2018最新版七年级探究应用新思维7.怎样设元(学生)
2018最新版七年级探究应用新思维11.方程组的应用(学生)
陶哲轩，2008年11月20日出版的美国《探索》杂志上，20位40岁以下的科学家被冠以“最具智慧的头脑”称号，华裔澳大利亚人陶哲轩排名第一．他1975年生于澳大利亚，13岁获得国际数学竞赛的金牌，24岁被评为终身教授，2006年我国数学家大会上获得菲尔兹奖，时年31岁，广泛的兴趣、丰富的知识储备、深刻的洞察力以及能敏锐地发现那些陌生的问题同自己最擅长领域的本质联系，是他最大的特色．11．方程组的应用解读课标方程组也是刻画现实数量关系的有效模型，在代数式的化简求值、解实际问题等方面有广泛的应用． 一些代数式化简求值问题，运用相关概念、性质，对题意的理解等，常可转化为方程组求解或利用方程组探寻字母间的关系．列方程组解实际问题的关键是找到能够表示问题中全部含义的相等关系，即在相等关系中，问题所给的条件既要不遗漏地重复使用，又不能把同一条件重复利用．许多实际问题既可用列方程求解，又可用列方程组求解，列方程组求解常比单独设一个未知数建立一元一次方程更容易表示相等关系，但解方程组稍繁，这是它们的各自优缺点．问题解决例1 若()()2223423450a b c a b c -+++-+-≤，则610143a b c -+-=_______．（“希望杯”邀请赛试题）例2 小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：A ．24B ．42C ．51D ．15（湖北恩施中考题）例3 某景点的门票价格如下表：50人，（2）班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．（1）两个班各有多少名学生？（2）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？例4 已知x 1，x 2，x 3，…，x n 中每一个数值只能取-2，0，1中的一个，且满足x 1+x 2+…+x n =-17，x 12+x 22+…+x n 2=37，求x 13+x 23+…+x n 3的值．（“华罗庚金杯”香港中学数学竞赛题）间隔发车例5 小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆公交车．假设每辆公交车行驶速度相同，而且公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是多少分钟？（“《数学周报》杯”全国竞赛题）拼图与方程组由几何图形的排列规律和构成特点，并结合图形的性质，构造方程组解拼图问题，我们可体会华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形无数时难入微”的要义。
新课标七年级数学竞赛培训第十一讲 列方程解应用题——设元的技巧
第十一讲 列方程解应用题——设元的技巧应用题联系生活实际，反映实际生活中的数量关系，列方程解应用题是从具体问题中抽象归纳出所需要的数量关系，根据数量间的关系，依照题意合理选择未知数、找出隐含的等量关系，列方程进行求解．恰当地设元是列方程解应用题的关键步骤之一，设什么为元，需要根据具体问题的条件来确定．对未知元的选择，有时可将要求的量设为未知元(即问什么设什么)，称此为直接设元；有时需要将要求的量以外的其他量设为未知元(即所设的不是所求的，则更易找出符合题意的数量关系)，称此为间接设元；有些应用题中隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解，因此需把这些未知的常量设为参数，以便建立等量关系，称此为辅助设元．【例1】 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的面积为 ． (济南市中考题)思路点拨 要求长方形的面积需求出务正方形的边长，为便于求出长方形长与宽，故不宜直接设元，由于6个正方形边长有一定的依存关系，所以，可以从间接设某个正方形边长入手．注： 列方程解应用题又一关键是：找寻能够表示应用题全部意义的相等关系，找寻相等关系的基本方法有：(1)运用基本公式找寻相等关系； (2)从关键词中找寻基本关系；(3)运用不变量找寻相等关系；(4)对一种“量”，从不同的角度进行表述(即计算两次)，得到相等关系．【例2】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行( )．A ．0.5小时B ．1小时C ． 1.,2小时D ．1.5小时 (2001年武汉市选拔赛试题)思路点拨 要求从乙港返回甲港所需的时间，需求甲、乙两港的距离及顺水速度，考虑增设辅助未知数．【例3】某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的32，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的53；零售票每张16元，共售出零售票数的—半，如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平? (北京市东城区中考题)思路点拨 票款与票数、票价有关，既要用字母表示六月份零售价，又要用字母表示总票数．【例4】 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率．(全国初中联赛试题)思路点拨 因售出价=进货价×(1+利润率)，故还需设出进货价，利用售出价不变，辅助建立方程．【例5】 有一片牧场，草每天都在匀速地生长(即草每天增长的量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问：(1) 如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草? (2) 要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛?(全国通讯赛试题)思路点拨 需要考虑草每天的增长量、每头牛每天的吃草量及牧场原有的草量之间的关系，故需增设一些辅助未知数，便于把这些关系表示出来．注： 应用数学知识和方法解决实际问题是学习数学的重要目的之一．而列方程解应用题对初一同学来说是一个困难所在，学习列方程解应用题应注重两个方面：(1)促使综合型思维向分析型思维的转轨．从各个侧面分析列方程的来龙去脉，突破小学形成的固有的综合思维模式(从已知出发列综合算式求未知数，形成分析思维模式． (2)善于把应用题中的生活语言转换成数学语言．应留心生活，多看报刊杂志电视，注意生活常识的积累．有些应用题，它所涉及到的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些表知敷辅助建立方程，辅助表知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求”．学力训练1．一个6位数abcde 2的3倍等于9abcde，则这个6位数等于 ． 2．有人问一位老师：他教的班有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位学生正在操场踢足球．”则这个“特长班”共有学生 人．3．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时，从乙地到甲地逆流行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需 小时． ( “希望杯”邀请赛试题)4．某种产品是由A 种原料x 千克、B 种原料y 千克混合而成，其中A 种原料每千克50元，B 种原料每千克40元，后来调价，A 种原料价格上涨l0％，B 种原料价格减少15％，经核算产品价格可保持不变，则y x :的值是( )． A ．32 B ．65 C ．56 D ．3455 5．从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是( )．A ．5千克B ．6千克C ．7千克D ．8千克6．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么，4月份这位用户应交煤气费( )．A ．60元B ．66元C ．75元D ．78元 (全国初中数学联赛试题)7．某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价为510元，本季度销售了m 件．为进一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低生产成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4％，销售量将提高lo ％，要使销售利润(销售利润＝销售价一成本价)保持不变，该产品每件的成本价应降低多少元? (陕西省中考题)8．如图，几块大小不等的正方形纸片A 、B 、……,I ，无重叠地铺满了一块长方形．已知正方形纸片E 的边长为7，求其余务正方形的边长． 9．某人购买钢笔和圆珠笔各若干支，钢笔的价格是圆珠笔价格的2倍，付款时，发现所买两种笔的数量颠倒了，因此，比计划支出增加了50%，则此人原计划购买钢笔与圆珠笔数量的比为 ．10．电影胶片绕在盘上，空盘的盘心直径为60毫米．现有厚度为0.15毫米的胶片，它紧绕在盘上共有600圈，那么这盘胶片的总长度约为 米(π≈3.14)． (江苏省竞赛题)11．为使某项工程提前20天完成任务，需将原定工作效率提高25％，则原计划完成这项工程需要 天．12．完成某项工程，甲、乙合做要2天，乙、丙合做要4天，丙、甲合做要2.4天，则甲单独完成此项工程需要的天数是( )． A ．2.8 B ．3 C ．6 D ． 12 13．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 立方米的，按每立方米m 元水费收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m ，则该职工这个月实际用水为( )立方米． A ．13 B ．14 C ．18 D ．26 (广西省中考题)14．某种商品若按标价的八折出售，可获利20％，若按原标价出售，可获利( )． A ．25％ B ．40％ C ．50％ D ．66.7％15．某水库共有6个相同的泄洪闸，在无上游洪水注入的情况下，打开一个水闸泄洪使水库水位以a 米／时匀速下降．某汛期上游的洪水在未开泄洪闸的情况下使水库水位以b 米／时匀速上升，当水库水位超警戒线^米时开始泄洪．(1)如果打开n个水闸泄洪x小时，写出表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式；(2)经考察测算，如果只打开一个泄洪闸，则需30个小时水位才能降至警戒线；如果同时打开两个泄洪闸，则需10个小时水位才能降至警戒线．问该水库能否在3个小时内使水位降至警戒线?(连云港市中考题)16．一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次船运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨．问：(1)乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍?(2)现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元?(按每运1吨运费20元计算)(天津市中考题)17．某同学想用5个边长不等的正方形，拼成如图所示的正方形，请问该同学的想法能实现吗?如果能实现，试求这5个正方形的边长；如果不能，请说明理由．( “希望杯”邀请赛试题)18．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量(即单位时间里流人池中的水量相同)不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完? (江苏省竞赛题)参考答案。
七年级数学人教版(上册)小专题(十一)设元技巧在实际问题中的应用
方法二：设李伟从家出发时距离火车开车的时间为 y h，则根据 路程不变，可－60)＝18(y＋60)．
解得 y＝1.
