二次根式计算——分母有理化
高考数学中的根式化简中的分母有理化
高考数学中的根式化简中的分母有理化高考中的数学根式化简是一项非常重要的考点，而在这个过程中，分母有理化也是一个关键环节。
分母有理化在解题中有着重要的应用，而且不难掌握。
在这篇文章中，我们将深入探讨分母有理化的概念、方法以及实例。
一、分母有理化的概念分母有理化是指将一个分式的分母化为含有有理数的多项式。
有理数是指可以表示成有限小数、无限循环小数和整数的数字。
这个过程可以将分母的无理数转化为有理数，从而方便进行后续的计算和化简。
二、分母有理化的方法在进行分母有理化的过程中，我们需要注意以下几点方法：1.有理数的平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)该公式可以用于分母有理化中，因为它可以将分母中的平方差式进行化简。
例如，对于分式1/(√3-√2)，我们可以通过平方差公式将分母化简：=1/（√3-√2）×（√3+√2）/（√3+√2）=（√3+√2）/（√3²-√2²）=（√3+√2）/（1）=√3+√22.有理化分母当分母中含有双曲函数或其他特殊函数时，我们可以尝试有理化分母。
例如，对于分式1/(sinx-cosx)，我们可以尝试进行有理化分母，得到：=1/（sinx-cosx）×（sinx+cosx）/（sinx+cosx）=（sinx+cosx）/（sinx²-cosx²）=（sinx+cosx）/（sin²x-cos²x）=（sinx+cosx）/（1-2cos²x）3.共轭对于含有二次根式的分母，我们可以使用有理化共轭的方法进行化简。
例如，对于分式2/(3-2√2)，我们可以使用共轭的方法进行分母有理化：=2/（3-2√2）×（3+2√2）/（3+2√2）=2（3+2√2）/（9-8）=2（3+2√2）/1=2（3+2√2）三、分母有理化的实例以下是一些常见的分母有理化实例：1.将分式1/（√5-2）化简：=1/（√5-2）×（√5+2）/（√5+2）=（√5+2）/（5-4）=（√5+2）2.将分式2/（3-√2）化简：=2/（3-√2）×（3+√2）/（3+√2）=2（3+√2）/（9-2）=2（3+√2）/73.将分式1/（sinπ/6-cosπ/6）化简：=1/（sinπ/6-cosπ/6）×（sinπ/6+cosπ/6）/（sinπ/6+cosπ/6）=（sinπ/6+cosπ/6）/（sin²π/6-cos²π/6）=（sinπ/6+cosπ/6）/（1-2cos²π/6）=（sinπ/6+cosπ/6）/（1-√3）=（sinπ/6+cosπ/6）×（1+√3）/（1-√3）×（1+√3）=（sinπ/6+cosπ/6）×（1+√3）/（1-3）=（sinπ/6+cosπ/6）×（1+√3）/-2=（√2/2+√6/2）×（1+√3）/-2=-(√2/2+√6/2)×（1+√3）结语：分母有理化是高中数学中非常重要的考点，也是日常生活中数学运用的一部分。
【2020版】八年级数学下册专题讲练：二次根式分母有理化及应用试题(含答案)
二次根式分母有理化及应用一、分母有理化1. 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2. 有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a ⋅=来确定，如：a a 与，a b a b ++与，b a -与b a -等分别互为有理化因式；②两项二次根式：利用平方差公式来确定，如：a b +与a b -，a b a b +-与，a x b y a x b y +-与等分别互为有理化因式。
3. 分母有理化的方法与步骤二、两种特殊有理化方法1. 分解约简法：可以利用因式分解进行有理化。
分母有理化：()232323166233212186623---====---；2. 配方约简法：利用完全平方公式配方，再和分母约分。
分母有理化： ()()222232232374323232323++⨯⨯++===++++。
总结：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
根号内含有分数或分式根号内分子、分母同乘以能使分母开方的数21中根号内分子分母同乘以2；271中根号内分子分母同乘以3，而不是27分母中含有根式 分子分母同乘以能使分母化为整式的根式21中分子分母同乘以2，321中分子分母同乘以3而不是23分母中含有根式的和（差）分子分母同乘以有理化因式 能构成平方差的形式例题1 )12013)(201220131341231121(+++++++++ =（ ）A. 2010B. 2011C. 2012D. 2013解析：此题的实质是分母有理化，合并同类二次根式后，再按平方差公式计算。
答案：解：)12013)(201220131341231121(+++++++++=)12013)(20122013342312(+-++-+-+-=2013－1 =2012。
二次根式 的性质4-分母有理化
成果应用
例1.化去下列各式分母中的根号
1 1
23 1 3
2 3 3 3
6
4 3 2
3 2
2 3 2
3 2 3 2
52 6
2 5
4 12 5
83
15 24
5 3
3 2
3 3 2
3
23
2
3 3 6 7
3 31 6 77
3 1
3 2
3
3
2
2 3
2
3 2
6 3 2
2 33 2
3 22 33 2 2 33 22 33 2
12 5 6 6
2 5 6 6
分母有理化
将分母中的根号化去，叫作分母有理化.
分母有理化
1 2 =
5 1
2 5 =
7 2
解：1 2 = 5 1
2 51
2
= 51 5 1
5 1 4
=
5 1 2
= 51 22
解：2 5 = 7 2
5 7 2 7 2 7 2
5 7 2 =
1
1
1
+
+
+
1
21 3 2 2 3 52 6 5
2 1 + 1 + 1 + 1 + 1
3 1 5 3 7 5 3 7 11 3
解：1 1 + 1 + 1 + 1 + 1
21 3 2 2 3 52 6 5
= 2 1+ 3 2+2 3+ 5 2+ 6 5
= 6 1
2 1 +
1
+
1
5.2.3 二次根式的有理化
合作交流
1.分母有理化：
把分母中的根号化去,使无理数分母变成 有理数,这个过程叫做分母有理化。
2.有理化因式：
两个含有根式（无理式）的代数式相乘， 如果它们的积为有理数（式），我们说 这两个代数式互为有理化因式.
如 2是 2的有理化式，3 1是 3－1的有理式.
例1.找出下列各式的有理化因式.
(3) a 1
(4) x2 1
(5) 27
(5) 3
(6)5 2 3 5 (6)5 2 3 5
例2.化简下列二次根式：
（1） 3 ，（2）3 2 ，（3） 1（, 4） 1
5 15
27 6
a
ห้องสมุดไป่ตู้
ab
5
3
a
a-b
例3.把下列各式有理化.
a
a-b
（1） 1 ，（2） 1 ，（3） 1 ，
3－1 3 1
课堂检测
1.写出下列各式的有理化因式：
（1） 3－ 2，（2） 2 5，（3）2 3－5 2.
