信用衍生品6

6.2 信用违约互换的闭形式模型
假设： 利率为常数r， 每年的条件违约概率为常数p， 违约回收率为常数R， 信用互换中每年的票息是s。
P(违约发生在第n年和第n+1年之间 没有违约发生在第n年以前)=p
6.2 信用违约互换的闭形式模型
第一种情况：
假定票息在每年的年初支付，而且一旦违约触 及，赔偿会在当年的来自百度文库底收到，得到 s (1 R) p
就可以依次地求出函数 (t)
假设(2)：严格假定违约后的赔偿金 在时间点上得到
在更精确的假设下得到的hazard rate与在原假设 下得到的hazard rate比较：
在精确假设下得到的hazard rate 要低于在年 末得到违约赔偿金假设下得到的hazard rate，这 是因为前一种情况下违约赔偿金一定会来得早， 但二者关于票息支付时间和方式的假设却都一样， 所以为了使得初始的违约互换现金流的折现为零， 违约应来得慢一些。
违约时间 ；
第n年年末现金流：
n< ，买方有负的现金流-s
n> ，买卖方不再有现金流
时刻，买方有正的现金流（1-R）
6.1 信用违约互换的一般定价原理
风险中性测度下的折现因子 D1，D2，...，DT 在t时刻还没有违约的概率 P( t) 违约发生在t-1年和t年之间的概率 P(t 1 t) 折现票息现金流：
6.2 信用违约互换的闭形式模型
第二种情况：
信用违约互换的合同要求在每年年末付款。得到 在违约的初始点上有 p s
1 s - R
当回收率R=0时，s p ， p s
第三种情况：
1 p
1 s
连续情形的理想情况下，利率为连续复利，票息
也是连续地付出。得出 s (1 R)
6.3有违约风险的债券
1 r 此时现金流的值为零，该式也说明信用违约互换 的票息应等于与其损失率的折现值。
特别的，当r=0时，上式化为s (1 R) p
当R=0时，就有s=p
上式直观地表明了信用违约互换的票息和条件违 约概率的关系。 作为一个崭新的违约互换合同， 理论上的价值是零，即风险中性条件违约概率等 于违约互换的票息。票息越高 ，风险中性的违约 概率越大。
函数 f ( )
则有：
T
E(D I T ) 0 Dt f (t)dt
假设(1)下的隐含违约概率
第一年的隐含违约概率：
s1D1P( 1) (1 R)D1P( 1) (1 R)D11 P( 1)
P( 1) 1 R
1 s1 R
第二年的隐含违约概率：
P( 2) (1 R)Di P( 1) s2D1P( 1) (1 R)D2P( 1)
p r
...
(1 (1
p)n r)n
(1 (1
p)n r)n
一个债券是平价交易的时候，债券的票息c、违约
概率p和同样到期时间的信用违约掉换的票息s之
间的关系：
c
r
1
rp
Rp
1 p
6.3有违约风险的债券
对比与上一节信用违约互换中的关系：
c r 1 rp Rp r (1 R) p r s
sA sD1P( 1) sD2P( 2) ... sDT P( T )
违约点上的现金流：
(1 R)D I T
I T
1， T
0， n
6.1 信用违约互换的一般定价原理
一个信用违约互换的总概率加权现金流为：
E(1 R)D I T sA
计算风险中性概率测度下的违约概率：
对于一个崭新的信用违约互换，在初始交易 点，其市场价格应该为0。体现在现金流上，就是 在风险中性概率测度之下，所有预期票息的折现 和所有预期赔偿金的折现完全相同。反过来，如 果让这两个值相等，就能得到风险中性概率测度 下的违约概率。这个概率也被称为隐含在市场价 格中的违约概率。
1
2
T
sere0 (s)ds se2re0 (s)ds ... seTr e0 (s)ds
t
(1 R)
T
e rt
(t
)e 0
( s)ds
dt
0
利用上述公式的两种途径
1）在给出了约化系数函数 (t) 以后，可用上述公式
计算出第i年到期的信用违约互换合理的票息si
2）如果知道了所有时间点上的信用违约互换的票息，
1 p
1 p
在r很小可以忽略不计的时候有 c r s
这说明了公司债券和违约互换之间的密切联系。
有违约风险的债券票息由两部分组成，一部分是 风险利率，另一部分则反映了违约风险的风险加 价。
6.4 信用违约互换按照市场标价 ----如何为已经存在的信用违约互换按市场标价
一个违约互换的初始市场价格应该是其两 端的现金流折现值的差 ，在无套利条件的 公平交易原则下，违约互换的初始的市场 价格是0。
第六章 信用违约互换模型
6.1 信用违约互换的一般定价原理
25bps
25bps
违约发生
25bps
25bps
固定票息
1年
2年
3年
……
5年
浮动收益
面值-回收值
信用违约互换现金流
6.1 信用违约互换的一般定价原理
前提假设：信用违约互换的票息每年支付一次 假定：
有一个在T时刻到期的信用违约互换； 每年的票息为s，并于每年年末支付； 信用违约互换面值为1，回收率为R；
6.1 信用违约互换的一般定价原理
对于 E(1 R)D I T 的处理：
(1)假定一旦违约发生在i-1年和i年之间，那
么赔偿金总是在时刻i得到。在此假设下，
ED IT P(0 1)D1 P(1 2)D2 ... P(T 1 T )DT
(2) 通过约化模型得到违约时间的整体分布
s2D2 (1 R)D2
第T年的隐含违约概率：
n1
n1
(1 R)Di P( i) P( i) snDi P( i) (1 R)Dn1P( n 1)
P( n) i1
i 1
sn Dn (1 R)Dn
假设(2)：严格假定违约后的赔偿金 在时间点上得到
在hazard rate 概念下推倒得到：
假定： 债券的票息c，票息每年支付一次； 债券本金是1元，到期时间是第n年年末； 今天的价格是V； 违约概率p； 同样到期时间的信用违约掉换的票息s
6.3有违约风险的债券
利用在违约互换中的方法讨论债券的价格与违约 概率之间的关系，得到在利率为常数的情况下， 债券的闭形式：
V
(c
Rp 1 p
)
1 1