高考数学主要考点及基本题型
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解61 双曲线
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解§8.6双曲线考试要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b 2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2. 5．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )(2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)的渐近线方程是x m ±yn ＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) 教材改编题1．已知曲线C 的方程为x 2k ＋1＋y 25－k ＝1(k ∈R )，若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围是( ) A ．－1<k <5 B ．k >5 C ．k <－1 D ．k ≠－1或5 答案 C解析 若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线， 则⎩⎨⎧k ＋1<0，5－k >0，解得k <－1. 2．双曲线2y 2－x 2＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±12x B ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±2x 答案 C解析 依题意知，双曲线y 212－x 2＝1的焦点在y 轴上，实半轴长a ＝22，虚半轴长b ＝1，所以双曲线2y 2－x 2＝1的渐近线方程是y ＝±22x .3．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝________.答案17解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.题型一双曲线的定义及应用例1 (1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为()A.x24－y25＝1(x>2)B.x29－y25＝1(x>3)C.x29＋y25＝1(0<x<2)D.x29＋y24＝1(0<x<3)答案 A解析如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c ＝3，a ＝2，又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5， 所以顶点C 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x >2)．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为______． 答案 2 3解析 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．跟踪训练1(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1 B.x28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 28＝1(x ≥1)答案 C解析 设动圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切， 得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：x216－y29＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝________.答案 4解析如图所示，延长F2M交PF1于Q，由于PM是∠F1PF2的角平分线，F2M⊥PM，所以△QPF2是等腰三角形，所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中点．根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝8，即|QF1|＝8，由于O是F1F2的中点，所以MO是△QF1F2的中位线，所以|MO|＝12|QF1|＝4.题型二双曲线的标准方程例2(1)(2021·北京)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1 B.x23－y2＝1C．x2－3y23＝1 D.3x23－y2＝1答案 A解析由e＝ca＝2，得c＝2a，b＝c2－a2＝3a，则双曲线的方程为x2a2－y23a2＝1，将点(2，3)的坐标代入双曲线的方程可得2a2－33a2＝1a2＝1，解得a＝1，故b＝3，因此双曲线的标准方程为x2－y23＝1.(2)(2023·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形，则双曲线的标准方程为()A.x24－y212＝1 B.x212－y24＝1C.x23－y2＝1 D．x2－y23＝1答案 D解析由方程x2a2－y2b2＝1，得双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ， 不妨设A 在直线y ＝ba x 上，由△OAF 是边长为2的等边三角形， 可得c ＝2，直线y ＝ba x 的倾斜角为60°， 即ba ＝3，联立⎩⎨⎧ b ＝3a ，a 2＋b 2＝c 2＝4，可得⎩⎨⎧b ＝3，a ＝1， 故双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a ,2b 或2c ，从而求出a 2，b 2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为23，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 答案 A解析 易知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为ay ＝±bx ，由C 的左焦点(－c ,0)到其渐近线的距离是23，可得bc a 2＋b2＝b ＝23，则b 2＝12， 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，得e ＝ca ＝2，又c 2＝a 2＋b 2， 解得a ＝2，c ＝4，则双曲线的方程为x 24－y 212＝1.(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是( )A.x 216－y 29＝1B.x 24－y 2＝1 C.x 28－y 29＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 D解析 由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上． 设该双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，42a 2－32b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，故该双曲线的标准方程是x24－y23＝1.题型三双曲线的几何性质命题点1渐近线例3(1)(2022·北京)已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，则m＝________.答案－3解析方法一依题意得m<0，双曲线的方程化为标准方程为y2－x2－m＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±1－m＝±33，解得m＝－3.方法二依题意得m<0，令y2－x2－m＝0，得y＝±1－mx，则±1－m＝±33，解得m＝－3.(2)(2022·连云港模拟)若双曲线经过点(1，3)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________．答案4x2－y2＝1解析方法一由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，则可设x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则1a2－3b2＝1且ba＝2，联立解得a＝12，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1；②若双曲线的焦点在y轴上，则可设y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，则3a2－1b2＝1，且ab＝2，此时无解，综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1.方法二由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，∵双曲线经过点(1，3)，∴λ＝4×12－(3)2＝1，∴双曲线方程为4x 2－y 2＝1.思维升华(1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＝±b a x . (2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a ，满足关系式e 2＝1＋k 2.命题点2 离心率例4(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( ) A.72 B.132 C.7 D.13 答案 A解析 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝3m ， 在△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝m 2＋9m 2－2×3m ×m ×cos 60° ＝7m ，所以C 的离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝7m 2m ＝72.(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为e ，写出满足条件“直线y ＝2x 与C 无公共点”的e 的一个值________． 答案 2((1，5]内的任意值均可)解析 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ba x ，若直线y ＝2x 与双曲线C 无公共点， 则2≥b a ，∴b 2a 2≤4，∴e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2≤5， 又e ＞1，∴e ∈(1，5]， ∴填写(1，5]内的任意值均可．思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用c 2＝a 2＋b 2和e ＝ca 转化为关于e 的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3(1)(多选)(2023·聊城模拟)已知双曲线C ：x 29－k ＋y 2k －1＝1(0<k <1)，则下列结论正确的是( )A ．双曲线C 的焦点在x 轴上B ．双曲线C 的焦距等于4 2C ．双曲线C 的焦点到其渐近线的距离等于1－kD ．双曲线C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，103 答案 ACD解析 对于A ，因为0<k <1，所以9－k >0，k －1<0，所以双曲线C ：x 29－k －y 21－k ＝1(0<k <1)表示焦点在x 轴上的双曲线，故选项A 正确；对于B ，由A 知a 2＝9－k ，b 2＝1－k ，所以c 2＝a 2＋b 2＝10－2k ，所以c ＝10－2k ， 所以双曲线C 的焦距等于2c ＝210－2k (0<k <1)，故选项B 错误；对于C ，设焦点在x 轴上的双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点坐标为(±c ,0)，则渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，所以焦点到渐近线的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ， 所以双曲线C ：x 29－k －y 21－k ＝1(0<k <1)的焦点到其渐近线的距离等于1－k ，故选项C正确；对于D ，双曲线C 的离心率e ＝1＋b 2a2＝1＋1－k 9－k ＝2－89－k， 因为0<k <1，所以1<2－89－k <109，所以e ＝2－89－k ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，103，故选项D 正确． (2)(2022·怀化模拟)已知F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，且直线l 与双曲线C 的左支交于点B ，若3|F A |＝|AB |，则双曲线C 的渐近线方程为________． 答案 y ＝±43x解析 设C 的左焦点为F 1，连接F 1B ，过F 1作F 1D ⊥FB 于点D ，如图所示，易知F 1D ∥OA ，在双曲线C 中，易知|F A |＝b ， 又3|F A |＝|AB |， 则|DB |＝2b ，则D 为线段FB 的中点， 所以△F 1BF 为等腰三角形，又|FB |＝4b ，|F 1B |＝4b －2a ＝|F 1F |＝2c ， 即c ＋a ＝2b ，又b 2＝c 2－a 2＝(c ＋a )(c －a )，将b ＝c ＋a 2代入得(c ＋a )24＝(c ＋a )(c －a )， 得c ＋a ＝4(c －a )， 则c ＝53a ， 又c 2＝a 2＋b 2，所以b ＝43a ，则渐近线方程为y ＝±43x .课时精练1．(2022·宜昌模拟)双曲线x 22－y 24＝λ(λ>0)的离心率为( ) A.62 B. 3 C.3或62 D. 2 答案 B解析 因为λ>0，所以x 22λ－y 24λ＝1，所以双曲线焦点在x 轴上，所以a 2＝2λ，b 2＝4λ，c 2＝a 2＋b 2＝6λ，所以离心率为ca ＝c 2a 2＝6λ2λ＝ 3.2. “mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析因为方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，所以mn<0，又当mn<0时，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，因此“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的充要条件．