2.把下列各式的分母有理化：
（1）－8 3 （2）3 2 （3） 5a （4） 2y 2
8
6 27 2a 10ay 2 xy 4xy
-2
（5）
64
，3（6）
12
xy
，（7）
1
.
7－ 11
2 3－3 2
33 2
- 7 - 11
- 2 3 3 2 6
- 1- 2 3
（4）
1
2
, (5)
3－ 5 1-
3 2
55 .
2 3
5 2- 3
47
a b a b a2 a2 a2- a-2
二次根式运算法则
二次根式运算法则二次根式运算法则是指在进行二次根式的加减、乘除运算时所遵循的一些规则和方法。
掌握了这些规则，可以帮助我们简化和求解二次根式的运算，提高计算的准确性和效率。
一、二次根式的加减法则1. 同类项相加减法则对于同类项的二次根式，可以直接对其系数进行相加或相减。
例如：√2 + √3 = √2 + √32√5 - 3√5 = -√52. 不同类项的相加减法则对于不同类项的二次根式，不能直接进行相加或相减。
需要通过化简的方式将其转化为同类项，然后再进行运算。
例如：√2 + 2√3 = √2 + 2√3(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - √6二、二次根式的乘除法则1. 二次根式的乘法法则二次根式的乘法运算可以通过将根号内的数相乘，并合并同类项的方式进行。
例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - 3 = -12. 二次根式的除法法则二次根式的除法运算可以通过将根号内的数相除，并合并同类项的方式进行。
例如：√6 ÷ √2 = √3(√6 + √2) ÷ √2 = (√6 + √2) × (√2 ÷ √2) = √3 + 1三、二次根式的化简法则对于复杂的二次根式，可以通过化简的方法将其简化为更简单的形式。
常用的化简法则有以下几种：1. 合并同类项法则将同类项的二次根式合并为一个二次根式。
例如：√2 + √2 = 2√22√3 + 3√3 = 5√32. 提取公因数法则将二次根式中的公因数提取出来，使其成为一个单独的因子。
例如：2√2 + 3√2 = 5√24√5 + 6√5 = 10√53. 有理化分母法则将二次根式的分母有理化，即将分母中的根号消去。
例如：1/√2 = √2/21/√3 = √3/3四、二次根式的运算顺序在进行二次根式的复合运算时，需要注意运算的顺序。
一般按照先乘除后加减的原则进行。
2019年春八年级数学下册第一部分新课内容第十六章二次根式第5课时二次根式的乘除(3)—分母有理化(
解：由题意,得 解得 .
.
变式训练
1.在 个数为 A．1个 B．2个 C．3个 中,最简二次根式的 （ A ）
D ．4 个
2.将下列二次根式化简为最简二次根式.
（1） ； . （2） ；
解:原式=
解:原式=
.
（3）
； .
（4）
. .
解:原式= 3.化简： （1） ；
解:原式=
（2）
.
解:原式=
4.一个矩形的面积为
第一部分
第十六章
新课内容
二次根式
第5课时 二次根式的乘除（3）——分母有理化
核心知识
1.最简二次根式满足两个条件：①被开方数不含分母；
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2.分母有理化的常用方法：分子、分母都乘适当的二次根式.
典型例题
知识点1：最简二次根式的概念
【例1】
下列二次根式是最简二次根式的是 （ C ）
解:原式=
，它的一边长为 cm，
则另一边长为__________ cm．
A． B． C． D．
（
B ）
巩固训练
第1 关
5.下列二次根式中，是最简二次根式的是
A． B． C．
（
D．
C ）
6.
A．
的倒数是
B． C．-3
（
D．
D ）
第2 关 7. 化简： （1 ） ； . （2） ； .
解：原式= （3 ） ；
按照以上的过程，解答以下问题： （1）分母有理化： （2）计算： =__________；
内部文件，请勿外传
A.
B.
C.
D.
知识点2：分母有理化——分母是数字
[数学]-专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧(原版)
![[数学]-专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧(原版)](https://img.taocdn.com/s3/m/a24c10dedc88d0d233d4b14e852458fb770b38a0.png)
专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（原卷版）第一部分 典例精析+变式训练类型一 分母有理化技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。
典例1（2021秋•曲阳县期末）把√3a √12ab 化去分母中的根号后得（ ） A ．4bB ．2√bC ．12√bD ．√b 2b 变式训练1．（2022春•东莞市期中）化简：√8= ． 2．（2021春•龙山县期末）把√12√2a 化成最简二次根式，结果是 ． 技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母典例2（2022春•乳山市期末）【材料阅读】 把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．例如：化简√2+1． 解：√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1．上述化简的过程，就是进行分母有理化．【问题解决】（1）化简2−√3的结果为： ；（2）猜想：若n 是正整数，则√n+1+√n 进行分母有理化的结果为： ； （3）若有理数a ，b 满足√2−1+√2+1=2√2−1，求a ，b 的值．变式训练 1．（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：2+√5= ．2．（2022秋•牡丹区期末）若3−√7的整数部分是a ，小数部分是b ，则a 2+（1+√7）ab ＝ ．技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简典例3 化简：3332变式训练：1.化简： 2224(2)24x x x x x技巧4 分解因式法：利用平方差公式和完全平方公式因式分解，然后约分化简。
典例4 （2022秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值√x+√y +√xy+y √x−√y，其中x ＝5，y =15． 针对训练：化简： （1y （24323技巧5 裂项相消法：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。
24．观察下面式子的化简过程：√6√2+√3+√5=√6+3)−5√2+√3+√5=√2+√3)2√5)2√2+√3+√5=√2+√3−√5．化简√10√5+√13+√8，并将这一问题作尽可能的推广．变式训练：12235(23)(35)类型二分子有理化典例6（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：√7−√6=(√7−√6)(√7+√6)√7+√6=1√7+√6．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较√7−√6和√6−√5的大小．可以先将它们分子有理化．如下：√7−√6=√7+√6√6−√5=√6+√5．因为√7+√6＞√6+√5，所以√7−√6＜√6−√5．再例如：求y=√x+2−√x−2的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=√x+2−√x−2=√x+2+√x−2．当x＝2时，分母√x+2+√x−2有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较3√2−4和2√3−√10的大小；（2）求y=√1+x−√x的最大值．针对训练1．（青羊区校级期中）已知a=√2−1，b＝3﹣2√2，c=√3−√2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b2．