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中考数学专题复习《整式方程(组)的应用》经典题型讲解

中考数学专题复习《整式方程(组)的应用》经典题型讲解类型之一一元一次方程的应用【经典母题】汽车队运送一批货物．若每辆车装4 t，还剩下8 t未装；若每辆车装4.5 t，恰好装完．这个车队有多少辆车？解：设这个车队有x辆车，依题意，得4x＋8＝4.5x，解得x＝16.答：这个车队有16辆车．【思想方法】利用一元一次方程解决实际问题是学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式(组)等的基础，是课标要求，也是热门考点．【中考变形】1．学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是(C) A．25台B．50台C．75台D．100台【解析】设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是(100－x)台，根据题意可得x＝3(100－x)，解得x＝75.2．[2016·盐城校级期中]小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两种菜只要36元”．爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”．小明说：爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？请你通过列一元一次方程求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)．解：设上月萝卜的单价是x 元/斤，则排骨的单价36－3x 2元/斤，根据题意，得3(1＋50%)x ＋2(1＋20%)⎝ ⎛⎭⎪⎫36－3x 2＝45，解得x ＝2，则36－3x 2＝36－3×22＝15. ∴这天萝卜的单价是(1＋50%)×2＝3(元/斤)，这天排骨的单价是(1＋20%)×15＝18(元/斤)．答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤．【中考预测】[2016·株洲模拟]根据如图Z4－1的对话，分别求小红所买的笔和笔记本的价格．图Z4－1解：设笔的价格为x 元/支，则笔记本的价格为3x 元/本，由题意，得10x ＋5×3x ＝30，解得x ＝1.2，∴3x ＝3.6.答：笔的价格为1.2元/支，笔记本的价格为3.6元/本．类型之二二元一次方程组的应用【经典母题】用如图Z4－2①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1 000张正方形纸板和2 000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？图Z4－2解：设做竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个，可恰好将库存的纸板用完．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝2 000，x ＋2y ＝1 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝400.答：竖式纸盒做200个，横式纸盒做400个，恰好将库存的纸板用完．【思想方法】利用方程(组)解决几何计算问题，是较好的方法，体现了数形结合思想．【中考变形】1．小华写信给老家的爷爷，问候“八·一”建军节．折叠长方形信纸，装入标准信封时发现：若将信纸按图Z4－3①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时宽绰3.8 cm ；若将信纸按图②三等分折叠后，同样方法装入时宽绰1.4 cm.试求出信纸的纸长与信封的口宽．①②图Z4－3解：设信纸的纸长为x cm ，信封口的宽为y cm.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 4＋3.8，y ＝x 3＋1.4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝28.8，y ＝11. 答：信纸的纸长为28.8 cm ，信封的口宽为11 cm.2．某中学新建了一栋四层的教学楼，每层楼有10间教室，进出这栋教学楼共有4个门，其中两个正门大小相同，两个侧门大小也相同．安全检查中，对4个门进行了测试，当同时开启一个正门和两个侧门时，2 min 内可以通过560名学生；当同时开启一个正门和一个侧门时，4 min 内可以通过800名学生．(1)求平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生？(2)检查中发现，出现紧急情况时，因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下全楼的学生应在5 min 内通过这4个门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：该教学楼建造的这4个门是否符合安全规定？请说明理由．解：(1)设一个正门平均每分钟通过x 名学生，一个侧门平均每分钟通过y 名学生，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝560，4x ＋4y ＝800，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝120，y ＝80.答：一个正门平均每分钟通过120名学生，一个侧门平均每分钟通过80名学生；(2)由题意得共有学生45×10×4＝1 800(人)，学生通过的时间为1 800÷[(120＋80)×0.8×2]＝458(min)．∵5＜458，∴该教学楼建造的这4个门不符合安全规定．【中考预测】随着“互联网＋”时代的到来，一种新型的手机打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p 元/km 计算，耗时费按q 元/min 计算(总费用不足9元按9元计价)．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：(1)求p ，q 的值； (2)如果小华也用该打车方式，车速55 km/h ，行驶了11 km ，那么小华的打车总费用为多少？解：(1)小明的里程数是8 km ，时间为8 min ；小刚的里程数为10 km ，时间为12 min.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧8p ＋8q ＝12，10p ＋12q ＝16，解得⎩⎨⎧p ＝1，q ＝12；(2)小华的里程数是11 km ，时间为12 min.则总费用是11p ＋12q ＝17(元)．类型之三一元二次方程的应用【经典母题】某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费为150元，未租出的车每辆每月只需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到306 600元？解：(1)100－3 600－3 00050＝88(辆)．答：当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出88辆．(2)设每辆车的月租金定为(3 000＋x )元，则⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 50[(3 000＋x )－150]－x 50×50＝306 600，解得x 1＝900，x 2＝1 200，∴3 000＋900＝3 900(元)，3 000＋1 200＝4 200(元)．答：当每辆车的月租金为3 900元或4 200元时，月收益可达到306 600元．【思想方法】利润＝收入－支出，即利润＝租出去车辆的租金－租出去车辆的维护费－未租出去车辆的维护费．【中考变形】1．[2017·眉山]东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为6个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？解：(1)设此批次蛋糕属第a 档次产品，则10＋2(a －1)＝14，解得a ＝3. 答：此批次蛋糕属第3档次产品．⎝⎛⎭⎪⎫或：∵14－102＋1＝3，∴此批蛋糕属第3档次产品. (2)设该烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据题意，得[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]＝1 080，解得x 1＝5，x 2＝11(舍去)．答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．2．[2017·重庆B 卷]某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 kg ，其中枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售．该果农去年樱桃的市场销售量为100 kg，销售均价为30元/kg，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200 kg，销售均价为20元/kg，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%.该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．【解析】(1)根据“枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍”即可列出不等式求得今年收获樱桃的质量；(2)抓住关键语句，仔细梳理，根据去年、今年樱桃销售量、销售均价，求出各自的销售额，可以用一张表格概括其中数量关系：然后根据“今年樱桃和枇杷的销售总金额与去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同”可列方程求解．解：(1)设该果农今年收获樱桃至少x kg，今年收获枇杷(400－x)kg，依题意，得400－x≤7x，解得x≥50.答：该果农今年收获樱桃至少50 kg.(2)由题意，得3 000×(1－m %)＋4 000×(1 ＋2m%)×(1－m%)＝7 000，解得m1＝0(不合题意，舍去)，m2＝12.5.答：m的值为12.5.【中考预测】某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400 kg.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20 kg.(1)当每千克涨价多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？(2)若商场只要求保证每天的盈利为4 420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？解：(1)设每千克涨价x元，总利润为y元．则y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4 000＝－20(x－5)2＋4 500.当x＝5时，y取得最大值，最大值为4 500元．答：当每千克涨价5元时，每天的盈利最多，最多为4 500元；(2)设每千克应涨价a元，则(10＋a)(400－20a)＝4 420.解得a＝3或a＝7，为了使顾客得到实惠，∴a＝3.答：每千克应涨价3元．。

中考数学重难点专题讲座一元二次方程与二次函数含答案

中考数学重难点专题讲座第四讲一元二次方程与二次函数前言前三讲,笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题,在这一类问题当中,尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难;几何问题的难点在于想象,构造,往往有时候一条辅助线没有想到,整个一道题就卡壳了;相比几何综合题来说,代数综合题倒不需要太多巧妙的方法,但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求;中考数学当中,代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体,多种其他知识点辅助的形式出现的;所以在接下来的专题当中,我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析;一元二次方程与二次函数问题当中,纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察;但是在后面的中难档大题当中,通常会和根的判别式,整数根和抛物线等知识点结合,所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法;第一部分真题精讲例12010,西城,一模已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．⑴求证：m 取任何实数时,方程总有实数根；⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称．①求二次函数1y 的解析式；②已知一次函数222=-y x ,证明：在实数范围内,对于x 的同一个值,这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立；⑶在⑵条件下,若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，,且在实数范围内,对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥,均成立,求二次函数23=++y ax bx c 的解析式．思路分析本题是一道典型的从方程转函数的问题,这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式;由于并未说明该方程是否是一元二次方程,所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况,然后利用根的判别式去判断;第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质,即一次项系数为0,然后求得解析式;第二问加入了一个一次函数,证明因变量的大小关系,直接相减即可;事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线,只有一个公共点1,0;根据这个信息,第三问的函数如果要取不等式等号,也必须过该点;于是通过代点,将3y 用只含a 的表达式表示出来,再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.解析解：1分两种情况：当0m =时,原方程化为033=-x ,解得1x =, 不要遗漏∴当0m =,原方程有实数根.当0≠m 时,原方程为关于x 的一元二次方程,∵()()()222[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥.∴原方程有两个实数根. 如果上面的方程不是完全平方式该怎样办再来一次根的判定,让判别式小于0就可以了,不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式,大家注意就是了综上所述,m 取任何实数时,方程总有实数根.2①∵关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称,∴0)1(3=-m .关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0∴1=m .∴抛物线的解析式为121-=x y .②∵()()221212210y y x x x -=---=-≥,判断大小直接做差∴12y y ≥当且仅当1x =时,等号成立.3由②知,当1x =时,120y y ==.∴1y 、2y 的图象都经过()1,0. 很重要,要对那个等号有敏锐的感觉∵对于x 的同一个值,132y y y ≥≥,∴23y ax bx c =++的图象必经过()1,0.又∵23y ax bx c =++经过()5,0-,∴()()231545y a x x ax ax a =-+=+-. 巧妙的将表达式化成两点式,避免繁琐计算设)22(54223---+=-=x a ax ax y y y )52()24(2a x a ax -+-+=. ∵对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥均成立,∴320y y -≥,图7∴2(42)(25)0y ax a x a =+-+-≥.又根据1y 、2y 的图象可得 0a >, ∴24(25)(42)04a a a y a---=最小≥.a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值 ∴2(42)4(25)0a a a ---≤.∴2(31)0a -≤.而2(31)0a -≥.只有013=-a ,解得13a =. ∴抛物线的解析式为35343123-+=x x y .例22010,门头沟,一模关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=.1当m 为何值时,方程有两个不相等的实数根；2点()11A --，是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点,求抛物线的解析式； 3在2的条件下,若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称,是否存在与抛物线只交于点B 的直线,若存在,请求出直线的解析式；若不存在,请说明理由.思路分析第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件;第二问给点求解析式,比较简单;值得关注的是第三问,要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点,则需要设直线y=kx+b 以后联立,新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零,但是这样还不够,因为y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.解析：1由题意得[]22224(1)0m m ∆=---->（）解得54m <210m -≠ 解得1m ≠± 当54m <且1m ≠±时,方程有两个不相等的实数根. 2由题意得212(2)11m m -+-+=-解得31m m =-=，舍始终牢记二次项系数不为0 28101y x x =++3抛物线的对称轴是58x = 由题意得114B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，关于对称轴对称的点的性质要掌握 14x =-与抛物线有且只有一个交点B 这种情况考试中容易遗漏另设过点B 的直线y kx b =+0k ≠把114B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入y kx b =+,得14k b -+=-,114b k =- 114y kx k =+- 28101114y x x y kx k ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩ 整理得218(10)204x k x k +--+= 有且只有一个交点,21(10)48(2)04k k ∆=--⨯⨯-+= 解得6k =162y x =+ 综上,与抛物线有且只有一个交点B 的直线的解析式有14x =-,162y x =+例3已知P 3,m -和Q1,m 是抛物线221y x bx =++上的两点． 1求b 的值；2判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根,若有,求出它的实数根；若没有,请说明理由； 3将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k k 是正整数个单位,使平移后的图象与x 轴无交点,求k 的最小值．思路分析拿到题目,很多同学不假思索就直接开始代点,然后建立二元方程组,十分麻烦,计算量大,浪费时间并且可能出错;但是仔细看题,发现P,Q 纵坐标是一样的,说明他们关于抛物线的对称轴对称;而抛物线只有一个未知系数,所以轻松写出对称轴求出b; 第二问依然是判别式问题,比较简单;第三问考平移,也是这类问题的一个热点,在其他区县的模拟题中也有类似的考察;考生一定要把握平移后解析式发生的变化,即左加右减单独的x,上加下减表达式整体然后求出结果;解析1因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同,所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．所以,抛物线对称轴3142b x -+=-=,所以,4b =． 2由1可知,关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0．因为,24b ac =-=16－8=8>0．所以,方程有两个不同的实数根,分别是1122b xa -+==-+,2122b x a -==--． 3由1可知,抛物线2241y x x =++的图象向上平移k k 是正整数个单位后的解析式为2241y x x k =+++．若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点,只需22410x x k +++= 无实数解即可．由24b ac =-=168(1)k -+=88k -<0,得1k >又k 是正整数,所以k 得最小值为2．例42010,昌平,一模已知抛物线2442y ax ax a =-+-,其中a 是常数．1求抛物线的顶点坐标；2若25a >,且抛物线与x 轴交于整数点坐标为整数的点,求此抛物线的解析式．思路分析本题第一问较为简单,用直接求顶点的公式也可以算,但是如果巧妙的将a 提出来,里面就是一个关于X 的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X 轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给25a >,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值. 1依题意,得0a ≠,∴2442y ax ax a =-+-()()224422 2.a x x a x =-+-=--∴抛物线的顶点坐标为(2,2)-2∵抛物线与x 轴交于整数点,∴24420ax ax a -+-=的根是整数．∴2x == ∵0a >,∴2x = ∴2a是整数的完全平方数． ∵25a >, ∴25a <．很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手 ∴2a 取1,4, 当21a =时,2a =；当24a =时,12a = ． ∴a 的值为2或12． ∴抛物线的解析式为2286y x x =-+或2122y x x =-．例52010,平谷,一模已知：关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=m 为实数1若方程有两个不相等的实数根,求m 的取值范围；2在1的条件下,求证：无论m 取何值,抛物线()()2121y m x m x =-+--总过x 轴上的一个固定点；3若m 是整数,且关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根,把抛物线()()2121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度,求平移后的解析式．思路分析本题第一问比较简单,直接判别式≥0就可以了,依然不能遗漏的是m －1≠0;第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y 的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m 提出,对其进行因式分解得到y=mx －x －1x+1就可以看出当x=－1时,Y=0,而这一点恰是抛物线横过的X 轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性在X 轴上,也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.解：1()()22241m m m ∆=-+-=∵方程有两个不相等的实数根,∴0m ≠∵10m -≠,∴m 的取值范围是0m ≠且1m ≠.2证明：令0y =得()()21210m x m x -+--=.∴()()()()222121m m m x m m --±--±==--. ∴()()12221121211m m m m x x m m m -+--++==-==---，这样做是因为已经知道判别式是2m ,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了∴抛物线与x 轴的交点坐标为()11001m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，，，, ∴无论m 取何值,抛物线()()2121y m x m x =-+--总过定点()10-，3∵1x =-是整数 ∴只需11m -是整数. ∵m 是整数,且01m m ≠≠，, ∴2m =当2m =时,抛物线为21y x =-．把它的图象向右平移3个单位长度,得到的抛物线解析式为()223168y x x x =--=-+总结中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容,但是考点无非也就是因式分解,判别式,对称轴,两根范围,平移以及直线与抛物线的交点问题;总体来说这类题目不难,但是需要计算认真,尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性;这种题目大多包涵多个小问;第一问往往是考验判别式大于0,不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况;第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察,考生需要熟记对称轴,顶点坐标等多个公式的直接应用;至于根与系数的关系韦达定理近年来中考已经尽量避免提及,虽不提倡但是应用了也不会扣分,考生还是尽量掌握为好,在实际应用中能节省大量的时间;第二部分发散思考思考1. 2010,北京中考已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根,k 为正整数.1求k 的值；2当此方程有两个非零的整数根时,将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式；3在2的条件下,将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时,b 的取值范围. 思路分析去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说,判别式大于0加上k 为正整数的条件求k 很简单.第二问要分情况讨论当k 取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.思考22009,东城,一模已知：关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+= 1若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根；2若12＜m ＜40的整数,且方程有两个整数根,求m 的值．思路分析本题也是整根问题,但是不像上题,就三个值一个个试就可以试出来结果;本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.思考32009,海淀,一模已知: 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数,二次函数y=ax2－bx+kcc ≠0的图象与x 轴一个交点的横坐标为1.1若方程①的根为正整数,求整数k 的值；2求代数式akcab b kc +-22)(的值； 3求证: 关于x 的一元二次方程ax2－bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.思路分析本题有一定难度,属于拉分题目;第一问还好,分类讨论K 的取值即可;第二问则需要将k 用a,b 表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.思考42009,顺义,一模. 已知：关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m -+++-=．1求证：不论m 取何值,方程总有两个不相等的实数根；2若方程的两个实数根12x x ，满足12211m x x m +-=+-,求m 的值．思路分析这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出12x x ，,发现12x x ，都是关于m 的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.第三部分思考题解析思考1解析解：1由题意得,168(1)0k ∆=--≥．∴3k ≤．∵k 为正整数,∴123k =，，．2当1k =时,方程22410x x k ++-=有一个根为零；当2k =时,方程22410x x k ++-=无整数根；当3k =时,方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根．综上所述,1k =和2k =不合题意,舍去；3k =符合题意．当3k =时,二次函数为2242y x x =++,把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-．3设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于A B 、两点,则(30)A -，,(10)B ，．依题意翻折后的图象如图所示．当直线12y x b =+经过A 点时,可得32b =；当直线12y x b =+经过B 点时,可得12b =-．由图象可知,符合题意的(3)b b <的取值范围为1322b -<<．思考2解析证明： []22=2(23)-4414884m m m m ---++（）= 0,m > 840.m ∴+>∴方程有两个不相等的实数根;22(23)=(23)2m x m -±-±=∵方程有两个整数根,且m 为整数．又∵12＜m ＜40,252181.m ∴<+<∴ 59．356,.27,24.638,.2m m m =∴==∴==∴=∴m=24思考3解析解：由 kx=x+2,得k －1 x=2.依题意 k －1≠0.∴ 12-=k x . ∵ 方程的根为正整数,k 为整数,∴ k －1=1或k －1=2.∴ k1= 2, k2=3.2解：依题意,二次函数y=ax2－bx+kc 的图象经过点1,0,∴ 0 =a －b+kc, kc = b －a . ∴222222222a ab ab b a ab b a b a ab b a b akc ab b kc -+-+-=-+--=+-)()()( =.122-=--aab ab a 3证明：方程②的判别式为 Δ=－b2－4ac= b2－4ac.由a ≠0, c ≠0, 得ac ≠0.i 若ac<0, 则－4ac>0. 故Δ=b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.ii 证法一: 若ac>0, 由2知a －b+kc =0, 故 b=a+kc.Δ=b2－4ac= a+kc2－4ac=a2+2kac+kc2－4ac = a2－2kac+kc2+4kac －4ac =a －kc2+4ack －1.∵ 方程kx=x+2的根为正实数,∴ 方程k －1 x=2的根为正实数.由 x>0, 2>0, 得 k －1>0.∴ 4ack －1>0.∵ a －kc20,∴Δ=a －kc2+4ack －1>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac>0,∵ 抛物线y=ax2－bx+kc 与x 轴有交点,∴ Δ1=－b2－4akc =b2－4akc0.b2－4ac － b2－4akc=4ack －1.由证法一知 k －1>0,∴ b2－4ac> b2－4akc0.∴ Δ= b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根.思考4解析1[]22(21)4(2)m m m ∆=-+-+-22441448m m m m =++--+90=> ∴不论m 取何值,方程总有两个不相等实数根2由原方程可得12(21)32m x +±==， ∴ 1221x m x m =+=-，－－ ∴ 123x x -=又∵ 12211m x x m +-=+- ∴ 2311m m +=+- ∴ 4m = －经检验：4m =符合题意． ∴ m 的值为4．。