50 由此得路程为 22.5 km，22.5÷60＝27(km/h)．
答：李伟骑摩托车的速度应是 27 km/h.
2．某炼铁厂接到一批原料加工任务 425 吨，现打算调用甲、乙 两条生产线完成．已知甲生产线平均每天比乙生产线多加工 5 吨．若 甲生产线独立加工 20 天后，乙生产线加入，两条生产线又联合加工 5 天，刚好全部加工完毕．甲生产线平均每加工 1 吨需用电 40 千 瓦·时，乙生产线平均每加工 1 吨需用电 25 千瓦·时，则完成这批加 工任务需用电 16 250 千瓦·时．
第三章 一元一次方程
小专题(十一) 设元技巧在实际问题中的应用
类型 1 直接设元
当题目中的数量关系能用所求的未知量表示时，不妨直接设未 知数，即求什么设什么，这是设未知数常用的方法．
【例 1】 两支一样长的蜡烛，同时点燃后，第一支蜡烛每小时 缩短 8 cm，第二支蜡烛每小时缩短 6 cm，2 h 后第二支蜡烛的长度 是第一支蜡烛的 1.5 倍．求这两支蜡烛原来的长度．
【思路点拨】 分析题干可发现题目中要求的只有一个未知 数．找出题目中的等量关系：“第二根原长－缩短的长度＝(第一根 原长－缩短的长度)×1.5”，故可设蜡烛原来的高度为 x 厘米，列方 程求解即可．
解：设这两支蜡烛原来的长度为 x cm，根据题意，得 x－6×2＝1.5(x－2×8)，解得 x＝24. 答：这两支蜡烛原来的长度为 24 cm.
1．一鞋店老板以每双 60 元的价格购进了某种品牌的布鞋 360 双，并以每双 100 元的价格销售了 240 双．冬季来临，老板为了清 库存，决定促销．请你帮老板计算一下，每双鞋降价 30 元时，销 售完这批鞋正好能达到盈利 50%的目标．
11 设元的技巧
11设元的技巧▼阅读与思考应用数学知识和方法解决实际问题是学习数学的重要目的之一.应用题联系实际，反映现实生活中的数量关系，通过解应用题可以培养运用数学知识去分析和解决问题的能力.列方程解应用题，一般有审题、设元、布列方程、解方程、作答等几个步骤.恰当地设元是列方程解应用题关键步骤之一，常见的设元技巧有：1.直接设元即问什么设什么.2.间接设元即所设的不是所求的，适当地选择与题目要求的未知数有关的某个量为未知数，则易找出符合题意的数量关系，从而列出方程.3.辅助设元有些应用题中隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解，因而需把这些未知的常量设为参数，作为桥梁帮助思考,这就是辅助设元.4.整体设元有些应用题未知量太多而已知关系又少，如果在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，这样就减少了设元的个数，这就是整体设元.三例题与求解例1国家规定个人发表文章，出版图书获得稿费的纳税计算方法是：（1）稿费不高于800元的不纳税；（2）稿费高于800元又不高于4000元的应缴纳超过800元的那一部分稿费的14%税；（3）稿费高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税.今知丁老师获得一笔稿费,并缴纳个人所得税420元，问丁老师的这笔稿费有元.（湖北省黄冈市竞赛题）解题思路纳税的多少随稿费的高低而不同，从估算稿费人手.例2某服装厂生产某种定型冬装,9月份销售冬装的利润（每件冬装的利润=出厂价一成本）是出厂价的25%,10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装的成本不变），销售件数比9月份增加80%,那么该厂10月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长（）.（A）2% （B）8% （C）40.5%（D）62%（第十五届江苏省竞赛题）解题思路设出与总额相关的量：出厂价，销售价数.例3某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每33张12元，共售出团体票数的零售票每张16元，共售出零售票数的一半，如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？（2002年北京市东城区中考题）解题思路票款与票数、票价有关，故既要用字母表示六月份零售价，又要用字母表示总票数.例4为鼓励居民用电，某市电力公司规定了如下电费计算方法：每月用电不超过IOO度，按每度电0.50元计费；每月用电超过100度，超出部分按每度电0.40元计费.（1）若某用电户2002年1月交电费用68.00元，那么该用户1月份用电多少度？（2）若某用电户2002年2月份平均每度电费0.48元，那么该用户2月份用电多少度?应交电费多少元？（第十三届“希望杯”邀请赛试题）解题思路对于（2）,先求出2月份该用户用电的度数，解题的关键是对该用户所用电度数范围的估算.例5有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛,则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量是相等的，问：（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？（全国通讯赛试题）解题思路一批牛吃完牧草，这片牧草含原有草量及在一定时间内生长出的草量两部分，显然，必须增设未知数以建立方程.能力训练A级1.光明中学初中一年级一、二、三班，向希望学校共捐书385本，一班与二班捐书的本数之比为4：3,一班与三班捐书的本数之比为6：7,那么二班捐书本.（北京市“迎春杯”竞赛题）2.一个六位数abed㈤的A倍是9abcde,则这个六位数是.3.如果某货物进货价降低8%,而售出价不变，那么利润（按进货价定）可由目前的P%增加到（p+10%）,则P=.4.某出租汽车的车费是这样计算的：路程在4公里以内（含4公里）为10.40元，达到4公里以后，每增加1公里加1.60元；达到15公里后，每增加1公里加2.40元，增加不足1公里时按四舍五人计算.则乘坐15公里该种出租车应交车费元.某乘客乘坐该种出租车交了车费95.20元，则这个乘客乘该出租车行驶的路程为一公里.（精确到两位小数）（第十届“希望杯”邀请赛试题）5.甲、乙两种茶叶，以x：y（重量比）相混合制成一种混合茶，甲种茶叶的价格每公斤50元，乙种茶叶的价格每公斤40元，现在甲种茶叶的价格上调了10%,乙种茶叶的价格下调了10%,但混合茶的价格不变，则x：y等于（）.（A）1:1 （B）5：4 （04：5 （D）5：6（北京市竞赛题）6.某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费.已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么，4月份这用户应交煤气费（）.（A）60元（B）66元（C）75元（D）78元（全国初中数学联赛题）7.一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行（）.（A）O.5小时（B）I小时（C）12小时（D）1.5小时（2001年武汉市选拔赛试题）8.某服装商贩同时卖出两套服装，每套均卖168元，以成本计算，其中一套盈利20%,另一套亏本20%,则这次出售中商贩（）.（A）不赚不赔（B）赚37.2元（C）赚14元⑻赔14元9.从两块重量分别为6千克和4千克且含银的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块分别和另一块切剩的合金放在一起，熔炼后，两块合金的含银的百分数相同，求所切下的合金的重量是多少？10.一船逆流而上，船上有人将一可漂浮物体掉入水中，过了5分钟，发现并随即调头追赶，设船在静水中的速度不变，且不计船的调头时间，问再过多久船才能追上所掉物体？B级1.一幢楼房内住有6家住户，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴，这幢楼住户共订有A、B、C、D、E、F六种报纸，每户至少订了一种报纸，己知赵、钱、孙、李、周分别订了其中2、2、4、3、5种报纸，而A、B、C、D、E五种报纸在这幢楼里分别有1、4、2、2、2家订户，那么吴姓住户订有种报纸，报纸F在这幢楼里有家订户.（“祖冲之杯”邀请赛试题）2.某人购买钢笔和圆珠笔各若干支，钢笔的价格是圆珠笔价格的2倍，付款时，发现所买两种笔的数量是颠倒了，因此，比计划支出增加了50%,则此人原计划购买钢笔与圆珠笔数量的比为.（天津市竞赛题）3.为使某项工程提前20天完成任务，需将原定工作效率提高25%,则原计划完成这项工程需要天.（第十二届“希望杯”邀请赛试题）4.完成某项工程，甲、乙合做要2天，乙、丙合做要4天，丙、甲合做要2.4天，则甲单独做完成此项工程需要的天数是（）.（全国通讯赛试题）（A）2.8 （B）3 （C）6 （D）125.一艘轮船从A港到B港顺水航行，需6小时，从B港到A港逆水需8小时，若在静水条件下，从A港到B港需（）小时.（五城市联赛题）（A）7 （B）7- （C）6- （D）6-2 7 26.某商品连续两次提价10%,又提价5%,要恢复原价，至少应降价x%（x为整数），则X=（）.（A）20 （B）21 （C）22 （D）237.一个长方形如图所示恰分成六个正方形，其中最小的正方形面积是1平方厘米，求这个长方形的面积.（第十届“希望杯”邀请赛试题）8.甲、乙两个同学从A地到B地，甲步行的速度为每小时3千米,乙步行的速度为每小时5千米，两人骑自行车的速度都是每小时15千米，现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时出发，走了一段路程后，乙放下车步行，甲走到乙放车处改骑自行车，以后不断交替行进，两人恰好同时到达B地，求甲走全程的平均速度.（“华罗庚金杯”赛试题）9.山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机20分钟正好把池塘中水抽完.问若用三台A型抽水机同时抽,则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？（江苏省竞赛题）。
七年级数学辅导： 列方程解应用题—设元的技巧
列方程解应用题—设元的技巧姓名： 日期：【知识要点】的条件来确定（1）直接设元：对未知元的选择，将要求的量设为未知数； （2）间接设元：将要求的量以外的其它量设为未知数（即所设的不是所求的，而更易找出符合提议的数量关系）；（3为参数，以便建立等量关系，称此为辅助设元.【典型例题】例1、张先生于2002年7月8日卖入1998年中国工商银行发行的5年期国库券1000元.回家后他在存单的背面记下了当国库券于2007年7月8日到期后他可获得的利息数为390元，若张先生计算无误的话，求该国库券的利率是多少？例2、《1001夜》中有一个绝妙的谜语：一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一直落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们飞一只上来，你们的数目就使整个鸽群的31；倘若我们飞一只下去，我们的数目恰好和你们相同啦”猜猜有多少只鸽子在树上？有多少只鸽子在树下？例3、甲、乙、丙、丁四个数之和等于-90，甲数减-4，乙数加-4，丙数乘-4，丁数除以-4彼此相等，求四个数中最大的一个数比最小的一个数大多少？例4、某班参加一次智力竞赛，共a、b、c 三题，每题或者得满分或者得0 Array分。
