2014届高三数学理科第一轮复习单元过关自测5--三角函数与解三角形
2014年全国高考理科数学试题分类汇编(word解析版可编辑)(四)三角函数与解三角形(逐题详解)
2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word 解析版) 四、三角函数与解三角形（逐题详解）第I 部分1.【2014年江西卷（理04）】在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别是,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积是A.3B.239C.233 D.33【答案】C【解析】()2222222222cos 2611333cos 2222c a b b a b c ab ba b c ab C abab b abab S ab C b =-+∴+-=-+-==∴-=∴=∴===Q Q g g2.【2014年陕西卷（理02）】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω3.【2014年浙江卷（理04）】为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象，可以将函数2sin3y x =的图象A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位【答案】C【解析】函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x 的图象向右 平移个单位，得到y==的图象．故选：C ．4.【2014年全国新课标Ⅱ（理04）】钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( )A. 5B. 5C. 2D. 1【答案】B 【解析】..5,cos 2-43π∴ΔABC 4π.43π,4π∴,22sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。
为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==5.【2014年全国新课标Ⅰ（理08）】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】：Ｂ【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B6.【2014年四川卷（理03）】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的 点向左平行移动12个单位长度得到7.【2014年全国大纲卷（03）】设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】C【解析】由诱导公式可得b=cos55°=cos （90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知b ＞a ，而c=tan35°=＞sin35°=b ，∴c ＞b ＞a 故选：C8.【2014年辽宁卷（理09）】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增【答案】B【解析】把函数y=3sin （2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x ﹣）+]．即y=3sin （2x ﹣）．由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B9.【2014年湖南卷（理09）】 已知函数)sin()(ϕ-=x x f ，且⎰=3200)(πdx x f ，则函数)(x f 的图象的一条对称轴是 A. 65π=x B. 127π=x C. 3π=x D. 6π=x【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++，又由⎰=3200)(πdx x f 得ϕ的一个值为3πϕ=，则56x π=是其中一条对称轴，故选A 10.【2014年重庆卷（理10）】已知A B C ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ）A.8)(>+c b bcB.()162ac a b +>C.126≤≤abcD.1224abc ≤≤【答案】A【解析】已知变形为1sin 2sin[()]sin[()]2A CB AC B A +-+=--+展开整理得11sin 22cos()sin 2sin [cos cos()]22A C B A A A C B +-=⇒+-= 即112sin [cos()cos()]sin sin sin 28A CBC B A B C -++-=⇒=而22111sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 224S ab C R A R B C R A B C R ==⋅⋅⋅=⋅⋅= 故2122224R R ≤≤⇒≤≤，故338sin sin sin [8,162]abc R A B C R =⋅=∈， 排除,C D ，因为b c a +>，所以()8bc b c abc +>≥，选择A第II 部分11.【2014年天津卷（理12）】在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_____________. 【答案】14- 【解析】 因为2sin 3sin B C =，所以23b c =，解得32cb =，2ac =.所以2221cos 24b c a A bc +-==-.12.【2014年山东卷（理12）】在ABC V 中，已知tan AB AC A ⋅=uu u r uu u r ，当6A π=时，ABCV 的面积为 。
2014年高考人教A版数学(理)一轮针对训练 第3章 三角函数、解三角形 第2课时 Word版含解析]
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一、选择题1．(2013·济南调研)已知cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，则sin α＝( ) A ．－35 B.35C ．±35D ．以上都不对解析：选A.∵cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－ 1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. 2．已知α∈(π2，3π2)，tan(α－7π)＝－34，则sin α＋cos α的值为( )A ．±15B ．－15C.15 D ．－75解析：选 B.tan(α－7π)＝tan α＝－34，∴α∈(π2，π)，sin α＝35，cos α＝－45，∴sin α＋cos α＝－15.故选B.3．(2013·福州检测)1－2sin (π＋2)cos (π＋2)等于( ) A ．sin2－cos2 B ．cos2－sin2 C ．±(sin2－cos2) D ．sin2＋cos2 解析：选A.原式＝1－2(－sin2)(－cos2) ＝1－2sin2cos2＝|sin2－cos2|，∵sin2＞0，cos2＜0，∴原式＝sin2－cos2.4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝( ) A.23 2 B ．－23 2 C.13 D ．－13解析：选D.cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 5．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2x ＋1＝( ) A.65 B.95 C.43 D.53 解析：选B.∵sin x ＝2cos x ，∴tan x ＝2，sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.故选B.二、填空题6．(2013·聊城质检)sin(－210°)＝________.解析：sin(－210°)＝sin30°＝12.答案：127．(2013·德州质检)cos 9π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－7π6＋sin21π的值为________． 解析：原式＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π4－tan ⎝⎛⎭⎫π＋π6＋0 ＝cos π4－tan π6＝22－33＝32－236.答案：32－2368．(2011·高考大纲全国卷)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝__________. 解析：∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴()2cos α2＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝15.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 答案：－55三、解答题9．(2013·东营质检)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin (3π2－α)－sin (－α)的值．解：∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)， ∴－sin α＝2cos α，即sin α＝－2cos α.∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.10．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫－α＋32πcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin αcos α(－sin α)sin α·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.一、选择题1．(2013·济南调研)若cos(2π－α)＝53且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin(π－α)＝( ) A ．－53 B ．－23C ．－13D ．±23解析：选B.cos(2π－α)＝cos α＝53， 又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫532＝－23.∴sin(π－α)＝sin α＝－23.2．(2013·抚顺质检)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( ) A ．{1，－1,2，－2} B ．{－1,1} C ．{2，－2} D ．{1，－1,0,2，－2}解析：选C.当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.二、填空题3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α的值为________． 解析：sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32. 答案：324．(2011·高考重庆卷)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________． 解析：由题意得sin α－cos α＝12，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋⎝⎛⎭⎫122＝2，故(sin α＋cos α)2＝74；又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，因此有sin α＋cos α＝72，所以cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142.答案：－142三、解答题5．是否存在α∈(－π2，π2)，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos(π2－β), 3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在α、β使得等式同时成立，即有⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos (π2－β)， ①3cos (－α)＝－2cos (π＋β)， ②由诱导公式可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ③3cos α＝2cos β. ④③2＋④2得sin 2α＋3cos 2α＝2，∴cos 2α＝12.又∵α∈(－π2，π2)，∴α＝π4或α＝－π4.将α＝π4代入④得cos β＝32.又β∈(0，π)，∴β＝π6，代入③可知符合．将α＝－π4代入④得cos β＝32.又β∈(0，π)，∴β＝π6，代入③可知不符合．综上可知，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
《创新设计 高考总复习》2014届高考数学一轮复习：易失分点清零(五)三角函数与解三角形
易失分点清零(五) 三角函数与解三角形1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos 2A 2＝b ＋c2c ，则△ABC 是( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析 因为cos 2A 2＝b ＋c 2c 及2cos 2A 2－1＝cos A ，所以cos A ＝bc ，则△ABC 是直角三角形．故选A. 答案 A2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12.所得函数解析式为( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －7π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －3π2D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －7π4 解析 将原函数向右平移π4个单位长度，所得函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －7π4，再压缩横坐标得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －7π4.故选D.答案 D3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A 的值等于( )．A.32B.33C.34D.36解析 (3b －c )cos A ＝a cos C ，由正弦定理得3sin B cos A ＝sin C cos A ＋cos C sin A ⇒3sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，又sin B ≠0，所以cos A ＝33，故选B. 答案 B4．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )．A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增解析 先将f (x )化为单一函数形式： f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，∵f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4.由f (x )＝f (－x )知f (x )是偶函数， 因此φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )． 又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2cos 2x .由0<2x <π，得0<x <π2时，f (x )单调递减，故选A. 答案 A5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )．A.63B.223C ．－63D ．－223解析 因为a ＝15，b ＝10，A ＝60°，所以在△ABC 中，由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝10×3215＝33，又由a >b 可得A >B ，即得B 为锐角，则cos B ＝1－sin 2B ＝63. 答案 A6.已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )．A ．ω＝1，φ＝π6 B ．ω＝1，φ＝－π6 C ．ω＝2，φ＝π6 D ．ω＝2，φ＝－π6解析 ∵T ＝π，∴ω＝2.由五点作图法知2×π3＋φ＝π2，∴φ＝－π6. 答案 D7．(2013·龙岩模拟)将函数y ＝f (x )·sin x 的图象向右平移π4个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )可以是 ( )．A ．sin xB ．cos xC ．2sin xD ．2cos x解析 运用逆变换方法：作y ＝1－2sin 2x ＝cos 2x 的图象关于x 轴的对称图象得y ＝－cos 2x ＝－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，再向左平移π4个单位得y ＝f (x )·sin x ＝－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin 2x ＝2sin x cos x 的图象．∴f (x )＝2cos x .答案 D8．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan αtan β＝( )．A.12B ．－12C.32D ．－32解析 由已知，得cos αcos β－sin αsin β＝15，cos αcos β＋sin αsin β＝35，则有cos αcos β＝25，sin αsin β＝15，所以sin αsin βcos αcos β＝12，即tan αtan β＝12. 答案 A9．(2013·湖州模拟)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A ， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ．又A ＋C ＝120° ∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C ) ＝2(2sin C ＋3cos C ) ＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角． 由于0°<C <120°，且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27. 答案 2710．已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则tanα＋β2的值是________． 解析 因为a >1，tan α＋tan β＝－4a <0， tan α·tan β＝3a ＋1>0，所以tan α<0，tan β<0. 又由α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，得α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， 所以α＋β∈(－π，0)，则α＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0.又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－4a 1－(3a ＋1)＝43，又tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝43，整理，得2tan 2α＋β2＋3tan α＋β2－2＝0， 解得tanα＋β2＝－2或tan α＋β2＝12(舍去)．答案 －211．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间是________．解析 即求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 12．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，则ω的最大值为________．解析 由条件，得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3ω－π3＝2sin ωx ，从而T 4＝π2ω≥π4，解之得ω≤2，所以ω的最大值为2. 答案 213．在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C . (1)证明：B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4B ＋π3的值． (1)证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知， 得sin B sin C ＝cos Bcos C .于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0. 因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0. 所以B ＝C .(2)解 由A ＋B ＋C ＝π和(1)，得A ＝π－2B ， 故cos 2B ＝－cos(π－2B )＝－cos A ＝13. 又0<2B <π，于是sin 2B ＝1－cos 22B ＝223. 从而sin 4B ＝2sin 2B cos 2B ＝429，cos 4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－79.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4B ＋π3＝sin 4B cos π3＋cos 4B sin π3＝42－7318.14．已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b .(1)当a ＝1时，求f (x )的单调递增区间；(2)当a >0，且x ∈[0，π]时，f (x )的值域是[3,4]，求a ，b 的值．解 (1)因为f (x )＝1＋cos x ＋sin x ＋b ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b ＋1，由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )．(2)因为f (x )＝a (sin x ＋cos x )＋a ＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b ，因为x ∈[0，π]，则x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1.故⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝4，2a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋a ＋b ＝3，所以⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝3.。
2014年高考数学三角函数、解三角形汇编
2014年高考数学三角函数、解三角形1．已知函数2()2sin ()234f x x x π=--，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， (1)求()f x 的最大值和最小值;(2)若方程()f x m =仅有一解,求实数m 的取值范围.2．已知函数()4cos sin()1(0)6f x x x πωωω=-+>的最小正周期是π． (1)求()f x 的单调递增区间；(2)求()f x 在[8π，38π]上的最大值和最小值．3．已知函数2()2cos sin(2)1f x x x π=-+-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最小值和最大值.4．已知函数2()cos(2)2sin 13f x x x =--+π．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.5．已知向量()1cos ,1,(1,)a x b a x ωω=+= （ω为常数且0ω>），函数x f ⋅=)(在R 上的最大值为2．（1）求实数a 的值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位，可得函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，求ω取最大值时的单调增区间．6．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且cos 3cos C a c B b-=. (1)求sin B ;(2)若b a c ==，求ABC ∆的面积.7．设函数()f x a b =⋅，其中向量(sin 21,sin 2,6a x b x x R π⎛⎫⎛⎫==--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 。
（1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合。
（2）将函数()f x 图像沿x 轴向右平移，则至少平移多少个单位长度，才能使得到的函数()g x 的图像关于y 轴对称。
8．已知函数22())2sin ()312f x x x ππ-+-，钝角ABC ∆（角,,A B C 对边为,,a b c ）的角B 满足()1f B =.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若3,b c ==,B a .9．设函数f (x )＝sin 3x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋sin 3x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭ωx (其中ω＞0)，且函数f (x )的图象的两条相邻的对称轴间的距离为2π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．10．已知函数f (x )＝tan 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求f 9π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； (2)设α∈3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若f 34απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2，求cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．11．已知函数()sin f x m x x =+,(0)m >的最大值为2．（Ⅰ）求函数()f x 在[]0,π上的值域；（Ⅱ）已知ABC ∆外接圆半径3=R ，()()sin 44f A f B A B ππ-+-=，角,A B 所对的边分别是,a b ，求b a 11+的值．12．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，ABC ∆的面积S 满足c o s 2S b c A =. （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =B 的大小为x,用x 表示c 并求的取值范围.13．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知cos -2cos 2-cos A C c a B b = . （1）求sin sin C A 的值； （2） 若1cos ,24B b ==，求ABC ∆的面积.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c o s c o s c o s a C b C c B c A -=-，且C ＝120°．（1）求角A ；（2）若a ＝2，求c ．15．已知函数2()1cos 22sin (),6f x x x x R π=+--∈.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和对称中心；（Ⅱ）若将()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位后所得到的图像关于y 轴对称，求实数m 的最小值.16．（本小题满分12分）设()sin (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）求()f x 最大值及相应x 值；（Ⅱ）锐角ABC △中，满足()1f A =．求()sin 2B C +取值范围．17．在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++(1)求角A 值；(2)求C B cos sin 3-的最大值.18．已知：ABC c b a ∆分别是锐角,,三个内角A ，B ，C 所对的边，向量)sin ,cos 2(),sin 32,(sin A A b A A a ==，设b a A f ⋅=)(（1）若32)(=A f ，求角A ；（2）在（1）的条件下，若2,tan 2tan tan ==+a Aa C c Bb ，求三角形ABC 的面积．19．在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos (3)cos b C a c B =- （1）求B cos ；（2）若4BC BA ⋅= ，b =a ，c 的值.20．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c 且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列．（1）求B 的值；（2）求22sin cos()A A C +-的范围．21．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，且)c o s c o s c B b C-=. （1）求角B 的大小；（2）设向量8(cos 21,cos ),(1,)5A A +-m =n =，且⊥m n ，求tan()4A π+的值参考答案1．(1) m ()2ax f x =，min ()4f x =-(2)({}2,34⎤-⋃-⎦【解析】试题分析：(1)先用余弦的二倍角公式将其降幂，再用诱导公式及化一公式将其化简为()()sin f x A x k ωϕ=++或()()cos f x A x k ωϕ=++的形式，再根据正弦或余弦的最值情况求其最值。
