第11章三角形中常用的基本模型
八年级上册数学三角形模型
八年级上册数学的三角形模型包括以下几种：
1. 直角三角形模型：直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
可以用两条直线表示斜边和直角边，另一条边则由勾股定理得出。
2. 等腰三角形模型：等腰三角形是指其中两边相等的三角形。
可以用两条等长的线段表示等腰边，另一条边则由勾股定理得出。
3. 等边三角形模型：等边三角形是指三条边都相等的三角形。
可以用三条等长的线段表示三边。
4. 直角坐标系中的三角形模型：可以用坐标轴上的点表示三角形的顶点，用计算坐标点之间距离的方法计算三边长度，然后用勾股定理判断是否为直角三角形或者等腰三角形。
5. 正弦定理、余弦定理和正切定理模型：这些定理是求解任意三角形的边长和角度的重要工具，在解决实际问题时经常应用。
以上是八年级上册数学三角形模型的介绍，希望对你有所帮助。
三角形11个基本模型证明过程
三角形11个基本模型证明过程
1、全等三角形：全等三角形的判定和性质是重点，需要数量掌握和灵活运用全等三角形的判定及全等的证明思路，掌握几种全等模型。
2、等腰三角形：等腰三角形的性质和判定是学习额重点，尤其是等腰三角形的三线合一性质，除此之外，在等腰三角形学习中还需要掌握一些常用的数学思路，像分类讨论思路、方程思路等，以及常见的等腰三角形的构造方法都需要了解。
3、等边三角形：等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形所有的性质，还具有一些特殊的性质，经常会结合在直角三角形中30度所对的直角边是斜边的一半来考查。
4、直角三角形：直角三角形的性质、判定以及等腰直角三角形和含有30度的直角三角形是学习的重点，性质定理较多，需要系统掌握和运用。
5、线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质是重点，难点将军饮马最值问题的解题思路及方法，需要掌握其特征、基本解题思路和方法。
6、角平分线，角平分线的性质是学习的重点，见到角平分线就需要想到相等的角和垂线段，角平分线虽然简单，但与角平分线相关的辅助线和模型比较多，考试中经常考查，需要熟悉常见的模型及应用方法。
三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型(学生版+解析版)
三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。
弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。
弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。
一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。
广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。
模型1、弦图模型(1)内弦图模型：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。
图1图2图3(2)外弦图模型：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。
(3)内外组合型弦图模型：如图3，2S正方形EFGH =S正方形ABCD+S正方形PQMN.1(2023秋·湖北·九年级校联考开学考试)如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2=ab+10，那么图中小正方形的面积是()A.2B.3C.4D.52(2022·安徽安庆·八年级期末)汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE=∠AED，AD =45，则△ADE的面积为()A.24B.6C.25D.2103(2023·山西八年级期末)如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()A.24B.52C.61D.764(2022·杭州九年级月考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是()A.S1=2B.S2=3C.S3=6D.S1+S3=85(2023·广东·九年级专题练习)公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”(如图1)中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2S1>S2，则下列四个判断：①S1+S2=14S四边形MNPQ②DG=2AF；③若∠EMH=30°，则S1=3S2；④若点A是线段GF的中点，则3S1=4S2，其中正确的序号是模型2. 勾股树模型6(2022·福建·八年级期末)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形E的面积是．7(2022·浙江·乐清市八年级期中)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是()A.S 甲=S 丁B.S 乙=S 丙C.S 甲-S 乙=S 丁-S 丙D.S 甲+S 乙=S 丙+S 丁8(2022·河南八年级期末)如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，⋯按照此规律继续下去，则S 9的值为()A.126B.127C.128D.1299(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为．10(2023·浙江八年级期中)如图，以Rt △ABC 的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为S 1、S 2，Rt △ABC 的面积S 3．若S 1=4，S 2=8，则S 3的值为．11(2022春·浙江温州·九年级校考开学考试)如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”．如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC ，DB 分别交GF ，AH 于点N ，K ，连接KN 交AG 于点M ，若S 1S 2=916，则tan ∠ACB 为()A.12B.23C.34D.51212(2023·贵州遵义·统考二模)如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，∠ACB =90°，分别以Rt △ABC 的三条边为边向外作正方形，连接BE ，DG 、BE ，交AC 于点Q ，若∠BAC =30°，BC =2，则四边形EQGD 的面积是．13(2023秋·浙江·八年级专题练习)【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．【实践操作】(1)请叙述勾股定理；(2)验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：(以下图形均满足验证勾股定理所需的条件)【探索发现】(3)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个；(4)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系并说明理由．课后专项训练1(2022·云南九年级一模)如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图(1)中共有3个正方形，图(2)在图(1)的基础上增加了4个正方形，图(3)在图(2)的基础上增加了8个正方形，⋯⋯，照此规律“生长”下去，图(6)应在图(5)的基础上增加的正方形的个数是()A.12B.32C.64D.1282(2022·浙江初三期中)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC=8，则BC的长为()图1图2A.42B.6C.254D.1323(2023·浙江·杭州八年级阶段练习)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1-S2=12，S△ABC=4，则正方形BCFG的面积为()A.16B.18C.20D.224(2023春·湖北黄冈·八年级统考期中)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则EF 的长为()A.9B.92C.32D.35(2022·四川成都·模拟预测)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于()A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.最大正方形与直角三角形的面积和D.较小两个正方形重叠部分的面积6(2023春·广东潮州·九年级校考期末)我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD 的面积的大小为()A.144B.100C.49D.257(2023春·湖北武汉·八年级统考期末)大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD ，中空的部分是小正方形EFGH ，连接EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P ，若GO =GP ，则直角三角形的边CG 与BG 之比是()A.12B.25C.2-1D.3-28(2023春·江苏泰州·七年级统考期末)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1)．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC 为等边三角形，AD 、BE 、CF 围成的△DEF 也是等边三角形．已知点D 、E 、F 分别是BE 、CF 、AD 的中点，若△ABC 的面积为14，则△DEF 的面积是()A.1B.2C.3D.49(2023·河北石家庄·校考二模)如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，∠ACB=90°，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，连接BE，DG，BE交AC于点Q．若∠BAC=30°，BC=2，则四边形EQGD的面积是()B.23C.53+3D.3A.53+3210(2023·江苏扬州·统考中考真题)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b-a=4，c=20，则每个直角三角形的面积为．11(2022秋·四川成都·八年级校考期中)“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票(如图1)，欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形，连接EB,CM,DG,CM分别与AB,BE相交于点P,Q．若∠ABE=30°，则DGQM的值为.12(2022春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中)如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题：(1)S1、S2、S3满足的数量关系是．(2)现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则S△ACB=．13(2023·湖北孝感·统考三模)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为．14(2022·山东临沂·统考二模)中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1(如图1)，则正方形的面积为；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形A n B n C n D n的面积为(用含n的式子表示，n为正整数)．15(2023·浙江台州·八年级校考期中)如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知∠ACB=90°，AC=6，BC=8，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水．(1)如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为；(2)如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O(正方形两条对角线的交点)，则Ⅱ中有水部分的面积为．16(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF=a，DF=b，连接AE,BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则b2a2+a2b2=．17(2023·江苏徐州·统考二模)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接AC，若AG平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为2，则正方形ABCD的面积为．18(2023·陕西渭南·统考二模)魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．如图，四边形ABCD、四边形BFGH和四边形AFMN都是正方形，BF交CD于E，若DE=2，CE=4，则BF的长为．19(2022·宁夏吴忠·统考一模)2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1)，且大正方形的面积是17，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，则图2中最大的正方形的面积为31．试求图1中小正方形的面积是为．20(2023·山东济宁·统考二模)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．(1)如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个；(2)如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示)①a2+b2+c2+d2=；②b与c的关系为，a与d的关系为．21(2022·湖南·八年级课时练习)如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(粗线)的周长24，OC=3，求该飞镖状图案的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3，若S1+S2+S3=40，求S2．22(2023·广东深圳·校联考三模)中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾．2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有4个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理．问题发现：如图①，若直角三角形的直角边BC=3，斜边AB=5，则中间小正方形的边长CD=，连接BD，△ABD的面积为．知识迁移：如图②，P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，当∠BPC=90°，BP=10时，△PAB的面积为．拓展延伸：如图③，已知∠MBN=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交射线BM，BN分别于A，C两点．(1)已知D为线段AB上一个动点，连接CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E；在CE上取一点F，使EF=BE；过点F作GF⊥CD交BC于点G，试判断三条线段BE，DE，GF之间的数量关系，并说明理由．(2)在(1)的条件下，若D为射线BM上一个动点，F为射线EC上一点；当AB=10，CF=2时，直接写出线段DE的长．三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。
[26946616]2020-2021学年八年级数学人教版上册 第11章 与三角形有关的角度计算
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条件：BD 是∠ABC 的角平分线，CD 是∠ACB 的角平分线。
1
结论：∠D=90°+ ∠A。
2 证明：证法一：∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠1=∠2= 1 ∠ABC，
2
∵CD 是∠ACB 的角平分线，∴∠3=∠4= 1 ∠ACB， 2
1
在△BCD 中，∠D=180°-∠1-∠4=180°- (∠ABC+∠ACB)
4、如图，已知∠ABC 的平分线 BD 与△ACB 的外角平分线 CD 相交于点 D，连接 AD，若 ∠BDC=40°，则∠DAC 的度数为_______.
