高中数学《对数函数的定义及简单性质》导学案

2.2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的定义及简单性质1．对数函数的概念□1函数y＝logx(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变a量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝log 2x 2与y ＝log x 3都不是对数函数．( )(2)对数函数的图象一定在y 轴右侧．( )(3)当0<a <1时，log a x 在定义域上单调递增．( )答案 (1)√ (2)√ (3)×2．做一做(1)若函数y ＝(a 2－4a ＋4)log a x 是对数函数，则a ＝________.(2)(教材改编P 73T 2)对数函数y ＝log a x 的定义域为________．(3)(教材改编P 72T 8)若对数函数y ＝log (1－2a )x ，x ∈(0，＋∞)是增函数，则a 的取值范围为________．答案 (1)3 (2)(0，＋∞) (3)(－∞，0)『释疑解难』(1)讨论对数函数的性质时，若底数a 的大小不确定，必须分a >1和0<a <1两种情况进行讨论．(2)根据对数函数的性质可知，对数函数的图象都经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，(1,0)，(a,1)，且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数y＝log a x的草图．(3)在对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)中，①若0<a<1且0<x<1，或a>1且x>1，则有y>0；②若0<a<1且x>1，或a>1且0<x<1，则有y<0.以上性质可以简称为：同区间为正，异区间为负．有了这个规律，我们判断对数值的正负就很简单了．(4)要作出由对数函数组成的复合函数的图象，应注意变换作图法的灵活运用，即先作出基本函数(对数函数)图象，再由平移、对称、旋转、伸缩等变换作出所求函数图象即可．(5)两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”，如图所示．因此，若设y1＝log a x，y2＝log b x，其中a>1，b>1(或0<a<1,0<b<1)，当x>1时，“底大图低”，即若a>b，则y1<y2；当0<x<1时，“底大图高”，即若a>b，则y1>y2.探究1对数函数的概念及对数函数的定义域例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝log x3；(4)y＝log2x＋1.解(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．拓展提升判断函数是对数函数的条件判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.【跟踪训练1】若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为()A．y＝log2xB．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4xD．不确定答案A解析设对数函数的解析式为y＝log a x(a>0，且a≠1)，由题意可知log a4＝2，∴a2＝4，∴a＝2.∴该对数函数的解析式为y＝log2x.例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝lg (2－x )；(2)y ＝1log 3(3x －2)； (3)y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ lg (2－x )≥0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥1，2－x >0. ∴x ≤1.即y ＝lg (2－x )的定义域为{x |x ≤1}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ log 3(3x －2)≠0，3x －2>0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －2≠1，3x >2， 解得x >23，且x ≠1.∴y ＝1log 3(3x －2)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >23，且x ≠1. (3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎨⎧x <2，x >12，x ≠1. ∴y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，且x ≠1.拓展提升求函数的定义域应考虑的几种情况求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围．经常考虑的几种情况：①1f (x )中f (x )≠0；②2n f (x ) (n ∈N *)中f (x )≥0；③log a f (x )(a >0，且a ≠1)中f (x )>0；④log f (x )a (a >0)中f (x )>0且f (x )≠1；⑤[f (x )]0中f (x )≠0；⑥求抽象函数或复合函数的定义域，需正确理解函数的符号及其定义域的含义．【跟踪训练2】 求下列函数的定义域：(1)y ＝1log 2(x －1)；(2)y ＝lg (x －3)； (3)y ＝log 2(16－4x )；(4)y ＝log (x －1)(3－x )．解 (1)要使函数式有意义，需⎩⎨⎧ x －1>0，log 2(x －1)≠0，解得x >1，且x ≠2.∴函数y ＝1log 2(x －1)的定义域是{x |x >1，且x ≠2}． (2)要使函数式有意义，需⎩⎨⎧ x －3>0，lg (x －3)≥0，即⎩⎨⎧ x －3>0，x －3≥1，解得x ≥4.∴所求函数的定义域是{x |x ≥4}．(3)要使函数式有意义，需16－4x >0，解得x <2.∴所求函数的定义域是{x |x <2}．(4)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3，且x ≠2.∴所求函数的定义域是{x |1<x <3，且x ≠2}．探究2对数函数的图象与性质例3如图所示的曲线是对数函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象，则a，b，c，d,1,0的大小关系为________．解析由题图可知函数y＝log a x，y＝log b x的底数a>1，b>1，函数y＝log c x，y＝log d x的底数0<c<1,0<d<1.过点(0,1)作平行于x轴的直线l(图略)，则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c>0.答案b>a>1>d>c>0拓展提升根据对数函数的图象判断底数大小的方法作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．【跟踪训练3】已知0<a<1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象可能是()答案D解析∵0<a<1，所以y＝a x单调递减，y＝log a x单调递减，而y ＝log a(－x)与y＝log a x关于y轴对称，所以选D.例4若函数y＝log a(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为_______．解析∵函数的图象恒过定点(3,2)，∵将(3,2)代入y＝log a(x＋b)＋c，得2＝log a(3＋b)＋c.又当a>0，且a≠1时，log a1＝0恒成立，∵c ＝2，由log a(3＋b)＝0，得3＋b＝1，∵b＝－2.故填－2,2.答案－2,2拓展提升画对数函数图象时要注意的问题(1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y 轴相交．(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0<a<1.(3)牢记特殊点．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.【跟踪训练4】 函数y ＝log a (x ＋1)－2(a >0，且a ≠1)的图象恒过点________．答案 (0，－2)解析 因为函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x ＋1＝1，得x ＝0，此时y ＝log a (x ＋1)－2＝－2，所以函数y ＝log a (x ＋1)－2(a >0，且a ≠1)的图象恒过点(0，－2)．探究3 有关对数函数的值域问题例5 求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)．