概率论复习知识点总结

C1，C2，…，Cn为n个任意常数，则
i 1
Ci Xi ~ N ( Ci i ,
i 1
n
n
i 1
2 C i i ) 2
n
作业:二、2；三、17
第3章要点
八、二维连续型随机变量函数的分布
（最大值与最小值分布）设X1，X2，…，Xn是相互独立 的 n 个随机变量，若 Y=max(X1, X2, … , Xn), Z=min(X1, X2, … , Xn), 试在以下情况下求Y和Z的分布
P{ X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2,.
X 和 Y 相互独立

P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j },
即 X 和 Y 相互独立
P PP
ij
i. . j
第3章要点
3) 设连续型随机变量 ( X , Y )的联合概率密度为 f ( x, y ), 边缘概率密度分别为 f X ( x ), fY ( y ),则有
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第4章要点
三、重要分布的期望和方差 分布 0-1分布 二项分布 B(n,p) 泊松分布 P() 均匀分布 U(a,b) 指数分布 Exp() 正态分布 N(,2)
参数
0 p1
n 1, 0 p1
数学期望
方差
p(1 p)
np (1 p )
p
np
0

(a b) 2

(b a )2 12
第1章要点
二、事件运算满足的定律
事件的运算性质和集合的运算性质相同，设A，B，C为 事件，则有 交换律：A B B A , AB BA
( A B) C A ( B C ), ( AB )C A( BC ) 结合律：
分配律： ( A B)C ( AC ) ( BC ),
一、随机变量的数学期望
数学期望的性质 (1) 设c是常数，则有E(c) = c． (2) E(cX) = cE(X)，E(X + c) = E(X) + c． (3) E(X + Y) = E(X) + E(Y)．
(4) 设X，Y是相互独立的随机变量，则有
E(XY) = E(X)E(Y)．
第4章要点
例2.2，2.4，2.5 ，三1，2，4
第2章要点
二、离散型随机变量
1.离散型随机变量的分布律 分布律的概念；P{ X x } p , i 1, 2, i i 分布律的性质： pi 0, 2.常用离散型分布 二项分布：X~B(n, p), 0<p<1

p
i 1
i
1
( AB) C ( A C )(B C )
对偶律：A B AB , AB A B 例1.3, 作业: 一、 3，二、 1，2
第1章要点
三、概率的性质
(1) P() = 0． (2) (有限可加性) A1 , A2 ,..., An 两两互不相容，则
P ( Ak ) P ( Ak ).
第4章要点
例4.13,4.15,例4.18例4.19,
作业:一、3,4，二、1,2,6,8,10 三、2，5，7，9，18，20
第4章要点
三、矩的概念
k阶原点矩 E( X k ), k 1, 2, k阶中心矩 E{[ X E( X )]k }, k 2,3, k+l 阶混合矩 E( X kY l ), k , l 1,2, k+l 阶混合中心矩 E{[ X E( X )]k [Y E(Y )]l }, k , l 1,2,
p
i 1 j 1


ij
1
第3章要点
三、二维连续型随机变量及其联合概率密度
定义：F ( x, y)

x
y

f ( u, v )dudv
利用概率密度求概率：随机变量落在区域G内的概率
P {( X , Y ) G } f ( x , y )dxdy
G
第3章要点
i 1
j 1
第3章要点
六、联合概率密度与边缘概率密度的关系
二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，则
f X ( x)

f ( x , y )dy,
fY ( y )


f ( x, y )dx
例3.5，3.8，3.10，作业 三、7，
第3章要点
k 1 k 1 n n
(3) (逆事件的概率) 对任一事件A，有 P( A ) 1 P( A). (4) (单调性)若 B A,P(A) P(B) ,且P(A–B) = P(A) - P(B). (5) 对任意两个事件A,B有P(A–B) = P(A)–P(AB)． (6)（加法公式）对于任意两事件A，B有 P(A∪B) = P(A) + P(B)–P(AB)． 例1.4；作业: 一、4，11 ； 二、3，5，6
1 x 1 e , x0 f ( x ) x0 0,
指数分布：X~Exp(), >0,
正态分布：X~N(, 2), >0
f ( x) 1 2 e
( x )2 2 2
, x
作业：一、5，6，7，8，11
第2章要点
xi x
分布律与分布函数的关系： F ( x)
p
i
泊松分布: X~P(), >0
例2.6，2.7 作业：一、2，3；三、6，7，9
第2章要点
三、连续型随机变量
1.连续型随机变量及其分布 定义：F ( x ) x f ( x )dx F(x)与f(x)关系： F ( x) f ( x);(F ( x)连续） f(x) 性质： f ( x ) 0, f ( x )dx 1
FY ( y ) FX i ( y ), FZ ( z ) 1 [1 FX i ( z )]
i 1
i 1
n
n
若Xi同分布，则
FY ( y) [F ( y)]n , FZ ( z ) 1 [1 F ( z )]n
作业： 三、19
第4章要点
一、随机变量的数学期望
若P(B)>0
P ( AB ) P( A B) P( B)
P( AB) P( B) P( A B)
例1.11，1.12；作业:一、12；二、4,7 ；三、12
第1章要点
六、全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式：
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)
离散型随机变量的数学期望 E ( X ) x i pi
i 1
连续型随机变量的数学期望 E ( X )
随机变量函数的数学期望
E (Y ) E[ g( X )]