5、如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角平分线交于 I，根据下列条件填空 (1)若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BIC=______。 (2)若∠ABC+∠ACB=120°，则∠BIC=_______。 (3)若∠A=56°，则∠BIC=______； (4)若∠BIC=120°，则∠A=______； (5)若∠A=α，请将∠BIC 用α的代数式表示。
M
D
N
7、如图，在△ABC 中，∠ABC 的角平分线与∠ACD 的角平分线交于同一点 P，根据下列条件 填空： (1) 若∠A=50°，则∠P=______；
(2)若∠ABC+∠ACB=135°，则∠P=______；
(3)若∠BPC=34°，则∠A=______；
(4)若∠A=α，请将∠P 用α的代数式表示。
9、如图，∠DBC 和∠ECB 的角平分线相交于点 O，∠A=α，
(1)若∠CBO= 1 ∠DBC，∠BCO= 1 ∠ECB，请将∠BOC 用α的代数式表示．
3
3
三角形的四大模型
三角形的四大模型三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有许多重要的性质和特点。
在研究三角形时，我们可以采用不同的模型来帮助我们理解和解决问题。
下面将介绍三角形的四大模型：欧拉模型、特里希亚特中心模型、边-角模型和向量模型。
一、欧拉模型欧拉模型通过研究三角形的顶点、边和面之间的关系来理解三角形的性质。
欧拉公式是欧拉模型中的重要定理之一，它表达了三角形的顶点数、边数和面数之间的关系。
根据欧拉公式，三角形的顶点数加上面数减去边数等于2。
这个定理可以用来验证三角形是否构成一个封闭的几何图形。
欧拉模型还可以帮助我们研究三角形的垂心、重心、外心和内心等特殊点的性质。
这些特殊点有助于我们理解三角形的对称性、平衡性和内切性质。
二、特里希亚特中心模型特里希亚特中心模型是通过研究三角形的三个特殊点来理解三角形的性质。
特里希亚特中心包括三角形的重心、外心和内心。
重心是三角形三条中线的交点，外心是三角形三条外接圆的交点，内心是三角形三条内切圆的交点。
特里希亚特中心模型可以帮助我们研究三角形的平衡性、外接性和内切性质。
例如，通过研究重心，我们可以了解三角形的平衡点和质心的性质；通过研究外心，我们可以了解三角形的外接圆和外心角的性质；通过研究内心，我们可以了解三角形的内切圆和内心角的性质。
三、边-角模型边-角模型是通过研究三角形的边和角之间的关系来理解三角形的性质。
边-角模型可以帮助我们研究三角形的角度关系、边长关系和面积关系。
在边-角模型中，我们可以利用三角函数来计算三角形的角度、边长和面积。
例如，正弦定理可以用来计算三角形的边长，余弦定理可以用来计算三角形的角度，海伦公式可以用来计算三角形的面积。
四、向量模型向量模型是通过利用向量的特性来理解三角形的性质。
向量模型可以帮助我们研究三角形的平行性、共线性和向量运算等。
在向量模型中，我们可以用向量的减法来计算两个向量之间的夹角，用向量的叉乘来计算两个向量构成的平行四边形的面积。
全等三角形八大基本模型
全等三角形八大基本模型
（原创实用版）
目录
1.全等三角形的定义与性质
2.全等三角形的八大基本模型
1.手拉手模型
2.一线三垂直模型
3.一线三等角模型
4.等腰三角形中边边角模型
5.背对背模型
6.半角旋转模型
7.角分线模型
8.正方形手拉手模型
正文
全等三角形是指两个三角形的对应边和对应角分别相等的三角形。
在解决全等三角形问题时，我们需要了解全等三角形的定义和性质，以及掌握一些常用的模型。
本文将介绍全等三角形的八大基本模型，希望能帮助大家更好地理解和解决全等三角形问题。
1.手拉手模型：两个三角形通过一个公共边，并且这个公共边的两个端点分别与另外两个三角形的顶点相连。
2.一线三垂直模型：两个三角形的一组对应边互相平行，且另外两组对应边互相垂直。
3.一线三等角模型：两个三角形的一组对应边互相平行，且另外两组对应角相等。
4.等腰三角形中边边角模型：两个等腰三角形，其中一个等腰三角形的底边与另一个等腰三角形的腰相等，且两个等腰三角形的底角相等。
5.背对背模型：两个三角形的一组对应边互相垂直，且另外一组对应边互相平行。
6.半角旋转模型：一个三角形通过某个顶点旋转 180 度后与另一个三角形重合。
7.角分线模型：两个三角形的一组对应角相等，且另一组对应边的延长线相交于一点，这个点将延长线分成的两段长度相等。
8.正方形手拉手模型：两个正方形，其中一个正方形的一边与另一个正方形的一边相连，另外两个正方形的边也分别相连。
以上就是全等三角形的八大基本模型，这些模型在解决全等三角形问题时非常实用。
2022八年级数学上册 第十一章 三角形 方法专题 与三角形的角平分线相关的典型模型习题课件 新人教
类型三 两条外角平分线相交 3.已知：BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBD，∠BCE，BQ，CQ分别平 分∠PBC，∠PCB，BM，CN分别是∠PBD，∠PCE的平分线. (1)如图1，当∠BAC＝40°时，∠BPC＝___7_0_°___，∠BQC＝__1_2_5_°___； (2)如图1，当BM∥CN时，求∠BAC的度数； (3)如图2，当∠BAC＝120°时，BM，CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC 的度数.
(3)∠D＋∠A＝2∠P.证明如下： ∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD， ∴∠DBP＝∠ABP，∠ACP＝∠DCP. ∵∠D＋∠DBP＝∠P＋∠DCP，∠A＋∠ACP＝∠P＋∠ABP， ∴两式相加，可得∠D＋∠A＝2∠P.
(4)2∠P＝∠A＋∠D.源自类型二 一条内角平分线与一条外角平分线相交 2.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D，试 说明∠D与∠C的数量关系.
