平面向量共线定理和等和线ppt课件
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人教版高中数学第二章平面向量《相等向量与共线向量》教学 (共20张PPT)教育课件
P
M
C
D
1
F
A N
B
T
S
Q
PE
M
问题: 能否将图中 所有的向量都平移
到同一条直线 l 上？
平行向量也叫共线向量.
C
D
O
l
请判断下列句子对错？ ╳
╳ √ ╳
（错误） （正确） （正确） （错误） （错误）
D
数学史──向量的由来
小结
相等向量：大小相等且方向相同 知识上： 相反向量：大小相等且方向相反
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
M
C
D
1
F
A N
B
T
S
Q
PE
M
问题: 能否将图中 所有的向量都平移
到同一条直线 l 上？
平行向量也叫共线向量.
C
D
O
l
请判断下列句子对错？ ╳
╳ √ ╳
（错误） （正确） （正确） （错误） （错误）
D
数学史──向量的由来
小结
相等向量：大小相等且方向相同 知识上： 相反向量：大小相等且方向相反
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
人教A版(2019)必修第二册 6.3.1 平面向量基本定理 课件(共19张PPT)
课本第27页练习第2题，习题6.3第1题.
另解：因为AP t AB，所以OP OA t(OB OA), 解得OP (1 t)OA tOB.
三、举例应用 掌握定义
变式1:观察OP (1t)OA tOB,你有什么发现？ 提示:若A, B, P三点共线,则存在t使OP (1 t)OA tOB成立,
且OA, OB的系数和为1.
变式2: A, B, P三点共线时,任给一点O,若OP xOA yOB, 则是否一定有x y 1?
所以 2(AD c) b AD ，
所以
AD
1 3
b
2 3
c
.
四、学生练习 加深理解
2. 已知e1,e2是不共线向量，且a=k e1-e2,b=e2-e1，若a,b不能作 为基底，则k= 1 .
四、学生练习 加深理解
3.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的
解: 4e2 6e1 6e1 4e2 2(3e1 2e2 ), 所以 3e1 2e2和4e2 6e1共线，不能作为基底.
三、举例应用 掌握定义
例2.如图，OA,OB不共线,且AP t AB(t R),用OA,OB表示OP. 解：因为AP t AB,所以
OP OA AP OA t AB OA t(OB OA) (1t)OA tOB.
四、学生练习 加深理解
1.在 ABC 中， AB c, AC b, 若点 D 满足 2BD DC ，以 b,c 作为基
底，则 AD （ D ）
A.
2b+ 1c 33
B.
5c 2b 33
C.
2b1c 33
D.
1b+ 2c 33
解：因为 2BD DC ，所以 2(AD AB) AC AD ，
另解：因为AP t AB，所以OP OA t(OB OA), 解得OP (1 t)OA tOB.
三、举例应用 掌握定义
变式1:观察OP (1t)OA tOB,你有什么发现？ 提示:若A, B, P三点共线,则存在t使OP (1 t)OA tOB成立,
且OA, OB的系数和为1.
变式2: A, B, P三点共线时,任给一点O,若OP xOA yOB, 则是否一定有x y 1?
所以 2(AD c) b AD ，
所以
AD
1 3
b
2 3
c
.
四、学生练习 加深理解
2. 已知e1,e2是不共线向量，且a=k e1-e2,b=e2-e1，若a,b不能作 为基底，则k= 1 .
四、学生练习 加深理解
3.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的
解: 4e2 6e1 6e1 4e2 2(3e1 2e2 ), 所以 3e1 2e2和4e2 6e1共线，不能作为基底.
三、举例应用 掌握定义
例2.如图，OA,OB不共线,且AP t AB(t R),用OA,OB表示OP. 解：因为AP t AB,所以
OP OA AP OA t AB OA t(OB OA) (1t)OA tOB.