（2020秋•武侯区校级月考）计算：（1）比较√15−√14和√14−√13的大小；（2）求y=√x+1−√x−1+3的最大值．第二部分 专题提优训练1．（2022秋•绥化期末）化简√21√3的结果是 ． 2．（2021秋•阳城县期末）化简√8√20的结果是 ． 3．（2021秋•徐汇区校级期中）化简：√x−3−1= ． 4．（2021春•宁阳县期末）化简√12= ，√2−1= ． 5．（2012秋•珙县校级月考）化简：2−√3= ． 6．（2021春•江城区期末）化简√2√27的结果是 ． 7．（2022秋•宝山区校级期中）已知：x =√3+√2√3−√2，y =√3−√2√3+√2，求x 2+xy +y 2的平方根．8．（2022春•普陀区校级期末）计算：√5−√5−1．9．（2021秋•浦东新区校级月考）计算：√32+√3−1+√3．10．（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．如：√2+1√2−1=√2+1)(√2+1)(√2−1)(√2+1)=3+2√2． 除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．如：化简√2+√3√2−√3．解：设x =√2+√3−√2−√3，易知√2+√3＞√2−√3，故x ＞0．由于x 2＝（√2+√3√2−√3）2＝2+√3+2−√3−2√(2+√3)(2−√3)=2．解得x =√2，即√2+√3−√2−√3=√2根据以上方法，化简：√23+2√2+√√−√√11．（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+√3）（2−√3）＝1，（√5+√2）（√5−√2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中√3=√3√3×√3=√33√32−√3=√3)(2+√3)(2−√3)(2+√3)=7+4√3．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4+√7的有理化因式可以是，3√2分母有理化得．（2）计算：①1+√2+√2+√3+√3+√4+⋯+√1999+√2000．②已知：x=√3−1√3+1，y=√3+1√3−1，求x2+y2的值．12．（2022春•钢城区期末）阅读下列解题过程：√2+1=√2−1)(√2+1)×(√2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1；√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2(√3)2−(√2)2=√3−√2．请回答下列问题：（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．①√7+√6=；②√n+√n−1=；（2）应用：求√2+1+√3+√2+√4+√3+√5+√4+⋯+√10+√9的值；（3）拓广：√3−1−√5−√3+√7−√5−√9−√7=．13．（2021春•广饶县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简√3+√2 解：√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2材料二：化简√a +2√b m ，n ，使m 2+n 2＝a ，并且mn ＝b ，那么√a ±2√b =√m 2+n 2±2mn =√(m ±n)2=m ±n ．例如：化简√3±2√2解：√3±2√2=√(√2)2+12+2√2=√(√2+1)2=√2+1【理解应用】（1）填空：化简√5+√3√5−√3的结果等于 ． （2）计算：①√7−2√10；②√2+1+√3+√2+2+√3+⋯+√2020+√2019+√2021+√2020．14．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：√7−√6=√7−√6)(√7+√6)√7+√6=√7+√6． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较√7−√6和√6−√5的大小可以先将它们分子有理化如下：√7−√6=√7+√6，√6−√5=√6+√5． 因为√7+√6＞√6+√5，所以，√7−√6＜√6−√5．再例如，求y =√x +2−√x −2的最大值、做法如下：解：由x +2≥0，x ﹣2≥0可知x ≥2，而y =√x +2−√x −2=√x+2+√x−2． 当x ＝2时，分母√x +2+√x −2有最小值2．所以y 的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题：（1）比较√15−√14和√14−√13的大小；（2）求y =√x +1−√x −1+3的最大值．。
分母有理化及最简二次根式
综合练习题
题目
化简二次根式$frac{sqrt{3} + sqrt{6}}{sqrt{3} - sqrt{6}}$。
解析
首先将分子分母同乘以$sqrt{3} + sqrt{6}$，得到$frac{(sqrt{3} + sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})}{(sqrt{3} - sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})} = frac{3 + 2sqrt{18} + 6}{3 - 6} = frac{-9sqrt{2}}{3} = -sqrt{2}$。
04
练习题与解析
基础练习题
题目
化简二次根式$frac{1}{sqrt{2}}$。
题目
化简二次根式$frac{sqrt{3}}{sqrt{6}}$。
解析
首先将分母有理化，即分子分母同乘以$sqrt{2}$， 得到$frac{1}{sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}$。
根式。
判断被开方数的因式是否为整式
03
检查被开方数的因式是否为整式，若不是整式则不是最简二次
根式。
化简技巧
提取公因式法
将根号内的多项式进行因式分解，提取公因式，简化根式。
分母有理化法
通过乘以共轭式的方法，将分母化为有理数，从而简化根式。
分子有理化法
在分子或分母有理化时，有时需要采用分子有理化的方法，即将分 子或分母同时乘以共轭因子，以简化根式。
题目
化简二次根式$frac{sqrt{5}}{sqrt{5} + 2sqrt{5}}$。
VS
二次根式基本运算(根式加减)分母有理化讲义
内容 基本要求 略高要求较高要求二次根式的化简和运算 理解二次根式的加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化）板块一 二次根式的乘除最简二次根式：a 0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： ⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） ⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 ⑶分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式． 二次根式的乘法法则a b ab 0a ≥，0b ≥） 二次根式的除法法则a a bb =（0a ≥，0b >）利用这两个法则时注意a 、b ab a b =a 、b 都非负，否则不成立， (7)(5)(7)(5)-⋅---一、二次根式的加减1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 合并同类二次根式：(x x a b x +=+【例1】 35a -3a +是可以合并的二次根式，则____a =。
