第五讲 时间序列平滑预测法.
时间序列的平滑预测法
时间序列的平滑预测平滑法：简单平均法，移动平均法、指数平滑法。
平滑法既可以用于对时间序列进行平滑以描述序列的趋势，也可对平稳时间序列进行短期预测。
1、 简单平均法根据过去已有的观测值通过简单平均来预测下一期的值；舍时间序列已有的t 期观测值为y1、y2………yt ，那么t+1期的预测值1t F +值为：112111111t+2111(.......),11,1t+2=,t+1tt t i i t t t t t i i F y y y y t t t t e F F y +=+++++==++=++=-∑∑当到了期时，有了期的实际值y 就可以计算误差y 那么期的预测值就为以此类推。
2、 移动平均法通过对时间序列逐期递移求得平均数作为趋势值或者预测值的一种平滑预测方法。
移动平均又包括简单移动平均和加权移动平均。
简单移动平均就是将最近K 期的观测值进行平均，作为下一期的预测值；1<K<t.1211231t+21........,........t k t k t tt t t k t k t t t y y y y F y ky y y y F y k-+-+-+-+-+++++++==++++==同理均方误差MSE 的计算公式为：MSE =误差平方和误差个数移动平均法只使用最近K 期的数据，每次计算都是使用最近K 期数据；这一方法比较适合较为平稳的时间序列数据。
实际中选取不同的K ，比较MSE 的大小来选择合适的步长。
3、 指数平滑法一次指数平滑就是以一段时期的预测值和观测值的线性组合作为t+1期的预测值，预测模型为：说明：通常将11F y =。
1(1)t t t F y F αα+=+-其中，0<<1t t y t t αα为期实际观测值，F 为期的预测值；为平滑系数（）。
211111322212433321=(1)(1)=(1)(1)=(1)1-+(1)F y F y y y F y F y y F y F y y F αααααααα∂+-=∂+-=∂+-=∂+-∂+-=∂+-第二期预测值：第三期预测值：第四期预测值：（）y 依此类推。
时间序列的指数平滑预测技术
第五章 时间序列的指数平滑预测技术本章重点内容：常数模型的指数平滑法的基本公式与预测方程，初值对预测值的影响及其选择，基本公式的误差校正式，霍尔特指数平滑法，布朗二次指数平滑法，布朗适应性平滑法，各种平滑法之间的关系，比例模型的指数平滑法。
5.1常用模型的指数平滑法5.1.1基本公式与预测方程利用时间序列前t 期的观察值x 1 , x 2 ,…, x t 预测第t ＋1期的值x t ＋1时，设赋予第i 期的权重为w t ＋1－I (i=1,2…t), w 1>w 2 >… >w t ,计算诸观察值的加权平均： 并取第t+1期预测值为 这就是所谓加权平均法。
加权平均法的缺点：(1)权重不易确定(2)要记忆的数据太多(3)计算较繁权重不易确定自动取权重的方法：自当前期向前，各期权重按指数规律下降，即第t 期，第t-1期…的权重依次为由上式看出，为使计算方便，使权数之和等于1。
我们使这一条件当t 趋近∞时成立，即使得各期权重依次为上述办法显然解决了自动选权重的问题，但尚未克服记忆数据多和计算繁两个缺点。
为此，我们考虑t 充分大时的情形，这时得到:将滞后一期拿出：得到即:上式称为指数平滑法的基本公式，这个公式是用递推公式给出的，α叫做平滑常数，0 <α<1，其值可由预测者任意指定。
T t 称为T 的(实际上也是x 的)第t 期的指数平滑值。
指数平滑法的预测方程是：即把第t 期的指数平滑值作为第t+1期的预测值。
指数平滑法的基本做法用公式的形式表述出来就是：新的估计值=平滑常数×利用当前期资料的估计值+(1－平滑常数) ×只利用历史资料的估t...t ...t t t x x x W ωωωωωω+++++-+=211121tt W x ˆ=+1)10,0,...(,,2<<>βααβαβα12=+++...αβαβα +-+-+=--221)1()1(t t t t x x x T ααααα...t t t t x )(x )(x T +-+-+=----3221111αααααttt x T T αα=---1)1(1)1(--+=tttT xT ααtt t x ˆ)(x x ˆαα-+=+11t t T x ˆ=+1计值指数平滑法优点：既继承加权平均法重视近期数据的思想，又能克服以上三个缺点。