xf ( x )dx
g( x
k 1
k
) pk



g( x ) f ( x )dx
第4章要点
五、边缘分布律与联合分布律的关系
设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为 P{X = xi，Y = yj} = pij，i，j = 1，2，…，则
pi P{ X x i } pij , i 1,2,

p j P{Y y j } pij , j 1,2,
贝叶斯公式：
P( Ai B) P(Ai )P( B Ai ) P(Ai )P( B Ai ) ,i 1,2 , ,n P(B)
P(A )P( B A )
i 1 i i
n
例1.16，1.17，作业：三、14，15
第1章要点
七、事件的相互独立性
P(AB)= P(A)P(B) 注意几对概念的区别： 互不相容与互逆 互不相容与相互独立 相互独立与两两相互独立
第1章要点
四、古典概型与几何概型
古典概型概率计算公式：
事件 A中所包含样本点的个数 P( A ) 中所有样本点的个数 k n
作业：三、6，8
第1章要点
五、条件概率与乘法公式
若P(A)>0
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
P( AB) P( A) P( B A)
第1章要点
一、事件间关系和运算
子事件 A⊂B A发生必然导致B发生
事件相等 A=B
互不相容（互斥） A∩B=
A、B中其中一个发生另一个也发生
A、B不同时发生
对立（互逆） A∩B=, A∪B=Ω
差事件 A-B 积事件 A∩B 和事件 A∪B
A和B中有且只有一个发生 （记 B = A ）
A-B发生A发生B不发生 A∩B发生A、B都发生 A∪B发生A、B至少有一个发生
四、随机变量函数的分布
1.离散型随机变量函数的分布 2.连续型随机变量函数的分布 分布函数法: 先求分布函数，再求密度函数.
例2.6，作业：三、16，17，18
第3章要点
一、 二维随机变量及联合分布函数
联合分布函数的定义：F ( x, y) P{ X x, Y y} 二、二维离散型随机变量及其联合分布律 联合分布律定义： P{ X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2, 性质：p 0, ij
二、随机变量的方差
定义式： DX E[ X E ( X )]2 计算式：DX E( X 2 ) [ E( X )]2 性质： (1) 设c是常数，则D(c) = 0；
(2) D(cX) = c2D(X)，D(X + c) = D(X)；
(3) D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2E{[X – E(X)][Y – E(Y)]} 特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有 D(X + Y) = D(X) + D(Y)；
性质: (1) Cov( X , Y ) Cov(Y , X ); (2)
Cov( X , X ) D( X );
(3)
Cov(aX , bY ) abCov( X , Y ),
a，b为常数；
(4) Cov( X X ,Y ) Cov( X , Y ) Cov( X , Y ); 1 2 1 2 (5) 当随机变量X与Y相互独立时,有Cov(X,Y)= 0．
X 和 Y 相互独立
f ( x, y) f
X
( x ) fY ( y ).
在平面上几乎处处成立。
作业： 三、15，18（1）
第3章要点
八、二维连续型随机变量函数的分布
1.和的分布 正态分布的性质 定理3.1（正态分布的重要性质）若X1，X2，…，Xn为相 互独立的随机变量，且 X i ~ N ( i , i 2 ), i 1,2,..., n
作业：一、8；二、8，9； 三、17，19
第2章要点
一、随机变量及其分布
1.随机变量的概念 2.分布函数： 定义：F(x)=P{X≤x} x∈R 性质：单调性，有界性，右连续性
利用分布函数求概率：即对任意实数a, b, 有
P{a X b} F { X b} P{ X a} F (b) F (a ) P { X a } 1 P{ X a } 1 F (a )
由f(x) 计算概率：P{a X b} b f ( x )dx a
例2.9 ，2.11 作业：三、10，11


第2章要点
三、连续型随机变量
2.常用连续型随机变量 均匀分布 X~U(a, b),
1 , a xb f ( x) b a , 其它 0，
四、 二维随机变量的边缘分布函数与联合分布函数的关 系
设二维随机变量(X,Y)具有分布函数F(x，y) FX ( x ) lim F ( x , y ) F ( x , )
y
FY ( y ) lim F ( x , y ) F ( , y )
x
第3章要点
七、二维随机变量相互独立的充要条件
1) 设随机变量 ( X , Y ) 的联合分布函数为 F ( x, y ), 边缘分布函数分别为 FX ( x ), FY ( y ), 则有
X 和 Y 相互独立
F ( x, y) F ( x)F ( y).
X Y
2) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为
ab
θ0
μ, σ 0
θ μ
θ2
σ2
第4章要点
四、协方差及相关系数
定义式：Cov( X , Y ) E[( X EX )(Y EY )]
XY
Cov( X , Y ) D( X ) D(Y )
( D( X ) 0, D(Y ) 0)
计算式： Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )