分部积分法84841ppt课件
合集下载
高等数学课件4-3分部积分法
经济应用：在经济学领域，分部积分 法可以用于求解各种经济问题，例如 在宏观经济学、微观经济学等领域， 可以用于求解各种经济问题。
感谢您的耐心观看
汇报人：
添加副标题
高等数学课件4-3分部积分法
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 分部积分法的基本 概念
03 分部积分法的计算 步骤
04 分部积分法的应用 实例
05 分部积分法的注意 事项
06 分部积分法的扩展 知识
添加章节标题
分部积分法的基本概念
分部积分法的定义
分部积分法是一种用于求解不定积分的方法
积分顺序：先对u 积分，再对v积分
积分结果：u和v 的乘积减去v的积 分
分部积分法的应用范围
求解一阶微 分方程
求解二阶微 分方程
求解高阶微 分方程
求解常微分 方程
求解偏微分 方程
求解积分方 程
分部积分法的计算步骤
确定被积函数和积分变量
分部积分法的基本思想：将复杂函数分解为简单函数 确定被积函数：选择合适的函数进行分解 确定积分变量：选择合适的变量进行积分 计算步骤：按照分部积分法的公式进行计算 注意事项：选择合适的函数和变量，避免出现错误
不当
注意积分公式 的使用，避免 公式使用错误
注意积分结果 的验证，避免 积分结果错误
注意积分上下限的取值
积分上下限的取值范围要合理，不 能超出函数的定义域
积分上下限的取值要保证积分结果 的正确性，不能出现错误
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
积分上下限的取值要满足积分条件， 不能出现无穷大或无穷小
积分上下限的取值要符合实际问题， 不能脱离实际背景
《分部积分法》课件
02
分部积分法的计算步确定积分区间和积分变量，以 便确定被积函数。
VS
确定函数
根据题目要求，确定需要计算的函数。
确定分部函数和被积函数
分部函数的选择
根据被积函数的性质，选择适当的分部函数 。
被积函数的确定
根据题目要求和分部函数的性质，确定被积 函数。
计算积分结果
注意积分的范围和上下限
总结词
确定积分的范围和上下限是分部积分法中至关重要的 一步，错误的设定可能导致结果错误或无法计算。
详细描述
在应用分部积分法时，应根据函数的具体形式和积分的 原函数，准确设定积分的上下限，以避免计算中出现符 号错误或无法收敛的情况。同时，要注意上下限之间的 逻辑关系和连续性。
注意计算过程中的符号和单位问题
《分部积分法》ppt课件
目录 CONTENTS
• 分部积分法概述 • 分部积分法的计算步骤 • 分部积分法的实例解析 • 分部积分法的注意事项 • 分部积分法与其他积分方法的比较
01
分部积分法概述
分部积分法的定义
总结词
分部积分法是一种求解积分的方法， 通过将积分拆分为两个或多个部分的 乘积，再分别对各部分进行积分，最 终求得原积分的结果。
与直接积分法的比较
适用范围
直接积分法适用于简单的积分，如 $int x^n dx$；分部积分法适用于被 积函数为两个函数的乘积或商的情况 ，如$int frac{x^2}{x+1} dx$。
操作步骤
直接积分法是通过凑微分来完成的； 分部积分法是通过将被积函数拆分为 两个函数的乘积，然后分别积分，最 后相减来完成的。
与换元积分法的比较
适用范围
换元积分法适用于被积函数为复合函数或三角函数的情况；分部积分法适用于被积函数为两个函数的 乘积或商的情况。
《高等数学》PPT课件-第三章分部积分
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 ,xn } 趋近于零 ( 0) 时，
曲边梯形面积为
n
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
二、定积分的定义
x arcsin x 1 x2 C
合理选择
u, v ，正确使用分部积分公式
u dv u v vdu
1. 使用原则 : v易求出, v d u 易积分
2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后v ′
3. 题目类型 :
分部化简— 降幂法；转换法； 循环法.