3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±22x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为()A.x24－y22＝1B.x24－y28＝1或y24－x28＝1C.x24－y28＝1D.x24－y22＝1或y24－x28＝1答案 D解析设双曲线方程为x22m－y2m＝1(m≠0)，∵2a＝4，∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.故所求双曲线的标准方程为x24－y22＝1或y24－x28＝1.4．(2022·南通模拟)方程x2＋(cos θ)y2＝1，θ∈(0，π)表示的曲线不可能为() A．两条直线B．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 B解析 因为θ∈(0，π)，所以cos θ∈(－1,1)，所以当cos θ∈(－1,0)时，方程x 2＋(cos θ)y 2＝1表示双曲线； 当cos θ＝0时，方程x 2＋(cos θ)y 2＝1表示两条直线x ＝±1； 当cos θ∈(0,1)时，方程x 2＋(cos θ)y 2＝1可化为x 2＋y 21cos θ＝1，因为1cos θ>1，所以方程表示焦点在y 轴上的椭圆．5．(多选)(2023·唐山模拟)已知F 1，F 2为双曲线C ：y 23－x 2＝1的两个焦点，P 为双曲线C 上任意一点，则( ) A ．|PF 1|－|PF 2|＝2 3B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x C ．双曲线C 的离心率为233 D ．|PF 1—→＋PF 2—→|≥2 3 答案 CD解析 双曲线C ：y 23－x 2＝1焦点在y 轴上，a ＝3，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝2. 对于A 选项，||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝23，而P 点在哪支上并不确定，故A 错误； 对于B 选项，焦点在y 轴上的双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ab x ＝±3x ，故B 错误； 对于C 选项，e ＝c a ＝23＝233，故C 正确；对于D 选项，设P (x ，y )(x ∈R )，则|PO |＝x 2＋y 2＝x 2＋(3x 2＋3)＝3＋4x 2≥3(当且仅当x ＝0时取等号)，因为O 为F 1F 2的中点，所以|PF 1—→＋PF 2—→|＝|2PO →|＝2|PO →|≥23，故D 正确．6．(多选)(2023·湖南长郡中学模拟)F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C 右支上的一点，PF 1与C 的左支交于点Q .已知PQ →＝2QF 1—→，且|PQ |＝|PF 2|，则( )A ．△PQF 2为直角三角形B ．△PQF 2为等边三角形C ．C 的渐近线方程为y ＝±6xD ．C 的渐近线方程为y ＝±7x 答案 BC解析 因为|PQ |＝|PF 2|，所以由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝|QF 1|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ， 所以|QF 2|＝4a ， 又PQ →＝2QF 1—→， 所以|PQ |＝|PF 2|＝4a ，故△PQF 2是等边三角形．在△PF 1F 2中，由余弦定理得，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36a 2＋16a 2－4c 248a 2＝12，则c 2a 2＝a 2＋b2a 2＝7，即ba ＝6，故C 的渐近线方程为y ＝±6x .7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，则该双曲线C 的渐近线方程为________． 答案 y ＝±3x解析 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2， 所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2，所以b 2a 2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x .8．(2022·晋中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53解析 设∠F 1PF 2＝θ，由⎩⎨⎧|PF 1|＝4|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，∵|PF 2|≥c －a ， ∴23a ≥c －a ， 即53a ≥c ， 即c a ≤53，∴双曲线离心率的取值范围是1<e ≤53. 9．已知双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1(b >0)．(1)若双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝2x ，求双曲线C 的标准方程；(2)设双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线C 上，若PF 1⊥PF 2，且△PF 1F 2的面积为9，求b 的值．解 (1)因为双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±bx ，而它的一条渐近线方程为y ＝2x ， 所以b ＝2，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 24＝1.(2)因为PF 1⊥PF 2， 所以12PF F S △＝12|PF 1|·|PF 2|， 因为△PF 1F 2的面积为9， 所以|PF 1|·|PF 2|＝18， 又因为||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， 所以|PF 1|2－2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝40，又因为|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， 所以c 2＝10，由a 2＋b 2＝c 2，得1＋b 2＝10， 所以b ＝3.10.如图，已知双曲线的中心在原点，F1，F2为左、右焦点，焦距是实轴长的2倍，双曲线过点(4，－10)．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下，若点M在第一象限，且直线MF2交双曲线于另一点N，求△F1MN 的面积．(1)解设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，双曲线焦距为2c，实轴长为2a，则2c＝22a，即c＝2a，∴b2＝c2－a2＝a2，∴双曲线方程为x2－y2＝a2，将(4，－10)代入得，a2＝16－10＝6，∴双曲线的标准方程为x26－y26＝1.(2)证明由(1)知，F1(－23，0)，F2(23，0)，∵M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2＝3，以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝12，将M(3，m)代入得9＋3＝12，∴M在以F1F2为直径的圆上．(3)解由(2)知，点M坐标为(3，3)或(3，－3)，∵点M在第一象限，∴M的坐标为(3，3)，直线MF2的方程为y－3＝－323－3(x－3)＝－(2＋3)(x－3)，即y＝(－2－3)x＋(6＋43)，代入双曲线方程整理可得(6－43)y2－43(2－3)y＋6＝0，∵M的纵坐标为3，∴N的纵坐标为6(6－43)×3＝13－2＝－(3＋2)，∴△F1MN的面积为S＝12|F1F2|·(3＋3＋2)＝23×(2＋23)＝12＋4 3.11．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆x210＋y26＝1有相同的焦距，一条渐近线方程为x－3y＝0，则C的方程为()A.x23－y2＝1或y2－x23＝1B．x2－y23＝1或y2－x23＝1C.x23－y2＝1或y23－x2＝1D．x2－y23＝1或y23－x2＝1答案 A解析在椭圆x210＋y26＝1中，c＝10－6＝2，∴焦距2c＝4.∵C 的一条渐近线方程为x －3y ＝0，∴设C 的方程为x 23－y 2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为x 23λ－y 2λ＝1. 当λ>0时，c ＝λ＋3λ＝2，解得λ＝1，则C 的方程为x 23－y 2＝1； 当λ<0时，c ＝－λ－3λ＝2，解得λ＝－1，则C 的方程为y 2－x 23＝1.综上，C 的方程为x 23－y 2＝1或y 2－x 23＝1.12．(2022·徐州模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫a >0，b >0，e >62的左、右焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之比是3∶2，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B.322 C. 2 D.52 答案 C解析 过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为F ，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为E ，如图所示．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|OB |＝|OF 2|＝c ， 由渐近线的方程y ＝b a x 可知y 2＝ba x 2， 在Rt △OBE中，x 22＋b 2a2x 22＝c 2，解得x 2＝a (舍负)，由已知得x 1∶x 2＝3∶2，即x 1＝62a ，即|AF |2＝c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫62a 2＝c 2－32a 2，因为离心率e >62， 所以c 2－32a 2>0，则点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62a ，c 2－32a 2，代入双曲线方程可得32a 2a 2－c 2－32a2b 2＝1，化简得2a 2＝c 2，即e ＝ 2.13．(2022·枣庄模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为双曲线在第二象限上的一点，B 关于坐标原点O 的对称点为C ，直线CA 与直线BF 的交点M 恰好为线段BF 的中点，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B ．3 C. 2D. 3 答案 B解析 如图，设B (m ，n )，则C (－m ，－n )， 易知A (a ,0)，F (c ,0)，由M 为线段BF 的中点得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋c 2，n 2，又M 在直线CA 上，故CA→，AM →共线， 又CA →＝(a ＋m ，n )，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋c 2－a ，n 2， 故(a ＋m )·n 2＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋c 2－a ， 整理得c ＝3a ， 故离心率e ＝ca ＝3.14．(多选)(2022·湖南联考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，过点F 2作直线与双曲线E 的右支相交于P ，Q 两点，在点P 处作双曲线E 的切线，与E 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，则下列命题中正确的是( ) A ．若|PF 1|·|PF 2|＝2，则PF 1—→·PF 2—→＝0 B ．若a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则双曲线的离心率e ∈(1，2＋1]C ．△F 1PQ 周长的最小值为8D ．△AOB (O 为坐标原点)的面积为定值 答案 ACD解析 由题意知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，a 2＋1＝c 2，则|PF 1|2－2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2，所以有|PF 1|2＋|PF 2|2＝4a 2＋4＝4c 2＝|F 1F 2|2，从而PF 1—→⊥PF 2—→，即PF 1—→·PF 2—→＝0，故A 正确； 在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 1|sin ∠PF 2F 1＝|PF 2|sin ∠PF 1F 2，则sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|＝a c，解得|PF 1|＝ca |PF 2|.又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a 2c －a>c －a ，整理得c 2－2ac －a 2<0，所以e 2－2e －1<0，解得1<e <2＋1，故B 错误；当直线PQ ⊥x 轴时，|PQ |的最小值为2a ，|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |＝2a ＋|PF 2|＋2a ＋|QF 2|＋|PQ |＝4a ＋2|PQ |＝4a ＋4a ≥8(当且仅当a ＝1时取等号)，故C 正确；设P (x 0，y 0)，过点P 的双曲线E 的切线方程为x 0a 2x －y 0y ＝1，E 的渐近线方程为y ＝±1a x ，不妨设切线x 0a 2x －y 0y ＝1与渐近线y ＝1a x 的交点为A ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1a x ，x 0a 2x －y 0y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2x 0－ay 0，y ＝a x 0－ay 0，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2x 0－ay 0，a x 0－ay 0，同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2x 0＋ay 0，－a x 0＋ay 0.又因为点P 在双曲线E 上，则有x 20a 2－y 20＝1，x A ＋x B ＝a 2x 0－ay 0＋a 2x 0＋ay 0＝2x 0，故点P 是AB 的中点．设切线x 0a 2x －y 0y ＝1与x 轴的交点为G ，易知G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x 0，0，所以S △AOP ＝12·a 2x 0|y A －y 0|＝a 2·a x 0⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x 0－ay 0－y 0＝a2，所以S △AOB ＝2S △AOP ＝a ，故D 正确．。
