问题，为该领域的发展贡献力量。
凑微分法解不定积分个人用讲义
凑微分法一，凑微分法原理回忆一下，我们导函数的几种表示方法：f′(x)dy/dxdf(x)/dx等等，那么我们对于同一个函数是否就有如下等式：f′(x)=df(x)/dx再加以变形可得f′(x)dx=df(x)我们把这个式子称之为凑微分法的原理公式。
（我自己定义的，别和别人说哦，教科书上没定义）为了说明这个式子，我们来看几个例子：例题一：d(2x+1)=dx解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为2x+1的导函数，既2，所以d(2x+1)=2d(x)例题二：d(e^x)=dx解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为e^x的到函数，既e^x，所以d(e^x)=e^xdx因为做题目的时候，往往是告诉你们e^xdx要你们求d(e^x)。
我再举一个凑微分法的事例:例题三：12dx x=-⎰解析：我们会求解的，其实都是最原始的积分公式有的，如果这题是要我们求1/x我想你们都会吧，但是这里是x-2所以就很麻烦了，那你们就牢记一点，谁可恨，我们就把谁弄到d后面去。
所以我就想到用d(x-2),根据凑微分法原理公式可知d(x-2)=1*d(x),所以我们可以将这题变为d(x-2),如果你们还看不出来，那你们用t来代替x-2，是不是就是你们会解的题目了，最后再把t还原为x-2就好了。
具体的实例就不举了，多操作。
下面我要重点说说，讨厌，这个问题二，什么函数可以凑微分，什么函数讨厌什么函数最讨厌，什么函数一看就是要凑微分我们知道，凑微分其实是把被积函数的一个部分与dx看作一个整体，运用凑积分法原理公式进行替换。
所以被积函数可以表示为两个有求导关系的函数时，一般采用凑微分法。
根据已知的不定积分公式我们可以知道：1三角函数求导仍为三角函数2反三角函数求导为有理函数3幂函数求导认为幂函数4对数函数求导为指数幂为-1的幂函数5幂函数求导仍为幂函数所以，当我们发现一个大的函数是由上述关系中的一种构成的，那么我们就会把求导为的那个函数拿去d一下，然后与原来的式子进行比较，缺什么，补什么，有的时候，甚至要进行多次的凑微分，但是不要怕，一步步往下做一定可以。
凑微分法怎么理解 [浅谈凑微分法的理解及应用]
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凑微分法怎么理解[浅谈凑微分法的理解及应用]【摘要】凑微分法是微积分学中重要的积分法，初学者难以熟练掌握.本文主要讨论其一般规律，并通过举例来说明如何凑微分. 【关键词】基本积分公式；凑微分；不定积分计算不定积分的方法很多，凑微分法是比较重要而且常用的方法之一，深刻理解并熟练应用这种方法是学习后继微积分知识的基础.本文主要讨论其一般规律，并通过举例来说明如何凑微分. 一、凑微分法的理论依据例1求∫2cos2xdx. 分析因为cos2x是复合函数，这个不定积分不能用直接积分法求出结果，但可以考虑套用公式∫cosxdx=sinx+C来计算. ∫2cos2xdx=∫cos2xd2x令2x=u1∫cosudu=sinu+C回代u=2x1sin2x+C. 验证积分结果的正确性：sin2x+C′=2cos2x，积分结果的导数等于被积函数，说明这种积分思路及过程是正确的. 解设u=2x，则du=2dx. ∫2cos2xdx=∫cos2xd2x=∫cosudu=sinu+C=sin2x+C. 解题特点引入新变量u=2x，把原被积表达式化成基本初等函数的微分形式cosudu，再用基本积分公式求出积分结果∫cosudu=sinu+C=sin2x+C. 这种求不定积分的方法具有一般性，其理论依据如下：设y=F（u）及u=φ（x）都是可导函数，且F′（u）=f（u），则由y=F（u）和u=φ（x）构成的复合函数是y=F[φ（x）]. 对函数y=F（u），dy=F′（u）du=f（u）du，则∫f（u）du=F（u）+C；对复合函数y=F[φ（x）]，dy=y′xdx=F′（u）u′xdx=f（u）φ′（x）du=f（u）du，即dy=f（u）du，则∫f（u）du=F（u）+C. 由此可见，不论u是自变量还是中间变量，总有∫f（u）du=F（u）+C.于是得到结论：如果∫f（x）dx=F（x）+C，而u是x的可导函数，那么∫f（u）du=F （u）+C. 即只要所给积分的被积表达式能凑成f[φ（x）]dφ（x），即f（u）du的形式，就可利用公式∫f（u）du=F（u）+C写出积分结果. 