【注意】 循环法两次分部选择的 u , v 函数类型不 变 , 解出积分后加 C .
四、定积分的几何意义
f ( x) 0, f ( x) 0,
b
f ( x)dx A
曲边梯形的面积
a
b
f ( x)dx A
曲边梯形的面积的负
a
值
A1 A2
A3 A4
b
a
f
(
x
)dx
A1 A2
A3 A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号．
积分上限 b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
积分和
f (i )xi
积分下限 被 积 函 数
大学高等数学ppt课件第三章2第二类换元积分法-分部积分法
sec xdx ln | sec x tan x | C csc xdx ln | csc x cot x | C
dx 1 ln | a x | C a2 x2 2a a x
dx x2 a2
1 ln | x a | C 2a x a
2 ud tanu u2
2u tan u 2 tan udu u2
2u tan u 2ln cosu u2 C
2 x tan x 2ln cos x x C
◆求不定积分方法小结
直接积分法——变形、用公式（24条）
2
(1
1 )du u2 1
2u
arctanu
C
2( x 1 arctan x 1) C
dx
例2 求不定积分 3 x 1
直接令根式为u， 化根式为有理式
解 令 u 3 x , 则 x u3, dx 3u2du
原式
3u2 du 3 u 1
( t )
对于
a2 x2 ,
2
2
令 x a tan t,则
a2 x2 asect
( t )
对于
x2 a2 ,
令
22
x asect,
则
x2 a2 a tan t
(0 t )
t 上式中，均假设 a 0, 为各2 对应反三角函数的主值区间。
ex (x2 2x 2) C
例3 求不定积分 x2 ln xdx
udv uv vdu
解 原式 1 ln xdx3 3
幂函数对数函数dx
分部积分法课件PPT共20页
数为 u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3 求积分 xarctxadn.x
解 令 uarctxa , nxdxdx2 dv
xarctxadn xx22arcx t a2n x22d(arcx)tan
x2
x2 1
2arcxta2n 1x2dx
x 2 2arc x t1 a 2(1 n 1 1x2)dx
总结：
对于类似于例5的题目，需要进行两次分部 积分才能完成，所以第二次分部积分时需 要与第一次分部积分对应起来，即第二次 设u的函数应是第一次设u的同类函数，否 则，积分不了。
凡是需要两次以上分部才能完成的积分，每 次分部时都应注意这种技巧。
例 6.求 arcsinxdx 例 7.求 ln(x1x2)dx 例 8.求 sin(lnx)dx
第三章 一元函数积分学
(四)
例1 求积分 xcosxd.x
解（一） 令 uco x ,sxdx1dx2 dv
2
xcosxdxx2coxs
x2 sin xdx
2
2
显然，u, v 选择不当，积分无法进行.
解（二） 令 ux, cx o d d s s x i x d nv
xcosxdxxdsinxxsix nsix ndx
1 cos x 2 C 1 sec2 x C
2
2
注: 2.虽然一切连续函数的原函数都是存在的,
但并不是等价于任何一个连续函数的原函 数都可以用初等函数表示出来.
如 :
ex2dx, sinx2dx, sin xxdx, ld nxx …
注: 上面列举的方法为一般常用的 换元法， 并未包括所有的换元 法,需具体问题具体分析.
例5. 求积分 exsinxd.x
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法
例1 求 න
解
) ( = ′ = − )(′
= − න
= + + .
注 例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2
න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+
2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴
= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
( 2 + 1) = (2 + 1)-( 2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
2 = 2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − )
= − + .