【志鸿优化设计】(湖南专用)2014届高考数学一轮复习 第四章三角函数、解三角形4.4函数y=Asi
4.4 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质考纲要求1．了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象；了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．1．把y ＝sin 12x 的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图象，则ω的值为( )．A ．1B ．4 C.14D ．22．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )．A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π33．(2012某某高考)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位4．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －3π4的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝__________.5．(2012某某高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω＞0，0＜φ＜π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的单调递增区间．一、三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在一个周期上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 方法提炼1．用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T ＝2πω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．2．图象变换法 (1)平移变换①沿x 轴平移，按“左加右减”法则； ②沿y 轴平移，按“上加下减”法则． (2)伸缩变换①沿x 轴伸缩时，横坐标x 伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的1ω倍(纵坐标y 不变)；②沿y 轴伸缩时，纵坐标y 伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)为原来的A 倍(横坐标x 不变)． 请做演练巩固提升2,3二、求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的解析式【例2－1】 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一部分如(1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．【例2－2】 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间．方法提炼确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的解析式的步骤： 1．求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.2．求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT.3．求φ，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.请做演练巩固提升4三、三角函数模型的应用【例3】 已知某海湾内海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内从上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？方法提炼三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．请做演练巩固提升5不理解相位变换而致误【典例】 (2012某某高考)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( )．A ．13B ．1C ．53D ．2 解析：f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.又所得图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝0.∴sin ωπ2＝0.∴ωπ2＝k π(k ∈Z )．∴ω＝2k (k ∈Z )．∵ω＞0，∴ω的最小值为2. 答案：D 答题指导：要熟练掌握“先平移再伸缩”和“先伸缩再平移”这两种变换方案．即前者平移|φ|个单位，后者平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．1．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝23π对称，它的周期是π，则下列结论一定正确的是( )．A ．f (x )的最大值为AB ．f (x )的一个对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫512π，0 C ．f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤512π，23π上是减函数2．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ等于( )．A.π6B.5π6C.7π6D.11π6 3．(2012某某高考)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )．4.(2012某某高考)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域．5．如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？参考答案基础梳理自测知识梳理 1.2πωω2π2．－φωπ2ω－φωπω－φω3π2ω－φω2πω－φω3．|φ| 1ω1ω |φω| AA基础自测1．C 解析：y ＝sin 12x ――――――――――→横坐标变为原来的2倍y ＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝sin 14x ，∴ω＝14.2．D 解析：由题意得ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又f (0)＝3，即2sin φ＝3，∴sin φ＝32，∵|φ|＜π2， ∴φ＝π3，故选D.3．C 解析：∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， ∴只须将y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可得到y ＝cos(2x ＋1)的图象．4．0 解析：由图象知32T ＝π，所以T ＝2π3.所以ω＝3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －3π4. 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4－3π4＝0. 5．解：(1)由题设图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT＝2，因为点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝0. 又因为0＜φ＜π2，所以5π6＜5π6＋φ＜4π3，从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin 2x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 考点探究突破【例1】 解：(1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3. 又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)(3)把y ＝sin x 图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，然后把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 【例2－1】 解：(1)由图象可知，函数的最大值M ＝3，最小值m ＝－1，则A ＝3－(－1)2＝2，b ＝3－12＝1.又T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.将x ＝π6，y ＝3代入上式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1， ∴π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又∵|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1. (2)由2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝π6＋12k π，k ∈Z ，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1的对称轴方程为：x ＝π6＋12k π，k ∈Z . 【例2－2】解：(1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin(ωx ＋φ)－12cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6. 因为f (x )为偶函数，所以对x ∈R ，f (－x )＝f (x )恒成立，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ωx ＋φ－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6，即－sin ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＋cos ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＝sin ωx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＋cos ωx sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6， 整理得sin ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝0. 因为ω＞0，且x ∈R ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝0. 又因为0＜φ＜π，故φ－π6＝π2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝2cos ωx . 由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f (x )＝2cos 2x .因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2)将f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象．所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减．因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． 【例3】 解：(1)由表中数据，知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6.由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5； 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0，∴A ＝0.5，b ＝1，∴振幅为12，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y ＞1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1＞1，∴cos π6t ＞0， ∴2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －3＜t ＜12k ＋3，k ∈Z .①∵0≤t ≤24，故可令①中的k 分别为0,1,2， 得0≤t ＜3，或9＜t ＜15，或21＜t ≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00. 演练巩固提升1．B2．D 解析：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π＋116π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋11π6，∴φ＝11π6.3．A 解析：y ＝cos 2x ＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y 1＝cos x ＋1，再向左平移1个单位长度得y 2＝cos(x ＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y 3＝cos(x ＋1)，故相应图象为A.4．解：(1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2.从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又由－π＜φ≤π得φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos 2x＝(2cos 2x －1)(3cos 2x ＋2)2(2cos 2x －1)＝32cos 2x ＋1⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x ≠12.因cos 2x ∈[0,1]，且cos 2x ≠12，故g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，74∪⎝ ⎛⎦⎥⎤74，52.5．解：解法一：(1)连接MP .依题意，有A ＝23，T 4＝3，又T ＝2πω，∴ω＝π6，∴y ＝23sin π6x ，当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3，∴M (4,3)，又P (8,0)，∴MP ＝(－4)2＋32＝5.(2)在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5.设∠PMN ＝θ，则0°＜θ＜60°.由正弦定理得MP sin 120°＝NP sin θ＝MNsin(60°－θ).∴NP ＝1033sin θ，MN ＝1033sin(60°－θ)． ∴NP ＋MN ＝1033sin θ＋1033sin(60°－θ)＝1033⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ＝1033sin(θ＋60°)．∵0°＜θ＜60°，∴60°＜θ＋60°＜120°， ∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP 最长．亦即，将∠PMN 设计为30°时，折线段赛道MNP 最长． 解法二：(1)同解法一．(2)在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5，由余弦定理得MN 2＋NP 2－2MN ·NP ·cos∠MNP ＝MP 2，即MN 2＋NP 2＋MN ·NP ＝25.故(MN ＋NP )2－25＝MN ·NP ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫MN ＋NP 22， 从而34(MN ＋NP )2≤25，即MN ＋NP ≤1033，当且仅当MN ＝NP 时等号成立．亦即，设计为MN ＝NP 时，折线段赛道MNP 最长．。
人教版高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数、解三角形-第二节 同角三角函数基本关系及诱导公式
故选C.
≠ .
（2）已知方程sin2 + 2sin cos − 2sin − 4cos = 0,则cos 2 − sin cos =
() B
4 3
3 4
A.− B. C.− D.
5 5
5 5
[解析]因为方程 + − − = ,
角
2π + ∈
π+
−
关于原点对称
______________
π
−
2
关于轴对称
_____________
π
+
2
图示
与角终边的关系
相同
______
角
π −
续表
角
2π + ∈
π+
图示
与角终边的关系
关于轴对称
关于直线 = 对称
−
三、诱导公式
组数
一
二
三
= ,即 = ,即 = .
因为 ∈ , ,所以 = , =
.故 − = −
C
=−
.故选C.
1
5
2或
（2）已知sin − cos = ,则tan =_____.
sin2 +cos2
=
2tan2 + 3tan − 1
=
2
tan + 1
=
sin +cos
［对点训练2］（1）已知
sin −cos
2014年高考数学一轮总复习(人教A版)章末综合检测：第三章 三角函数(含解析)
章末综合检测：第三章 三角函数1．已知α是第一象限角，tan α＝34，则sin α等于A.45 B.35 C －45 D ．－352．在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形 D ．等边三角形 3．函数22cos ()14y x π=--是A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14()b 2＋c 2－a 2，则∠B ＝A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．函数sin(2)5sin(2)63y x x ππ=++-的最大值是 A ．6＋532 B ．17 C ．13 D ．126．函数lg[sin(2)]4y x π=-的单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－5π8，k π－π8(k ∈Z)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π8，k π＋π8(k ∈Z) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－3π8，k π－π8(k ∈Z) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z) 7．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 km B ．3 2 km C ．3 3 km D ．2 3 km8.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋29．△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上均有可能 10．下列命题正确的是( )A ．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6内单调递增B ．函数y ＝cos 4x －sin 4x 的最小正周期为2πC ．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象是关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0成中心对称的图形D ．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象是关于直线x ＝π6成轴对称的图形11．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是12．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a=A ．1 B.110 C1或110 D1或1013．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ .14.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，2()23f π=-，则f (0)＝ .15．设a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 所对的边，sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为 ．16．在直径为30 m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为 m.17．已知33sin(),4544πππαα-=<<(1)求cos()4πα-的值； (2)求sin α的值．18．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lg sin B ＝lg 22，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos Cc . (1)求角C 的大小；(2)如果a ＋b ＝6，CA →·CB →＝4，求c 的值．20．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (0,0,)2A πωϕ>>< 的部分图象如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；(2)如何由函数y ＝2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图象，试写出变换过程．21．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2,cos ),m b c C =- (,cos )n a A = ，且//m n(1)求角A 的大小；(2)求22sin cos(2)3y B B π=+-的值域．22．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)的图象过点(,1)8π-(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的周期和单调增区间； (3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．2014年高考数学一轮总复习（人教A 版）章末综合检测：第三章 三角函数(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α是第一象限角，tan α＝34，则sin α等于( )A.45B.35 C ．－45D ．－35解析 B 由⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜α＜π2＋2k π(k ∈Z )，sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝35.2．在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析 A sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形． 3．函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析 A ∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，∴T ＝π，且为奇函数．4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14()b 2＋c 2－a 2，则∠B ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 B 根据正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，即sin(A ＋B )＝sin C ＝sin 2 C ，所以sin C ＝1.即C ＝90°.由S ＝14()b 2＋c 2－a 2得12bc sin A ＝14()b 2＋c 2－a 2，即sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝cos A ，即tan A ＝1，所以A ＝45°，所以B ＝45°，故选B.5．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的最大值是( )A ．6＋532B ．17C ．13D ．12解析 C y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＝arctan 512，故选C.6．函数y ＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－5π8，k π－π8(k ∈Z) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π8，k π＋π8(k ∈Z) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－3π8，k π－π8(k ∈Z) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z) 解析 C 由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x >0，则2k π<π4－2x <2k π＋π，k ∈Z ，即－k π－38π<x <－k π＋π8，k ∈Z.①函数的单调增区间即为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调减区间，即2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋32π，k ∈Z ，即k π＋38π<x ≤k π＋78π，k ∈Z ，②由①②知，k π－38π<x <k π－π8，k ∈Z.7．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km解析 B如图，由条件知AB ＝24×1560＝6. 在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°. 由正弦定理知BS sin 30°＝ABsin 45°， 所以BS ＝AB sin 30°sin 45°＝3 2.故选B.8．(2013·武汉模拟)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是( ) A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2解析 D ∵⎩⎨⎧ A ＋m ＝4，－A ＋m ＝0，∴⎩⎨⎧A ＝2，m ＝2.∵T ＝π2，∴ω＝2πT ＝4.∴y ＝2sin(4x ＋φ)＋2.∵x ＝π3是其对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π3＋φ＝±1.∴4π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)．∴φ＝k π－5π6(k ∈Z)． 当k ＝1时，φ＝π6，故选D.9．△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上均有可能解析 A 由题意可知c >a ，c >b ，即角C 最大．所以a 3＋b 3＝a ·a 2＋b ·b 2<ca 2＋cb 2，即c 3<ca 2＋cb 2，所以c 2<a 2＋b 2.根据余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >0，所以0<C <π2，即三角形为锐角三角形，故选A.10．(2013·西安模拟)下列命题正确的是( )A ．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6内单调递增B ．函数y ＝cos 4x －sin 4x 的最小正周期为2πC ．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象是关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0成中心对称的图形D ．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象是关于直线x ＝π6成轴对称的图形解析 C 对于A ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6时，2x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，23π，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6内不单调；对于B ，y ＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ，故最小正周期为π；对于C ，当x ＝π6时，y ＝cos π2＝0，故C 正确；D 显然错误．11．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是解析 A 令x ＝0得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.12．