此结论表明：在基本积分公式中，自变量换成任何可导函数u=φ（x）时，公式仍成立.这条性质叫做积分形式不变性.这个结论扩大了基本积分公式的使用范围. 例1中使用的方法，实质上是把微分形式不变性反过来用于不定积分而得到的求积分的方法，这种方法通常叫做第一类换元积分法，也叫凑微分法. 二、凑微分法的定义一般地，若不定积分的被积表达式能写成f[φ（x）]φ′（x）dx=f[φ（x）]d[φ（x）]，令φ（x）=u，当积分∫f （u）du=F（u）+C时，则有下面的结论：∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f （u）duu=φ（x）=∫f（u）du=F（u）+C=F[φ（x）]+C. 通常把这种积分方法称为第一类换元积分法，又叫凑微分法. 三、凑微分法的理解在凑微分法的过程中，变量u在这里处于中间变量的地位，u是x的可导函数u=φ（x），因此这种方法的关键也可以说是正确选择中间变量u.在具体解题的过程中，要注意凑出来的新的积分∫f（u）du要能用直接法求出积分结果，否则就失去了换元的意义.四、应用举例 1.凑微分法求解步骤设∫f（u）du=F（u）+C，运用凑微分法做积分运算时首先将原积分形变为∫f[φ（x）]φ′（x）dx，再按下列步骤进行：∫f[φ（x）]φ′（x）dx凑微分1∫f[φ（x）]dφ（x）变量代换1φ（x）=u ∫f（u）du计算积分1F（u）+C变量代换1u=φ（x）F[φ（x）]+C. 2.常用的凑微分形式（1）dx=11ad （ax）=11ad（ax+b）；（2）xdx=112dx2=112ad（ax2+b）；（3）11xdx=dlnx；（4）11xdx=2dx；。
浅谈不定积分中“凑微分法”的教学
浅谈不定积分中“凑微分法”的教学【摘要】本文介绍了不定积分中常用的“凑微分法”。
在我们对凑微分法进行了介绍，说明了其在教学中的目的与意义。
接着在我们详细解释了什么是凑微分法，如何应用凑微分法，以及通过实例分析展示了凑微分法的具体操作方法。
同时也提出了在使用凑微分法时需要注意的事项，并且探讨了凑微分法的优缺点。
最后在我们对凑微分法进行了总结，展望了未来可能的发展方向，同时得出了教学过程中的一些启示。
通过本文的学习，读者将对凑微分法有更深入的了解，提高数学学习的效率与质量。
【关键词】浅谈不定积分中“凑微分法”的教学，关键词：引言：介绍、目的、意义正文：凑微分法、应用、实例分析、注意事项、优缺点结论：总结、展望、启示1. 引言1.1 介绍不定积分是微积分中一个重要的概念，凑微分法是其中一种解题方法。
凑微分法在解不定积分时常常能够简化问题，使得计算更加高效。
本文将浅谈不定积分中的凑微分法的教学，主要包括凑微分法的基本概念、应用方法、实例分析、注意事项以及优缺点等内容。
在解决不定积分时，凑微分法是一种常见且实用的方法。
通过“凑微分”这一操作，可以将被积函数化简为更容易求解的形式，从而简化计算过程。
凑微分法的应用范围很广，可以帮助我们解决各种类型的不定积分，提高解题效率。
在接下来的内容中，我们将详细介绍什么是凑微分法，如何应用凑微分法来解决不定积分问题，通过实例分析来帮助读者更好地理解凑微分法的实际应用，同时也会提醒大家在使用凑微分法时需要注意的事项，以及凑微分法的优缺点。
通过本文的阅读，希望读者能够对不定积分中的凑微分法有更深入的了解，从而提高解题的效率和准确性。
1.2 目的在教学不定积分中，“凑微分法”是一种常见的解题方法，通过凑微分可以简化复杂的不定积分问题，使求解过程更加简洁和高效。
故本文旨在探讨不定积分中“凑微分法”的教学方法，帮助学生更好地理解和掌握这一解题技巧。
引导学生深入理解凑微分法的概念及其应用场景，通过具体的案例分析教学，引导学生熟练运用凑微分法解决不定积分问题。
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式不定积分凑微分法是求不定积分的一种常用方法。
该方法的核心思想是运用代数技巧，将被积函数化简为可直接求解的形式，从而便于求取不定积分。
在实际应用中，不定积分凑微分可以解决一些特定形式的不定积分问题，如有理函数、有理函数的积、和、复合函数、分部积分等。
下面将详细介绍不定积分凑微分法的原理、思路和具体步骤。
一、不定积分凑微分法的原理和思路不定积分凑微分法是利用代数变换，通过凑微分将原函数化简为易于求积的形式。
其原理基于微分的性质，即如果存在一个函数u(x)，满足du(x)=f(x)dx，则能够得到f(x)dx=du(x)，从而将被积函数化简。
该方法的思路可以概括为以下几个步骤：1.首先观察被积函数，尝试找到一个可以直接求积的函数作为凑微分的基本形式。