例3 求
解 令 = , = =
2
,
2
《分部积分法》课件
实例三：求解二重积分
总结词
通过分部积分法求解二重积分
详细描述
二重积分是多元函数积分的常见形式 之一。在实例中，我们将展示如何使 用分部积分法求解一些常见的二重积 分问题，并给出相应的计算过程和结 果。
04
分部积分法的注意事项
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
正确选择u和v函数
总结词
在应用分部积分法时，选择合适的u和v 函数是至关重要的，因为它们将直接影 响积分的计算结果。
VS
详细描述
选择u和v函数时，应确保它们在积分区 间内具有明确的表达式，并且易于计算。 此外，u和v函数的选择应与被积函数的 原函数有关，以便简化计算过程。
注意积分的上下限
总结词
在应用分部积分法时，上下限的确定也是关 键的一步。
v函数
选择一个与u函数相乘后能够简化积分 的函数作为v函数。
计算积分
计算v函数的定积分。 利用分部积分公式计算u和v函数的乘积的积分，得到结果。
验证结果
• 将计算结果与原函数进行比较，验证结果的正确 性。
03
分部积分法的实例解析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
分部积分法的应用场景
总结词
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，特别是当u(x)和v(x)都是多项式 、三角函数、指数函数等基本初等函数时。
详细描述
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，其中u(x)和v(x)都是可微的函数 。在具体应用中，我们通常选择u(x)和v(x) 为易于计算导数和积分的函数，如多项式、 三角函数、指数函数等基本初等函数。通过 合理选择u(x)和v(x)，我们可以将复杂积分 问题转化为多个简单积分问题的和或差，从
高等数学课件 4第三节 分部积分法ppt
令 x tan t ( t ), 则
I
et sec3
t
2 sec2 t d t
2
e t cos t d t
e t sin t e t sin t d t
e t sin t e t cos t e t cos t d t
故 I 1 (sin t cos t)e t C
1 x2
2
2.
原式
ex 1 cos
dx x
ex sin x dx
1 cos x
ex
tan
x 2
C.
(第一个积分分部积分)
3. 求 sin(ln x)dx.
解: sin(ln x)dx x sin(ln x) xd[sin(ln x)]
x
sin(ln
x)
x cos(ln
x)
1 x
dx
x2 a2
(x2 a2) a2 dx
x2 a2
x2 a2 dx x x2 a2 x2 a2 dx
a2
dx
x2 a2
x x2 a2 a2 ln | x x2 a2 | x2 a2 dx
∴ 原式 = 1 x x2 a2 a2 ln ( x x2 a2 ) C.
1
earctanx
1 x2
x dearctanx 1 x2
1 1
x2
earctanx (1
x)
I
I 1 x earctanx C . 2 1 x2
例16.
求
(1
xe x x)2
dx.
解:
(1
xe x x)2
dx
xe
xd
1
1
x
xex 1 d( xex ) 1 x 1 x
分部积分法-PPT精选文档
3
一、幂函数与指数函数之积
x e dx
n x
选
x v e
4
例1.求
解
xe dx
x
x
选取合适 的助手
x xde dx x (e ) xe dx
x
其中，ux ,ve
由分部积分公式,得
x
xe e dx
x
x
x x xe e C
5
2 x x 例2.求 e dx
选取合 适的助 手
sin x xcosxdx xd
u x ,v sin x
由分部积分公式,得
x sin x s inxdx
x sin x cos x C
8
例4 求 解
x sinxdx
2
选取合 适的助 手
2 2 2 x ( cos x ) dx x ( cos x ) x sin xdx d
x ln x x C
15
例8. arccos xdx
解.
x arccos x xdx arccos 1 x
同时用到分部积分法和换元法
x
2
dx
方法1，换元法 设
cos tdt xsin t, dx
t dx s in s in tdt cos tdt 2 cos 1 x t cos t C 1x2 C
13
四、单独的对数或反三角函数
log xdx
a
或者
xdx arctan
当被积函数单纯为对数函数、反三角函数时,也用分部积分公式。
选
v 1
14
例7.
解.
分部积分法-有理函数积分法ppt课件
f ( x)dx f ( x),
f ( x)dx ex2 C ,
两边同时对 x求导, 得 f ( x) 2 xex2 ,
xf ( x)dx xf ( x) f ( x)dx
2
x
2e
x
2
ex2
C.
11
二、小结
合理选择 u, v ，正确使用分部积
分公式
uvdx uv uvdx
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
1 x( x 1)2
1 x
(x
1 1)2
1. x1
21
例3
(1
1 2x)(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
5
例4 求积分 x3 ln xdx.
解 u ln x, x3dx d x4 dv,
4
x3
ln
xdx
1 4
x
4
ln
x
1 4
x
3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂
dx
x
dx 1
ln x 1 ln( x 1) C. x1
23
1
例5 求积分 (1 2x)(1 x2 ) dx.
解
(1
1 2 x )(1
高等数学PPT课件：分部积分法
分部积分法
分部积分法
一、分部积分公式
xe xdx x ln xdx arcsin xdx
特点 被积函数是两个不同函数的乘积 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u u( x)及v v( x) 具有连续导数.
(uv) uv uv uv (uv) uv 两边积分
uvdx uv uvdx udv uv vdu
2 6
分部积分法
例7 x tan2 xdx
x(sec2 x 1)dx
x sec2 xdx xdx
u dv
xdtan x xdx x tan x tan xdx xdx
x2 x tan x ln cos x C
2
7
分部积分法
曾用换元积分做过, 现可用分部积分做!
2
2
a
8
分部积分法
1
x
2
x
2
arctan
xdx
1
1
x2 x2
1arctan
xdx
arctan
xHale Waihona Puke x11 x2arctan
xdx
或取u
arctan
x,
dv
1
x
2
x
2
dx
d( x arctan x)
试比较一下哪种做法简单.
9
分部积分法
思考题
分部积分
已知f ( x)的一个原函数为ex2 , 求 xf ( x)dx
x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）
x2e x 2 x d(e x )
x2e x 2( xe x e xdx) C
x2e x 2 xe x 2e x C
分部积分法
一、分部积分公式
xe xdx x ln xdx arcsin xdx
特点 被积函数是两个不同函数的乘积 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u u( x)及v v( x) 具有连续导数.
(uv) uv uv uv (uv) uv 两边积分
uvdx uv uvdx udv uv vdu
2 6
分部积分法
例7 x tan2 xdx
x(sec2 x 1)dx
x sec2 xdx xdx
u dv
xdtan x xdx x tan x tan xdx xdx
x2 x tan x ln cos x C
2
7
分部积分法
曾用换元积分做过, 现可用分部积分做!
2
2
a
8
分部积分法
1
x
2
x
2
arctan
xdx
1
1
x2 x2
1arctan
xdx
arctan
xHale Waihona Puke x11 x2arctan
xdx
或取u
arctan
x,
dv
1
x
2
x
2
dx
d( x arctan x)
试比较一下哪种做法简单.
9
分部积分法
思考题
分部积分
已知f ( x)的一个原函数为ex2 , 求 xf ( x)dx
x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）
x2e x 2 x d(e x )
x2e x 2( xe x e xdx) C
x2e x 2 xe x 2e x C
《分部积分法》PPT课件
13
精选课件ppt
例11. 已知
的一个原函数是
求
解:
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
14
精选课件ppt
例12. 求
解法1 先换元后分部
令
即
则
故
15
精选课件ppt
解法2 用分部积分法
16
精选课件ppt
内容小结
分部积分公式
1. 使用原则 :
2. 使用经验 :
3. 题目类型 :
, 则
∴ 原式
再令
, 则
故 原式 =
说明: 也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
5
精选课件ppt
解题技巧:
把被积函数视为两个函数之积 ,
按 “ 反对幂指三” 的
顺序,
例5. 求
解: 令
, 则
原式 =
反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数
令
令
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换
化为有理函数的积分.
例如:
令
42
精选课件ppt
例11. 求
解: 令
则
原式
43
精选课件ppt
例12. 求
解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的
最小公倍数 6 ,
则有
原式
令
44
精选课件ppt
例13. 求
解: 令
则
原式
45
37
精选课件ppt
例8. 求
解:
说明: 通常求含
的积分时,
往往更方便 .
分部积分法PPT教学课件
1 2 1 x 1 arctan x x C 2 2
12
注：若当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘
积，可设对数函数或反三角函数为u，而将幂函数为v’,使 得应用分部积分后，对数函数或反三角函数消失。
13
四、单独的对数或反三角函数
log
a
xdx
或者
arctan xdx
udv uv vdu
3
一、幂函数与指数函数之积
x e dx
n x
选
v e
x
4
例1.求
解
x xe dx
选取合适 的助手
x
x( e )dx xde xe dx
x
x
其中，u
x, v e
x
由分部积分公式,得
x e xe dx
x
xe x e x C
当被积函数单纯为对数函数、反三角函数时,也用分部积分公式。
选
v 1
14
例7.
解
ln xdx ln xdx
x ln x xd ln x 1 x ln x x dx x x ln x 1dx
x ln x x C
15
例8. arccos xdx
2 2 2 x sin xdx x ( cos x) dx x d ( cos x)
x cos x cos xdx
2 2
2
x cos x 2 x cos xdx x cos x 2x sin x 2cos x C
2
注：若当被积函数是幂函数（指数为正整数）与正（余）弦函
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
尝试解决的方法 利用两个连续可微函数乘积的求导法则.
设函数u u( x)和v v( x)具有连续导数,
uvuvuv, uvuvuv,
u vd xu vu vd,x或 udvuv vdu
.
2
4.3 分部积分法
经济数学 2. 分部积分公式
设u,v是两个连续可微函数，则公式
u vd xu vu vd,x或 udvuv vdu
(x2ex2x exd)x
(x22x2)exC
.
10
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
例2 求下列不定积分
(1)xlnxdx (2)arctxadnx
解： (1) 令 ulnx, xdx1d(x2)dv 2
xlnxdx
1 2
ln
xd(x2
)
x2lnx1 x2d(lnx) 22
x2 lnx1x2 C 24
4.3 分部积分法
经济数学 3. 分部积分公式应用
常见类型（三）
Pn(x)lnaxdx (a 0)
设为U
Pn(x)arctxadnx
Pn(x)arcsxdinx
即:这种类型通常是将幂函数先凑入微分号内.
.
13
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
训练题二
求下列不定积分
(1) ln2(x1)dxxln2(x1)2x2x1dx
经济数学
3. 分部积分公式应用
例1
求不定积分 xexdx
解： 令
ux, exdxd(ex)dv
则xexdx xd(ex)
思考:
(1) x2exdx
(2)x2sinxdx
xex exdx
xexexC
.
6
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
例2
求下列不定积分 (1) x2exdx (2)x2sinxdx
x 2 cx o 2 x s sx i n 2 cx o C s
.
7
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
常见类型（一）
Pn(x)eaxcdx (a 0)
其中 p n (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
如
x eaxcdx
1 a
x d(eaxc )
u
dv
1(xeaxc eaxcd)x
a
这种类型通常是将指数函数先凑入微分号内.
.
8
4.3 分部积分法
经济数学 3. 分部积分公式应用
常见类型（二）
Pn(x)sinaxdx或 Pn(x)coasxdx(a 0)
其中 p n (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
xln 2x(1 )x1ln 2x(1 )C 2
(2)
arcsxindxxarcsxin
x dx
1x2
xarcxsin 1x2C
.
14
4.3 分部积分法
经济数学 3. 分部积分公式应用
训练题三 求下列不定积分
(1) (x1)e2x1dx1(2x1)e2x1C 4
(2) ln2 xdxx(l2n x2ln x2)C
如 uxcosadxvdx1axd(sinax)
这种类型通常是将三角函数先凑入微分号内.
.
9
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
训练题一 求下列不定积分
(1)xsin2xdx12xd(co2sx)
1 1 2(xxccoo22xsxs1scio2 n 2xxsdC )x
2
4
(2) x2exdx x2d(ex)
.
