投入产出模型实例
里昂惕夫投入产出模型
一、有限马尔科夫链1、马尔科夫过程是用来测量或者估计随着时间的推移而发生的移动。
马尔科夫矩阵中的每 个值都是从一种状态向另一状态移动的可能性。
通过反复用转移矩阵乘以不同状态下的初始分布的向量，我们可以估计不同时间上的状态变化。
2、假设：At 和Bt 分别代表在时间t 上的A 公司和B 公司的员工人数，定义转移概率是： P AA =目前在A 者还留在A 的概率， P AB =目前在A 者转移到B 的概率，P BB =目前在B 者还留在B 的概率， P BA =目前在B 者转移到A 的概率。
如果我们把在时间t 上员工转移的分布写成向量，得到：x ’t = t t B A矩阵形式的转移概率就是： M = BB BA ABAA P P P P ,一般，对于n 个时间段： t t B A BB BA AB AA P P P P n= n t n t B A ++ 。
3、稳定状态：由最初的转移矩阵的幂次数上升而形成的新转移矩阵最终收敛到各行数字相同的矩阵。
二、里昂惕夫投入--产出模型1、投入-产出分析：任何一个产业的产出，往往是其他许多产业的投入，或者是该产业自身的投入。
“正确”的产出水平将取决于所有n 个产业的投入需求。
同时所设想的“正确”的产出水平是为了满足技术上的投入--产出关系，不是为了满足市场均衡条件。
2、投入-产出模型结构的假设：（1）每个产业仅生产一中同质的产品。
（2）每个产业用固定的投入比例或要素组合生产其产品。
（3）每一产业的生产服从常数规模报酬。
3、为生产每一单位j 产品所需投入的第i 种商品为一固定数量a ij , a ij 称作投入系数。
对于n 部门经济投入系数可排成矩阵A=[a ij ]，每一列表示生产每单位特定产业的产品所需的投入。
A= nn n n nna a a a a a a a a2122221112114、开放模型。
若上述中的n 各部门构成了整个经济，则他们所有的产出都将仅被用于满足同样n 个部门的投入需求而非最终需求。
投入产出数学模型
投入产出的基本平衡关系
从左到右： 中间需求＋最终需求＝总产出 (1)
从上到下： 中间消耗＋净产值＝总投入
(2)
由此得产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：
x11 x12 x1n y1 x1
x21
x22
x2n
表1：投入产出表（一般格式）
流量 产出 消耗部门
最终需求
投入
1 2 n 消费 累计 出口
生
1
x11 x12 x1n
产
2
x21 x22 x2n
部
门
n
xn1 xn2
xnn
新 创 价 值
工资 纯收入 合计
v1 v2 m1 m2 z1 z2
vn mn zn
总投入
x1 x2 xn
合计
y1 y2 yn
数学建模讲座
（二）投入产出数学模型
李媛
1
在经济活动中分析投入多少财力、物力、
人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高
低的主要标志。
投入产出技术正是研究一个经济系统各部 门间的“投入”与“产出”关系的数学模型， 该方法最早由美国著名的经济学家瓦.列昂捷 夫（W.Leontief）提出，是目前比较成熟的 经济分析方法。
i1
由直接消耗系数的定义 xij aij x j，代入(3)，得
a11x1 a12x2 a1n xn y1 x1
a21x1
a22x2
a2n xn
y2
x2
an1x1 an2 x2 ann xn yn xn
令 X x1 x2 xn ,Y y1 y2
(10)
投入产出模型的推广及其应用
投入产出模型的推广及其应用投入产出模型是一种经济分析工具，用于评估一个经济体中不同部门之间的相互依赖关系和资源流动。
它可以帮助政府、企业和研究机构了解各个部门的贡献和影响，从而制定合理的政策和决策。
本文将介绍投入产出模型的基本原理、推广方式以及其在实际应用中的一些案例。
一、投入产出模型的基本原理投入产出模型是由经济学家沃森·勒奇（Wassily Leontief）在20世纪30年代提出的。