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为A ．1 B.110C ．1或110D ．1或10解析 C tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg 1a 1－lg (10a )·lg 1a＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0，所以lg a ＝0或lga ＝－1，即a ＝1或110. 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ .解析 ∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2，∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43. 【答案】 4314.(2013·黄冈模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝ .解析 由图象可得最小正周期为2π3. 所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，注意到2π3与π2关于7π12对称，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝23.【答案】 2315．设a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 所对的边，sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为 ．解析 由sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ， 得a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴2cos C ＝1.∴C ＝60°.又∵ab ＝4，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin 60°＝ 3.【答案】 316．在直径为30 m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为 m.解析 轴截面如图，则光源高度h ＝15tan 60°＝53(m)．【答案】 5 3三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，π4<α<3π4.(1)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值；(2)求sin α的值．解析 (1)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，且π4<α<3π4，∴0<α－π4<π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝45. (2)sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4＝7210.18．(12分)在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lg sin B ＝lg 22，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．解析 ∵lg sin B ＝lg22，∴sin B ＝22， ∵B 为锐角，∴B ＝45°.又∵lg a －lg c ＝lg 22，∴a c ＝22. 由正弦定理，得sin A sin C ＝22， ∴2sin C ＝2sin A ＝2sin(135°－C )，即sin C ＝sin C ＋cos C ，∴cos C ＝0，∴C ＝90°， 故△ABC 为等腰直角三角形．19．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos C c . (1)求角C 的大小；(2)如果a ＋b ＝6，CA →·CB →＝4，求c 的值． 解析 (1)因为a sin A ＝c sin C，sin A a ＝3cos Cc ， 所以sin C ＝3cos C ．所以tan C ＝ 3. 因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)因为CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos C ＝12ab ＝4，所以ab ＝8.因为a ＋b ＝6，根据余弦定理，得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12. 所以c 的值为2 3.20．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<⎭⎪⎫π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)如何由函数y ＝2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图象，试写出变换过程． 解析 (1)由题图象知A ＝2.f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2代入f (x )的解析式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1. 又|φ|<π2，∴φ＝π6. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.21．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)求y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B 的值域． 解析 (1)由m ∥n 得(2b －c )·cos A －a cos C ＝0.由正弦定理得2sin B cos A －sin C cos A －sin A cos C ＝0.所以2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，即2sin B cos A －sin B ＝0.因为A ，B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，cos A ＝12， 所以A ＝π3. (2)y ＝2sin 2B ＋cos π3cos 2B ＋sin π3sin 2B ＝1－12cos 2B ＋32sin 2B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1. 由(1)得0<B <2π3，所以－π6<2B －π6<7π6， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，所以y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. 22．(14分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，－1. (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的周期和单调增区间；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解析 (1)∵f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，－1， ∴－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ， ∴φ＋π4＝2k π－π2(k ∈Z)， 又φ∈(－π，0)，∴φ＝－3π4. ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4. (2)由题意，T ＝2π2＝π，由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4，由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z)得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)． (3)f (x )在[0，π]上的图象如图：。
山东省青岛理工大学附中2014年高考数学一轮复习《三角函数》精品训练新人教A版
青岛理工大学附中三维设计2014年高考数学一轮复习：三角函数 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若3sin ,,052a πα⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，则5cos 4απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A ．BC ．D 【答案】C2．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ， 105,45=∠=∠CAB ACB 后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )A ． m 250B ． m 350C ．m 225D ．m 2225 【答案】A3．角θ的终边与单位圆交于点(P ，则cos()πθ-的值为( )A ．B ．CD 【答案】C4．下列四个命题中，正确的是( )A ． 第一象限的角必是锐角B ． 锐角必是第一象限的角C ． 终边相同的角必相等D ． 第二象限的角必大于第一象限的角 【答案】B5．已知α∈(2π-，0)，55)23sin(=--πα，则()απ--sin =( ) A ． 55 B ． 552 C ．55- D ． 552- 【答案】D6．下列关系式中正确的是( )A ．000sin10cos10sin160<<B ．000sin160sin10cos10<<C ．000sin10sin160cos10<<D ．000sin160cos10sin10<<【答案】C7，则a =( )A ．1 BC ．2D ．3【答案】B8．计算 43cos 13sin 13cos 43sin -的值等于( )A ．12 BC ．D【答案】A9．若已知tan10°=a ，求tan110°的值，那么在以下四个值 ①a a a a a 211333132--+-+；③；②④2a 12-中，正确的是( )A ．①和③B ．①和④C ．②和③D ．②和④【答案】C10．为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点( )A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】A11．设角35,6απ=-则)(cos )sin(sin 1)cos(2)cos()sin(22απαπααπαπαπ++-+++--+的值等于( )A ．21-B ．－23C ．23D ．21【答案】D12．下列各命题正确的是( )A ．终边相同的角一定相等．B ．第一象限角都是锐角．C ．锐角都是第一象限角．D ．小于90度的角都是锐角．【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．cos 480的值为____________ 【答案】12- 14．已知扇形的半径为10㎝，圆心角为120°，则扇形的面积为_____________． 【答案】1003π㎝2 15．54sinlg 2lg 7cos lg 63ππ⋅-++= __ 【答案】016．函数()cos 2x f x x π=，则(1)(2)(3)(2012)f f f f ++++= ．【答案】1006三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c，且(2)cos cos b A C -=． (Ⅰ）求角A 的大小；(Ⅱ）若54cos ,1==B a ，求ABC ∆的面积． 【答案】（1）∵(2)cos cos b A C =，∴(2sin )cos cos B C A A C =．即2sin cos cos cos B A A C C A =．∴2sin cos )B A A C =+．则2sin cos B A B =，∴cos A =， 因为0A π<<则6A π=． (2）4cos sin 5=B B 由得，35=又1cos sin 2A A ==，143sin 255=sin(A+B)=C ∴⨯由sin sin a b A B =得，65b =1sin 2ABC S ab C ∆∴== 18．在△ABC中，0120,,ABC A c b a S =>==c b ,。
2014年高三数学试题-三角形与三角函数(包含答案)
2014年高三数学试题-三角形与三角函数(包含答案)D即249255ACAC=++，整理得25240AC AC +-=，由于0AC >，解得3AC =，由正弦定理得sin 3sin sin sin 5AC AB B AC B C C AB =⇒==. 考点：1.余弦定理；2.正弦定理8.【广东省惠州市2014届高三第二次调研考试】若tan()2πα-=，则sin 2α= .9.在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则AC = .10.已知}{n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则)cos(82a a +的值为________.【答案】12-. 【解析】试题分析：由于数列{}na 为等差数列，所以159538a a a a π++==，所以1951623a aa π+==，故 ()19161cos coscos 5cos 3332a a ππππ⎛⎫+==+=-=- ⎪⎝⎭.考点：1.等差数列的性质；2.诱导公式二．能力题组1.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”． 给出下列函数：①()sin cos f x x x =； ②()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ③()sin 3cos f x x x=+； ④()2sin 21f x x =+．其中“同簇函数”的是 （ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④2.已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，则2sin 22sin 1tan x xx+=-（ ）A.2875-B.2875C.21100- D.211003.在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积，若向量()2224,p a b c =+-，()1,q S =满足//p q ，则C ∠= .考点：1.平面向量共线；2.三角形的面积公式；3.余弦定理；4.同角三角函数的商数关系4.下面有四个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π； ②函数x x y cos 4sin 3+=的最大值是5；③把函数)32sin(3π+=x y 的图象向右平移6π得xy 2sin 3=的图象；④函数)2sin(π-=x y 在),0(π上是减函数. 其中真命题的序号是5.数列{}n a 满足：12a =，111n n a a -=-()2,3,4,n =，若数列{}na 有一个形如()3sin na n ωϕ=+12+的通项公式，其中ω、ϕ均为实数，且0ω>，2πϕ<，则ω=________，ϕ= .三．拔高题组1.在ABC ∆中，角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ，且2,60c C ==.（1）求sin sin a bA B++的值； （2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABCS ∆．ABC S ∆=1sin 2ab C 计算ABC ∆的面积.2.已知向量(cos ,sin ),(cos ,cos )a x xb x x ==-，(1,0)c =-（1）若,,6x a c π=求向量的夹角; （2）当]89,2[ππ∈x 时，求函数)(x f =b a ⋅2+1的最大值.试题解析：（1）当6x π=时，31(,)2a = cos ,||||a ca c a c <>=3=0,a c π≤<>≤ 5,6a c π∴<>的夹角为；3.已知向量)1,(sin ),31cos ,3(x b x a =-=，函数ba x f•=)(.将函数()yf x 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移3π个单位，得到函数()yg x 的图象.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若ba ⊥,求()yg x 的值.试题解析：（1）31cos sin 3)(-+=•=x x b a x f=31)6sin(2-+πx ， )(22622Z k k x k ∈+≤+≤-∴πππππ4.设()6cos ,3a x =-，()cos ,sin 2b x x =，()f x a b =⋅.（1）求()f x 的最小正周期、最大值及()f x 取最大值时x 的集合；（2）若锐角α满足()323f α=-，求4tan 5α的值.()23236f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用相关公式求出函数()f x 的最小正周期，并令226x k ππ+= ()k Z ∈求出函数()f x 的最大值以及取最大值时x 的取值集合；（2）先利用已知条件()323f α=-并结合角α为锐角这一条件求出角α的值，并最终求出4tan 5α的值.5.如图，已知点()3,4A ，()2,0C ，点O 为坐标原点，点B 在第二象限，且3OB =，记AOC θ∠=. （1）求sin 2θ的值；（2）若7AB =，求BOC ∆的面积.考点：1.三角函数的定义；2.二倍角公式；3.余弦定理；4.两角和的正弦公式；5.三角形的面积6.已知函数()()=-f x x x x2sin cos sin.（1）当0xπ<<时，求()f x的最大值及相应的x值；（2）利用函数siny x=的图象经过怎样的变换得到()f x的图象.方法2：把函数sin=图象上的点横坐标变为原来y x的12倍，7.已知函数(3sin 2cos 2f x x x=-）.（1）求函数()f x 的最小正周期和最值； （2）求函数()f x 的单调递减区间．（2）由≤-≤+6222πππx k )(232z k k ∈+ππ， 得)(653z k k x k ∈+≤≤+ππππ，∴单调递减区间为)](65,3[z kk k ∈++ππππ. 考点：1.辅助角公式；2.三角函数的周期；3.三角函数的最值；4.三角函数的单调区间8.已知ABC ∆中，三条边a b c 、、所对的角分别为A 、B 、C ，且sin 3cos b A a B =.（1）求角B 的大小；（2）若2()3sin cos cos f x x x x =+，求()f A 的最大值.9.已知(22cos 3a x =，()1,sin 2b x =，函数()1f x a b =⋅-，()21g x b =-.（1）求函数()g x 的零点的集合；（2）求函数()f x 的最小正周期及其单调增区间.【答案】（1）函数()g x 的零点的集合是,2k x x k Z π⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭； （2）函数()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】10.在ABC ∆中，已知内角3A π=，边23BC =设内角B x =，ABC ∆的面积为y .（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求函数()y f x =的值域.（2）203x π<<，72666x πππ∴-<-<，故1sin 2126x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭， ()033f x ∴<≤，即函数()f x 的值域为(0,33.考点：1.正弦定理；2.三角形的面积公式；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数的最值 11.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式； （2）若),2,0(,1)62(πθπθ∈=+f 求).4cos(πθ-试题解析：（1）由图象知2A =()f x 的最小正周期54()126T πππ=⨯-=,故22Tπω== 将点(,2)6π代入()f x 的解析式得sin()13πϕ+=,又||2πϕ<, ∴6πϕ= 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=+； （2）()2sin(2)6f x x π=+，2sin 2()2sin 2cos 1262662f θπθπππθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭13cos 0sin 22πθθθ⎛⎫∴=∈= ⎪⎝⎭又，所以62cos cos cos sin sin 444πππθθθ+⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭.考点：1.三角函数的图象；2.同角三角函数的平方关系；3.两角差的余弦公式12.已知函数()12sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈.（1）求54f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，103213f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()6325f βπ+=，求()cos αβ+的值.所以()1235416cos cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=. 考点：1.同角三角函数的基本关系；2.两角和的余弦公式13.设向量()6cos ,3a x =-，()cos ,sin 2b x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）若23a =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大、最小值.考点：1.平面向量模的计算；2.平面向量的数量积；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数的最值。
2014届高考数学一轮复习 第3章《三角函数、解三角形》(第3课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第3章《三角函数、解三角形》（第3课时）（新人教A 版）一、选择题1．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝( )A ．－7210B.7210 C ．－210D.210解析：选A.由于α是第三象限角且cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22(－45－35)＝－7102.2．(2013·青岛质检)cos42°cos78°＋sin42°cos168°等于( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32 解析：选A.cos42°cos78°＋sin42°cos168° ＝cos42°cos78°－sin42°sin78°＝cos120°＝－12.3．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6 D.π4 解析：选A.由题意得，tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－3， 即tan(A ＋B )＝－3，又tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝3，∴C ＝π3.4．若α∈(π2，π)，且sin α＝45，则sin(α＋π4)－22cos α＝( )A.225 B ．－225C.425D ．－425解析：选 A.sin(α＋π4)－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225.故选A. 5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12 B.12C ．－13 D.2327解析：选D.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝223， ∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327. 二、填空题6．化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝cos π3cos α－sin π3sin α＋sin π6cos α＋cos π6sin α＝12cos α－32sin α＋12cos α＋32sin α＝cos α. 答案：cos α7．tan20°＋t an40°＋3tan20°tan40°＝________. 解析：tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋3tan20°tan40° ＝tan60°－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40° ＝ 3. 答案： 38．已知cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，则tan α＝________.解析：∵cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，∴cos αcos π3－sin αsin π3＝sin αcos π3－cos αsin π3，∴tan α＝1. 答案：1 三、解答题9．求值：(1)2cos10°－sin20°sin70°；(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．解：(1)原式＝－－sin20°sin70°＝3cos20°＋sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°sin70°＝ 3.(2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)·tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝ 3.10．已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，得－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，知cos(α－β)＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×(－35)＝－43＋310.一、选择题1．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.53 解析：选B.tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan120°＝3，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝3，即2331－tan A tan B ＝ 3.解得tan A tan B ＝13，故选B.2．(2013·潍坊调研)设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( ) A ．sin(α＋β)>sin α＋sin β B ．cos(α＋β)>cos αcos β C ．sin(α＋β)>sin(α－β) D ．cos(α＋β)>cos(α－β) 解析：选C.∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， 又∵α、β都是锐角，∴cos αsin β>0， 故sin(α＋β)>sin(α－β)． 二、填空题3．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，则sin(α＋β)＝________.解析：α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45. ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴3π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin(α＋β)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－π2 ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝5665， 即sin(α＋β)＝5665.答案：56654．(2013·大连质检)已知：0°＜α＜90°，0°＜α＋β＜90°，3sin β＝sin(2α＋β)，则tan β的最大值是________．解析：由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝2tan α，∴tan β＝tan(α＋β－α)＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝tan α1＋2tan 2α＝11tan α＋2tan α，∵1tan α＋2tan α≥22， ∴tan β的最大值为122＝24. 答案：24三、解答题5．(2013·东营质检)已知a ＝(sin ωx ，－2cos ωx )，b ＝(2cos ωx ，3cos ωx )(ω＞0)，设函数f (x )＝a ·b ＋3，且函数f (x )图象上相邻两条对称轴之间的距离是π2.(1)求f (x )的解析式；(2)若f (A )＝－1，其中A 是△ABC 的内角，求A 的值；(3)若f (α)＝－65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin2α的值．解：(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx －23cos 2ωx ＋ 3＝sin2ωx －3cos2ωx ＝2sin(2ωx －π3)，由条件知函数f (x )的周期为π，∴2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)由(1)知，f (A )＝2sin(2A －π3)＝－1，∴sin(2A －π3)＝－12，∵A 是△ABC 的内角，∴0＜A ＜π，∴－π3＜2A －π3＜5π3，∴2A －π3＝－π6或7π6，∴A ＝π12或3π4.(3)由f (α)＝－65，知2sin(2α－π3)＝－65，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝－35， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α－π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3，而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＜0，∴2α－π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝45， sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3cos π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3sin π3 ＝－35×12＋45×32＝43－310.。