【例2】 a ）A ．2aB ．23aC ．3aD ．4a中考要求例题精讲二次根式基本运算、分母有理化【巩固】判断下列各组二次根式是不是同类二次根式：【例3】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数）．【例4】若最简二次根式a2b-的值．a【巩固】若a b，的值是（），为非负数，a a bA．02a b，或11==，D．20====，a b==a b，B．11a b，C．02==a b【例5】已知最简根式a a,b的值（）A．不存在B．有一组C．有二组D．多于二组【巩固】若a a，b为整数，则a=______，b=________；【例6】=的整数解有组.…这1999是同类二次根式的共有多少个？2.二次根式的加减【例7】【例8】【巩固】-【例9】3【例10】计算：+【巩固】计算：-【例11】 计算：-【巩固】+-【例12】 先化简后求值。
二次根式专项训练-最简有理数分母有理化
二次根式专项训练-最简有理数分母有理化二次根式专项训练 - 最简有理数分母有理化概述本文档旨在提供一个专项训练，帮助学生掌握最简有理数分母有理化的技巧。
最简有理数分母有理化是解决二次根式中分母中包含根号的问题，使其变为有理数的过程。
问题描述下面是一系列的问题，每个问题都涉及到最简有理数分母有理化。
请仔细阅读问题，并给出解答。
1. 分解下列各式中的因式：$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$。
2. 将分数$\frac{1}{\sqrt{2}}$进行分母有理化。
3. 将分数$\frac{3}{\sqrt{3}}$进行分母有理化。
4. 将分数$\frac{4}{\sqrt{5}}$进行分母有理化。
解答1. $\sqrt{2}$的因式分解为$\sqrt{2}$本身。
$\sqrt{3}$的因式分解为$\sqrt{3}$本身。
$\sqrt{5}$的因式分解为$\sqrt{5}$本身。
2. 分数$\frac{1}{\sqrt{2}}$的分母有理化过程如下：$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$3. 分数$\frac{3}{\sqrt{3}}$的分母有理化过程如下：$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$4. 分数$\frac{4}{\sqrt{5}}$的分母有理化过程如下：$\frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$小结最简有理数分母有理化是解决二次根式中分母中包含根号的问题的方法，将其转化为有理数，从而便于计算和简化。
专题03 二次根式之分母有理化(解析版)
专题03 二次根式之分母有理化一、例题讲解1.（2020-2021·安徽·月考试卷） 计算(1−23−4)×(2345)−(1−√2√3√4√5)×(√2√3+√4的结果等于( )A.12 B.√55 C.√33 D.√22【答案】B【解答】解：设a =√2√3√4，原式=(1−a )(a √5)−(1−a −√5)×a =a √5−a 2√5a +a 2+√5=√55．故选B ．2.（2020-2021·广东·月考试卷） 已知：a =2−√3，b =√3+2，则√a 2+ab +b 2的值为( )A.5B.17C.√15D.√17【答案】C【解答】解：∵ a =2−√3=√3+2(2−√3)(√3+2)=√3+2，b =√3+2=√3(2−√3)(√3+2)=2−√3，∵ a +b =4，ab =(2−√3)(2+√3)=22−3=1，∵ √a 2+ab +b 2=√(a +b )2−ab =√42−1=√15.故选C .3.（2020-2021·江苏·月考试卷） 若x =√5+1，y =√5−1，则x−yx 2−y 2的值为________. 【答案】√510【解答】解：∵x =√5+1，y =√5−1， ∴x +y =√5+1+√5−1=2√5，∴x−y x 2−y 2=x−y (x+y )(x−y )=1x+y=2√5=√510.故答案为：√510.4.（2020-2021·湖南·期末试卷） 化简题中，有四个同学的解法如下： ①√5+√2=√5−√2)(√5+√2)(√5−√2)=√5−√2，②√5+√2=√5+√2)(√5−√2)√5+√2=√5−√2， ③√a+√b=√a−√b)(√a+√b)(√a−√b)=√a −√b ，④√a+√b=√a+√b)(√a−√b)√a+√b=√a −√b .他们的解法，正确的是________.（填序号） 【答案】①②④【解答】解：①√5+√2=√5−√2)(√5+√2)(√5−√2)=√5−√2，故①正确；②√5+√2=√5+√2)(√5−√2)√5+√2=√5−√2，故②正确；③√a+√b （√a −√b ≠0）=√a−√b)(√a+√b)(√a−√b)=(a−b )(√a−√b)a−b=√a −√b ，故③错误；④a+√b=√a+√b)(√a−√b)a+√b=√a −√b ，故④正确.综上所述，计算正确的有①②④.故答案为：①②④.5.（2020-2021·安徽·月考试卷） 阅读材料，然后解答下列问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如3，3+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=53√3； √3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=2(√3−1)2=√3−1；√3+1=√3+1=√3+1)(√3−1)√3+1=√3−1.以上这种化简的方法叫分母有理化． 解决问题： (1)用上述方法化简5+3；(2)比较大小：√19−3√2与3√2−√17；(3)化简：√3+1√5+√3√7+√5⋯+√2021+√2019．【答案】解：√5+√3=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=2(√5−√3)5−3=√5−√3．√19−3√2=√19+√18)(√19−√18)(√19+√18)=√19+√18，3√2−√17=√18+√17)(√18−√17)(√18+√17)=√18+√17，∵√19>√17，∴√19+√18>√18+√17，∴√19−3√2>3√2−√17．(3)原式=√3−12+√5−√32+√7−√52+⋯+√2019−√20172+√2021−√20192=√2021−12．6.（2020-2021·安徽·月考试卷） 阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如：(√3+√2)⋅(√3−√2)=(√3)2−(√2)2=1；(√5+√2)(√5−√2)=(√5)2−(√2)2=3，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如√32−√3=√3)(2+√3)(2−√3)(2+√3)=7+4√3；√3=√3√3×√3=√33，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫作分母有理化．解决问题： (1)3+√7的有理化因式是________，√2+1分母有理化得________；(2)比较大小：√6−2________ 3−√7（用“>”“<”或“=”填空）；(3)计算：√5+13+√5√13+3+⋯+√2017+√2013√2021+√2017.【解答】解：(1)∵(3+√7)(3−√7)=32−(√7)2=2，∴3+√7的有理化因式是3−√7.√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1.故答案为：3−√7；√2−1.√6−2=√6+2(√6−2)(√6+2)=√6+22，3−√7=√7(3−√7)(3+√7)=3+√72，∵√6+22<3+√72，∴√6−2<3−√7.<. (3)原式=√5−1)(√5+1)(√5−1)√5)(3+√5)(3−√5)√13−3)(√13+3)(√13−3)⋯+√2017−√2013)(2017+2013)(2017−√2013)√2021−√2017)(√2021+√2017)(√2021−√2017)=√5−1+3−√5+√13−3+⋯+√2017−√2013+√2021−√2017=√2021−1．7.（2020-2021·安徽·月考试卷） 像√2×√2=2， (√3+1)×(√3−1)=2， (√5+√2)×(√5−√2)=3…两个含有二次根式的式子相乘，积不含有二次根式，则称这两个式子互为有理化因式． 爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号． 