11
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
例2
求下列不定积分
(1)xlnxdx (2)arctxadnx
解： (2) 令 uarcx,ta dn xdv
arctaxndxxarctaxn1xx2dx
xarctxan1 2
d(x2) 1x2
xarcxta1lnn1 (x2)C 2. Nhomakorabea12
解：（1）令 u x2 , exdxd(ex)dv
则 x2exdx x2d(ex) x2exexd(x2)
x2ex2 xexdx(x22x2)e3xC
(2)令u x2 , sixnd d x(cx)o sd v
则x2sinxdx x2d(cox)s
－x２ （ co xs 2xco xs d ) x
叫作分部积分公式。这种将被积函数的一部分积分先积出的方法叫做 分部积分法。
它的作用在于把不易求的 udv化为比较容易求出的 vdu来计算.
应用分部积分公式的关键是：选择适当的u、dv
.
3
4.3 分部积分法
经济数学
2. 分部积分公式
u vd xu vu vd,x或 udvuv vdu
如 求积分 xcoxs d.x
.
15
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
＊例3 解：
求不定积分 ex sinxdx
出现循环, 怎么办?
exsinxdx sinxdxeexsixn exd(sx i)n
exsixn exco xsdx exsixn co xsd x e
e x sx i n ( e x cx o e s x d cx o ) s
.
4
4.3 分部积分法
经济数学
2. 分部积分公式
u vd xu vu vd,x或 udvuv vdu
根据分部积分公式，关于 u, v 的选取原则：
(1) v 要容易求得(通常要用凑微分法求得)，且由 dv求 v 时，一般
不加积分常数 C ；
(2) vdu 要比 udv 容易积出．
.
5
4.3 分部积分法
经济数学
5.3 分部积分法
1. 分部积分法
形如 xcosxdx, xexdx
用以往学过的方法能否解决
?
显然当被积函数是由两个不同类型函数 乘积时，直接积分和换元积分法不一定有效。
.
1
4.3 分部积分法
经济数学
1. 分部积分法
思考： 1. 导数运算与积分运算为互逆运算 2. 求两个不同类型函数之积的积分，能否从其导 数开始考虑？
e x (sx ic n x o ) s e xsx in dx
exsinxdx
ex(sixncoxs)C. 2
.
16
4.3 分部积分法
经济数学 3. 分部积分公式应用
常见类型（四）
若令 uco x,sxdx1dx2 dv
2
xcosxdx 12cosxd(x2)
x2coxs
x2 sin xdx
2
2
显然，u, v选择不当，积分更难进行.
换之,若令 ux, co xs d d x (sx i) ndv
xcosxdxxd(sixn)xsix nsix ndx
x sx ic n x o C . s
设函数u u( x)和v v( x)具有连续导数,
uvuvuv, uvuvuv,
u vd xu vu vd,x或 udvuv vdu
.
2
4.3 分部积分法
经济数学 2. 分部积分公式
设u,v是两个连续可微函数，则公式
u vd xu vu vd,x或 udvuv vdu
(x2ex2x exd)x
(x22x2)exC
.
10
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
例2 求下列不定积分
(1)xlnxdx (2)arctxadnx
解： (1) 令 ulnx, xdx1d(x2)dv 2
xlnxdx
1 2
ln
xd(x2
)
x2lnx1 x2d(lnx) 22
x2 lnx1x2 C 24
4.3 分部积分法
经济数学 3. 分部积分公式应用
常见类型（三）
Pn(x)lnaxdx (a 0)
设为U
Pn(x)arctxadnx
Pn(x)arcsxdinx
即:这种类型通常是将幂函数先凑入微分号内.
.
13
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
训练题二
求下列不定积分
(1) ln2(x1)dxxln2(x1)2x2x1dx
经济数学
3. 分部积分公式应用
例1
求不定积分 xexdx
解： 令
ux, exdxd(ex)dv
则xexdx xd(ex)
思考:
(1) x2exdx
(2)x2sinxdx
xex exdx
xexexC
.