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9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。22.5.622.5.6F riday, May 06, 2022 10、低头要有勇气，抬头要有低气。09:34:4809:34:4809:345/6/2022 9:34:48 AM 11、人总是珍惜为得到。22.5.609:34:4809:34May-226-May-22 12、人乱于心，不宽余请。09:34:4809:34:4809:34Fri day, May 06, 2022 13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。22.5.622.5.609:34:4809:34:48May 6, 2022 14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年5月6日 星期五 上午9时 34分48秒09:34:4822.5.6 15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年5月 上午9时34分22.5.609:34May 6, 2022 16、业余生活要有意义，不要越轨。2022年5月6日 星期五9时34分 48秒09:34:486 May 2022 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午9时34分48秒 上午9时34分09:34:4822.5.6
三角形计算四大模型
三角形计算四大模型三角形是数学中的一种基本几何形状，拥有三边和三个内角。
在数学中，有四种常见的三角形计算模型：余弦定理、正弦定理、海伦公式和面积公式。
这些模型可以用于计算三角形的各种属性，例如边长、角度和面积。
下面将详细介绍这四个模型。
1.余弦定理：余弦定理表达了一个三角形的任意一条边的平方与其余两条边的平方之间的关系。
设三角形的三边长度分别为a、b、c，内角对应的顶点分别为A、B、C，那么余弦定理可以表达为：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC2.正弦定理：正弦定理利用了角度和边长之间的关系。
设三角形的三边长度分别为a、b、c，内角对应的顶点分别为A、B、C，那么正弦定理可以表达为：a/sinA = b/sinB = c/sinC3.海伦公式：海伦公式可以用来计算三角形的面积。
设三角形的三边长度分别为a、b、c，令s为半周长（即s=(a+b+c)/2），那么海伦公式可以表达为：面积 = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))4.面积公式：面积公式也可以用来计算三角形的面积。
面积=(1/2)*b*h这四大模型都能够为我们提供计算三角形属性的方法。
余弦定理和正弦定理适用于计算三角形边长和角度的情况，而海伦公式和面积公式则适用于计算三角形的面积。
根据具体的问题，我们可以选择合适的模型来计算三角形的属性。
除了上述四大模型之外，三角形的属性还可以通过其他方法来计算，例如勾股定理、角平分线定理等。
每个模型在不同的问题中都有其特定的适用场景，因此了解并掌握这些模型可以帮助我们更好地解决各种三角形计算问题。
三角形常见模型
三角形常见模型三角形，作为几何学中最基本且最常用的图形之一，以其独特的稳定性和多样的形状在各个领域都有广泛的应用。
在数学中，三角形有许多常见的模型，这些模型不仅简化了复杂的问题，还为我们提供了解决各种问题的新视角。
下面，我们将探讨几个常见的三角形模型。
等边三角形，顾名思义，是所有边都相等的三角形。
这种三角形的所有角都是60度，它具有高度的对称性和均衡性。
在几何学中，等边三角形经常被用来作为其他复杂图形的参照物。
在现实生活中，等边三角形的运用也很广泛，比如在建筑设计、工程绘图和计算机图形学等领域。
等腰三角形是两边相等的三角形。
它的两个底角是相等的，顶角与底角的和等于180度。
这种三角形在现实生活中也很常见，比如衣帽架、梯子和平面设计等。
直角三角形是一个角为90度的三角形。
在这个三角形中，斜边是最大的边，两条直角边可以根据勾股定理进行计算。
直角三角形在数学、工程、建筑等领域都有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，直角三角形经常被用来构建稳定的结构。
相似三角形是形状相同但大小不同的三角形。
它们的对应角相等，对应边的比也相等。
在解决一些复杂的问题时，相似三角形的运用可以大大简化计算过程。
例如，在物理学和工程学中，相似三角形被用来解决许多复杂的问题。
以上就是三角形的几种常见模型。
这些模型各有其独特的性质和应用领域，但它们都以各自的方式展示了三角形的魅力和价值。
无论是等边三角形等腰三角形、直角三角形还是相似三角形，它们都在各自的领域中发挥着重要的作用。
这些模型的运用不仅简化了问题的解决过程，也为我们提供了深入理解和探索三角形世界的工具。
全等三角形常用辅助线模型，常见的全等三角形的模型归纳在几何学中，全等三角形是一个重要的概念，它指的是两个或多个三角形，其边长和角大小均相等。
全等三角形的证明和应用在几何学中具有广泛的应用价值。
为了更有效地构造和证明全等三角形，下面将介绍几种常见的全等三角形辅助线模型，并对常见的全等三角形模型进行归纳。
八年级上册数学三角形五种基本模型
八年级上册数学学科包含了各种重要概念和技能，其中三角形的五种基本模型是其中的重要一部分。
在本篇文章中，我们将深入探讨这五种基本模型，包括它们的性质、特点以及在实际问题中的应用。
通过对这些内容的深入讨论，我们可以更好地理解三角形的基本知识，并且可以在解决实际问题时更加灵活地应用这些知识。
让我们来回顾一下三角形的基本概念。
三角形是由三条边和三个角组成的多边形，其中最基本的三角形模型包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形、普通三角形和直角等腰三角形。
这五种基本模型在数学中具有重要的地位，不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在实际问题中也经常出现。
我们首先来讨论等边三角形。
等边三角形是指三条边长度均相等的三角形。
它有着特殊的性质，例如它的三个内角均相等，每个角都是60度，而且它的高度、中位线和重心重合于同一点。
在实际问题中，等边三角形常常出现在建筑、工程等领域中，例如在建筑设计中，我们常常会使用等边三角形来布局房屋的基础结构，利用它的稳定性来确保建筑物的安全性。
接下来，我们来讨论等腰三角形。
等腰三角形是指至少有两条边相等的三角形。
它也有着特殊的性质，例如它的两个底角相等，而顶角则不一定相等，而且它的高度、中位线和重心也有着特殊的关系。
在实际问题中，等腰三角形也经常出现，在日常生活中，我们可以用等腰三角形的性质来设计各种图案和装饰，从而增加空间的美感和艺术性。
第三个基本模型是直角三角形。
直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
它有着独特的性质，例如勾股定理的适用以及三条边的关系。
直角三角形在实际问题中有着广泛的应用，例如在测量、地理勘测和导航等领域中，我们常常会用到直角三角形的性质来解决实际问题。
接下来是普通三角形，即没有边相等的三角形。
普通三角形具有较为普遍的性质，例如它的三个内角的和为180度，而且它也有着丰富的性质和定理，如三角形内角和定理、外角定理等。
在实际问题中，普通三角形也经常出现，例如在地理测量、建筑设计和工程建设等领域中，我们经常需要利用普通三角形的性质来解决各种实际问题。
三角形中的几个重要几何模型(知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(教师版)24-25学年八年级数学上册
专题11.12三角形中的几个重要几何模型（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【模型归纳】【模型一】燕尾模型如图：这样的图形称之为“燕尾模型”结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C【模型二】8字模型如图：这样的图形称之为“8字模型”结论：∠A+∠D=∠B+∠C【模型三】三角形角平分线（内分分模型）如图：这样的图形称之为“三角形双内角平分线模型”条件：BI、CI 为角平分线结论：01902BIC A ∠=+∠【模型四】三角形角平分线（内外分模型）如图：这样的图形称之为“三角形内外角平分线模型”条件：BP、CP 为角平分线结论：12P A ∠=∠【模型五】三角形角平分线（外外分模型）如图：这样的图形称之为“三角形双外角平分线模型”条件：BP、CP 为角平分线结论：01902P A ∠=-∠【模型六】角平分线+平行线模型条件：CP 平分∠ACB,DE 平行于BC结论：ED=EC第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】燕尾模型【例1】如图所示，已知四边形ABDC ，求证BDC A B C ∠=∠+∠+∠．【答案】见解析【分析】方法1连接BC ，根据三角形内角和定理可得结果；方法2作射线AD ，根据三角形的外角性质得到31B ∠=∠+∠，42C ∠=∠+∠，两式相加即可得到结论；方法3延长BD ，交AC 于点E ，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．解：方法1如图所示，连接BC .在ABC 中，180A ABC ACB ∠+∠+∠= ，即12180A ABD ACD ∠+∠+∠+∠+∠= .在BCD △中，12180BDC ∠+∠+∠= ，++BDC A ABD ACD ∴∠=∠∠∠；方法2如图所示，连接AD 并延长.3∠ 是ABD △的外角，31+ABD ∴∠=∠∠.同理，42ACD ∠=∠+∠.3412ABD ACD ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠.即BDC A ABD ACD ∠=∠+∠+∠.方法3如图所示，延长BD ，交AC 于点E .DEC ∠ 是ABE 的外角，DEC A ABD ∴∠=∠+∠.BDC ∠ 是DEC 的外角，BDC DEC ACD ∴∠=∠+∠.BDC A ABD ACD ∴∠=∠+∠+∠.【点拨】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理．【变式1】（2021九年级·全国·专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果52,25A B ︒︒∠=∠=，30,35,72C D E ︒︒︒∠=∠=∠=，那么F ∠的度数是（）．A ．72︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒【答案】B 【分析】延长BE 交CF 的延长线于O ，连接AO ，根据三角形内角和定理求出,BOC ∠再利用邻补角的性质求出DEO ∠，再根据四边形的内角和求出DFO ∠，根据邻补角的性质即可求出DFC ∠的度数．解：延长BE 交CF 的延长线于O ，连接AO ，如图，∵180,OAB B AOB ∠+∠+∠=︒∴180,AOB B OAB ∠=︒-∠-∠同理得180,AOC OAC C ∠=︒-∠-∠∵360,AOB AOC BOC ∠+∠+∠=︒∴360BOC AOB AOC∠=︒-∠-∠360(180)(180)B OAB OAC C =︒-︒-∠-∠-︒-∠-∠107,B C BAC =∠+∠+∠=︒∵72,BED ∠=︒∴180108,DEO BED ∠=︒-∠=︒∴360DFO D DEO EOF∠=︒-∠-∠-∠36035108107110,=︒-︒-︒-︒=︒∴180********DFC DFO ∠=︒-∠=︒-︒=︒,故选：B ．【点拨】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：180(2)n ︒-．【变式2】如图，A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠=．【答案】180︒/180度【分析】连接CE ，根据三角形内角和定理得到A B OEC OCE ∠+∠=∠+∠，然后根据三角形内角和定理求解．解：如图所示，连接CE ，∵180A B AOB ∠+∠+∠=︒，180OEC OCE COE ∠+∠+∠=︒，AOB COE∠=∠∴A B OEC OCE ∠+∠=∠+∠，∵DEC DEO OEC ∠=∠+∠，DCE DCO OCE ∠=∠+∠，∴A B ACD D DEB∠+∠+∠+∠+∠OCE OEC ACD D DEB=∠+∠+∠+∠+∠()()OCE ACD OEC DEB D=∠+∠+∠+∠+∠DCE DEC D=∠+∠+∠180=︒．故答案为：180︒．【点拨】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．【题型2】8字模型【例2】如图，求A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数.【答案】360A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒.【分析】连接CD ，将A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠转化为四边形CDEF 的内角和即可求出答案.解：如图所示，连接CD .由对顶三角形得，A B ACD BDC ∠+∠=∠+∠，∴A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠360CDE DCF E F =∠+∠+∠+∠=︒.【点拨】本题考查了三角形、四边形的内角和定理、对顶角的性质等知识.将所求角的度数和转化为四边形内角和是解题的关键.【变式1】如图，AB 和CD 相交于点O ，∠A ＝∠C ，则下列结论中不能完全确定正确的是（）A ．∠B ＝∠DB ．∠1＝∠A ＋∠DC ．∠2＞∠D D ．∠C ＝∠D【答案】D 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．解：∵∠A ＋∠AOD ＋∠D ＝180°，∠C ＋∠COB ＋∠B ＝180°，∠A ＝∠C ，∠AOD ＝∠BOC ，∴∠B ＝∠D ，∵∠1＝∠2＝∠A ＋∠D ，∴∠2＞∠D ，故选项A ，B ，C 正确，故选D ．【点拨】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．【变式2】下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ∠，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应（填“增加”或“减少”）度．【答案】减少10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．【点拨】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．【题型3】三角形的角平分线（内内分模型）【例3】（22-23八年级上·江西赣州·期中）如图，在△ABC中，（1）如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶数，求这个三角形的周长．（2）如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数．b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数．【答案】(1)13cm(2)a、112.5°；b、90°＋12 x°【分析】（1）利用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边，得出BC的取值范围为1＜BC＜7，再根据BC是能被3整除的偶数，得到BC=6cm，再求出周长为13cm．（2）利用三角形的内角和等于180°，先求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线平分角的知识，求出∠PBC+∠PCB，然后再一次用三角形内角和等于180°，求出∠BPC．解：（1）∵AB=4cm，AC=3cm∴1＜BC＜7∴BC=6cm∴三角形的周长为：C△ABC=AB+AC+BC=4+3+6=13cm（2）a、当∠A=45°时，由三角形的内角和可知：∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−45°=135°∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠PBC=12∠ABC ，∠PCB=12∠ACB∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+12∠ACB =12(∠ABC+∠ACB)=12×135°=67.5°∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−67.5°=112.5°b 、当∠A =x °时，由三角形的内角和可知：∠ABC +∠ACB =180°−∠A =180°−x °∵BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线∴∠PBC =12∠ABC ，∠PCB =12∠ACB∴∠PBC +∠PCB =12∠ABC +12∠ACB =12(∠ABC +∠ACB )=12×(180°−x °)=90°−12x °∴∠BPC =180°−(∠PBC +∠PCB )=180°−(90°−12x °)=90°＋12x °【点拨】本题考查有关三角形的知识．第一小问的解题关键是运用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边进行解答；第二小问的解题关键是运用三角形的内角和等于180°，以及角平分线平分角的知识结合一起解答，在求角度时，有时不一定需要每个角都求出来，可以利用整体思想．【变式1】如图，ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDFV和CEF△都是等腰三角形②DE BD CE=+；③BF CF>；④若80ABFC∠=︒．∠=︒，则130其中正确的有（）个A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求解．解：①∵BF是∠ABC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线，∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，∵DE∥BC，∴∠CBF=∠BFD，∠BCF=∠EFC（两直线平行，内错角相等），∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠EFC，∴DB=DF，EF=EC，∴△BDF和△CEF都是等腰三角形，∴①选项正确，符合题意；②∵DE=DF+FE，∴DB=DF，EF=EC，∴DE=DB+CE，∴②选项正确，符合题意；③根据题意不能得出BF＞CF，∴④选项不正确，不符合题意；④∵若∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，∵∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，∴∠CBF+∠BCF=12×100°=50°，∴∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°，∴④选项正确，符合题意；故①②④正确．故选C【点拨】等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系，解题关键是逐个判断选项即可得出正确答案．【变式2】如图，在ABC 中，已知70A ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线OB 、OC 相交于点O ，则BOC ∠的度数为．【答案】125︒【分析】根据三角形的内角和定理求出ABC ACB ∠+∠，再根据角平分线的定义求出OBC OCB ∠+∠，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.解：在ABC 中,180 ********ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵ABC ∠与ACB ∠的角平分线,BO CO 相交于点O ，∴()111105522OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，在BOC 中,()1 801 80 55 1 25BOC OBC OCB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故答案为:125︒.【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键.【题型4】三角形的角平分线（内外分模型）【例4】如图，在△ABD 中，∠ABD 的平分线与∠ACD 的外角平分线交于点E ，∠A=80°，求∠E 的度数【答案】40°【分析】由题意：设∠ABE=∠EBC=x ，∠ACE=∠ECD=y ，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可．