离散时间系统

k
n -
[n] u[k ]
k
二、 离散LTI系统的响应及特性
2、离散LTI系统的零状态响应
y[k ] x[k ] h[k ]
证明：对任意的x[k]有： x[k ] 所以
x[n] [k - n]
n
y[k ] T{x[k ]} T { x[n] [k - n]}
系统时变。
所以：
(4)当输入信号x[k]有界时，输出信号y[k]可以是无界的，
所以系统不稳定。
二、 离散LTI系统的响应及特性
1、系统的单位脉冲响应：
h[k ] T{ [k ]}
例6：已知累加器的输入输出关系为 y[ k ] x[ n] n - 试求其单位脉冲响应h[k]。 解： h[k ]
统是非因果的。
一、系统分类
4．稳定系统 当输入|x[k]| Mx< 有界，若输出|y[k]| My< 也有界，则称系统是BIBO稳定。
例4: 判断M1+M2+1点滑动平均系统的稳定性。
解： 根据M1+M2+1点滑动平均系统的输入输出关系：
M2 1 y[k ] x[k n] M 1 M 2 1 n - M1
x[n]T{ [k - n]} x[n]h[k - n]
n
n
n
x[k ] * h[k ]
二、 离散LTI系统的响应及特性
3．离散LTI系统稳定的充要条件 定理：离散LTI系统稳定的充要条件是：
k -


h[k ] S
二、 离散LTI系统的响应及特性
4.离散LTI系统因果的充要条件
例3: 判断M1+M2+1点滑动平均系统的因果性。 解：根据M1+M2+1点滑动平均系统的输入输出关系：
M2 1 y[k ] x[k n] M 1 M 2 1 n - M1
可知： (1)当M2=0时，输出只与k时刻及以前的输入有关。此时， 系统是因果的。
(2)当M2≠0时，输出与k时刻以后的输入有关。此时，系
例5: 判断系统 y[k ] k 2 x[k ] 是否
(1) 线性 (2) 因果 (3) 非时变 (4) 稳定
解：
Leabharlann Baidu(3)
T { x[ k - n ]} k 2 x[ k - n ] y[ k - n ] ( k - n ) 2 x[ k - n ]
T { x[ k - n ]} y[ k - n ]
y[k ]
输出序列
一、 系统分类
1. 线性 (Linearity)系统
T{ax1[k ] bx2[k ]} aT{x1[k ]} bT{x2[k ]}
例1. 判断系统y[k]=2x(k)+3x(k-1)-x(k-2)是否为线 性系统？
一、 系统分类
2. 非时变(Time-Invariance)系统
aT {x1 [ k ]} bT {x2 [ k ]} ak 2 x1 [ k ] bk 2 x2 [ k ]
从而得到：
T {ax1 [ k ] bx2 [ k ]} aT { x1 [ k ]} bT { x2 [ k ]}
所以系统线性。 (2)系统k时刻的输出只与k时刻的输入有关，系统因果。
第一章 离散信号与系统分析
1.2
离散时间系统
广州大学物理与电子工程学院
主要内容
一、系统分类 二、离散LTI系统的响应及特性
重点与难点
重点 系统的线性、非时变、稳定、因果
难点
系统是否线性、非时变、稳定与因果 的判断
一、 系统分类
什么是 离散时间系统？
x[k ]
输入序列
离散时 间系统
y[k] = T{x[k]}
输入有关，即系统的输出不超前于系统的输入。 离散LTI系统为因果系统的充要条件： h[k]=0 ，k<0
4)稳定系统: 输入|x[k]| 有界，输出|y[k]| 也有界。 离散LTI系统稳定的充要条件： h[k ] S
k -
2、离散LTI系统的响应及特性
1)系统的单位脉冲响应：h[k ] T{ [k ]} 2)离散LTI的零状态响应： y[k ] x[k ] h[k ]
定理：离散LTI系统为因果系统的充要条件为： h[k]=0 ， k<0
三、小结
1、系统分类
1) 线性系统:
T{ax1[k ] bx2[k ]} aT{x1[k ]} bT{x2[k ]}
2)非时变系统： 若T{x [k]}=y[k]，则有T{x [k-n]}=y[k-n] 3)因果系统: 离散系统k时刻的输出只与k时刻以及以前的
若T{x [k]}=y[k]，则有T{x [k-n]}=y[k-n]
线性非时变系统简称为：LTI（Linear TimeInvariant）系统。 例2. 判断系统y[k]=2x(k)+-x(k-2)是否为非时变系 统？
一、系统分类
3. 因果（Causality）系统 离散系统k时刻的输出只与k时刻以及以前的输 入有关，即系统的输出不超前于系统的输入。
作业
P49
1-8(1)
当输入|x[k]| Mx< 有界时，则输出： |y[k]| (M1+M2+1)Mx < 因此该系统稳定。
例5: 判断系统 y[k ] k 2 x[k ] 是否
(1) 线性 (2) 因果 (3) 非时变 (4) 稳定
解：
(1) T {ax1 [ k ] bx2 [ k ]} k 2 ( ax1 [ k ] bx2 [ k ])