时间序列平滑预测法
= (1/5) ∑ yt =yM5 5
由于在此段， y5为数据平均值，所有数据应yˆ 6 在y 5 它y6的=上y下5。波y动6 。的因实此际推值出精还品，按课件可前以一用组于值预的测变y 5t化=规6律时在的值
第二段：滑动舍去初始的y1,新一组为
y2 ,y3 ,y4 ,y5 ,y6 :
y6 = (1/5) ∑ yt = M6
80 = xt
xt+T = at+ bt T at= 2 Mt(1} －Mt(2)=
Mt(2)] = 3
bt =2/(N－1)[Mt(1)－
预测模型： xt+T= 80 + 3T 当T = 5精时品课件
移动平均法应用举例------期，股市
中的移动平均 线
日报创办人
一、道。琼斯的理论: 美华尔街
股价运动的三种趋势
精品课件
Mt(1}
由公式④ Mt(1} -Mt(2) = yt －
= (N－1)bt/2
代入
at= yt
得 Mt(2) ………….⑥
-Mt(2) ]/(N-1)…… ⑦
at= 2 Mt(1} － bt =2[Mt(1}
公式 ⑤,⑥,（7)构成二次移
动平均法预测公式。
注：1)预测公式精是品课以件 t时刻为基准的，这
另外，N的选取也起着较大的作用， N小一些,预测跟踪效果好一些。反映较灵敏。 特别地当N=1，则与实际状况相同。
N大一些，平滑特性就好一些，但跟 踪能力差。
精品课件
二、二次移动平均法
1 、 二次移动平均数公式.
二次移动平均是在一次平均移动 的基础上再做一次移动平均。
1(1)…. N(1)]/N
Mt(2) =[Mt(1} + MtMt-n+1(1)]/N
时间序列平滑预测法
(一) 发展速度
报告期水平
1、发展速度 发展速度= 基期水平
2、发展速度类型： 对比的基期不同，发展速
度可以分为环比发展速度和定基发展速度。
定基 环比
* 关系：各期环比发展速度承积=定基发展速度
(二) 增长率 (growth rate)
1、增长率(也称增长速度)
报告期水平-基期水平
增长率=
=发展速度-1
末期水平
2、时间序列的类型
(1) 平稳序列(stationary series) 基本上不存在趋势的序列，各观察值基本 上在某个固定的水平上波动 或虽有波动，但并不存在某种规律，而其 波动可以看成是随机的
(2) 非平稳序列 (non-stationary series) ▪ 有趋势的序列 • 线性的，线性的 ▪ 有趋势、季节性和周期性的复合型序列
1999年一月到2000年一月所跨的月份总
数为12，所以 n = 12
即年度化增长率为20%， 这实际上就是年增长率， 因为所跨的时期总数为一 年。也就是该地区社会商 品零售总额的年增长率为 20%
2) m =12，n = 27 年度化增长率为
该地区财政收入的年增长率为10.43%
解：3) 由于是季度数据，所以 m = 4，从一
基期水平
2、增长率的类型： (1) 对比的基期不同源自增 长率可以分为环比增长率和定基增长率
(2) 由于计算方法的不同，有一般增长率、平 均增长率、年度化增长率
3、环比增长率和定基增长率的计算
(1) 环比增长率
Y0 ，Y1 , Y2 ,…, Yn
报告期水平与前一期水平之比减1
(2) 定基增长率 报告期水平与某一固定时期水平之比减1
2) 1998年3月份财政收入总额为240亿元， 2000年6月份的财政收入总额为为300亿元
时间序列预测分析方法
2005
48008.17
2006
62506.29
2008
84962.48
2009
96711.27
2.时间数列要素
一是研究对象所属的时间范围和采样单位； 二是与各个时间相匹配的、关于研究对象的观察数据。
第五讲 时间序列预测方法
二、时间数列基本理论
(二)时间数列的种类
1.绝对时间数列
定量分 析方法
构成时间数列的数据是总量指标的时间数列称绝对 时间数列。它反映的是研究对象的绝对水平和总规模以 及与之相应的变动趋势。
第五讲 时间序列预测方法
二、时间数列基本理论
定量分 析方法
●时间序列分析不研究事物的因果关系，不 考虑事物发展变化的原因，只是从事物过去和 现在的变化规律去推断事物的未来变化。 ●时间序列中的时间概念是一种广泛意义下 的时间概念，除表示通常意义下的时间外也可 以用其他变量代替。
●时间序列分析法
时域分析法 频域分析法
k
k 1
xk xk 1
2k 1
x2k 1
l 1 l
xl 1 xl
( 2) M2 k 1 2) M l( 1 M l( 2)