高考数学必考题型及答题技巧
高考数学必考题型及答题技巧
高考数学考试中必考的题型主要有四类：
一、选择题：选择题主要旨在考查学生对概念的理解，对简单的思考能力和算法的应用能力。
考生可以根据对题目的直观判断，先粗略浏览后做出选择，再进行必要的计算核验。
二、填空题：填空题主要考查学生对数学概念的分析，抽象思维能力及抒写能力。
考生在作答过程中，要充分发挥自己的想象、理解力，仔细阅读题目，把握答题全部思路，列出方程组并求解。
三、解答题：解答题是数学考试题型中吃重的部分，考查的是数学的基本解题思路和综合运用概念、定义和公式等进行解题的能力。
只要考生能正确理解题意，把握解题要点，充分利用所学的平行线性和定理，充分发挥思维的能力，就能得出合理的解答。
四、操作题：操作题是高考数学中成绩较好的组成部分，是考查学生解题时手算能力和推理能力的一个重要题型。
考生需要认真细致，结合例题和考题有针对性地分析，把握答题全过程，并有恰当的计算步骤、略去文字介绍及不必要步骤，正确无误地把答案计算出来。
答题技巧：
一、明确求解目标：考生在进入考场之前，应将题目整体对准并把握题意，仔细阅读确定考查的知识点，掌握准确解法，列出详细的步骤或必要的公式，并将解题过程完整地记录下来，按照顺序仔细算出答案。
二、利用图形分析：考生可以利用几何图形的周长、面积、棱形等，联系各个形体的变化，来简便地求解几何形体的相关量的关系及把握方程的概念，从而减少复杂的数学计算，使解题速度更快、工作量更少，得出正确的结果。
三、充分利用现有资料：考生在做高考数学的时候，可以充分发挥自身的思维、分析、绘图、猜测等能力，仔细分析题目，利用资料，找出解题思路，进行有效的数学计算，考试出百分满分的成绩。
高考数学总复习考点及分值分配
与高考有关的所有数学问题（二）题型分析单选的总评和总结:本套选择题中第1～5题比较简单,第6题考查学生的归纳能力，第8题是一个应用性问题，第9题是以新增的概率统计为素材的比较大小题，但要求学生熟悉公式的变形推导,方可解决。
第10题图形题是江西试卷的一大特点.填空题考生容易下手，其中第15题是对选修的考查,基本上是一学就会的题解答题的总评和总结:解答题第16、17题只要学生运算细心，基本上能顺利拿下，第18题是以立几体积计算为背景的古典概型题，要求学生有较强计数能力。
第19题立几题回归到往年的中档题位置，传统方法，向量法都容易解决.第20题解析几何第1问学生容易拿分，第2问是开放性问题，要求学生有较强的运算能力和计算技巧及很强的推理能力才可得到最终结论的题.第21题是定义型的题，比较抽象，要求学生有很强的理解能力和扎实的基本功,相对较难一点，但没有偏难题。
（三）分析与总结通过对今年我省数学高考试卷的分析，我感到今年的江西高考数学试卷在命制中，本试卷的知识覆盖面广，基本把每个知识点都涉及到。
题目数量、难度安排适宜,题目立意新颖，试卷难、中、易比例恰当。
达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标。
编辑启示我们组稿时主要主要以下几点：1.基础能力，即基本的计算能力。
2.图形处理能力，包括两点，第一点，通过数字变成图形，第二点,通过图形读出数字的规律。
3.归纳猜想能力，归纳猜想并不指的我们前面讲过的数学归纳法问题,归纳和猜想意思是我们通过一些题目信息去提炼出最关键的问题，让我们知道那个是题眼，了解到这个题目本质之后，去代入一些特殊的、极限的值.4.知识联系,如能否把函数与其他知识结合起来，比如说复习到后面的解析几何的时候，能不能把后面的解析几何起来。
高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1。
1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集,表示整数集,表示有理数集,表示实数集。
高考数学试题考点分级与基本题型
四川省高考数学试题考点分级与基本题型一在实际命制高考试题时，将试题、考点分为A、B、C三级，对应的试题层级划分基本按以下原则处理：A级：基础的题目，能力要求为“了解”，“理解”题型主要为选择题、填空题或解答题（1）小题. （基础题，应覆盖相应的主要内容和基本方法）B级：主要是中档题目，能力要求为“理解”、“掌握”，题型主要为选择题、填空题、解答题，以解答题的前四题的难度为准. （中档题，应包括相关内容所涉及板块知识的简单综合）C级：难题、压轴题，能力要求为“综合应用”，题型主要为选择题的11、12题解答题21、22题（体现能力要求的难题和压轴题，应包括多个相关板块知识的相互综合与应用）.数学考试大纲的主要考点及其分级：（一）集合与简易逻辑A级：1.简单数集的“子、交、并、补”运算（有限集）；2.集合的关系（包含、相等）的判断；（有限集、无限集）3.韦恩图的应用；4.不等式，不等式组的解集；5.四种命题的关系；6.“或”、“且”、“非”逻辑关系词的应用；7.简单充要条件的判定；8.集合{a1, a2, …, a n}的子集个数2n及应用；9.简单的映射问题。
B级：1.较复杂的充要条件的判定；2.证明简单充要条件问题；3.较复杂不等式组的解集；4.新定义的运算（为集合的差集等）。
（二）函数A级：1.函数的定义域，解析式；2.函数的奇偶性的判定；3.简单函数的单调性；4.幂、指、对函数的图象；5.分段函数图象；6.反函数；7.对数运算（换底公式）；8.利用定义解指数、对数方程；9.比较函数值大小（利用图象）；10.图象平移（按向量a）；11.应用问题：由实际问题判断图象。
B级：1.求简单函数值；2.函数xy e=,lny x=的图象应用；3.用定义解最简单的指数、对数不等式；4.复合函数的单调性；5.分段函数的单调性；6.简单的抽象函数、函数方程；7.函数的周期（非三角函数）；8.用导数求函数的单调区间与极值；9.二次函数综合题；10.含绝对值函数问题；11.函数凸性，12121(()()()22x xf x f x f++>判定：12.应用问题：建立函数关系，求最值。
高考数学考试重难点知识总结
高考数学考试重难点知识总结高考数学考前必背知识点一、三角函数题三角题一般在解答题的前两道题的位置上,主要考查三角恒等变换、三角函数的图像与性质、解三角形等有关内容.三角函数、平面向量和三角形中的正、余弦定理相互交汇,是高考中考查的热点.二、数列题数列题重点考查等差数列、等比数列、递推数列的综合应用,常与不等式、函数、导数等知识综合交汇,既考查分类、转化、化归、归纳、递推等数学思想方法,又考查综合运用知识进行运算、推理论证及解决问题的能力.近几年这类试题的位置有所前移,难度明显降低.三、立体几何题常以柱体、锥体、组合体为载体全方位地考查立体几何中的重要内容,如线线、线面与面面的位置关系,线面角、二面角问题,距离问题等,既有计算又有证明,一题多问,递进排列,此类试题既可用传统方法解答,又可用空间向量法处理,有的题是两法兼用,可谓珠联璧合,相得益彰.究竟选用哪种方法,要由自己的长处和图形特点来确定.便于建立空间直角坐标系的,往往选用向量法,反之,选用传统方法.另外,“动态”探索性问题是近几年高考立体几何命题的新亮点,三视图的巧妙参与也是立体几何命题的新手法,要注意把握.四、概率问题概率题一般在解答题的前三道题的位置上,主要考查数据处理能力、应用意识、必然与或然思想,因此近几年概率题常以概率与统计的交汇形式呈现,并用实际生活中的背景来“包装”.概率重点考查离散型随机变量的分布列与期望、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验与二项分布等;统计重点考查抽样方法(特别是分层抽样)、样本的频率分布、样本的特征数、茎叶图、线性回归、列联表等,穿插考查合情推理能力和优化决策能力.同时,关注几何概型与定积分的交汇考查,此类试题在近几年的高考中难度有所提升,考生应有心理准备.五、圆锥曲线问题解析几何题一般在解答题的后三道题的位置上,有时是“把关题”或“压轴题”,说明了解析几何题依然是重头戏,在新课标高考中依然占有较突出的地位.考查重点:第一,解析几何自身模块的小交汇,是指以圆、圆锥曲线为载体呈现的,将两种或两种以上的知识结合起来综合考查.如不同曲线(含直线)之间的结合,直线是各类曲线和相关试题最常用的“调味品”,显示了直线与方程的各知识点的基础性和应用性.第二,圆锥曲线与不同模块知识的大交汇,以解析几何与函数、向量、代数知识的结合最为常见.有关解析几何的最值、定值、定点问题应给予重视.一般来说,解析几何题计算量大且有一定的技巧性(要求品出“几何味”来),需要“精打细算”,对考生的意志品质和数学机智都是一种考验和检测.六、导数、极值、最值、不等式恒成立(或逆用求参)问题导数题考查的重点是用导数研究函数性质或解决与函数有关的问题.往往将函数、不等式、方程、导数等有机地综合,构成一道超大型综合题,体现了在“知识网络交汇点处设计试题”的高考命题指导思想.鉴于该类试题的难度大,有些题还有高等数学的背景和竞赛题的味道,标准答案提供的解法往往如同“神来之笔”,确实想不到,加之“搏杀”到此时的考生的精力和考试时间基本耗尽,建议考生一定要当机立断,视时间和自身实力,先看第(1)问可否拿下,再确定放弃、分段得分或强攻.近几年该类试题与解析几何题轮流“坐庄”,经常充当“把关题”或“压轴题”的重要角色.高考数学必考知识点大全第一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解63---范围与最值问题
高考数学复习考点知识与题型专题讲解圆锥曲线问题----范围与最值问题题型一范围问题例1已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，直线x ＋3y －1＝0被以椭圆C 的短轴为直径的圆截得的弦长为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (4,0)的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且λ＝|MA |·|MB |，求λ的取值范围．解(1)因为原点到直线x ＋3y －1＝0的距离为12. 所以⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝b 2(b >0)，解得b ＝1. 又e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝34，得a ＝2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当直线l 的斜率为0时，λ＝|MA |·|MB |＝12.当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：x ＝my ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，x 24＋y 2＝1，得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0. 由Δ＝64m 2－48(m 2＋4)>0，得m 2>12，所以y 1y 2＝12m 2＋4.λ＝|MA |·|MB |＝m 2＋1|y 1|·m 2＋1|y 2|＝(m 2＋1)·|y 1y 2|＝12(m 2＋1)m 2＋4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m 2＋4. 由m 2>12，得0<3m 2＋4<316，所以394<λ<12. 故λ的取值范围是⎝⎛⎦⎤394，12. 思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 跟踪训练1(2020·山东新高考联合考试)已知A ，B 是x 轴正半轴上两点(A 在B 的左侧)，且|AB |＝a (a >0)，过A ，B 分别作x 轴的垂线，与抛物线y 2＝2px (p >0)在第一象限分别交于D ，C 两点．(1)若a ＝p ，点A 与抛物线y 2＝2px 的焦点重合，求直线CD 的斜率；(2)若O 为坐标原点，记△OCD 的面积为S 1，梯形ABCD 的面积为S 2，求S 1S 2的取值范围． 解(1)由题意知A ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则B ⎝⎛⎭⎫p 2＋a ，0，D ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，则C ⎝⎛⎭⎫p 2＋a ，p 2＋2pa ， 又a ＝p ，所以k CD ＝3p －p 3p 2－p 2＝3－1. (2)设直线CD 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b ，y 2＝2px ，得ky 2－2py ＋2pb ＝0， 所以Δ＝4p 2－8pkb >0，得kb <p 2， 又y 1＋y 2＝2p k ，y 1y 2＝2pb k， 由y 1＋y 2＝2p k >0，y 1y 2＝2pb k>0， 可知k >0，b >0，因为|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝a 1＋k 2，点O 到直线CD 的距离d ＝|b |1＋k 2， 所以S 1＝12·a 1＋k 2·|b |1＋k 2＝12ab . 又S 2＝12(y 1＋y 2)·|x 1－x 2|＝12·2p k ·a ＝ap k， 所以S 1S 2＝kb 2p， 因为0<kb <p 2，所以0<S 1S 2<14. 即S 1S 2的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，14.题型二最值问题命题点1几何法求最值例2 (2020·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点M (2,3)，点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12. (1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．解(1)由题意可知直线AM 的方程为y －3＝12(x －2)， 即x －2y ＝－4.当y ＝0时，解得x ＝－4，所以a ＝4.由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点M (2,3)， 可得416＋9b2＝1，解得b 2＝12. 所以C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)设与直线AM 平行的直线方程为x －2y ＝m .