它基于一个简化假设，即一个经济体可以被划分为若干个部门，每个部门都需要一定数量的投入才能生产出相应的产出。
这些投入和产出之间存在着复杂的相互依赖关系，通过建立一个输入输出矩阵来描述这种关系。
输入输出矩阵是一个n行n列的方阵，其中n表示经济体中部门的数量。
矩阵中第i行第j列的元素表示第i个部门向第j个部门提供了多少单位的投入。
通过对输入输出矩阵进行数学运算，可以计算出每个部门的产出、就业和价值创造等指标。
二、投入产出模型的推广方式1. 数据收集：投入产出模型需要大量的数据支持，因此在推广应用之前，需要进行全面而准确的数据收集。
这包括各个部门的生产数据、投入数据以及经济体整体的经济指标等。
2. 模型构建：根据收集到的数据，可以构建输入输出矩阵，并计算各个部门的产出和就业情况。
这一步需要借助计量经济学方法和软件工具进行分析和计算。
3. 效果评估：通过比较不同部门之间的相互依赖关系和资源流动情况，可以评估不同政策或决策对整体经济效果的影响。
这有助于政府和企业制定更合理的发展战略和政策。
4. 推广应用：投入产出模型可以应用于各个领域，包括宏观经济政策制定、区域发展规划、环境影响评估等。
通过将模型推广到不同领域中，可以更好地理解各个部门之间的相互作用，并为决策者提供科学依据。
三、投入产出模型的应用案例1. 宏观经济政策制定：投入产出模型可以帮助政府评估不同政策对经济的影响。
政府可以通过模型计算出增加某个部门的投入会对整体就业和产出造成怎样的影响，从而制定合理的产业政策。
第四章-投入产出系数和模型
农业 轻工业 重工业
其它
农业 1． 109 0． 0464 0． 4114
0．0904
轻工业 × × × ×
重工业 × × × ×
其它 × × × ×
上表的第一列表明：要保证农业部门能提供一亿元的 最终产品，则农业部门的生产量要达到1·109亿元， 轻 工 业 部 门 要 达 到 0·0464 亿 元 ， 重 工 业 部 门 要 达 到 0·4114亿元，其它部门要达到0·0904亿元。其中农业 部门生产总量只超过最终产品的部分（0·0904亿元） 以及引起其它各部门生产的数量，都是因为农业生产
Bv Av (B I )或者是Bv Av (I A)1
（2·7）
其中， Bv ——完全劳动消耗系数行向量， Bv (bv1, bv2 ,, bvn ) ；
Av ——直接劳动消耗系数行向量， Av (a01, a02 ,, a0n ) 。
二、实物型投入产出表的特点
1、实物型投入产出表的实物量作为计量单位，各类 产品的计量单位并不相同，表的纵列不能相加。
产品投入与产出的关系。若用“负”号表示投入，用 “正”号表示产出，则矩阵中每一列的含义说明，为生 产一个单位各种产品，需要消耗（投入）其它产品（包 括自身）的数量。而主对角线上各元素，则表示各种产 品扣除自身消耗后的净产出比重。同时，也可看到，此 矩阵的“行”则没有经济含义，因为每一行的元素不能 运算。
2、实物形态投入产出模型
（1） 实物形态投入产出模型的表式
在实物投入产出表中，是以产品来进行分类的，其计量 单位则是以实物单位来计量的。简化的实物形态投入产 出表如下所示：
上表的简要解释：
从行向看，反映的是各类产品的分配使用情况，其
中一部分作为中间产品供其它产品生产中使用（消 耗），另一部分则作为最终产品供投资和消费使用， 两部分相加就是一定时期内各类产品的生产总量。从 列向看，反映了各类产品生产中要消耗其它产品（包 括自身）的数量。但应指出的是，由于列向各类产品 的计量单位不一致，故不能进行运算，因此，实物投 入产出模型只有行模型没有列模型。
投入产出数学模型练习题 数学建模
投入产出数学模型经济应用案例投入产出数学模型的应用领域很广，常用于分析经济系统的部门结构和比例关系、进行经济预测、调整经济计划等各个方面。
由投入产出模型的理论知道，只要经济系统各个部门的生产技术条件没有变化，就可将报告期的投入产出数学模型直接应用于计划期的经济工作。
下面将以实例说明其在经济中的应。
例题设某个地区的经济系统划分为工业、农业、其他产业三个部门。