四、学生练习 加深理解
1.在 ABC 中， AB c, AC b, 若点 D 满足 2BD DC ，以 b,c 作为基
底，则 AD （ D ）
A.
2b+ 1c 33
B.
5c 2b 33
C.
2b1c 33
D.
1b+ 2c 33
解：因为 2BD DC ，所以 2(AD AB) AC AD ，
平面向量共线定理和等和线
乎商向曇共线恚1理一、平面向量共线定于已知51= xOB+yOC,若x+ y = 1,则A,B,C 三点共线;反之亦然二、平面向量等和纟O若66 = 2ODJP^OC = xOA+ yOB = 2(-OA+^OB) = 2OD?A 2则有中+斗=1,即x+ y = 2/I A过C点作直线III AB y在/上任作一点C‘，连接OCT1AB = D同理可得，以OA, OB为基底时,0C对应的系数和依然为2fB结论在向量起点相同的前提下，所有以与AB平行的直线上面的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”。
值的大小与起点到等和线的距离成正比，若等和线与4B在起点的两侧时，值为负。
例1、（2013 •南通二模）如图,正六边形ABCDEF^,P 是△仞£内（包括边界）的动点，设AP =（xAB + jBAF （Q, 0E R ）,则Q + 0的取值范围是 _____________ .BF 为£ = 1的等和线，P 壮CDE 内时， EC 是最近的等和线，过D 点的等和线是最远的AN AD=[3,4]解析:・・・o+ 0w例2、（2009安徽（理）14）给定两个长度为1的平面向量鬲和西它们的夹角为乎，如图所示，点C 在以0为圆心的圆弧人B上变动，^-OC =xOA + yOB（x. y G R）,则尤+ y的最大值是・解析：所有与AB平行的直线中，切线离圆心最远，即此时取得k最大结合角度，不难得到g=2例3、（2013江苏10）设£>, E分别是\ABC的边AB, BC上的点,AD = -AB,BE = -BC,若旋=人期+人疋仏，入w /?）, 2 3则人+&的值为_________ ・A解析：过点A作~AF = ~DE,设AF与BC的延长线交于点易知AF = FH,即DF为BC的中位线，因此&+入二*例4、（2013杭州一模17）如图，在扇形OAB中，ZAOB =C为弧4B上的一个动点，若OC = xOA^yOB, 则x + 3y的取值范围是_____________ .04,03为基底。
高一下学期数学人教A版必修第二册6.2.3向量共线定理课件
数学运算、逻辑推理——破解向量的数乘运算
设点 O 在△ABC 内部,且有Ԧ+2Ԧ+3Ԧ =0,则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比
为(
C ).
A.2∶1
B.3∶2
C.3∶1
D.5∶3
解析 如图,延长 OB 至点 B1,使 BB1=OB,延长 OC 至点 C1,使 CC1=2OC,连接 AB1,AC1,B1C1,则
C.垂心
D.外心
如图,在△ABC 中,O 为外心,可得 OA=OB=OC,
∵Ԧ+Ԧ+Ԧ =Ԧ,∴Ԧ+Ԧ=Ԧ-Ԧ =Ԧ.
设 AB 的中点为 D,则 OD⊥AB,Ԧ=2Ԧ ,
∴CM⊥AB,可得 CM 在 AB 边的高线上.
同理可证,AM 在 BC 边的高线上.
A，B，D
的三个点是___________.
2.已知 A,B,P 三点共线,O 为直线外任意一点,若 Ԧ=xԦ+yԦ,求 x+y 的值.
解析 因为 A,B,P 三点共线,所以 Ԧ=λԦ,
即 Ԧ-Ԧ=λ(Ԧ-Ԧ),所以 Ԧ=(1-λ)Ԧ+λԦ,故 x=1-λ,y=λ,即 x+y=1.
故 M 是△ABC 两高线的交点,可得 M 是△ABC 的垂心.
故选 C.
C
).