其中题a满分20分，题b、题c满分分别为25分。
竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有一人，答对其中两道题的有15人。
答对题a的人数与答对题b的人数之和为29；答对题a的人数与答对题c的人数之和为25；答对题b的人数与答对题c的人数之和为20。
问这个班平均成绩是多少分？例5、游泳者在河中逆流而上，于桥A下面将水壶遗失被水冲走，他继续向前游了20分钟后，才发现水壶遗失，于是立即返回追寻水壶.在桥A下游距桥A2千米处追到了水壶.那么流的速度是每小时多少千米？例6、从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等.问切下的一块重是多少千克？【练习与拓展】1、某商店将某种超级VCD按进价提高35％，然后打出“九折酬宾，外送50元出租车费”的广告，结果每台超级VCD仍获得208元，那么每台超级VCD的进价是多少元？2、甲乙两市相距55公里.王鸣同学从甲市出发去乙市，先步行了25公里，接着改骑自行车，速度提高了1倍，到达乙市后，他发现行程中步行的时间比骑自行车用的时间多1小时.求王鸣同学步行的速度是多少公里/小时.3、小明现在坐在公共汽车，忽然发现一个小偷向相反方向步行，10秒钟后他下车去追小偷，如果其速度比小偷快一倍，比汽车速度慢54，那么追上小偷要多少秒？4、一个长方形（如下图）恰分成六个正方形，其中最小的正方形面积是1平方厘米.求这个长方形的面积.5、某一缝纫师做成一件衬衣、一条裤子、一件上衣所用的时间之比1：2：3.他用十个工时能做2件衬衣、3条裤子和4件上衣.那么他要做成14件衬衣，10条裤子和2件上衣，共需多少工时？6、甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两第三次相遇，已知每秒钟甲比乙多行0.1米，那么两人第三次相遇的地点与点A沿跑道上的最短距离是多少米.7、某市2003年人均住房面积为7.29m2,若两年后人均住房面积要增加到9m2,而人口增长率为0.1％，求这两年中该市每年住房面积应增加百分之几？8、山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘流淌.现池塘有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完；若用两台A型抽水机则20分钟正好把池中水抽完.问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？设元的技巧课后作业姓名：家长签名：1、学校到县城有28千米，除乘汽车之外，还需步行一段路，汽车的速度是36千米/小时，步行的速度是4千米/小时，行全程共需1小时，则步行所用的时间为大多少小时2、某市举行自行车环城赛，每圈长12千米，已知选手甲与选手乙的速度比为5:7，两人同时同地同向出发后，2小时30分钟第一次相遇，问乙比甲每分钟快多少千米？3、某校初一、初二、初三各年级的学生数相同，已知该校的初一的男生数与初二的女生数相同，初三男生占全校男生的83，求全校女生数与全校学生数之比.4、某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行12小时，再换骑自行车行9小时，恰好到达乙地。
人教版初中数学七上微专题16 一元一次方程应用的设元技巧
6
1
七（3）班
6
5
七（4）班
6
5Hale Waihona Puke 平场 2 4 0 1（1）分析积分榜，平一场比负一场多得 1 分；
负场 1 1 1 0
积分 14 12 16 17
（2）若胜一场得3分，七（5）班也比赛了6场，胜场是平场的一半，且共积14分， 那么七（5）班胜几场？ 解：设负1场得x分． 根据七（3）班的得分情况，得3×5＋x＝16， 解得x＝1， 所以负1场得1分，所以平一场得2分． 设七（5）班胜y场，则平2y场，负（6－3y）场． 根据题意，得3y＋2×2y＋6－3y＝14，解得y＝2． 答：七（5）班胜2场．
微专题16 一元一次方程应用的 设元技巧
技巧一 直接设元 方法指导：当题目中的数量关系能用所求的未知量表示时，不妨直接设未知数， 即求什么设什么，这是设未知数常用的方法．
1．某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80 元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准 备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价 多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40%的预期目标？ 解：设每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40%的预期目标． 根据题意，得120×400＋（120－x）×（500－400）－80×500＝80×500×40%， 解得x＝40． 答：每件衬衫降价40元时，销售完这批衬衫正好达到盈利40%的预期目标．
解：设这种药品包装盒的高为x cm，则宽为（7－x）cm，长为（11－x）cm． 由图可知2x＋（11－x）＝13， 解得x＝2， 所以（11－2）×（7－2）×2＝90（cm3）． 答：这种药品包装盒的体积为90 cm3．
7年级上册§8解一元一次方程应用题的设元技巧
§8.解一元一次方程应用题的设元技巧一、知识要点 解应用题的设元技巧 1.直接设元法； 2.间接设元法； ；4.整体设元法. 二、考点演练 题型一：直接设元法1.甲、乙两名打字员，甲每页打500字，乙每页打600字.已知甲每完成8页，乙恰好能完成7页.若甲打完2页后乙开始打字，则当甲、乙打的字数相同时，乙打了多少页？2.某人乘船由A 地顺流到B 地，然后又逆流而上到C 地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为h km /5.7，水流速度为h km /5.2，若A 、C 两地间的距离为km 10，求A 、B 两地间的距离.题型二：间接设元法3.自行车轮胎安装在后轮上，行驶km 3000就要报废；安装在前轮上，行驶km 5000才报废.为了使一对新轮胎尽可能行驶多的路程才报废，在自行车行驶一定路程后就要将前后轮胎调换，则自行车的一对新轮胎最多可行驶多少千米？4.某大型超市元旦假期举行促销活动.规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300元时，按该次购物金额的9折优惠；超过300元时，其中的300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美两次所购买的物品，则小丽应付款多少元？题型三：设辅助元法5.某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定速度增加.如果开放一个检票口，则检票口前的队伍要20分钟才消失；如果同时开放两个检票口，则检票口前的队伍8分钟消失.设检票的速度一定，求同时开放三个检票口时队伍要多少分钟才消失？6.小王沿公路行走，发现每隔12分钟有一辆公共汽车从背后追上；每隔4分钟有一辆公共汽车迎面开来，若小王和公共汽车都是匀速前进，求公共汽车站每隔多少分钟发一趟车？题型四：整体设元法7.一个六位数__________2abcde的3倍等于__________9abcde，求这个六位数.8. 如图，在下面的算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”=3，求被乘数.专题演练一、选择题1.如图，足球是由黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长相等，若黑皮有12块，则白皮有（）A.32块B.20块C.12块D.10块2.一片牧场上的草长得一样快，如果60头牛吃，24天可以将草吃完；如果30头牛吃，60天可以将草吃完；如果要在120天里将草吃完，则需要（）头牛.A.16B.18 C二、填空题3. 某编辑用0~9这10个数字给一本书的各页标上页码，若共写了636个数字，求该书共有________页.4.植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女生完成，则每人应植树15棵，如果只由男生完成，则每人应植树________棵.三、解答题5.停电时，小明同时点燃了两支蜡烛，这两支蜡烛一样长，但不一样粗，粗蜡烛可点4小时，细蜡烛可点2小时，来电后，小明吹灭了两支蜡烛，发现此时粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍，求停电多久？6.某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的32，若提前购票，则给予不同程度的优惠.在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的53；零售票每张16元，共售出零售票数的一半.在六月份内，如果团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价，才能使这两个月的票款收入持平？§一、知识要点 解应用题的设元技巧 1.直接设元法； 2.间接设元法； 3.设辅助元法； 4.整体设元法. 二、考点演练 题型一：直接设元法1.甲、乙两名打字员，甲每页打500字，乙每页打600字.已知甲每完成8页，乙恰好能完成7页.若甲打完2页后乙开始打字，则当甲、乙打的字数相同时，乙打了多少页？ 【解析】设当甲、乙打的字数相同时，乙打了x 页. 则x x 600785002500=⨯+⨯. 解之得35=x .答：当甲、乙打的字数相同时，乙打了35页.2.某人乘船由A 地顺流到B 地，然后又逆流而上到C 地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为h km /5.7，水流速度为h km /5.2，若A 、C 两地间的距离为km 10，求A 、B 两地间的距离. 【解析】设A 、B 两地间的距离为xkm . （1）当C 在A 、B 之间时.则45.25.7105.25.7=--++x x .解之得20=x ，即A 、B 两地间的距离为20km.（2）当C 在BA 的延长线上时.则45.25.7105.25.7=-+++x x .解之得320=x ，A 、B 两地间的距离为km 320.综上得A 、B 两地间的距离为20km or km 320.题型二：间接设元法3.自行车轮胎安装在后轮上，行驶km 3000就要报废；安装在前轮上，行驶km 5000才报废.为了使一对新轮胎尽可能行驶多的路程才报废，在自行车行驶一定路程后就要将前后轮胎调换，则自行车的一对新轮胎最多可行驶多少千米？【解析】设自行车行驶了x 千米调换前后轮胎.则35)3000(53)5000(⨯-=⨯-x x . 解之得1875=x .即行驶了1875千米后调换前后轮胎，则还可行驶187553)18755000(=⨯-. 于是最多可行驶375018751875=+千米.4.某大型超市元旦假期举行促销活动.