上一年度三个部门的生产与消耗情况如下表所示：生产与消耗情况表假定该系统三个部门的生产技术条件都没有变化，从而该系统的直接消耗系数矩阵不变，由此建立的产品分配方程组和产值构成方程组也不变。
在此基础上，分别分析该系统的报告期投入产出数学模型在计划期经济计划工作方面的下列应用。
（1）在经济预测中的应用假定根据上例所示经济系统的生产发展情况，预计该系统工业、农业、其他产业三个部门的计划期总产品将在报告期总产品的基础上分别增长9%、7%、6%。
由于在生产过程中系统内部存在着复杂的产品消耗关系，故一般说来，各个部门最终产品的增长幅度与总产品的增长幅度并不一致。
试预测该系统最终产品的增长情况。
（2）在制订计划中的应用投入产出数学模型为合理制订经济系统的生产计划提供了一个科学的方法。
根据社会需要确定社会产品的原则，先通过对计划期需要量的预测，确定系统各个部门的最终产品，再利用投入产出数学模型推算出各个部门的总产品，在此基础上编制经济系统计划期的投入产出表，作为安排各个部门计划期生产活动的依据。
现假定通过预测，引例所示经济系统三个部门的计划期最终产品需要量分别为工业部门：1216y=亿元，农业部门：2716y=亿元，其他产业部门：3120y=亿元。
试确定计划期总产品、部门间流量及计划期各部门净产值。
（3）在调整计划中的应用以上介绍了如何根据对最终产品的需求，制订经济系统的生产计划。
但是在执行计划时，可能由于不可预测的原因，导致系统某些部门的最终产品出现缺口(计划产量小于需要量)，或者某些部门的最终产品出现余量(计划产量大于需求量)，从而破坏了经济系统原计划的平衡性。
《投入产出模型》课件
目录
CONTENTS
• 投入产出模型概述 • 投入产出模型的构建 • 投入产出模型的分析方法 • 投入产出模型的应用案例 • 投入产出模型的未来发展
01
CHAPTER
投入产出模型概述
定义与特点
定义
投入产出模型是一种经济数量分析方法，通过建立数学模型来描述和分析各部 门之间的经济技术联系和投入产出关系。
02
Excel是一款常用的办公软件， 可以通过添加插件或使用自定 义函数来处理投入产出模型的 数据。
03
SAS和Stata则是专业的统计分 析软件，具有强大的数据处理 和模型分析功能，适用于复杂 的投入产出模型分析。
04
CHAPTER
投入产出模型的应用案例
地区经济分析
总结词
投入产出模型在地区经济分析中，能够全面反映各产业间的经济联系，为地区经济发展战略制定提供决策依据。
数据来源
通过调查、统计和会计资料等途径获取各部门之间的 经济联系数据。
编制方法
采用会计和经济统计方法，按照生产活动的流程和特 点，将各部门之间的经济联系进行分类和整理。
直接消耗系数的计算
直接消耗系数
表示某部门生产单位产品所需直接消耗的另一 部门产品的数量。
计算方法
通过投入产出表中的投入数据计算，反映部门 之间的直接经济联系。
特点
投入产出模型具有系统性、动态性、预测性和政策模拟性，能够全面反映经济 系统的结构、功能和运行机制，为政策制定和经济发展提供科学依据。
投入产出模型的应用领域
产业结构分析
投入产出模型可以用于分析产业 间的关联关系和依存度，揭示产 业发展的内在规律和趋势，为产 业结构调整和优化提供决策支持 。
投入产出模型实例
量。设下个生产周期甲、乙产品的总产量和可提供的商品量分别为 x1、x2 和 y1、y2 则可
得下表
50
A
250 35
250
125
12050
0.2 0.14
100
1.25 0.25
I
1 0
0 1
I
A
1 0.2 0 0.14
0 1.25 1 0.25
0.8 0.14
1.25
0.75
将
投入产出模型实例 例 1： 假设某企业在所考察的期间内，生产甲、乙两种产品。生产过程中，甲、乙两种产 品的产品量，可提供的商品量及互相提供消耗的数量关系统计如下表（表中第一列的两个数 分别表示生产 250t 甲产品时甲产品和乙产品的消耗量，第二列的两个数分别表示生产 100 m3 乙产品时甲产品和乙产品的消耗量）。
（1）假设在下一个生产周期内，设备和技术条件不变，商品需求量增加。其中甲增加到 85t，
乙增加到 50 m3 。应该如何计划甲、乙两种产品的总产量才能满足市场需求？