解：由题意：设∠ABE=∠EBC=x ，∠ACE=∠ECD=y ，则有2=2=y x A y x E +∠⎧⎨+∠⎩①②，①-2×②可得∠A=2∠E ，∴∠E=12∠A=40°．【点拨】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．【变式1】如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是∠A 1BD 的角平分线CA 2是∠A 1CD 的角平分线，BA 3是A 2BD ∠的角平分线，CA 3是∠A 2CD 的角平分线，若∠A 1=α，则∠A 2013为（）A ．2013αB ．20132αC ．2012αD ．20122α【答案】D解：∵BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，又∵∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，∴∠A 1BC+∠A 1=12(∠A+∠ABC)=12∠A+12∠ABC=12∠A+∠A 1BC ，∴∠A 1=12∠A ；,同理可得：∠A 2=12∠A 1=2α，∠A 3=12∠A 2=4α，L ，∠A n =12∠A n-1=12n α-，∴∠A 2013=20122α.故选D ．点拨：利用三角形外角的性质和三角形内角和定理结合角平分线的定义推导得到∠A 1和∠A 的关系是解这道题的关键，由此可推导出∠A 2与∠A 1的关系，进一步推广到∠A n 和∠A n-1的关系就可找到规律求得∠A 2013.【变式2】如图，1BA 和1CA 分别是ABC 的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的平分线，2CA 是1A CD ∠的平分线，3BA 是2A BD ∠的平分线，3CA 是2A CD ∠的平分线，……以此类推，若A α∠=，则2020A ∠=．【答案】20202α【分析】根据角平分线的定义可得∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，整理即可得解112A A ∠=∠，同理求出∠A 2，∠A 3，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．解：∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，又∵∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，∴12（∠A+∠ABC ）=12∠ABC+∠A1，∴∠A1=12∠A ，∵∠A=α．∠A1=12∠A=12α，同理可得∠A2=12∠A1=212α，根据规律推导，∴2020A ∠=20202α，故答案为20202α．【点拨】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．【题型5】三角形的角平分线（外外分模型）【例5】如图，已知在ABC ∆中，B ∠、C ∠的外角平分线相交于点G ，若ABC m ∠=︒，ACB n ∠=︒，求BGC ∠的度数.【答案】()12BGC m n ∠=+ 【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．解：∠B 、∠C 的外角平分线相交于点G ，在BCG ∆中，∠BGC=180°-（12∠EBC+12∠BCF ）=180°-12（∠EBC+∠BCF ）=180°-12（180°-∠ABC+180°-∠ACB ）=180°-12（180°-m°+180°-n°）；=()12+ m n 【点拨】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．【变式1】如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点O ，设∠A =m ，则∠BOC =（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据三角形的内角和，可得∠ABC+∠ACB，根据角的和差，可得∠DBC+∠BCE，根据角平分线的定义，可得∠OBC+∠OCB，根据三角形的内角和，可得答案．解：如图：，由三角形内角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-m，由角的和差，得∠DBC+∠BCE=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+m，由∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，得∠OBC+∠OCB=12（∠DBC+∠BCE）=90°+12m，由三角形的内角和，得∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°-12 m．故选：B．【点拨】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，角的和差，角平分线的定义是解题关键．【变式2】如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：（1）若∠A＝60°，则∠P＝°；（2）若∠A＝40°，则∠P＝°；（3）若∠A＝100°，则∠P＝°；（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系．【答案】（1）65；（2）45；（3）40；（4）∠P =90°-12∠A【分析】（1）若∠A =50°，则有∠ABC +∠ACB =130°，∠DBC +∠BCE =360°-130°=230°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC +∠PCB 的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P 的度数；（2）、（3）和（1）的解题步骤类似．解：（1）∵∠A =50°，∴∠ABC +∠ACB =180°-50°=130°，∴∠DBC +∠BCE =360°-130°=230°，∵BP ，CP 分别为∠CBD 与∠BCE 的平分线，∴12CBP CBD ∠=∠，12BCP BCE ∠=∠，∴()11152CBP BCP CBD BCE ∠+∠=∠+∠=︒，∴()18065P CBP BCP ∠=︒-∠+∠=︒；（2）∵∠A =40°，∴∠ABC +∠ACB =180°-40°=140°，∴∠DBC +∠BCE =360°-140°=220°，∵BP ，CP 分别为∠CBD 与∠BCE 的平分线，∴12CBP CBD ∠=∠，12BCP BCE ∠=∠，∴()11102CBP BCP CBD BCE ∠+∠=∠+∠=︒，∴()18070P CBP BCP ∠=︒-∠+∠=︒；（3）∵∠A =100°，∴∠ABC +∠ACB =180°-100°=80°，∴∠DBC +∠BCE =360°-80°=280°，∵BP ，CP 分别为∠CBD 与∠BCE 的平分线，∴12CBP CBD ∠=∠，12BCP BCE ∠=∠，∴()11402CBP BCP CBD BCE ∠+∠=∠+∠=︒，∴()18040P CBP BCP ∠=︒-∠+∠=︒；（4）∠ABC +∠ACB =180°-∠A ，∴()360180DBC BCE ABC ACB A ∠+∠=︒-∠+∠=︒+∠，∵BP ，CP 分别为∠CBD 与∠BCE 的平分线，∴12CBP CBD ∠=∠，12BCP BCE ∠=∠，∴()119022CBP BCP DBC BCE A ∠+∠=∠+∠=︒+∠，∴()1180902P CBP BCP A ∠=︒-∠+∠=︒-∠．故答案为：∠P =90°-12∠A ．【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角性质．关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义．【题型6】角平分线+平行线模型【例6】（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图，在ABC 中，84A BO ∠=︒,平分ABC CO ∠，平分ACB ∠，过点O 作BC 的平行线与,AB AC 分别相交于点M N ，．若6,8AB AC ==．（1）求BOC ∠的度数；（2）求AMN 的周长．【答案】(1)132︒(2)14【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线定义，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）先利用三角形内角和定理及角平分线定义得出1902OBC OCB A ∠+∠=︒-∠，再根据内角和定理求解即可；（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可证明MO BM =，NO NC =，进而求解即可．（1）解：180A ABC ACB ，Ð+Ð+Ð=°180ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，()()111111809022222OBC OCB ABC ACB ABC ACB A A \�����窗-��，()11809090421322BOC OBC OCB A \Ð=°-Ð+Ð=°+Ð=°+°=°；（2）解：BO 平分ABC ∠，ABO CBO ∴∠=∠，MN BC ∥ ，MOB CBO ∴∠=∠，ABO MOB ∴∠=∠，MO BM ∴=，同理可得：NO NC =，AM MN AN AM MO ON AN AM BM AN NC AB AC ∴++=+++=+++=+，6,8AB AC == ，AMN ∴ 的周长=14AB AC +=．【变式1】如图，△EFG 的三个顶点E ，G 和F 分别在平行线AB ，CD 上，FH 平分∠EFG ，交线段EG 于点H ，若∠AEF ＝36°，∠BEG ＝57°，则∠EHF 的大小为（）A ．105°B ．75°C ．90°D ．95°【答案】B 【分析】首先根据∠AEF =36°，∠BEG =57°，求出∠FEH 的大小；然后根据AB ∥CD ，求出∠EFG 的大小，再根据FH 平分∠EFG ，求出∠EFH 的大小；最后根据三角形内角和定理，求出∠EHF 的大小为多少即可．解：∵∠AEF =36°，∠BEG =57°，∴∠FEH=180°-36°-57°=87°；∵AB ∥CD ，∴∠EFG=∠AEF=36°，∵FH 平分∠EFG ，∴∠EFH =12∠EFG =12×36°=18°，∴∠EHF =180°-∠FEH -∠EFH =180°-87°-18°=75°．故选：B ．【点拨】此题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握．