课前预学
已知 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P
满足 Ԧ=Ԧ+λ
Ԧ
Ԧ
+ Ԧ
|Ԧ|
| |
A.内心
解析
,λ∈[0,+∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的(
B.垂心
C.重心
1՜ 3՜
՜
平面向量共线定理和等和线----极化恒等式全版.全版.ppt
巧用极化恒等式，妙解一类向量题
一、平面向量共线定理
已知OA xOB yOC,若x y 1,则A, B,C三点 共 线; 反 之 亦 然
二、平面向量等和线
若OC OD,那 么OC xOA yOB ( x OA y OB) OD,
则 有 x y 1,即x y
1、4 2、2 3、2
2
DB
2
2
a
b 2 2
2
AB
AD 2
（1）—（2）得：
a
b
＝
1 4
a
b
2
ห้องสมุดไป่ตู้
ab
2
————极化恒等式
应用一：求值
例1.(2012浙江15)在ABC中，M是BC的中点， AM 3, BC 10,则AB AC
A
B
M
C
应用二：求范围
例2.已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P 是圆O上的一个动点，则PA PB的取值范围是____;
3
3
1、4 2、2 3、2
3
3
巧用极化恒等式 妙解一类向量题
如图，AB a, AD b，
试证明平行四边形四边 和对角线性质。
2
2
2
2
2
AC AC a b a 2a b b （1）
2
2
2
2
2
DB DB a b a 2a b b （2）
（1）+（2）得：
2
AC
3
OC OA (1 )OB (0 1) ,则 CM CN 的最小值为
A．-2
B．-1
C．-3
D．-4
4
5（. 2013浙江）设ABC,
一、平面向量共线定理
已知OA xOB yOC,若x y 1,则A, B,C三点 共 线; 反 之 亦 然
二、平面向量等和线
若OC OD,那 么OC xOA yOB ( x OA y OB) OD,
则 有 x y 1,即x y
1、4 2、2 3、2
2
DB
2
2
a
b 2 2
2
AB
AD 2
（1）—（2）得：
a
b
＝
1 4
a
b
2
ห้องสมุดไป่ตู้
ab
2
————极化恒等式
应用一：求值
例1.(2012浙江15)在ABC中，M是BC的中点， AM 3, BC 10,则AB AC
A
B
M
C
应用二：求范围
例2.已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P 是圆O上的一个动点，则PA PB的取值范围是____;
3
3
1、4 2、2 3、2
3
3
巧用极化恒等式 妙解一类向量题
如图，AB a, AD b，
试证明平行四边形四边 和对角线性质。
2
2
2
2
2
AC AC a b a 2a b b （1）
2
2
2
2
2
DB DB a b a 2a b b （2）
（1）+（2）得：
2
AC
3
OC OA (1 )OB (0 1) ,则 CM CN 的最小值为
A．-2
B．-1
C．-3
D．-4
4
5（. 2013浙江）设ABC,
平面向量的等和线问题.ppt
3当直线ab在o点与等和线之间时5若两等和线关于o点对称则定值互为相反数
平面向量 复习课(2)
平面向量共线定理 : 已知OA OB OC , 若 1, 则A, B , C 三点共线, 反之亦然. 等和线 : 平面内的一组基底OA, OB及任一向量OP , OP OA OB , 若点P 在直线AB上或平行于AB的直线上, 则 k (定值 ), 反之亦成立.我们把直线AB或平行于AB的直线叫做等和线. (1)当等和线恰为AB时, k 1; ( 2)当等和线恰在O点与AB之间时, k (0,1); (3)当直线AB在O点与等和线之间时, k (1, ); ( 4)当等和线过O点时, k 0; (5)若两等和线关于O点对称, 则定值互为相反数; (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办 A．打破了外商对中国航运业的垄断 B．阻止了外国对中国的经济侵略 C．标志着中国近代化的起步 ( )
D．使李鸿章转变为民族资本家
解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家； 洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业 的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵
航空都获得了一定程度的发展。
(2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式，
一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的
联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
平面向量 复习课(2)