（2）假设下一个生产周期计划总产量甲为 260t，乙为 110 m3 ，那么可提供给市场的商品
量各是多少？
通过上述表格，我们可以求出甲、乙两种产品各生产单位产品量时对甲、乙产品的消耗
0.8 0.14
1.25 0.75
x1 x2
70.5 46.1
虽然计划总产量增加了，由于比例不当，在下一个生产周期内甲产品的商品量反而减少了。
y1 y2
85 50
带入（2）
x1 x2
0.8 0.14
1.25 0.75
1 Βιβλιοθήκη y1 y2297 122
在下个生产周期，甲、乙计划总产量为 297t、122m3 时扣除消耗掉的产品量后的商品量才
建模案例一：投入产出分析
建模案例一：投入产出分析实例 一个城镇有三个主要企业：煤矿、电厂和地方铁路作为它的经济系统。
生产价值一元的煤，需消耗0.25元的电费和0.35元的运输费；生产价值一元的电，需消耗0.40元的煤费、0.05元的电费和0.10元的运输费；而提供价值一元的铁路运输服务，则需消耗0.45元的煤费、0.10元的电费和0.10元的运输费。
假设在某个星期内，除了这三个企业间的彼此需求外，煤矿还得到了50000元的订单，电厂得到了25000元的电量供应要求，而地方铁路得到了价值30000元的运输需求。
试问：（1） 这三个企业在这个星期各生产多少产值才能满足内外需求？（2） 除了外部需求，试求这星期各企业之间的消耗需求，同时求出各企业新创造的价值（即产值中除去各企业的消耗所剩的部分）。
（3） 如果煤矿需要增加总产值10000元，它对各个企业的产品或服务的完全需求分别将是多少？解：（1）设煤矿、电厂和地方铁路在这个星期内生产的总产值分别为123,,x x x 元，由于“中间产品（作为系统内各企业的消耗）＋最终产品（外部需求）＝总产品”，从而建立分配平衡线性方程组为12311232123300.400.45500000.250.050.10250000.350.100.1030000x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩记12300.400.45500000.250.050.10,,250000.350.100.1030000x A x x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥=== ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭则可以将线性方程组写成矩阵形式Ax y x +=，即()E A x y -=通过求解此线性方程组，即可求出三个企业在这个星期内生产的总产值123,,x x x 。
>> A=[0,0.40,0.45;0.25,0.05,0.10;0.35,0.10,0.10];>> y=[50000,25000,30000]';>> B=eye(3)-A;>> x=B\yx =1.0e+005 *1.14460.65400.8511所以，煤矿、电厂和地方铁路在这个星期内生产的总产值分别为12114460,65400,x x ==385110x =元。
投入产出表与模型投入产出分析知识介绍
数据来源
数据主要来源于统计调查、财务报告、行业协会等渠道。
数据质量审核
对收集到的数据进行质量审核，确保数据的准确性和完整性。
数据处理和分析
对数据进行处理和分析，包括数据的筛选、整理、计算等。
编制结果展示
表格形式展示
将编制结果以表格形式展示，包 括投入产出表、直接消耗系数表、 完全消耗系数表、最终使用表和 初次投入表等。
收集各部门之间的投入产出数据，编制直接消耗系数表，反映各部门 生产过程中的直接消耗关系。
编制完全消耗系数表
根据直接消耗系数表，推算出完全消耗系数表，反映各部门之间的间 接消耗关系。
编制最终使用表和初次投入表
根据完全消耗系数表，编制最终使用表和初次投入表，反映最终使用 和初次投入情况。
数据收集与策制定提供科学依据，帮 助政府和企业制定更加合理和有效的经济政策。
决策支持
投入产出表与模型可以为决策者提供全面的经济分析 和预测，帮助决策者做出更加明智和前瞻性的决策。
