第一讲-代数系统

离散数学（二）
李翠敏
cmli@mail.xidian.edu.cn
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代数结构（系统）
抽象代数（abstract algebra ）

在抽象代数学中，由对象集合及运算组成的数学结构被 称为代数结构（algebra structures），或代数系统 不管对象集合的具体特性和对象集合上运算的具体意义， 抽象的研究这些数学结构的一般特性，及运算所遵循的
解：a是幺元；b的左逆元和右逆元都是c，即b和c互为逆元； d的左逆元是c而右逆元是b；b有两个左逆元c和d；e的 右逆元是c，但e没有左逆元。
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6.1代数结构
『定理4』设<A,*>是一个代数系统，*是定义在集合A上的 一个二元运算，e是A中关于运算*的幺元。若运算*是可 结合的，且元素x有左逆元l和右逆元r，则l=r。 证明：因为e是A中关于运算*的幺元且x有左逆元l和右逆 元r,则有 l*x=x*r=e 又运算是可结合的，所以
c
d
c
d
d
d (b)
a
b
b
c
解：b,d都是S中关于运算*的左幺元，a是S中关于★运算 的右幺元。
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6.1代数结构
『定理1』设*是定义在集合A上的一个二元运算，且在 A中有关于运算*的左幺元el和右幺元er,则el =er=e, 且A中的幺元是唯一的。
证明思路：先证el =er=e，再证e的唯一性。
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6.1代数结构—代数运算性质

性质三

分配律 设*和○是定义在集合A上的二元运算，如果对任意的 a,b,c∈A，都有 *对○左可分配 a (b c) (a b) (a c) *对○右可分配 (b c) a (b a) (c a)
则称*对○是可分配的。
『定理3』设<A,*>是一个代数系统，且|A|>1。如果该代数 系统中存在幺元e和零元θ，则e≠θ。 证明： |A|>1时，假设e=θ，则A中必存在元素a，满足
a ≠ e，a≠θ --------------(1) 且有 a*e=a，a*θ=θ--------------(2) 由假设e=θ，(2) 可得a=θ，这与(1)矛盾， 所以假设不成立， 结论得证。
证明：设el 和er分别是A中关于运算*的左幺元和右 幺元，则有
el= el *er= er=e 假设另有幺元e’∈A, 则有e’=e’*e=e,结论得证。
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6.1代数结构

零元

左零元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，如 果有一个元素θl∈A,对于任意的元素x∈A都有θl*x= θl，则称θl为A中关于运算*的左零元。
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6.1代数结构
【例题4】 设有正整数集I+，“+”是I+上的普通加法运算。在I+上 定义二元运算*为：任取x, y∈I+, x*y=x+y。令 S={2k|k∈I+}={2,4,6,8,…} T={n|n ∈I+, n能整30 }={1,2,3,5,6,10,15,30 } 问运算*在S和T上是否封闭? 解：在S上封闭，在T上不封闭。
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6.1代数结构

逆元 设<A,*>是一个代数系统，*是定义在集合A上的一个 二元运算，e是A中关于运算*的幺元。x,y∈A，如果 x*y=e，那么关于运算*，x是y的左逆元，y是x的右逆 元。
如果一个元素b即是a的左逆元又是a的右逆元，那么 称b是a的一个逆元。 如果x*y=y*x=e，那么关于运算*，x与y互为逆元。运 算x的逆元记为x-1。
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6.1代数结构—代数运算性质

性质二 结合律 设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意 x,y,z∈A ，都有
x*(y*z)=(x*y)*z
则称该二元运算是可结合的。
【例题6】 设A是一个非空集合，*是A上的一个二元运算，对于任意 a,b ∈A ,有a*b=b,证明运算*是可结合的。 证明思路：任取a,b,c∈A ,证明a*(b*c)=c,(a*b)*c=c 所以，a*(b*c)=(a*b)*c，*运算是可结合的。
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6.1代数结构—代数运算性质
2. 代数运算性质

性质一
交换律 设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果任取 x,y∈A，都有 x*y=y*x， 则称该二元运算是可交换的。 【例题5】

