第九章环与域 91 环

第九章环与域

•9.1 环：两个二元运算的代数结构

•1.环的概念

•定义9.1：是代数系统，+，·是二元运算，若满足：9.1 环

•例9-1：(1):，，，均为环；(2):实数分量的n×n方阵集合，构成环：；(3):

)

(R

M

n

>

•

+

<,

),

(R

M

n

>

⊕

),

(A

P

为环。

>

×

+

<

k

k

k

Z,

,

:)4(

9.1 环

•2.环的性质

•定理9.1：设是环，则对任意的a,b,c有:

(1):加法幺元必为乘法零元；(2):(-a)·b=a·(-

b)=-(a·b)；(3):a·(b-c)=a·b-a·c, (b-c) 9.1 环

¾中·不一定满足交换律，也不一定有幺元，但一定有零元。

•3.子环与环同态

•定义9.2：子环：环，若构

>

•

+

<

⊆,

,

,S

R

S

9.2 整环和域

•定义9.4：设是环：

(1).若·满足交换律，则称R是交换环；

(2).若·运算含有幺元，则称R是含幺环；9.2 整环和域

(2):

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

>

•

+

<

=

×

>

×

+

<

1

1

,

),

(

])

0[

]4[

]2

([

]4[],

2[

]0[

,

,

2

8

8

8

8

和

中有零因子：

是零因子，

是零元，

中，

R

M

Z

9.2 整环和域

•定义9.5：R是环，令，若为阿

贝尔群，则称为域(field)。

由于为群，满足消去律，无零因子，∴域必定是整环；域也可定义为：非零元素都有乘法逆元的}0{*−=R R >•<,*R *

R 9.2 整环和域

•定理9.3：有限整环都是域。

有逆元，，则只需证，考虑，，不妨设是有限整环，证：设i n n R r r r r R r r r r r R R }0{},,,{}0{10},,,{,,211010−∈∀=−===>•+

，，即，而，则若交换环，任取为含幺易知为域，为有限整环是素数证：

j j p i p i j i p j i i Z j i Z Z Z p p p p p p p p =∴∴/≠×=×≠∈>×+<⇒⇒⇐0,||0|]0[][][0,,1,,)(9.2 整环和域

,,,n b F n a F F >+<>+<>+<。

的阶也是中任一非零元素则时，具有有限阶中有非零元素当时，命题成立；中每个元素都是无限阶证：当9.2 整环和域

•定理9.6：设为域，，且中至少

有2个元素，那么为的子域当且仅当满足：

F F ⊆′F ′>•+′<,,F F ′)

,,(,,).1(的子群为，有>+<>+′<′∈−≠′∈∀F F F b a b a F b a