如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝m ，x 216＋y 212＝1，可得3(m ＋2y )2＋4y 2＝48，化简可得16y 2＋12my ＋3m 2－48＝0，所以Δ＝144m 2－4×16(3m 2－48)＝0，即m 2＝64，解得m ＝±8，与AM 距离比较远的直线方程为x －2y ＝8，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，即d ＝8＋41＋4＝1255， 由两点之间的距离公式可得|AM |＝(2＋4)2＋32＝3 5.所以△AMN 的面积的最大值为12×35×1255＝18. 命题点2代数法求最值例3在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2，以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E 恰好经过点⎝⎛⎭⎫1，22. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设经过点(－2,0)的直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，求△F 2MN 的面积的最大值．解(1)由题意得椭圆E 的焦点在x 轴上．设椭圆E 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，则b ＝c ， ∴a 2＝b 2＋c 2＝2b 2，∴椭圆E 的标准方程为x 22b 2＋y 2b2＝1.∵椭圆E 经过点⎝⎛⎭⎫1，22，∴12b 2＋12b 2＝1，解得b 2＝1. ∴椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)∵点(－2,0)在椭圆E 外，∴直线l 的斜率存在．设直线l 的斜率为k ，则直线l ：y ＝k (x ＋2)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 22＋y 2＝1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－2＝0. ∴x 1＋x 2＝－8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2， Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)>0，解得0≤k 2<12. ∴|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝21＋k 22－4k 2(1＋2k 2)2.∵点F 2(1,0)到直线l 的距离d ＝3|k |1＋k 2，∴△F 2MN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝3k 2(2－4k 2)(1＋2k 2)2. 令1＋2k 2＝t ，t ∈[1,2)，得k 2＝t －12. ∴S ＝3(t －1)(2－t )t 2＝3－t 2＋3t －2t 2＝3－1＋3t －2t 2＝3－2⎝⎛⎭⎫1t －342＋18. 当1t ＝34，即t ＝43⎝⎛⎭⎫43∈[1，2)时，S 有最大值，S max ＝324，此时k ＝±66. ∴△F 2MN 的面积的最大值是324.思维升华处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．跟踪训练2如图所示，点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解(1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)，设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )，∵P A ⊥PF ，∴AP →·FP →＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，可得2x 2＋9x －18＝0，得x ＝32或x ＝－6.由于y >0，故x ＝32，于是y ＝532. ∴点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫32，532. (2)由(1)可得直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0，点B (6,0)．设点M 的坐标是(m ,0)，则点M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2， 于是|m ＋6|2＝|m －6|， 又－6≤m ≤6，解得m ＝2.由椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，得d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎫x －922＋15， 由于－6≤x ≤6，由f (x )＝49⎝⎛⎭⎫x －922＋15的图象可知， 当x ＝92时，d 取最小值，且最小值为15. 课时精练1．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，上顶点为B ，已知直线AB 的斜率为12，|AB |＝ 5. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，且点O 在以MN 为直径的圆外(其中O 为坐标原点)，求m 的取值范围．解(1)由已知得A (－a ,0)，B (0，b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝12，a 2＋b 2＝5，可得a 2＝4，b 2＝1，则椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my －1，x 24＋y 2＝1，得(m 2＋4)y 2－2my －3＝0. Δ＝(2m )2＋12(4＋m 2)＝16m 2＋48>0，y 1＋y 2＝2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4， 由题意得∠MON 为锐角，即OM →·ON →>0，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2>0，又x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝m 2y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1.∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋m 2)y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝(1＋m 2)·－34＋m 2－2m 24＋m 2＋1＝1－4m 24＋m 2>0， ∴m 2<14，解得－12<m <12. ∴m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，12. 2．(2021·长沙雅礼中学模拟)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点分别为F 1，F 2，点P (－1，－1)且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值．解(1)∵F 1(1,0)，F 2⎝⎛⎭⎫0，p 2，∴F 1F 2—→＝⎝⎛⎭⎫－1，p 2， F 1F 2—→·OP →＝⎝⎛⎭⎫－1，p 2·(－1，－1)＝1－p 2＝0， ∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)设过点O 的直线MN 的方程为y ＝kx (k <0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ，得(kx )2＝4x ，解得M ⎝⎛⎭⎫4k 2，4k ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4y ，y ＝kx ，得N (4k ,4k 2)， 从而|MN |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫4k 2－4k ， 点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k 2，所以S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2⎝⎛⎭⎫4k 2－4k ＝2(1－k )(1－k 3)k 2＝2(1－k )2(1＋k ＋k 2)k 2 ＝2⎝⎛⎭⎫k ＋1k －2⎝⎛⎭⎫k ＋1k ＋1， 令t ＝k ＋1k(t ≤－2)．则S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)， 当t ＝－2，即k ＝－1时，S △PMN 取得最小值，最小值为8. 即当过原点的直线方程为y ＝－x 时， △PMN 的面积取得最小值8.3．(2019·全国Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点． (1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 解(1)连接PF 1(图略)．由△POF 2为等边三角形可知，在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ， 于是2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)c ，故C 的离心率为e ＝c a ＝3－1. (2)由题意可知，若满足条件的点P (x ，y )存在，则12|y |·2c ＝16，y x ＋c ·y x －c＝－1， 即c |y |＝16，①x 2＋y 2＝c 2，②又x 2a 2＋y 2b 2＝1.③ 由②③及a 2＝b 2＋c 2得y 2＝b 4c 2. 又由①知y 2＝162c 2，故b ＝4. 由②③及a 2＝b 2＋c 2得x 2＝a 2c 2(c 2－b 2)， 所以c 2≥b 2，从而a 2＝b 2＋c 2≥2b 2＝32，故a ≥4 2.当b ＝4，a ≥42时，存在满足条件的点P .所以b ＝4，a 的取值范围为[42，＋∞)．4．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设斜率存在的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．解(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝63，a ＝3，∴c ＝2，b ＝1，∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m . 由已知|m |1＋k 2＝32，得m 2＝34(k 2＋1)． 把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0.Δ＝36k 2m 2－4(3k 2＋1)(3m 2－3)＝36k 2－12m 2＋12>0.∴x 1＋x 2＝－6km3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1. ∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1 ＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6(k ≠0) ≤3＋122×3＋6＝4. 当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立． 当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2. ∴当|AB |最大时，△AOB 的面积取得最大值 S ＝12×|AB |max ×32＝32.5．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆与直线y ＝x －3相切．(1)求椭圆的方程；(2)过F 1作两条互相垂直的直线l 1，l 2，与椭圆分别交于点P ，Q 及M ，N ，求四边形PMQN 面积的最小值．解(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 因为它与直线y ＝x －3只有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x －3只有一组解， 消去y ，整理得(a 2＋b 2)·x 2－23a 2x ＋3a 2－a 2b 2＝0. 所以Δ＝(－23a 2)2－4(a 2＋b 2)(3a 2－a 2b 2)＝0， 化简得a 2＋b 2＝3.又焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，所以a 2－b 2＝1，联立上式解得a 2＝2，b 2＝1.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)若直线PQ 的斜率不存在(或为0)，则S 四边形PMQN ＝|PQ |·|MN |2＝21－12×222＝2. 若直线PQ 的斜率存在，设为k (k ≠0)，则直线MN 的斜率为－1k. 所以直线PQ 的方程为y ＝kx ＋k ， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋k ，化简得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1， 所以|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[16k 4－4(2k 2－2)(2k 2＋1)]2k 2＋1＝22×k 2＋12k 2＋1， 同理可得|MN |＝22×k 2＋12＋k 2. 所以S 四边形PMQN ＝|PQ |·|MN |2＝4×(k 2＋1)2(2＋k 2)(2k 2＋1)＝4×k 4＋2k 2＋12k 4＋5k 2＋2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－12k 22k 4＋5k 2＋2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－k 24k 4＋10k 2＋4＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14k 2＋4k 2＋10. 因为4k 2＋4k 2＋10≥24k 2·4k2＋10＝18(当且仅当k 2＝1时取等号)， 所以14k 2＋4k2＋10∈⎝⎛⎦⎤0，118，所以4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14k 2＋4k 2＋10∈⎣⎡⎭⎫169，2. 综上所述，四边形PMQN 面积的最小值为169.。