【2021浙江中考数学】方程在几何中的应用含答案

方程在几何中的应用利用等腰三角形“等边对等角”的性质推导角度关系．例1如图S2－1，∠1＝75°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠A的度数为_ __．(图S2－1)例2如图S2－2，在△ABC中，AC＝BC＝AD，EB＝EA，DB＝DE，则∠C＝__．(1)推导角度关系时，常常利用等腰三角形____的性质，也可利用三角形的外角等于____的性质．1．如图S2－3，在△ABC中，AB＝AC，点P，Q分别在AC，AB上，且AP＝PQ＝QC ＝BC，则∠A＝__．(图S2－3)2．如图S2－4，在△ABC中，AB＝BC＝CD，AD＝AE，DE＝BE，则∠C的度数为___．(图S2－4)在折叠问题中利用勾股定理构造方程．例3如图S2－5，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC上的点F处，若AB＝8，BC＝10，则EC的长为____．(图S2－5)例4直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按如图S2－6折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则DE的长为____．(图S2－6)(2)解决折叠问题时，我们往往将边的数量关系集中在一个__三角形，再利用___构造方程．3．如图S2－7，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A 与BC的中点D重合，折痕为MN，则BN＝____．(图S2－7)4．如图S2－8，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为边AD上一点，将△ABP沿BP 翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE＝OD，则AP＝____．(图S2－8)图形中若有直角三角形，利用勾股定理构造方程，是求线段长度的常用方法．例5如图S2－9，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，AD⊥BC于点D，则AD＝____．(图S2－9)例6如图S2－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在边AC上，CE⊥BD于点E，若AD＝5，CE＝12，则AB＝__．(图S2－10) (图DS2－1)(3)若两个直角三角形有公共边，则利用___可以将这两个三角形的其他边建立关系．5．将两张大小相同的纸片，每张都被分成7个大小相同的矩形，放置方式如图S2－11，重合的顶点记作A，顶点C在另一张纸的分隔线上，若BC＝28，则AB的长为_．6．如图S2－12，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，若CE＝35，且∠ECF＝45°，则CF的长为__210__．(图S2－12) (图DS2－2)寻找相似三角形，利用比例线段构造方程．例7在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图S2－13放置，则矩形ABCD的面积为___．例8如图S2－14，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4.点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB，交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为___．(图S2－14)(4)条件中既有平行线，又有角平分线，则一定出现_ _．7．如图S2－15，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝4，连结AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为___．(图S2－15)8．如图S2－16，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF与AD相交于点E，与BC的延长线相交于点F，那么AF＝____．(图S2－16)在以圆为背景的问题中寻找方程．例9如图S2－17，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且BE＝EF，若EF与以CD为直径的圆恰好相切，求AE的长．(图S2－17) (图DS2－3)例10如图S2－18，已知半圆O的直径AB为12，OP＝1，C为半圆上一点，连结CP.将CP沿着射线AB方向平移至DE，若DE恰好与⊙O相切于点D，求平移的距离．(图S2－18)(图DS2－4)(5)利用____三角形或____三角形的性质构造方程是解决含圆问题的常见方法．9．如图S2－19，⊙O 是等腰直角三角形△ABC 的外接圆，点D 是AC ︵上的一点，BD 交AC 于点E ，若BC ＝4，AD ＝45，求AE 的长．(图S2－19)10．如图S2－20，在⊙O 中，弦BC ，DE 交于点P ，延长BD ，EC 交于点A ，BC ＝10，BP ＝2CP ，若BD AD ＝23，求DP 的长．1．若等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为15和27的两部分，则这个等腰三角形的底边长是( A )A ．6B ．22C ．6或22D ．10或182．如图ZS2－1，点B ，C 在∠DAE 的边上，AB ＝BC ，CB ＝CD ，∠EBD ＝75°，则∠A的度数是()(图ZS2－1)A．30°B．40°C．45°D．50°3．如图ZS2－2，在直角三角形ABC中，∠C是直角，G为AB上一点，过点G分别作AC，BC的垂线，垂足分别为E，F，若四边形EGFC是正方形，AE＝4，FB＝9，则正方形EGFC的边长是________．(图ZS2－2)4．如图ZS2－3，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为____．(图ZS2－3)5．如图ZS2－4，在Rt△ABC中，在∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD的长为____.(图ZS2－4)6．如图ZS2－5，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，使点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为___．(图ZS2－5)7．将三角形纸片ABC按如图ZS2－6的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长是____．(图ZS2－6)8．如图ZS2－7，∠CAB＝90°，AB＝BD＝4，CB⊥BD交AD于点E，BE＝1，则AC＝____．(图ZS2－7)9．如图ZS2－8是由9个等边三角形拼成的六边形，若中间的小等边三角形的边长是1，则六边形的周长是___．(图ZS2－8)10．某杂志的徽标是我国古代“弦图”的变形(如图ZS2－9)，该图可由Rt△ABC绕点O同向连续旋转三次(每次旋转90°)而得，有“数学风车”的动感．假设中间小正方形的面积为1，整个徽标(含中间小正方形)的面积为92，AD＝2，则徽标的外围周长为____．(图ZS2－9)11．如图ZS2－10，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于点O，则AB＝__．(图ZS2－10)12．如图ZS2－11，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，将△ABE沿着BE 翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF，DC相交于点G，若DG＝16，BC＝24，则FH＝____．(图ZS2－11) (图DT2－2)13．如图ZS2－12，在△ABC中，D，E两点分别在边BC，AB上，DE∥AC，过点E 作EF∥DC交∠ACB的平分线于点F，连结DF，若∠EDF＝∠B，且BC＝4，BD＝1，则EF的长是___．(图ZS2－12) (图DT2－3)14．如图ZS2－13，在在边长为2的等边三角形ABC中，D，E分别在BC，AC上，且AE＝CD，AD，BE相交于点P，连结PC，若∠CPD＝∠PBD，求BD的长．(图ZS2－13)15．如图ZS2－14，已知⊙O的半径为1，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，延长BO交AC于点D，连结OA，OC，若AD2＝AB·DC，求OD的长．(图ZS2－14)答案专题提升(二)方程在几何中的应用利用等腰三角形“等边对等角”的性质推导角度关系．例1如图S2－1，∠1＝75°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠A的度数为__15°__．(图S2－1)例2如图S2－2，在△ABC中，AC＝BC＝AD，EB＝EA，DB＝DE，则∠C＝__72°__．(图S2－2)【解析】设∠BAD＝∠ABE＝x，则∠EBD＝∠BED＝2x，∠BAC＝∠ABC＝3x，∠C ＝∠ADC＝4x.在△ABC中，3x＋3x＋4x＝180°，解得x＝18°，∴∠C＝72°.(1)推导角度关系时，常常利用等腰三角形__等边对等角__的性质，也可利用三角形的外角等于__与它不相邻的两个内角的和__的性质．1．如图S2－3，在△ABC中，AB＝AC，点P，Q分别在AC，AB上，且AP＝PQ＝QC＝BC ，则∠A ＝__⎝⎛⎭⎫1807°__．(图S2－3)2．如图S2－4，在△ABC 中，AB ＝BC ＝CD ，AD ＝AE ，DE ＝BE ，则∠C 的度数为__36°__．(图S2－4)【解析】设∠EDB ＝∠EBD ＝x ，则∠ADE ＝∠AED ＝2x ，∠C ＝∠A ＝180°－4x ，∠CDB ＝∠CBD ＝2x .∵∠ADC ＝2x ＋x ＋2x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠C ＝36°.在折叠问题中利用勾股定理构造方程．例3 如图S2－5，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在边BC 上的点F 处，若AB ＝8，BC ＝10，则EC 的长为__3__．(图S2－5)【解析】由折叠，得AF＝AD＝10，∴BF＝AF2－AB2＝6，∴CF＝4.设EC＝x，则EF＝DE＝8－x.在Rt△CEF中，(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3，∴EC＝3.例4直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按如图S2－6折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则DE的长为__154__．(图S2－6)(2)解决折叠问题时，我们往往将边的数量关系集中在一个__直角__三角形，再利用__勾股定理__构造方程．3．如图S2－7，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A 与BC的中点D重合，折痕为MN，则BN＝__4__．(图S2－7)4．如图S2－8，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为边AD上一点，将△ABP沿BP 翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE＝OD，则AP＝__4.8__．(图S2－8)【解析】由已知可得，△ODP≌△OEG，∴OP＝OG，DP＝GE，∴DG＝EP.设AP＝EP＝x，则GE＝DP＝6－x，DG＝x，∴CG＝8－x，BG＝8－(6－x)＝2＋x.在Rt△BCG中，62＋(8－x)2＝(x＋2)2，解得x＝4.8，∴AP＝4.8.图形中若有直角三角形，利用勾股定理构造方程，是求线段长度的常用方法．例5如图S2－9，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，AD⊥BC于点D，则AD＝__12__．(图S2－9)【解析】设BD＝x，则DC＝14－x.∵AB2－BD2＝AD2＝AC2－CD2，∴132－x2＝152－(14－x)2，解得x＝5，∴AD＝12.例6如图S2－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在边AC上，CE⊥BD于点E，若AD＝5，CE＝12，则AB＝__202__．(图S2－10) (图DS2－1)【解析】如图DS2－1，补全正方形AFBC，延长CE交AF于点G.由CG⊥BD，得CD＝AG.∵DE2＝DG2－GE2＝DC2－CE2，∴DG2－AG2＝GE2－CE2，即52＝EG2－122，∴EG＝13.设AG＝CD＝x.在△ACG中，x2＋(5＋x)2＝(12＋13)2，即(x＋20)(x－15)＝0，解得x＝15或x＝－20(舍去)，故AB＝20 2.(3)若两个直角三角形有公共边，则利用__勾股定理__可以将这两个三角形的其他边建立关系．5．将两张大小相同的纸片，每张都被分成7个大小相同的矩形，放置方式如图S2－11，重合的顶点记作A，顶点C在另一张纸的分隔线上，若BC＝28，则AB的长为__72__．(图S2－11)【解析】设小矩形的宽为x，则AB＝AC＝7x，可得BC2－x2＝AC2－(6x)2，即(28)2－x2＝(7x)2－(6x)2，解得x1＝2，x2＝－2(舍去)，∴AB＝7 2.6．如图S2－12，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，若CE＝35，且∠ECF＝45°，则CF的长为__210__．(图S2－12) (图DS2－2)【解析】如图DS2－2，延长FD至点G，使得DG＝BE，连结CG，EF.可得△BCE≌△DCG，∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，可得△GCF≌△ECF，∴EF＝GF＝DF＋BE.∵BE＝CE2－CB2＝3，∴AE＝3.设DF＝x，则AF＝6－x，EF＝x ＋3.在Rt△AEF中，(x＋3)2＝(6－x)2＋32，解得x＝2，∴CF＝210.寻找相似三角形，利用比例线段构造方程．例7 在矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图S2－13放置，则矩形ABCD 的面积为__965__．(图S2－13)【解析】由已知可得△ABE ≌△ECF ，△ECF ∽△FDG ， ∴AB ＝CE ，BE ＝CF ，DF CE ＝FG EF ＝12，∴AB ＝2BE .设BE ＝x ，则AB ＝2x .在Rt △ABE 中，x 2＋(2x )2＝42，∴x 2＝165，∴S 矩形ABCD ＝2x ·3x ＝6x 2＝965.例8 如图S2－14，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4.点P 是边AC 上一动点，过点P 作PQ ∥AB ，交BC 于点Q ，D 为线段PQ 的中点，当BD 平分∠ABC 时，AP 的长度为__1513__．(图S2－14)【解析】 ∵PQ ∥AB ，∴AP BQ ＝AC BC ＝34，易证QB ＝QD ，∴QP ＝2QB .设BQ ＝x ，则AP ＝34x ，QP ＝2x ，QC ＝4－x . ∵PQ ∥AB ，∴△CPQ ∽△CAB ，∴CQ CB ＝PQ AB ，即4－x 4＝2x 5，解得x ＝2013，∴AP ＝1513.(4)条件中既有平行线，又有角平分线，则一定出现__等腰三角形__．7．如图S2－15，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD ＝AB ＝4，连结AD ，BE ⊥AB ，AE 是∠DAB 的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为__3－5__．(图S2－15)【解析】由已知可得，GE ＝BC ＝AC ＝2，EH ∥AC ，∴AD ＝2 5.易证HA ＝HE .设HG ＝x ，则HA ＝HE ＝2＋x .∵EH ∥AC ，∴△DHG ∽△DAC ，∴DH DA ＝HG AC ，即25－（2＋x ）25＝x 2，解得x ＝3－5， ∴HG ＝3－ 5.8．如图S2－16，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EF 与AD 相交于点E ，与BC 的延长线相交于点F ，那么AF ＝__6__．(图S2－16) 【解析】 ∵AD 平分∠BAC ，∴CD BD ＝AC AB ＝23，∴CD ＝2，BD ＝3.∵EF 垂直平分AD ，∴AF ＝DF ，∴∠ADF ＝∠DAF ，∴∠F AC ＝∠B .∴△F AC ∽△FBA ，∴CF AF ＝AF BF .设AF ＝DF ＝x ，则CF ＝x －2，BF ＝x ＋3，∴x －2x ＝x x ＋3，解得x ＝6，∴AF ＝6.在以圆为背景的问题中寻找方程．例9 如图S2－17，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝8，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且BE ＝EF ，若EF 与以CD 为直径的圆恰好相切，求AE 的长．(图S2－17) (图DS2－3) 解：如图DS2－3，过点E 作EH ⊥BC 于点H .设AE ＝BH ＝x .∵BE ＝EF ，∴HF ＝BH ＝x .由切线长定理得，EM ＝ED ＝8－x ，FM ＝FC ＝8－2x .在Rt △EFH 中，42＋x 2＝(16－3x )2，解得x 1＝6－6，x 2＝6＋6(舍去)，∴AE ＝6－ 6. 例10 如图S2－18，已知半圆O 的直径AB 为12，OP ＝1，C 为半圆上一点，连结CP .将CP 沿着射线AB 方向平移至DE ，若DE 恰好与⊙O 相切于点D ，求平移的距离．(图S2－18) (图DS2－4) 解：如图DS2－4，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，连结OD ，则CM ＝MD .由平移得CD ∥PE ，CD ＝PE ，∴∠1＝∠2.∵∠DMO ＝∠ODE ＝90°，∴△DMO ∽△ODE ，∴MD OD ＝OD OE .设CD ＝x ，则MD ＝x 2，OE ＝x ＋1，∴12x 6＝6x ＋1，解得x 1＝8，x 2＝－9(舍去)， ∴平移的距离为8.(5)利用__直角__三角形或__相似__三角形的性质构造方程是解决含圆问题的常见方法．9．如图S2－19，⊙O 是等腰直角三角形△ABC 的外接圆，点D 是AC ︵上的一点，BD 交AC 于点E ，若BC ＝4，AD ＝45，求AE 的长．(图S2－19)解：设AE ＝x ，则CE ＝4－x .∵△ADE ∽△BCE ，∴AE BE ＝AD BC ＝15， ∴BE ＝5x .在Rt △BCE 中，(4－x )2＋42＝(5x )2，解得x 1＝1，x 2＝－43(舍去)，∴AE ＝1.10．如图S2－20，在⊙O 中，弦BC ，DE 交于点P ，延长BD ，EC 交于点A ，BC ＝10，BP ＝2CP ，若BD AD ＝23，求DP 的长．(图S2－20) (图DS2－5) 解：如图DS2－5，过点C 作CH ∥DE 交AB 于点H .设DP ＝2x .∵DP CH ＝BD BH ＝BP BC ＝23，∴CH ＝3x ，AD ＝BH ，∴BD ＝AH .∵HC DE ＝AH AD ＝23，∴DE ＝92x ，∴PE ＝52x . ∵△BPD ∽△EPC ，∴PB PE ＝PD PC ，解得x 1＝2103，x 2＝－2103(舍去)， ∴PD ＝4103.1．若等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为15和27的两部分，则这个等腰三角形的底边长是( A )A ．6B ．22C ．6或22D ．10或182．如图ZS2－1，点B ，C 在∠DAE 的边上，AB ＝BC ，CB ＝CD ，∠EBD ＝75°，则∠A 的度数是( B )(图ZS2－1)A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°3．如图ZS2－2，在直角三角形ABC 中，∠C 是直角，G 为AB 上一点，过点G 分别作AC ，BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，若四边形EGFC 是正方形，AE ＝4，FB ＝9，则正方形EGFC 的边长是__6______．(图ZS2－2)4．如图ZS2－3，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝12，过A ，D 两点的⊙O 与BC 边相切于点E ，则⊙O 的半径为__254__．(图ZS2－3)5．如图ZS2－4，在Rt △ABC 中，在∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC ，BC 相切于点D ，E ，则AD 的长为__85__.(图ZS2－4)6．如图ZS2－5，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D ′处，则重叠部分△AFC 的面积为__10__．(图ZS2－5)7．将三角形纸片ABC 按如图ZS2－6的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF .已知AB ＝AC ＝6，BC ＝8，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF 的长是__4或247__．(图ZS2－6)8．如图ZS2－7，∠CAB ＝90°，AB ＝BD ＝4，CB ⊥BD 交AD 于点E ，BE ＝1，则AC ＝__152__．(图ZS2－7)【解析】 ∵AB ＝BD ，∴∠BAE ＝∠D ，∴∠CEA ＝∠DEB ＝90°－∠D ＝90°－∠BAE ＝∠CAE ，∴AC ＝EC .设AC ＝EC ＝x ，则BC ＝x ＋1.在Rt △ABC 中，x 2＋42＝(x ＋1)2，解得x ＝152.∴AC ＝152. 9．如图ZS2－8是由9个等边三角形拼成的六边形，若中间的小等边三角形的边长是1，则六边形的周长是__30__．(图ZS2－8)【解析】如图DT2－1，设第二小的等边三角形的边长为x ，则其他等边三角形的边长分别为x ＋1，x ＋2，x ＋3，由图形，得x ＋3＝2x ，解得x ＝3，∴六边形的周长为7x ＋9＝30.(图DT2－1)10．某杂志的徽标是我国古代“弦图”的变形(如图ZS2－9)，该图可由Rt △ABC 绕点O 同向连续旋转三次(每次旋转90°)而得，有“数学风车”的动感．假设中间小正方形的面积为1，整个徽标(含中间小正方形)的面积为92，AD ＝2，则徽标的外围周长为__48__．(图ZS2－9)【解析】设BC ＝x ，则AC ＝x ＋3.由题意，得12x (x ＋3)×4＋1＝92，∴2x 2＋6x ＝91，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝2x 2＋6x ＋9＝100＝10，∴徽标的外围周长为(10＋2)×4＝48.11．如图ZS2－10，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，若AC ，BC 边上的中线BE ，AD 垂直相交于点O ，则AB ＝__25__．(图ZS2－10)【解析】由题意可得，点O 为△ABC 的重心，AE ＝12AC ＝3，BD ＝12BC ＝4.设OD ＝x ，OE ＝y ，则AO ＝2x ，BO ＝2y .在Rt △BOD 中，x 2＋4y 2＝42.在Rt △AOE 中，4x 2＋y 2＝32，∴5x 2＋5y 2＝25，∴x 2＋y 2＝5.在Rt △AOB 中，AB 2＝（2x ）2＋（2y ）2＝2 5.12．如图ZS2－11，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，连结BE ，将△ABE 沿着BE 翻折得到△FBE ，EF 交BC 于点H ，延长BF ，DC 相交于点G ，若DG ＝16，BC ＝24，则FH ＝__218__．(图ZS2－11) (图DT2－2) 【解析】如图DT2－2，连结GE .由题意可得，DE ＝AE ＝FE ，∴Rt △EFG ≌Rt △EDG (HL)，∴FG ＝DG ＝16.设DC ＝AB ＝BF ＝x ，则CG ＝16－x ，BG ＝x ＋16.在Rt △BCG 中，(x ＋16)2＝(16－x )2＋242，解得x ＝9，∴CG ＝7.∵∠BFH ＝∠BCG＝90°，∴△BFH ∽△BCG ，∴BF BC ＝FH CG ，∴FH ＝218.13．如图ZS2－12，在△ABC 中，D ，E 两点分别在边BC ，AB 上，DE ∥AC ，过点E 作EF ∥DC 交∠ACB 的平分线于点F ，连结DF ，若∠EDF ＝∠B ，且BC ＝4，BD ＝1，则EF 的长是__7－132__．(图ZS2－12) (图DT2－3) 【解析】如图DT2－3，延长EF 交AC 于点M .设EF ＝x .∵EF ∥DC ，∴∠BDE ＝∠FED .又∵∠EDF ＝∠B ，∴△EDF ∽△DBE ，∴ED 2＝BD ·EF ，∴ED ＝x .由题意可得，四边形EMCD 是平行四边形，MF ＝MC ，∴FM ＝ED ＝x ，EM ＝CD ＝3，∴x ＋x ＝3，解得x 1＝7－132，x 2＝7＋132(舍去)，∴EF ＝7－132.14．如图ZS2－13，在在边长为2的等边三角形ABC 中，D ，E 分别在BC ，AC 上，且AE ＝CD ，AD ，BE 相交于点P ，连结PC ，若∠CPD ＝∠PBD ，求BD 的长．(图ZS2－13)解：设∠CPD ＝∠PBD ＝x ，BD ＝m .由题意可得，△BAE ≌△ACD ，∴∠DAC ＝∠ABE ＝60°－x ，AE ＝CD ＝2－m ，∴∠BAD ＝x ，∠CEP ＝120°－x ，CE ＝m .∴∠BPD ＝∠ABE ＋∠BAD ＝60°，∴∠CPE ＝120°－x ，∴∠CEP ＝∠CPE ，∴CP ＝CE ＝m ，∵∠CPD ＝∠PBC ，∴△CPD ∽△CBP ， ∴CD CP ＝CP CB ，即2－m m ＝m 2，解得m 1＝5－1，m 2＝－5－1(舍去)，∴BD ＝5－1.15．如图ZS2－14，已知⊙O 的半径为1，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，延长BO 交AC 于点D ，连结OA ，OC ，若AD 2＝AB ·DC ，求OD 的长．(图ZS2－14)解：设OD ＝x ，则BD ＝1＋x .由题意可得△BOA ≌△AOC ，∴∠CAO ＝∠OBA ，∴△ADO ∽△BDA ，∴AD BD ＝OD AD ＝AO AB ，即AD 1＋x＝x AD ＝1AB ， ∴AD ＝x 2＋x ，AB ＝x 2＋x x . ∵DC ＝AC －AD ＝AB －AD ，AB ·DC ＝AD 2，∴x 2＋x x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x x －x 2＋x＝x 2＋x ，整理得x 2＋x －1＝0，解得x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52(舍去)， ∴OD ＝5－12.。