设Q是有理数集合，☆是Q上的二元运算，对任意a,b∈Q, a☆b=a+b-a﹡b,其中+和﹡是普通的加法、乘法运算，问 ☆是否是可交换的？
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6.1代数结构—代数运算性质

性质四 吸收律 设*和○是定义在集合A上的两个可交换的二元运算， 如果对于任意的x,y∈A ,都有 x*(x○ y)=x, x○(x* y)=x 则称运算*和○满足吸收律。
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6.1代数结构—代数运算性质
【例题8】 设集合N是自然数全体，在N上定义两个二元运算*与○， 对于任意x,y∈N，有
※ 一般的，元素的左逆元不一定等于其右逆元。一个
元素可以有左逆元而没有右逆元，甚至左(右)逆元可 以不唯一。
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6.1代数结构
【例题11】 设集合S=｛a,b,c,d,e｝，定义在S上的二元运算*如表所 示，指出代数系统<S,*>中各元素的左、右逆元情况。
* a b c d e a a b c d e b b d a a d c c a b c a d d c a d c e e d b c e
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6.1代数结构---代数常元
3. 代数常元 代数系统中，针对某一代数运算表现出具有某些特殊性 质的元素称为代数常元，常见的有：幺元、零元、逆元、 等幂元等。
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6.1代数结构

幺元 左幺元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，若存 在元素el，对于A中的每一个元素x，都有 el * x=x 则称el为A中关于运算*的左幺元。

右幺元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，若存 在元素er，对于A中每一个元素x,都有 x* er=x 则称er为A中关于运算*的右幺元。
幺元：设*是定义在集合A上一个二元运算，若A中有 一个运算e,它既是左幺元，又是右幺元，则称e为A中 关于运算*的幺元，亦称作单位元。 e*x=x*e=x
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6.1代数结构—代数运算性质

性质六

可约律(消去律)
设*是定义在集合上的一个二元运算，元素a∈A,
如果对于任意x,y ∈A,都有 a*x=a*y x=y x*a=y*a x=y a是左可约的 a是右可约的
则称a关于运算*是可约的。若A中的所有元素都是 可约的，则称运算*满足可约律。
2013-8-15
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6.1代数结构

n元代数运算 设A1,A2,…,An, A是非空集合， f是从A1×A2×…×An 到A的一个映射，则称f为从集合A1×A2×…×An到A 的一个n元代数运算，简称运算，n称为代数运算的阶。
x1 x2 x3 …
6
f
y
xn
6.1代数结构

n元代数运算的封闭性 设f是从An到B的一个映射，f 被称为集合An 上的一个n元 代数运算。若B⊆A，则称该n元运算在集合A上是封闭的。
特别地， 设f是从A到A的映射，则称f是一个在A上封闭的一元运算。 设f是从A2到A的映射，则称f是一个在A上的封闭的二元运算。
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6.1代数结构
定义： 运算表 当集合A是有限集时，例如A={a1,a2,…,an}，则A上一元 代数运算和二元代数运算分别用如表(a)和(b)所示的运 算表来表示。 运算符
右零元：如果有一个元素θr∈A,对于任意的元素 x∈A都有x*θr= θr，则称θr为A中关于运算*的右零元。 零元：如果A中的一个元素θ，它既是左零元，又是 右零元，则称θ为A中关于运算*的零元。 θ* x=x*θ=θ


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6.1代数结构
【例题10】 设“浅”表示不易褪色的浅色衣服，“深”表示易褪 色的深色衣服，集合S={浅，深}，定义S的一个二元 运算“混洗”，记为“ * ”，则*的运算表如下表所示。 求S中关于*运算的幺元和零元。
代数系统的组成 载体(非空集合A) 定义在载体A上的若干运算 (f1,f2,…,fn) 代数常元
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6.1代数结构
【例题1】 (a)整数集合I，以及定义在该集合上的普通加法运算“+”组 成一个代数系统，可记作<I,+,0> ① 载体I ② 定义在I上的运算 + ③ 常数0 (b)一个有限集合S，由S的幂集ρ(S)，及定义在ρ(S)上的 交、并、补运算组成一个代数系统 < ρ(s), ,∩ > 。 ∪ ,