【变式2】如图，EFG 的三个顶点E ，G 和F 分别在平行线AB ，CD 上，FH 平分EFG ∠，交线段EG 于点H ，若36AEF ∠=︒，57BEG ∠=︒，则EHF ∠的大小为．【答案】75°．【分析】首先根据∠AEF =36°，∠BEG =57°，求出∠FEH 的大小；然后根据AB ∥CD ，求出∠EFG 的大小，再根据FH 平分∠EFG ，求出∠EFH 的大小；最后根据三角形内角和定理，求出∠EHF 的大小为多少即可．解：∵∠AEF =36°，∠BEG =57°∴∠FEH=180°-∠AEF-∠BEG=87°∵//AB CD∴∠EFG=∠AEF=36°∵FH 平分∠EFG∴∠EFH=12∠EFG=18°∴∠EHF=180°-∠FEH-∠EFH=75°故答案为：75.︒【点拨】此题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川达州·中考真题）如图，在ABC 中，1AE ，1BE 分别是内角CAB ∠、外角CBD ∠的三等分线，且113E AD CAB ∠=∠，113E BD CBD ∠=∠，在1ABE 中，2AE ，2BE 分别是内角1E AB ∠，外角1E BD ∠的三等分线．且2113E AD E AB ∠=∠，2113E BD E BD ∠=∠，…，以此规律作下去．若C m ∠=︒．则n E ∠=度．【答案】13nm 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先分别对1,ABC E AB △△运用三角形的外角定理，设1E AD α∠=，则3CAB α∠=，1E BD β∠=，则3CBD β∠=，得到1E βα=+∠，33C βα=+∠，同理可求：2211133E E C ⎛⎫∠=∠=∠ ⎪⎝⎭，所以可得13n n E C ⎛⎫∠=∠ ⎪⎝⎭．解：如图：∵113E AD CAB ∠=∠，113E BD CBD ∠=∠，∴设1E AD α∠=，1E BD β∠=，则3CAB α∠=，3CBD β∠=，由三角形的外角的性质得：1E βα=+∠，33C βα=+∠，∴113E C ∠=∠，如图：同理可求：2113E E ∠=∠，∴2213E C ⎛⎫∠=∠ ⎪⎝⎭，……，∴13nn E C ⎛⎫∠=∠ ⎪⎝⎭，即13n nE m ∠=︒，故答案为：13n m ．【例2】（2019·辽宁铁岭·中考真题）如图，在CEF △中，80E ∠=︒，50F ∠=︒，AB CF ，AD CE ，连接BC ，CD ，则A ∠的度数是（）A ．45°B ．50°C ．55°D ．80°【答案】B 【分析】连接AC 并延长交EF 于点M ．由平行线的性质得31∠=∠，24∠∠=，再由等量代换得3412BAD FCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠，先求出FCE ∠即可求出A ∠．解：连接AC 并延长交EF 于点M ．AB CF ，31∴∠=∠，AD CE ，24∴∠=∠，3412BAD FCE ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠，180180805050FCE E F ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ，50BAD FCE ∴∠=∠=︒，故选B ．【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．【例3】（2020·北京·中考真题）如图，AB 和CD 相交于点O ，则下列结论正确的是（）A ．∠1=∠2B ．∠2=∠3C ．∠1＞∠4+∠5D ．∠2＜∠5【答案】A 【分析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．解：由两直线相交，对顶角相等可知A 正确；由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知B 选项为∠2＞∠3，C 选项为∠1=∠4+∠5，D 选项为∠2＞∠5．故选：A ．【点拨】本题考查了三角形的外角性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质进行判断．2、拓展延伸【例1】如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究BDC ∠与A B C ∠∠∠、、之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边XY XZ 、恰好经过点B 、C ，若50A ∠=︒，直接写出ABX ACX ∠+∠的结果；②如图3，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，若50,130DAE DBE ∠=︒∠=︒，求DCE ∠的度数；③如图4，,ABD ACD ∠∠的10等分线相交于点291G G G 、、、 ，若1140,77BDC BG C ∠=︒∠=︒，求A ∠的度数．【答案】(1)BDC A B C ∠=∠+∠+∠，见解析(2)①40︒；②90︒；③70︒【分析】（1）首先连接AD 并延长，然后根据外角的性质，即可判断出BDC A B C ∠=∠+∠+∠；（2）①由（1）可得ABX ACX A BXC ∠+∠+∠=∠，然后根据40A ∠=︒，90BXC ∠=︒，即可求出ABX ACX ∠+∠的值；②由（1）可得DBE DAE ADB AEB ∠=∠+∠+∠，再根据50,130DAE DBE ∠=︒∠=︒，求出ADB AEB ∠+∠的值；然后根据()12DCE ADB AEB DAE ∠=∠+∠+∠，即可求出DCE ∠的度数；③设1ABG x ∠=︒，1ACG y ∠=︒，结合已知可得10ABD x ∠=︒，10ACD y ∠=︒，再根据（1）可得77A x y ∠+︒+︒=︒，1010140A x y ∠+︒+︒=︒，即可判断出A ∠的度数．解：（1）解：BDC A B C ∠=∠+∠+∠，理由如下：如图，连接AD 并延长．根据外角的性质，可得BDF BAD B ∠=∠+∠，CDF C CAD ∠=∠+∠，又∵BDC BDF CDF ∠=∠+∠，BAC BAD CAD ∠=∠+∠，∴BDC A B C ∠=∠+∠+∠，故答案为：BDC A B C ∠=∠+∠+∠；（2）①由（1）可得ABX ACX A BXC ∠+∠+∠=∠，∵50A ∠=︒，90BXC ∠=︒，∴905040ABX ACX ∠+∠=︒-︒=︒；②由（1）可得DBE DAE ADB AEB ∠=∠+∠+∠，∴1305080ADB AEB DBE DAE ∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴()8024120ADB AEB ∠+∠=︒÷=︒，∴()50490120DCE ADB AEB DAE ∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒；③设1ABG x ∠=︒，1ACG y ∠=︒，则10ABD x ∠=︒，10ACD y ∠=︒，则77A x y ∠+︒+︒=︒，1010140A x y ∠+︒+︒=︒，解得7x y +=︒，所以77770A ∠=︒-︒=︒，即A ∠的度数为70︒．【点拨】此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．【例2】如图①，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点P ．（1）如果∠A ＝70°，求∠BPC 的度数；（2）如图②，作△ABC 外角∠MBC ，∠NCB 的角平分线交于点Q ，试探索∠Q ，∠A 之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP ，QC 交于点E ，在△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A 的度数．【答案】(1)125︒(2)1902Q A ∠=︒-∠(3)∠A 的度数是45︒或60︒或120︒或135︒【分析】（1）在△ABC 中，根据三角形内角和定理求出∠ABC +∠ACB =110°，根据角平分线的定义得出∠PBC ＝12∠ABC ，∠PCB ＝12∠ACB ，求出∠PBC +∠PCB =55°，再在△BPC 中，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据三角形外角性质得出∠MBC ＝∠ACB +∠A ，∠NCB ＝∠ABC +∠A ，求出∠MBC +∠NCB ＝∠ACB +∠A +∠ABC +∠A ＝180°+∠A ，根据角平分线的定义得出QBC ＝12∠MBC ，∠QCB ＝12∠NCB ，求出∠QBC+∠QCB＝90°+12∠A，根据三角形内角和定理求出即可；（3）根据角平分线的定义得出∠ACF＝2∠BCF，∠ABC＝2∠EBC，根据三角形外角性质得出∠ECF＝∠EBC+∠E，求出∠A＝2∠E，求出∠EBQ=90°，分为四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，②∠EBQ＝3∠Q，③∠Q＝3∠E，④∠E＝3∠Q，再求出答案即可解：（1）∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠PBC＝12∠ABC，∠PCB＝12∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝55°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°；（2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，∴∠QBC＝12∠MBC，∠QCB＝12∠NCB，∴∠QBC+∠QCB＝12（∠MBC+∠NCB）＝12（180°+∠A）＝90°+12∠A，∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°﹣12∠A；（3）∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠BCF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠BC+2∠E，∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝12∠A，∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝12∠ABC+12 MBC＝12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°，如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°；④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°，综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．【点拨】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键．。
