解直角三角形的知识点总结

解直角三角形的知识点总结

解直角三角形

一、锐角三角函数

(一)、锐角三角函数定义

在直角三角形ABC 中，/ C=90°，设BC=a, CA=b , AB=c , 锐角A的四个三角函数是：

(1)正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA,即

sin A = a,

c

(2)余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即

b

cos A =—,

c

(3)正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与

邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即

tan A=b，

⑷锐角A的邻边与对边的比叫做/ A的余切，记作cotA即

cot A A的邻边 b A的对边 a

锐角A的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A的锐角三角函

这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件:

(1)锐角/ A必须在直角三角形中，且/ C=900;

(2)在直角三角形ABC中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。否则，不存在上述关系注意:锐角三角函数的定义应明确(1)旦,b,-,-四个比值

c c b a

的大小同△ ABC的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐

角A取固定值时，它的四个三角函数也是固定的；

(2)sinA不是sinA的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样；

(3)利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数

关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等；

(二八同角三角函数的关系

(0平方关系：sin2COS 1

(2)倒数关系：tan a cota=1

sin cos

(3)商数关系：tan , cot

cos sin

注意：(1)这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。

2 2

⑵sin 是sin 的简写，读作“sin 的平方”，不能将

Si n2写成sin 2前者是a的正弦值的平方，后者无意义；

(3)这里应充分理解同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及

的角必须相同，如sin 2 cos 2 1,tan30 ?cot30 1，而sin cos 1就不一定成立。

(4)同角三角函数关系用于化简三角函数式。

(三)余角的函数关系式

任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它

的余角的正弦值，任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。即

si nA二cos（90 °）cosA二sin（90 -°）

tanA=cot （90° -A）cotA=tan（90 -A）

注意:此关系涉及的两角必须互余，左右两边的函数名称不同，其主要作用就是改变函数名称。

（四）特殊角的三角函数值

（五）三角函数值的变化规律及范围

1•当角度在0° ~90°之间变化时：

正弦值岁角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）

2、当0°w a< 90° 时，0w si na w 1, 0< cona w 1,

或 tan a cota=1 二、解直角三角形

（二）解直角三角形

5个元素，即3条边和2个 锐

角，由直角三角形中除直角外的

已知元素求出所有未知元素的过 程，叫做解直角三角形 （三） 解直角三角形的依据

在Rt △ ABC 中，/ C=90° / A ，/ B ，/ C 所对的边分别是a,b,c

1. 三边之间的关系：a 2

b 2

c 2

2. 锐角之间的关系：/ A+ / B=90°

b

3.

边角关系：sin A = -, cos A = - , tan A =a

, cot A

—

c c

b

a

1 1

4. 面积关系：S △ ABC 2ab 2 ch

（四） 直角三角形的可解条件

1•已知两边可解直角三角形 2•已知一边及一锐角可解直角三角形

说明：已知两个角不能接直角三角形，因为有两个角对应相等的两个 三角形

3.遇到求锐角余切值时，可利用关系式

cotA 二tan(90 -A)

（一）三角函数的概念 RT △ ABC 中,

sin A

cos A =b

, ta n

A =空

c

b

cot A

A 的邻边 A 的对边

除直角外，一共有 在直角三角形中,

相似，不一定全等，因此起边的大小不确定。

（五）解直角三角形的基本类型

坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。