规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300元时，按该次购物金额的9折优惠；超过300元时，其中的300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美两次所购买的物品，则小丽应付款多少元？ 【解析】小美第一次购物用了94.5元，因为1005.94909.0100<<=⨯，所以小美第一次购物的原价有未满100元和超过100元两种情况.又因为小美第二次购物用了282.8元，而8.2822709.0300<=⨯，所以小美第二次购物的原价超过了300元.设小美第二次购物的原价为x 元. 则8.2828.0)300(9.0300=⨯-+⨯x .解之得316=x ，即小美第二次购物的原价为316元. 则小丽应付的款分以下两种情况讨论： （1）当小美第一次购物原价没有超过100元时. 则4.3589.03008.0)3003165.94(=⨯+⨯-+元. （2）当小美第一次购物原价超过100元时. 小美第一次购物原价为1059.05.94=÷元. 则8.3669.03008.0)300316105(=⨯+⨯-+元. 综上，小丽应付款358.4元或366.8元.题型三：设辅助元法5.某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定速度增加.如果开放一个检票口，则检票口前的队伍要20分钟才消失；如果同时开放两个检票口，则检票口前的队伍8分钟消失.设检票的速度一定，求同时开放三个检票口时队伍要多少分钟才消失？【解析】设检票开始时已有a 人在排队等候，每个检票口每分钟检票x 人，队伍每分钟增加y 人.则⎩⎨⎧⨯=+=+x y a x y a 8282020，解之得y a y x 40,3==.设同时开放三个检票口时队伍消失的时间为t 分钟. 则tx ty a 3=+，即ty ty y 940=+，所以5=t . 即同时开放三个检票口时队伍要5分钟才消失.6.小王沿公路行走，发现每隔12分钟有一辆公共汽车从背后追上；每隔4分钟有一辆公共汽车迎面开来，若小王和公共汽车都是匀速前进，求公共汽车站每隔多少分钟发一趟车？【解析】设公共汽车的速度为v ，小王的速度为x ，公共汽车站每隔t 分钟发一趟车，那么相邻两辆车之间的距离为vt . 则⎩⎨⎧=+=-vt x v vtx v 441212，解之得6=t .即公共汽车站每隔6分钟发一趟车.题型四：整体设元法__________2abcde 的3倍等于__________9abcde ，求这个六位数.【解析】设x abcde =________.则910)200000(3+=+x x ，解之得85713=x . 所以这个六位数是285713.8. 如图，在下面的算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”=3，求被乘数.【解析】设“神舟五号”=A ，“飞天”=B. 则A B B A +=+10000)100(3. 解之得B A 76923=.因为1)769,23(=，所以令n B n A 23,769==. 因为42≤≤n ，且n 为自然数，所以4=n . 于是A=3076，B=92. 所以被乘数是307692.专题演练一、选择题1.如图，足球是由黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长相等，若黑皮有12块，则白皮有（ ）【答案】BA.32块B.20块C.12块D.10块【解析】设有x 块白皮. 则512621⨯=⨯x ，解之得20=x . 2.一片牧场上的草长得一样快，如果60头牛吃，24天可以将草吃完；如果30头牛吃，60天可以将草吃完；如果要在120天里将草吃完，则需要（ ）头牛.【答案】D A.16 B.18 C 二、填空题3. 某编辑用0~9这10个数字给一本书的各页标上页码，若共写了636个数字，求该书共有________页. 【答案】248【解析】设该书有x 页.则636)99(32909=-+⨯+x ，解之得248=x .4.植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女生完成，则每人应植树15棵，如果只由男生完成，则每人应植树________棵. 【答案】10 【解析】共应植树x 棵，那么全班共有6x 人，其中女生有15x 人，则男生人数为10156xx x =-人. 于是男生每人植树1010=÷xx 棵. 三、解答题5.停电时，小明同时点燃了两支蜡烛，这两支蜡烛一样长，但不一样粗，粗蜡烛可点4小时，细蜡烛可点2小时，来电后，小明吹灭了两支蜡烛，发现此时粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍，求停电多久？ 【解析】设停电x 小时，原蜡烛长为a .则)2(24x a a x a a -=-，解之得34=x . 答：停电34小时.6.某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的32，若提前购票，则给予不同程度的优惠.在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的53；零售票每张16元，共售出零售票数的一半.在六月份内，如果团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价，才能使这两个月的票款收入持平？ 【解析】设总票数为a 张，六月份售票应按每张x 元定价. 五月份：团体票售出票数为a a 523253=⨯，票款收入为a a 5245212=⨯；零售票售出票数为a a 613121=⨯，票款收入为a a 386116=⨯. 六月份：团体票所剩票数为a a 1543252=⨯，可收入为a a 15645416=⨯；零售票所剩票数为a a 613121=⨯，可收入为ax 61. 则ax a a a 61156438524+=+，解之得2.19=x ..。
最新探究应用新思维-数学7年级1-10【精】整理版
1．数形结合话数轴解读课标数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来.在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法．运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在：1．利用数轴形象地表示有理数；2．利用数轴直观地解释相反数；3．利用数轴解决与绝对值有关的问题；4．利用数轴比较有理数的大小．问题解决例1 (1)已知a 、b 为有理数，且0a >，0b <，0a b +<，将四个数a 、b 、a -、b -按由小到大的顺序排列是__________．（《时代学习报》数学文化节试题）(2)已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是__________．（广西竞赛题）试一试 对于(1)，赋值或借助数轴比较大小；对于(2)确定A 、B 两点在数轴上的位置，充分考虑A 、B 两点的多种位置关系.例2如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是( )．A.A 点B.B 点C.C 点D.D 点（江苏省竞赛题） 试一试 从寻找d 与a 的另一关系式入手．例3 已知两数a 、b ，如果a 比b 大，试判断||a 与||b 的大小.试一试 因a 、b 符号未定，故a 比b 大有多种情形，借助数轴可直观全面比较||a 与||b 的大小．例4电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数．（“希望杯”邀请赛试题）试一试 设0K 点表示的数为x ，把1K 、2K 、、100K 点所表示的数用x 的式子表示．例5 已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边．(1)求A、B两点所对应的数．(2)数轴上点A以每秒1个单位长度出发问左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C处追上了点A，求C点对应的数．(3)已知在数轴上点M从点A出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO的中点为P (O为原点)，在运动的过程中线段PO AM-的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．分析与解对于(3)，设M点运动时间为t秒，把PO AM-用2的式子表示．(1)A、B两点所对应的数分别为8,20-；(2)C点对应的数为22-；(3)202,102tAM t OP t+===+(为什么？)，则1010PO AM t t-=+-=，即PO AM-的值不变．生活启示例6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与点B重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB上的14，34均变成12；12变成1；等等）.那么在线段AB上（除点A、点B外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和.（浙江省绍兴市中考题）分析捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点．解故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和是13144+=． 数学冲浪知识技能广场 1.数轴上有A 、B 两点，若点A 对应的数是2-，且A 、B 两点的距离为3，则点B 对 应的数是__________.2.电影《哈利·波特》中，小哈利，波特穿墙进入“394站台”的镜头（如示意图中的M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象，若A 、B 站台分别位于2-，1-处，2AN NB =，则N 站台用类似电影中的方法可称为“__________站台”．（“《时代学习报》数学文化节”试题）3.已知点A 、B 、P 在数轴上，点B 表示的数为6，8AB =，5AP =，那么点P 表示的数是__________．4.如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、所对应的点分别与圆周上1、2、0、1所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =__________；(2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是__________（用含n 的代数式表示）．（江西省中考题）5.有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示：，则下列各式正确的是( )．A.0a b +>B.0ab >C.||0a b +<D.0a b ->（2012年湖南省常德市中考题）6.文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西20米，玩具店位于书店东100米处．