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题4：三角函数与解三角形5(解三角形选择填空题)带详细答案
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题4：三角函数与解三角形（解三角形选择填空题）（一）解三角形（正弦定理）选择题1．（2014•广东文）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a b …”是“sin sin A B …”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件【考点】正弦定理【分析】直接利用正弦定理以及已知条件判断即可． 【解答】解：由正弦定理可知sin sin a b A B =⇒sin sin a Ab B=， ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠均小于180︒，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ， a ∴，b ，sin A ，sin B 都是正数，∴ “a b …” ⇔ “sin sin A B …”．∴ “a b …”是“sin sin A B …”的充分必要条件．故选：A ．【点评】本题考查三角形中，角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用，基本知识的考查．2．（2014•江西文）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若32a b =，则2222sin B sin Asin A-的值为( ) A ．19-B ．13C ．1D ．72【考点】正弦定理【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论． 【解答】解：32a b =，32b a ∴=，根据正弦定理可得2222222229222974122a a sin B sin Ab a sin A a a ⨯---===-=，故选：D ．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．3．（2017•新课标Ⅰ文）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，2a =，c =(C = )A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【考点】正弦定理【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 【解答】解：sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+， sin sin (sin cos )0B A C C +-=，sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ∴++-=， cos sin sin sin 0A C A C ∴+=， sin 0C ≠， cos sin A A ∴=-， tan 1A ∴=-，2A ππ<<，34A π∴=， 由正弦定理可得sin sin c aC A=， sin sin c AC a∴=， 2a =，c =sin 12sin 22c AC a∴===， a c >，6C π∴=，故选：B ．【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题4．（2017•山东理）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是( )A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =【考点】正弦定理【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．【解答】解：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin (12cos )2sin cos cos sin sin cos sin()sin cos sin B C A C A C A C A C A C B +=+=++=+，可得：2sin cos sin cos B C A C =，因为ABC ∆为锐角三角形，所以2sin sin B A =，由正弦定理可得：2b a =． 故选：A ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力．填空题1．（2014•广东理）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2b C c B b +=，则ab= 2 ． 【考点】正弦定理【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．【解答】解：将cos cos 2b C c B b +=，利用正弦定理化简得：sin cos sin cos 2sin B C C B B +=， 即sin()2sin B C B +=， sin()sin B C A +=， sin 2sin A B ∴=，利用正弦定理化简得：2a b =， 则2ab=． 故答案为：2【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．2．（2014•福建理）在ABC ∆中，60A =︒，4AC =，BC =，则ABC ∆的面积等于 【考点】正弦定理【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B ，再利用三角形的面积公式求出ABC ∆的面积．【解答】解：ABC ∆中，60A =︒，4AC =，BC = 由正弦定理得：sin sin BC ACA B=，∴4sin B=， 解得sin 1B =， 90B ∴=︒，30C =︒，ABC ∴∆的面积14sin302=⨯⨯︒=故答案为：【点评】本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积．正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题．3．（2014•湖北文）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6A π=，1a =，b 则B =3π或23π． 【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理列出关系式，将a ，sin A ，b 的值代入求出sin B 的值，即可确定出B 的度数． 【解答】解：在ABC ∆中，6A π=，1a =，b =∴由正弦定理sin sin a bA B=得：1sin 2sin 1b A B a === a b <，A B ∴<，3B π∴=或23π． 故答案为：3π或23π． 【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 4．（2015•北京文）在ABC ∆中，3a =，b =，23A π∠=，则B ∠= 4π ． 【考点】正弦定理【分析】由正弦定理可得sin B ，再由三角形的边角关系，即可得到角B ． 【解答】解：由正弦定理可得， sin sin a bA B=，即有sin 2sin 3b AB a===由b a <，则B A <， 可得4B π=．故答案为：4π． 【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的边角关系，属于基础题． 5．（2015•福建文）在ABC ∆中，AC =，45A ∠=︒，75C ∠=︒，则BC【考点】正弦定理【分析】根据A ∠和C ∠求得B ∠，进而根据正弦定理求得sin sin AC BCB A=求得BC ．【解答】解：180457560B ∠=︒-︒-︒=︒ 由正弦定理可知sin sin AC B BC A =sin sin ACBC A B∴==【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．6．（2015•广东理）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若a =1sin 2B =，6C π=，则b = 1 ．【考点】两角和与差的三角函数；正弦定理 【分析】由1sin 2B =，可得6B π=或56B π=，结合a =6C π=及正弦定理可求b 【解答】解：1sin 2B =， 6B π∴=或56B π=当6B π=时，a 6C π=，23A π=，1sin32b= 则1b = 当56B π=时，6C π=，与三角形的内角和为π矛盾 故答案为：1【点评】本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键7．（2015•湖北文理）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30︒的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75︒的方向上，仰角为30︒，则此山的高度CD =．【考点】解三角形【分析】设此山高()h m ，在B C D ∆中，利用仰角的正切表示出BC ，进而在ABC ∆中利用正弦定理求得h ． 【解答】解：设此山高()h m，则BC =，在ABC ∆中，30BAC ∠=︒，105CBA ∠=︒，45BCA ∠=︒，600AB =．600sin 45=︒，解得)h m =故答案为：．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解． 8．（2015•安徽文）在ABC ∆中，AB =75A ∠=︒，45B ∠=︒，则AC = 2 ． 【考点】正弦定理【分析】由三角形的内角和定理可得角C ，再由正弦定理，计算即可得到AC ． 【解答】解：75A ∠=︒，45B ∠=︒， 则180754560C ∠=︒-︒-︒=︒， 由正弦定理可得， sin 60sin 45AB AC=︒︒，即有2AC ==．故答案为：2．【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的内角和定理，考查运算能力，属于基础题． 9．（2016•北京文）在ABC ∆中，23A π∠=，a =，则bc= 1 ． 【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理求出C 的大小，然后求出B ，然后判断三角形的形状，求解比值即可． 【解答】解：在ABC ∆中，23A π∠=，a ， 由正弦定理可得：sin sin a cA C=，sin sin 3c C =，1sin 2C =，6C π=，则2366B ππππ=--=．三角形是等腰三角形，B C =，则b c =，则1bc=． 故答案为：1．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力．10．（2017•新课标Ⅱ文）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可 【解答】解：2cos cos cos b B a C c A =+，由正弦定理可得， 2cos sin sin cos sin cos sin()sin B B A C C A A C B =+=+=， sin 0B ≠，1cos 2B ∴=， 0B π<<，3B π∴=，故答案为：3π 【点评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题（二）解三角形（余弦定理）选择题1．（2015•广东文）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =cos A =且b c <，则(b = )A B ．2 C ．D ．3【考点】余弦定理【分析】运用余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，解关于b 的方程，结合b c <，即可得到2b =．【解答】解：2a =，c =cos A =b c <， 由余弦定理可得， 2222cos a b c bc A =+-，即有2412b =+-， 解得2b =或4， 由b c <，可得2b =．故选：B ．【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．2．（2016•新课标Ⅰ文）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a ，2c =，2cos 3A =，则(b = )A B C ．2D ．3【考点】余弦定理【分析】由余弦定理可得222cos 2b c a A bc+-=，利用已知整理可得23830b b --=，从而解得b 的值．【解答】解：5a =，2c =，2cos 3A =，∴由余弦定理可得：2222245cos 3222b c a b A bc b +-+-===⨯⨯，整理可得：23830b b --=， ∴解得：3b =或13-（舍去）．故选：D ．【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3．（2016•天津理）在ABC ∆中，若AB 3BC =，120C ∠=︒，则(AC = ) A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】余弦定理【分析】直接利用余弦定理求解即可．【解答】解：在ABC ∆中，若AB =3BC =，120C ∠=︒， 2222cos AB BC AC AC BC C =+-，可得：21393AC AC =++， 解得1AC =或4AC =-（舍去）． 故选：A ．【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．4．（2018•新课标Ⅱ文理7）在ABC ∆中，cos 2C =，1BC =，5AC =，则(AB = )A ．BCD ．【考点】余弦定理【分析】利用二倍角公式求出C 的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：在ABC ∆中，cos2C =23cos 215C =⨯-=-，1BC =，5AC =，则AB ====． 故选：A ．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．填空题1．（2014•福建文）在ABC ∆中，60A =︒，2AC =，BC =AB 等于 1 ． 【考点】余弦定理【分析】利用余弦定理列出关系式，将AC ，BC ，以及cos A 的值代入即可求出AB 的长．【解答】解：在ABC ∆中，60A =︒，2AC b ==，BC a =∴由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即2342c c =+-，解得：1c =， 则1AB c ==， 故答案为：1【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．2．（2015•福建理）若锐角ABC ∆的面积为，且5AB =，8AC =，则BC 等于 7 ． 【考点】余弦定理【分析】利用三角形的面积公式求出A ，再利用余弦定理求出BC ．【解答】解：因为锐角ABC ∆的面积为，且5AB =，8AC =，所以158sin 2A ⨯⨯⨯=所以sin A ， 所以60A =︒， 所以1cos 2A =，所以7BC ==． 故答案为：7．【点评】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础．3．（2015•重庆文）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a =，1cos 4C =-，3sin 2sin A B =，则c = 4 ． 【考点】余弦定理【分析】由3sin 2sin A B =即正弦定理可得32a b =，由2a =，即可求得b ，利用余弦定理结合已知即可得解．【解答】解：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32a b =，2a =，∴可解得3b =，又1cos 4C =-，∴由余弦定理可得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=， ∴解得：4c =．故答案为：4．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4．（2015•重庆理）在ABC ∆中，120B =︒，AB =A 的角平分线AD =AC【考点】正弦定理【分析】利用已知条件求出A ，C ，然后利用正弦定理求出AC 即可．【解答】解：由题意以及正弦定理可知：sin sin AB ADADB B=∠=，45ADB ∠=︒，1180120452A =︒-︒-︒，可得30A =︒，则30C =︒，三角形ABC 是等腰三角形，60AC =︒=【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．5．（2019新课标Ⅱ理15）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若6b =，2a c =，3B π=，则ABC ∆的面积为 ． 【考点】三角形中的几何计算【分析】利用余弦定理得到2c ，然后根据面积公式21sin sin 2ABC S ac B c B ∆==求出结果即可．【解答】解：由余弦定理有2222cos b a c ac B =+-， 6b =，2a c =，3B π=，22236(2)4cos 3c c c π∴=+-，212c ∴=，21sin sin 2ABC S ac B c B ∆∴===，故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题．（三）解三角形（正余弦综合）选择题1．（2014•新课标Ⅱ理）钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =，则(AC = )A ．5B C ．2 D ．1【考点】余弦定理【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB ，BC 的值代入求出sin B 的值，分两种情况考虑：当B 为钝角时；当B 为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cos B 的值，利用余弦定理求出AC 的值即可．【解答】解：钝角三角形ABC 的面积是12，1AB c ==，BC a ==11sin 22S ac B ∴==，即sin B ，当B 为钝角时，cos B ==，利用余弦定理得：2222cos 1225AC AB BC AB BC B =+-=++=，即AC =，当B 为锐角时，cos B ， 利用余弦定理得：2222cos 1221AC AB BC AB BC B =+-=+-=，即1AC =，此时222AB AC BC +=，即ABC ∆为直角三角形，不合题意，舍去，则AC故选：B ．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．2．（2014•江西理）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积为( )A ．3B C D ．【考点】余弦定理 【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：22()6c a b =-+，22226c a ab b ∴=-++，即22226a b c ab +-=-， 3C π=，222261cos 3222a b c ab ab ab π+--∴===， 解得6ab =，则三角形的面积11sin 622S ab C ==⨯=， 故选：C ．【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出6ab =是解决本题的关键．3．（2014•浙江文）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角）．若15AB m =，25AC m =，30BCM ∠=︒，则tan θ的最大值是( )A B C D 【考点】正弦定理；解三角形【分析】在直角三角形ABC 中，由AB 与AC 的长，利用勾股定理求出BC 的长，过P 作PP BC '⊥，交BC 于点P '，连接AP '，利用锐角三角函数定义表示出tan PP AP θ'='，设BP m '=，则20CP m '=-，利用锐角三角函数定义表示出PP '，利用勾股定理表示出AP '，表示出tan θ，即可确定出tan θ的值．【解答】解：15AB cm =，25AC cm =，90ABC ∠=︒，20BC cm ∴=，过P 作PP BC '⊥，交BC 于P '，连接AP '，则tan PP AP θ'='， 设BP x '=，则20CP x '=-，由30BCM ∠=︒，得tan30)PP CP x '='︒-，在直角ABP ∆'中，AP '=2tan 225xθ∴=+ 令y ，则函数在[0x ∈，20]单调递减，0x ∴==，若P '在CB 的延长线上，tan30)PP CP x '='︒=+，在直角ABP ∆'中，AP '=2tan 225x θ∴=+令22(20)225x y x +=+，则0y '=可得454x =，则tan θ． 故选：D ．【点评】此题考查了正弦定理，锐角三角函数定义，以及解三角形的实际应用，弄清题意是解本题的关键．4．（2014•重庆理）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 满足1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+，面积S 满足12S 剟，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，在下列不等式一定成立的是( )A ．()8bc b c +>B ．()ab a b +>C ．612abc 剟D ．1224abc 剟【考点】二倍角的三角函数；正弦定理【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质 进行证明即可得到结论．【解答】解：ABC ∆的内角A ，B ，C 满足1sin 2sin()sin()2A A B C C A B +-+=--+， 1sin 2sin 2sin 22A B C ∴+=-+， 1sin 2sin 2sin 22A B C ∴++=， 12sin cos 2sin()cos()2A A B C B C ∴++-=， 12sin (cos()cos())2A B C B C --+=， 化为12sin [2sin sin()]2A B C --=， 1sin sin sin 8A B C ∴=． 设外接圆的半径为R ， 由正弦定理可得：2sin sin sin a b c R A B C===， 由1sin 2S ab C =，及正弦定理得21sin sin sin 28S A B C R ==， 即24R S =，面积S 满足12S 剟，248R ∴剟，即2R 剟由1sin sin sin 8A B C =可得8abc 剟C ，D 不一定正确， A ．()8bc b c abc +>…，即()8bc b c +>，正确，B ．()8ab a b abc +>…，即()8ab a b +>，但()ab a b +> 故选：A ．【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等5．（2016•新课标Ⅲ文）在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin (A = )A ．310BCD 【考点】三角形中的几何计算；HU ：解三角形【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB ，AC ，再由三角形面积公式，可得sin A ．【解答】解：在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，AB ∴=，由余弦定理得：AC ===，故111125sin sin 2322BC BC AB AC A BC BC A ==，sin A ∴= 故选：D ．【点评】本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键．6．（2016•山东文）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b c =，222(1sin )a b A =-，则(A = )A ．34πB ．3πC ．4πD ．6π 【考点】正弦定理；余弦定理 【分析】利用余弦定理，建立方程关系得到1cos 1sin A A -=-，即sin cos A A =，进行求解即可．【解答】解：b c =，2222222cos 22cos 2(1cos )a b c bc A b b A b A ∴=+-=-=-，222(1sin )a b A =-，1cos 1sin A A ∴-=-，则sin cos A A =，即tan 1A =，即4A π=，故选：C ．【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理建立方程关系是解决本题的关键． 7．（2018•新课标Ⅲ文理）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则(C = )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π 【考点】余弦定理 【分析】推导出2221sin 24ABC a b c S ab C ∆+-==，从而222sin cos 2a b c C C ab+-==，由此能求出结果． 【解答】解：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．ABC ∆的面积为2224a b c +-， 2221sin 24ABC a b c S ab C ∆+-∴==， 222sin cos 2a b c C C ab+-∴==，0C π<<，4C π∴=．故选：C ．【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（2019•新课标Ⅰ文11）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则(b c= ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【考点】正弦定理；余弦定理。
2014年全国高考理科数学试题选编5.三角函数与正余弦定理