《中考数学专题讲座》课件

PART 02
代数部分
代数基础知识梳理
代数基础知识
包括代数式、方程、不等式、函数等基本概念和性质。
代数式化简
掌握代数式的化简方法，如合并同类项、提取公因式等。
方程与不等式解法
理解方程与不等式的解法，包括一元一次方程、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式等。
代数解题方法与技巧
代数恒等变换
中考数学复习计划与时间安排
制定复习计划
根据中考数学的考试大纲和考试时间，制定详细的复习计划，合理分配时间，把握重点和难点。
注重基础知识
在复习过程中，要注重基础知识的学习和掌握，不要忽视课本上的例题和练习题，因为这些是最基本的题目，能够帮你理解概念和方法。
练习历年真题
多做中考数学真题，熟悉考试形式和题型，有助于提高应试能力和自信心。
考试内容
包括数与式、方程与不等式、函数、几何、概率与统计等部分。
考试形式
闭卷、笔试，时间为120 分钟。
中考数学考试形式与试卷结构
试卷结构
满分120分，包括选择题、填空题和解答题三种题型。
分值分布
选择题40分，填空题30分，解答题50分。
考试时间分配
选择题每题2分，共20题，用时30 分钟；填空题每题3分，共10题，用时15分钟；解答题每题8分，共5 题，用时65分钟。
中考数学答题技巧与注意事项
仔细审题
在答题前，要认真审题，理解题意，避免因误解题目而失分。
表达清晰
在答题时，要思路清晰，表达准确，注意解题步骤和细节。
检查答案
在答完题后，要仔细检查答案，确保没有遗漏或错误。
注意时间分配
在考试过程中，要合理分配时间，不要在某一道题目上花费太多时间而影响其他题目的完成。

2023年中考数学一轮复习第8讲分式方程专题训练(浙江专用)(含解析)

第8讲分式方程 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）一、单选题1．（2022·杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f=1μ+1ν(v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，μ表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离．已知f，v，则μ=()A．fvf−v B．f−vfv C．fvv−f D．v−ffv2．（2022·金东模拟）众志成城，抗击疫情，某医护用品集团计划生产口罩1500万只，实际每天比原计划多生产2000只，结果提前5天完成任务，则原计划每天生产多少万只口罩？设原计划每天生产x万只口罩，根据题意可列方程为（）A．1500x+0.2−1500x=5B．1500x=1500x+2000+5C．1500x+2000=1500x+5D．1500x−1500x+0.2=53．（2022·丽水）某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元.根据题意可列方程50002x=4000x﹣30，则方程中x表示（）A．足球的单价B．篮球的单价C．足球的数量D．篮球的数量4．（2022·萧山模拟）师徒两人每小时共加工35个电器零件，徒弟做了120个时，师傅恰好做了160个.设徒弟每小时做x个电器零件，则根据题意可列方程为（）A．120x=16035−x B．12035−x=160xC．120x=16035+x D．12035+x=160x5．（2022·椒江模拟）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”引爆购买潮，导致“一墩难求”，某工厂承接了60万只冰墩墩的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了25%，提前10天完成任务.设原计划每天生产x万只冰墩墩，则下面所列方程正确的是（）A．60x−60×(1+25%)x=10B．60(1+25%)x−60x=10C．60×(1+25%)x−60x=10D．60x−60(1+25%)x=106．（2022·舟山模拟）“五•一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的同学共x 人，则所列方程为（） A ．180x−2 ﹣ 180x ＝3B ．180x+2 ﹣ 180x ＝3C ．180x ﹣ 180x−2＝3 D ．180x −180x+2=3 7．（2022·吴兴模拟）某书店分别用500元和700元两次购进一本小说，第二次数量比第一次多4套，且两次进价相同.若设该书店第一次购进x 套，根据题意，列方程正确的是（） A ．500x =700x−4B ．500x−4=700xC ．500x =700x+4D ．500x+4=700x8．（2022·衢州模拟）若关于x 的一元一次不等式组{3x −2≥2(x +2)a −2x <−5的解集为x ≥6，且关于y 的分式方程y+2a y−1+3y−81−y =2的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（） A ．5B ．8C ．12D ．159．（2022·宁海模拟）分式方程1x−1=x 1−x +2的解为（） A ．x =−1 B ．x =1 C ．x =3D ．x 1=1，x 2=310．（2022·温州模拟）同学聚餐预定的酒席价格为2400元，但有两位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的人平均分摊，则每人比原来多支付40元，设原来有x 人参加聚餐，由题意可列方程（）A ．2400x+2=2400x +40B ．2400x+40+40=2400xC ．2400x =2400x−2+40 D ．2400x +40=2400x−2二、填空题11．（2022·台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是．先化简，再求值： 3−x x−4+1 ，其中 x =解：原式 =3−xx−4⋅(x −4)+(x −4)…①12．（2022·宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a ⊗b= 1a+1b．若(x+1) ⊗x= 2x+1x，则x的值为13．（2022·秀洲模拟）某班同学到距学校12千米的森林公园植树，一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度。

2021年中考数学复习专题3 方程、函数思想 - 副本(教学课件)

精讲释疑
重重点点题题型型
题组训练
题型一用方程思想解决实际问题
例1.欣欣服装店某天用相同的价格a(a＞0)卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是( B )
A．盈利
B．亏损
C．不盈不亏
D．与售价a有关
重重点点题题型型
题组训练
【解析】列一元一次方程求出两件衣服的进价，进而求出总盈亏．设第一件衣服的进价为x元，依题意得：x(1＋20%)＝a，设第二件衣服的进价为y元，依题意得：y(1－20%)＝a，得出x(1 ＋20%)＝y(1－20%)，整理得：3x＝2y，该服装店卖出这两件服装的盈利情况为：0.2x－0.2y＝0.2x－0.3x＝－0.1x，即赔了 0.1x元．
重重点点题题型型
题组训练
解：(1)根据题意，得y与x的解析式为：y＝22＋2(x－1)＝2x＋ 20(1≤x≤12)； (2)设当天的销售利润为w元，则当1≤x≤6时，w＝(1200－800)(2x ＋20)＝800x＋8000，∵800＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x ＝6时，w最大值＝800×6＋8000＝12800.
重重点点题题型型
题组训练
题型二用方程思想解决几何问题
例 3.(温州一模)如图，在△ABC 中，分别以 AB，AC 为边向外作正方形 ABED，ACGF.若点 E，A，G 在同一直线上，EG＝8 2 ，
15 BC＝7，则△ABC 的面积为__4__．
重重点点题题型型
题组训练
【解析】设 AB＝x，AC＝y，∵EG＝8 2 ，BC＝7，∴x2 ＋y2＝72， 2 x＋ 2 y＝8 2 ，∴x＋y＝8，∴(x＋y)2＝x2＋y2 ＋2xy＝64，∴2xy＝15，∴xy＝125 ，∴△ABC 的面积＝12 AB·AC ＝12 xy＝145 .