第五讲 时间序列预测方法
三、移动平均数预测法
(二)移动平均数预测法的具体做法
1.一次移动平均值的计算公式
定量分 析方法
M
(1) i
1 ( xi xi 1 xi N 1 ) N
x1 , x2 ,, xl ，列表如下：
第五讲 时间序列预测方法
三、移动平均数预测法
(一)移动平均数预测法的基本思想
时间序号 原始数据
定量分 析方法
时间序列平滑预测法
时间序列平滑预测法时间序列平滑预测法是一种通过对时间序列数据进行平滑处理来预测未来趋势的方法。
该方法基于以下假设：过去的数据可以反映未来的趋势，而将过去的数据进行平滑处理可以消除噪声和随机波动，并揭示出数据背后的潜在规律。
时间序列平滑预测法可以应用于各种领域，比如经济学、金融学、工程学等。
在经济学中，时间序列平滑预测法可以用于预测经济指标的未来趋势，如国内生产总值（GDP）、消费者物价指数（CPI）等。
在金融学中，该方法可以用于预测股票价格、利率、汇率等金融指标的未来走势。
在工程学中，时间序列平滑预测法可以用于预测能源消耗、交通流量等工程指标的未来变化。
时间序列平滑预测法的基本思想是通过对时间序列数据进行平滑处理，得到一个平滑的曲线，然后根据这个曲线来预测未来的值。
平滑处理的方法有很多种，常见的方法有移动平均法、指数平滑法和季节性指数平滑法等。
移动平均法是最简单、最常用的一种平滑处理方法。
它的原理是在一定时间窗口内计算数据的平均值，然后将平均值作为平滑后的值。
移动平均法适用于数据变化较为缓慢、无明显趋势和季节性的情况。
移动平均法的优点是计算简单，缺点是不能很好地处理有趋势的数据。
指数平滑法是另一种常用的平滑处理方法。
它的原理是将过去的数据赋予不同的权重，较近期的数据权重较大，较远期的数据权重较小。
指数平滑法适用于数据变化较为快速、有明显趋势和季节性的情况。
指数平滑法的优点是对趋势有较好的适应性，缺点是计算复杂度较高。
季节性指数平滑法是指在指数平滑法的基础上考虑季节性因素进行预测。
它的原理是在指数平滑法的基础上引入季节性指数，用于对季节性因素进行处理。
季节性指数平滑法适用于数据具有季节性变化的情况，如每月销售额、每周客流量等。
季节性指数平滑法的优点是对季节性变化有较好的适应性，缺点是需要进行较复杂的计算。
时间序列平滑预测法的步骤一般包括以下几步：数据预处理、平滑处理、预测和评估。
数据预处理包括对原始数据进行清洗、处理缺失值和异常值等。
预测时间序列平滑预测法
由上表可见： α =0.3，α =0.5，α =0.7时，均方误差分别为：
1 2 2 MSE 214.1 203.8 259.5 240.1 287.1 11
MSE=297.43 MSE=233.36
最小
因此可选α =0.7作为预测时的平滑常数。
1981年1月的平板玻璃月产量的预测值为：
Yt a I t
2、线性趋势型 时间序列的长期趋势值是时间t的一次函数，无季节影响。
Yt a bt It
Yt a bt It
a b 常数 b≠0
3、二次曲线趋势型 时间序列的长期趋势值是时间t的二次函数，无季节影响
Yt a bt ct I t
Ft 1 为下一期预测值；
x t x tN Ft 1 Ft →新预测值是对前一预测值的修正 N N
• 在移动平均值的计算中包括的过去观察值 的实际个数，必须一开始就明确规定。
每出现一个新观察值，就要从移动平均中
减去一个最早观察值，再加上一个最新观
察值，计算移动平均值，
这一新的移动平均值就作为下一期的预测值。
, (1 ), (1 )2 ,
第 t+1、t期的预测值可表示为：
Ft 1 x t (1)x t 1 (1)2 x t 2
(1) (2)
Ft x t 1 (1)x t 2 (1)2 x t 3
（1）－（1－α）（2）等于
权重不好确定；需要数据太多；计算繁琐
• 自动取权重的方法：自当前期向前，各期权重 按指数规律下降，即第t期，第t-1期，…的权 重依次为：
, ,
t
1 1
经济预测与决策时间序列平滑预测法
二点法：设 n2m ，可分两部分求平均值，或分别抽取
一定量的项求加权平均值
分段方程相加法：
以 ( i ,y i)i ,1 ,2 , ,m ,m 1 , ,2 m 代入（1）式得 ln y1y2 ymma m (m 21)b ln ym 1ym 2 y2 mmm a(3 m 2 1 )b
由以上两式可解出 a 和 b
估计方法：1. 最小二乘法