2014年全国高考理科数学试题选编五.三角函数及解三角形试题一.选择题和填空题1全国课标Ⅰ6．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图像大致为( )．2.全国课标Ⅰ.8．.设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin tan cos βαβ+=，则( )．A ．π32αβ-＝B ．π32αβ+=C ．π22αβ-=D ．π22αβ+=3.(课标全国Ⅱ4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ，则AC ＝( )． A ．5 BC ．2D ．14.(2014课标全国Ⅱ.12)设函数π()3sin xf x m=.若存在f (x )的极值点x 0满足22200+[()]x f x m <，则m 的取值范围是( )． A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5. (大纲全国.3)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°， c ＝tan 35°，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b 6.（陕西2)函数()πcos 26f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝的最小正 周期是( )．A ．π2B ．πC ．2πD ．4π 7.(安徽.6)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时， f (x )＝0，则23π6f ⎛⎫⎪⎝⎭＝( )． A ．12 BC ．0D ．12-8.(浙江4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数 3y x =的图象( )．A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位 D ．向左平移π12个单位9.(江西4)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边 分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，π3C =， 则△ABC 的面积是( )．A ．3 B．2 C．2D．10.(辽宁9)将函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )．A ．在区间π7π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减B ．在区间π7π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增C ．在区间ππ63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递减D ．在区间ππ63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增11.(四川3)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象， 只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )．A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度12.(重庆10)已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足 sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12， 面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为 A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成 立的是( )．A ．bc (b ＋c )＞8B ．ab (a ＋b )＞ C ．6≤abc ≤12 D ．12≤abc ≤2413.全国课标Ⅰ.16．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2， 且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ， 则△ABC 面积的最大值为__________． 14.（全国课标Ⅱ.14)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最 大值为__________．15.（大纲全国.16)若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，则a 的取值范围是__．16.（北京14)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)．若f (x )在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则f (x )的最小正周期为__________．17.（安徽.11)若将函数()πsin 24f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是__________．18.（天津.12)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知14b c a -=,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为__________．19.（福建.12)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC =ABC 的面积等于_____． 20. (广东12)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的 边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ， 则ab＝________. 21.(四川13)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于__________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.801.73)二.解答题1. (大纲全国117满分10分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos C ＝2c cos A ，1tan 3A =，求B .2. (陕西16满分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 3. (北京15满分13分)如图， 在△ABC 中，π3B ∠=，AB ＝8， 点D 在BC 边上，且CD ＝2，1cos 7ADC ∠=. (1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．4. (天津15满分13分)已知函数()2πcos sin 3f x x x x ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在闭区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 5. (安徽16满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1， A ＝2B . (1)求a 值；(2)求πsin()4A +的值． 6. (福建16满分13分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若π02α<<，且sin α=，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 7. (湖北.17满分11分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：()ππ10sin 1212f t t t -⋅-=，t ∈[0,24)． (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？8. (湖南18满分12分)如图，在平面四边形ABCD中，AD ＝1，CD ＝2，AC =.(1)求cos ∠CAD 的值； (2)若cos BAD ∠=，sin 6CBA ∠=，求BC 的长．9. (浙江18满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b，c =22cos cos cos cos A B A A B B -. (1)求角C 的大小；(2)若4sin 5A =，求△ABC 的面积． 10. (广东.16满分12分)已知函数π()sin 4f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，且5π3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求A 的值；(2)若()3()2f f θθ-+＝，π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 求3π4f θ⎛⎫-⎪⎝⎭. 11. (江西16满分12分)已知函数 f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)当a =π4θ=时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2)若π02f ⎛⎫=⎪⎝⎭，f (π)＝1，求a ，θ的值． 12. (辽宁17满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)c os(B －C )的值．13. (山东16满分12分)已知向量a ＝(m ，cos 2x )， b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点π12⎛⎝和点2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．14. (四川16满分12分)已知函数()πsin 34f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，4πcos cos 2354f ααα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α－sin α的值．15. (重庆17满分13分)已知函数 f (x )＝1π)0,22x ωϕωϕ⎛⎫>-≤< ⎪⎝⎭＋的图象关于直线π3x =对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若π2π263f αα⎛⎫⎫=<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求3πcos 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．.五.三角函数及解三角形试题解析一.选择题和填空题1全国课标Ⅰ6．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图像大致为( )．解析：由题意|OM |＝|cos x |，f (x )＝|OM ||sin x |＝|sin x cos x |＝1sin 22x ，由此可知C 正确．2.全国课标Ⅰ.8．.设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin tan cos βαβ+=，则( )．A ．π32αβ-＝B ．π32αβ+=C ．π22αβ-=D ．π22αβ+=解析：由已知，得sin 1sin cos cos αβαβ+=， ∴sin αcos β＝cos α＋cos αsin β.∴sin αcos β－cos αsin β＝cos α. ∴sin(α－β)＝cos α，∴sin(α－β)＝πsin 2α⎛⎫-⎪⎝⎭. ∵π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ22αβ-<<－，ππ022α<-<，∴π2αβα-=-，∴π22αβ-=.故选C.3.(课标全国Ⅱ4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ，则AC ＝( )． A ．5 BC ．2D ．1解析：由题意知S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ，即11122B =⨯，解得sin 2B =. ∴B ＝45°或B ＝135°. 当B ＝45°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝2212112-⨯+. 此时AC 2＋AB 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形， 不符合题意； 当B ＝135°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝22121(5-⨯+＝，解得AC 符合题意．故选B. 4.(2014课标全国Ⅱ.12)设函数π()3sinx f x m=.若存在f (x )的极值点x 0满足22200+[()]x f x m <，则m 的取值范围是( )． A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：∵x 0是f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，即0ππcos 0x m m=， 得0πππ2x k m =+，k ∈Z ， 即012x mk m =+，k ∈Z .∴x 02＋[f (x 0)]2＜m 2可转化为2221π122mk m mk m m m ⎤⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦， k ∈Z ，即2221+32k m m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，k ∈Z ，即221312k m ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，k ∈Z .要使原问题成立，只需存在k ∈Z ，使223112k m ⎛⎫->+ ⎪⎝⎭成立即可．又212k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2的最小值为14，∴23114m ->，解得m ＜－2或m ＞2.故选C.5. (大纲全国.3)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°， c ＝tan 35°，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b解析：∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，sin 35tan 35cos35c ︒=︒=︒，∴sin 35sin 35sin 33cos35︒>︒>︒︒.∴c ＞b ＞a ，选C.6.（陕西2)函数()πcos 26f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝的最小正 周期是( )．A ．π2B ．πC ．2πD ．4π 解析：f (x )的最小正周期2ππ2T ==. 7.(安徽.6)设函数f (x )(x ∈R )满足 f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时， f (x )＝0，则23π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝( )． A ．12 BC ．0D ．12- 解析：由题意得23π17π17π11π11π17πsin sin +sin666666f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭7π17π11π11π17πsin sin +sin 66666f ⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎭⎝⎭＝5π5π11π17π+sin +sin+sin 6666f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＝111102222+-+=.8.(浙江4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数 3y x =的图象( )． A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位解析：ππsin 3cos 332cos 3412y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=ππcos 33412x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦因此需将函数 3y x =的图象向右平移π12个单位．故选C.9.(江西4)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，π3C =， 则△ABC 的面积是( )． A ．3 BCD．解析：在△ABC 中，由已知条件及余弦定理可得c 2＝(a －b )2＋6＝a 2＋b 2－π2cos 3ab ， 整理得ab ＝6， 再由面积公式1sin 2S ab C =，得1π6sin 23ABC S ∆=⨯⨯=.故选C.10.(辽宁9)将函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )． A ．在区间π7π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减 B ．在区间π7π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增 C ．在区间ππ63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递减 D ．在区间ππ63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增 解析：设平移后的函数为f (x )，则()ππ3sin 223f x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π3sin 2π3x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π3sin 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令πππ2π22π232k x k -≤+≤+，k ∈Z ，解得f (x )的递减区间为5ππππ+1212k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z ，同理得递增区间为π7πππ+1212k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z . 从而可判断得B 正确． 11.(四川3)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象， 只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )． A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解析：∵y＝sin(2x＋1)＝1 sin 22x⎛⎫+⎪⎝⎭，∴需要把y＝sin 2x图象上所有的点向左平移1 2个单位长度即得到y＝sin(2x＋1)的图象．12.(重庆10)已知△ABC的内角A，B，C满足sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋12，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是()．A．bc(b＋c)＞8 B．ab(a＋b)＞C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24 解析：由sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋1 2得，sin 2A＋sin[A－(B－C)]＋sin[A＋(B－C)]＝12，所以sin 2A＋2sin A cos(B－C)＝1 2 .所以2sin A[cos A＋cos(B－C)]＝12，所以2sin A[cos(π－(B＋C))＋cos(B－C)]＝12，所以2sin A[－cos(B＋C)＋cos(B－C)]＝12，即得sin A sin B sin C＝1 8 .根据三角形面积公式S＝12ab sin C，①S＝12ac sin B，②S＝12bc sin A，③因为1≤S≤2，所以1≤S3≤8. 将①②③式相乘得1≤S3＝18a2b2c2sin A sin B sin C≤8，即64≤a2b2c2≤512，所以8≤abc≤，故排除C，D选项，而根据三角形两边之和大于第三边，故b＋c＞a，得bc(b＋c)＞8一定成立，而a＋b＞c，ab(a＋b)也大于8，而不一定大于，故选A.13.全国课标Ⅰ.16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为__________．解析：由正弦定理，可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)·c.∵a＝2，∴a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理，得2221cos22b c aAbc+-==.∴sin A=.由b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝4＋bc.∵b2＋c2≥2bc，即4＋bc≥2bc，∴bc≤4.∴1sin2ABCS bc A∆=⋅≤，即(S△ABC)max＝14.（全国课标Ⅱ.14)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为__________．解析：∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x.∴f(x)max＝1.15.（大纲全国.16)若函数f(x)＝cos 2x＋a sin x在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，则a的取值范围是__．解析：f(x)＝cos 2x＋a sin x＝1－2sin2x＋a sin x.令t＝sin x，∵x∈ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭，∴1,12t⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴g(t)＝1－2t2＋at＝－2t2＋at＋1112t<<，由题意知1222a-≤⨯(-)，∴a≤2，∴a的取值范围为(－∞，2]．16.（北京14)设函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)．若f(x)在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π2ππ236f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则f(x)的最小正周期为__________．解析：由f(x)在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且ππ26f f⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，f(x)有对称中心π,03⎛⎫⎪⎝⎭，由π2π23f f⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知f(x)有对称轴1π27ππ22312x⎛⎫=+=⎪⎝⎭.记f(x)的最小正周期为T ，则1ππ226T ≥-，即2π3T ≥. 故7πππ12344T-==，解得T ＝π. 17.（安徽.11)若将函数()πsin 24f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是__________． 解析：把函数()πsin 24f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝的图象向右平移φ个单位，得到()ππsin 2()sin(22)44f x x x ϕϕ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭＝的图象．由()πsin 224f x x ϕ⎛⎫-+⎪⎝⎭＝的图象关于y 轴 对称，所以ππ2π42k ϕ-+=+，k ∈Z .即ππ28k ϕ=--，k ∈Z . 当k ＝－1时，φ的最小正值是3π8.18.（天津.12)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的 边分别是a ，b ，c .已知14b c a -=,2sin B ＝3sin C ， 则cos A 的值为__________． 解析：由2sin B ＝3sin C ，结合正弦定理得2b ＝3c ，又14b c a -=，所以32b c =，a ＝2c . 由余弦定理得222cos =2b c a A bc+-＝222322322c c c c c ⎛⎫+-() ⎪⎝⎭⋅⋅＝14-.19.（福建.12)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC =ABC 的面积等于_____．解析：由题意及余弦定理得222216121cos 2242b c a c A bc c +-+-===⨯⨯，解得c ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×4×2×sin 60°＝故答案为20. (广东12)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的 边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________. 解析：因为b cos C ＋c cos B ＝2b ，所以由正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ， 即sin(B ＋C )＝2sin B ，所以sin(π－A )＝2sin B ，即sin A ＝2sin B . 于是a ＝2b ，即2ab=. 21.(四川13)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于__________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.801.73)解析：如图所示，过A 作AD ⊥CB 且交CB 的延长线于D.在Rt △ADC 中，由AD ＝46 m ，∠ACB ＝30° 得AC ＝92 m.在△ABC 中，∠BAC ＝67°－30°＝37°， ∠ABC ＝180°－67°＝113°，AC ＝92 m ，由正弦定理sin sin AC BCABC BAC =∠∠，得92sin113sin37BC =︒︒，即92sin67sin37BC=︒︒，解得92sin3760m sin67BC ︒≈≈︒. 二.解答题1. (大纲全国117满分10分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos C ＝2c cos A ，1tan 3A =，求B . 分析：通过3a cos C ＝2c cos A ，借助于正弦定理把a ，c 转化成关于A ，C 的三角函数值，由已知1tan 3A =，从而求出tan C ，再利用公式 tan B ＝－tan(A ＋C )求出B . 解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A .故3tan A cos C ＝2sin C ， 因为1tan 3A =，所以cos C ＝2sin C ，1tan 2C =. 所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C )＝tan tan tan tan 1A CA C +-＝－1，即B ＝135°.2. (陕西16满分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 分析：在(1)问中结合等差数列性质，得出a ，b ，c 之间关系，再利用正弦定理转化为角的关系，进而结合三角形内角和为π，利用诱导公式将角B 转化为用角A 和C 来表示，从而达到证明目标等式．在(2)问利用等比数列基本性质，得出a ，b ，c 之间关系，再结合余弦定理，表达出cos B 的式子，依据基本不等式得出其范围，注意等号成立的条件．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴cos B 的最小值为12. 3. (北京15满分13分)如图，在△ABC 中，π3B ∠=，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，1cos 7ADC ∠=.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．分析：(1)先利用三角形中角之间的关系可得 ∠BAD ＝∠ADC －∠B ，然后即可利用两角差的正弦公式求解；(2)在△ABD 中，根据正弦定理，结合(1)即可求得BD ，然后在△ABC 中，直接利用余弦定理求AC 即可．解：(1)在△ADC 中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin ADC ∠. 所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B1127-=(2)在△ABD 中，由正弦定理得8sin 3sin AB BAD BD ADB ⋅∠==∠＝. 在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.4. (天津15满分13分)已知函数()2πcos sin 3f x x x x ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在闭区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 分析：(1)先利用两角和与差的正弦公式及二倍角的正弦、余弦公式，化简函数解析式为一个角的三角函数的形式，再求周期． (2)可利用函数f (x )在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性求最值．解：(1)由已知，有()21cos sin 2f x x x x x ⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭=＝21sin cos 2x x x ⋅+＝1sin 2(1cos 2)444x x -++＝1sin 2cos 244x x =-＝1πsin 223x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 所以，f (x )的最小正周期2ππ2T ==. (2)因为f (x )在区间ππ,412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，在区间ππ,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，π144f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π1122f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以，函数f (x )在闭区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为14，最小值为12-.5. (安徽16满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 值； (2)求πsin()4A +的值． 分析：(1)通过观察给出的条件及求解的问题，先将角的关系化为边的关系．首先由A ＝2B ，得sin A ＝sin 2B ，再由倍角公式将2B 的三角函数化为B 的三角函数，再由正弦定理、余弦定理将角的关系化为边的关系进行求解．(2)由(1)知三边都已确定，先由余弦定理求出cos A 的值，再利用平方关系求出sin A 的值，最后利用两角和的正弦公式求解． 解：(1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正弦定理、余弦定理得2222a cb a b +-=⋅.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a =.(2)由余弦定理得22291121cos263b ca A bc +-+-===-. 