解 (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域是R .因为x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2.所以y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4.因为u >0，所以0<u ≤4.又y ＝log 12u 在(0,4]上为减函数，所以log 12 u ≥log 124＝－2，所以y ＝log 12(3＋2x －x 2)的值域为[－2，＋∞)．拓展提升(1)求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围．(2)对于形如y＝log a f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝log a u的单调性求解．【跟踪训练5】函数y＝lg (1＋32－x2)的值域为()A．(－∞，1) B．(0,1]C．[0，＋∞) D．(1，＋∞)答案B解析∵2－x2≤2，∴0<32－x2≤9，∴1<1＋32－x2≤10，∴0<lg (1＋32－x2)≤1，∴y＝lg (1＋32－x2)的值域为(0,1]．1.对数函数定义的理解(1)同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，如y＝2log2x，y＝log2x2等都不是对数函数，只有y＝log a x(a>0，且a≠1)才是.(2)由于指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞).2.函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的底数变化对图象位置的影响(1)观察图象，注意变化规律①上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图象向右越靠近x轴，0<a<1时，a越小，图象向右越靠近x轴.②左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.(2)对于对数函数图象性质的助记口诀对数增减有思路，函数图象看底数．底数只能大于0，等于1来也不行．底数若是大于1，图象逐渐往上升；底数0到1之间，图象逐渐往下降．无论函数增和减，图象都过(1,0)点.1．下列函数是对数函数的是()A．y＝log a(2x) B．y＝log22xC．y＝log2x＋1 D．y＝lg x答案D解析选项A，B，C中的函数都不具有“y＝log a x(a>0，且a≠1)”的形式，只有D选项符合．2．函数y＝log a x的图象如图所示，则实数a的可能取值是()A ．5 B.15 C.1e D.12答案 A解析 ∵函数y ＝log a x 的图象逐渐上升， ∴函数y ＝log a x 为单调增函数，∴a >1，故选A. 3．函数f (x )＝11－x ＋lg (1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 答案 C 解析由题意知⎩⎨⎧1＋x >0，1－x ≠0，解得x >－1，且x ≠1.4．函数f (x )＝－5log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．答案 (2,2)解析 令x －1＝1，得x ＝2，即f (2)＝2，故P (2,2)．5．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg (x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象．解∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.又当x∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∴f(－x)＝lg (1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg (1－x)，∴f(x)的解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x＋1)，x>0，0，x＝0，－lg (1－x)，x<0，f(x)的大致图象如图所示．A级：基础巩固练一、选择题1．若f(x)＝1log12(2x＋1)，则f(x)的定义域为()A.⎝⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 答案 C 解析由题可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，log 12(2x ＋1)≠0，解得x >－12且x ≠0，故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x (x ≤0)，log 2x (x >0)，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18的值为( )A ．27 B.127 C ．－27 D ．－127 答案 B解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 218＝log 22－3＝－3，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝f (－3)＝3－3＝127.3．函数f (x )＝log 2(1－x )的图象为( )答案 A解析 该函数为单调递减的复合函数，且过定点(0,0)，故A 正确．4．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象可能是( )答案 A解析 函数y ＝a x 与y ＝－log a x ＝log 1ax ，则当a >1时，0<1a <1；当0<a <1时，1a >1，所以图象A 正确．5．函数y ＝lg |x |x 的图象大致是( )答案 D解析 由函数y ＝lg |x |x 的定义域是{x |x ≠0}，易得函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，可排除A ，B ，当x ＝1时，y ＝lg 1＝0，故图象与x 轴相交，且其中一个交点为(1,0)，只有D 中图象符合．二、填空题6．若函数y ＝f (x )的定义域是[1,3]，则y ＝f (log 12x x )的定义域是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，12解析 因为函数y ＝f (x )的定义域是[1,3]，则对于函数y ＝f (log 12x )，有1≤log 12x ≤3，所以18≤x ≤12.7．函数f (x )＝log 12(－x 2－2x ＋3)的值域是________．答案 [－2，＋∞)解析 设u ＝－x 2－2x ＋3，则u ＝－(x ＋1)2＋4≤4， ∵u >0，∴0<u ≤4.又y ＝log 12u 在(0,4]上是减函数，∴log 12u ≥log 124＝－2，即f (x )≥－2，∴函数f (x )＝log 12(－x 2－2x ＋3)的值域为[－2，＋∞)．8．设a >0且a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，则不等式log a (x －1)>0的解集为________．答案 (2，＋∞)解析 由x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2且f (x )有最小值，可知a >1.由log a (x －1)>0，得x －1>1，即x >2.三、解答题9．已知函数f (x )＝lg (ax 2＋2x ＋1)．(1)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解 (1)∵f (x )的值域为R ，∴要求u ＝ax 2＋2x ＋1的值域包含(0，＋∞)． 当a <0时，显然不可能； 当a ＝0时，u ＝2x ＋1∈R 成立；当a >0时，若u ＝ax 2＋2x ＋1的值域包含(0，＋∞)， 则Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1. 综上可知，a 的取值范围是0≤a ≤1. (2)由已知，u ＝ax 2＋2x ＋1的值恒为正，∴⎩⎨⎧a >0，Δ＝4－4a <0，解得a 的取值范围是a >1. B 级：能力提升练10．已知2x ≤256且log 2x ≥12，求函数f (x )＝log 2x2×log 2x 2的最大值和最小值．解 由2x ≤256，得x ≤8，∴log 2x ≤3， 即12≤log 2x ≤3.f (x )＝(log 2x －1)×(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14.当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )min ＝－14， 当log 2x ＝3，即x ＝23＝8时，f (x )max ＝2.。