例1：23=√323×3=√36； 例2：√2+1√2−1=√2+1)2(√2−1)×(√2+1)=2+2√2+12−1=3+2√2.请你解决下列问题：(1)2√3−3√5的有理化因式可以是（ ） A.2√3−3√5 B.2√3+3√5 C.√3−√5 D.√3+√5(2)化简：√32+√3.【解答】解：(1)(2√3−3√5)(2√3+3√5)=(2√3)2−(3√5)2=12−45=−33， ∵ 2√3−3√5的有理化因式为2√3+3√5.故选B. (2√32+√3=√3√3⋅√3√3(2+√3)(2−√3)=√3+2−√34−3=2.8.（2020-2021·安徽·月考试卷） 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知a =2+√3，求2a 2−8a +1的值．他是这样解答的：∵ a =2+3=√3(2+3)(2−3)=2−√3，∵ a −2=−√3，∵ (a −2)2=3，即a 2−4a +4=3，∵ a 2−4a =−1，∵ 2a 2−8a +1=2(a 2−4a )+1=2×(−1)+1=−1． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： 3+2=________； (2)化简：√2+1√3+√2√4+√3⋯+√169+√168；(3)若a =√5−2，求a 4−4a 3−4a +3的值．【解答】解：3+2=√3−√2(3+2)(3−2)=√3−√2.故答案为：√3−√2.(2)原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√169−√168=√169−1=13−1=12. (3)∵ a =√5−2=√5+2，∵ a −2=√5，∵ (a −2)2=5，即a 2−4a +4=5，∵ a 2−4a =1，∵ a 4−4a 3−4a +3=a 2(a 2−4a )−4a +3=a 2×1−4a +3=a 2−4a +3=1+3=4．9.（2020-2021·江西·期中试卷） 观察下列运算过程：1+2=2+1=√2−1(2+1)(2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1，√2+√3=√3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2(√3)2−(√2)2=√3−√2． (1)请运用上面的运算方法计算：1+√3√3+√5√5+√7；(2)利用上面的规律，比较√11−√10与√12−√11的大小． 【答案】解：1+√3+√3+√5√5+√7=√3−12+√5−√32+√7−√52=√7−12. (2)∵ √11−√10=√11+√10，√12−√11=√12+√11， ∵ √11+√10<√12+√11，∵ √11+√10>√12+√11，即√11−√10>√12−√11．二、实战演练1.（2020-2021·安徽·月考试卷） 已知a =√3+√2 ，b =√3−√2，那么a 与b 的关系为( )A.互为相反数B.互为倒数C.相等D.a 是b 的平方根【答案】C 【解答】解：∵ b =√3−√2=√3+√2(√3−√2)(√3+√2)=√3+√2，∴ a =b ．故选C ．2.（2020-2021·湖南·月考试卷） 若x =2−1，则x 2−2x =( )A.√2B.1C.2+√2D.√2−1【答案】B 【解答】解：∵ x =√2−1=√2+1(√2−1)(√2+1)=√2+1，∵ x 2−2x =x(x −2)=(√2+1)(√2+1−2)=2−1=1．故选B .3.（2020-2021·湖南·期末试卷） 已知x =√7−2，a 是x 整数部分，b 是x 的小数部分，则ba =________. 【答案】√7−24【解答】解：∵x =√7−2=√7+2，又2<√7<3，∴4<√7+2<5，即4<x <5，∴a =4，b =√7+2−4=√7−2，∴ba =√7−24.故答案为：√7−24.4.（2020-2021·山西·月考试卷） 在数学课外学习活动中，小华和他的同学遇到一道题： 已知a =2+√3，求a +1的值．小华是这样解答的：∵ a =2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∵ a +1=3−√3．请你根据小华的解题过程，解决下列问题． (1)填空√3−√2=________；√3−1=________．(2)化简√2+1√3+√2√4+√3⋯√289+√288．(3)若a =5−3，求(2a −√3)2−1的值．【解答】解：√3−√2=√3−√2(√3−√2)(√3+√2)=√3+√2;√3−1=√3−1(√3−1)(√3+1)=√3+12.故答案为：√3+√2；√3+12. (2)原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√289−√288=√289−1=17−1=16． (3)∵a =√5−√3=√5+√3(√5−√3)(√5+√3)=√5+√32，∴2a =√5+√3，∴(2a −√3)2=5，∴(2a −√3)2−1=4．5.（2020-2021·安徽·期中试卷） 阅读下面的材料，并解决问题．√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1； √3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；⋯⋯(1)观察上式并填空：√4+√3=________；(2)观察上述规律并猜想：当n 是正整数时，√n+1+√n=________；（用含n 的式子表示，不用说明理由）(3)请利用(2)的结论计算： ①(√2+1√3+√2√4+√3+√5+√4)×(√5+1)=________； ②(√2+1√3+√2+⋯√2020+√2019√2021+√2020)×(√2021+1).【解答】解：√4+√3=√4−√3(√4+√3)(√4−√3)=√4−√3=2−√3.故答案为：2−√3.(2)1√n+1+√n=√n+1−√n(√n+1+√n)(√n+1−√n)=√n +1−√n ．故答案为：√n +1−√n．(3)①原式=(√5−1)×(√5+1)=5−1=4. 故答案为：4．②原式=(√2−1+√3−√2+⋯+√2020−√2019+√2021−√2020)×(√2021+1) =(√2021−1)(√2021+1)=2021−1=2020．6.（2020-2021·福建·月考试卷） 阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时， 我们有时会碰上如√3，√23，√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=5√33；√23=√2×33×3=√63； √3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=2(√3−1)(√3)2−12=√3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．(1)化简：√3=________；√25=________；√5+√3=________； (2)化简：√3+1+√5+√3√7+√5⋯+√2019+√2017；(3)已知x =√5−√3√5+√3，y =√5+√3√5−√3，求y x +xy的值．【解答】解：√3=√3√3×√3=2√33；√25=√2√5=√2×√5√5×√5=√105；√5+√3=√5−√3(√5+√3)(√5−√3)=√5−√32. 故答案为：2√33；√105；√5−√32. √3+1√5+√3√7+√5⋯√2019+√2017=√3−1(√3+1)(√3−1)√5−√3(√5+√3)(√5−√3)√7−√5(√7+√5)(√7−√5)⋯+√2019−√2017(√2019+√2017)(√2019−√2017) =√3−12+√5−√32+√7−√52+⋯+√2019−√20172=√2019−12. (3)∵x =√5−√3√5+√3，y =√5+√3√5−√3，∴x 2=(√5−√3)2(√5+√3)2=√158+2√15，y 2=(√5+√3)2(√5−√3)2=√158−2√15，xy =√5−√3√5+√3√5+√3√5−√3=1，∴yx +xy =y 2+x 2xy=8+2√158−2√15+8−2√158+2√151=√158−2√15√158+2√15=√15)2√15)2(8−2√15)(8+2√15)=64+32√15+60+64−32√15+6064−60=62.7.