全等三角形辅助线及常用模型
要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题. 可以适当总结证明方法.1.证明线段相等的方法：(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3)等式性质.2.证明角相等的方法：(1)利用平行线的性质进行证明.(2)证明两个角所在的两个三角形全等.(3)利用角平分线的判定进行证明.(4)同角(等角)的余角(补角)相等.(5)对顶角相等.3.证明两条线段的位置关系(平行、垂直)的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4.辅助线的添加：(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5.证明三角形全等的思维方法：(1)直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.(2)如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.(3)如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.典型例题类型一、全等三角形的性质和判定例1、问题背景：(1)如图 1：在四边形 ABCD 中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°. E, F 分别是 BC, CD 上的点.且NEAF=60°.探究图中线段BE, EF, FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明4ABE2AADG,再证明4AEF2AAGF,可得出结论，他的结论应是.探索延伸：(2)如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°. E, F分别是BC, CD上的点，且 NEAF=」NBAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由.2G 3举一反三:变式如图，已知：AEXAB, AD±AC, AB=AC,NB=NC,求证：BD = CE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1).作公共边可构造全等三角形:例2、如图：在四边形ABCD中，AD〃CB, AB〃CD.求证：NB=ND.举一反三：变式在△ ABC AB=AC.,求证: NB=NC例3、己知：在AABC中，AD为中线.求证：AD< 1(AB + AC) 2举一反三：变式若三角形的两边长分别为5和7,则第三边的中线长工的取值范围是（）A.1 ＜工＜ 6B.5 ＜工＜ 7C.2V工＜ 12D.无法确定（3）.作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：例4、如图，已知N1=N2, P为BN上的一点，PFLBC于F, PA=PC.求证：NPCB+NBAP=180°.举一反三：BD是NABC的平分线，且CELBD 变式（2015•开县二模）如图，已知，NBAC=90°, AB=AC,交BD延长线于点E.求证：BD=2CE.（4）.利用截长（或补短）法构造全等三角形:例5、如图所示，已知4ABC 中AB>AC, AD 是NBAC 的平分线，M 是AD 上任意一点，求证：MB类型三、全等三角形动态型问题例 6、如图（1）, ABLBD 于点 B, EDLBD 于点 D,点 C 是 BD 上一点.且 BC = DE, CD=AB.（1）试判断AC 与CE 的位置关系，并说明理由；（2）如图（2）,若把ACDE 沿直线BD 向左平移，使ACDE 的顶点C 与B 重合，此时第（1） 问中AC 与BE 的位置关系还成立吗？（注意字母的变化）举一反三：△CDE 中，CE = CD,现把两个三角形的C 点重合，且使NBCA= NECD,连接BE, AD.求证：BE=AD.若将4DEC 绕点C 旋转至图（2）, （3）所示的情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等吗?为什么？手拉手模型变式如图（1）,^ABC 中，BC=AC, 一MCVAB —AC.例7.在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形4八8口和ABCE,连接AE 与CD,证明:AE 与DC 的夹角为60°；(4)^八682△DFB； △EGB 2△CFB；(6) BH 平分NAHC ； GF 〃AC举一反三1 .已知：如图，点C 为线段AB 上一点，AACM 、A CBN 是等边三角形.CG 、CH 分别是A ACN 、 AMCB 的高•求证：CG =CH •2 .如图，已知AABC 和AADE 都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC + CD回家作业:一.选择题(1) △ABE 2△DBC；(2) AE=DC ； (3) (5) 相等的理由.1 .如图所示，若△ABE04ACF,且AB = 5, AE=2,则EC 的长为（）D . 2.52 .（2015春•平顶山期末）请仔细观察用直尺和圆规作一个角N A 'O 'B '等于已知角N AOB 的示意图，请你根 据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出N A 'O 'B ’=N AOB 的依据是（） 如果两个锐角三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关3. 4. 5. C . AASD . SSS 如图，在^ABC 和^DEF 中，/8=/口£尸, AB=DE ,添加下列一个条件后，仍然不能证A .Z A=Z D B. BC=EFC . Z ACB=Z FD . AC=DF 在下列结论中，正确的是（ C. 一角对应相等的两个直角三角形全等如图，点C 、D 分别在NAOB 的边OA 、OB 上 点是（ ）. B.顶角相等的两个等腰三角形全等D. 一边对应相等的两个等边三角形全等 若在线段CD 上求一点P,使它到OA, OB 的距离相等，则PA. C. 线段CD 的中点OA 与CD 的中垂线的交 B. OA 与OB 的中垂线的交点 D. CD 与NAOB 的平分线的交点6. 在4ABC 与ADEF 中，给出下列四组条件： = EF ； （3）ZB=ZE, BC=EF,ZC=ZF ；(1) AB=DE, BC=EF, AC=DF ；(2) AB=DE,ZB=ZE, BC(4) AB=DE, AC=DF,NB=NE.其中，能使△ABC04DEF的条件共有（ ）组. A.1组 B.2组C. 3组D. 4组 C . 5 7.系是（ ）A.相等B.不相等C.互补D.相等或互补 A . B . （2016•新疆） 明△ABC 04DEF ,这个条件是8. 4ABC 中，NBAC=90° AD±BC, AE 平分NBAC,NB = 2NC,NDAE 的度数是（ ）A.45°B.20°C.、30°D.15°二.填空题9 .已知"6。
相似三角形中的常见五种基本模型(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型探究相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、A字型相似模型A字型（平行）反A字型（不平行）模型二、8字型与反8字型相似模型模型三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）模型四、共边角相似模型（子母型）模型五、手拉手相似模型考点一、A 字相似模型【例1】．如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．➢变式训练 【变式1-1】．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AH ⊥BC 于点H ，与DE 交于点G ．若，则＝ ．例题精讲【变式1-2】.如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM 并延长，交BC的延长线于D，则＝__________.【变式1-3】．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝9，BD＝7．AC＝12．△ABC的角平分线AE交CD于点F．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AF＝8，求AE的长度．考点二、8字与反8字相似模型【例2】．如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值➢变式训练【变式2-1】．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．【变式2-2】．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为（）A．8B．10C．12D．14【变式2-3】.如图，锐角三角形ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，则DE：BC＝．考点三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）【例3】.如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（）A．6B．9C．12D．13.5➢变式训练【变式3-1】.如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝．【变式3-2】．如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF ＝2．（1）求EB的长；（2）求FG的长．【变式3-3】.如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，，．（1）求证：AB∥EF；（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．模型四、子母型相似模型【例4】.如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．