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高考数学题型全归纳
高考数学题型全归纳高考数学必考七个题型第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第五，概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。
第六，空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。
主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。
第七，解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。
以不变应万变。
题型1、集合的基本概念题型2、集合间的基本关系题型3、集合的运算题型4、四种命题及关系题型5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明题型6、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围题型7、判断命题的真假题型8、含有一个量词的命题的否定题型9、结合命题真假求参数的范围题型10、映射与函数的概念题型11、同一函数的判断题型12、函数解析式的求法题型13、函数定义域的求解题型14、函数定义域的应用题型15、函数值域的求解题型16、函数的奇偶性题型17、函数的单调性(区间)题型18、函数的周期性题型19、函数性质的综合题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系题型21、二次方程ax2+bx+c=0(a0)的实根分布及条件题型22、二次函数动轴定区间、定轴动区间问题题型23、指数运算及指数方程、指数不等式题型24、指数函数的图像及性质题型25、指数函数中的恒成立的问题题型26、对数运算及对数方程、对数不等式题型27、对数函数的图像与性质题型28、对数函数中的恒成立问题题型29、幂函数的定义及基本性质题型30、幂函数性质的综合应用题型31、判断函数的图像题型32、函数图像的应用题型33、求函数的零点或零点所在区间题型34、利用函数的零点确定参数的取值范围题型35、方程根的个数与函数零点的存在性问题题型36、函数与数列的综合题型37、函数与不等式的综合题型38、函数中的创新题题型39、导数的定义题型40、求函数的导数题型41、导数的几何意义题型42、利用原函数与导函数的关系判断图像题型43、利用导数求函数的单调区间题型44、含参函数的单调性(区间)题型45、已知含参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间,求参数范围题型46、函数的极值与最值的求解题型47、方程解(函数零点)的个数问题题型48、不等式恒成立与存在性问题题型49、利用导数证明不等式题型50、导数在实际问题中的应用题型51、终边相同的角的集合的表示与识别题型52、等分角的象限问题题型53、弧长与扇形面积公式的计算题型54、三角函数定义题题型55、三角函数线及其应用题型56、象限符号与坐标轴角的三角函数值题型57、同角求值---条件中出现的角和结论中出现的角是相同的题型58、诱导求值与变形题型59、已知解析式确定函数性质题型60、根据条件确定解析式题型61、三角函数图像变换题型62、两角和与差公式的证明题型63、化简求值题型64、正弦定理的应用题型65、余弦定理的应用题型66、判断三角形的形状题型67、正余弦定理与向量的综合题型68、解三角形的实际应用题型69、共线向量的基本概念题型70、共线向量基本定理及应用题型71、平面向量的线性表示题型72、平面向量基本定理及应用题型73、向量与三角形的四心题型74、利用向量法解平面几何题型75、向量的坐标运算题型76、向量平行(共线)、垂直充要条件的坐标表示题型77、平面向量的数量积题型78、平面向量的应用题型79、等差、等比数列的通项及基本量的求解题型80、等差、等比数列的求和题型81、等差、等比数列的性质应用题型82、判断和证明数列是等差、等比数列题型83、等差数列与等比数列的综合题型84、数列通项公式的求解题型85、数列的求和题型86、数列与不等式的综合题型87、不等式的性质题型88、比较数(式)的大小与比较法证明不等式题型89、求取值范围题型90、均值不等式及其应用题型91、利用均值不等式求函数最值题型92、利用均值不等式证明不等式题型93、不等式的证明题型94、有理不等式的解法题型95、绝对值不等式的解法题型96、二元一次不等式组表示的平面区域题型97、平面区域的面积题型98、求解目标函数的最值题型99、求解目标函数中参数的取值范围题型100、简单线性规划问题的实际运用题型101、不等式恒成立问题中求参数的取值范围题型102、函数与不等式综合题型103、几何体的表面积与体积题型104、球的表面积、体积与球面距离题型105、几何体的外接球与内切球题型106、直观图与斜二测画法题型107、直观图三视图题型108、三视图直观图---简单几何体的基本量的计算题型109、三视图直观图---简单组合体的基本量的计算题型110、部分三视图其余三视图题型111、证明点共面、线共面或点共线及线共点题型112、异面直线的判定题型113、证明空间中直线、平面的平行关系题型114、证明空间中直线、平面的垂直关系题型115、倾斜角与斜率的计算题型116、直线的方程题型117、两直线位置关系的判定题型118、有关距离的计算题型119、对称问题题型120、求圆的方程题型121、直线系方程和圆系方程题型122、与圆有关的轨迹问题题型123、圆的一般方程的充要条件题型124、点与圆的位置关系判断题型125、与圆有关的最值问题题型126、数形结合思想的应用题型127、直线与圆的相交关系题型128、直线与圆的相切关系题型129、直线与圆的相离关系题型130、圆与圆的位置关系题型131、椭圆的定义与标准方程题型132、离心率的值及取值范围题型133、焦点三角形题型134、双曲线的定义与标准方程题型135、双曲线的渐近线题型136、离心率的值及取值范围题型137、焦点三角形题型138、抛物线的定义与方程题型139、与抛物线有关的距离和最值问题题型140、抛物线中三角形、四边形的面积问题题型141、直线与圆锥曲线的位置关系题型142、中点弦问题题型143、弦长与面积问题题型144、平面向量在解析几何中的应用题型145、定点问题题型146、定值问题题型147、最值问题题型148、已知流程框图,求输出结果题型149、根据条件,填充不完整的流程图题型150、求输入参量题型151、算法综合应用题型152、算法案例题型153、古典概型题型154、几何概型的计算题型155、抽样方式题型156、茎叶图与数字特征题型157、直方图与数字特征题型158、频(数)率表与数字特征题型159、统计图表与概率综合题型160、线性回归方程题型161、独立性检验题型162、归纳推理题型163、类比推理题型164、综合法与分析法证明题型165、反证法证明题型166、复数的分类、代数运算和两个复数相等的条件题型167、复数的几何意义题型168、相似三角形题型169、相交弦定理、切割线定理及其应用题型170、四点共圆题型171、空间图形问题转化为平面问题题型172、参数方程化普通方程题型173、普通方程化参数方程题型174、极坐标方程化直角坐标方程题型175、含绝对值的不等式题型176、不等式的证明。
全国卷高考数学题型分布
全国卷高考数学题型分布一、选择题全国卷的高考数学试卷中，选择题占据了较大的比例。
这些题目通常考察学生对基础知识的掌握程度，以及运用这些知识解决实际问题的能力。
选择题一般会涉及到代数、几何、三角函数、数列、概率等各个方面。
解题时，学生需要仔细审题，准确理解题意，并运用所学知识进行推理和计算。
二、填空题填空题也是全国卷高考数学中的重要题型。
这类题目主要考察学生的计算能力、空间想象能力和逻辑思维能力。
在解答填空题时，学生需要准确、快速地运用所学知识进行计算和推理，并按照题目要求填写正确的答案。
三、解答题解答题是全国卷高考数学试卷中的重要组成部分。
这类题目通常要求学生综合运用所学知识，解决较为复杂的问题。
在解答解答题时，学生需要具备扎实的数学基础，较强的分析问题和解决问题的能力，以及良好的书面表达能力。
四、三角函数与解三角形三角函数与解三角形是全国卷高考数学中的重要考点。
这类题目通常涉及到三角函数的性质、图象和变换，以及解三角形的各种方法。
在解答这类题目时，学生需要熟练掌握三角函数的性质和图象，了解解三角形的各种方法，并能够灵活运用这些知识进行推理和计算。
五、数列与数列求和数列与数列求和是全国卷高考数学中的重要内容。
这类题目通常涉及到等差数列、等比数列的性质和求和公式，以及一些数列的通项公式和求和方法的运用。
在解答这类题目时，学生需要熟练掌握数列的性质和求和公式，了解数列的通项公式和求和方法的运用，并能够灵活运用这些知识进行推理和计算。
六、立体几何立体几何是全国卷高考数学中的重要考点。
这类题目通常涉及到空间几何体的性质、面积、体积的计算，以及一些空间几何问题的解决。
在解答这类题目时，学生需要熟练掌握空间几何体的性质和面积、体积的计算方法，了解一些空间几何问题的解决方法，并能够灵活运用这些知识进行推理和计算。
七、解析几何解析几何是全国卷高考数学中的重要内容。
这类题目通常涉及到直线、圆、圆锥曲线的性质和方程，以及一些解析几何问题的解决。
高考数学题型及占比
高考数学题型及占比
一、选择题
选择题是高考数学中的基础题型，主要考察学生对基础知识的掌握程度和应用能力。
选择题通常由四个选项组成，其中只有一个选项是正确的。
选择题的难度一般较低，但需要考生认真审题，仔细分析每个选项，找出正确的答案。
在高考数学中，选择题的占比通常较高，一般在40%左右。
因此，掌握选择题的解题技巧和方法对于高考数学成绩的提高至关重要。
二、填空题
填空题也是高考数学中的基础题型，主要考察学生对基础知识的理解和应用能力。
填空题通常要求考生填写数字、表达式或简短的文字说明。
与选择题相比，填空题的难度略高，需要考生具备扎实的基础知识和较强的分析能力。
在高考数学中，填空题的占比也较高，一般在30%左右。
考生在备考时需要加强对填空题的练习，提高解题的准确性和速度。
三、解答题
解答题是高考数学中的高级题型，主要考察学生对数学知识的综合运用能力和逻辑思维能力。
解答题通常包含几个小题，难度逐渐加大，需要考生逐步推导和解答。
解答题要求考生具备扎实的基础知识、较强的逻辑推理能力和较好的数学素养。
在高考数学中，解答题的占比最高，一般在50%左右。
因此，考生在备考时需要加强对解答题的练习，提高解题的准确性和速度。
同时，也需要注重数学思想和方法的积累，提高数学素养和逻辑思维能力。
高考数学必考题型及答题技巧整理
高考数学必考题型及答题技巧整理（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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2023全国高考数学试卷全国卷一 考点
2023全国高考数学试卷全国卷一考点
2023年全国高考数学试卷全国卷一的考点主要包括以下几个方面：
1. 函数与导数：主要考查函数的性质、导数的计算和应用，以及函数与导数的综合应用。
2. 三角函数：主要考查三角函数的性质、图像和变换，包括正弦、余弦、正切等函数的性质和图像，以及三角函数在各象限内的符号特点等。
3. 立体几何：主要考查空间几何体的性质、空间几何体的三视图、空间几何体的表面积和体积，以及空间中点线面的位置关系等。
4. 解析几何：主要考查直线的方程、圆的方程、圆锥曲线的标准方程和性质，以及直线与圆锥曲线的位置关系等。
5. 概率与统计：主要考查概率的基本概念、随机变量的分布和数字特征，以及统计学的相关知识。
6. 排列组合与二项式定理：主要考查排列组合的基本概念和计算方法，以及二项式定理的应用等。
7. 复数：主要考查复数的概念、复数的运算和复数的几何意义等。
8. 平面解析几何：主要考查直线的方程、圆的方程、椭圆的标准方程和性质，以及直线与椭圆的位置关系等。
9. 参数方程与极坐标：主要考查参数方程和极坐标的基本概念、转换关系以及各坐标之间的应用等。
以上是2023年全国高考数学试卷全国卷一的考点概述，具体题型和难度可能会根据不同地区和不同年份有所差异。
考生在备考时应该全面复习，掌握各种题型和知识点，注重基础知识的巩固和应用能力的提升。
高考数学必考题型及答题技巧
高考数学必考题型及答题技巧高考数学必考题型及答题技巧高考数学必考题型是什么题型一运用同三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。
题型二运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心。
题型三解三角函数问题、判断三角形形状、正余弦定理的应用。
题型四数列的通向公式的求法。
高考数学答题技巧有哪些1、函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2、如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法;3、面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。
如所过的定点，二次函数的对称轴或是……;4、选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法;5、求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法;6、恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏;7、圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法;使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式;高考数学考试大纲①单项选择考试范围。
集合的基本运算、复数的基本运算、统计与概率-排列组合、立体几何、概率事件、指数与对数函数、平面向量与平面几何、函数的与导数。
②多项选择考试范围。
解析几何(双曲线)、三角函数、不等式应用、对数运算及不等式基本性质。
③填空题考试范围。
解析几何(抛物线)、数列(等差或等比)、三角函数、立体几何轨迹计算。
④解答题考试范围。
三角函数(正弦余弦定理)、等比数列及其求和、统计与概率、立体几何、解析几何、函数与导数。
高考数学不及格影响院校录取吗?高考有科目不及格，不会影响太大，只要总分足够高，还是能上好的大学，只是在同等分数下，你的分数不及格，学校可能会优先选择及格的学生。
2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习 导数与函数的单调性(精练：基础+重难点)