平面向量共线定理 : 已知OA OB OC , 若 1, 则A, B , C 三点共线, 反之亦然. 等和线 : 平面内的一组基底OA, OB及任一向量OP , OP OA OB , 若点P 在直线AB上或平行于AB的直线上, 则 k (定值 ), 反之亦成立.我们把直线AB或平行于AB的直线叫做等和线. (1)当等和线恰为AB时, k 1; ( 2)当等和线恰在O点与AB之间时, k (0,1); (3)当直线AB在O点与等和线之间时, k (1, ); ( 4)当等和线过O点时, k 0; (5)若两等和线关于O点对称, 则定值互为相反数; (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办 A．打破了外商对中国航运业的垄断 B．阻止了外国对中国的经济侵略 C．标志着中国近代化的起步 ( )
D．使李鸿章转变为民族资本家
解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家； 洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业 的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵
航空都获得了一定程度的发展。
(2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式，
一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的
联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
平面向量共线定理和等和线课件
平面向量和等和线的方向相同
平面向量和等和线的方向是相同的，即如果一个向量和一个等和线对应，那么它们的方向也是一致的。
平面向量与等和线在解析几何中的应用
解析几何的基本问题
在解析几何中，平面向量和等和线是解 决基本问题的工具。例如，两点间的距 离问题、直线的斜率问题等，都可以通 过平面向量和等和线来表示和解决。
定义
在平面上，如果一条直线上的任意点 与给定点（非该直线上任意点）所确 定的向量与该直线方向相反，则称该 直线为等和线。
性质
等和线上的任意点与定点的连线和该 直线方向相反。
等和线的判定与性质的应用
判定
若一直线上任意点与定点所确定的向量与该直线方向相反，则该直线为等和线。
应用
利用等和线性质可以证明共线定理，也可以解决一些解析几何问题。
等和线在解析几何中的应用
解析几何中常常涉及到直线、曲线等几何对象，而等和线是研究这些对象的重要工 具之一。
利用等和线可以研究直线与定点之间的位置关系，也可以研究曲线上的点的性质。
在一些较复杂的解析几何问题中，等和线还可以与其他数学工具结合使用，从而解 决更为复杂的问题。
平面向量与等和
03
的系
平面向量与等和线的相互转换
2. 已知点 P(2,3) ，圆 C ： x^2+y^2=100 ，求点 P 关于圆C的等和线方程。
等和线的习题与解析
解析
1. 根据等和线的定义，点A(1,2)关于点B(3,-1)的等和线方程就是向量AB与x轴正向夹角 的正切值的相反数的绝对值乘以x轴正向夹角的正切值。根据已知条件，可以计算出向 量AB与x轴正向夹角的正切值为-1/4，因此点A关于点B的等和线方程为y=-1/4x+5。
平面向量和等和线的方向是相同的，即如果一个向量和一个等和线对应，那么它们的方向也是一致的。
平面向量与等和线在解析几何中的应用
解析几何的基本问题
在解析几何中，平面向量和等和线是解 决基本问题的工具。例如，两点间的距 离问题、直线的斜率问题等，都可以通 过平面向量和等和线来表示和解决。
定义
在平面上，如果一条直线上的任意点 与给定点（非该直线上任意点）所确 定的向量与该直线方向相反，则称该 直线为等和线。
性质
等和线上的任意点与定点的连线和该 直线方向相反。
等和线的判定与性质的应用
判定
若一直线上任意点与定点所确定的向量与该直线方向相反，则该直线为等和线。
应用
利用等和线性质可以证明共线定理，也可以解决一些解析几何问题。
等和线在解析几何中的应用
解析几何中常常涉及到直线、曲线等几何对象，而等和线是研究这些对象的重要工 具之一。
利用等和线可以研究直线与定点之间的位置关系，也可以研究曲线上的点的性质。
在一些较复杂的解析几何问题中，等和线还可以与其他数学工具结合使用，从而解 决更为复杂的问题。
平面向量与等和
03
的系
平面向量与等和线的相互转换
2. 已知点 P(2,3) ，圆 C ： x^2+y^2=100 ，求点 P 关于圆C的等和线方程。
等和线的习题与解析
解析
1. 根据等和线的定义，点A(1,2)关于点B(3,-1)的等和线方程就是向量AB与x轴正向夹角 的正切值的相反数的绝对值乘以x轴正向夹角的正切值。根据已知条件，可以计算出向 量AB与x轴正向夹角的正切值为-1/4，因此点A关于点B的等和线方程为y=-1/4x+5。
高一数学人教A版必修4第二章2.1.3 相等向量与共线向量 课件(共16张PPT)
思考：向量由其模和方向所确定.对于两 个向量a、b，就其模等与不等，方向同 与不同而言，你能说出几种可能情形？
再思考：两个向量不能比较大小，只有 “相等”与“不相等”的区别，你认为 如何规定两个向量相等？
定义：
长度相等且方向相同的向量叫 做相等向量. 向量a与b相等,记作a=b.