2. 推测一个可以凑微分的函数u(x)，并计算出它的微分du(x)。
3. 将原函数中的部分项乘以1，即du(x)/du(x)，并将这个1用u(x)表示。
4. 将原函数中凑出的du(x)用u(x)表示，并将原函数中的其他部分用u(x)表示。
5.对化简后的函数进行不定积分，从而得到最终的结果。
二、不定积分凑微分法具体步骤具体求解不定积分的凑微分法步骤如下：1.观察原函数，尝试找到可以求积的基本形式。
常见的基本形式包括一元多项式、指数函数、三角函数等。
2. 根据被积函数的形式，选择一个适合的凑微分函数u(x)。
通常情况下，选择凑微分函数时要考虑它的微分du(x)，以及被积函数的部分项是否能够通过凑微分函数u(x)来表示。
3. 计算凑微分函数u(x)的微分du(x)，并将被积函数中的dx用du(x)表示。
4.将原函数中对应凑微分函数u(x)的部分用u(x)表示，将原函数中的其他部分用u(x)表示。
5.对化简后的函数进行不定积分，从而得到最终的结果。
三、不定积分凑微分法的应用举例1.凑微分简化幂函数的积分考虑不定积分∫x^2/(x+1)dx。
这是一个幂函数的积分，我们可以选择凑微分函数u(x)=x+1，计算它的微分du(x)。
余绵樟-43不定积分的凑微分法
记住一些常用的凑微分式，如：
dx 1 d(ax b) ； xdx 1 dx2 ；
a
2
exdx d(ex ) ；
1 dx 2d( x ) ； 1 dx d(ln | x |) ；
x
x
sin xdx d(cos x) ；cos xdx d(sin x) .
例求 解设
引例
分析 被积函数
是复合函数，不能直接积分。
我们可以把原积分作下列变形后计算：
令 ，则
于是
令2x u
回代u 2x
【思路】：
凑微分
换元
求积分 回代
由直接验证知，上述计算正确。 定理：
则有
引例的解法可以归纳为：
这种先“凑”微分，再做变量代换 求积的方法，叫做第一类换元积分法， 其关键在第一步的“凑”，因此也称凑 微分法。
第一类换元不定积分法 ———凑微分法
主讲人：余绵樟
易知
，（1） ，（2）
注意：（1）和（2）相同，不定积分 跟字母没有关系。
自然有，
，（3）
（把 看成 即可，同（2））
问题的提出：
那么，
（4）
注意：（3）和（4）的区别。
这就遇到了复合函数的求积问题。
寻根究源：求积与求导是互为逆运 算关系。我们可以用中间变量来进行代 换，用复合函数的求导反过来求不定积 分，这种积分方法称为不定积分的换元 积分法。
，得
[说当明运] 算熟练后，不必将中间变 量写出来，而把“换元”和“回代” 记在脑子里。
如上例：
第一类换元不定积分法
———凑微分法
谢谢观看
§3-3 凑微分积分法共7页word资料
§3-3 凑微分积分法求原函数100(23)d +⎰x x 时，若用分项积分法，就得先把100)32(+x 按二项式公式展开成101项之和，然后逐项求积分.这显然是太麻烦了.假若用下面的做法，就会非常简单.100(23)d x x +⎰1001(23)d(23)2x x =++⎰101101)32(2021)32(101121+=+⋅=x x 1d d(23)2x x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦[把(23)x +看成x 套用积分公式⑵]一般地，1111()d (0,1)()d()()1ax b x a ax b ax b ax b a a μμμμμ++≠≠-=++=++⎰⎰1d d()x ax b a ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦[把()ax b +看成x 套用积分公式(2)] 例4x =121(23)d(23)2x x -++⎰32)32(22121+=+⋅=x x . [把(23)x +看成x 套用积分公式⑵]例5 11sin(23)d sin(23)d(23)cos(23)22x x x x x +=++=-+⎰⎰[把(23)x +看成x 套用积分公式⑸]下面两例，既用到分项积分法，又用到凑微分积分法.例6 x ⎰=(恒等变换)1(2d 2x x ⎡+⎣⎰(再分项积分) 13(222x x x =+-⎰312213(23)d (23)d 22x x x x =+-+⎰⎰ 312213(23)d(23)(23)d(23)44x x x x =++-++⎰⎰532211(23)(23)102x x =+-+ (凑微分) (凑微分) (套用积分公式)请你认真看上面的演算，然后合上书再做一遍.