（2020-2021·河北·月考试卷） 阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为√a×√a=a，(√2+1)(√2−1)=1，所以√a与√a，√2+1与√2−1互为有理化因式.(1)2√3−1的有理化因式是________；(2)这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：√3=√3√3×√3=2√33，√5+√3√5−√3=√5+√3)2(√5−√3)(√5+√3)=5+2√15+35−3=8+2√152=4+√15.用上述方法对√32+3进行分母有理化.(3)利用所需知识判断．若a=2+√5，b=2−√5则a，b的关系是________；(4)直接写结果：(√2+1√3+√2√2020+√2019)(√2020+1)=________.【解答】解：(1)(2√3−1)(2√3+1)=12−1=11，故2√3−1的有理化因式为2√3+1.故答案为：2√3+1.√3 2+√3=√3)2(2+√3)(2−√3)=4−4√3+34−3=7−4√3.(3)a=√5(2+√5)(2−√5)=√5−2=−b.故答案为：a和b互为相反数.(4)原式=(√2−1+√3−√2+⋯+√2020−√2019)×(√2020+1)=(√2020−1)×(√2020+1)=2020−1=2019.故答案为：2019.8.（2020-2021·河北·期中试卷）写作业时，小明被一道题难住了：“若a=3+√10，求a2+6a−27的值．”老师给予了必要的方法提示；不宜直接代入计算，需要先化简已知式，如a=2+√3.∵a=2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∵ a−2=−√3.……请你根据老师的提示，解决如下问题：(1)计算：3+√6=__________；(2)若a=3+√10，求a2+6a−27的值．【解答】解：3+√6=√6(3+√6)(3−√6)=3−√63.故答案为：3−√63.(2)∵ a=3+√10=√10(3+√10)(3−√10)=√10−3，∵ a+3=√10,∵ a2+6a−27=(a+3)2−36=(√10)2−36=−26.9.（2020-2021·河南·月考试卷）观察下列一组等式，然后解答后面的问题：(√2+1)(√2−1)=1，(√3+√2)(√3−√2)=1，(√4+√3)(√4−√3)=1，(√5+√4)(√5−√4)=1......(1)观察上面的规律，计算下面的式子：√2+1+√3+√2√4+√3⋯+√2020+√2019；(2)利用上面的规律，试比较√11−√10与√12−√11的大小．【答案】解：(1)原式=(√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2020−√2019)=√2020−1. (2)√11−√10=11+10，√12−√11=12+11.∵ √11+√10<√12+√11．∵√11+√10>√12+√11，即√11−√10>√12−√11．三、课后练习1.（2020-2021·湖南·月考试卷） 若x =2+√3，y =2−√3，则x 与y 关系是( )A.x >yB.x =yC.x <yD.xy =1【答案】B【解答】解：∵ y =2−√3=√3(2−√3)(2+√3)=2+√3，而x =2+√3，∵ x =y ．故选B ．2.（2020-2021·山西·月考试卷） 已知：a =2−√3，b =2+√3，则a 与b 的关系是( )A.a −b =0B.a +b =0C.ab =1D.a 2=b 2【答案】C【解答】解：∵ a =2−√3=√3(2−√3)(2+√3)=2+√3，b =2+√3=√3(2−√3)(2+√3)=2−√3，∵ a +b =4，a −b =2√3，ab =(2+√3)(2−√3)=22−(√3)2=1， a 2=7+4√3，b 2=7−4√3，a 2≠b 2.故选C .3.（2020-2021·上海·月考试卷） 已知a =√3+√2，b =√3−√2，则a 2−b 2的值是________． 【答案】−4√6 【解答】解：∵ a =√3+√2=√3−√2，b =√3−√2=√3+√2，∵ a 2−b 2=(a +b )(a −b )=2√3×(−2√2)=−4√6.故答案为：−4√6.4.（2020-2021·安徽·月考试卷） 阅读下列解题过程：√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1； √3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2； √4+√3=√4−√3(√4+√3)(√4−√3)=2−√3；…解答下列各题：√10+√9=________；(2)观察上面的解题过程，请直接写出式子√n+√n−1=________；(3)利用这一规律计算：(√2+1√3+√2√4+√3⋯√2022+√2021)×(√2022+1).【解答】解：√10+√9=√10−√9(√10+√9)(√10−√9)=√10−3.故答案为：√10−3.√n+√n−1=√n−√n−1(√n+√n−1)(√n−√n−1)=√n−√n−1.故答案为：√n−√n−1.(3)原式=(√2−1+√3−√2+⋯+√2022−√2021)(√2022+1)=(√2022−1)(√2022+1)=2022−1= 2021．5.（2020-2021·安徽·月考试卷）把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①√5=√5√5×√5=2√55；②√2−1=√2+1)(√2−1)(√2+1)=√2+1(√2)2−12=√2+1．根据上述材料，回答下列问题．(1)化简√3−1，(2)计算2+13+24+3⋯20+19．【答案】解：(1)原式=√3+1)(√3−1)(√3+1)=(√3+1)．(2)原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋅⋅⋅+√20−√19=√20−1=2√5−1．6.（2020-2021·广东·月考试卷）观察下列一组等式，解答后面的问题：(√2+1)(√2−1)=1，(√3+√2)(√3−√2)=1，(√4+√3)(√4−√3)=1，(√5+√4)(√5−√4)=1，⋯(1)根据上面的规律，计算下列式子的值：(√2+1√3+√2√4+√3√2016+√2015)(√2016+1)；(2)利用上面的规律，比较√12−√11与√13−√12的大小．【答案】解：(1)原式=(√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2016−√2015)(√2016+1)=(√2016+ 1)(√2016−1)=2016−1=2015.(2)√12−√11=√12−√11)(√12+√11)√12+√11=√12+√11=√12+√11，√13−√12=√13−√12)(√13+√12)√13+√12=√13+√12=√13+√12，又√12+√11<√13+√12．∵ √12−√11>√13−√12．7.（2020-2021·广东·月考试卷） 小明在解决问题：已知a =2+√3，求2a 2−8a +1的值，他是这样分析与解答的：因为 a =2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，所以a −2=−√3，所以(a −2)2=3，即a 2−4a +4=3，所以a 2−4a =−1， 所以2a 2−8a +1=2(a 2−4a )+1=2×(−1)+1=−1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算： √7+√6=________；(2) √2+1√3+√2√4+√3+⋯√100+√99；(3)若a =√2−1，求4a 2−8a +1的值．【解答】解：√7+√6=√7+√6(√7+√6)(√7−√6)=√7+√6.故答案为：√7+√6.