6
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
例2
求下列不定积分 (1) x2exdx (2)x2sinxdx
x 2 cx o 2 x s sx i n 2 cx o C s
.
7
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
常见类型（一）
Pn(x)eaxcdx (a 0)
其中 p n (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
如
x eaxcdx
1 a
x d(eaxc )
u
dv
1(xeaxc eaxcd)x
a
这种类型通常是将指数函数先凑入微分号内.
.
8
4.3 分部积分法
经济数学 3. 分部积分公式应用
常见类型（二）
Pn(x)sinaxdx或 Pn(x)coasxdx(a 0)
其中 p n (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
xln 2x(1 )x1ln 2x(1 )C 2
(2)
arcsxindxxarcsxin
x dx
1x2
xarcxsin 1x2C
.
14
4.3 分部积分法
经济数学 3. 分部积分公式应用
训练题三 求下列不定积分
(1) (x1)e2x1dx1(2x1)e2x1C 4
(2) ln2 xdxx(l2n x2ln x2)C
如 uxcosadxvdx1axd(sinax)
这种类型通常是将三角函数先凑入微分号内.
.
9
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
训练题一 求下列不定积分
(1)xsin2xdx12xd(co2sx)
1 1 2(xxccoo22xsxs1scio2 n 2xxsdC )x
2
4
(2) x2exdx x2d(ex)
.
11
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
例2
求下列不定积分
(1)xlnxdx (2)arctxadnx
解： (2) 令 uarcx,ta dn xdv
arctaxndxxarctaxn1xx2dx
xarctxan1 2
d(x2) 1x2
xarcxta1lnn1 (x2)C 2. Nhomakorabea12
解：（1）令 u x2 , exdxd(ex)dv
则 x2exdx x2d(ex) x2exexd(x2)
x2ex2 xexdx(x22x2)e3xC
(2)令u x2 , sixnd d x(cx)o sd v
则x2sinxdx x2d(cox)s
－x２ （ co xs 2xco xs d ) x
叫作分部积分公式。这种将被积函数的一部分积分先积出的方法叫做 分部积分法。
它的作用在于把不易求的 udv化为比较容易求出的 vdu来计算.
应用分部积分公式的关键是：选择适当的u、dv
.
3
4.3 分部积分法
经济数学
2. 分部积分公式
u vd xu vu vd,x或 udvuv vdu
如 求积分 xcoxs d.x
.
15
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
＊例3 解：
求不定积分 ex sinxdx
出现循环, 怎么办?
exsinxdx sinxdxeexsixn exd(sx i)n
exsixn exco xsdx exsixn co xsd x e
e x sx i n ( e x cx o e s x d cx o ) s
.
4
4.3 分部积分法
经济数学
2. 分部积分公式
u vd xu vu vd,x或 udvuv vdu
根据分部积分公式，关于 u, v 的选取原则：
(1) v 要容易求得(通常要用凑微分法求得)，且由 dv求 v 时，一般
不加积分常数 C ；
(2) vdu 要比 udv 容易积出．
.
5
4.3 分部积分法
经济数学
5.3 分部积分法
1. 分部积分法
形如 xcosxdx, xexdx
用以往学过的方法能否解决
?
显然当被积函数是由两个不同类型函数 乘积时，直接积分和换元积分法不一定有效。
.
1
4.3 分部积分法
经济数学
1. 分部积分法
思考： 1. 导数运算与积分运算为互逆运算 2. 求两个不同类型函数之积的积分，能否从其导 数开始考虑？
e x (sx ic n x o ) s e xsx in dx
exsinxdx
ex(sixncoxs)C. 2
.
16
4.3 分部积分法
经济数学 3. 分部积分公式应用
常见类型（四）
若令 uco x,sxdx1dx2 dv
2
xcosxdx 12cosxd(x2)
x2coxs
x2 sin xdx
2
2
显然，u, v选择不当，积分更难进行.
换之,若令 ux, co xs d d x (sx i) ndv
xcosxdxxd(sixn)xsix nsix ndx
x sx ic n x o C . s