小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60-米，此时小明的位置在( )．A.文具店B.玩具店C.文具店西边40米D.玩具店东60-米7.将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”“15cm ”分别对应数轴上的 3.6-和x ，则( )．A.910x <<B.1011x <<C.1112x <<D.1213x <<（浙江省绍兴市中考题）8.在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )．A.1998B.1999C.2000D.2001（重庆市竞赛题）9.一个跳蚤在一条直线上，从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次晾左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位……依此规律剧下去，当它跳第100次落下时，求落点处离O 点的距离（用单位表示）．（江苏省无锡市中考题）10.已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和．（北京市“迎春杯”竞赛题）--思维方法天地--11.在数轴上，点A 、B 分别表示13-和15，则线段AB 的中点所表示的数是____. 12.在数轴上，表示数(2)2a +，的点M 与表示数(3)3a +，的点N 关于原点对称，则a 的值为__________．13.数形相伴(1)如图所示，点A 、B 所代表的数分别为1-,2，在数轴上画出与A 、B 两点的距离和为5的点（并标上字母）． (2)若数轴上点A 、B 所代表的数分别为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离可表示为||AB a b =-，那么，当|1||2|7x x ++-=时，x =__________；当|1||2|5x x ++->时，数x 所对应的点在数轴上的位置是在__________．（《时代学习报》数学文化节试题）14.点A 、B 分别是数3-、12-在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动为A B ''，且线段A B ''的中点对应的数是3，则点A '对应的数是__________，点A 移动的距离是__________.（江苏省竞赛题）15.点1A 、2A 、3A 、、n A （n 为正整数）都在数轴上，点1A 在原点O 的左边，且11A O =，点2A 在点1A 的右边，且212A A =;点3A 在点2A 的左边，且323A A =，点4A 在点3A 的右边，且434A A =，，依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为( )． A.2008,2009-B.2008-,2009C.1004,1005-D.1004,1004-（福建省泉州市中考题）16.如图：，数轴—上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）.A.A 点B.B 点C.C 点D.D 点17.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，式子||||a b ++||||a b b c ++-化简结果为( )．A.23a b c +-B.3b c -C.b c +D.c b -18.不相等的有理数a 、b 、c 在数轴上对应点分别为A 、B 、C ,若||||||a b b c a c -+-=-那么点B ( )．A.在A 、C 点右边B.在A 、C 点左边C.在A 、C 点之间D.以上均有可能 (“希望杯”邀请赛题)19.在数轴上，N 点与O 点的距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N 点表示的数是多少?(“CASIO 杯”河南省竞赛题)20.已知数轴上有A 、B 、C 三点，分别代表24-、10-、10,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行.甲的速度为4个单位/秒.(1)问多少秒后甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位?(2)若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向1而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇?(3)在(1)、(2)的条件下，当甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗?若能，求出相遇点；若不能，请说明理由.21.操作与探究对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点P '.点A ,B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A B '',其中，点A ,B 的对应点分别为A B '',如图所示，若点A 表示的数是3-,则点A '表示的数是__________；若点B '表示的数是2,则点B '表示的数是__________；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合，则点E 表示的数是__________.〔2012年北京市中考题〕22.—动点P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位、后退3个单位的程序运动.已知点P 每秒前进或后退1个单位，设n x 表示第n 秒点P 在数轴上的位置所对应的数(如44x =，55x =，64x =)，求2011x 所对应的数.2.聚焦绝对值绝对值是数学中的一个基本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值 方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用，理解、掌握绝对值应注意以下几个方面：1.脱去绝对值符号是解绝对值问题的切入点脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法.2.恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看||a 表示数a 的点到原点的距离；||a b -表示数a 、数b 的两点间的距离.3.灵活运用绝对值的基本性质①||0a ≥；②222||||a a a ==；③||||||ab a b =⋅；④||||()||a ab a b b =≠ 例1已知: |||20||20|y x b x x b =-+-+--其中020b <<,20b x ≤≤，那么y 的最小值为__________.(“CASIO 杯”河南省竞赛题)试一试 结合已知条件判断出每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值符号.例2式子||||||a b ab a b ab ++的所有可能的值有( ). A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个试一试根据a 、b 的符号所有可能情况，去掉绝对值符号，这是解本例的关键.例 3 (1)已知|2||2|0ab a -+-=,求111(1)(1)(2)(2)ab a b a b ++++++1(2005)(2006)a b +⋅⋅⋅+++的值.(“华罗庚杯”香港中学竞赛题)(2)设a 、b 、c 为整数，且||||1a b c a -+-=，求||||||c a a b b c -+-+-的值.(“希望杯”邀请赛试题)试一试 对于（1),由非负数的性质先导出a 、b 的值;对于(2)，1写成两个非负整数的和的形式又有几种可能?这是解(2)的突破口.例4阅读下列材料并解决有关问题：我们知道(0),||0(0),(0).x x x x x x >⎧⎪=-⎨⎪-<⎩现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|1||2|x x ++-|时，可令：10x +=和20x -=，分别求得1x =-，2x = (称1-，2分别为|1|x +与|2|x -的零点值)在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：(1)1x <-；(2)12x -≤<；(3)2x ≥.从而化简代数式|1||2|x x ++-可分以下3种情况：(1)当1x <- 时，原式(1)(2)21x x x =-+--=-+;(2)当12x -≤<时，原式1(2)3x x =+--=；(3)当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-.综上讨论，原式21(1),3(12),21(2).x x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩通过以上阅读，请你解决以下问题：(1)分别求出|2|x +和|4|x -的零点值；(2)化简代数式|2||4|x x ++-.(云南省中考题)试一试 在阅读理解的基础上化简求值.例5 (1）当x 取何值时，|3|x -有最小值?这个最小值是多少?（2）当x 取何值时，5|2|x -+有最大值?这个最大值是多少?（3）求|4||5|x x -++的最小值.（4）求|7||8||9|x x x -+-+-的最小值.分析对于（3）、（4）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值;也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示x 的点，使之到表示4、5的点 (:或表示7、8、9的点）的距离和最小.解(1）当3x =时，原式有最小值，最小值为0.（2）当2x =-时，原式有最大值，最大值为5.（3）当45x ≤≤时，原式有最小值，最小值为1.（4）当8x =时，原式有最小值，最小值为2.对于（3），给出另一种解法：当4x ≤时，原式(4)(5)92x x x =----=-，最小值为1；当45x <≤时，原式4(5)1x x =---=，最小值为1；当5x >时，原式4529x x x =-+-=-,最小值为1.综上所述，原式有最小值等于1.以退求进例6少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后 再取绝对值的运算，其运算过程是:输人第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输人整数2x 心后则显示12||x x -的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算.现小明将从1到1991这1991个整数随意地一个一个地输人,全部输入完毕之后显示的最后结果设为P ，试求出P 的最大值，并说明理由.