思考： 对于非零向量 和 ，通过 平移使两个向量的起点重合，那么终点B 与D的位置关系有几种可能性？
2.1平面向量的实际背景及基本概念 2.1.3 相等向量与共线向量
复习引入
1.向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？
联系：向量与数量都是有大小的量； 区别：向量有方向且不能比较大小，数
量无方向且能比较大小.
向量可以用有向线段 表示，也可以用字母 符号表示.
2.什么叫向量的模？零向量和单位 向量分别是什么概念？
我们规定：零向量与任一向量平行.
观察得结论：
如图，设a、b、c是一组平行向量， 任作一条与向量a所在直线平行的直线l， 在l上任取一点O，分别作 =a， =b，
=c，那么点A、B、C的位置关系是？
a
b
O
c
B
CA
l
结论：上述分析表明，任一组平行向量 都可以移动到同一直线上，因此，平行 向量也叫做共线向量.
B
A
C
O
F
D
E
课堂小结
相等向量定义 平行向量定义 共线向量与平行向量关系
作业布置
作业： P77～78
习题2.1 A组：4. 选作B组：1，2.（学有余力者）
谢谢大家
例题讲解
1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述 理由.
①向量 AB与 CD 是共线向量，则A、B、C、D
再思考：两个向量不能比较大小，只有 “相等”与“不相等”的区别，你认为 如何规定两个向量相等？
定义：
长度相等且方向相同的向量叫 做相等向量. 向量a与b相等,记作a=b.
思考： 对于非零向量 和 ，通过 平移使两个向量的起点重合，那么终点B 与D的位置关系有几种可能性？
2.1平面向量的实际背景及基本概念 2.1.3 相等向量与共线向量
复习引入
1.向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？
联系：向量与数量都是有大小的量； 区别：向量有方向且不能比较大小，数
量无方向且能比较大小.
向量可以用有向线段 表示，也可以用字母 符号表示.
2.什么叫向量的模？零向量和单位 向量分别是什么概念？
我们规定：零向量与任一向量平行.
观察得结论：
如图，设a、b、c是一组平行向量， 任作一条与向量a所在直线平行的直线l， 在l上任取一点O，分别作 =a， =b，
=c，那么点A、B、C的位置关系是？
a
b
O
c
B
CA
l
结论：上述分析表明，任一组平行向量 都可以移动到同一直线上，因此，平行 向量也叫做共线向量.
B
A
C
O
F
D
E
课堂小结
相等向量定义 平行向量定义 共线向量与平行向量关系
作业布置
作业： P77～78
习题2.1 A组：4. 选作B组：1，2.（学有余力者）
谢谢大家
例题讲解
1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述 理由.
①向量 AB与 CD 是共线向量，则A、B、C、D