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结第15练导数与函数的单调性（精练）一、解答题【A组在基础中考查功底】一、单选题A ．B ．C ．．【答案】A【分析】根据函数的单调性与导函数的关系判断即可；【详解】解：由()f x 的图象可知，当(),0x ∈-∞时函数单调递增，则()f x '，故排除C 、D ；当()0,x ∈+∞时()f x 先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于，再大于0，最后小于B ；故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）若函数ln y x a x =+在区间[)1,+∞内单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．),1-∞-C ．[)+∞D ．[1,-【答案】D【分析】根据函数单调性与导数的关系进行求解即可【详解】由ln 1a y x a x x=+⇒=+，因为函数ln y x a x =+在区间[)1,+∞内单调递增，所以有0y '≥在[)1,+∞上恒成立，即10ax+≥在[1,+∞上恒成立，因为[)1,x ∞∈+，所以由100x a a ≥⇒+≥⇒≥，因为[)1,x ∞∈+，所以,1]x --∞-，于是有1a ≥-二、多选题f x为偶函数A．()f x为奇函数B．()f x的最小值为a C．()三、填空题四、解答题【B组在综合中考查能力】一、解答题二、单选题而函数()3g x a ax =-恒过点(3,0C 象应介于直线AC 与直线BC 之间（可以为直线又()1,1A ，()2,2ln 21B +，∴011312AC k -==--，0(2ln 3BC k -=三、填空题故1x =为函数极小值点，此时函数也取得最小值，最小值为(1)e g =-，故e,e m m -≤-∴≥，经验证，当e m =时，()()21e 0xf x m x x '=+--≥在R 上恒成立,仅在1x =时取等号，适合题意，故实数m 的取值范围是[e,)+∞，故答案为：[e,)+∞【C 组在创新中考查思维】一、解答题令()0f x ¢>,解得()0,x ∈+∞;令()0f x '<,解得(),0x ∈-∞,所以()f x 的单调增区间为()0,∞+,单调减区间为(),0∞-,当1a <-时,令()0f x '=,解得:0x =或()ln 1x a =--,①当()ln 10a --=时,即2a =-,()()2e 10xf x '=-≥,所以()f x 在(),-∞+∞上单增.②当()ln 10a -->时,即2a <-,由()0f x ¢>解得:()()(),0ln 1,x a ∈-∞--+∞ ;由()0f x '<解得:()()0,ln 1x a ∈--,所以()f x 的单调增区间为()()(),0,ln 1,a -∞--+∞,()f x 的单调减区间为()()0,ln 1a --.③当()ln 10a --<时,即21a -<<-,由()0f x ¢>解得:()()(),ln 10,x a ∈-∞--+∞ ;由()0f x '<解得:()()ln 1,0x a ∈--,所以()f x 的单调增区间为()()(),ln 1,0,a -∞--+∞,()f x 的单调减区间为()()ln 1,0a --.综上:当1a ≥-时,()f x 的单调增区间为()0,∞+,单调减区间为(),0∞-;当21a -<<-时,()f x 的单调增区间为()()(),ln 1,0,a -∞--+∞,()f x 的单调减区间为()()ln 1,0a --;当2a =-时,()f x 在(),-∞+∞上单增;当2a <-时,()f x 的单调增区间为()()(),0,ln 1,a -∞--+∞,()f x 的单调减区间为()()0,ln 1a --.二、单选题三、多选题四、填空题。
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解15 函数的零点与方程的解
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解§2.11函数的零点与方程的解考试要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×)(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．(√)教材改编题1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()答案 A解析由图象可知，B，D选项中函数无零点，A，C选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点．2．函数y＝3x－ln x的零点所在区间是()A．(3,4) B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1) 答案 B解析因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数y＝3x在(0，＋∞)上单调递减；y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，所以函数y＝3x－ln x为定义在(0，＋∞)上的连续减函数，又当x＝2时，y＝32－ln 2>0；当x＝3时，y＝1－ln 3<0，两函数值异号，所以函数y＝3x－ln x的零点所在区间是(2,3)．3．函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是() A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析由f′(x)＝e x＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝1e－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．题型一函数零点所在区间的判定例1(1)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是()A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)答案 B解析由题意得，f(x)＝ln x＋2x－6，在定义域内单调递增，f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3>0，则f(2)f(3)<0，∴零点在区间(2,3)上．延伸探究用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1()A．2 B．3 C．4 D．5答案 C解析∵开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为12n，故有12n≤0.1，解得n≥4，∴至少需要操作4次．(2)(2023·蚌埠模拟)已知x1＋12x＝0，x2＋log2x2＝0,33x-－log2x3＝0，则() A．x1<x2<x3B．x2<x1<x3C．x1<x3<x2D．x2<x3<x1答案 A解析设函数f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上单调递增，f (－1)＝－12，f (0)＝1，即f (－1)f (0)<0， 由函数零点存在定理可知，－1<x 1<0. 设函数g (x )＝x ＋log 2x ，易知g (x )在(0，＋∞)上单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12，g (1)＝1，即g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12g (1)<0，由函数零点存在定理可知，12<x 2<1， 设函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2x ，易知h (x )在(0，＋∞)上单调递减，h (1)＝13，h (x 3)＝0， 因为h (1)>h (x 3)，由函数单调性可知，x 3>1， 即－1<x 1<0<x 2<1<x 3.思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 跟踪训练1(1)(多选)函数f (x )＝e x －x －2在下列哪个区间内必有零点( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 答案 AD解析 f (－2)＝1e 2>0，f (－1)＝1e －1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．(2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案 A解析函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0. 所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．题型二函数零点个数的判定例2(1)若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－log|x|的零点个数是()12A．5 B．4 C．3 D．2答案 D解析在同一平面直角坐标系中作出f(x)＝|x|，g(x)＝log|x|的图象如图所示，则y＝f(x)12－log|x|的零点个数，即f(x)与g(x)图象的交点个数，由图可知选D.12(2)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0,2 023]上根的个数为()A．404 B．405 C．406 D．203答案 C解析因为f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)关于直线x＝2对称且f(5＋x)＝f(－x－1)；因为f(7＋x)＝f(7－x)，故可得f(5＋x)＝f(－x＋9)；故可得f(－x－1)＝f(－x＋9)，则f(x)＝f(x＋10)，故f(x)是以10为周期的函数．又f(x)在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，根据函数对称性可知，f(x)在一个周期[0,10]内也只有两个零点，又区间[0,2 023]内包含202个周期，故f(x)在[0,2 020]上的零点个数为202×2＝404，又f(x)在(2 020,2 023]上的零点个数与在(0,3]上的零点个数相同，有2个．故f(x)在[0,2 023]上有406个零点，即f(x)＝0在区间[0,2 023]上有406个根．思维升华求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2(1)(2022·泉州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为( ) A ．3 B ．7 C ．5 D ．6 答案 B解析 根据题意，令2f 2(x )－3f (x )＋1＝0， 得f (x )＝1或f (x )＝12. 作出f (x )的简图如图所示，由图象可得当f (x )＝1和f (x )＝12时， 分别有3个和4个交点，故关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为 7. (2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______． 答案 6解析 令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6， ∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0，由36－x 2＝0得x ＝±6， 由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，∴x 的取值为－3π2，－π2，π2，3π2. 故f (x )共有6个零点． 题型三 函数零点的应用 命题点1 根据零点个数求参数例3(2023·黄冈模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧4－x 2，x ≤2，log 3(x －1)，x >2，g (x )＝kx －3k ，若函数f (x )与g (x )的图象有三个交点，则实数k 的取值范围为( ) A ．(22－6,0) B ．(23－6,0) C ．(－2,0) D ．(25－6,0) 答案 D解析 作出函数f (x )＝⎩⎨⎧4－x 2，x ≤2，log 3(x －1)，x >2的图象，如图所示，设与y ＝4－x 2相切的直线为l ，且切点为P (x 0,4－x 20)，因为y ′＝－2x ，所以切线的斜率为k ＝－2x 0， 则切线方程为y －4＋x 20＝－2x 0(x －x 0)， 因为g (x )＝kx －3k 过定点(3,0)，且在切线l 上，代入切线方程求得x 0＝3－5或x 0＝3＋5(舍去)， 所以切线的斜率为k ＝25－6， 因为函数f (x )与g (x )的图象有三个交点， 由图象知，实数k 的取值范围为(25－6,0)． 命题点2 根据函数零点的范围求参数例4(2023·北京模拟)已知函数f (x )＝3x－1＋axx .若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 C ．(－∞，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞答案 B解析 由f (x )＝3x －1＋ax x ＝0，可得a ＝3x －1x ， 令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)， 由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域． 由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增， 所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增． 当x ∈(－∞，－1)时，g (x )＝3x －1x <g (－1)＝3－1＋1＝43， 又g (x )＝3x －1x >0，所以函数g (x )在(－∞，－1)上的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.思维升华 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.跟踪训练3(1)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．0<a <3B ．1<a <3C ．1<a <2D ．a ≥2 答案 A解析 因为函数y ＝2x，y ＝－2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )＝2x －2x －a 在(0，＋∞)上单调递增，由函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内得，f (1)×f (2)＝(2－2－a )(4－1－a )＝(－a ) ×(3－a )<0，解得0<a <3.