2. 三点法 (t1,y1),(t2,y2),(t3,y3) 其中 y1, y2, y3 分别为初期、中期和近期的加权平均数，当 n15时，可各取5项加权平均，（ n15 时，可各取2
项或3项加权平均），权数由远及近一般地可分别取为1，2， 3，4，5。
设n为奇数，y d
M twYtrtY 1 rn1Ytn1 M (t1)wYt1rtY 2 rn1Ytn
从而 M twY trM (t 1 )wrn Y t n
当n很大时，上式尾项可以忽略不计，即
Mtw Yt (1 )M(t1)w M(t1)w (Yt M(t1)w)
为了便于同移动平均法区别，用St代替Mt·w，则有
的反应越敏感；相反， 越小，预测值越稳定，但对实际 数据的反应越迟缓，在实际中，若序列变化较平稳，则
值应小一些（0.05~0.2）；若序列存在或高或低的明显趋势，
则 值应大一些（0.3~0.7），常取使
|Yt Yˆt 最|
小的 值。
用一次指数平滑法进行预测，除了选择合适的 外，
还要确定初始值So，初始值是由预测者估计或指定的，当序 列的数据较多（如20以上）时，So对以后的影响很小，可取 So=Y1，当序列数据较小时，一般以最初n期的实际值的平均 值作为初始值
用Y表示时间序列的值，各因素对时间序列的综合作用方式
时间序列平滑预测法(课堂PPT)
3个月移动平均预测值
— — — 405 412 469 467 461 452 469 456 430 419
5个月移动平均预测值
— — — — — 437 439 452 466 473 444 444 448 12
解：分别取N=3和N=5，按预测公式：
y ˆ t 1 y t y t 3 1 y t 2 y ˆ t 1 y t y t 1 y t 5 2 y t 3 y t 4
计算3个月和5个月移动平均预测值。
当N=3时 MS 9 1E 1t 2 (yty ˆt)229 88 3 92 3.3 13
当N=5时 MS 7 1E t1 62 (yt y ˆt)217 11 1 45 3.8 96 1
计算结果表明：N=5时，MSE较小，故选取
N=5。预测下年1月的化油器销售量为448只。
2020/5/31
11
例1 某市汽车配件销售公司某年1月至12月的化油器销售量如 表所示。试用简单移动平均法，预测下年1月的销售量。
化油器销售量及移动平均预测值表 单位：只
月份t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 —2020/5/31
实际销售量 423 358 434 445 527 429 426 502 480 384 427 446 —
2020/5/31
13
预测结果分析
可以看出，实际销售量的随机波动较大，经过移动平均法 计算后，随机波动显著减少，而且求取平均值所用的月数
越多，即N越大，修匀的程度越强，波动也越小。但是在
第二，时间序列数据的变化存在着规律性与 不规律性。
1.长期趋势（T）
2.季节变动（S）
3.循环变动（C）
4.不规则变动（I）
第五讲 时间序列平滑预测法 ppt课件
3个月移动平均预测值
— — — 405 412 469 467 461 452 469 456 430 419
5个月移动平均预测值
— — — — — 437 439 452 466 473 444 444 448 12
解：分别取N=3和N=5，按预测公式：
yˆt1
yt
yt 1 3
yt2
yˆt1
yt
这个预测值偏低，可以修正。其方法是：先计
算各年预测值与实际值的相对误差，例如1982
年为： 6.66 6.24 6.31%
2020/3/29
6.66
20
将相对误差列于上表中，再计算总的平均相对 误差：
1
yˆ t yt
100%
1
52.89 58.44
100%
9.50%
由于总预测值的平均值比实际值低9.50%，所 以可将1989年的预测值修正为 ：
yt yˆt
—
—
n=5
yˆ t
yt yˆt
—
—
11.1
—
—
—
—
10.4
10.83
0.43
—
—
11.2
10.77
0.43
—
—
12
10.9
1.1
10.82
1.18
11.8
11.2
0.6
11.1
0.7
11.5
11.67
0.17
11.3
0.2
11.9
11.77
0.13
11.38
0.52
12
11.73
0.27
yt 1
yt2 5
时间序列平滑预测法