数学同步练习题考试题试卷教案中考数学专题讲座方程观点解几何计算题

2009中考数学专题讲座方程观点解几何计算题概述：含有未知数的等式便是方程，代数方面的应用题，•几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可用方程的观点去解决，一般一个未知数列一个方程，•两个未知数列两个方程．典型例题精析例1．有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC•沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD长．分析：Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8 AB=10．由题意知△ACD≌△AED ∠DEB=90°，DECD，AC=AE=6，设CD=x，则DE=x，而EB=4，一个未知数，需要一个方程，从何而来，图中有直角，用勾股定理，有等式，有方程．∴在Rt△DEB中，（8-x）2=x2+42，64-16x+x2=x2+16，16x=48， x=3（cm）．例2．已知⊙O中，两弦AB、CD相交于E，若E为AB中点，且CE：ED=1：4，AB=4，求CD长．解：∵CE：ED=1：4，∴设CE=x，则ED=4x，由相交弦定理得CE·ED=AE·EB，即x·4x=2×2，4x2=4，x=1．∴CD=x+4x=5x=5．例3．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB延长线上，PM切⊙O于M点，若OA=a，，求△PMB的周长．分析：条件符合切割线定理，设BP=x，则由PM2=PB·PA（方程出来了）a）2=x（x+2a），x2+2ax-3a2=0，（x+3a ）（x-a ）=0， ∴x 1=a ，x 2=-3a （舍去）∴x=a ，即BP=a ，连结MO （常作辅助线）则∠OMP=90°，∵OB=BP=a ，则MB 为Rt △OMP 的斜边上的中线，∴MB=12OP=a ． ∴△MBP 的周长为a ．例4．如图，圆心在Rt △ABC 斜边AB 上的半圆切直角边AC 、BC 于M 、N ，•其中AC=•6，BC=8，求半圆的半径．分析：设半径为R ，（一个未知数建立一个方程即可），连OM 、ON 、OC ，则OM=ON=R ，用面积，S △AOC +S △BOC =S △ABC ，得6R+8R=6×8（一元一次方程） 14R=48，R=247．中考样题训练:1．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，D 为BC 边上的一点，tan ∠ADC 是方程3（x 2+21x ）-5（x+1x）=2的一个根，求CD 的长．2．如图，已知直线BC 切⊙O 于C ，PD 为⊙O 的直径，BP 的延长线与CD•的延长线交于点A ，∠A=28°,∠B=26°，求∠PDC 的度数．B CAD3．已知，如图，C 为半圆上一点，AC CE ，过C 作直径的垂线CP ，P 为垂足，弦AE 分别交PC ，CB 于点D ，F ．（1）求证：AD=CD ；（2）若DF=54，tan ∠ECB=34，求PB 的长．4．已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+14k 2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）k 取何值时，方程有两个实数根；（2k 的值．5．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O•的割线PDE•垂直AB于点F，交BC 于点G，连结PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）当∠ABC=30°，PD、PE的长为两根的一元二次方程．（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF·DO 成立？试写出你的猜想，并说明理由．6．已知：如图所示，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弦BF和AD交于E，且AE=BE．（1）试猜想：AB与AF有何大小关系？并证明你的猜想；（2）若BD、CD的长是关于x的方程x2-kx+16=0的两个根，求BF的长；（3）在（2）的条件下，若k为整数，且满足532(12),13713.22k kk k->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，求sin2∠A的值．B C考前热身训练1．要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，求选用的圆形铁片的直径的最小值．2．圆内两条弦AB和CD相交于P点，AB长为7，AB把CD分成两部分的线段长为2和6，•求AP的长．3．如图，PA切⊙O于点A，PBC交⊙O于B、C，若PB、PC的长是关于x的方程x2-（m-•2）x+（m+2）=0的两个根，且BC=4，求m的值及PA的长．4．如图，D是△ABC的边AC上一点，CD=2AD，AE⊥BC，交BC于点E，若BD=8，sin∠CBD=34，求AE的长．5．如图，在△ABC中，∠CAD=∠B，若AD=7，AB=8，AC=6，求DC的长．6．已知，如图，以△ABC的边BC为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EF⊥BC，•垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的长．A答案:中考样题看台1．解：3（x+1x）2-5（x+1x）-8=0，x+1x=83或x+1x=-1，BA2xBA xD由x+1x =83得x=43±．x+1x=-1得x 2+x+1=0无解．∴tan ∠ADC=43±，在Rt △ABC 中，AC=tan 30BC︒在Rt △ADC 中，CD=tan ACADC∠．∵CD<1，∴．2．∠PDC=36°3．（1）证明：连结AC ，∵AC CE =，∴∠CEA=∠CAE ．∵∠CEA=∠CBA ，∴∠CBA=∠CAE ，• ∵AB 是直径，∴∠ACB=90°， ∵CP ⊥AB ，∴∠CBA=∠ACP ， ∴∠CAE=∠ACP ，∴AD=CD ．（2）解：∵∠ACB=90°，∠CAE=∠ACP ，∴∠DCF=∠CFD ，∴AD=CD=DF=54， ∵∠ECB=•∠DAP ，tan ∠ECB=34，∴tan ∠DAP=DP PA =34，∵PD 2+PA 2=DA 2，∴DP=34，PA=1，∴CP=2，∵∠ACB=90°，CP ⊥AB ，∴△APC ∽△CPB ，∴AP PCPC PB=，∴PB=4． 4．（1）要使方程有两个实数根，必须△≥0，即[-（k+1）]2-4（14k 2+1）≥0，化简得：2k-3≥0，解之得：k ≥32．（2）22221114a b a b k ab k ⎧⎪+=⎪+=+⎨⎪⎪=+⎩ 解之得：k 1=2，k 2=-6由（1）可知，k=-6时，方程无实数根，所以，只能取k=2． 5．（1）连结OC ，证∠OCP=90°即可．（2）∵∠B=30°，∠A=∠BCP=60°， ∴∠BCP=∠CGP=60°，∴△CPG 是正三角形． ∴PC 切⊙O 于C ． ∴PC 2=PD ·PE=（）2=48，又∵AB=6，， ∴，∴．∴以PD 、PE 为两根的一元二次方程为x 2=0．（3）当G 为BC 中点，OG ⊥BC ，OG ∥AC 或∠BOG=∠BAC …时，结论BG 2=BF ·BO 成立．•要让此结论成立，只证明△BFG ∽△BGO 即可，凡是能使△BFG ∽△BGO 的条件都可以． 6．可以猜想到AB AF =．证明：延工AD 交⊙O 于点G ． ∵BC 是⊙O 的直径，AD ⊥BC ， ∴AB BG =． ∵AE=BE ，∴∠ABE=∠BAE ，∴AF BG =，∴AB AF =．（2）∵AB BG AF ==，∴BF AG =，BF=AG ． ∵AD ⊥BC ，BC 是⊙O 直径， ∴AG=2AD ， ∴BF=2AD ，∵BD、CD的长是方程x-kx+16=0的两个根，∴BD·CD=16．又AD2=BD·CD，∴A D2=16，AD=4，∴BF=8．（3）连结CF解不等式组得：9<k≤10∵k是整数，∴k=10．由（2）得BD+CD=k，∴BC+CD=10即⊙O的直径BC=10．∵AB AF BG==，∴∠C=2∠A．在Rt△ABC中，sin∠C=BFBC=45，∴sin∠A=45，∴sin2∠A=45．考前热身训练1．R2+R2=42，（cm）2．AP=3或43．设PB=a，PC=a+4，则42(4)2a a ma a m++=-⎧⎨+=+⎩解之得a=2，m=10．由P A2=PB·PC=2×6=12得．4．过D作DF⊥BC于F．由sin∠CBD=34=DFBD⇒34=8DF，DF=6，由DF∥AE ⇒263xx AE=⇒AE=95．易证△ADC∽△BAC，∴AB ACAD CD=即867DC=，∴x=2146．连BE，则BE⊥AC，易证△BEF∽△BCE，∴．。

中考数学重难点专题讲座第八讲动态几何与函数问题(含答案)

中考数学重难点专题讲座第八讲动态几何与函数问题【前言】在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。

整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。

而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。

但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。

所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。

其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。

不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。

但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。

【例1】如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E.（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积.（2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式.【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。

很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。

其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。

脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。

2024年全国各省市数学中考真题汇编专题4分式与分式方程(34题)含详解

专题04分式与分式方程（34题）一、单选题1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1513126x x-=---时，去分母变形正确的是（）A ．2625x -+=-B ．6225x --=-C ．2615x --=D ．6215x -+=2．（2024·四川雅安·中考真题）计算()013-的结果是（）A ．2-B ．0C ．1D ．43．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行0.5h ，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km ，求慢车的速度？设慢车的速度为km /h x ，则可列方程为（）A ．60601202x x -=+B ．60601202x x -=-C ．60601202x x -=+D ．60601202x x -=-4．（2024·四川雅安·中考真题）已知()2110a b a b+=+≠．则a ab a b +=+（）A ．12B ．1C ．2D ．3二、填空题5．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式619x -有意义，则x 需满足的条件是．6．（2024·辽宁·中考真题）方程512x =+的解为．7．（2024·重庆·中考真题）计算：011(3)()2π--+＝．8．（2024·重庆·中考真题）计算：023-+=．9．（2024·安徽·中考真题）若代数式14-x 有意义，则实数x 的取值范围是．10．（2024·青海·中考真题）若式子13x -有意义，则实数x 的取值范围是．11．（2024·四川甘孜·中考真题）分式方程11x 2=-的解为．12．（2024·内蒙古通辽·中考真题）分式方程322x x=-的解为．13．（2024·重庆·中考真题）若关于x 的不等式组()411321x x x x a -⎧<+⎪⎨⎪+≥-+⎩至少有2个整数解，且关于y 的分式方程13211a y y -=---的解为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为．14．（2024·黑龙江绥化·中考真题）计算：22x y xy y x x x ⎛⎫--÷-= ⎪⎝⎭．15．（2024·江苏盐城·中考真题）使分式11x -有意义的x 的取值范围是．16．（2024·山东滨州·中考真题）若分式11x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．17．（2024·四川自贡·中考真题）计算：31211a aa a +-=++．18．（2024·江苏常州·中考真题）计算：111x x x +=++．19．（2024·四川内江·中考真题）已知实数a ，b 满足1ab =，那么221111a b +++的值为．三、解答题20．（2024·甘肃兰州·中考真题）先化简，再求值：7411a a a a ++⎛⎫+÷⎪+⎝⎭，其中4a =．21．（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：221412x x x x x+-⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭，其中3x =．22．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：22391369x x x x -⎛⎫+÷ --+⎝⎭，其中2x =-．23．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．24．（2024·四川遂宁·中考真题）先化简：2121121x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．25．（2024·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：32222x x x x ---，其中x =26．（2024·青海·中考真题）先化简，再求值：11x y y x y x ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中2x y =-．27．（2024·四川·中考真题）化简：11x x x x +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭．28．（2024·四川雅安·中考真题）（1()111525-⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：2221211a a aa a -+⎛⎫-÷⎪-⎝⎭，其中2a =．29．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？30．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？31．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m 0.8m ⨯，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m 、b m 、c m 、d m ．若装裱后AB 与AD 的比是16:10，且a b =，c d =，2c a =，求四周边衬的宽度．32．（2024·四川达州·中考真题）先化简：22224xx x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，再从2-，1-，0，1，2之中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．33．（2024·重庆·中考真题）计算：(1)()()22x x y x y -++；(2)22111a a a a-⎛⎫+÷ ⎪+⎝⎭．34．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）先化简，再求值：22422324x xx x x -⎛⎫+-÷+⎪+-⎝⎭，其中72x =-．专题04分式与分式方程（34题）一、单选题1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1513126x x-=---时，去分母变形正确的是（）A ．2625x -+=-B ．6225x --=-C ．2615x --=D ．6215x -+=【答案】A【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母．【详解】解：方程两边同乘26x -，得()()152626263126x x x x x---⨯=-⨯---，整理可得：2625x -+=-故选：A ．2．（2024·四川雅安·中考真题）计算()013-的结果是（）A ．2-B ．0C ．1D ．4【答案】C【分析】本题考查零指数幂，掌握“任何不为零的零次幂等于1”是正确解答的关键．根据零指数幂的运算性质进行计算即可．【详解】解：原式0(2)1=-=．故选：C ．3．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行0.5h ，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km ，求慢车的速度？设慢车的速度为km /h x ，则可列方程为（）A ．60601202x x -=+B ．60601202x x -=-C ．60601202x x -=D ．60601202x x -=【答案】A【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为km /h x ，则快车的速度是()20km /h x +，再根据题意列出方程即可．【详解】解：设慢车的速度为km /h x ，则快车的速度为()20km /h x +，根据题意可得：60601202x x -=+．故选：A ．4．（2024·四川雅安·中考真题）已知()2110a b a b+=+≠．则a ab a b +=+（）A ．12B ．1C ．2D ．3二、填空题5．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式619x -有意义，则x 需满足的条件是．6．（2024·辽宁·中考真题）方程12x =的解为．7．（2024·重庆·中考真题）计算：011(3)()2π--+＝．8．（2024·重庆·中考真题）计算：023-+=．【答案】3【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】解：原式=2+1=3，故答案为：3．【点睛】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（2024·安徽·中考真题）若代数式14-x 有意义，则实数x 的取值范围是．【答案】4x ≠【分析】根据分式有意义的条件，分母不能等于0，列不等式求解即可．【详解】解：分式有意义的条件是分母不能等于0，∴40x -≠∴4x ≠．故答案为：4x ≠．【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义的条件．10．（2024·青海·中考真题）若式子13x -有意义，则实数x 的取值范围是．11．（2024·四川甘孜·中考真题）分式方程1x 2=-的解为．【答案】x 3=【分析】首先去掉分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．12．（2024·内蒙古通辽·中考真题）分式方程2x x=-的解为．13．（2024·重庆·中考真题）若关于x 的不等式组()1321x x x a -⎧<+⎪⎨⎪+≥-+⎩至少有2个整数解，且关于y 的分式方程13211a y y-=---的解为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为．14．（2024·黑龙江绥化·中考真题）计算：22x y xy y x x x ⎛⎫--÷-= ⎪⎝⎭．15．（2024·江苏盐城·中考真题）使分式1x -有意义的x 的取值范围是．【答案】x ≠1【详解】根据题意得：x -1≠0，即x ≠1.故答案为：x ≠1．16．（2024·山东滨州·中考真题）若分式11x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．17．（2024·四川自贡·中考真题）计算：11a a +-=++．【答案】118．（2024·江苏常州·中考真题）计算：11x x +=．19．（2024·四川内江·中考真题）已知实数a ，b 满足1ab =，那么221111a b +的值为．三、解答题20．（2024·甘肃兰州·中考真题）先化简，再求值：7411a a a a ++⎛⎫+÷⎪+，其中4a =．21．（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：212x x x+-⎛⎫-÷ ⎪+，其中3x =．22．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：21369x x x -⎛⎫+÷ ，其中2x =-．23．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．【答案】该市谷时电价0.3元/度【分析】本题考查了分式方程的应用，设该市谷时电价为x 元/度，则峰时电价()0.2x +元/度，根据题意列出分式方24．（2024·四川遂宁·中考真题）先化简：21121x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．25．（2024·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：22x x -，其中x =26．（2024·青海·中考真题）先化简，再求值：11x y y x y x ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中2x y =-．27．（2024·四川·中考真题）化简：11x x x x ⎛⎫-÷ ⎪．28．（2024·四川雅安·中考真题）（1()111525-⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：2221211a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪-，其中2a =．29．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？30．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？31．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m 0.8m ⨯，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m 、b m 、c m 、d m ．若装裱后AB 与AD 的比是16:10，且a b =，c d =，2c a =，求四周边衬的宽度．【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m 0.1m 0.2m 0.2m 、、、【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出,AB AD 的长，列出分式方程，进行求解即可．【详解】解：由题意，得： 1.2 1.22 1.24AB c d c a =++=+=+，0.80.82AD a b a =++=+，∵AB 与AD 的比是16:10，∴1.24160.8210a a +=+，解得：0.1a =，经检验0.1a =是原方程的解．∴上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m 0.1m 0.2m 0.2m 、、、．32．（2024·四川达州·中考真题）先化简：2224x x x +⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，再从2-，1-，0，1，2之中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．【答案】41x +，当1x =时，原式2=．【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件确定x 的值，最后代值计算即可．【详解】解：22224x x x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭()()()()()()()2212222x x x x x x x x x x +--+=÷-+-+()()()()()222222221x x x x x x x x x x -++-+=⋅-++()()()()()224221x x x x x x x -+=⋅-++41x =+，∵分式要有意义，∴()()()22010x x x x ⎧+-≠⎪⎨+≠⎪⎩，33．（2024·重庆·中考真题）计算：(1)()()22x x y x y -++；(2)22111a a a a -⎛⎫+÷ ⎪．34．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）先化简，再求值：22324x x x -⎛⎫+-÷+ ⎪，其中2x =-．。