分析 先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分析调整估值，一步步求出P 的最大值.解 由于输入的数都是非负数，当10x ≥,20x ≥时，12||x x -不超过1x 、2x 中最大的数，对10x ≥，20x ≥,30x ≥,则123||||x x x --不超过工1x 、2x 、3x 中最大的数，设小明输入这1991个数的次序是1x ,2x ⋅⋅⋅,1991x .相当于计算: 12319901991||||||||x x x x x P --⋅⋅⋅--=，因此P 的值1991x ≤.另外从运算奇偶性分析，1x 、2x 为整数，12||x x -与12||x x +奇偶性相同，因此P 与121991x x x ++⋅⋅⋅+的奇偶性相同，但121991121991x x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=偶数.于是断定1990P x ≤，我们证明P 可以取到1990.对 1,2,3,4,按如下次序：|||13|4|2|0---=，|||(41)(43)|(44)|(42)|0k k k k +-+-+-+=,对于0,1,2,k =⋅⋅⋅均成立.因此，1~1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0,而后||19891990|1991|1990--=，故P 的最大值为1990.数学冲浪知识技能广场1.数a 在数轴上的位置如图所示，，且|1|2a +=,则|37|a +=____.2.已知||5a =，||3b =,且||a b b a -=-，那么a b +=____.3.化简1111111120032003200220022001202004200401-+-+--=____. (北京市竞赛题）4.已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如图所示: ,则|1|||||c a c a b -+-+-化简后的结果是__________.5.已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，⋅⋅⋅满足下列条件：10a =, 21|1|a a =-+，32|2|a a =-+，43|3|a a =+，⋅⋅⋅，依次类推，则2012a 的值为（ ）.A.1005-B.1006-C.1007-D.2012-〔2012年江苏省盐城市中考题）6.已知||a a =-,化简|1||2|a a ---所得的结果是（ ）.A.1-B.1C.23a -D.32a -7.若m 是有理数，则m m -一定是（ ）.A.零B.非负数C.正数D.负数8.有理数a 、b 、c 的大小关系如图： 则下列式子中一定成立的是（ ）.A.0a b c ++>B.||a b c +<C.||||a c a c -=+D.||||b c c a ->-(“希望杯”遨请赛试题)9.化简(1)|3|x -； (2)|1||2|x x +++.10.阅读下面材料并回答问题.AB. 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为||。
【核心考点突破】2023学年七年级数学上册精选专题培优讲与练(人教版)设元的五种技巧-原卷版
设元的五种技巧（原卷版）【专题精讲】解应用题时,设元是常用来解题的方法,通过设元可以找到条件和结论之间的联系,准确、恰当地设元往往有助于简化解题过程,达到事半功倍的作用,设什么元需要根据具体问题的条件确定,就常见的设元法简析如下:1.直接设元法就是将题目中需要求的量直接设为未知元,即求什么设什么,这是最常用的设元法。
1．（2022·全国·七年级专题练习）A，B两地相距448km，一列慢车从A地出发，速度为60km/h，一列快车从B地出发，速度为80km/h，两车相向而行，慢车先行28min，快车开出多长时间后两车相遇？2．（2022·全国·七年级专题练习）甲乙两车分别从A、B两城同时相对开出，经过4小时，甲车行了全程的80%，乙车超过中点13千米，已知甲车比乙车每小时多行3千米，A、B两城相距多少千米？3．（2022·江西赣州·七年级期末）石城县矿山机械设备闻名省内外．在某矿山机械设备车间工人正在紧张地按订单进度进行生产，若每人每天平均可以生产轴承12个或者轴杆16个，1个轴承与2个轴杆组成一套，该车间共有90人，应该怎样调配人力，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套？4．（2022·辽宁大连·七年级期末）列一元一次方程解应用题∶某社区为响应抗击“新冠病毒”号召，组织志愿者到各个街道进行“少出门，少聚集”的安全知识宣传．原计划在甲街道安排20个志愿者，在乙街道安排12个志愿者，但到现场后发现任务较重，决定增派16名志愿者去支援两个街道，增派后甲街道的志愿者人数是乙街道志愿者人数的2倍，请问新增派的志愿者中有多少名去支援甲街道？2.间接设元法对于直接设元比较困难的问题,通常可以间接设元,所设的量不是要求的,但更易找出符合题意的等量关系,这种把题中要求量以外的量设为未知元的方法,称为间接设元法。
5．（2021·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）列一元一次方程解应用题：在风速为24 km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8 h，它逆风飞行同样的航线要用3h．求无风时这架飞机在这一航线的平均航速和两机场之间的航程．6．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学七年级阶段练习）小刚和小强分别从A、B两地出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一线路相向匀速而行，出发两小时两人相遇，相遇时小刚比小强多走了24千米，相遇后0.5小时小刚到达B点．(1)两人的行驶速度各是多少？(2)AB两地相距多少千米？7．（2022·河南驻马店·七年级期末）在一条铁路上，有甲，乙两个站，相距408千米，一列慢车从甲站开出每小时行72千米，一列快车从乙站开出，每小时行96千米，若两车同向而行，几小时后两车相距60千米？8．（2022·全国·九年级专题练习）在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地之间的距离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，2小时后，两车相遇，已知甲、乙两车的速度比是3：2，甲、乙两车的速度各是多少？3.整体设元法3个有些问题未知量太多,而等量关系又太少,若末知量的某一部分存在一个整体关系,则可设这一部分为未知数,这样就成少了设未知数的个数,这种设元的方法叫做整体设元法。
2018年秋七年级数学(河北)人教版习题：小专题(七) 设元技巧在实际问题中的应用-word文档
小专题(七) 设元技巧在实际问题中的应用类型1 直接设元当题目中的数量关系能用所求的未知量表示时，不妨直接设未知数，即求什么设什么，这是设未知数常用的方法．【例1】 某旅游团从宾馆出发去风景点A 参观游览，在A 景点停留1小时后，又绕道去风景点B ，再停留半小时后返回宾馆．去时的速度为5 km/h ，回来时的速度为4 km/h ，回来(包括停留的时间在内)共用去6小时30分．如果回来时因为绕道关系路程比去时多2千米，求去时的路程．【分析】 分析题干可发现题目中要求的只有一个未知量．找出题目中的等量关系：去时的时间＋回来的时间＋停留的时间＝共用时间，以上量都可以用去时的路程表示，故可设去时的路程为x km.【解答】 设去时的路程为x 千米，那么回来时的路程为(x ＋2)千米，去时路上所需时间为x 5小时，回来路上所需时间为x ＋24小时． 由题意，得x 5＋x ＋24＋1＋12＝6.5. 解得x ＝10.答：去时的路程为10千米．1．用两台水泵从同一池塘中向外抽水，单开甲泵5小时可抽完，单开乙泵2.5小时便能抽完．(1)如果两台水泵同时抽水，多长时间能把水抽完？(2)如果甲泵先抽2小时，剩下的由乙泵来抽，乙泵用多少时间才能把水抽完？解：(1)设两台水泵同时抽水，x 小时能抽完，由题意，得x 5＋x 2.5＝1，解得x ＝53. 答：两台水泵同时抽水，53小时能把水抽完． (2)设乙泵用y 小时才能抽完，由题意，得15×2＋12.5y ＝1，解得y ＝1.5. 答：乙泵用1.5小时才能把水抽完．2．某会议厅主席台上方有一个长12.8 m 的长条形(长方形)会议横标框，铺红色衬底．开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上．但会议名称不同，字数一般每次都多少不等，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定：边空∶字宽∶字距＝9∶6∶2，如图所示：根据这个规定，求会议名称的字数为18时，边空、字宽、字距各是多少． 解：设边空、字宽、字距分别为9x cm 、6x cm 、2x cm.由题意，得9x ×2＋6x ×18＋2x(18－1)＝1 280.解得x ＝8.则9x ＝72，6x ＝48，2x ＝16.答：边空为72 cm ，字宽为48 cm ，字距为16 cm.3．(铜仁中考)某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问：(1)这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？(2)若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？解：(1)设原计划租用x 辆45座客车．根据题意，得45x ＋15＝60(x －1)．解得x ＝5.则45x ＋15＝45×5＋15＝240.答：这批游客共240人，原计划租5辆45座客车．(2)租45座客车：240÷45≈5.3(辆)，所以需租6辆，租金为220×6＝1 320(元)．租60座客车：240÷60＝4(辆)，所以需租4辆，租金为300×4＝1 200(元)．答：租用4辆60座客车更合算．类型2 间接设元间接设元即所设的不是所求的，适当选择与所求的未知数有关的某个量为未知数，则易找出符合题意的数量关系，从而得到方程．【例2】 李伟从家里骑摩托车到火车站，若每小时行30千米，则比火车开车时间早到15分钟；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟．现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站．求李伟此时骑摩托车的速度应是多少？【分析】 本题中所求值，不容易直接从中寻找关系，但注意从家到火车站的路程和离火车开车的时间为定值，这时可以“退一步”的方式求出定量，则其他关系就会迎刃而解．【解法一】 设李伟家到火车站的路程为x 千米，则由火车开车时间固定这一等量关系，可简便得出方程x 30＋1560＝x 18－1560，解得x ＝452. 李伟从家出发到火车开车时间为x 30＋1560＝1(小时)． 李伟应有的速度为x 1－1060＝27(千米/小时)． 答：李伟此时骑摩托车的速度为27千米/时．