• [例] 运用一次指数平滑法对某公司第17期的销售额进 行预测（取α=0.1，0.3 ，0.9）。并计算均方误差，选 择使其最小的α进行预测。 • [解答] α=0.1,α=0.3,α=0.9时，均方误差分别为：
MSE=3.93, MSE=3.98, MSE=4.507 因此，可选α=0.1作为预测时的平滑常数。 该公司第17期销售量的预测值为：
一次移动平均法的优点：计算简单。 缺点：1、要保存的历史数据较多； 2、n的大小不容易确定； 3、它只能用于平稳时间序列，当时间序列的基本特征发 生变化时，一次移动平均不能很快地适应这种变化。 因此，一次移动平均只能用于短期预测，因为在短期情况 下，假设时间序列具有平稳特征，它所做出的预测结果， 其准确度不会受到较大的影响。
x1, x2 ,..., 移动平均法可以表示为：
1 t Ft 1 xt xt 1 ... xt N 1 / N xi N t N 1
式中： xt 为最新观察值；Ft 1为下一期预测值。
• [例] 下表是某产品1～11月的月销售量，试选用N=3和 N=5，采用一次移动平均法对12月的销售量进行预测。
指数平滑法权重变化表
一般来说，一次指数平滑法适用于平稳时间 序列。平滑常数值的确定可采用最小均方差的原 则，即先取一组适当的 a 值，分别计算其均方差， 从中找出使均方差最小的a值。 单指数平滑法适用于变化不大的平稳时间序 列。当时间序列发生变化，尤其是发生突然变化 时，预测模型就不理想了，而且在比较长的时间 内一直跟不上实际的数据，反映缓慢。
It xt 1 I t L St
St
xt
1 St 1 bt 1
0 1
0 1
2019PPT-时间序列平滑预测法
yt = a +η t
其中 a 为常数,η t可视做实际值与 a 的
偏差，此为随机项，应有
2 t
E[η t] = 0 且k D[η t] = σ
对数据指数平滑
S0(1)
St(1) = α∑(1－α) yt-k + (1－α)
当
t
→
∞
,
(1-a)t k
S0
→
0
则 St(1) = α∑(1－α) yt-k
=3
移动平均法应用举例------期，
股市中的移动平均 线
一、道。琼斯的理论: 美华尔街日 报创办人
股价运动的三种趋势
1、原始波动(Primary Trends) Bull Market and Bear Market股价波动的长期上 升（多头市场）和长期下降（空头市场） 是大市波动的基本趋势，基本趋势一旦形 成，通常要延续1~4年；
考虑到： Mt(1} = (yt + yt-1 +…… + yt-N+1)/N
={Nyt－[1+2+……(N －1)]bt}/N
1+2+……(N－1) = [N(N－ 1)]/2
∴ Mt(1} = [Nyt－(N/2)(N－1)bt]/N =yt－(N－1)bt/2…①
Mt-1(1) = yt-1－(N－1)bt/2
则(1-a)tS0→ 0可略去,也就是初始数据 的影响可不考虑。
若 t < 50，一般的可选择最初几个原
b）考虑公式右边第一项
t 1
α∑
k 0
[(1－α)k
xt-k ]
为除S0(1)外其他所有已知的数据 的平滑值，即影响大0 小
时间序列平滑预测法
§3.2
移动平均法
三、二次移动平均法（趋势移动平均法） （一）适用范围及其检验方法： 1、适用范围：有直线趋势的时间序列 2、直线趋势时间序列的检验方法 （1）散点图法：散点图呈直线上升或直线下降 （2）一阶差分法： 一阶差分△yt＝ yt －yt-1几乎为一个非零常数
例：P81
120000 100000 80000 60000 40000 20000 0 系列1
时间 1 2 3 4 5 6 7 8 时间序列 一阶差分 20 21 1 23 2 24 1 25 1 27 2 26 -1 25 -1
§3.2
移动平均法
三、趋势移动平均法 简单移动平均法与加权移动平均法适用于时 间序列无明显趋势变动的情形。 当时间序列出现直线增加或减少变动趋势时， 用简单移动平均法与加权移动平均法进行预 测会出现滞后偏差。 修正的方法是作二次移动平均，利用移动平 均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模 型—趋势移动平均法
20877.5 25455.3 31382.2 38580.8 46690.2 54965.8 62916 70213.7 76868.3
§3.2
移动平均法
（二）二次移动平均法 1、计算一次移动平均值及二次移动平均值 2、建立预测模型
ˆ yt T at bt T
at 2 M M 2 (1) ( 2) bt (M t M t ) N 1
§3.2
移动平均法
一、简单移动平均法 移动平均法的基本思想是：根据时间序列资 料、逐项推移，依次计算包含一定项数的序 时平均值，以反映长期趋势。 当时间序列的数值由于受周期变动和随机波 动的影响，起伏较大，不易显示出事件的发 展趋势时，使用移动平均法可以消除这些因 素的影响，显示出事件的发展方向与趋势 （即趋势线），然后依趋势线分析预测序列 的长期趋势。
时间序列平滑预测法原理
时间序列平滑预测法原理时间序列平滑预测法是一种常用的预测方法，它基于时间序列数据的特征，通过对数据进行平滑处理，来预测未来的趋势。
该方法适用于一些具有趋势性、季节性或周期性的数据，如销售额、股票价格、气温等。
时间序列平滑预测法的原理可以概括为以下几个步骤：1. 数据平滑：首先，对原始时间序列数据进行平滑处理，以减少数据中的噪声和突发波动。
常用的平滑方法包括移动平均法和指数平滑法。
移动平均法是通过计算一定时间窗口内数据的平均值来平滑数据。
例如，可以计算每个月的销售额的移动平均值，以获得销售额的趋势。
指数平滑法是通过加权平均的方式来平滑数据，其中较近期的数据具有较大的权重。
指数平滑法适用于数据具有较强的趋势性的情况。
常用的指数平滑方法有简单指数平滑法和双指数平滑法。
2. 趋势分析：在进行数据平滑后，可以对数据的趋势进行分析。
趋势分析可以帮助我们了解数据的整体变化趋势，以及未来的发展方向。
常用的趋势分析方法包括线性回归分析、多项式拟合和移动平均法。
线性回归分析是通过建立线性方程来描述数据的趋势。
通过拟合回归模型，可以预测未来的数据趋势。
多项式拟合是通过建立多项式方程来描述数据的趋势。
多项式拟合可以更好地适应非线性趋势的数据。
移动平均法是通过计算一定时间窗口内数据的平均值来估计数据的趋势。
移动平均法适用于数据具有周期性或季节性的情况。
3. 季节性调整：对于具有明显季节性的数据，需要进行季节性调整。
季节性调整可以帮助我们更准确地预测未来的数据。
常用的季节性调整方法包括加法模型和乘法模型。
加法模型是将趋势项、季节项和随机项相加来描述数据的季节性。
加法模型适用于季节性的波动与趋势无关的情况。
乘法模型是将趋势项、季节项和随机项相乘来描述数据的季节性。
乘法模型适用于季节性的波动与趋势有关的情况。
4. 预测未来：在完成数据的平滑处理、趋势分析和季节性调整后，可以利用得到的模型来预测未来的数据。
预测方法包括移动平均法、指数平滑法和回归分析等。
第五章时间序列平滑预测法
第五章时间序列平滑预测法第五章时间序列平滑预测法基本内容一、一次移动平均法和一次指数平滑法(一) 一次移动平均法1、一次移动平均方法是收集一组观察值，计算这组观察值的均值，利用这一均值作为下一期的预测值。
2、移动平均法有两种极端情况：① 在移动平均值的计算中包括的过去观察值的实际个数N=1，这时利用最新的观察值作为下一期的预测值；② N=n，这时利用全部n个观察值的算术平均值作为预测值；当数据的随机因素较大时，宜选用较大的N，这样有利于较大限度地平滑由随机性所带来的严重偏差；反之，当数据的随机因素较小时，宜选用较小的N，这有利于跟踪数据的变化，并且预测值滞后的期数也少。
3、由移动平均法计算公式可以看出，每一新预测值是对前一移动平均预测值的修正，N越大平滑效果愈好。
4、移动平均法的优点：①计算量少；②移动平均线能较好地反映时间序列的趋势及其变化。
5、移动平均法的两个主要限制：①计算移动平均必须具有N个过去观察值，当需要预测大量的数值时，就必须存储大量数据；②N个过去观察值中每一个权数都相等，而早于（t-N+1）期的观察值的权数等于0，而实际上往往是最新观察值包含更多信息，应具有更大权重。
（二）、一次指数平滑法1、一次指数平滑法是利用前一期的预测值代替得到预测的通式，即这是一种加权预测，权数为α。
它既不需要存储全部历史数据，也不需要存储一组数据，从而可以大大减少数据存储问题，甚至有时只需一个最新观察值、最新预测值和α值，就可以进行预测。
它提供的预测值是前一期预测值加上前期预测值中产生的误差的修正值。
2、一次指数平滑法的初值的确定有几种方法：①取第一期的实际值为初值；②取最初几期的平均值为初值；3、一次指数平滑法比较简单，但也有问题。
问题之一便是力图找到最佳的α值，以使均方差最小，这需要通过反复试验确定。