中考数学专题训练第7讲一元二次方程(解析版)

一元二次方程易错点梳理易错点01 忽略一元二次方程中0 a 这一条件在解与一元二次方程定义有关的问题时.一定要注意一元二次方程的二次项系数不等于0这一条件。

易错点02 利用因式分解法解一元二次方程时出错（1）对因式分解法的基本思想理解不清.没有将方程化为两个一次因式相乘的形式.（2）在利用因式分解法解一元二次方程时忽略另一边要化成0.（3）产生丢根的现象.主要是因为在解方程时.出现方程两边不属于同解变形.解题时要注意方程两边不能同时除以一个含有未知数的项。

易错点03 利用公式法解方程时未将方程化为一般形式在运用公式法解方程时.一定要先将方程化为一般形式.从而正确的确定c b a ,,.然后再代入公式。

易错点04 根的判别式运用错误运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时.必须先把方程化为一般形式.正确的确定c b a ,,。

易错点05 列方程解应用题时找错等量关系列方程解应用题的关键是找对等量关系.根据等量关系列方程。

考向01 一元二次方程的有关概念例题1：（2021·山东聊城·中考真题）关于x 的方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4的一个解是﹣2.则k 值为（）A ．2或4B ．0或4C ．﹣2或0D ．﹣2或2 【答案】B【思路分析】把x =-2代入方程即可求得k 的值. 例题分析易错点梳理【解析】解：将x =-2代入原方程得到：22-8+4=4k k .解关于k 的一元二次方程得：k =0或4.故选：B ．【点拨】此题主要考查了解一元二次方程相关知识点.代入解求值是关键．例题2：（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时.小红看错了常数项q .得到方程的两个根是﹣3.1．小明看错了一次项系数P .得到方程的两个根是5.﹣4.则原来的方程是（）A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2+2x ﹣20＝0C ．x 2﹣2x ﹣20＝0D ．x 2﹣2x ﹣3＝0【答案】B【思路分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程.再舍去错误信息.从而可得正确答案. 【解析】解：小红看错了常数项q .得到方程的两个根是﹣3.1.所以此时方程为：()()310,x x +-= 即：2230,x x +-=小明看错了一次项系数P .得到方程的两个根是5.﹣4.所以此时方程为：()()540,x x -+= 即：2200,x x --=从而正确的方程是：22200,x x +-= 故选：.B【点拨】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程.掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键. 考向02 一元二次方程的解法例题3：（2013·浙江丽水·中考真题）一元二次方程()2x 616+=可转化为两个一元一次方程.其中一个一元一次方程是x 64+=.则另一个一元一次方程是（）A ．x 64-=-B ．x 64-=C ．x 64+=D ．x 64+=-【答案】D【解析】将()2x 616+=两边开平方.得x 64+=±.则则另一个一元一次方程是x 64+=-．故选D ．例题4：（2021·内蒙古赤峰·中考真题）一元二次方程2820x x --=.配方后可形为（）A ．()2418x -=B ．()2414x -=C ．()2864x -=D ．()241x -= 【答案】A【思路分析】把常数项移到方程右边.再把方程两边加上16.然后把方程作边写成完全平方形式即可【解析】解：2820x x --=x 2-8x =2.x 2-8x +16=18.（x -4）2=18．故选：A ．【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x +m ）2=n 的形式.再利用直接开平方法求解.这种解一元二次方程的方法叫配方法．考向03 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例题5：（2021·广西河池·中考真题）关于x 的一元二次方程220x mx m +--=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数由m 的值确定【答案】A【思路分析】先确定a 、b 、c 的值.计算24b ac -的值进行判断即可求解．【解析】解：由题意可知：a =1.b =m .c =-m -2.∴()()2222=4=41248244b ac m m m m m ∆--⨯⨯--=++=++≥.∴方程有两个不相等实数根．故选A.【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式.是常见考点.当Δ>0时.方程有两个不相等的实数根.当Δ=0时.方程有两个相等的实数根.当Δ<0时.方程没有实数根.熟记判别式并灵活应用是解题关键．例题6：（2021·山东济宁·中考真题）已知m .n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根.则代数式22m m n ++的值等于（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022 【答案】B【思路分析】根据一元二次方程根的定义得到22021m m +=.则22=2021+m m n m n +++.再利用根与系数的关系得到1m n +=-.然后利用整体代入的方法计算．【解析】解：∵m 是一元二次方程220210x x +-=的实数根.∴220210m m +-=.∴22021m m +=.∴2222021m m n m m m n m n ++=+++=++.∵m 、n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根.∴1m n +=-.∴22202112020m m n ++=-=.故选：B ．【点拨】本题考查了根与系数的关系：若x 1.x 2是一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根时.12bx x a +=-.12c x x a=．也考查了一元二次方程的解．考向04 列一元二次方程解应用题例题7：（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元.经过两次降价后每件的售价为48.6元.并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率.（2）若该商品每件的进价为40元.计划通过以上两次降价的方式.将库存的该商品20件全部售出.并且确保两次降价销售的总利润不少于200元.那么第一次降价至少售出多少件后.方可进行第二次降价？【答案】（1）10%.（2）6件【思路分析】（1）根据某商品原来每件的售价为60元.经过两次降价后每件的售价为48.6元.并且每次降价的百分率相同.可设每次降价的百分率为x .从而可以列出方程60（1-x ）2=48.6.然后求解即可.（2）根据题意和（1）中的结果.可以列出相应的不等式.然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围.再根据件数为整数.即可得到第一次降价至少售出多少件后.方可进行第二次降价．【解析】解：（1）设该商品每次降价的百分率为x .60（1-x ）2=48.6.解得x 1=0.1.x 2=1.9（舍去）.答：该商品每次降价的百分率是10%.（2）设第一次降价售出a 件.则第二次降价售出（20-a ）件.由题意可得.[60（1-10%）-40]a +（48.6-40）×（20-a ）≥200.解得a ≥5527. ∵a 为整数.∴a 的最小值是6.答：第一次降价至少售出6件后.方可进行第二次降价．【点拨】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用.解答本题的关键是明确题意.找出等量关系和不等关系.列出相应的方程和不等式.第一问是典型的的下降率问题.是中考常考题型．例题8：（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日.在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）.若圈出的四个数中.最小数与最大数的乘积为65.求这个最小数（请用方程知识解答）．【答案】5【思路分析】根据日历上数字规律得出.圈出的四个数最大数与最小数的差值为8.设最小数为x .则最大数为+8x .结合已知.利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可．【解析】解：设这个最小数为x ．根据题意.得()865x x +=．解得15=x .213x =-（不符合题意.舍去）．答：这个最小数为5．【点拨】此题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程.掌握日历的特征.根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键．一、单选题1．（2021·福建·厦门一中三模）对于一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠.下列说法： ①若0a b c ++=.则240b ac -≥.②若方程20ax c +=有两个不相等的实根.则方程20ax bx c ++=()0a ≠必有两个不相等的实根.③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根.则一定有10ac b ++=成立.④若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根.则()22042b ac ax b -=+．微练习其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】解：①若a +b +c =0.则x =1是方程ax 2+bx +c =0的解.由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ=b 2-4ac ≥0.故①正确.②方程ax 2+c =0有两个不相等的实根.∴Δ=0-4ac ＞0.∴-4ac ＞0则方程ax 2+bx +c =0的判别式Δ=b 2-4ac ＞0.∴方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根.故②正确.③∵c 是方程ax 2+bx +c =0的一个根.则ac 2+bc +c =0.∴c （ac +b +1）=0.若c =0.等式仍然成立.但ac +b +1=0不一定成立.故③不正确.④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根.则由求根公式可得：x 024b b c a -±-. ∴2ax 0+b =24b ac -∴b 2-4ac =（2ax 0+b ）2.故④正确．故正确的有①②④.故选：C ．2．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x 的一元二次方程()22395m x m x x -+=+化为一般形式后不含一次项.则m 的值为（）A ．0B ．±3C ．3D ．－3【答案】D【分析】解：∵()22395m x m x x -+=+.∴()()223950m x m x -+--=. 由题意得：m －3≠0且m 2－9＝0.解得：m ＝－3.故选：D ．3．（2021·广西玉林·一模）关于x 的一元二次方程：24ax bx c ++=的解与方程2540x x -+=的解相同.则a b c ++=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】解方程2540x x -+=,分解因式.得()()140x x --=121,4x x ==将1x =代入24ax bx c ++=.得4a b c ++=．故选D.4．（2021·河南涧西·三模）定义()224a b a a b =+-+★.例如()2373372428=+⨯-+=★.若方程0x m =★的一个根是1-.则此方程的另一个根是（）A ．2-B ．3-C ．4-D ．5-【答案】C【分析】解：∵2(2)4x m x m x =+-+★∴2(2)4=0x m x +-+∵方程2(2)4=0x m x +-+的一个根是1-.设另一个根为t .则有：14t -⨯= 解得.4t =- .故选：C5．（2021·广东·惠州一中一模）若m .n 为方程2310x x --=的两根.则m n +的值为（）A ．1B ．1-C ．3-D ．3 【答案】D【分析】解：m .n 为方程2310x x --=的两根.3m n ∴+=．故选D ．6．（2021·广东·西南中学三模）下列一元二次方程中.没有实数根的是（）A ．2x 2﹣4x +3＝0B ．x 2+4x ﹣1＝0C ．x 2﹣2x ＝0D ．3x 2＝5x ﹣2 【答案】A【分析】解：A 、Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣4＜0.则方程没有的实数根.所以A 选项符合题意.B 、Δ＝42﹣4×1×（﹣1）＝20＞0.则方程两个不相等的实数根.所以B 选项不符合题意.C 、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0.则方程有两个不相等的实数根.所以C 选项不符合题意.D 、Δ＝（﹣5）2﹣4×3×2＝1＞0.则方程有两个不相等的实数根.所以D 选项不符合题意．故选：A ．7．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）抛物线222y x x a =++-与坐标轴有且仅有两个交点.则a 的值为（）A ．3B ．2C ．2或3-D ．2或3 【答案】D【分析】解：由题意得.当抛物线与y 轴有1个交点.与x 轴只有1个交点时.则22424(2)0b ac a ∆=-=--=解得12a =-3a ∴=当图象过原点并和x 轴有2个交点时.则0= a −22a ∴=故选：D ．8．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）直线y x a =+经过第一、三、四象限.则关于x 的方程220x x a ++=实数解的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．以上都有可能【答案】C 【分析】解：直线y x a =+经过第一、三、四象限.∴a ＜0.∴△2240a =->.∴方程有两个不相等的实数根．故选：C ．9．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）受新冠影响.某股份有限公司在2020年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元.而在1月份的销售收入仅为2万元.那么该股份有限公司在2020年第一季度的销售收入月增长率为（）A ．0.2%B ．－2.2%C ．20%D ．220% 【答案】C【分析】解：设第一季度的销售收入月增长率为x .由题意得2（1+x ）2＝2.88.解得：x 1＝20%.x 2＝-2.2（不合实际舍去）．答：第一季度的销售收入月增长率为20%．故选C ．10．（2021·安徽·合肥市第四十五中学三模）每年春秋季节流感盛行.极具传染性如果一人得流感.不加干预.则经过两轮后共有81人得流感.则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染x 人.则下列方程正确的是（）A ．2181x x ++=B ．()2181x +=C ．()21181x x +++=D ．()()211181x x ++++= 【答案】B【分析】设每人每轮平均感染x 人.由题意得.x （x +1）+x +1=81.即()2181x +=．故答案为：()2181x +=．11．（2021·黑龙江佳木斯·三模）商场购进一批衬衣.进货单价为30元.按40元出售时.每天能售出500件．若每件涨价1元.则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣.而且还能每天获取8000元的利润.其售价应该定为（）A ．50元B ．60元C ．70元D ．50元或70元【答案】A【分析】解：设售价定为x 元时.每天赚取利润8000元.由已知得：3050010408000x x . 整理得：212035000x x -+=.解得：150x =或270x =∵尽量减少库存.∴50x =.故选：A ．12．（2021·河北桥东·二模）若x 比()1x -与()1x +的积小1.则关于x 的值.下列说法正确的是（）A ．不存在这样x 的值B ．有两个相等的x 的值C ．有两个不相等的x 的值D ．无法确定【答案】C【分析】解：由题意.得()()111x x x +--=.整理得220x x --=.∵()()2141290∆=--⨯⨯-=>.∴方程有两个不相等的实数根.即12x =.21x =-.故选C ．二、填空题13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）已知1x =是一元二次方程20x x c ++=的解.则c 的值是___________．【答案】-2【分析】解：把x =1代入方程x 2+x +c =0.可得1+1+c =0.解得c =-2．故答案是：-2．14．（2021·广东·江门市第二中学二模）设a 为一元二次方程22520210x x +-=的一个实数根.则26152a a ++=______．【答案】6065【分析】解：∵a 为一元二次方程22520210x x +-=的一个实数根. ∴22520210a a +-=.∴2252021a a +=.∴26152a a ++()23252a a =++ 320212=⨯+6065=故答案为：6065．15．（2021·内蒙古包头·三模）已知a 是方程260x x +-=的解.求22341121a a a a a -⎛⎫-+÷= ⎪+++⎝⎭_____________．【答案】2 【分析】解：22341121a a a a a -⎛⎫-+÷ ⎪+++⎝⎭ =()()()222231111a a a a a a +-⎛⎫--÷ ⎪+++⎝⎭=()()()2214122a a a a a +-⨯++- =()()()()()2221122a a a a a a +-+-⨯++- =1a --∵a 是方程260x x +-=的解.∴260+-=a a .∴()()230a a -+=.解得：a =2或a =-3.∵a ≠2.∴当a =-3时.原式=-（-3）-1=2.故答案为：2．16．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室二模）方程x 2＝x 的解为 ___．【答案】0x =或【分析】2x x =.20x x -=.()10x x -=.0x =或1x =.故答案是：0x =或1x =．17．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程x 3－2x ＋1＝0时.发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1.所以原方程可以转化为(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0．根据这个提示.请你写出这个方程的所有的解______． 15-± 1 【分析】解：∵(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0.∴()()321=0x b x c b x c +-+--.又由题意得：()()33221=1x x x b x c b x c -++-+--.∴1021b c b c -=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩解得：11b c =⎧⎨=-⎩∴()()2110x x x -+-=.∴1=0x -.210x x +-=. ∴由求根公式得：11415x -±+-±=. 则原方程所有的解为：15-± 1. 15-±1． 18．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）若关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x +++=的根都是整数.则整数m 的最大值是________．【答案】2【分析】把原方程利用因式分解法分解因式可得：(2)(1)0mx x ++=.∴20mx +=或10x +=.解得：2x m=-或1x =-. ∵方程两个实数根都是整数且整数0m ≠.∴m 为1,2±±．∴最大值为2.故答案为：2．三、解答题19．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）解下列方程．（1）()2233x x -=-．（2）22530x x -+=．【答案】（1）x 1=3.x 2=72（2）x 1=32.x 2=1．【分析】（1）()2233x x -=-．()()22330x x ---= ()()32310x x ---=⎡⎤⎣⎦()()3270x x --=∴x -3=0或2x -7=0解得x 1=3.x 2=72（2）22530x x -+= ()()2310x x --=∴2x -3=0或x -1=0解得x 1=32.x 2=1． 20．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）解方程：2x (x ﹣3)+x =3【答案】x 1=3.x 2=﹣12【分析】解：移项.得2x （x -3）+（x -3）=0.提公因式.得（x -3）（2x +1）=0.解得x 1=3.x 2=-12．21．（2021·广东·铁一中学二模）解方程：()2131x x -=+ 【答案】1x =-或4x =【分析】∵()2131x x -=+∴2340x x --=∴()()140x x +-=∴1x =-或4x =．22．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）已知代数式5x 2﹣2x .请按照下列要求分别求值：（1）当x ＝1时.代数式的值．（2）当5x 2﹣2x ＝0时.求x 的值．【答案】（1）3.（2）0或25．【分析】解：（1）当x ＝1时.5x 2﹣2x ＝5﹣2＝3.（2）5x 2﹣2x ＝0.分解因式得：x （5x ﹣2）＝0.可得x ＝0或5x ﹣2＝0.解得：x ＝0或x ＝25．23．（2021·广东·珠海市文园中学三模）已知关于x 的一元二次方程2(21)210k x x -++=有实数根．（1）求k 的取值范围.（2）取12k =-.用配方法解这个一元二次方程．【答案】（１）1k ≤且12k ≠.（２）113x +.213x -=．【分析】解：（1）∵2(21)210k x x -++=有实数根.∴240b ac ∆=-≥.∴()44210k --≥.解得：1k ≤.∵210k -≠. ∴12k ≠.∴k 的取值范围为1k ≤且12k ≠. （2）把12k =-代入2(21)210k x x -++=.得22210x x -++=.移项得：2221x x -+=-.系数化为1得：21 2x x-=.配方得：21324x⎛⎫-=⎪⎝⎭.解得：132x-=.∴113x+=.213x-=．24．（2021·重庆实验外国语学校三模）永川黄瓜山.林场万亩、环境优美.山势雄伟、地貌奇特.现已成为全国面积最大的南方早熟梨基地.品种以黄花梨为主.还有黄冠、圆黄、红梨、鄂梨2号等．永川梨香甜.脆嫩.皮薄.多汁．2020年.永川梨入选第一批全国名特优新农产品名录．（1）某水果经销商第一批购进黄花梨5000千克.黄冠梨2000千克.黄冠梨每千克的进价比黄花梨的进价每千克多2元.经销商所花费的费用不超过60000元.求黄花梨每千克进价最多为多少元？（2）在第（1）问最高进价的基础上.随着梨大量成熟.该水果经销商第二批购进的黄花梨的数量比第一批的数量增加了2a%.第二批购进的黄冠梨的数量不变.黄花梨的进价减少了12a%.黄冠梨的进价减少了2a%.第二批购进梨的总成本与第一批购进梨的总成本相同.求a的值．【答案】（1）8元.(2)50【分析】解：（1）设黄花梨的进价每千克x元.黄冠梨每千克的进价为（x+2）元. 所以5000x+2000（x+2）≤60000.解得：x≤8.答：黄花梨每千克进价最多为8元.（2）由（1）得：15000(12%)8(1%)200010(12%)600002a a a+⨯-+⨯-= .解得：a=50.（0a=舍去）答：a得值为50.25．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）某儿童玩具店销售一种玩具.每个进价为60元.现以每个100元销售.每天可售出20个.为了迎接六一儿童节.店长决定采取适当的降价措施.经市场调查发现：若每个玩具每降价1元.则每天多售出2个．设该玩具的销售单价为x（元）.日销售量为y（个）．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）为了增加盈利.减少库存.且日销售利润要达到1200元.销售单价应定为多少元？（3）若销售单价不低于成本价.每个获利不高于成本价的30%.将该玩具的销售单价定为多少元时.玩具店每天销售该玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）2220y x =-+.（2）销售单价应定为80元.（3）销售单价定为78元时.玩具店每天销售该玩具获得的利润最大.最大利润是1152元【分析】解：（1）根据题意.得：202(100)y x =+-.即2220y x =-+.∴y 与x 之间的函数关系式为2220y x =-+.（2）(60)(2220)1200x x --+=.217072000x x -+=.解.得180x =.290x =（不合题意.舍去）.答：销售单价应定为80元.（3）设日销售利润为w 元.根据题意.得(60)(2220)w x x =--+2234013200x x =-+-22(85)1250x =--+.∵2a =-＜0.∴抛物线开口向下.w 有最大值.由已知606030%78+⨯=.∴60≤x ≤78.∴85x ＜时.w 随x 的增大而增大.∴78x =时.w 有最大值.22(7885)12501152w =--+=.答：销售单价定为78元时.玩具店每天销售该玩具获得的利润最大.最大利润是1152元．。