THANKS
感谢观看
智能化
借助人工智能和机器学习技术，投入产出表 与模型将实现智能化分析，自动识别数据规 律和趋势，为决策提供更精准的依据。
跨行业与跨区域的应用
跨行业
随着产业融合和跨界合作的发展，投入产出表与模型将应用于更多行业，帮助不同行业 之间实现资源共享和协同发展。
跨区域
随着全球化和区域一体化的发展，投入产出表与模型将应用于更广泛的区域，促进地区 间的经济交流和合作。
通过投入产出模型分析，可以预测经 济发展趋势，为制定经济发展规划提 供支持。
环境影响评价
通过投入产出模型分析，可以评估经 济发展对环境的影响，为环境保护提 供依据。
03
投入产出模型-课件主讲
照价格向量的分块方式，对系数矩阵A进行同样 的分块，构成如下分块矩阵
A
A11 A12 A A 投2入1 产出模型22-课件主讲
简要推导
P PA N
( Pnk
,
Pk
)
( Pn k
,
Pk
)
A11 A21
A12 A22
(
N
1,
N
2
)
( Pnk A11 Pk A21, Pnk A12 Pk A22 ) ( N 1 , N 2 )
A12 I A22
I
B21( I A11） B22 A21 0
B 2 1 B 2 2 A 2 1 (I A 1 1 ) 1
投入产出模型-课件主讲
• 利用上述结果可以转化价格影响模型，这样做的 好处是在已知列昂惕夫逆阵的情况下，可以比较 简便地计算
P n k P kA 2 1 (IA 1 1) 1
投入产出模型-课件主讲
1
a21
...
an1,1
an1
a12 1 ... an1,2 an2
... a1n y1
... a2n y2
...
...
...
0
... an1,n yn1
...
1
yn
Ay y
(AI)y0
投入产出模型-课件主讲
• 闭模型实际上未得到应用，其原因如下：.
– 我们一般计算使用的数据是价值型投入产出表，因此， 计算的结果并不是价格变动的绝对量，而只能是一种
相对量
– 如：某种商品价格1%的价格上涨，其他所有商品价格 将因此上涨%多少。
投入产出模型-课件主讲
《投入产出模型》课件
投入产出模型的发展趋势与展望
智能化与自动化
跨学科融合
定制化与个性化
随着大数据和人工智能技术的 发展，未来投入产出模型将更 加智能化和自动化。通过数据 挖掘和分析，能够更准确地评 估经济系统的结构和效率，为 政策制定提供科学依据。
未来投入产出模型将进一步融 合其他学科的理论和方法，如 地理信息系统、复杂网络等， 以更全面地揭示经济系统的内 在规律和动态变化。
特点
投入产出模型能够全面反映经济系统 的结构和运行规律，揭示各部门之间 的经济联系，为政策制定者提供决策 依据。
投入产出模型的基本假设
假设一
生产过程中消耗的中间产品与 最终产品之间存在固定的比例
关系。
假设二
生产技术系数在一定时期内保 持稳定。
假设三
生产过程中不存在外部经济和 内部经济的影响。
假设四
投入产出模型的起源
投入产出模型的起源可以追溯到 20世纪30年代，当时美国经济学 家瓦西里·列昂惕夫提出了投入产 出分析方法，用于研究经济系统 中各部门之间的投入与产出关系 。
投入产出模型的发展
随着时间的推移，投入产出模型 的应用范围不断扩大，逐渐成为 宏观经济分析和政策制定的有力 工具。在实践中，投入产出模型 不断得到完善和改进，以适应不 同国家和行业的需要。
动态投入产出模型考虑了时间因素对 经济系统的影响，能够更好地模拟经 济系统的动态变化和趋势。该模型在 政策制定和预测方面具有广阔的应用 前景。
03
全球投入产出模型
随着全球经济一体化的加速，全球投 入产出模型逐渐成为研究前沿之一。 该模型能够全面地反映全球范围内各 国家、各行业之间的经济联系和相互 影响。
02
投入产出模型的建立
“投入产出法案例”“边际分析法案例”
三．资源边际费用均等原理：多种资源投入生产 一种或多种产品的最佳资源配比，目的是使资源 组合费用最小，条件是各种资源的边际费用相等。 MC1 = PX1*△X1 MC2 = PX2*△X2 MC1 = MC2 所以 △X2 /△X1 = PX1 / PX2 ？？要求：X1与X2必须是有同功异价的可替代 的两种资源。（即Y值恒定） 例题见教材P260