(2)(2023·唐山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x x，x >0，x 2＋2x ，x ≤0，若g (x )＝f (x )－a 有3个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1eC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪{－1} 答案 B解析 设h (x )＝ln xx (x >0)， 则h ′(x )＝1－ln xx 2， 令h ′(x )>0，得0<x <e ， 令h ′(x )<0，得x >e ，所以函数h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减． 所以h (x )max ＝h (e)＝1e .因为函数g (x )＝f (x )－a 有3个零点， 所以方程f (x )＝a 有3个解．作出函数y ＝f (x )和y ＝a 的图象如图所示，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1e .课时精练1．(2022·焦作模拟)设函数f (x )＝2x＋x3的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(－4，－2)B ．(－2，－1)C ．(1,2)D ．(2,4) 答案 B解析 易知f (x )在R 上单调递增且连续，f (－2)＝14－23<0，f (－1)＝12－13>0，所以x 0∈(－2，－1)．2．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为( ) A ．(0,0.5)，f (0.125) B ．(0,0.5)，f (0.375) C ．(0.5,1)，f (0.75) D ．(0,0.5)，f (0.25) 答案 D解析 因为f (0)f (0.5)<0，由函数零点存在定理知，零点x 0∈(0,0.5)， 根据二分法，第二次应计算f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52，即f (0.25)． 3．函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x －3，x ≤0，log 2x －3x ＋4，x >0的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 当x ≤0时，令f (x )＝x 2－2x －3＝0， 得x ＝－1(x ＝3舍去)，当x >0时，令f (x )＝0，得log 2x ＝3x －4， 作出y ＝log 2x 与y ＝3x －4的图象，如图所示，由图可知，y ＝log 2x 与y ＝3x －4有两个交点， 所以当x >0时，f (x )＝0有两个零点， 综上，f (x )有3个零点．4．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则实数m 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53∪(0，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪(0，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，0 答案 D解析 由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x 在区间(1,3]上单调递增， 所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点， 则⎩⎨⎧f (1)<0，f (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ＋53≥0，解得－53≤m <0.因此，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，0.5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x <0，1＋|x －1|，x ≥0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．(1,2) C ．(0,1) D ．[1，＋∞) 答案 A解析 因为函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，所以函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点， 作出函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，1<m ≤2，即m 的取值范围是(1,2]．6．已知函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点分别为x 1，x 2，x 3，则( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 2<x 3<x 1D ．x 3<x 1<x 2 答案 C解析 函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点，即为y ＝x 与y ＝x (x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的交点的横坐标，作出y ＝x 与y ＝x (x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的图象，如图所示．可知x 2<x 3<x 1.7．(多选)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数可能是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 答案 ABC 解析 由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]， f (x )＝⎩⎨⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]，在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y ＝k 与y ＝f (x )的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(多选)(2023·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是( ) A ．f (x )＝2x ＋x B ．f (x )＝x 2－x －3C．f(x)＝12x＋1 D．f(x)＝|log2x|－1答案BCD解析选项A，若f(x0)＝x0，则02x＝0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；选项B，若f(x0)＝x0，则x20－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故该函数是“不动点”函数；选项C，若f(x0)＝x0，则12x＋1＝x0，可得x20－3x0＋1＝0，且x0≥1，解得x0＝3＋52，故该函数是“不动点”函数；选项D，若f(x0)＝x0，则|log2x0|－1＝x0，即|log2x0|＝x0＋1，作出y＝|log2x|与y＝x＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log2x|＝x＋1有实数根x0，即存在x0，使|log2x0|－1＝x0，故该函数是“不动点”函数．9．已知指数函数为f(x)＝4x，则函数y＝f(x)－2x＋1的零点为________．答案 1解析由f(x)－2x＋1＝4x－2x＋1＝0，得2x(2x－2)＝0，x＝1.10．(2023·苏州质检)函数f(x)满足以下条件：①f(x)的定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线；②∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )；③当x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f (x )恰有两个零点，请写出函数f (x )的一个解析式________． 答案 f (x )＝x 2－1 (答案不唯一)解析 因为∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，所以f (x )是偶函数， 因为当x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 因为f (x )恰有两个零点，所以f (x )图象与x 轴只有2个交点，所以函数f (x )的一个解析式可以为f (x )＝x 2－1(答案不唯一)．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，即f (x )＝－x ＋a 有且只有一个实根， 即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点．如图，在同一直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距．由图可知，当a ≤1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )有两个交点，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点． 故实数a 的取值范围是(1，＋∞)．12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|2x－1|，x ≤1，(x －2)2，x >1，函数y ＝f (x )－a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则123422x x x x ++＝________.答案 12解析 y ＝f (x )－a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4， 即方程f (x )＝a 有四个不同的解，即y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有四个交点．在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象，如图所示，由二次函数的对称性可得，x 3＋x 4＝4.因为1－12x ＝22x －1，所以12x ＋22x ＝2，故123422x x x x ++＝12.13．已知函数f (x )＝|e x －1|＋1，若函数g (x )＝[f (x )]2＋(a －2)f (x )－2a 有三个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案 A解析 令t ＝f (x )，则函数g (t )＝t 2＋(a －2)t －2a ，由t 2＋(a －2)t －2a ＝0得，t ＝2或t ＝－a .f (x )＝|e x－1|＋1＝⎩⎨⎧e x ，x ≥0，2－e x，x <0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，当t ＝2时，方程f (x )＝|e x －1|＋1＝2有且仅有一个根，则方程f (x )＝|e x －1|＋1＝－a 必有两个不同的实数根，此时由图可知，1<－a <2，即－2<a <－1.14．已知函数f (x )＝x ＋1x －sin x －1，x ∈[－4π，0)∪(0,4π]，则函数f (x )的所有零点之和为________． 答案 0解析 因为函数f (x )＝x ＋1x －sin x －1＝1x －sin x ， 所以f (x )的对称中心是(0,0)， 令f (x )＝0，得1x ＝sin x ，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝1x ，y ＝sin x 的图象，如图所示，由图象知，两个函数图象有8个交点，即函数f (x )有8个零点， 由对称性可知，零点之和为0.15．(2023·南昌模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x －1，若关于x 的方程f (x )＝m (x ＋1)(m >0)恰有5个实数解，则实数m 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e －16，e －15B.⎝ ⎛⎭⎪⎫e －16，e －14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫e －18，e －16D ．(0，e －1) 答案 B解析 ∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )关于直线x ＝1对称，又f (x )为定义在R 上的偶函数，∴函数f (x )关于直线x ＝0对称，作出函数y ＝f (x )与直线y ＝m (x ＋1)的图象，如图所示，要使关于x 的方程f (x )＝m (x ＋1)(m >0)恰有5个实数解，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m (x ＋1)有5个交点，∴⎩⎨⎧6m >e －1，4m <e －1，即e －16<m <e －14. 16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2 解析 由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减， 所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x ，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3>1e ，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2.。
2025年高考数学重点考点汇总
2025年高考数学重点考点汇总高考数学一直是考生们重点关注的科目，随着教育改革的不断推进，数学考试的重点和趋势也在发生变化。
对于即将参加 2025 年高考的同学们来说，了解重点考点是备考的关键。
下面为大家汇总了 2025 年高考数学的重点考点。
一、函数函数是高中数学的核心内容，也是高考的重点考查对象。
包括函数的概念、性质（单调性、奇偶性、周期性）、图象等。
1、函数的定义域和值域求函数定义域时，要注意分式的分母不为零、偶次根式的被开方数非负、对数函数的真数大于零等限制条件。
值域的求解方法多样，如配方法、换元法、判别式法等。
2、函数的单调性和奇偶性利用定义判断函数的单调性和奇偶性是常见的题型。