由于0＜A ＜π，所以sin 3A ===故πππ2221242sin()sin cos cos sin ()44432326A A A -+=+=⨯+-⨯= ππ122c o s c o s 44A ++-.6. (福建16满分13分)已知函数f(x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若π02α<<，且sin 2α=，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：首先结合已知角的范围，利用同角三角函数的基本关系式及已知的正弦值，求出余弦值，注意符号的判断，然后代入已知的函数关系式，得出结果．在第(2)问中，结合式子特点，利用二倍角公式、两角和与差的三角函数公式以及辅助角公式，得出最终的目标——y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 形式，运用2πT ω=得出周期，再结合三角函数的图象与性质等基础知识求得单调区间，此时要注意复合函数的单调性．另外，也可先化简再分别求解． 解法一：(1)因为π02α<<，sin 2α=，所以cos 2α=. 所以()11(22222fα=+-=. (2)因为 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝11cos21sin 2222x x ++- ＝11sin 2cos222x x + ＝π)24x +，所以2ππ2T ==. 由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，k ∈Z ，得3ππππ88k x k -≤≤+，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 解法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝11cos21sin 2222x x ++- ＝11sin 2cos222x x +＝π224x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)因为π02α<<，sin α=， 所以π4α=， 从而()π3π1)442f αα+==.(2) 2ππ2T ==. 由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，k ∈Z ，得3ππππ88k x k -≤≤+，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间 为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z. 7. (湖北.17满分11分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：()ππ10sin 1212f t t t ⋅-=，t ∈[0,24)． (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？分析：由函数f (t )为a cos t ＋b sin t 型，故可利用辅助角公式对f (t )化简为f (t )＝10－2sin ππ123t ⎛⎫+⎪⎝⎭，再根据t ∈[0,24)，把ππ123t +的范围求出，再利用单位圆或者正弦函数的图象求出ππsin 123t ⎛⎫+⎪⎝⎭的范围，从而求得f (t )的最大与最小值．对于第(2)问，要求实验室温度不高于11 ℃，即满足不等式f (t )＞11的t 的范围就是实验室需要降温的时间段，可利用正弦曲线或单位圆来解三角不等式． 解：(1)因为()π1πππ102sin 102sin 12212123f t t t t ⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝－，又0≤t ＜24，所以πππ7π+<31233t ≤， ππ1sin +1123t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭－.当t ＝2时，ππsin +1123t ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当t ＝14时，ππsin +1123t ⎛⎫= ⎪⎝⎭.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度 为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得()ππ102sin +123f t t ⎛⎫⎪⎝⎭=-， 故有ππ102sin +11123t ⎛⎫>⎪⎝⎭-， 即ππ1sin +1232t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭.又0≤t ＜24，因此7πππ11π61236t <+<， 即10＜t ＜18.在10时至18时实验室需要降温．8. (湖南18满分12分)如图，在平面四边形ABCD中，AD ＝1，CD ＝2，AC =.(1)求cos ∠CAD 的值； (2)若cos BAD ∠=，sin 6CBA ∠=，求BC 的长．分析：对于第(1)问，由已知△ACD 中三边求角，很容易想到利用余弦定理进行求解．对于第 (2)问，目标为求BC 的长度，而BC 是△ABC 中的边．又AC 已知，AC 所对的角∠CBA 的正弦已知，所以联想到利用正弦定理来求，但需要 ∠BAC 的正弦值．而已知中有cos ∠BAD 的值，发现∠BAC ＝∠BAD －∠CAD ，因此用两角差的正弦公式求得sin ∠BAC ，从而问题得解． 解：(1)如题图，在△ADC 中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD+-∠=⋅.故由题设知，cos CAD ∠==(2)如题图，设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD .因为cos 7CAD ∠=，cos 14BAD ∠=-， 所以cos CAD ∠sinBAD ∠于是sinα＝sin(∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD sin ∠CAD＝147⎛-⨯= ⎝⎭. 在△ABC 中，由正弦定理，sin sin BC AC CBAα=∠.故sin 3sin AC BC CBA α⋅===∠ 9. (浙江18满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b，c =22cos cos cos cos A B A A B B -. (1)求角C 的大小；(2)若4sin 5A =，求△ABC 的面积．分析：(1)将已知等式运用二倍角的正、余弦公式和辅助角公式化为2A,2B 的三角函数式，结合角A ，B 的范围求出2A,2B 的关系式，然后求出角C .(2)由(1)知C ，又已知sin A ，c ，则可由sin sin a cA C=求出a ，则由 1sin 2ABC S ac B ＝知，只需求sin B 即可．结合B ＝π－(A ＋C )运用两角和的正弦公式可求sin B .解：(1)由题意得1cos 21cos 2 2 22A B A B ++-=， 11 2cos 2 2cos 222A AB B -=-，ππsin 2sin 266A B ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由a ≠b ，得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)，得ππ22π66A B -+-=， 即2π3A B +=，所以π3C =.(2)由c =4sin =5A ，=sin sin a cA C，得8=5a .由a ＜c ，得A ＜C ，从而3cos 5A =，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C＝410+. 所以△ABC 的面积为1sin 2S ac B ==10. (广东.16满分12分)已知函数π()sin 4f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，且5π3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求A 的值；(2)若()3()2f f θθ-+＝，π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 求3π4f θ⎛⎫-⎪⎝⎭. 解：(1)∵π()sin 4f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 且5π3122f ⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴5π5ππ2πsin sin 121243f A A ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝32A ⋅=.∴A =(2)∵π()4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且()3()=2f f θθ-+，∴()ππ()44f f θθθθ⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 4444θθθθ⎤⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦π32cos sin=42θθ， ∴cos θ=，且π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，.∴sin θ==. ∵3π3ππ444f θθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π =4θθ-. 11. (江西16满分12分)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a∈R ，ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)当a =π4θ=时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2)若π02f ⎛⎫=⎪⎝⎭，f (π)＝1，求a ，θ的值．分析：(1)先将a =π4θ=代入f (x )，再利用两角和的正弦公式和余弦公式对f (x )进行化简，最终化成一个三角函数值的形式，根据所给角的范围，借助于数形结合求出最大值和最小值；(2)利用所给条件列出方程联立成方程组求出a ，θ. 解：(1)ππ()sin 42f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22πcos )cos sin sin 224x x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪＋ πcos )2sin cos sin 224x x x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭＋，因为x ∈[0，π]，从而π3ππ,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.故f (x )在[0，π]，最小值为－1.(2)由π()0,2(π)0,f f ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1,a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩， 又ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，知cos θ≠0，解得1,π.6a θ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩12. (辽宁17满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)c os(B －C )的值．分析：(1)将条件中的2BA BC ⋅=，转化为边角的量表示，可得a 与c 的关系，再结合余弦定理列方程组求解．(2)由(1)及正弦定理可得sin C ，进而求出c os C ，再由两角差的余弦公式求出c os(B －C )的值． 解：(1)由2BA BC ⋅=，得c ·ac os B ＝2. 又1cos 3B =，所以ac＝6. 由余弦定理，得a 2＋c2＝b 2＋2acc os B .又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解226,13,ac a c=⎧⎨+=⎩得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2. 因a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin 3B ===，由正弦定理， 得2sin sin 339c C B b ==⋅=. 因a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此7cos 9C ===. 于是c os(B －C )＝c os Bc os C ＋sin B sin C 17233927=⋅= 13. (山东16满分12分)已知向量a ＝(m ，cos 2x )， b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的 图象过点π12⎛ ⎝和点2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．分析：在第(1)问中，可先根据向量数量积坐标运算整理出f (x )的解析式，再由图象过两点，代入整理可得关于m ，n 的方程组，利用此方程组即得m ，n 的值．在第(2)问中，通过图象平移知识，可得含参数φ的g (x )的解析式，从中设出最高点，然后根据两点距离为1，可确定最高点的坐标，代入可求出g (x )确定的解析式，从而求出单调区间．解：(1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图象过点π12⎛⎝和2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以ππsin cos 664π4π2sin cos 33m n m n =+⎨⎪-=+⎪⎩，，即1,212,2m n =⎨⎪-=-⎪⎩ 解得m =n ＝1.(2)由(1)知()2cos2f x x x =+π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由题意知()π()2sin 226g x f x x ϕϕ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭.设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)， 由题意知2011x +=，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )得πsin 216ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0＜φ＜π，所以π6ϕ=.因此()π2sin 22cos 22g x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得πππ2k x k -≤≤，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间 为ππ,π2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 14. (四川16满分12分)已知函数()πsin 34f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，4πcos cos 2354f ααα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α－sin α的值．分析：在第(1)问，通过整体思想，将π34x +看作一个整体，借助y ＝sin x 的单调递增区间，解不等式求出x 的范围得到f (x )的单调递增区间，要注意k ∈Z 不要漏掉；在第(2)问，利用已知条件求出3f α⎛⎫⎪⎝⎭，然后利用和角公式展开整理，得到关于sin α＋cos α与cos α－sin α的方程，再对sin α＋cos α与0的关系进行讨论，得到 cos α－sin α的值．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ， 由πππ2π32π242k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，得π2ππ2π43123k k x -+≤≤+，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为π2ππ2π,43123k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . (2)由已知， 有π4πsin cos 454αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(cos 2α－sin 2α)，所以ππ4ππsin coscos sin (cos cos sin sin )(c 44544αααα+=-， 22ππ4ππsin cos cos sin (cos cos sin sin )(cos sin )44544αααααα+=-- 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)． 当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z . 此时，cos α－sin α＝当sin α＋cos α≠0时， 有(cos α－sin α)2＝54. 由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0， 此时cos α－sin α＝2-综上所述，cos α－sin α＝15. (重庆17满分13分)已知函数f (x )＝1π)0,22x ωϕωϕ⎛⎫>-≤< ⎪⎝⎭＋的图象关于直线π3x =对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若π2π263f αα⎛⎫⎫=<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求3πcos 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．分析：在第(1)问中主要考查了三角函数的周期和对称性，两最高点之间的距离是一个周期，从而根据公式2πT ω=，准确求出ω；而求φ，则根据对称轴处取最值并结合φ的取值范围给k赋值才能准确求出φ.第(2)问中已知2f α⎛⎫=⎪⎝⎭，结合α的范围判断并求出πcos 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，然后进一步将3cos π2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭转化成sin α，而后将α写成π6α-加上π6的形式，从而求出最后的值，该题解答过程中，必须熟练运用诱导公式及两角和差的三角函数公式．解：(1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离 为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而2π=2Tω=. 又因f (x )的图象关于直线π3x =对称， 所以ππ2π+32k ϕ⋅+=，k ＝0，±1，±2，…. 因ππ22ϕ-≤<得k ＝0，所以π2ππ236ϕ=-=-.(2)由(1)得π2226f αα⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π1sin =64α⎛⎫- ⎪⎝⎭.由π2π63α<<得ππ062α<-<，所以πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭==.因此3πππcos sin sin 266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππ13151315sin cos cos sin 666642428αα+⎛⎫⎛⎫=-+-=⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ11cos sin 6642428α⎛⎫-=+=⎪⎝⎭。
浙江省高考数学一轮复习 第五章 三角函数、解三角形 第6节 三角函数的图象与性质(含解析)-人教版高
第6节 三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性.知 识 梳 理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R{x |x ∈R ，且x ≠⎭⎬⎫k π＋π2值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数 奇函数递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2递减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋无[常用结论与易错提醒]1.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期.而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.3.三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期.( )(2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (5)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)函数y ＝sin x 的周期是2k π(k ∈Z ).(2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.(3)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(4)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.关于周期函数，下列说法错误的是( ) A.函数f (x )＝sin x 不是周期函数B.函数f (x )＝sin 1x不是周期函数C.函数f (x )＝sin|x |不是周期函数D.函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为π 解析 f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为π2.答案 D3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析 易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.故选B. 答案 B4.若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3解析 由已知f (x )＝sinx ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )，又φ∈[0，2π]，所以φ＝3π2. 答案 C5.(必修4P47B2改编)函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________. 解析 因为y ＝tan x 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )，所以由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )， 所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ).答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )6.设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0，x ∈R )，最小正周期T ＝π，则实数ω＝________，函数f (x )的图象的对称中心为________.解析 由T ＝2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝0，得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2－π12(k ∈Z )，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z ).答案 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z )考点一 三角函数的定义域及三角不等式【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 解析 (1)由正切函数的定义域得2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )，故选D.(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32， 由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝⎛⎦⎥⎤13π6，8规律方法 (1)三角函数定义域的求法①以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域. ②转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域. (2)简单三角不等式的解法 ①利用三角函数线求解. ②利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z (2)(一题多解)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. 解析 (1)由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z .(2)法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法三 sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π(k ∈Z )，解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z ).所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z 考点二 三角函数的值域【例2】 (1)函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫76π，136π的值域是( )A.[－3，1]B.[－2，1]C.(－3，1]D.(－2，1](2)(一题多解)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B.1 C.35D.15(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)由正弦曲线知y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫76π，136π上，－1≤sin x <12，所以函数y ＝－2sin x－1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π6，136π的值域是(－2，1].(2)法一 ∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.(3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)D (2)A (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A.2－ 3B.0C.－1D.－1－ 3(2)(2019·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________.(3)(2020·绍兴一中模拟)若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＋b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m 的值( )A.与a 有关，且与b 有关B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，但与b 有关D.与a 无关，且与b 无关解析 (1)因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3.选A. (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋342＋178. 因为cos x ∈[－1，1]，所以当cos x ＝1时，f (x )有最小值－4.(3)f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＋b ＝－sin 2x ＋a sin x ＋b ＋1.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令t ＝sin x ∈[0，1]，则y ＝－t 2＋at ＋b ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋a24＋b ＋1.因为t ∈[0，1]，所以函数的对称轴t ＝a 2的位置对函数在给定区间的最值有影响.所以最大值M 与最小值m 的差M －m 的值与a 有关，但与b 无关，故选B. 答案 (1)A (2)－4 (3)B 考点三 三角函数的性质多维探究角度1 三角函数的奇偶性与周期性【例3－1】 (1)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，则f (x )的最小正周期为________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.(2)(2020·杭州四中仿真)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)，则f (x )的奇偶性( ) A.与ω有关，且与φ有关 B.与ω有关，但与φ无关 C.与ω无关，且与φ无关 D.