(2)原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√100−√99=√100−1=9. (3)因为a =√2−1=√2+1(√2−1)(√2+1)=√2+1，所以a −1=√2，所以(a −1)2=2，即a 2−2a +1=2，所以a 2−2a =1， 所以4a 2−8a +1=4(a 2−2a)+1=4×1+1=5. 8.（2020-2021·上海·月考试卷） 已知：x =3−2√2，求x 2−6x+2x−3的值．【答案】解：∵ x =3−2√2=√2(3−2√2)(3+2√2)=3+2√2，∵ 原式=(x−3)2+2−9x−3=√2−3)23+2√2−3=2√2=√22√2×√2=√24．9.（2020-2021·广东·月考试卷） 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如√3，√23，√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=5√33（一）， √23=√2×33×3=√63（二）， √3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1)(√3)2−12=√3−1（三），以上这种化简的步骤叫做分母有理化．√3+1还可以用以下方法化简：√3+1=√3+1=√3)22√3+1=√3+1)(√3−1)√3+1=√3−1（四）.(1)直接写出化简结果①√2+1=________，②√5=________；(2)请选择适当的方法化简√5+√3；(3)化简：√3+1√5+√3√7+√5⋯+√2n+1+√2n−1．【解答】解：(1)①√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1；②√5=√5√5×√5=√55.故答案为：√2−1；√55.(2)原式=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=2(√5−√3)5−3=√5−√3.(3)原式=√3−12+√5−√32+√7−√52+⋯+√2n+1−√2n−12=√2n+1−12．。
二次根式的四则运算
二次根式的四则运算知识梳理一、二次根式的乘除（1）积的算术平方根性质： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0） （2）二次根式的乘法法则： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0） （3）商的算术平方根的性质：bab a =（a ≥0，b ＞0） （4）二次根式的除法法则：b aba = （a ≥0，b ＞0） 二、分母有理化分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 三、同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 四、二次根式的（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 五、二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．例题讲解例1.计算：（1）52⨯ （2）3221⨯ （3）8326⨯- （4）1052⨯⨯ 例2.化简（1）54⨯ （2）24 （3）()()4936-⨯- （4）()0,0424>>y x y x例3.计算下列各题 （1）312 （2）8123÷ （3）()72214-÷（4）531513÷（5）xyy 24针对练习1.已知()22-=-•a a a a 成立，则a 的取值范围是 .2.能使88-=-x xx x成立，则x 的取值范围是 . 3.化简下列二次根式：=90 =5.2=29 =3127a b ()=-≤++41682a a a 4.计算并化简（1）2863⨯ （2）6331227⨯⨯（3）322214÷- （4）()0113>÷a a bb a b a5.计算（1）6122÷⨯ （2）27121331⨯÷（3）32223513459⨯÷ （4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷b a b b a 16.若a =5，b =17，则85.0的值用a ，b 可以表示为 . 7．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a 、b 使a +b ＝m ，ab ＝n ，这样（）2+（）2＝m ，•＝，那么便有＝()2ba ±＝±（a ＞b ）例如：化简解：首先把化为，这里m ＝7，n ＝12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，∴＝＝()234+＝2+由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）．例题讲解例4.计算 （1）2324+ （2）12273+-（3）x x x x 1246932-+ （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6813225.024例5.计算（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12814482 （2）()6342221⨯-例6.计算 （1）()62322+- （2）()()22322232---针对练习1．若最简二次根式与可以合并，则a＝．2．计算：2+++3﹣+（+5）﹣﹣+（+）（﹣）（）（2﹣3）÷（﹣）（+）+2 （）2﹣（2）（2）（1+）（）﹣（2）2 （）×﹣（）（）3.计算（1）()()322122-+ （2）()()201920182525+•-4.先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+xy y x x xy y x y x 364363，其中23=x ，27=y .5.已知()3521+=a ，()3521-=b ，求22b ab a ++ .。
分母有理化——分母不能无理
分母不能无理——知识要点1.有理化因式⑴定义：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.⑴确定方法：a=来确定．.②两项二次根式：利用平方差公式()()22bababa-=-+来确定．如a+a分别互为有理化因式。
2.分母有理化的方法与步骤①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
典型例题例1单项二次根式的分母有理化（1）15362；（2）32；（3）421；（4）32121；（5）50381-；两项二次根式的分母有理化（1）1485--；（2）23322-；（3）2331-；（4）584+；（5（6（7）233223-- （8）3535-+（9）1555-- （10）1222-+例2 已知x=3,y=21,求xy xy x x +--431的值。
例3 若111122312231-+--=+=y x ,y ,x 求的值。
例4先把下列各式分母有理化，后计算求值：（1）3641)32(312-++÷-；（2）352521231++-+-（3）199819991341231121++++++++例5已知x =y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+课堂练习1． 把下列各式分母有理化并求出结果：（1）133- （2）532+ （3）3252+（4）53353553-- （5）634 （6）4052（7）561- （8）523+ （9）1435615--（10）633- （11）2263329-- （12）704091.÷+-（13）1830..÷ （14）8132-（15）2713814502--.（16）5125⨯（17）27231241÷- （18）2)251(-（19）612313214-- （20）257276731-+-++（21）++++++341231121 (9)101++课后作业1． 写出下列各根式的有理化因式。
二次根式,分母有理化