2025年湖南省中考数学一轮复习第二单元第六讲分式方程的概念及解法(含答案)

2025年湖南省中考数学一轮复习第六讲　分式方程的概念及解法学生版知识要点对点练习1.分式方程的概念(1)定义:中含有未知数的方程.(2)分式方程的增根:在分式方程变形时,有可能产生使原方程的等于0的根,它满足变形后的方程,但不适合原方程 1.(1)下列方程:①x2-2x=1x;②3x+54x-1= 2x-13;③x4-2x2=0;④12x2-1=0.其中分式方程是( )A.①②③B.①②C.①③D.①②④(2)方程2xx-1+x+k1-x=0有增根,不解方程,可判断这个增根是.2.分式方程的解法(1)解分式方程的基本思想:将分式方程转化为求解,方法是通过“去分母”,即方程两边同乘分式方程中的.(2)解分式方程的一般步骤:①去,将分式方程转化为整式方程;②解所得的方程;③检验所得的整式方程的解是否为方程的解; 2.(教材再开发·湘教八上P34练习T1改编)解分式方程2x+1+3x-1=6x2-1,分以下四步,其中,错误的一步是( ) A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)B.方程两边都乘(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6C.解这个整式方程,得x=1D.原方程的解为x=1④确定分式方程的解.考点1　分式方程的解法【例1】(2024·福建中考)解方程:3x +2+1=xx -2.【自主解答】原方程两边都乘(x +2)(x -2),去分母得3(x -2)+(x +2)(x -2)=x (x +2),整理得3x -10=2x ,解得x =10,检验当x =10时,(x +2)(x -2)≠0,故原方程的解为x =10.【方法技巧】解分式方程的两点注意(1)去分母时注意不要漏乘不含分母的项;(2)得到整式方程的解后,注意要代入最简公分母检验.【变式训练】1.(2024·德阳中考)分式方程1x =5x +3的解是( )A .3B .2C .32　D .342.(2024·泸州中考)分式方程1x -2-3=22-x的解是( )A .x =-73　B .x =-1C .x =53　D .x =3考点2　分式方程根的情况【例2】(2023·常德汉寿县一模)若去分母解分式方程x -2x -3+1=mx -3会产生增根,则m 的值为.【思路点拨】先去分母,再将增根x =3代入x -2+x -3=m ,求解即可.【方法技巧】1.利用增根求字母值的一般步骤:(1)化分式方程为整式方程;(2)让最简公分母等于零求出增根的值;(3)把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值.2.分式方程无解的两种情况:(1)转化成的一元一次方程,其未知数前面的系数等于0,此一元一次方程无解;(2)转化成的一元一次方程有解,其解恰好使原分式方程的最简公分母为0,该解是增根,此分式方程无解.【变式训练】1.(2024·龙东中考)已知关于x 的分式方程kx x -3-2=33-x无解,则k 的值为( )A .k =2或k =-1B .k =-2C .k =2或k =1D .k =-12.(2024·遂宁中考)分式方程2x -1=1-mx -1的解为正数,则m 的取值范围()A .m >-3B .m >-3且m ≠-2C .m <3D .m <3且m ≠-21.(2023·株洲中考)将关于x 的分式方程32x =1x -1去分母可得( )A .3x -3=2xB .3x -1=2xC .3x -1=xD .3x -3=x2.(2024·湖南中考)分式方程2x +1=1的解为 .3.(2023·永州中考)若关于x 的分式方程1x-4-m4-x=1(m 为常数)有增根,则增根是 .4.(2021·湘西州中考)若式子2y -2+1的值为零,则y =.2025年湖南省中考数学一轮复习第六讲　分式方程的概念及解法教师版知识要点对点练习1.分式方程的概念(1)定义:　分母　中含有未知数的方程. (2)分式方程的增根:在分式方程变形时,有可能产生使原方程的　最简公分母　等于0的根,它满足变形后的　整式　方 1.(1)下列方程:①x 2-2x =1x;②3x +54x-1=2x -13;③x 4-2x 2=0;④12x 2-1=0.其中分式方程是(B)A.①②③B.①②程,但不适合原　分式　方程C.①③D.①②④(2)方程2x x-1+x +k1-x=0有增根,不解方程,可判断这个增根是　x =1　.2.分式方程的解法(1)解分式方程的基本思想:将分式方程转化为　整式方程　求解,方法是通过“去分母”,即方程两边同乘分式方程中的　最简公分母　.(2)解分式方程的一般步骤:①去　分母　,将分式方程转化为整式方程;②解所得的　整式　方程;③检验所得的整式方程的解是否为　原分式　方程的解; ④确定分式方程的解.2.(教材再开发·湘教八上P34练习T1改编)解分式方程2x +1+3x-1=6x 2-1,分以下四步,其中,错误的一步是(D)A .方程两边分式的最简公分母是(x -1)(x +1)B .方程两边都乘(x -1)(x +1),得整式方程2(x -1)+3(x +1)=6C .解这个整式方程,得x =1D .原方程的解为x =1考点1　分式方程的解法【例1】(2024·福建中考)解方程:3x +2+1=xx -2.【自主解答】原方程两边都乘(x +2)(x -2),去分母得3(x -2)+(x +2)(x -2)=x (x +2),整理得3x -10=2x ,解得x =10,检验当x =10时,(x +2)(x -2)≠0,故原方程的解为x =10.【方法技巧】解分式方程的两点注意(1)去分母时注意不要漏乘不含分母的项;(2)得到整式方程的解后,注意要代入最简公分母检验.【变式训练】1.(2024·德阳中考)分式方程1x =5x +3的解是(D)A .3　B .2　C .32　D .342.(2024·泸州中考)分式方程1x -2-3=22-x的解是(D)A .x =-73　B .x =-1C .x =53　D .x =3考点2　分式方程根的情况【例2】(2023·常德汉寿县一模)若去分母解分式方程x -2x -3+1=mx -3会产生增根,则m的值为　1　.【思路点拨】先去分母,再将增根x =3代入x -2+x -3=m ,求解即可.【方法技巧】1.利用增根求字母值的一般步骤:(1)化分式方程为整式方程;(2)让最简公分母等于零求出增根的值;(3)把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值.2.分式方程无解的两种情况:(1)转化成的一元一次方程,其未知数前面的系数等于0,此一元一次方程无解;(2)转化成的一元一次方程有解,其解恰好使原分式方程的最简公分母为0,该解是增根,此分式方程无解.【变式训练】1.(2024·龙东中考)已知关于x 的分式方程kx x -3-2=33-x无解,则k 的值为(A)A .k =2或k =-1B .k =-2C .k =2或k =1D .k =-12.(2024·遂宁中考)分式方程2x -1=1-mx -1的解为正数,则m 的取值范围(B)A .m >-3B .m >-3且m ≠-2C .m <3D .m <3且m ≠-21.(2023·株洲中考)将关于x 的分式方程32x =1x -1去分母可得(A)A .3x -3=2xB .3x -1=2xC .3x -1=xD .3x -3=x2.(2024·湖南中考)分式方程2x +1=1的解为　x =1　. 3.(2023·永州中考)若关于x 的分式方程1x -4-m4-x=1(m 为常数)有增根,则增根是　x =4　.4.(2021·湘西州中考)若式子2y -2+1的值为零,则y =　0　.。

中考专题方程观点解几何计算题

方程观点解几何计算题概述：含有未知数的等式便是方程，代数方面的应用题，几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可用方程的观点去解决，一般一个未知数列一个方程，两个未知数列两个方程．典型例题精析例1．有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD长．分析：Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8 AB=10．由题意知△ ACD≌△AED∠DEB=90°，DECD，AC=AE=6，设CD=x，则DE=x，而EB=4，一个未知数，需要一个方程，从何而来，图中有直角，用勾股定理，有等式，有方程．∴在Rt△DEB中，（8-x）2=x2+42，64-16x+x2=x2+16，16x=48， x=3（cm）．例2．已知⊙O中，两弦AB、CD相交于E，若E为AB中点，且CE：ED=1：4，AB=4，求CD长．解：∵CE：ED=1：4，∴设CE=x，则ED=4x，由相交弦定理得CE·ED=AE·EB，即x·4x=2×2，4x2=4， x=1．∴CD=x+4x=5x=5．例3．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB延长线上，PM切⊙O于M点，若OA=a，PM=a，求△PMB的周长．分析：条件符合切割线定理，设BP=x，则由PM2=PB·PA（方程出来了）得（a）2=x（x+2a），x2+2ax-3a2=0，（x+3a）（x-a）=0，∴x1=a，x2=-3a（舍去）∴x=a，即BP=a，连结MO（常作辅助线）则∠OMP=90°，∵OB=BP=a，则MB为Rt△OMP的斜边上的中线，∴MB=OP=a．∴△MBP的周长为2a+a．例4．如图，圆心在Rt△ABC斜边AB上的半圆切直角边AC、BC于M、N，其中AC=6，BC=8，求半圆的半径．分析：设半径为R，（一个未知数建立一个方程即可），连OM、ON、OC，则OM=ON=R，用面积，S△AOC+S△BOC=S△ABC，得6R+8R=6×8（一元一次方程）14R=48，R=．中考样题训练:1．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，D为BC边上的一点，tan∠ADC是方程3（x2+）-5（x+）=2的一个根，求CD的长．2．如图，已知直线BC切⊙O于C，PD为⊙O的直径，BP的延长线与CD的延长线交于点A，∠A=28°,∠B=26°，求∠PDC的度数．3．已知，如图，C为半圆上一点，，过C作直径的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F．（1）求证：AD=CD；（2）若DF=，tan∠ECB=，求PB的长．4．已知关于x的方程x2-（k+1）x+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）k取何值时，方程有两个实数根；（2）当矩形的对角线长为时，求k的值．5．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直AB于点F，交BC于点G，连结PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）当∠ABC=30°，BG=2，CG=4时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程．（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF·DO成立？试写出你的猜想，并说明理由．6．已知：如图所示，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弦BF和AD交于E，且AE=BE．（1）试猜想：与有何大小关系？并证明你的猜想；（2）若BD、CD的长是关于x的方程x2-kx+16=0的两个根，求BF的长；（3）在（2）的条件下，若k为整数，且满足，求sin2∠A的值．考前热身训练1．要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，求选用的圆形铁片的直径的最小值．2．圆内两条弦AB和CD相交于P点，AB长为7，AB把CD分成两部分的线段长为2和6，求AP的长．3．如图，PA切⊙O于点A，PBC交⊙O于B、C，若PB、PC的长是关于x 的方程x2-（m-2）x+（m+2）=0的两个根，且BC=4，求m的值及PA的长．4．如图，D是△ABC的边AC上一点，CD=2AD，AE⊥BC，交BC于点E，若BD=8，sin∠CBD=，求AE的长．5．如图，在△ABC中，∠CAD=∠B，若AD=7，AB=8，AC=6，求DC的长．6．已知，如图，以△ABC的边BC为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E 点作EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的长．答案:中考样题看台1．解：3（x+）2-5（x+）-8=0，x+=或x+=-1，由x+=得x=．x+=-1得x2+x+1=0无解．∴tan∠ADC=，在Rt△ABC中，AC==．在Rt△ADC中，CD==．∵CD<1，∴CD=．2．∠PDC=36°3．（1）证明：连结AC，∵，∴∠CEA=∠CAE．∵∠CEA=∠CBA，∴∠CBA=∠CAE，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵CP⊥AB，∴∠CBA=∠ACP，∴∠CAE=∠ACP，∴AD=CD．（2）解：∵∠ACB=90°，∠CAE=∠ACP，∴∠DCF=∠CFD，∴AD=CD=DF=，∵∠ECB=∠DAP，tan∠ECB=，∴tan∠DAP==，∵PD2+PA2=DA2，∴DP=，PA=1，∴CP=2，∵∠ACB=90°，CP⊥AB，∴△APC∽△CPB，∴，∴PB=4．4．（1）要使方程有两个实数根，必须△≥0，即[-（k+1）]2-4（k2+1）≥0，化简得：2k-3≥0，解之得：k≥．（2）解之得：k1=2，k2=-6由（1）可知，k=-6时，方程无实数根，所以，只能取k=2．5．（1）连结OC，证∠OCP=90°即可．（2）∵∠B=30°，∠A=∠BCP=60°，∴∠BCP=∠CGP=60°，∴△CPG是正三角形．∴PG=CP=4，∴PC切⊙O于C．∴PC2=PD·PE=（4）2=48，又∵BC=6，∴AB=6，FD=3，EG=，∴PD=2，∴PD+PE=2+8=10．∴以PD、PE为两根的一元二次方程为x2-48x+10=0．（3）当G为BC中点，OG⊥BC，OG∥AC或∠BOG=∠BAC…时，结论BG2=BF·BO成立．要让此结论成立，只证明△BFG∽△BGO即可，凡是能使△BFG∽△BGO的条件都可以．6．可以猜想到．证明：延工AD交⊙O于点G．∵BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∴． ∵AE=BE，∴∠ABE=∠BAE，∴，∴．（2）∵，∴，BF=AG．∵AD⊥BC，BC是⊙O直径，∴AG=2AD， ∴BF=2AD，∵BD、CD的长是方程x-kx+16=0的两个根，∴BD·CD=16．又AD2=BD·CD，∴A D2=16，AD=4，∴BF=8．（3）连结CF解不等式组得：9<k≤10∵k是整数，∴k=10．由（2）得BD+CD=k，∴BC+CD=10即⊙O的直径BC=10．∵，∴∠C=2∠A．在Rt△ABC中，sin∠C==，∴sin∠A=， ∴sin2∠A=．考前热身训练1．R2+R2=42，2R=4（cm）2．AP=3或43．设PB=a，PC=a+4，则解之得a=2，m=10．由P A2=PB·PC=2×6=12得PA=2．4．过D作DF⊥BC于F．由sin∠CBD===，DF=6，由DF∥AE AE=95．易证△ADC∽△BAC，∴ 即，∴x=6．连BE，则BE⊥AC，易证△BEF∽△BCE， ∴EC=2．。