例7 211111sin d (1cos2)d cos2d(2)sin 222424x x x x x x x x x =-=-=-⎰⎰⎰,211111cos d (1cos2)d cos2d(2)sin 222424x x x x x x x x x =+=+=+⎰⎰⎰.（请注意．．．，这是固定的积分方法，都用倍角公式） 凑微分积分法用的是积分规则[][][()]()()()d ()d ()()u u x f u x u x x f u u F u F u x ='=========⎰⎰查表它对应于微分法中的链式规则(也是上述积分规则的证明)：[][]()d ()()d ()()()d ()()d u u x F u x F u u x f u u x x f u x u x x ='''===第 113 页你从下面的例题中，可以进一步体会到凑微分积分法的含义.其中的中间变量)(x u u =是记在脑子里，不需要写出来.例8 23232(23)311ed e d(23)e 22x u x x x x x =++++=+=====⎰⎰，(23)1111d d(23)ln 23232232u x x x x x x =+=+=====+++⎰⎰，1)x x x ==-(1)arcsin(1)u x x =-====-，(212)21111d d(1)arctan522(1)22u x x x x x x x =++=+====++++⎰⎰， 22222111e d e (2)d e d()e 222x x x x x x x x x ===⎰⎰⎰(把2x 看作u 套用公式)， 111tan d sin d d(cos )d(cos )ln cos cos cos cos x x x x x x x xx x ==-=-=-⎰⎰⎰⎰，11cot d cos d d(sin )ln sin sin sin x x x x x x x x===⎰⎰⎰. 下面几个例题，既用到分项积分法，又用到凑微分积分法.例9()11111d d ln |5|ln |3|(3)(5)2532x x x x x x x x ⎛⎫=-=--- ⎪----⎝⎭⎰⎰35ln 21--=x x . （裂项，恒等变换）例1015353d d ln |5|ln |3|(3)(5)25322x x x x x x x x x ⎛⎫=-=--- ⎪----⎝⎭⎰⎰.（裂项，恒等变换） 例112211111d (0)d d ()()2x a x x a xa x a x a a x a x ⎛⎫>==+ ⎪-+-+-⎝⎭⎰⎰⎰（裂项，恒等变换）()1111d()d()ln ln 22a x a x a x a x a a x a x a ⎡⎤=+--=+--⎢⎥+-⎣⎦⎰⎰1ln .2a x a a x +=-特别(1)a =，有2111d ln 121xx x x+=--⎰. 例12 22(sin )21cos d(sin )d 11sec d d d ln cos cos 1sin 121u x x x u ux x x x xx x u u=+=========---⎰⎰⎰⎰⎰x x xxx x xx x x tan sec ln cos sin 1lncos sin 1ln 21sin 1)sin 1(ln 21sin 1sin 1ln 21222+=+=+=-+=-+=.用类似的方法可得csc d ln csc cot x x x x =-⎰现在，我们在最简原函数表中再添加以下几个公式(用到时可以直接套用积分公式)：⑾2211d ln 2a xx c a a x a x +=+--⎰ 或 2211d ln (0)2x ax c a a x a x a-=+>+-⎰ ⑿tan d ln cos x x x c =-+⎰⒀cot d ln sin x x x c =+⎰⒁sec d ln sec tan x x x x c =++⎰⒂csc d ln csc cot x x x x c =-+⎰根据提示做习题1.求下面的原函数（根据提示，接着做下去）：⑴1001001d (1)d (1)x x x x -=+=+⎰⎰ ⑵100100(1)1d d (1)(1)x x x x x x +-==++⎰⎰⑶22100100(21)2(1)1d d (1)(1)x x x x x x x x -++-+==--⎰⎰⑷1(32d 2x x x ⎡=-=⎣-⎰⎰用类似的方法做以下两题：⑸x = ⑹x = 答案：⑴ 99)1(991+-x ；⑵ 9998)1(991)1(981+++-x x ； ⑶999897)1(991)1(982)1(971------x x x ；⑷2325)23(21)23(101x x ---； ⑸2123)23(23)23(61x x ---；⑹ 23252325)1(31)1(51)1(31)1(51----+-+x x x x .2.