与ω无关，但与φ有关解析 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期为T ＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π4＝tan 2π3－tanπ41＋tan 2π3×ta nπ4＝2＋ 3.(2)若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)为奇函数，则f (0)＝sin(0＋φ)＝0，即φ＝k π，k ∈Z ；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)为偶函数，则f (0)＝sin(0＋φ)＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的奇偶性与ω无关，但与φ有关，故选D. 答案 (1)π22＋ 3 (2)D规律方法 (1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 ①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.角度2 三角函数的单调性【例3－2】 (1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. (2)(一题多解)若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________.解析 (1)由已知可得函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).(2)法一 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω(k ∈Z ).因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω.所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34. 法二 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3，ω>0.所以ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ωπ2，2πω3，又f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ωπ2，2πω3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， 则⎩⎪⎨⎪⎧－ωπ2≥－π2，2πω3≤π2，又ω>0，得0<ω≤34.法三 因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，故原点到－π2，2π3的距离不超过T 4，即⎩⎪⎨⎪⎧π2≤T4，2π3≤T 4，得T ≥8π3，即2πω≥8π3，又ω>0，得0<ω≤34. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34规律方法 (1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.角度3 三角函数的对称轴或对称中心【例3－3】 (1)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.(2)函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1的对称轴为________，最小值为________.解析 (1)由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1，因为－π2<φ<π2，所以π6<2π3＋φ<7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6.(2)由x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π－π3(k ∈Z )，即函数f (x )的对称轴为x ＝k π－π3(k ∈Z )；因为2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈[－2，2]，所以2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1∈[－3，1]，所以函数f (x )的最小值为－3. 答案 (1)－π6 (2)x ＝k π－π3(k ∈Z ) －3规律方法 (1)对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.(2)对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练3】 (1)(角度1)(一题多解)已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________，该函数的最小正周期为________.(2)(角度2)已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，74C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，94 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74 (3)(角度3)函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则φ的值是________.解析 (1)法一 f (x )＝1＋cos 2x 2－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32cosπ2＝0，函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 法二 注意三角恒等变换中“正弦的平方差公式”sin(α－β)sin(α＋β)＝sin 2α－sin 2β，则f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3sin π3＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32cos π2＝0，函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π(k ∈Z )，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14>0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74. (3)因为函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又因为－π2<φ<π2，则－π3<π6＋φ<2π3，即π6＋φ＝0，解得φ＝－π6.答案 (1)0 π (2)D (3)－π6基础巩固题组一、选择题1.(2019·全国Ⅱ卷)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A.2B.32 C.1D.12解析 由题意及函数y ＝sin ωx 的图象和性质可知， 12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.故选A. 答案 A2.函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析 当k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3单调递增，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. 答案 B3.函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A.3，－1 B.3，－2 C.2，－1D.2，－2解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1，1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2， 所以y max ＝2，y min ＝－2. 答案 D4.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 解析 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上先递减后递增，D 选项错误.答案 D5.(2020·嘉、丽、衢模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3上单调，则ω的最大值是( ) A.12 B.11 C.10D.9解析 由x ＝－π4为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的零点，x ＝π4为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴得－π4ω＋φ＝k 1π，π4ω＋φ＝k 2π＋π2(k 1，k 2∈Z )，则ω＝2(k 2－k 1)＋1(k 1，k 2∈Z )①，又因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3上单调，所以12·2πω≥π3－π4，即ω≤12②，结合①②得ω的最大值为11，故选B.答案 B6.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且任意x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0解析 由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A. 答案 A 二、填空题7.若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________；f (x )取最大值时，x 的取值集合为________.解析 因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6.由f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6－π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x (x ∈R )，∴当2x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝k π－π4，k ∈Z 时，f (x )得最大值1.答案 5π6⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π4，k ∈Z 8.函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________. 解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3， 由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z ).∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 9.若x ＝π6是函数f ()x ＝sin 2x ＋a cos 2x 的一条对称轴，则函数f ()x 的最小正周期是________；函数f ()x 的最大值是________.解析 ∵f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ＝1＋a 2sin(2x ＋θ)(tan θ＝a )，又x ＝π6是函数的一条对称轴，∴2×π6＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝π6＋k π，k ∈Z .则f (x )＝1＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋k π，k ∈Z .T ＝2π2＝π； 由a ＝tan θ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋k π＝tan π6＝33， 得1＋a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝233.∴函数f (x )的最大值是233.答案 π23310.(一题多解)若函数y ＝sin ωx 在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是________.解析 法一 由题意得ω>0，ωx ∈[0，2ωπ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以0<2ωπ≤π2⇒0<ω≤14. 法二 由题意得ω>0，∵y ＝sin ωx 在[0，2π]上单调递增，说明该函数至少14T 的图象在[0，2π]上，则其周期至少为8π，即2πω≥8π，即ω≤14，故0<ω≤14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14三、解答题11.(2019·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0，2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域.解 (1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数， 所以对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ， 故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0. 又θ∈[0，2π)，因此θ＝π2或θ＝3π2. (2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －32sin 2x＝1－32cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因此所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32. 12.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 4－π6－2cos 2πx 8＋1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)(一题多解)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43时，y ＝g (x )的最大值.解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx4＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π3，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8. (2)法一 在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x )).由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上， 从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4（2－x ）－π3＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－πx 4－π3＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 4＋π3.当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32. 法二 区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2， 且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为 y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上的最大值. 由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 4－π3，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6.因此y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为 g (x )max ＝3sin π6＝32. 能力提升题组13.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值为( ) A.23 B.32 C.2D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 答案 B14.设x 1，x 2，x 3，x 4∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则( )A.在这四个数中至少存在两个数x ，y ，满足sin(x －y )>12B.在这四个数中至少存在两个数x ，y ，满足cos(x －y )≥32C.在这四个数中至多存在两个数x ，y ，满足tan(x －y )<33 D.在这四个数中至多存在两个数x ，y ，满足sin(x －y )≥33解析 将区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2平均分为三个区间，则每个区间的长度为π6.因为x 1，x 2，x 3，x 4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以在x 1，x 2，x 3，x 4中至少有两个数在同一区间内，设这两个数为x ，y ，则|x －y |≤π6，所以cos(x －y )≥32，故选B. 答案 B15.函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (a ≠0，b ≠0，ω≠0)，则f (x )( ) A.是非奇非偶函数 B.奇偶性与a ，b 有关 C.奇偶性与ω有关D.奇偶性与a ，b 无关解析 f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)，其中sin φ＝ba 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b2，要使函数f (x )＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)为奇函数，则f (0)＝a 2＋b 2sin φ＝0，因为a ≠0，b ≠0，所以a 2＋b 2≠0，又因为sin φ＝b a 2＋b2≠0，所以f (0)＝a 2＋b 2sin φ≠0，所以函数f (x )不是奇函数.若函数f (x )＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)为偶函数，则f (0)＝a 2＋b 2sin φ＝±a 2＋b 2，则sin φ＝±1，cos φ＝0，因为a ≠0，所以cos φ＝aa 2＋b 2≠0，所以f (0)＝a 2＋b 2sin φ≠±a 2＋b 2，所以函数f (x )不是偶函数，故选A. 答案 A16.函数f (x )＝2cos 2x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，则函数的最小正周期为________，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内的一条对称轴方程是________.解析 f (x )＝1＋cos 2x ＋12cos 2x －32sin 2x －1＝32cos 2x －32sin 2x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴T ＝2π2＝π.令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，∴x ＝－π12＋k π2，k ∈Z .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＝512π.答案 π x ＝5π1217.已知函数f (x )＝2cos x (sin x －3cos x )＋3，x ∈R . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若函数g (x )＝f (x ＋α)为偶函数，求|α|的最小值. 解 (1)f (x )＝2cos x (sin x －3cos x )＋ 3 ＝2sin x cos x －3(2cos 2x －1) ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(2)由题意得g (x )＝f (x ＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2α－π3，因为函数g (x )为偶函数，所以2α－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，α＝k π2＋5π12，k ∈Z ，当k ＝－1时，|α|的最小值为π12.18.已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值.解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ).(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。
2014届高考数学(苏教版)一轮复习题及详解第4章三角函数、解三角形4.3三角函数的图象和性质
18 三角函数的图象和性质一、填空题1．(2013江苏南通四校联考)若π4是函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x (a R ，为常数)的零点，则f (x )的最小正周期是________．2．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.3．(2013江苏盐城高三年级模拟考试)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调增区间为________．4．(2012山东高考改编)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．5．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α，β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tan β；④直线x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0中心对称． 其中命题正确的是__________．(填序号)6．(2012全国高考改编)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ [0,2π])是偶函数，则φ＝________. 7．(2013江苏南通高三调研考试)已知函数f (x )＝3sin x 2，如果存在实数x 1，x 2，使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．8．(2013江苏泰州调研)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为__________．9．将函数f (x )＝22sin 2x ＋62cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π4＝________.二、解答题10．(2013江苏南通四校联考)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x (其中x R )，求：(1)函数f (x )的最小正周期；(2)函数f (x )的单调减区间；(3)函数f (x )图象的对称轴．11.(2012江苏南通月考)已知f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－x .(1)若α[0，π]，且sin 2α＝13，求f (α)的值； (2)若x [0，π]，求f (x )的单调增区间．12．(2012重庆高考改编)设f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω＞0. (1)若周期为π，当x ⎝⎛⎭⎫－π12，π3时，求函数y ＝f (x )的值域； (2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，π2上为增函数，求ω的最大值．参考答案一、填空题1．π 解析：由题意，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin π2＋a cos 2π4＝0，即1＋12a ＝0，解得a ＝－2. 从而f (x )＝sin 2x －2cos 2x ＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1，故f (x )的最小正周期为π.2．0 解析：由于函数f (x )＝ta n Ωx 的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得的线段长为π4，所以该函数的周期T ＝πω＝π4，因此Ω＝4，函数解析式为f (x )＝ta n 4x ，所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝ta n ⎝⎛⎭⎫4×π4＝ta n π＝0. 3.⎣⎡⎦⎤－5π12，π12 4．2－3 解析：∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤76π， 当π6x －π3＝－π3时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3有最小值2×⎝⎛⎭⎫－32＝－3， 当π6x －π3＝π2时， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3有最大值2.∴最大值与最小值之和为2－ 3.5．①④ 解析：①y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π2＝－sin 23x 是奇函数； ②由sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的最大值为2，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③α，β是第一象限角且α＜β.例如：45°＜30°＋360°，但ta n 45°＞ta n(30°＋360°)，即ta n α＜ta n β不成立；④把x ＝π8代入y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4，得sin 3π2＝－1，所以直线x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴；⑤把x ＝π12代入y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，得sin π2＝1，所以点⎝⎛⎭⎫π12，0不是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心． 综上所述，只有①④正确．6.3π2 解析：∵f (x )＝sin x ＋φ3为偶函数，∴x ＝0时，f (x )取得最值，即φ3＝k π＋π2(k Z )，即φ＝3k π＋3π2(k Z )，∵φ [0,2π]，∴ k ＝0时，φ＝3π2符合题意． 7．2π 解析：根据题意可知，实数x 1，x 2分别表示f (x )取得最小值与最大值时x 的值，故|x 1－x 2|的最小值是半个周期，即2π.8.⎝⎛⎦⎤2k π，π3＋2k π(k Z ) 解析：要使函数有意义必须有∴2k π＜x ≤π3＋2k π，k Z ， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .9.62 解析：∵f (x )＝22sin 2x ＋62cos 2x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.故g ⎝⎛⎭⎫π4＝62. 二、解答题10．解：f (x )＝52sin 2x －531＋cos 2x 2＝52sin 2x －532cos 2x －532＝5⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x －532＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－532，(1)f (x )最小正周期T ＝π.(2)由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k Z ，得f (x )的单调减区间为k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k Z . (3)由2x －π3＝k π＋π2(k Z )，得f (x )的对称轴为x ＝k π2＋5π12(k Z )． 11．解：(1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α.∵sin 2α＝13＝2sin αcos α＞0，α [0，π]， ∴α⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋cos α＞0. 由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝43，得sin α＋cos α＝233， ∴f (α)＝233. (2)∵f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－x＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 由题意得2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2， 即2k π－34π≤x ≤2k π＋π4，又0≤x ≤π，∴f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤0，π4. 12．解：(1)f (x )＝4⎝⎛⎭⎫32cos ωx ＋12sin ωx sin Ωx ＋cos 2Ωx ＝23sin Ωx cos Ωx ＋2sin 2Ωx ＋cos 2Ωx －sin 2Ωx＝3sin 2Ωx ＋1.因T ＝2π2ω＝π，所以Ω＝1， 此时2x ⎝⎛⎭⎫－π6，2π3，－12＜sin 2x ≤1，所以函数y ＝f (x )的值域为⎝⎛⎦⎤1－32，1＋3. (2)因y ＝sin x 在每个闭区间⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k Z )上为增函数，故f (x )＝3sin 2Ωx ＋1(Ω＞0)在每个闭区间⎣⎡⎦⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω (k Z )上为增函数． 依题意知⎣⎡⎦⎤－3π2，π2⎣⎡⎦⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω对某个k Z 成立，此时必有k ＝0，于是解得Ω≤16，故Ω的最大值为16.。