二、线性二次移动平均法和线性二次指数平滑法（一）线性二次移动平均法基本原理：为了避免利用移动平均法预测有趋势的数据时产生系统误差，发展了线性二次移动平均法。
时间序列平滑预测法
=yt－(N－1)bt/2…① Mt-1(1) = yt-1－(N－1)bt/2
= yt－(N+1)bt/2 ……②
①－② :
Mt(1} - Mt-1(1) = yt － yt-1 = bt 即； Mt-1(1) = Mt(1} -bt
=2 － Mt(1} -Mt(2) Mt(1} + btT
= Mt(1} -Mt(2) + btT
= (N-1)bt /2 + btT 即与一次移动平均法相比较，滞后偏差(N－1)/2 已补偿。
3． Mt(1} .Mt(2)对应的N 应一致，且二次移动值Mt(2) 不 是预测值
4．二次移动平均法预测公式仅适合于线性趋势预 测。
如果是线形趋势变化，则分析线落后于真
实数据变化，形成滞后偏差 yt－ Mt(1}
线形变化如下： bt = yt－yt-1 有： yt-1 = yt－bt yt-2 = yt-1－bty=yty-1tt-2bt
yt = at+btt
bt
:
y = t-N+1 yt－(N－1)bt t-1 t
考虑到： Mt(1} = (yt + yt-1 +…… + yt-N+1)/N ={Nyt－[1+2+……(N－1)]bt}/N
递推公式 Mt(2) = Mt-1(2)+[Mt(1)－Mt-N(1)]/N Mt(2) 为二次移动平均数
N 分段数据个数 Mt(1) 一次移动平均数
2、线形趋势条件下的一次移动平均数Mt(1) 与二次移动平均数 Mt(2)的关系
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2018/9/16
不论是经济领域中某一产品的年产量、月销 售量、工厂的月库存量、某一商品在某一市 场上的价格变动等，或是社会领域中某一地 区的人口数、某医院每日就诊的患者人数、 铁路客流量等，还是自然领域中某一地区的 温度、月降雨量等等，都形成了时间序列。 时序分析是一种根据动态数据揭示系统动态 结构和规律的统计方法，是统计学科的一个 分支。其基本思想是根据系统有限长度的运 行记录（观察数据），建立能够比较精确地 反映时间序列中所包含的动态依存关系的数 学模型，并借以对系统的未来行为进行预报。
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例1 某市汽车配件销售公司某年1月至12月的化油器销售量如 表所示。试用简单移动平均法，预测下年1月的销售量。 化油器销售量及移动平均预测值表 单位：只
5个月移动平均预测值
月份t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2018/9/16 —
实际销售量 423 358 434 445 527 429 426 502 480 384 427 446 —
预测公式为：
ˆ t 1 M t y
（4-2）
9
（4-3）
即以第 2018/9/16 t 期移动平均数作为第t+1期的预测值。
预测的局限性
ˆ 作为第t+1期的实际值，于是就可 如果将 X t 1 同理计算出第t+2期的预测值，一般地，可相 应地求得以后各期的预测值。但由于误差的 积累，使得对越远时期的预测，误差越大， 因此一次移动平均法一般只应用于一个时期 后的预测（即预测第t+1期）。
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时间序列平滑预测法
时间序列预测技术可分为随机型和确定型两 大类，随机型时间序列预测技术使用了概率 的方法，而确定型时间序列预测技术则使用 非概率的方法。 包括：（1）时间序列与时序分析；（2）移 动平均法；（3）指数平滑法；（4）时间序 列分解法。
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时间序列与时序分析
时间序列平滑预测法
移动平均法 指数平滑法
差分指数平滑法
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时间序列平滑预测法
