参数方程应用总结

参数方程应用专题

1、圆的参数方程的应用

圆222()()x a y b R -+-=的参数方程为cos sin x a R y b R θ

θ

=+⎧⎨=+⎩ （ 为参数 ）

一、求最值

()y x P ,为圆上一点

（1）求22Cy Bxy Ax ++的最值（2）求By Ax +的最值 （3）A,B 为定点，求2

2

PB PA +的最值。

例1 已知点P （x ，y ）在圆221x y +=上，

（1）求2223x xy y ++的最大值和最小值。（2）求y x +2的最值

(3)()()()()2

2

2

2

0,24,10,121PD PC PB PA D C B A +++-求及和和，

点的最值。

练习1、已知实数y x ,满足()()25212

2

=-+-y x ，求y x y x ++2,22的最值。

2、在△ABC 中，∠A,∠B,∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且

c=10,34

cos cos =

=a b B A ，P 为△ABC 的内切圆的动点，求点P 到顶点A 、B 、C 的

距离的平方和的最大值和最小值。

二、求轨迹

例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列，∠BAC=3

π

，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹方程。

三、求范围

例3 已知点P （x ，y ）是圆22(1)1x y +-=上任意一点，欲使不等式x+y+c ≥0恒成立，求c 的取值范围。

四、求斜率

例4 求函数sin 1

()cos 2

f θθθ-=-的最大值和最

小值。

C

x

y O

A

B 图 1

O

x

y

(2,1)

图2

2、椭圆的参数方程的应用

22

221x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（ 为参数） 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积

例1 求椭圆)0b a (1b

y a x 22

22>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。

二、求轨迹

例2 已知点A 在椭圆136

y 144x 22

=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2

1

MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。

三、求最值 P(X,Y)为椭圆上一点

（1）求22Cy Bxy Ax ++的最值（2）求By Ax +的最值

（3）P ),(y x 为椭圆上一点，A,B 为定点，求2

2

PB PA +的最值。 ()点的坐标。

距离最值，和圆上与为椭圆外一定点，求椭A A A 4 (5)的距离的最值。求椭圆上的点到直线已知直线l C By Ax l ,0:=++

例3 设点P （x ，y ）在椭圆19

y 16x 2

2=+， （1）试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。

（2）已知），（86A ，求PA 的最值。 （3）求y x 32+的最值。

（4）已知()()()()2,12,12,12,1----D C B A 求2

2

2

2

PD PC PB PA +++的最值。

3、已知椭圆22

110064

x y +=有一内接矩形ABCD ，求矩形ABCD 的最大面积。

221(,)23122P x y x y x y +=+例、设是椭圆上的一个动点，求的取值范围。

22

194

2100x y M M x y +=+-=例2、在椭圆上求一点，使点到直线

的距离最小，并求出最小距离

4.动点P(x,y)在曲线 22

y 194

x += 上变化 ，求2x+3y 的最大值和最小值

5设是椭圆上的一个动点，则的最大值是，最小值是

。P x y x y 2312222+=+

6，x y P 22

94

110+=上一点与定点（，）之间距离的最小值

7，设直线 022:=-+y x l ，交椭圆14

9:2

2=+y x C 于A 、B 两点，在椭圆C 上找一点P ，使ABP ∆面积最大。

3,直线的参数方程

过定点),(000y x M 、倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨

⎧+=+=α

α

sin cos 00t y y t x x （t 为参数）

（1）的几何意义是直线上点M 到M 0的距离。

（2）若t=0,则点

与点M 重合.

由此，易得参数t 具有如下 的性质：若直线l 上两点A 、B 所对应的参数分别为

B A t t ,，则

性质一：A 、B 两点之间的距离为||||B A t t AB -=，特别地，A 、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|B A t t

性质二：A 、B 两点的中点所对应的参数为

2

B

A t t +， 若0M 是线段A

B 的中点，则0=+B A t t ，反之亦然。

一 求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离 例1.设直线经过点

(1,5),倾斜角为

,

1)求直线和直线的交点到点的距离;

2)求直线和圆的两个交点到点

的距离的和与积.

二 求直线与曲线相交的弦长