【解法二】 设离火车开车的时间为x 小时，则根据路程不变，可列出方程30(x －1560)＝18(x ＋1560)． 解得x ＝1.由此得路程22.5千米，从而可得骑车速度应为22.5÷5060＝27，即每小时27千米． 4．某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4 cm ，求这种药品包装盒的体积．解：设长方体的宽为x cm ，则长为(x ＋4)cm ，高为12[13－(x ＋4)]cm.由题意，得 2x ＋2×12[13－(x ＋4)]＝14.解得x ＝5. 则x ＋4＝9，12[13－(x ＋4)]＝2. 9×5×2＝90(cm 3)．答：这种药品包装盒的体积为90 cm 3.类型3 设辅助元在一些较复杂的实际问题中，当出现的未知量较多，并且有时看起来似乎缺少条件时，可考虑设辅助未知数，在已知条件和所求解的问题之间“牵线搭桥”，从而能顺利找出等量关系并列出方程．一般来说，辅助未知数设而不求，在解题中会自行消去．【例3】 某公司生产普通汽车和新能源汽车，该公司在去年的汽车产量中，新能源汽车占总产量的10%，今年由于国家能源政策的导向和油价上涨的影响，计划将普通汽车的产量减少10%，为保持总产量与去年相等，求今年新能源汽车的产量应增加的百分数．【分析】在求今年新能源汽车的产量应增加的百分数时，需要的是去年的汽车生产总量，因此设今年新能源汽车的产量应增加的百分数为x 的同时，还应设去年的汽车生产总量为a ，根据“今年总产量与去年相等”列出方程求解．【解答】设去年的总产量为a.今年新能源汽车的产量应增加的百分数为x ，则去年普通汽车和新能源汽车的产量分别为90%a 和10%a.今年的普通汽车和新能源汽车的产量分别为90%a(1－10%)和10%a(1＋x)，根据题意列方程，得90%a(1－10%)＋10%a(1＋x)＝a ，解得x ＝0.9＝90%，所以今年新能源汽车的产量应增加的百分数为90%.5．一片草地上的青草，到处长得一样密一样快，设所有的牛每天吃的草量相同，已知在草地上放牧70头牛，则24天把草吃完，如果放牧30头牛，则60天把草吃完，那么多少头牛96天能把草地上的草吃完？解：设一头牛一天吃草量为a ，草每天长出的量为b ，则根据原有的草量不变可知：70×24a －24b ＝30×60a －60b ，即b ＝103a. 设x 头牛96天能把草地上的草吃完，还是根据原有的草量不变可知96ax －96b ＝30×60a －60b ，将b ＝103a 代入得x ＝20. 答：20头牛96天能把草地上的草吃完．。
七年级-设元的技巧
专题11 设元的技巧例题与求解【例1】某编辑用0~9这10个数字给一本书的各页标上页码，若共写了636个数字，则该书有____页.解题思路：依题意可知该书页码的数字组成有三种：一个数字、两个数字、三个数字.一共有636个数字，可设直接未知数，列方程求解．找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系是列方程解应用题又一关键．寻找相等关系常用方法有：①从关键词中寻找相等关系； ②利用基本公式寻找相等关系； ③利用不变量寻找相等关系； ④对一种“量”，从不同的角度进行表述（即计算两次），形成一种相等关系．行程问题、工程问题、劳力分配问题、浓度问题、数字问题等是列方程解应用题的基本类型，此外，还有趣味问题（如年龄、时钟等）、经济问题（如银行存款、销售利润等），尽管形式多变，但是解题实质未变，需要我们用数学观点，理清数量关系，恰当设未知数，准确列方程．【例2】某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售冬装的利润（每件冬装的利润＝出厂价一成本）是出厂价的25%，10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装的成本不变），销售件数比9月份增加80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长( )。
A. 2% B ．8% C. 40. 0% D ．62%（江苏省竞赛试题）解题思路：设出与总额相关的量：出厂价、销售件数．解决以实际生活为情景的应用题时，需要具备一定的优化意识和估算决策能力.【例3】某音乐厅决定月初在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的32，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的53；零售票每张16元，共售出零售票数的一半，如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？（北京市东城区中考试题）解题思路：票款与票数、票价有关，故既要用字母表示六月份零售价，又要用字母表示总票数． 与商品利润相关的基本知识：①利润率＝进货价利润×100%；②利润＝售出价一进货价；③售出价＝利润＋进货价＝进贷价×(1＋利润率)．【例4】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费价格见价目表．若某居民1月份用水8 m 3，则应收水费2×6＋4×(8－6) ＝20（元）． (1)若该户居民2月份用水12. 5 m 3，则应收水费______元．(2)若该户居民3，4月份共用水15 m 3（4月份用水量超过3月份），共交水费44元，则该居民3，4月份各用水多少立方米？（江苏省扬州市中考试题）解题思路：第(1)问须分段计费；第(2)问设3月份用水量为x m 3，则4月份用水量为)15(x m 3，分两种情况进行讨论．【例5】A ，B ，C 三个微型机器人围绕一个圆形轨道高速运动，它们顺时针同时同地出发后，A 在2秒钟时追上B ，2.5秒钟时追上C ，当C 追上B 时，C 和B 的运动路程之比是3：2，问第1分钟时，A 围绕这个圆形轨道运动了多少圈？（“华罗庚金杯”竞赛试题）解题思路：要充分运用问题中的等量关系，需设出A ，B ，C 三个微型机器人的速度、圆形轨道长等多个未知数．【例6】有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草. 设每头牛每天吃草的量是相等的，问：(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？ (2)要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？（全国数学通讯赛试题）解题思路：此题可采取设定多个间接未知数的解决方法.能力训练A 组1．光明中学七年级一、二、三班，向希望学校共捐书385本，一班与二班捐书的本数之比为4：3，一班与三班捐书的本数之比为6：7，那么二班捐书______本．（北京市“迎春杯”竞赛试题）2．一个六位数abcde 1的3倍等于1abcde ，则这个六位数为________．（黑龙江省竞赛试题）3．某种电器产品，每件若以原定价的9.5折销售，可获利150元，若以原定价的7.5折销售，则亏损50元．该种商品每件的进价为________元．（“希望杯”竞赛试题）4. 某出租汽车的车费是这样计算的：路程在4公里以内（含4公里）为10.40元；达到4公里以后，每增加1公里加1. 60元；达到15公里后，每增加1公里加2.40元．增加不足1公里时按四舍五人计算．则乘坐15公里该种出租车应交车费____元．某乘客乘坐该种出租车交了车费95.20元，则这个乘客乘该出租车行驶的路程为________公里．（精确到两位小数）（“希望杯”邀请赛试题）5．甲、乙两种茶叶，以y x :（重量比）相混合制成一种混合茶，甲种茶叶的价格每千克50元，乙种茶叶的价格每千克40元，现在甲种茶叶的价格上调了10%，乙种茶叶的价格下调了10%，但混合茶的价格不变，则y x :等于( ).A ．1:1B ．4:5C ．5:4D. 6:5（北京市竞赛试题）6．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米．按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分接每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0. 88元，那么，4月份这用户应交煤气费( )．A ．60元B ．66元C ．75元 D. 78元（全国初中数学联赛试题）7．植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女同学完成，每人应植树15棵；如果只由男同学完成，每人应植树( )棵．A.9 B ．10 C ．12 D ．14（四川省竞赛试题）8．某服装商贩同时卖出两套服装，每套均卖168元，以成本计算，其中一套盈利20%，另一套亏本20%，则这次出售中商贩( )．A ．不赚不赔B ．赚37.2元C ．赚14元D ．赔14元B 级1．一幢楼房内住有6家住户，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴，这幢楼住户共订有A ，B ，C ，D ，E ，F 六种报纸，每户至少订了一种报纸，已知赵、钱、孙、李、周分别订了其中2，2，4，3,5种报纸．而A ，B ，C ，D ，E 五种报纸在这幢楼里分别有1，4，2，2，2家订户，那么吴姓住户订有____种报纸，报纸F 在这幢楼里有____家订户．（“祖冲之杯”邀请赛试题）2．某人购买钢笔和圆珠笔各若干支，钢笔的价格是圆珠笔价格的2倍，付款时，发现所买两种笔的数量是颠倒了，因此，比计划支出增加了50%，则此人原计划购买钢笔与圆珠笔数量的比为_______ .（天津市竞赛试题）3．为使某项工程提前20天完成任务，需将原定工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要_______天．（“希望杯”邀请赛试题）4．右边算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”－o ，那么被乘数是________________.神舟十号飞天神飞天神舟五号5．一艘轮船从A 港到B 港顺水航行，需6小时，从B 港到A 港逆水需8小时，若在静水条件下，从A 港到B 港需( )小时．A ．7B ．217C ．766D ．216（五城市联赛试题）6．某商品连续两次提价10%，又提价5%，要恢复原价，至少应降价x%（x为整数），则x＝( )．A．20 B．21 C．22 D. 23 7．如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的面积为多少？（山东省济南市中考试题）8．自行车轮胎，安装在后轮上，只能行驶3 000km就要报废，安装在前轮上，则行驶5 000km才报废．为使一对轮胎能在行驶尽可能多的路程后才报废，在自行车行驶一定路程后，就将前后轮调整，这样安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶多少千米？（《时代学习报》数学文化节试题）。