时间序列预测方法，是将预测目标的历史数 据按照时间的顺序排列成为时间序列，然后 分析它随时间的变化趋势，并建立数学模型 进行外推的定量预测方法。 时间序列预测技术在国外早已有应用，国内 在20世纪60年代就应用于水文预测研究。 到20世纪70年代，随着电子计算机技术的发 展，气象、地震等方面也已广泛应用时间序 列的预测方法。 目前，时间序列分析已成为世界各国进行经 济分析和经济预测的基本方法之一。
4时序分析特点 2018/9/16
第一，时序分析是根据预测目标过去至现在 的变化趋势预测未来的发展，它的前提是假 设预测目标的发展过程规律性会继续延续到 未来，即以惯性原理为依据。 第二，时间序列数据的变化存在着规律性与 不规律性。 1.长期趋势（T） 2.季节变动（S） 3.循环变动（C） 4.不规则变动（I）
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各类影响因素的共同作用，使时间序列数据发生变 化，有的具有规律性，如长期趋势变动和季节性变 动；有些就不具有规律性，如不规则变动以及循环 变动（从较长的时期观察也有一定的规律性，但短 时间的变动又是不规律的）。时间序列分析法，就 是要运用统计方法和数学方法，把时间序列数据分 解为T，S，C，I四类因素或其中的一部分，据此预 测时间序列的发展规律 第三，时间序列是一种简化。时间序列预测方法， 假设预测对象的变化仅仅与时间有关，根据它的变 化特征，以惯性原理推测其未来状态。
计算3个月和5个月移动平均预测值。
当N=3时
当N=5时
计算结果表明：N=5时，MSE较小，故选取
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1 12 11143 2 ˆt ) MSE ( yt y 1591 .86 7 t 6 7
1 12 28893 2 ˆt ) MSE ( yt y 3210 .33 9 t 9
y t 1 y t 2 y t N M t 1 由（4-1）式可知： Ny y y y y t t 1 t N 1 tN tN 因此
Mt Mt N N yt yt N M t 1 N N
y t y t 1 y t N 1 Mt tN （4-1） N 式中：Mt为t期移动平均数；N为移动平均的项数。
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移动平均法
移动平均法是根据时间序列资料、逐项推移， 依次计算包含一定项数的时序平均数，以反 映长期趋势的方法。 移动平均预测法是对时间序列观察值由远及 近按一定跨越期计算出平均值来进行预测的 一种预测方法。 移动平均法有简单移动平均法，加权移动平 均法，趋势移动平均法等。
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3个月移动平均预测值
— — — 405 412 469 467 461 452 469 456 430 419
— — — — — 437 439 452 466 473 444 444 448
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解：分别取N=3和N=5，按预测公式：
yt yt 1 yt 2 ˆ t 1 y 3 yt yt 1 yt 2 yt 3 yt 4 ˆ t 1 y 5
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一次移动平均法
一次移动平均法是在算术平均法的基础上加 以改进的。其基本思想是，每次取一定数量 周期的数据平均，按时间顺序逐次推进。每 推进一个周期时，舍去前一个周期的数据， 增加一个新周期的数据，再进行平均。
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一、简单移动平均法
设时间序列为： y1 , y 2 ,, yt , ； 简单移动平均公式为：
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例题
某市汽车配件销售公司某年1月至12月的化油 器销售量如表所示。试用一次移动平均法， 预测下一年一月的销售量。
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1
Xt
423 358 434 445 527 429 426 502 480 384 427 446
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