同时，要能根据函数的单调性和奇偶性来解决不等式、比较大小等问题。
3、二次函数二次函数的图象和性质是重点，包括顶点、对称轴、最值等。
此外，二次函数与一元二次方程、不等式的结合也是常考的知识点。
4、指数函数和对数函数要掌握指数函数和对数函数的图象、性质，以及它们的运算性质。
指数函数和对数函数的综合应用，如解指数、对数方程和不等式等也是考点之一。
二、三角函数三角函数在高考中占有较大的比重，涉及的知识点较多。
1、三角函数的定义和诱导公式理解三角函数的定义，熟练掌握诱导公式，能够进行三角函数的化简和求值。
2、三角函数的图象和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图象特点、周期、振幅、相位等性质要牢记。
3、三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式等的运用，以及三角函数的化简、求值和证明。
4、解三角形利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的边长、角度、面积等问题。
三、数列数列是高考数学的必考内容之一。
1、数列的概念和通项公式掌握等差数列和等比数列的定义、通项公式，能根据给出的条件求出数列的通项公式。
2、数列的前 n 项和等差数列和等比数列的前 n 项和公式要熟练运用。
同时，要掌握错位相减法、裂项相消法等求数列前 n 项和的方法。
高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)
高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
高考数学的高频考点题型主要包括以下几类：
1. 函数与方程：包括一次函数、二次函数、指数函数、对
数函数、三角函数等的性质、图像和应用；一元二次方程、一元二次不等式、一元一次方程组等的解法与应用。
解题方法：熟悉各种函数的性质和图像特点，掌握解方程
和解不等式的方法和步骤。
2. 数列与数列的通项公式：包括等差数列、等比数列、递
推数列等的性质、求和公式和通项公式。
解题方法：了解数列的性质和公式，掌握数列的求和方法
和通项公式的推导。
3. 三角函数与解三角形：包括三角函数的性质、图像和应用；解三角形的正弦定理、余弦定理和正弦定理。
解题方法：熟悉三角函数的性质和图像特点，掌握解三角
形的定理和公式。
4. 平面几何与立体几何：包括平面图形的性质、面积和周
长计算；立体图形的性质、体积和表面积计算。
解题方法：熟悉各种图形的性质和计算公式，掌握平面几
何和立体几何的解题方法和步骤。
5. 概率与统计：包括事件的概率计算、随机变量的期望计算、样本调查和数据处理等。
解题方法：掌握概率和统计的基本概念和计算方法，了解常见的概率分布和统计图表的绘制方法。
6. 解析几何：包括平面解析几何和空间解析几何的性质、方程和应用。
解题方法：熟悉解析几何的基本概念和计算方法，掌握平面解析几何和空间解析几何的解题方法和步骤。
总结起来，高考数学的高频考点题型主要集中在函数与方程、数列与数列的通项公式、三角函数与解三角形、平面几何与立体几何、概率与统计、解析几何等方面。
解题方法主要是熟悉各种概念和公式，掌握解题方法和步骤。
新高考数学试卷考点分布
新高考改革以来，我国高考数学试卷的考点分布发生了很大的变化。
本文将针对新高考数学试卷的考点分布进行详细分析，以帮助考生更好地备考。
一、基础考点1. 集合与常用逻辑用语：这一部分主要考查集合的概念、运算、关系，以及逻辑用语的基本用法。
在历年高考中，这一部分的考题占比约为25%。
2. 函数：函数是高考数学的核心考点，包括函数的概念、性质、图像、运算等。
在历年高考中，这一部分的考题占比约为35%。
3. 三角函数与解三角形：这一部分主要考查三角函数的概念、性质、图像、运算，以及解三角形的相关知识。
在历年高考中，这一部分的考题占比约为20%。
4. 导数及其应用：这一部分主要考查导数的概念、性质、运算，以及导数在解决实际问题中的应用。
在历年高考中，这一部分的考题占比约为20%。
5. 不等式：这一部分主要考查不等式的概念、性质、解法，以及不等式在实际问题中的应用。
在历年高考中，这一部分的考题占比约为10%。
二、提高考点1. 平面向量：这一部分主要考查向量的概念、运算、性质，以及向量在解决实际问题中的应用。
在历年高考中，这一部分的考题占比约为10%。
2. 平面解析几何：这一部分主要考查直线、圆、圆锥曲线等图形的性质、方程、运算，以及解析几何在实际问题中的应用。
在历年高考中，这一部分的考题占比约为15%。
3. 立体几何：这一部分主要考查空间几何体的性质、方程、运算，以及立体几何在实际问题中的应用。
在历年高考中，这一部分的考题占比约为10%。
4. 数列：这一部分主要考查数列的概念、性质、运算，以及数列在实际问题中的应用。
在历年高考中，这一部分的考题占比约为10%。
5. 统计与概率：这一部分主要考查统计的基本概念、方法，以及概率的计算。
在历年高考中，这一部分的考题占比约为5%。
三、综合考点1. 实际应用问题：新高考数学试卷越来越注重考查考生解决实际问题的能力。
这类题目往往涉及多个知识点的综合运用，要求考生具备较强的逻辑思维能力和分析能力。
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高考数学主要考点与基本题型说明：1. 高考数学考点以高考考试大钢为准。
2. 试题、考点分A、B、C三级。
A级：基础的的题目，能力要求为"了解"，"理解"题型主要为选择题、填空题或解答题（1）小题。
B级：主要是中档题目，能力要求为"理解"、"掌握"，题型主要为选择题、填空题、解答题，以解答题的前四题的难度为准。
C级：难题、压轴题，能力要求为"综合应用"，题型主要为选择题的11、12题解答题21、22题。
一、高考数学主要考点（一）集合与简易逻辑A级：1.简单数集的"子、交、并、补"运算（有限集）；2.集合的关系（包含、相等）的判断；（有限集、无限集）3.韦恩图的应用；4.不等式，不等式组的解集；5.四种命题的关系；6."或"、"且"、"非"逻辑关系词的应用；7.简单充要条件的判定；8.{a1, a1, ... ，an}个集合子集个数2n与应用；9. 简单的映射问题。
B级：1.较复杂的充要条件的判定；2.证明简单充要条件问题；3.较复杂不等式组的解集；4.新定义的运算（为集合的差集等）。
（二）函数A级：1. 函数的定义域，解析式；2. 函数的奇偶性的判定；3. 简单函数的单调性；4. 幂、指、对函数的图象；5. 分段函数图象；6. 反函数；7. 对数运算（换底公式）；8. 利用定义解指数、对数方程；9. 比较函数值大小（利用图象）；10. 图象平移（按向量）；11.应用问题：由实际问题判断图象。
B级： 1.求简单函数值；2. y=ex, y=lnx的图象应用；3. 用定义解最简单的指数、对数不等式；4. 复合函数的单调性；5. 分段函数的单调性；6. 简单的抽象函数、函数方程；7. 函数的周期（非三角函数）；8. 用导数求函数的单调区间与极值；9. 二次函数综合题；10. 含绝对值函数问题；11. 函数凸性，（f (x1) + f (x2)＞f (）判定；12. 应用问题：建立函数关系，求最值。
C级：1.函数与数列综合问题；2.用导数求函数单调区间并证明不等式；3.用闭区间连续函数必有最大最小值理论求函数值域；4.二次函数综合问题+含绝对值不等式；5.与高等数学相关的函数问题；6.函数最值与线性规划；7.抽象函数与性质证明；8.函数应用综合问题（分段函数）；9.函数创新题目（与竞赛题相关）。
（三）数列A级：1.等差数列定义、性质、求an、Sn；2.等比数列定义、性质，求an、Sn；3.等差中项与等比中项；4.简单的递归数列（写出前n项）；5.数列与函数图象；6. 数列简单应用问题。
B级：1. 等差、等比数列综合问题；2. an与Sn关系；3. 求Sn最大，最小值问题；4. 一阶线性递归（给出辅助数列）；5. 数列求和：分组法、裂项相消、错位相减法；6. 定义新数列问题。
C级： 1. 数列求和与证明不等式；2. 递归数列（不给辅助数列）求an、Sn；3. 用导数得出的递归数列；4. 数列与几何问题；5. 递归数列应用问题；6. 与高等数学相关问题。
(四)三角函数A级：1. 任意角的三角函数；2. 诱导公式 + 三角函数求值；3. 单位圆、三角函数线（正弦线、余弦线）；4. y=Asin(ωx+φ)图象与其性质；5. y=Acos(ωx+φ)图象与其性质；6. 由正、余弦函数图象判断解析式；7. 同角三角函数关系8. 已知三角函数值，在限定范围求角；9. 三角恒等变形（和、差、倍）；10. 用arcsinα, arccosα, arctanx表示角；11. y=sin2x 平移交换得 y=Asin(ω+φ) 图象；12. y=cos2x平移交换得 y=Acos(ω+φ) 图象。
B级：1. y=tanx的图象与性质；2. 三角恒等变形后求值、求角；3. 三角恒等变形后求 y=Acos(ω+φ) 的单调区间与最值；4. 以向量形式给出条件，三角恒等变形，求角，求值；5. 以单位圆给出条件，三角恒等变形求角，求值；6. 三角函数图象按向量平移；7. 最简单的三角方程，三角不等式（不求通解，只求特解）；8. 三角函数与数列综合问题；9. 有隐含条件的三角问题；10. 含参的三角函数最值讨论。
C级：1. 用导数求三角函数的值域（连续可导）。
（五）向量A级：1. 向量的有关概念；2. 向量几何运算，加、减、数乘；3. 向量的坐标运算；4. 向量运算的几何意义（如（）表示......）的应用；5. 向量点乘运数与几何意义；6. 向量模的运算；7. 用向量表示平行，垂直等条件；8. 平面向量基本定理与应用；9. 正弦定理与应用；10. 余弦定理与应用；11. "=x + y， A、B、C三点共线推出x + y=1"的应用。
B级：1. 较复杂的三角形，多边形中向量运算；2. 用非正交基向量表示其它向量；3. 用向量构造函数，求函数单调区间，最值；4. 用向量构造三角函数，求相关问题；5. 向量与概率结合问题；6. 解斜三角形；7. 解斜三角形 + 三角变换；8. 正弦定理、余弦定理 + 三角变换；9. 解斜三角形应用问题（台风、测量）；10. 定义新的向量运算（创新问题）。
(六)不等式A级：1. 不等式性质的应用、判定；2. 重要不等式：a2 + b2 ≥ 2ab, ≥(a>0,b>0)；3. 一元一次、一元二次、不等式（组）；4. 解高次不等式、分式不等式；5. 用图象、定义解最简单无理不等式；6. 解含绝对值不等式。
B级：1. 定和定积原理应用；2. 重要不等式综合应用；3. 二次函数与不等式；4. 解含参不等式；5. 用分类讨论法解不等式；6. 分析法、综合法证明不等式。
C级：1. 用放缩法证明不等式；2. 用数学归纳法证明不等式；3. 构造函数求导，利用函数单调性证明不等式；4. 证明与二项式相关的不等式；5. 二次函数与含绝对值不等式；6. 三角形不等式 |a| - |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|；7. 由高等数学改编问题。
（七）直线、平面、简单几何体A级：1. 确定平面问题；2. 判定异面直线；3. 平行关系的判定：线线，线面，面面；4. 垂直关系的判定：线线、线面、面面；5. 空间四边形的问题；6. 三垂线定理应用（以正方体、长方体、三棱体、棱锥为载体）；7. 求异面直线所成角；8. 直线与平面所成角；9. 二面角；10. 异面直线距离（给出公垂线段）；11. 截面问题；12. 柱体、锥体的体积；13. 正四面体有关问题。
B级：1. 球面距离（球大圆、球小圆）；2. 球的内接正方体、长方体问题；3. 锥体、柱体的体积；4. 图形的翻折问题；5. 最小角定理cosθ = cosθ1·cosθ2的应用；6. 射映面积公式应用cosθ=；7.长方体中角定理cos2α+cos2β+cos2γ=1，其中：α、β、γ是AC1与三度所成角；8. 多面体的截割与拼接；9. 正方体中的圆锥曲线；10. 正方体（等）中的函数问题；11. 正方体为载体；12. 长方体为载体；13. 三棱锥为载体；14. 三棱柱为载体；15. 多面体为载体；16. 翻折图形为载体；（11-16均可建立空间坐标系）。
（八）直线与圆A级：1. 确定直线的方程；2. 两直线平行、垂直判定与应用；3. 确定圆的方程；4. 两圆的位置关系；5. 点到直线距离公式的应用；6. 两直线夹角、到角问题；7. 最简单的线性规划问题；8. 线性规划应用问题（简单的）；9. 定比分点公式（中点公式）与应用。
B级：1. 直线与圆位置关系（与平面几何联系）；2. 较复杂的线性规划问题；3. 求圆的方程（待定系数）；4. 直线系（过定点的直线）；5. 圆系；6. 直线与圆的弦长、切线、圆幂定理；7. 解析几何中的三角形问题；8. 圆的参数方程与综合应用；9. 线性规划应用问题（复杂的）。
（九）圆锥曲线B级：1. 椭圆定义、标准方程；2. 椭圆的几何量，a、b、c、e、准线；3. 双曲线的定义，标准方程；4. 双曲线的几何量，a、b、c、e、准线、渐近线；5. 抛物线标准方程；6. 求曲线方程（结果应为圆锥曲线）；7. 圆锥曲线中的充要条件；8. 由图形结合圆锥曲线几何量的计算；9. 含参圆锥曲线的讨论；10. 图形对称、翻折、平移；11. 圆与椭圆综合问题；12. 圆与抛物线综合问题；13. 圆与双曲线综合问题。
C级：1. 直线与椭圆、弦长面积（焦点弦）；2. 向量与椭圆、几何性质；3. 直线与双曲线、几何性质；4. 向量与双曲线、弦长、三角形的面积；5. 抛物线切线问题（导数求法）；6. 抛物线焦点弦、综合问题；7. 圆锥曲线范围问题；8. 圆锥曲线 + 函数 + 最值；9. 圆锥曲线平行弦的中点轨迹；10. 圆锥曲线+数列；11. 新定义圆锥曲线问题；12. 圆锥曲线几何性质改编问题。
（十）排列组合、二项式定理Ｂ级：1. 数字问题 (a)特殊位置、特殊元素优先；２. 排队问题 (b)先组合、后排列；３. 分组问题 (c)插空格法；４. 图形上色问题 (d)插隔板法；5. 整除问题 (e)排除法；６. 数列相关问题 (f)分类讨论；７. 函数相关问题 (g)打捆法；８. 几何问题；９. 选人问题；10. 排列组合问题中求待定系数问题；11. (a+b)n展开式求指定项（常数项、含xk项）；12. (a+b)n展开式二项式系数，项的系数问题；13. 由杨辉三角形产生问题；14. 由来布尼兹三角形产生问题；15. 余数问题；16. 组合数性质证明与应用（包括用求导方法证明）。
Ｃ级：1. 利用二项式定理证明不等式；2. 利用组合数恒等式证明不等式。
（十一）概率、统计Ａ级：1. 简单的古典概率；2. 和事件概率；3. 积事件概率；4. 相应独立事件，互斥事件概率；5. 由排列组合问题产生的概率；6. 统计直方图；7. 数据处理、数学期望、方差，从数据中提取信息；8. 正态分布曲线基本问题。
Ｂ级：1. 二项分布概率；2. 随机事件概率分布列、数学期望、方差；3. 逆求概率问题；４. 含参概率问题；（概率主要问题）①摸球问题②射击问题③投篮问题④比赛问题⑤产品抽样问题⑥几何问题⑦由排列组合产生问题⑧其它5. 新情景的概率问题。
（十二）极限、导数Ａ级：1. 数列极限的定义；2. 简单的数列极限运算（型、型）；3. 函数极限的定义；4. 简单的函数极限运算；5. 函数连续的定义、判定；6. 导数的定义；7. 简单的求导运算（简单复合函数）。