“投入产出法案例”“边际分析法案 例”
边际分析四大原理.和例题计算： 设 F(X) =AX + BX2 － CX3 PX，PY已知。 EP=(△Y/Y) / (△X/X) = (△Y/△X) / (Y/X)= MP / AP
“投入产出法案例”“边际分析法案 例”
一，生产三阶段原理： 第一阶段EP>1，即MP>AP，每增加一单位可变 资源X引起MP变化大于AP，增加可变资源X投入, 产量Y 可继续增加.，是生产不合理阶段。 通过 MP=AP MP=A + 2BX －3CX2 =AP = A + BX－CX2 X2 = B/2C 可求出此阶段分界点（位于AP的最高点
解： 1) MP = －3X2 + 4X－７／１２＝０ Ｘ1=1/6时,Ｙ＜0 ,舍去 X2 = 7/6时,产量最大为49/108. 2) AP = MP = 2X2 = 2X X1=0 (舍去) , X2 = 1 当 1< X < 7/6 时为生产合理阶段; 3）D（MP）=0， D（－3X2 + 4X－７／１２）=0 当X= 2/3 时 Байду номын сангаас MP从最大变成最小。 4）MP = PX / PY = 5/12=－3X2 + 4X－7/12 当 X = 1 时，纯收入最大为0 ，舍去。 X = 1/3 ，纯收入为最大5/324
1-投入产出表与模型
引入直接消耗系数
• 直接消耗系数是投入产出分析中的基本概念之一， 其含义是生产某种单位产品对另一种产品的消耗 量。 • 公式形式为：
aij xij / x j
– 分子为价值表第Ｉ象限的元素，表示j部门生产中对i产 品所消耗的价值量，分母xj是价值表列向总计，为j部门 的总投入量。 – aij的含义则是j部门每单位产值中对i产品消耗的价值量。
棉花100 80 纱200 180 布300 200 服装500
20消费
20出口
100消费
500消费
• 初始投入：（70+30）+（50+70）+（ 60+60）+（120+180）=640 • 最终产品与初始投入在价值量上是相等的
投入产出表与模型
• 表与模型
– 投入产出模型有两种表现形式，即投入产出表和与其 对应的投入产出数学模型。
• 问题：投入产出表与GDP核算？
– 生产法 – 收入法 – 支出法
按行建立的数学模型
行向投入产出数学模型
• 依据实物表和价值表上的同行元素的关系 得到 •
• 采用求和符号与矩阵形式记为：
X
i 1
n
ij
yi xi
Zi y x
(I=1，2 ，……， n)
– 产品平衡关系式表现了各产品的生产、分配关 系 – 但各式之间的联系不够紧凑，它未形成一个有 机联系的整体，所反映的数量关系简单化、表 面化，有待进一步深化其关系 – 引入直接消耗系数
引入A系数的意义
– 把行与列联结起来，使平衡数量关系得以深化
• 引入该系数后，即可将物质生产中的技术联系置入 模型中，从而使模型不再局限于行向元素数量关系 上，
第8章 地区间投入产出模型(最终版)
第八章 地区间投入产出模型地区间投入产出模型是利用地区间商品和劳务流动，将各地区投入产出模型联接而成的模型。
地区间投入产出模型系统、全面地反映了各个地区各个产业之间的经济联系，并对各个地区间商品和劳务流动进行了描述，是进行地区之间产业结构和技术差异比较、分析地区间产业相互联系与影响、资源在地区间的合理配置、地区经济发展对其它地区经济的带动作用和溢出、反馈效应等研究的重要基础工具。
根据编制方法与表式的不同，地区间投入产出模型可分为IRIO 与MRIO 两类。
IRIO 模型的英文为Interregional Input-Output Model ，由Isard （1951）首先提出，因此也称为Isard 模型。
该模型要求把所有产业按区域进行划分，不仅要编制各地区内的流量矩阵，还需要对各地区产品对其它地区的流向进行调查，即要编制分地区、分部门的地区间产品流量矩阵，是一个流入非竞争型模型，对基础数据的需求量非常大，编制比较困难。