中考数学一元二次方程与分式方程专题练习含解析

一元二次方程与分式方程一、选择题1．下列命题：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；④若b2﹣4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有①④D．只有②③④2．四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD长是关于x的方程x2﹣3mx+2m2+m﹣2=0的两个实数根，则四边形ABCD是（）A．矩形B．平行四边形C．梯形D．平行四边形或梯形3．正比例函数y=（a+1）x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+（1﹣2a）x+a2=0，则此方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定二、填空题4．已知方程（m2﹣4）x2+（2﹣m）x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．5．已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是．6．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为．7．若关于x的方程有增根，则m的值是．8．方程的解是；若关于x的方程﹣1=0无实根，则a的值为．三、解答题9．阅读下列材料：关于x的方程：的解是x1=c，；（即）的解是x1=c；的解是x1=c，；的解是x1=c，；…（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．10．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0（m≠0）（1）若m=1，求出此时方程的实数根；（2）求证：方程总有实数根；（3）设m＞0，方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）、若y是关于m的函数，且y=x2﹣2x1，求函数的解析式，并画出其图象．（画草图即可，不必列表）11．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于．12．如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）（1）求A、B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2；①当2＜t≤4时，试探究S2与之间的函数关系；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB的面积的？13．A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图．（1）求y关于x的表达式；（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s（千米）．请直接写出s关于x的表达式；（3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a．在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象．14．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z 与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x 之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．15．要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．16．如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N 作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP．已知动点运动了x秒．（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）（2）若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值．（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由．一元二次方程与分式方程参考答案与试题解析一、选择题1．下列命题：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；④若b2﹣4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有①④D．只有②③④【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】①②③小题利用移项与变形b2﹣4ac与0的大小关系解决；处理第④小题时不要疏忽二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点情况．【解答】解：①b2﹣4ac=（﹣a﹣c）2﹣4ac=（a﹣c）2≥0，正确；②若b＞a+c，则△的大小无法判断，故不能得出方程有两个不等实根，错误；③b2﹣4ac=4a2+9c2+12ac﹣4ac=4（a+c）2+5c2，因为a≠0，故（a+c）2与c2不会同时为0，所以b2﹣4ac＞0，正确；④二次函数y=ax2+bx+c与y轴必有一个交点，而这个交点有可能跟图象与x轴的交点重合，故正确．故选B．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数．2．四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD长是关于x的方程x2﹣3mx+2m2+m﹣2=0的两个实数根，则四边形ABCD是（）A．矩形B．平行四边形C．梯形D．平行四边形或梯形【考点】根的判别式；梯形．【分析】AB、CD长是关于x的方程x2﹣3mx+2m2+m﹣2=0的两个实数根，即判别式△=b2﹣4ac≥0，可得到AB与CD的关系，再判定四边形的形状．【解答】解：∵a=1，b=﹣3m，c=2m2+m﹣2∴△=b2﹣4ac=（﹣3m）2﹣4×1×（2m2+m﹣2）=（m﹣2）2+4＞0∴方程有两个不相等的实数根．∴AB≠CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是梯形．故选C．【点评】本题利用了一元二次方程的根的判别式与根的关系，梯形的判定求解．3．正比例函数y=（a+1）x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+（1﹣2a）x+a2=0，则此方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【考点】根的判别式；正比例函数的性质．【分析】正比例函数的图象经过第二、四象限，则（a+1）＜0，求出a的范围，结合一元二次方程的△，来判断根的情况．【解答】解：由题意知，（a+1）＜0，解得a＜﹣1，∴﹣4a＞4．因为方程x2+（1﹣2a）x+a2=0的△=（1﹣2a）2﹣4a2=1﹣4a＞5＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】（1）正比例函数y=kx，当k＜0，图象过二、四象限；k＞0时，图象过一、三象限．（2）一元二次方程的△＞0时，有两个不相等的实数根．（3）本题要会把a＜﹣1转化为1﹣4a＞5．二、填空题4．已知方程（m2﹣4）x2+（2﹣m）x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≠±2．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程成立的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵方程（m2﹣4）x2+（2﹣m）x+1=0是关于x的一元二次方程，∴m2﹣4≠0，∴m≠±2．【点评】此题比较简单，考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程．5．已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是0≤k≤1且k≠．【考点】根的判别式．【专题】压轴题．【分析】二次方程有实数根即根的判别式△≥0，找出a，b，c的值代入列出k的不等式，求其取值范围．【解答】解：因为关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，所以△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4（1﹣2k）×（﹣1）=4﹣4k≥0，解之得，k≤1．又因为k≥0，1﹣2k≠0，即k≠，所以k的取值范围是0≤k≤1且k≠．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零和被开方数大于零这两个隐含条件．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为16．【考点】一元二次方程的应用；三角形三边关系；菱形的性质．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD 的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD 的周长．【解答】解：∵解方程x2﹣7x+12=0得：x=3或4∵对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形；∴菱形的边长为4．∴菱形ABCD的周长为4×4=16．【点评】由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形两边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．7．若关于x的方程有增根，则m的值是2．【考点】分式方程的增根．【专题】计算题．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得m﹣1﹣x=0，∵方程有增根，∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，把x=1代入整式方程，得m=2．故答案为：2．【点评】增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．8．方程的解是x=0；若关于x的方程﹣1=0无实根，则a的值为±1．【考点】分式方程的解．【专题】计算题．【分析】本题考查解分式方程能力，观察可得方程最简公分母为2（x﹣2），去分母，化为整式方程求解．分式方程﹣1=0无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．【解答】解：方程两边同乘2（x﹣2），得2x﹣2=x﹣2，解得x=0．经检验x=0是原方程的根，故方程的解是x=0；（1）x=1为原方程的增根，此时有ax+1﹣（x﹣1）=0，即a+1﹣（1﹣1）=0解得a=﹣1．（2）方程两边都乘（x﹣1），得ax+1﹣（x﹣1）=0，化简得：（a﹣1）x=﹣2．当a=1时，整式方程无解．综上所述，当a=±1时，原方程无解．【点评】将分式方程化为整式方程的关键是确定最简公分母，要根据分式的分母确定最简公分母．分母是多项式能进行分解的要先进行分解，再去确定最简公分母．分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．三、解答题9．阅读下列材料：关于x的方程：的解是x1=c，；（即）的解是x1=c；的解是x1=c，；的解是x1=c，；…（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．【考点】解分式方程．【专题】阅读型．【分析】此题为阅读分析题，解此题要注意认真审题，找到规律：x+=c+的解为x1=c，x2=，据规律解题即可．【解答】解：（1）猜想的解是x1=c，x2=．验证：当x=c时，方程左边=c+，方程右边=c+，∴方程成立；当x=时，方程左边=+c，方程右边=c+，∴方程成立；∴的解是x1=c，x2=；（2）由得，∴x﹣1=a﹣1，，∴x1=a，x2=．【点评】解此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律：x+=c+的解为x1=c，x2=．10．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0（m≠0）（1）若m=1，求出此时方程的实数根；（2）求证：方程总有实数根；（3）设m＞0，方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）、若y是关于m的函数，且y=x2﹣2x1，求函数的解析式，并画出其图象．（画草图即可，不必列表）【考点】根与系数的关系；解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣因式分解法；根的判别式；待定系数法求反比例函数解析式．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）把m的值，代入方程，解方程即可；（2）运用根的判别式判断，列出判别式的表达式，再变形成为非负数，得出△≥0即可；（3）可根据求根公式求出x1、x2，代入y=x2﹣2x1中，得出关于m的函数关系式，根据m＞0，画出函数图象．【解答】解：（1）若m=1，方程化为x2﹣5x+4=0即（x﹣1）（x﹣4）=0，得x﹣1=0或x﹣4=0，∴x1=1或x2=4；证明：（2）∵mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0是关于x的一元二次方程，∴△=[﹣（3m+2）]2﹣4m（2m+2）=m2+4m+4=（m+2）2∵m≠0，∴（m+2）2≥0，即△≥0∴方程有实数根；解：（3）由求根公式，得．∴或x=1∵=2+∵m＞0，∴=2+＞2∵x1＜x2，∴x1=1，∴即为所求．此函数为反比例函数，其图象如图所示：即为所求．此函数为反比例函数，其图象如图所示：【点评】本题重点考查了反比例函数的性质（点评不合题意）及一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（此题并没有设计，需要重新检查此题），是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．11．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于75°或15°．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．【解答】解：当高在三角形内部时，由已知可求得三角形的顶角为30°，则底角是75°；当高在三角形外部时，三角形顶角的外角是30°，则底角是15°；所以此三角形的底角等于75°或15°【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出75°一种情况，把三角形简单的化成锐角三角形．12．如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）（1）求A、B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2；①当2＜t≤4时，试探究S2与之间的函数关系；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB的面积的？【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）在解析式y=﹣x+4中，分别令y=0，x=0就可以求出与x，y轴的交点坐标；（2）根据MN∥AB，得到△OMB∽△OAB，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出，用OM表示出来；（3）根据t的不同值，所对应的阴影部分的图形形状不同，因而应分2＜t≤4和当0＜t≤2两种个情况进行讨论．【解答】解：（1）当x=0时，y=4；当y=0时，x=4．∴A（4，0），B（0，4）；（2）∵MN∥AB，，∴OM=ON=t，∴S1=OM•ON=t2；（3）①当2＜t≤4时，易知点P在△OAB的外面，则点P的坐标为（t，t）．理由：当t=2时，OM=2，ON=2，OP=MN==2，直角三角形AOB中，设AB边上的高为h，易得AB=4，则×4h=4×4×，解得h=2，故t=2时，点P在l上，2＜t≤4时，点P在△OAB的外面．F点的坐标满足，即F（t，4﹣t），同理E（4﹣t，t），则PF=PE=|t﹣（4﹣t）|=2t﹣4，所以S2=S△MPN﹣S△PEF=S△OMN﹣S△PEF，=t2﹣PE•PF=t2﹣（2t﹣4）（2t﹣4）=﹣t2+8t﹣8；②当0＜t≤2时，S2=t2，t2=，解得t1=﹣＜0，t2=＞2，两个都不合题意，舍去；当2＜t≤4时，S2=﹣t2+8t﹣8=，解得t3=3，t4=，综上得，当t=或t=3时，S2为△OAB的面积的．【点评】本题主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，以及利用三角形的相似的性质．是一个难度较大的综合题．13．A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图．（1）求y关于x的表达式；（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s（千米）．请直接写出s关于x的表达式；（3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a．在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象．【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）由图知y是x的一次函数，设y=kx+b．把图象经过的坐标代入求出k与b 的值．（2）根据路程与速度的关系列出方程可解．（3）如图：当s=0时，x=2，即甲乙两车经过2小时相遇．再由1得出y=﹣90x+300．设y=0时，求出x的值可知乙车到达终点所用的时间．【解答】解：（1）方法一：由图知y是x的一次函数，设y=kx+b．∵图象经过点（0，300），（2，120），∴解得，∴y=﹣90x+300．即y关于x的表达式为y=﹣90x+300．方法二：由图知，当x=0时，y=300；x=2时，y=120．所以，这条高速公路长为300千米．甲车2小时的行程为300﹣120=180（千米）．∴甲车的行驶速度为180÷2=90（千米/时）．∴y关于x的表达式为y=300﹣90x（y=﹣90x+300）．（2）由（1）得：甲车的速度为90千米/时，甲乙相距300千米．∴甲乙相遇用时为：300÷（90+60）=2，当0≤x≤2时，函数解析式为s=﹣150x+300，2＜x≤时，S=150x﹣300＜x≤5时，S=60x；（3）在s=﹣150x+300中．当s=0时，x=2．即甲乙两车经过2小时相遇．因为乙车比甲车晚40分钟到达，40分钟=小时，所以在y=﹣90x+300中，当y=0，x=．所以，相遇后乙车到达终点所用的时间为﹣2=2（小时）．乙车与甲车相遇后的速度a=（300﹣2×60）÷2=90（千米/时）．∴a=90（千米/时）．乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示．【点评】本题以行程问题为背景，考查由一次函数图象求解析式．分析相遇问题，求相遇时间及速度，依据速度和时间画函数图象，重点考查学生的观察、理解及分析解决问题的能力．14．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z 与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x 之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可知直接计算这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）；（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，并根据图象上点的坐标利用待定系数法求函数的解析式即可；（3）表示出蔬菜的总收益w（元）与x之间的关系式，w=﹣24x2+21600x+2400000，利用二次函数最值问题求最大值．【解答】解：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，分别把点（50，1200），（100，2700）代入得，50k+800=1200，100k1+3000=2700，解得：k=8，k1=﹣3，种植亩数与政府补贴的函数关系为：y=8x+800每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z=﹣3x+3000（x＞0）（3）由题意：w=yz=（8x+800）（﹣3x+3000）=﹣24x2+21600x+2400000=﹣24（x﹣450）2+7260000，∴当x=450，即政府每亩补贴450元时，总收益额最大，为7260000元．【点评】主要考查利用一次函数和二次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．利用二次函数的顶点坐标求最值是常用的方法之一．15．（2009•潍坊）要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用；相切两圆的性质．【专题】几何图形问题．【分析】（1）把P、Q合并成矩形得长为（60﹣3×硬化路面的宽），宽为（40﹣2×硬化路面的宽），由等量关系S P+S Q=S矩形ABCD÷4求得并检验．（2）两等量关系2×O1到AD的距离=40；2×圆的半径+2×圆心到边的距离=60，列方程组求出并检验．【解答】解：（1）设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，根据题意，得：（60﹣3x）×（40﹣2x）=60×40×，解得，x1=10，x2=30，经检验，x2=30不符合题意，舍去．所以，两块绿地周围的硬化路面宽都为10米．（2）设想成立．设圆的半径为r米，O1到AB的距离为y米，根据题意，得：，解得：y=20，r=10，符合实际．所以，设想成立，则圆的半径是10米．【点评】分析图形特点，根据题意找出等量关系列出方程或方程组，解决问题并检验．16．如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N 作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP．已知动点运动了x秒．（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）（2）若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值．（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；动点型．【分析】（1）可在直角三角形CPN中，根据CN的长和∠CPN的正切值求出．（2）三角形MPA中，底边AM的长为3﹣x，关键是求出MA边上的高，可延长NP交AD于Q，那么PQ就是三角形AMP的高，可现在直角三角形CNP中求出PN的长，进而根据AB的长，表示出PQ的长，根据三角形的面积公式即可得出S与x的函数关系式．根据函数的性质可得出S的最大值．（3）本题要分三种情况：①MP=PA，那么AQ=BN=AM，可用x分别表示出BN和AM的长，然后根据上述等量关系可求得x的值．②MA=MP，在直角三角形MQP中，MQ=MA﹣BN，PQ=AB﹣PN根据勾股定理即可求出x的值．③MA=PA，不难得出AP=BN，然后用x表示出AM的长，即可求出x的值．【解答】解：（1）；（2）延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由（1）得：PN=，则PQ=QN﹣PN=4﹣=x依题意，可得：AM=3﹣x，S=AM•PQ=（3﹣x）•=2x﹣x2=﹣（x﹣）2+∵0≤x≤1即函数图象在对称轴的左侧，函数值S随着x的增大而增大．∴当x=1时，S有最大值，S最大值=（3）△MPA能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：①若PM=PA，∵PQ⊥MA，∴四边形ABNQ是矩形，∴QA=NB=x，∴MQ=QA=x，又∵DM+MQ+QA=AD∴3x=3，即x=1②若MP=MA，则MQ=3﹣2x，PQ=，MP=MA=3﹣x在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP2=MQ2+PQ2∴（3﹣x）2=（3﹣2x）2+（x）2，解得：x=（x=0不合题意，舍去）③若AP=AM，由题意可得：AP=x，AM=3﹣x∴x=3﹣x，解得：x=综上所述，当x=1，或x=，或x=时，△MPA是等腰三角形．【点评】本题是点的运动性问题，考查了图形面积的求法、等腰三角形的判定等知识．（3）题要按等腰三角形腰和底的不同分类讨论．。