an dAl l t h i ng s上海市延吉第二初级中学数学拓展教学案年级：八 授课教师：丁晓玲 授课时间： 2013 年 9 月日课 题1:二次根式分母分子有理化课时2第1课时（本章总课时：11） 课型新授学习目标（涵盖教学目标的三个维度）1．理解有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化2．能利用分母有理化进行二次根式加减乘除及混合运算，会解系数或常数项含二次根式的一元一次方程和一元一次不等式.3．在学习过程中体会类比、化归的数学思想方法。
教学重点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。
教学难点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。
教学过程教师活动学生活动教学设计说明一、复习引入新课回顾如何将分母有理化x1 二、典 例讲 解、巩固 练 习一、解答题(共15道，每道8分)1.已知a<0，化简—答案：解：原式==∵ ∴ 从而 求得： 又∵a<0, ∴a=-1.解题思路：先用完全平方式对根号下的式子化简，然后根据算术平方根的双重非负性得出a 的值，代入求解易错点：算术平方根的双重非负性和完全平方式试题难度：四颗星 知识点：实数的综合运算 2.若，求答案：解：∴an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 从而解题思路：先算的平方，利用完全平方式出现,从而再开方求出结果易错点：完全平方公式，开方的时候判断符号试题难度：三颗星 知识点：完全平方公式3.化简：（1） （2）答案：（1）原式====（2）原式==== =解题思路：将根号下的式子化成完全平方的形式，再进行开方易错点：将根号下的式子化成完全平方的形式试题难度：四颗星 知识点：实数的综合运算 4.答案：解：原式===3-1 =2解题思路：把根号下的式子化成完全平方式的形式，然后进行开方得出结果易错点：完全平方式和算术平方根的双重非负性试题难度：三颗星 知识点：完全平方公式 5. 若a 、b 为有理数，且满足等式，求a+b 的值答案：解：∵an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o ∴等式右边=对照等式两端，可得：a3，b=1 ∴a+b=4解题思路：先把根号下的式子写成完全平方的形式，开方后对照系数求出a 和b 的值，从而求出a+b 的值易错点：完全平方公式试题难度：五颗星 知识点：实数的综合运算6. 化简：(1) (2)答案：解：（1）原式=||—==(2)原式==解题思路：求解时从前往后每步按照运算法则求解易错点：分母有理化，算术平方根的双重非负性，最简二次根式试题难度：二颗星 知识点：实数的综合运算7. 若，求的值答案：解：===|a|-|b|其中，∴原式==2解题思路：先化简，在求值易错点：分母有理化试题难度：三颗星 知识点：实数的综合运算 8.若，求的值答案：解：对等号左端分子有理化：an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 得：已知:从而解出：∴a=5代入原式得：解题思路：根据已知条件的特点，想到用分子有理化，进而解一个方程组得出a 的值，从而代入要求解的式子里，用完全平方式得出结果易错点：分子有理化试题难度：五颗星 知识点：完全平方公式9.答案：=解题思路：化简求值，注意观察特点易错点：平方差公式试题难度：二颗星 知识点：平方差公式10. 已知，求x2y2，答案：解：从而==解题思路：利用分母有理化和完全平方式求解易错点：分母有理化，完全平方公式试题难度：三颗星 知识点：实数的综合运算11.若,则ab 的值为？an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 解题思路：观察到b 可以分解为两个因式乘积，从而可以进行约分易错点：因式分解试题难度：二颗星 知识点：因式分解--提取公因式 12. 比较大小：（1）设，则a 、b 、c 之间的大小关系是？（2）（2011上海）如果a ＞b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是（ ）A. a ＋c ＞b ＋c B. c －a ＞c －bC. ac ＞bc D.（3）通过估算比较与1.5的大小（4）比较与2.9的大小答案：解：（1）由,得：a<b<c （2）不妨取a=1,b=0,c=-1,带入验证可得：A 为正确选项（3），其中由于，所以（4）∵29>24.389，∴解题思路：不同类型的数比较大小，要根据其特点选择不同的方法，第一题可以看到两根号下的数相加和相同，这个时候要想到用同时n 次方，这里是同时平方； 第二道题是选择题，不需要书写步骤，用特殊值代入更为简便，还可以保证正确率 第三道题利用形似法，第四道题利用的同时n 次方。
二次根式专项训练-最简根式分母有理化
二次根式专项训练-最简根式分母有理化.txt二次根式专项训练-最简根式分母有理化介绍这份文档是关于二次根式最简根式分母有理化的专项训练。
最简根式分母有理化是一种将二次根式分母中的无理数化简成有理数的方法。
在本文档中，我们将提供一些练题来帮助您熟练掌握这一技巧。
练题以下是一些二次根式最简根式分母有理化的练题，请您尝试解答：1. 将 $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ 的分母有理化。
2. 将 $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ 的分母有理化。
3. 将 $\frac{1}{\sqrt{7}-3\sqrt{2}}$ 的分母有理化。
4. 将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}$ 的分母有理化。
5. 将 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ 的分母有理化。
请注意，这些练题的目的是让您熟悉最简根式分母有理化的方法和步骤。
在解答时，请留意化简的规律和技巧。
答案以下是练题的答案：1. $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}$2. $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}$3. $\frac{\sqrt{7}+3\sqrt{2}}{7-3\cdot 2}$4. $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{2-5}$5. $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3}$以上答案均为经过最简根式分母有理化后的结果。
总结通过这些练习题，您可以更好地掌握二次根式最简根式分母有理化的方法。
理解和熟练运用这一技巧将有助于您在数学问题中简化计算并得到更简洁的答案。
希望这份文档对您的学习有所帮助！。
分母有理化(根式).
2a a＋b
＝
2 a a＋ b a＋ b •
2a a＋b ＝ a＋ b a＋b
注意：要进行分母有理化，一般是把分子分母 即将分母中根号下的被开方数写成完全平方数（式） 都乘以一个适当的代数式，使分母不含根号 的形式
分母是一个多项式
2 2 (2) 计算： （1） 2- 1 a-
b
解： (1)
2 = 2- 1 = 2
解：原式
2015 1 .
2 1 3 2 2015 1 2015 1 2014
2015 2014
2015 1
(2)
1 1 3 3 5 3 3 5 7 1 ...... 49 47 47 49
1 5 5
7
1 3 3 1 3 3 1 3 解：观察： 1 , 6 2 3 3 3 3 2 1 5 3 3 5 1 5 3 3 5 1 3 5 30 2 15 5 5 3 3 5 2 3
(2)
1 1 3 3 5 3 3 5 7 1 ...... 49 47 47 49
1 5 5
7
1 解：考察一般情况： (2n 1) 2n 1 (2n 1) 2n 1
(2n 1) 2n 1 (2n 1) 2n 1 1 ( 2 2 (2n 1) (2n 1) (2n 1) (2n 1) 2
分母有理化
又称“有理化分母”，指的是在二次根式中分母原为 无理数，而将该分母化为有理数的过程，也就是将 分母中的根号化去。
由于在初中、高中阶段，最后的二次根式结果要求 分母不含根号，故分母有理化成为初中学生学习和 使用的一种重要方法。将分母有理化，会使根式的 运算变得简便。