MRIO 模型则相应对数据资料要求较少，英文为Multiregional Input-Output Model ，其编制原则中应用最广的是由Chenery （1953）和Moses （1955）先后独立提出的列系数方法，也称为Chenery-Moses 方法。
本章第一节和第二节将分别对IRIO 模型和MRIO 模型进行介绍，第三节将对地区间投入产出表的编制方法进行介绍。
第一节 地区间IRIO 模型一、两地区IRIO 模型实例我们首先以两地区IRIO 模型为例，对地区间IRIO 模型进行介绍。
以上标r 、s 分别表示地区，并假设r 地区有3个生产部门（1，2，3），s 地区有2个生产部门（1，2）。
由此，地区r 内部的中间投入矩阵可以表示为rrZ ，r 对s 地区的中间投入矩阵可以表示为rsZ 。
其中，rrZ 和rsZ 分别由9个、6个元素组成。
同理，对地区s 而言，同样存在地区内的中间投入矩阵ssZ 和地区s 对地区r 的中间投入流量矩阵srZ 。
投入产出表的数学模型
178.54 = 1549.98 (亿元) 445.26
例：若把农业、工业、“其他”三个部门的最终使用由现在 的175亿元、1410亿元、395亿元分别增长4%、8%和10%，直接消 耗系数同上，试测算各部门的总产出。
175 × 104% = 182 Y 解：由题意知 = 1410 × 108% = 1522.8 395 × 110% = 434.5
(a11 a 21 a n1 ) X 1G1 X 1 (a a a ) X G X 12 22 n2 2 2 2 ...... (a1n a 2 n a nn ) X n Gn X n
第二列各直接消耗系 数之和，用C2表示； 第n列各直接消耗系 数之和，用Cn表示。 把该式变 形可得投 入产出表 的列模型 (见下页)
…
…
合
计
∑xi ∑xi … ∑xi d1 v1 T1 r1 G1 X1 d2 v2 T2 r2 G2 X2 dn vn Tn rn Gn Xn
… ∑Ei
∑Y ’i
∑Mi ∑X
最 初 投 入
固定资产折 旧 劳动者报酬 生产税净额 营业盈余 合 计
…
∑dj ∑vj ∑Tj ∑rj ∑Gj ∑Xj
… …
总
0.8947 -0.1404 -0.0526
-0.0111 0.8889 -0.0333
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一个价值型投入产出分析的实例
一个地区价值型投入产出分析的实例投入产出分析是一种应用广泛且经受住了实践检验的经济数量分析方法。
自美国经济学家瓦西里列昂惕夫（Wassily Leontief）于1936年创立投入产出分析方法以来，历经半个多世纪的发展，其理论和方法均比较成熟，在世界绝大多数国家和地区得到了广泛的应用，成效显著。
本文主要对投入产出的产生发展等内容做一简介，随后用一个价值型的投入产出模型来分析其反映的经济问题。
一、投入产出分析的简介（一）投入产出分析的概念、产生及思想渊源投入产出分析（投入产出法）是反映经济系统各部分（如各部门、行业、产品）之间的投入与产出间的数量依存关系，并用于经济分析、政策模拟、经济预测、计划制定和经济控制等的数量分析方法。
投入产出分析是美国经济学家瓦西里列昂惕夫（Wassily Leontief）在20世纪30年代提出来的，并因此而荣获1973年诺贝尔经济学奖。
投入产出分析产生的思想渊源，最早可追溯到18世纪法国重农学派的代表人物魁奈的《经济表》，但是更直接的影响是19世纪下半期法国的数理经济学派里昂.瓦尔多提出的《全部均衡论》及其数学模型和原苏联“1923与1924年度国民经济平衡表”的有关概念和棋盘式表格的经验。
列昂惕夫的投入产出法分析是在前人工作成果的基础上创立起来的，是有其复杂历史渊源的。
（二）投入产出分析的发展投入产出分析的数量经济分析方法已由提出时的由国家为对象发展到研究地区、地区间、部门、部门间、企业以及国际投入产出间的数量依存关系。
早期的投入产出模型只是静态的投入产出模型，二、下面就以X地区X年的投入产出表为例，看一下投入产出分析在经济分析中的应用。