一般定律（如结合律、交换律、分配律等）、对这些数
学结构进行分类研究。
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第一讲 6.1代数结构
1. 代数系统 代数的定义 一个非空集合A，连同若干个定义在该集合上的运算 f1,f2,…,fn，所组成的系统称为一个代数系统，简称代数。 代数系统常用一个多元序组<A，D，*， … >来表示，其 中 A是载体，D，*，…为各种运算。
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6.1代数结构

代数结构的研究对象：不是单个具体的代数，而是一种 类。那么，什么样的两个代数是同一种类的？ 1.要有相同的构成成分 2.要有一组相同的称为公理的规则
【例题2】考虑<I,· ,1>、<ρ(S),∪,Φ>是否与<N,+,0>具 有相同形式的构成成分且也具有下述公理？ 1. a+b=b+a 2. (a+b)+c=a+(b+c) 3. a+0=0+a
△
a1 a2 … an
△(ai)
△(a1) △(a2) … △(an)

a1 a2 … an
a1 a1 a1 a2 a1 … an a1
a2 a1 a2 a2 a2 … an a2
…
an
集合A


… a1 Baidu Nhomakorabeaan … a2 an … … an an

(a)
运算结果
(b)
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6.1代数结构
2013-8-15
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6.1代数结构—代数运算性质
【例题9】 设ρ(S)是集合S上的幂集，在ρ(S)上定义两个二元运 算：集合的并运算∪和集合的交运算∩，验证∪和∩ 满足吸收律和等幂律。 解答：∪和∩运算是可交换的。 ∀ ∈ρ(S),有 A,B A∩(A∪B)=A A ∩A=A 所以∪和∩满足等幂律。 A∪(A∩B)=A 所以∪和∩满足吸收律。又有 A ∪A=A
* 浅色 深色 浅色 浅色 深色 深色 深色 深色
解：浅色是S中关于*运算的么元；
深色是S中关于*运算的零元。
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6.1代数结构
『定理2』设*是定义在集合A上一个二元运算，且在A中有 关于运算*的左零元θl和右零元θr,那么θl= θr= θ，且A中的 零元是唯一的。
证明：设θl 和θr分别是A中关于运算*的左零元和右零 元，则有 θl= θl * θr= θr= θ 假设另有零元θ’∈A, 则有θ’= θ’*θ =θ,结论得证。

6.1代数结构
【例题9】 设集合S={a,b,c,d}, S上定义的两个二元运算*和★的运 算表如下表所示，试求出其中的左幺元和右幺元。
* a b c d a d a a a b a b b b (a) c b c c c d c d c d ★ a b a a b b b a c d c d c d
l=l*e=l*(x*r)=(l*x)*r=e*r=r
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6.1代数结构—代数运算性质
【例题7】 设集合A={α,β},在A上定义两个二元运算*和 如下表(a)和(b)所示。 运算○对运算*可分配吗？运算*对运算○呢？
* α β
(a)
○，
α α
β β
○
α
β
α
α α
β α
β
α
(b)
β

只能用穷举的方法来计算：左右都可分配才是可分配； 答： ○对*是可分配的；*对○不可分配：β*(α ○ β)
x*y=max(x,y) , x○y=min(x,y)
验证运算*与○满足吸收律。
解：对于任意a,b∈N， a*(a○b)=max(a,min(a,b))=a a○(a*b)=min(a,max(a,b))=a 因此，*与○满足吸收律。
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6.1代数结构—代数运算性质

性质五 等幂律 设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于 任意x∈A,都有 x * x = x, 则称运算*满足等幂律。
【例题3】 一台自动售货机能接受五角和一元的硬币。当人们投入 任意两枚上述硬币时，自动售货机将供应出相应的饮料， 如下表 ☆ 5角 1元
5角 1元 雪碧 可乐 可乐 酷儿
设集合A＝{5角，1元}，集合B＝{雪碧，可乐，酷儿}， 则上表其实是一个从A×A到B的一个映射，也即一个从A2 到B的一个二元运算。问运算☆在A上是否封闭？ 答：不封闭