根据提示，查表直接写出答案：第 115 页⑴22222211d d()2x x a x a x a x=+=++⎰⎰⑵33231e d e d()3x x x x x ==⎰⎰⑶21)2x x =+=⎰⑷21)2x x =+=⑸1)x x =+=⑹221sin cos d d sin cos sin cos x xx x x x x x +==⎰⎰⑺e d(2e )d 2e 2e x xx xx +==++⎰⎰⑻222111d d 1212x x x x x ⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⑼(0)2x x >===⑽1(0)x x x ⎛⎫>=-= ⎪⎝⎭ 答案：⑴)ln(2122x a +；⑵3e 31x ；⑶221)1(31x x ++；⑷21x +；⑸1ln 2+x ；⑹|tan |ln x ；⑺)e 2ln(x +；⑻312arctan32+x ；⑼x arcsin2；⑽x1arcsin-. 3.求下面的原函数(请你根据提示做下去，一直到求出最后结果)： ⑴1(1)2d d 11x x x x x x+--=-=--⎰⎰⑵1111d d (2)(5)325x x x x x x ⎛⎫=-= ⎪----⎝⎭⎰⎰⑶x x ==⑷()21236x x =±=±⑸()222111d d(2)342(2)x x x x ==++⎰⎰⑹()222111d d(2)342(2)x x x x ==--⎰⎰⑺22211d d(34)34834x x x x x=±=±±±⎰⎰⑻21d 1)23x x x x =+=++⎰⑼?222221(22)21d(23)1d d d 2223232323x x x x x x x x x x x x x x x +-++==-=++++++++⎰⎰⎰⎰[分子上的(22)x +是分母的导数]⑽22211d d(1)322(1)x x x x x =-=+---⎰⎰⑾222221(22)21d(32)1d d d 3223223232x x x x x x x x x x x x x x x --+-==+=+--+--+-+-⎰⎰⎰⎰[分子上的(22)x -是分母的导数]⑿1)x x =-= ⒀12x x ==-答案：⑴x x ---1ln 2；⑵x x --25ln 31；⑶x 23arcsin 31；⑷23231x ±±； ⑸32arctan321x ；⑹xx 2323ln341-+；⑺243ln 81x ±±；⑻21arctan21+x ；⑼-++)32ln(212x x 21arctan 21+x ；⑽)1(2)1(2ln 41---+x x ； ⑾+-+-223ln 21x x )1(2)1(2ln41---+x x ； ⑿21arcsin -x ；⒀1arcsin2x -. 4.求下面的原函数(请你根据提示做下去，一直到求出最后结果)： ⑴2211d d(ln )ln ln x x x xx==⎰⎰⑵1(1e )e d d 1e1e x xxxx x +-==++⎰⎰ 或1e d d 1e e 1xxx x x --==++⎰⎰第 117 页⑶21e d d e e e 1xx x x x x -==++⎰⎰⑷21e d d e e e 1xx x x x x -==--⎰⎰⑸42sec d sec d(tan )x x x x ==⎰⎰⑹2221sin cos d 1cos (2)d 4x x x x x ⎡⎤=-=⎣⎦⎰⎰2322sin cos d sin (1sin )d(sin )x x x x x x =-=⎰⎰3525sincos d (1cos )cos d(cos )x x x x x x =--=⎰⎰（请你总结一下以上三个题的积分方法） ⑺1cos3sin5d (sin8sin 2)d 2x x x x x x =+=⎰⎰1cos3cos5d (cos8cos2)d 2x x x x x x =+=⎰⎰1sin3sin5d (cos8cos2)d 2x x x x x x =--=⎰⎰【点评】求sin cos sin sin d ()cos cos mx nx mx nx x m n mx nx ⎛⎫⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎰时，第一步用“积化和差”公式. ⑻()222sin 1d d(cos )2cos cos xx x xx =-=++⎰⎰ ⑼211d d(tan 1)cos(1tan )1tan x x x x x =+=++⎰⎰ ⑽221d(2)1sin 2d sin cos sin cos d sin cos x xx x x x x x x x ⎧=⎪⎪=⎨+⎪=⎪⎩⎰⎰⎰⑾211d d 1cos 2cos 2x x x x ⎛⎫== ⎪+⎝⎭⎰⎰⑿2111d d 2d tan 1sin 212sin cos 1tan 2tan 2222x x x x x x x x ⎛⎫=== ⎪+⎝⎭+++⎰⎰⎰答案：⑴1ln x -；⑵)e 1ln(x x +-；⑶xe arctan ；⑷x x e 1e 1ln 21-+-；⑸31tan tan 3x x +；⑹)4sin 4(321x x -；x x 53sin 51sin 31-；x x 86cos 81cos 61+-； ⑺x x 2cos 418cos 161--；x x 2sin 418sin 161+；x x 8sin 1612sin 41-；⑻2cos arctan 21x -；⑼x tan 1ln +；⑽x x 2cot 2csc ln -或x tan ln ；⑾2tan x；⑿2tan12x +-.5.设x x f +='1)(ln ，求函数)(x f .提示：令ln u x =. 答案：c x x f x ++=e )(. 6.设一质点沿Ox 轴做直线运动.已知起点2)0(=x ，初速度0)0(=v ，加速度5)(=t a ，求它的运动规律)(t x x =.提示：()5x t =. 答案：2252+=t x .。
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凑微分法
一，凑微分法原理
回忆一下，我们导函数的几种表示方法：f′(x) dy/dx df(x)/dx 等等，那么我们对于同一个函数是否就有如下等式：f′(x)= df(x)/dx 再加以变形可得f′(x) dx=df(x)我们把这个式子称之为凑微分法的原理公式。
（我自己定义的，别和别人说哦，教科书上没定义）为了说明这个式子，我们来看几个例子：
例题一：d(2x+1)= dx
解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为2x+1的导函数，既2，所以d(2x+1)= 2 d(x) 例题二：d(e^x)= dx
解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为e^x的到函数，既e^x，所以d(e^x)= e^x dx 因为做题目的时候，往往是告诉你们e^x dx要你们求d(e^x)。
我再举一个凑微分法的事例:
例题三：
1
2
dx x
=
-
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解析：我们会求解的，其实都是最原始的积分公式有的，如果这题是要我们求1/x我想你们都会吧，但是这里是x-2所以就很麻烦了，那你们就牢记一点，谁可恨，我们就把谁弄到d 后面去。
所以我就想到用d(x-2),根据凑微分法原理公式可知d(x-2)=1*d(x),所以我们可以
将这题变为 d(x-2),如果你们还看不出来，那你们用t来代替x-2，是不是就是你
们会解的题目了，最后再把t还原为x-2就好了。
具体的实例就不举了，多操作。
下面我要重点说说，讨厌，这个问题
二，什么函数可以凑微分，什么函数讨厌
什么函数最讨厌，什么函数一看就是要凑微分
我们知道，凑微分其实是把被积函数的一个部分与dx看作一个整体，运用凑积分法原理公式进行替换。
所以被积函数可以表示为两个有求导关系的函数时，一般采用凑微分法。
根据已知的不定积分公式我们可以知道：
1三角函数求导仍为三角函数 2反三角函数求导为有理函数 3幂函数求导认为幂函数
4对数函数求导为指数幂为-1的幂函数 5幂函数求导仍为幂函数
所以，当我们发现一个大的函数是由上述关系中的一种构成的，那么我们就会把求导为的那个函数拿去d一下，然后与原来的式子进行比较，缺什么，补什么，有的时候，甚至要进行多次的凑微分，但是不要怕，一步步往下做一定可以。
最后给你们一个提醒：最容易被扔到d后面的函数有e为底的指数函数，1/根号x。
而最不能扔的，就是把对数函数，反三角函数想方法扔到d后面去，因为你们想想，什么函数求导会等于对数函数和反三角函数啊对吧。