甘肃省西北师大附中2014届高三数学 三角函数与解三角形单元测试 理
西北师大附中2014届高三（理）单元测试三角函数与解三角形(时量：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）A ．x y π2sin 21-=B ．)32(sin ππ+=x y C ．tan2y x π= D ．x x y ππcos sin =2．ω是正实数，函数x x f ωsin 2)(=在]4,3[ππ-上是增函数，那么 （ ）A ．230≤<ω B ．20≤<ωC ．7240≤<ω D ．2≥ω3．对于函数,cos sin ,cos cos sin ,sin )(⎩⎨⎧<≥=xx x xx x x f 则下列正确的是（ ）A ．该函数的值域是[－1，1]B ．当且仅当)(22Z k k x ∈+=ππ时，该函数取得最大值1C ．当且仅当0)()(2322<∈+<<+x f Z k k x k 时ππππ D ．该函数是以π为最小正周期的周期函数 4．若0cos 2sin <>αα且，则α是（ ）A ．第二象限角B ．第三象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第三象限角5．函数)232(22cos 1tan 11)(2ππ<<+++=x x xx f 的值域是（ ）A ．[－2，2]B ．（0，2）C ．]2,0(D ．]1,0( 6．函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是（ ）A ．4π-=xB ．2π-=xC ．8π=xD ．45π=x 7．函数)2(3cos 2cos )(ππ-≤≤-+-=x x x x f 有（ ）A ．最大值3，最小值2B ．最大值5，最小值3C ．最大值5，最小值2D ．最大值3，最小值8158．若B A B A 22cos cos ,32+=+则π的值的X 围是（ ）A ．]21,0[B ．]23,21[C ．]1,21[D ．[0，1]9．要使函数45))(6312cos(5的值N k x k y ∈-+=ππ在区间[3,+a a ])(R a ∈上出现的次数不少于4次，不多于8次，则k 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4或5D ．2或3 10．2θ是第四象限角，a a 12cos +=θ则θsin 的值是（ ）A ．aa 12+ B ．aa 12+-C ．aa 12-- D ．aa 12---11．函数f (x)＝|sinx+cosx|－|sinx －cosx|是（ ）A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数 12．将函数y=sin(2x+6π)(x ∈R)的图象上所有点向右平移3π个单位(纵坐标不变)，则所得到 的图象的解析式是( )A ．y=－cos2xB ．y=cos2xC ．y=sin(2x+65π) D ．y=sin(2x －6π) 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期T=。
2014届高考数学一轮复习检测《三角函数、解三角形》
【一轮效果监测】 2014 届高考数学一轮复习检测：《三角函数、解三角形》( 时间 :120 分钟满分:150分)【选题明细表】知识点、方法题号三角函数的概念1、 2同角基本关系式与诱导公式应用3、 13图象与性质4、 6、8、 11、 20三角恒等变换5、 9、 17解三角形7、 10、 14、 15、 18、 21综合问题12、 16、 19、 22一、选择题 ( 每小题 5 分, 共 60 分)1.(2013衡水模拟)若角α 的终边过点(sin 30°,-cos 30° ),则sinα 等于(C )(A) ( B)-(C)-(D)-解析 : 点 (sin 30° ,-cos 30°),即点( ,-),∴r=1, ∴ sin α = =- . 故选 C.2. 已知角α的终边上有一点M(3,-5),则sinα 等于(B )(A )-(B)-(C)-(D)-解析 : 因为 r==,所以 sinα = ==-. 故选 B.3.(2013乐山市第一次调研考试) 函数 f(x)=满足f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为 ( D )(A)1 或(B)-(C)1(D)1或-解析 : 若 a≥ 0 时 , 则 e a-1 +1=2,a=1,若-1<a<0 时 , 则 1+2sinπ a2=2,sinπ a2= ,所以π a2=2kπ+ (k ∈Z), 所以 a2=2k+ (k ∈Z),令k=0, 则 a=± , 所以 a=- ,综上 ,a=1 或 a=- . 故选 D.4.(2013年东北四校联考) 已知函数f(x)=-2sin(2x+)(||<π ),若f=-2, 则 f(x)的一个单调递增区间可以是( D )(A)(B)(C)(D)解析 : 由题 f=-2,即-2sin=-2,得 sin=1,∵| |< π , 故φ = .由 +2kπ ≤2x+ ≤+2kπ ,k ∈ Z, 得 +kπ ≤ x≤+kπ ,k ∈ Z, 即 x∈,k ∈ Z 为f(x)的增区间.故选D.5. 已知= ,0<x< π , 则 tan x等于(A )(A)-(B)-(C)2(D)-2解析:===cos x+sin x= .∴1+2sin xcos x=,即 2sin xcos x=-, 必有 x∈,从而 1-2sin xcos x=,即(sin x-cos x)2= ,又当 x∈时,sin x>cos x,∴sin x-cos x=.故 sin x= ,cos x=-,于是 tan x=- . 故选 A.6. 函数 f(x)=cos x-sin x取得最大值时,x 的可能取值是 ( C )(A)- π(B)-(C)-(D)2 π解析 : 因为 f(x)=cos x-sin x=2=2 cos(x+),所以当 x+ =2kπ (k ∈ Z) 时 ,f(x)取最大值,即x=2kπ- (k∈ Z)时,f(x)有最大值2, 所以结合各选项知x 的可能取值是- . 故选 C.7.在锐角△ ABC中设 x=(1+s in A)(1+sin B),y=(1+cos A)(1+cos B),则x,y的大小关系为( D )(A)x ≤ y (B)x<y(C)x ≥ y (D)x>y解析 : 由于三角形为锐角三角形,故有 A+B> ? A> -B,又由 y=sin x和y=cos x在上的单调性可得sin A>sin=cos B,cos A<cos=sin B,故1+sin A>1+cos B>0,0<1+cos A<1+sin B,即x=(1+sin A)(1+sin B)>y=(1+cos A)(1+cos B).故选 D.8.(2013大同模拟)已知函数f(x)=3sin( ω >0) 和 g(x)=3cos(2x+φ )的图象的对称中心完全相同 , 若 x∈, 则 f(x) 的取值范围是( A )(A)(B)(C)(D)解析 : 函数 f(x)=3sin( ω >0) 和 g(x)=3cos(2x+φ )的图象的对称中心完全相同,所以ω =2,f(x)=3sin,因为 x∈,所以 2x- ∈,所以 f(x)=3sin∈. 故选 A.9. 已知角α的终边经过点P(sin 2θ ,sin 4θ ),且cosθ= ,则α的正切值为(B )(A)-(B)-1(C)( D)1解析 :tanα ===2cos 2 θ=2(2cos 2θ -1)=2=-1. 故选 B.10.(2013 厦门模拟 ) 在不等边三角形 ABC中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 其中 a 为最大边 , 如果 sin 2(B+C)<sin 2 B+sin 2 C, 则角 A 的取值范围为 ( D )(A)(B)(C)( D)222解析 : 由题意得 ,sin A<sin B+sin C,222222再由正弦定理得a <b +c , 即 b +c -a >0.则 cos A=>0,∵0<A<π , ∴ 0<A< .又a 为最大边 , ∴ A> .因此得角 A 的取值范围是. 故选 D.11. 已知函数① y=sin x+cos x,② y= 2sin xcos x,则下列结论正确的是( C )(A) 两个函数的图象均关于点成中心对称图形(B)两个函数的图象均关于直线x=- 成轴对称图形(C) 两个函数在区间上都是单调递增函数(D)两个函数的最小正周期相同解析 : 由于 y=sin x+cos x=sin,y=2 sin xcos x=sin 2x,当 x=-时,y=sin=0,y=sin 2x=-,因此函数y=sin x+cos x的图象关于点成中心对称图形,不关于直线x=-成轴对称图形,函数 y=2 sin xcos x 的图象不关于点成中心对称图形, 关于直线 x=- 成轴对称图形,故选项 A、B 均不正确 ;结合图象 (图略 ) 可知 ,这两个函数在区间上都是单调递增函数,因此选项C正确 ;函数 y= sin的最小正周期是2π ,y= sin 2x的最小正周期是π ,因此选项D不正确 . 综上所述 , 故选 C.12. 若 AB=2,AC= BC,则 S△ABC的最大值为 ( A )(A)2(B)(C)(D)3解析 : 设 BC=x,则 AC=x,x>0,根据三角形面积公式得S△ABC= 3 AB3 BCsin B=x①根据余弦定理得cos B===②将②代入①得 ,S△ABC=x=,由三角形的三边关系得解得 2 -2<x<2+2.故当 x=2时,S△ABC取得最大值2 . 故选 A.二、填空题 ( 每小题 4 分, 共 16 分)13.(2013山东泰安期末) 已知α∈,sinα = ,则tan=.解析 : 在△ ABC中 , 由α∈且sinα=得cos α =-=- ,故tan α =- ,因此 tan== .答案 :14.(2013年高考重庆卷) 设△ ABC的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,cos A= ,cos B= ,b=3,则 c=.解析 : 在△ ABC中 ,∵cos A= , ∴ sin A=,∵cos B=,∴s in B= ,∴s in C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=3+3=.由正弦定理得 ,c===.答案:.15.要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度 , 在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45° , 在 D 点测得塔顶A 的仰角是 30°, 并测得水平面上的∠BCD=120° ,CD=40 m, 则电视塔的高度为m.解析 : 如图所示 , 设电视塔AB高为 x m,则在 Rt △ ABC中 ,由∠ACB=45°得 BC=x.在Rt △ ADB中∠ ADB=30° ,∴B D= x,在△ BDC中,由余弦定理得,222BD=BC+CD-2BC2 CD2 cos 120° ,即(x) 2=x2+402-2 2 x2 402 cos 120 ° ,解得 x=40,∴电视塔高为40 m.答案 :4016.若函数f(x)=|sin x|(x≥ 0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点, 设交点中横坐标的最大值为α ,则=.解析 : 依题意 , 画出示意图如图所示.于是 , α ∈, 且 A( α ,-sinα )为直线y=kx与函数y=-sinx(x ∈ ( π , )) 图象的切点 .在 A 点处的切线斜率为-cosα =, 故α=tanα .所以===2.答案 :2三、解答题 ( 共 74 分)17.( 本小题满分12 分 )(2013 广州综合测试 ) 已知 sinα =, α ∈,tanβ = .(1)求 tan α的值 ;(2)求 tan( α +2β ) 的值 .解:(1)∵ sinα =, α ∈,∴cosα ===.∴tanα === .(2) 法一∵ tanβ = ,∴tan 2 β === ,∴tan( α +2β )===2.法二∵ tanβ = ,∴tan( α +β )===1,∴tan( α +2β )===2.18.( 本小题满分12 分 )(2013 内江市第一次模拟考试) 在△ ABC中 , 角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c,a=2,b=2,cos A=- .(1)求角 B的大小 ;(2)若 f(x)=cos 2x+bsin2(x+B), 求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间 .解:(1)∵ cos A=-(0<A< π ),∴A 为钝角 ,sin A=.由=得sin B=,∴B= .2(2) 由 (1) 知 f(x)=cos 2x+2sin=cos 2x-cos+1=cos 2x- cos 2x+sin 2x+1=sin+1所以 , 函数 f(x) 的最小正周期为π ,由2kπ - ≤ 2x+ ≤ 2kπ + ,k ∈ Z,得kπ - ≤ x≤ kπ + ,k ∈ Z,所以函数f(x) 的单调递增区间为,k ∈ Z.19.( 本小题满分12 分 )(2013成都市高三一诊模拟) 已知O 为坐标原点,=(2sin 2x,1),=(1,-2sin xcosx+1),f(x)=2+m.(1)求 y=f(x) 的单调递增区间 ;(2)若 f(x) 的定义域为, 值域为 [2,5], 求 m的值 .解:(1) f(x)=2sin2x-2sin xcos x+1+m=1-cos 2x-sin 2x+1+m=-2sin+2+m,由+2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ (k ∈ Z),得 kπ + ≤ x≤ kπ +(k ∈ Z),故 y=f(x)的单调递增区间为(k ∈Z).(2) 当≤ x≤ π时 ,≤ 2x+≤,∴-1 ≤ sin(2x+ ) ≤ ,∴1+m≤ f(x) ≤ 4+m,∴? m=1.20.( 本小题满分12 分 )(2013 宜春模拟 ) 已知函数f(x)=Asin(ω x+)(A>0,ω >0,| |<) 的部分图象如图所示:(1)求函数 f(x) 的解析式并写出其对称中心 ;(2)若 g(x) 的图象与 f(x) 的图象关于点 P(4,0) 对称 , 求 g(x) 的单调递增区间 .解:(1)由题图可知,A=, =4, ∴T=16,∴ω = = ,∴f(x)=sin,由题图知f(2)=,∴sin=.即 sin=1,∴+φ = +2kπ (k ∈ Z),∴φ = +2kπ (k ∈ Z),又||< , ∴= ,∴f(x)=sin.令x+ =kπ(k ∈ Z), 可得 x=8k-2,所以函数f(x) 的对称中心为(8k-2,0)(k∈ Z).(2) 设 g(x) 上任一点为A(x,y),其关于点P(4,0) 的对称点A'(x',y'),则A'在f(x)上.∴x'=8-x,y'=-y,代入f(x)得,-y=sin,∴y=-sin.即 g(x)=-sin.由+2kπ ≤ x- ≤ +2kπ(k ∈ Z),得16k+6 ≤x≤ 16k+14(k ∈ Z).所以函数g(x) 的单调递增区间为[16k+6,16k+14](k∈Z).21.( 本小题满分12 分 )如图所示 , 一人在 C 地看到建筑物 A 在正北方向 , 另一建筑物 B 在北偏西45°方向 , 此人向北偏西 75°方向前进 km 到达 D, 看到 A在他的北偏东 45°方向 ,B 在他的北偏东 75°方向 , 试求这两座建筑物之间的距离 .解: 依题意得 ,DC=(km),∠A DB=∠ BCD=30° =∠ BDC,∠D BC=120° , ∠ ADC=60° , ∠DAC=45°.在△ BDC中, 由正弦定理可得,BC===(km).在△ ADC中, 由正弦定理可得,AC===3(km).在△ ABC中,由余弦定理可得 ,222AB =AC+BC-2AC2 BCcos∠ACB=(3) 2+()2-23 33 3 cos 45 ° =25,∴A B=5(km).即这两座建筑物之间的距离为5 km.22.( 本小题满分14 分 )已知角 A 、 B 、 C为△ ABC的三个内角,其对边分别为a 、 b 、 c, 若向量m=,n=,a=2, 且 m2 n= .(1) 若△ ABC的面积 S△ABC= , 求 b+c 的值 ;(2)求 b+c 的取值范围 .解:(1)因为m=,n=, 且 m2 n= ,所以 -co s2+sin2= , 即 -cos A=,又A∈ (0, π ), 所以 A= .又由 S△ABC= bcsin A=, 得 bc=4,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos=b2+c2+bc,所以 16=(b+c) 2, 故 b+c=4.(2) 由正弦定理得====4,又B+C=π -A= ,所以 b+c=4sin B+4sin C=4sin B+4sin=4sin,因为 0<B< ,所以 <B+<,所以 <sin≤ 1,即 b+c 的取值范围是 (2,4].。
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2014届高三数学理科第一轮复习单元过关( 5 )（三角函数、解三角形）高三( )班 学号_______ 姓名_____________ 成绩__________一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.)1．cos(－17π4)－sin(－17π4)的值是 ( )A.2 B ．－ 2 C ．0 D.222．已知sin(x ＋π4)＝－35，则sin2x 的值等于 ( )A ．－725 B.725 C ．－1825 D.18253．设a ＝sin15°＋cos15°，b ＝sin17°＋cos17°，则下列各式中正确的是 ( ) A ．a ＜a 2＋b 22＜b B ．a ＜b ＜a 2＋b 22C ．b ＜a 2＋b 22＜aD ．b ＜a ＜a 2＋b 224．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，则φ等于 ( ) A.π6 B.11π6 C.7π6 D.5π65．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为 ( )A.922B.924C.928D ．9 26．在△ABC 中，角A ，B 所对的边长为a ，b ，则“a ＝b ”是“a cos A ＝b cos B ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件7．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R)图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则a 的值为( )A.12B. 3C.33D ．2 8．定义运算⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( ) A.π12B.π6C.π4D. π3二、填空题: (本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卷中．．．．相应横线上)9．若cos α＝－35，α∈( π2，π)，则tan α＝ 。
10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，C ＝75°，a ＝4，则b＝________.11．设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=，则角C =_________.12．已知sin x ＝2cos x ，则5sin x －cos x2sin x ＋cos x＝__________.13．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x <π2，则f (x )的最大值为________．14．如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)，x ∈R 的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．①函数f (x )的最小正周期为π2；②函数f (x )的振幅为23；③函数f (x )的一条对称轴方程为x ＝712π；④函数f (x )的单调递增区间为[π12，712π]；⑤ 函数的解析式为f (x )＝3sin(2x －23π)．9.____________________. 10.___________________. 11. ____________________.12.___________________. 13. ___________________. 14.____________________.三、解答题：本大题共4小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. (本小题满分12分) 已知函数()2cos()(0,)6f x x x R πωω=+>∈的最小正周期为10π（1）求ω的值； （2）设,[0,]2παβ∈，56516(5),(5)35617f f ππαβ+=--=；求cos()αβ+的值。
16. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，5b =，ABC ∆的面积为（Ⅰ）求,a c 的值； （Ⅱ）求sin 6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．17. (本小题满分13分) 已知sin(π－α)＝45，α∈(0，π2)．(1)求sin2α－cos 2α2的值；(2)求函数f (x )＝56cos αsin2x －12cos2x 的单调递增区间．18. (本小题满分13分) 已知向量(sin ,1),(3cos ,cos 2)(0)3Am x n A x x A ==>，函数()f x m n =⋅的最大值为6.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在5[0,]24π上的值域。
22014届高三数学理科第一轮复习单元过关( 5 )答案及评分标准一、选择题 AABB CACD1．解析：原式＝cos(－4π－π4)－sin(－4π－π4)＝cos(－π4)－sin(－π4)＝cos π4＋sin π4＝ 2.答案：A2．解析：sin(x ＋π4)＝22(sin x ＋cos x )＝－35，所以sin x ＋cos x ＝－325，所以(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ＝1825，故sin2x ＝－725.答案：A3．解析：a ＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°，b ＝2sin(17°＋45°)＝2sin62°，b ＞a .a 2＋b 22＝sin 260°＋sin 262°＞2sin60°sin62°＝3sin62°，∴a 2＋b 22＞b ＞a . 答案：B4．解析：依题意得y ＝sin(x －π6)＝sin(x －π6＋2π)＝sin(x ＋11π6)，将y ＝sin x 的图象向左平移11π6个单位后得到y ＝sin(x ＋11π6)的图象，即y ＝sin(x －π6)的图象．答案：B5．解析：由余弦定理得：三角形第三边长为22＋32－2×2×3×13＝3，且第三边所对角的正弦值为 ＝223，所以2R ＝3223⇒R ＝928.答案：C6． 解析：a ＝b ⇒A ＝B ⇒a cos A ＝b cos B ，条件是充分的；a cos A ＝b cos B ⇒sin A cos A ＝sin B cos B ⇒sin2A ＝sin2B ⇒2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，故条件是不必要的．答案：A7．解析：函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝kπ＋π2，k ∈Z ，f (x )＝a 2＋1sin(2x ＋φ)，其中tan φ＝1a ，故函数f (x ) 的对称轴方程为2x ＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z ，而x ＝π12是其一条对称轴方程，所以2×π12＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z ，解得φ＝kπ＋π3，k ∈Z ， 故tan φ＝1a ＝tan(kπ＋π3)＝3，所以a ＝33.答案：C8．解析：依题设得：sin α·cos β－cos α·sin β＝sin(α－β)＝3314.∵0<β<α<π2，∴cos(α－β)＝1314. 又∵cos α＝17，∴sin α＝437.sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin α·cos(α－β)－cos α·sin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32， 又0<β<π2，∴β＝π3. 答案：D二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在题中的横线上) 9． 解析：cos α＝－35，α∈(π2，π)，所以sin α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43. 答案：－4310．解析：易知A ＝45°，由正弦定理a sin A ＝b sin B 得4sin45°＝bsin60°，解得b ＝2 6.答案：2 611． 解析：由222()()a b c a b c ab a b c ab +-+-=⇒+-=-根据余弦定理可得22212cos 223a b c C C ab π+-==-⇒=。
答案：23π12．解析：∵sin x ＝2cos x ，∴tan x ＝2，∴5sin x －cos x 2sin x ＋cos x ＝5tan x －12tan x ＋1＝95. 答案：9513． 解析：f (x )＝(1＋3·sin x cos x )·cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3，∴当x ＋π6＝π2时，f (x )取得最大值2.答案：214． 解析：据图象可得：A ＝3，T 2＝5π6－π3，T ＝π，故ω＝2，又由f (7π12)＝3⇒sin(2×7π12＋φ)＝1，解得φ＝2k π－2π3(k ∈Z)，又－π<φ<π，故φ＝－2π3，故f (x )＝3sin(2x －2π3)，依次判断各选项，易知①②是错误的，由图象易知x ＝7π12是函数图象的一条对称轴，故③正确，④函数的单调递增区间有无穷多个，区间[π12，7π12]只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推导易知正确．答案：③⑤三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15、【解析】(Ⅰ)210T ππω==，所以15ω=.(Ⅱ)515652cos 52cos 2sin 353625f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3sin 5α=.5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以8cos 17β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以4cos 5α=，15sin 17β=，所以()4831513cos cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-.16.【解】（Ⅰ）由已知3C π=，5b =，1sin 2ABC S ab C ∆=知15sin 23a π=⋅⋅得8a = 由余弦定理可得2642580cos493c π=+-=，从而可知7c =；（Ⅱ）由（Ⅰ）知4925641cos 707A +-==，由于A是三角形的内角，故sin A ==所以1113sin sin cos cos sin 6667214A A A πππ⎛⎫+=+=+⨯= ⎪⎝⎭．17． 解：∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45，又∵α∈(0，π2)，∴cos α＝35.(1)sin2α－cos 2α2＝2sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝425.(2)f (x )＝56×35sin2x －12cos2x ＝22sin(2x －π4)．令2kπ－π2≤2x －π4≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得kπ－π8≤x ≤kπ＋38π，k ∈Z.∴函数f (x )的单调递增区间为[kπ－π8，kπ＋38π]，k ∈Z.18.【解析】(Ⅰ)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=⋅=62sin 2cos 22sin 232cos 2sin cos 3)(πx A x A x A x A x x A n m x f ，则6=A ；(Ⅱ)函数()y f x =的图象像左平移12π个单位得到函数]6)12(2sin[6ππ++=x y 的图象，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数)34sin(6)(π+=x x g .当]245,0[π∈x 时，]1,21[)34sin(],67,3[34-∈+∈+ππππx x ，]6,3[)(-∈x g . 故函数()g x 在5[0,]24π上的值域为]6,3[-. 【另解】由)34sin(6)(π+=x x g 可得)34cos(24)(π+='x x g ，令0)(='x g ，则)(234Z k k x ∈+=+πππ，而]245,0[π∈x ，则24π=x ，于是367sin6)245(,62sin 6)24(,333sin 6)0(-======πππππg g g ， 故6)(3≤≤-x g ，即函数()g x 在5[0,]24π上的值域为]6,3[-.。