中考数学专题讲座方程观点解几何计算题试题(共13页)

中考(zhōnɡ kǎo)数学专题讲座方程观点解几何计算题概述：含有未知数的等式便是方程，代数方面的应用题，•几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可用方程的观点去解决，一般一个未知数列一个方程，•两个未知数列两个方程．典型例题精析例1．有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC•沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD长．分析：Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8AB=10．由题意知△ ACD≌△AED∠DEB=90°，DECD，AC=AE=6，设CD=x，那么DE=x，而EB=4，一个未知数，需要一个方程，从何而来，图中有直角，用勾股定理，有等式，有方程．∴在Rt△DEB中，〔8-x〕2=x2+42，64-16x+x2=x2+16，16x=48， x=3〔cm〕．例2．⊙O中，两弦AB、CD相交于E，假设(jiǎshè)E为AB中点，且CE：ED=1：4，AB=4，求CD长．解：∵CE：ED=1：4，∴设CE=x，那么ED=4x，由相交弦定理得CE·ED=AE·EB，即x·4x=2×2，4x2=4， x=1．∴CD=x+4x=5x=5．例3．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB延长线上，PM切⊙O于M点，假设OA=a，PM=a，求△PMB的周长．分析：条件符合切割线定理，设BP=x，那么由PM2=PB·PA〔方程出来了〕得〔3a〕2=x〔x+2a〕，x2+2ax-3a2=0，〔x+3a〕〔x-a〕=0，∴x1=a，x2=-3a〔舍去〕∴x=a，即BP=a，连结(lián jié)MO〔常作辅助线〕那么∠OMP=90°，∵OB=BP=a，那么MB为Rt△OMP的斜边上的中线，∴MB=OP=a．∴△MBP的周长为2a+3a．例4．如图，圆心在Rt△ABC斜边AB上的半圆切直角边AC、BC于M、N，•其中AC=•6，BC=8，求半圆的半径．分析：设半径为R，〔一个未知数建立一个方程即可〕，连OM、ON、OC，那么OM=ON=R，用面积，S△AOC +S△BOC=S△ABC，得6R+8R=6×8〔一元一次方程〕14R=48，R=．中考样题训练:1．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，D 为BC边上(biān shànɡ)的一点，tan∠ADC是方程3〔x2+〕-5〔x+〕=2的一个根，求CD的长．2．如图，直线BC切⊙O于C，PD为⊙O的直径，BP的延长线与CD•的延长线交于点A，∠A=28°,∠B=26°，求∠PDC的度数．3．，如图，C为半圆上一点，，过C作直径的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F．〔1〕求证：AD=CD；〔2〕假设DF=，tan∠ECB=，求PB的长．4．关于(guānyú)x的方程x2-〔k+1〕x+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．〔1〕k取何值时，方程有两个实数根；〔2〕当矩形的对角线长为时，求k的值．5．如下图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O•的割线PDE•垂直AB于点F，交BC于点G，连结PC，∠BAC=∠BCP，求解以下问题：〔1〕求证：CP是⊙O的切线；〔2〕当∠ABC=30°，BG=23，CG=43时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程．〔3〕假设〔1〕的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF·DO成立？试写出你的猜测，并说明理由．6．：如下(rúxià)图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弦BF和AD交于E，且AE=BE．〔1〕试猜测：与有何大小关系？并证明你的猜测；〔2〕假设BD、CD的长是关于x的方程x2-kx+16=0的两个根，求BF的长；〔3〕在〔2〕的条件下，假设k为整数，且满足，求sin2∠A的值．考前热身训练1．要用圆形铁片(tiě piàn)截出边长为4cm的正方形铁片，求选用的圆形铁片的直径的最小值．2．圆内两条弦AB和CD相交于P点，AB长为7，AB把CD分成两局部的线段长为2和6，•求AP的长．3．如图，PA切⊙O于点A，PBC交⊙O于B、C，假设PB、PC的长是关于x 的方程x2-〔m-•2〕x+〔m+2〕=0的两个根，且BC=4，求m的值及PA的长．4．如图，D是△ABC的边AC上一点(yī diǎn)，CD=2AD，AE⊥BC，交BC于点E，假设BD=8，sin∠CBD=34，求AE的长．5．如图，在△ABC中，∠CAD=∠B，假设AD=7，AB=8，AC=6，求DC的长．6．，如图，以△ABC的边BC为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EF ⊥BC，•垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的长．答案(dáàn):中考样题看台1．解：3〔x+1x〕2-5〔x+1x〕-8=0，x+1x=或者x+1x=-1，由x+1x=83得x=．x+1x=-1得x2+x+1=0无解．∴tan∠ADC=473±，在Rt△ABC中，AC==3．在Rt△ADC中，CD==．∵CD<1，∴CD=．2．∠PDC=36°3．〔1〕证明：连结AC，∵AC CE=，∴∠CEA=∠CAE．∵∠CEA=∠CBA，∴∠CBA=∠CAE，•∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵CP⊥AB，∴∠CBA=∠ACP，∴∠CAE=∠ACP，∴AD=CD．〔2〕解：∵∠ACB=90°，∠CAE=∠ACP，∴∠DCF=∠CFD，∴AD=CD=DF=54，∵∠ECB=•∠DAP，tan∠ECB=34，∴tan∠DAP==34，∵PD2+PA2=DA2，∴DP=34，PA=1，∴CP=2，∵∠ACB=90°，CP⊥AB，∴△APC∽△CPB，∴，∴PB=4．4．〔1〕要使方程有两个实数(shìshù)根，必须△≥0，即[-〔k+1〕]2-4〔14k2+1〕≥0，化简得：2k-3≥0，解之得：k≥．〔2〕解之得：k1=2，k2=-6由〔1〕可知，k=-6时，方程无实数根，所以，只能取k=2．5．〔1〕连结OC，证∠OCP=90°即可．〔2〕∵∠B=30°，∠A=∠BCP=60°，∴∠BCP=∠CGP=60°，∴△CPG是正三角形．∴PG=CP=43，∴PC切⊙O于C．∴PC2=PD·PE=〔43〕2=48，又∵BC=63，∴AB=6，FD=33，EG=3，∴PD=23，∴PD+PE=23+83=103．∴以PD、PE为两根的一元二次方程为x2-48x+103=0．〔3〕当G为BC中点(zhōnɡ diǎn)，OG⊥BC，OG∥AC或者∠BOG=∠BAC…时，结论BG2=BF·BO成立．•要让此结论成立，只证明△BFG∽△BGO即可，但凡能使△BFG∽△BGO的条件都可以．6．可以猜测到．证明：延工AD交⊙O于点G．∵BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∴．∵AE=BE，∴∠ABE=∠BAE，∴，∴AB AF．〔2〕∵，∴，BF=AG．∵AD⊥BC，BC是⊙O直径，∴AG=2AD，∴BF=2AD，∵BD、CD的长是方程x-kx+16=0的两个根，∴BD·CD=16．又AD2=BD·CD，∴A D2=16，AD=4，∴BF=8．〔3〕连结CF解不等式组得：9<k≤10∵k是整数(zhěngshù)，∴k=10．由〔2〕得BD+CD=k，∴BC+CD=10即⊙O的直径BC=10．∵，∴∠C=2∠A．在Rt△ABC中，sin∠C==，∴sin∠A=45，∴sin2∠A=45．考前热身训练1．R2+R2=42，2R=4〔cm〕2．AP=3或者43．设PB=a，PC=a+4，那么解之得a=2，m=10．由P A2=PB·PC=2×6=12得PA=23．4．过D作DF⊥BC于F．由sin∠CBD=34=⇒34=，DF=6，由DF∥AE ⇒⇒AE=95．易证△ADC∽△BAC，∴即，∴x=6．连BE，那么BE⊥AC，易证△BEF∽△BCE，∴3内容总结。

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（ 3）若（ 1）的条件不变，当点 C 在劣弧 AD上运动时，应再具备什么条件可使结论成立？试写出你的猜想，并说明理由．
2
BG=BF·DO
A
C O
E
FG D P
B
6 ．已知：如图所示， BC为⊙ O的直径， AD⊥BC，垂足为 D，弦 BF 和 AD交于 E，且 AE=BE．
（ 1）试猜想： AB 与 AF 有何大小关系？并证明你的猜想；
E
6
x
4
Cx D
8-x
B

B
例 2．已知⊙ O中，两弦 AB、CD相交于 E，若 E 为 AB中点，
C
E
D
且 CE： ED=1： 4， AB=4，求 CD长．
O
解：∵ CE： ED=1： 4，
A
∴设 CE=x，则 ED=4x，由相交弦定理得
CE · ED=AE· EB，
即 x·4x=2× 2，
1
MB=
OP=a．
2
∴△ MBP的周长为 2a+ 3 a．
例 4．如图，圆心在 Rt △ ABC斜边 AB 上的半圆切直角边 BC=8，求半圆的半径．
分析：设半径为 R，（一个未知数建立一个方程即可），连 OM、 ON、 OC，
则 OM=ON=，R用面积， S△AOC +S△BOC=S△ABC ，得 6R+8R=6× 8（一元一次方程） 14R=48 ，
立身以立学为先，立学以读书为本
中考数学专题讲座方程观点解几何计算题
概述：
含有未知数的等式便是方程，代数方面的应用题，
?几何方面的计算题便是求某些未知数
的值，都可用方程的观点去解决，一般一个未知数列一个方程，
?两个未知数列两个方程．
典型例题精析
例 1．有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm， BC=8cm，现将直角边 AC?沿直线 AD折
叠，使它落在斜边 AB上，且与 AE 重合，求 CD长．
分析：Rt △ ABC，∠ C=90°， AC=6，BC=8 AB=10．由
A
题意知 △ ACD≌△ AED ∠ DEB=90°， DECD， AC=AE=6，
设 CD=x，则 DE=x，而 EB=4，一个未知数，需要一个方程，从何而来，图中有直角，用勾股定理，有等式，有方程． ∴在 Rt△ DEB中，（ 8-x ） 2 =x2+42， 64-16 x+x 2=x 2+16， 16x=48 ， x=3 （cm）．
交 PC， CB于点 D， F．
（ 1）求证： AD=CD；
（ 2）若 DF=5 ，tan ∠ ECB=3 ，求 PB的长．
4
4
C
E
F D
A
P
O
B

4 ．已知关于 x 的方程 x 2- （ k+1） x+ 1 k 2+1=0 的两根是一个矩形两邻边的长． 4
（ 1）k 取何值时，方程有两个实数根；
（ 2）当矩形的对角线长为 5 时，求 k 的值．
x 2+2ax-3a 2=0，
BP=x，则由
Aa O a B x P

立身以立学为先，立学以读书为本
（ x+3a）（ x-a ） =0，
∴ x 1=a， x 2=-3a （舍去）
∴ x=a，即 BP=a，连结 MO（常作辅助线）
则∠ OMP=9°0 ，∵ OB=BP=，a 则 MB为 Rt △ OMP的斜边上的中线，∴
（ 2）若 BD、 CD的长是关于 x 的方程 x2-kx+16=0 的两个根，求 BF的长；
（ 3）在（ 2）的条件下，若 k 为整数，且满足
5k 3 2( k 1
k 7 13 2
12), 3 ，求 sin2 ∠ A 的值．
k. 2
A
F
E
B DO
C
考前热身训练
立身以立学为先，立学以读书为本
1．要用圆形铁片截出边长为 4cm的正方形铁片，求选用的圆形铁片的直径的最小值．
2
4x =4， x=1． ∴ CD=x+4x=5x=5．
例 3．如图， AB 为⊙ O 的直径， P 点在 AB延
M 长线上， PM切⊙ O 于 M点，若 OA=a， PM= 3 a，
求△ PMB的周长．分析：条件符合切割线定理，设
PM2=PB· PA（方程出来了）
得（ 3 a） 2=x（ x+2a），
2．圆内两条弦 AB和 CD相交于 P 点， AB长为 7， AB把 CD分成两部分的线段长为 2 和 6， ?求 AP的长．
3．如图， PA切⊙ O于点 A，PBC交⊙ O于 B、C，若 PB、PC的长是关于 x 的方程 x2-（m-?2） x+（ m+2） =0 的两个根，且 BC=4，求 m的值及 PA的长．
R=24 ． 7
AC、 BC于 M、N， ?其中 AC=?6，
C
M
N
A
O
B

中考样题训练 :
1．如图，在△ ABC中，∠ C=90°，∠ BAC=30°， BC=1， D为 BC
B
边上的一点，
tan ∠ ADC是方程
3（ x 2+
1
2
）-5 （ x+
1
）=2 的
D
x
x
一个根，求 CD的长．
立身以立学为先，立学以读书为本
5 ．如图所示， AB 是⊙ O 的直径， BC是⊙ O的弦，⊙ O?的割线 PDE?垂直 AB于点 F，交 BC 于点 G，连结 PC，∠ BAC=∠ BCP，求解下列问题：
（ 1）求证： CP是⊙ O的切线；
（ 2）当∠ ABC=30°， BG=2 3 ， CG=4 3 时，求以 PD、 PE的长为两根的一元二次方程．
A
B
DC
6．已知，如图，以△ ABC的边 BC为直径的半圆交 AB 于 D，交 AC 于 E，过 E 点作 EF⊥ BC， ? 垂足为 F，且 BF： FC=5： 1，AB=8， AE=2，求 EC的长．
A O
PB
C
4．如图， D 是△ ABC的边 AC上一点， CD=2AD，AE⊥ BC，交 BC于点 E，若 BD=8，sin ∠ CBD=3 ， 4
求 AE 的长．
立身以立学为先，立学以读书为本
Ax D
2x
B EF
C
5．如图，在△ ABC中，∠ CAD=∠ B，若 AD=7， AB=8， AC=6，求 DC的长．
A
C
2．如图，已知直线 BC切⊙ O于 C， PD为⊙ O的直径， BP 的延长线与 CD?的延长线交于点 A，∠ A=28° , ∠ B=26°，求∠ PDC的度数．
A
D
P
O
B
C
立身以立学为先，立学以读书为本
3．已知，如图， C 为半圆上一点， AC CE ，过 C 作直径的垂线 CP， P 为垂足，弦 AE 分别