➢变式训练【变式4-1】.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．D．【变式4-2】.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC+∠BDC＝180°，AD＝2，CD＝4，则AB的长为（）A．3B．4C．D．2【变式4-3】．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则P A+PB 的最小值为．模型五、手拉手相似模型【例5】.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为．➢变式训练【变式5-1】.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．求证：（1）△BAC∽△DAE；（2）△BAD∽△CAE．【变式5-2】.如图，点D是△ABC内一点，且∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝，∠BAD＝∠CBD＝30°，AD＝．【变式5-3】．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为．（用含k的式子表示）实战演练1．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．＝B．C．D．2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2：3B．2：5C．4：9D．：3．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC ∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（）A．CF B．FD C．BE D．EC4．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP 交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．6B．9C．12D．185．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′等于（）A．B．2C．D．6．如图，已知，△ABC中边AB上一点P，且∠ACP＝∠B，AC＝4，AP＝2，则BP＝．7．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD 于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是．8．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为．9．如图，已知Rt△ABC中，两条直角边AB＝3，BC＝4，将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，并且点A落在DE边上，则sin∠ABE＝．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．11．如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC 于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求ME的长．12．[问题背景]（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．[尝试应用]（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，①填空：＝；②求的值．13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于点M、N，连接EN、EF．（1）求证：△ABN∽△MBE；（2）求证：BM2+ND2＝MN2；（3）①求△CEF的周长；②若点G、F分别是EF、CD的中点，连接NG，则NG的长为．14．问题背景如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；拓展创新如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB ＝4，AC＝2，直接写出AD的长．15．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的数量关系BG＝DE及所在直线的位置关系BG⊥DE；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb（a ≠b，k＞0），则线段BG、线段DE的数量关系＝及所在直线的位置关系BG ⊥DE；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a＝4，b＝3，k＝，直接写出BE2+DG2的值为．。
三角形常见基本模型及相关结论
三角形常见基本模型及相关结论三角形是几何学中最基本的图形之一，也是许多数学问题和定理的重要基础。
在这篇文章中，我们将探讨三角形的常见基本模型及相关结论，以便读者更深入地理解这个重要的几何形状。
1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中任意两条线段的和大于第三条线段。
根据三角形的内角和定理，三角形的内角和总是等于180度。
这个基本定理为我们理解三角形的性质提供了重要的基础。
2. 直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角是90度。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这为解决许多实际问题提供了重要的数学工具。
直角三角形的特殊性质也在航海、建筑和工程等领域得到广泛应用。
3. 等边三角形等边三角形是指三条边都相等的三角形，每个内角都是60度。
等边三角形具有对称性和稳定性，在对称图案和结构设计中有着重要的应用。
等边三角形也是许多规则多边形的基本组成部分，如正六边形和正十二边形。
4. 等腰三角形等腰三角形是指至少两条边相等的三角形，其重要性在于其内角的性质。
其中，等腰三角形的底角相等，这为我们解决许多几何问题提供了重要线索。
等腰三角形也在对称图案和几何构造中发挥着重要作用。
5. 总结与回顾通过对三角形的常见基本模型及相关结论的探讨，我们深入地理解了三角形的重要性和特殊性质。
从直角三角形的勾股定理到等边三角形的稳定性，从等腰三角形的对称性到三角形的内角和定理，我们更加全面、深刻和灵活地认识了这个重要的几何形状。
在个人观点方面，我认为三角形作为基本的几何图形，在数学和实际应用中都有着重要的地位。
通过深入理解三角形的各种模型和性质，我们可以更好地解决实际问题，设计对称图案和结构，并且在数学推导和证明中得到更清晰的线索。
对于初学者来说，深入理解三角形的常见模型及相关结论是非常重要的。
通过本文的讨论，我们希望读者能够更深入地理解三角形的重要性和特殊性质，从而在数学学习和实际应用中取得更好的成绩。
微专题 全等三角形的六种基本模型-2024年中考数学复习
21
全等三角形的六种基本模型
模型应用
8.如图17， △ 是边长为1的等边三角形， = ，
∠ = 120∘ ，点 ， 分别在 ， 上，且
∠ = 60∘ .求 △ 的周长.
提示：如图16，延长 至点 ，使 = ，连接 .
图6
= ,
在 △ 和 △ 中， ቐ∠ = ∠, ∴ △≌△ SAS .
= ,
∠ = ∠ = 50∘ ．
7
全等三角形的六种基本模型
模型三 旋转型
模型剖析
如图7，将三角形绕着公共顶
点旋转一定角度后，两个三角形能
够完全重合，这两个三角形称为旋
图3
在 △ 和△ 中， ∵ ∠ = ∠ ， ∠ = ∠ ， = ，
∴ △ ≌ △ AAS .
∴ = .
4
全等三角形的六种基本模型
模型二 对称型
模型剖析
如图4、图5，将所给图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能
够完全重合，这两个三角形称为对称型全等三角形，其中重合的顶点就
= ， ∴ △ ≌ △ SAS . ∴ = ，
图17
图16
22
全等三角形的六种基本模型
∠ = ∠. ∵ ∠ = 120∘ ， ∠ = 60∘ ， ∴ ∠ +
∠ = 60∘ . ∴ ∠ + ∠ = 60∘ . ∴ ∠ = ∠ =
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 110∘ .
∴ ∠ = ∠ ．
= ,
图9
在 △ 和 △ 中， ቐ∠ = ∠ ， ∴ △ ≌ △ ．
= ,
∴ = ．
11
全等三角形的六种基本模型
奥数几何-三角形五大模型带解析
奥数几何-三角形五大模型带解析三角形是几何学中的基本图形之一，具有丰富的性质和应用。
在奥数竞赛中，常常会涉及到三角形的题目。
为了更好地应对这类题目，我们需要掌握三角形的五大模型，即：全等模型、相似模型、正弦定理模型、余弦定理模型和面积模型。
下面将对这五大模型进行详细解析。
一、全等模型全等模型是指两个三角形的对应边长和对应角度都相等。
利用全等模型，我们可以简化一些繁杂的计算，直接得到结论。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF的对应边长和对应角度分别相等，我们就可以得出它们全等的结论，即△ABC≌△DEF。
利用全等模型，我们可以将问题简化为求解另一个已知三角形的性质，从而得到答案。
二、相似模型相似模型是指两个三角形的对应角度相等，但对应边长不一定相等。
相似模型在解决一些比例问题时非常有用。
例如，已知△ABC和△DEF的对应角度分别相等，我们可以推出它们相似的结论，即△ABC∽△DEF。
利用相似模型，我们可以通过已知比例关系，求解未知的边长或角度。
三、正弦定理模型正弦定理是指在一个三角形中，三个角的正弦值与对应边的长度之间存在着一定的比例关系。
正弦定理模型在求解三角形的边长和角度时非常有用。
正弦定理的公式为：sinA/a = sinB/b = sinC/c，其中A、B、C为三角形的角度，a、b、c为对应边的长度。
利用正弦定理模型，我们可以通过已知的角度和边长，求解未知的边长或角度。
四、余弦定理模型余弦定理是指在一个三角形中，三个角的余弦值与对应边的长度之间存在着一定的比例关系。
余弦定理模型在求解三角形的边长和角度时非常有用。
余弦定理的公式为：c² = a² + b² - 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为对应的角度。
利用余弦定理模型，我们可以通过已知的边长和角度，求解未知的边长或角度。
五、面积模型面积模型是指通过三角形的面积关系求解三角形的边长或角度。
在面积模型中，我们常常使用海伦公式或高度公式来求解三角形的面积。