X地区X年的投入产出表（一） （一）反映本地区生产与分配使用的数学模型1nj xij =∑+c i+ki=X i （1）式中，x ij --本地区第j 部门生产中所消耗本地区第i 部门产品的数量;c i --本地区第i 部门的消费; k i--本地区第i 部门的积累; X i --本地区第部门的总产出。
1.4 应用案例-投入产出模型
线性代数在经济管理中的应用投入产出模型目录12 3模型思路应用举例模型简介投入产出模型是什么？投入产出模型如何建？投入产出模型怎么用？Wassily Leontief 列昂惕夫：投入产出分析方法创始人☐1936年，发表了《美国经济体系中投入产出的数量关系》☐1973年，因发展了投入产出分析方法及这种方法在经济领域产生和重大作用，而备受西方经济学界的推崇并因此获得诺贝尔经济学奖☐1941年，出版了投入产出分析的第一本专著《美国经济的结构，1919～1929》☐从数量上系统地研究一个复杂经济实体的各不同部门之间相互关系的方法投入产出分析:研究实际经济问题☐投入产出模型是通过编制投入产出表，运用线性代数工具建立数学模型，从而揭示国民经济各部门、再生产各环节之间的内在联系，并据此进行经济分析、预测和安排预算计划。
宏观经济预测2投入产出模型思路基本假设：假定一个国家的经济可以分解为n个部门，这些部门都有生产产品或服务的独立功能。
每个部门的产出向量是一个n 元列向量x，考虑该国要向外提供产品，设d 为外部需求向量，表示其他国家和部门对该国经济体的需求，如政府消费、出口贸易和战略储备等。
投入产出模型思路2投入产出模型:核心问题为了满足外部的最终需求向量d，各生产部门的实际产出x应该是多少？内部需求外部需求实际产出x投入产出模型思路2基本假设：对于每个部门，存在一个在n 维单位消耗列向量，它表示第i 个部门每产出一个单位（比如100万美金）产品，需消耗其他部门产出的数量。
把这n 个并列起来，就可以构成一个的系数矩阵，成为内部需求矩阵V 。
由于要向外部提供产品，V 矩阵各列向量元素之和必小于1。
v i n n v i【国民经济宏观模型】设国民经济由制造业、农业和服务业三部门组成。
各部门的单位消耗列向量如下表所示。
向下列部门购买每单位输出的输入消耗制造业农业服务业制造业0.50.40.2农业0.20.350.15服务业0.150.10.3v 1v 2v 3【国民经济宏观模型】设国民经济由制造业、农业和服务业三部门组成。
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量。设下个生产周期甲、乙产品的总产量和可提供的商品量分别为 x1、x2 和 y1、y2 则可
得下表
50
A
250 35
250
125
12050
0.2 0.14
100
1.25 0.25
I
1 0
0 1
I
A
1 0.2 0 0.14
0 1.25 1 0.25
0.8 0.14
1.25
0.75
将
0.8 0.14
1.25 0.75
x1 x2
70.5 46.1
虽然计划总产量增加了，由于比例不当，在下一个生产周期内甲产品的商品量反而减少了。
y1 y2
85 50
带入（2）
x1 x2
0.8 0.14
1.25 0.75
1
y1 y2
297 122
在下个生产周期，甲、乙计划总产量为 297t、122m3 时扣除消耗掉的产品量后的商品量才
满足市场需求。
x1 x2
260 110
y1 y2
（1）假设在下一个生产周期内，设备和技术条件不变，商品需求量增加。其中甲增加到 85t，
乙增加到 50 m3 。应该如何计划甲、乙两种产品的总产量才能满足市场需求？
（2）假设下一个生产周期计划总产量甲为 260t，乙为 110 m3 ，那么可提供给市场的商品
量各是多少？
通过上述表格，我们可以求出甲、乙两种产品各生产单位产品量时对甲、乙产品的消耗
投入产出模型实例 例 1： 假设某企业在所考察的期间内，生产甲、乙两种产品。生产过程中，甲、乙两种产 品的产品量，可提供的商品量及互相提供消耗的数量关系统计如下表（表中第一列的两个数 分别表示生产 250t 甲产品时甲产品和乙产品的消耗量，第二列的两个数分别表示生产 100 m3 乙产品时甲产品和乙产品的消耗量）。