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李善兰（1811-1882），晚清中国杰出的数学家，在西方传教士的帮助下，翻译了大量科学著作，如《几何原本》后九卷、《代数学》等．不仅向中国学者介绍了西方数学知识，还创立了许多型概念、新名词、新符号，如代数学、方程式、函数、微分等．除翻译西方名著外，李善兰也有多种自己的著作，如《方圆阐幽》、《对数探源》、《弧矢启密》等，为中国数学的发展作出了卓越的贡献．7．怎样设元解读课标荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说：“与其说学习数学，倒不如说学习“数学化”方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型．在运用一元一次方程解决实际问题的过程中，设立未知数是首要环节，不同的设法列出的方程有的简单，有的复杂，故在设未知数时需有所选择，设元的基本方法有： 1．直接设元 即问什么设什么．2．间接设元 即所设的不是所求的，需要将要求的量以外的其他量设为未知数，便于找出符合题意的等量关系．3．辅助设元 有些应用题隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需把这些未知的常量设出未知数，作为桥梁帮助分析．4．整体设元 若在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少设元的个数．问题解决例1 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的面积为_____________．（山东济南中考题）想一想 已知17b a 211b 201a +=+=+，求ba的值例2 植树节时，某班平均每人植树6棵．如果只由女同学完成，每人应植树15棵；如果只由男同学完成，每人应植树（ ）棵．A ．9B ．10C ．12D ．14（四川省竞赛题）例3 某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的23，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的35；零售票每张16元，共售出零售票数的一半，如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？（北京市东城区中考题）F EDCB A例4 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中作出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10%．方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？ （注：100%=⨯投资收益投资收益率实际投资额）（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？（江苏无锡中考题）例5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定的速度增加．如果开放一个检票口，则要20分钟检票口前的队伍才消失；如果同时开放两个检票口，则8分钟队伍就消失．设检票的速度是一定的，问同时开放三个检票口，队伍要几分钟就消失？ 纪念大师例6 瑞士数学家欧拉（L ．Euler ，1707-1783）是历史上最多产的数学家，据统计他一共写了886本（篇）书籍和论文．著名数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，他是我们所有人的导师．”是啊，欧拉在数学上的贡献实在太多了，即使在初等数学中也到处可见他的身影，下面问题是欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问题．有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样分他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一……按这种方式一直分下去，最后每一个儿子所得财产一样多．问这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？这位父亲共留下多少财产？数学冲浪知识技能广场1．古希腊数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，有一天他向老师请教一个问题：有4个数，把其中每3个相加，其和分别为22，24，27，20，则这四个数分别是____________．2．一个六位数2abcde的3倍等于9abcde，则这个六位数等于_____________．3．10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是______________．（内蒙古呼和浩特中考题）4．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折．如果小明一次性购书付款162元，那么小明所购书的原价一定为（）元．A．180B．202.5C．180或202.5D．180或200（山东临汾中考题）5．一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（）．A．100元B．105元C．108元D．118元（广东深圳中考题）6．某种产品是由A种原料x千克、B种原料y千克混合而成，其中A种原料每千克50元，B种原料每千克40元，后来调价，A种原料价格上涨10%，B种原料价格减少15%，经核算产品价格可保持不变，则:x y的值是（）．A．23B．56C．65D．55347．陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元．”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”（1）王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；（2）陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10的整数，笔记本的单价可能为多少元？（四川贵阳中考题）8．燃蜡时间问题（英国）在伦敦的一个大雾天，一家商店的店主叫店员点燃两支长度相同的蜡烛，这两支蜡烛的一支可维持4个小时，另一支可维持5小时．雾散后，店主来吹蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的4倍，问蜡烛点燃了多长时间？9．体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润260元．（2）销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？思维方法天地10．某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球10个，每投进一个球得1分，得分的部分情况如表所示：3分，那么该班学生有_____________人．（江苏省竞赛题）11．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时，从乙地到甲地逆流行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需___________小时．（“希望杯”邀请赛试题）12．下边算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”3 ，那么被乘数是___________．（第15届“五羊杯”竞赛题）13．从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是（ ）． A ．5千克 B ．6千克 C ．7千克 D ．8千克14．某校初一、初二两个年级学生的人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的45，已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占三个年级男生人数的14，那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的比是（ ） A ．919 B ．1019 C ．1121 D ．1021（“希望杯”邀请赛试题）15．某商品原价为a 元，春节促销，降低20%，如果节后恢复到原价，则应将现售价提高（ ） A ．15% B ．20% C ．25% D ．30%×神 州五号飞天神天飞号五州神16．将下表的方格中的7个方格填入不同的数字，使得每行、每列、每条对角线上的3个数字之和都相等．问：表中左上角的数字是多少？（“启智杯”数学思维及应用能力竞赛题）17．某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．150分，不再额外交费；当超过150分，超过部分每分加收0.25元．设一个月内使用移动电话主叫的时间为t 分（t 为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题： （1）用含有t 的式填写下表：（3）当330360t <<时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．18．为了改善城乡人民生产、生活环境，我市投入大量资金，治理竹皮河污染，在城郊建立了一个综合性污水处理厂．设库池中存有待处理的污水a 吨，又从城区流入库池的污水按每小时b 吨的固定流量增加．如果同时开动2台机组需30小时处理完污水，同时开动4台机组需工10小时处理完污水．若要求在5小时内将污水处理完毕，那么要同时开动多少台机组？（湖北荆门中考题）应用探究乐园19．某农民在农贸市场卖鸡．甲先买了总数的一半又半只，然后乙买了剩下的一半又半只，最后丙买了剩下的一半又半只，恰好买完．问该农民一共卖了多少只鸡？20．如图，长方形ABCD 、ABEF 、AGHF 的长与宽的比相同，长方形ABCD 与AGHF 的面积比是8116，长方形BEHG 的周长是22，求长方形ECDF 的面积．（世界数学团体锦标赛试题）21．始此转化我们知道有限小数可以转化为分数，如3.14=100314=50157，—0.36＝10036-=259-，同样，无限循环小数也可以转化为分数，如：将2.145145145…转化为分数，设a ＝2.145145145…，两边同乘以1000得1000a ＝2145.145145145…，则1000a ＝99－2145－2＝2143，故有a ＝2.145145145…=9992143. （1）依照以上方法，请你将4．14141414…化为分数为 （2）依照以上方法，请你将0．1454545…化为分数为（《时代学习报》数学文化节试题）22．中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下： 一．以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额； 二．个人所得税纳税税率如下表所示：（1）若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4000元和6000元，请分别求出甲、乙两人的每月应缴纳的个人所得税；（2）若丙每月缴纳的个人所得税为95元，则丙每月的工资收入额应为多少？（湖南永州中考题）HGF EDCB A。