最新中考数学专题讲座方程观点解几何计算题
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R=24 ． 7
AC、 BC于 M、N， ?其中 AC=?6，
C
M
N
A
O
B
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中考样题训练 :
1．如图，在△ ABC中，∠ C=90°，∠ BAC=30°， BC=1， D为 BC
B
边上的一点，
tan ∠ ADC是方程
3（ x 2+
1
2
）-5 （ x+
1
）=2 的
D
x
x
一个根，求 CD的长．
A
B
DC
6．已知，如图，以△ ABC的边 BC为直径的半圆交 AB 于 D，交 AC 于 E，过 E 点作 EF⊥ BC， ? 垂足为 F，且 BF： FC=5： 1，AB=8， AE=2，求 EC的长．
立身以立学为先，立学以读书为本
5 ．如图所示， AB 是⊙ O 的直径， BC是⊙ O的弦，⊙ O?的割线 PDE?垂直 AB于点 F，交 BC 于点 G，连结 PC，∠ BAC=∠ BCP，求解下列问题：
（ 1）求证： CP是⊙ O的切线；
（ 2）当∠ ABC=30°， BG=2 3 ， CG=4 3 时，求以 PD、 PE的长为两根的一元二次方程．
A
C
2．如图，已知直线 BC切⊙ O于 C， PD为⊙ O的直径， BP 的延长线与 CD?的延长线交于点 A，∠ A=28° , ∠ B=26°， 求∠ PDC的度数．
A
D
P
O
B
C
立身以立学为先，立学以读书为本
3．已知，如图， C 为半圆上一点， AC CE ，过 C 作直径的垂线 CP， P 为垂足，弦 AE 分别
1
MB=
OP=a．
2
∴△ MBP的周长为 2a+ 3 a．
例 4．如图，圆心在 Rt △ ABC斜边 AB 上的半圆切直角边 BC=8，求半圆的半径．
分析：设半径为 R，（一个未知数建立一个方程即可） ， 连 OM、 ON、 OC，
则 OM=ON=，R用面积， S△AOC +S△BOC=S△ABC ， 得 6R+8R=6× 8（一元一次方程） 14R=48 ，
2．圆内两条弦 AB和 CD相交于 P 点， AB长为 7， AB把 CD分成两部分的线段长为 2 和 6， ?求 AP的长．
3．如图， PA切⊙ O于点 A，PBC交⊙ O于 B、C，若 PB、PC的长是关于 x 的方程 x2-（m-?2） x+（ m+2） =0 的两个根，且 BC=4，求 m的值及 PA的长．
x 2+2ax-3a 2=0，
BP=x，则由
Aa O a B x P
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立身以立学为先，立学以读书为本
（ x+3a）（ x-a ） =0，
∴ x 1=a， x 2=-3a （舍去）
∴ x=a，即 BP=a，连结 MO（常作辅助线）
则∠ OMP=9°0 ，∵ OB=BP=，a 则 MB为 Rt △ OMP的斜边上的中线，∴
立身以立学为先，立学以读书为本
中考数学专题讲座 方程观点解几何计算题
概述：
含有未知数的等式便是方程，代数方面的应用题，
?几何方面的计算题便是求某些未知数
的值，都可用方程的观点去解决，一般一个未知数列一个方程，
?两个未知数列两个方程．
典型例题精析
例 1． 有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm， BC=8cm，现将直角边 AC?沿直线 AD折
2
4x =4， x=1． ∴பைடு நூலகம்CD=x+4x=5x=5．
例 3． 如图， AB 为⊙ O 的直径， P 点在 AB延
M 长线上， PM切⊙ O 于 M点，若 OA=a， PM= 3 a，
求△ PMB的周长． 分析：条件符合切割线定理，设
PM2=PB· PA（方程出来了）
得（ 3 a） 2=x（ x+2a），
叠，使它落在斜边 AB上，且与 AE 重合，求 CD长．
分析 ：Rt △ ABC，∠ C=90°， AC=6，BC=8 AB=10．由
A
题意知 △ ACD≌△ AED ∠ DEB=90°， DECD， AC=AE=6，
设 CD=x，则 DE=x，而 EB=4， 一个未知数， 需要一个方程， 从何而来， 图中有直角， 用勾股定理，有等式，有方程． ∴在 Rt△ DEB中，（ 8-x ） 2 =x2+42， 64-16 x+x 2=x 2+16， 16x=48 ， x=3 （cm）．
A O
PB
C
4．如图， D 是△ ABC的边 AC上一点， CD=2AD，AE⊥ BC，交 BC于点 E，若 BD=8，sin ∠ CBD=3 ， 4
求 AE 的长．
立身以立学为先，立学以读书为本
Ax D
2x
B EF
C
5．如图，在△ ABC中，∠ CAD=∠ B，若 AD=7， AB=8， AC=6，求 DC的长．
E
6
x
4
Cx D
8-x
B
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B
例 2．已知⊙ O中，两弦 AB、CD相交于 E，若 E 为 AB中点，
C
E
D
且 CE： ED=1： 4， AB=4，求 CD长．
O
解：∵ CE： ED=1： 4，
A
∴设 CE=x，则 ED=4x，由相交弦定理得
CE · ED=AE· EB，
即 x·4x=2× 2，
（ 2）若 BD、 CD的长是关于 x 的方程 x2-kx+16=0 的两个根，求 BF的长；
（ 3）在（ 2）的条件下，若 k 为整数，且满足
5k 3 2( k 1
k 7 13 2
12), 3 ，求 sin2 ∠ A 的值．
k. 2
A
F
E
B DO
C
考前热身训练
立身以立学为先，立学以读书为本
1．要用圆形铁片截出边长为 4cm的正方形铁片，求选用的圆形铁片的直径的最小值．
交 PC， CB于点 D， F．
（ 1）求证： AD=CD；
（ 2）若 DF=5 ，tan ∠ ECB=3 ，求 PB的长．
4
4
C
E
F D
A
P
O
B
4 ．已知关于 x 的方程 x 2- （ k+1） x+ 1 k 2+1=0 的两根是一个矩形两邻边的长． 4
（ 1）k 取何值时，方程有两个实数根；
（ 2）当矩形的对角线长为 5 时，求 k 的值．
（ 3）若（ 1）的条件不变， 当点 C 在劣弧 AD上运动时，应再具备什么条件可使结论 成立？试写出你的猜想，并说明理由．
2
BG=BF·DO
A
C O
E
FG D P
B
6 ．已知：如图所示， BC为⊙ O的直径， AD⊥BC，垂足为 D，弦 BF 和 AD交于 E，且 AE=BE．
（ 1）试猜想： AB 与 AF 有何大小关系？并证明你的猜想；
AC、 BC于 M、N， ?其中 AC=?6，
C
M
N
A
O
B
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中考样题训练 :
1．如图，在△ ABC中，∠ C=90°，∠ BAC=30°， BC=1， D为 BC
B
边上的一点，
tan ∠ ADC是方程
3（ x 2+
1
2
）-5 （ x+
1
）=2 的
D
x
x
一个根，求 CD的长．
A
B
DC
6．已知，如图，以△ ABC的边 BC为直径的半圆交 AB 于 D，交 AC 于 E，过 E 点作 EF⊥ BC， ? 垂足为 F，且 BF： FC=5： 1，AB=8， AE=2，求 EC的长．
立身以立学为先，立学以读书为本
5 ．如图所示， AB 是⊙ O 的直径， BC是⊙ O的弦，⊙ O?的割线 PDE?垂直 AB于点 F，交 BC 于点 G，连结 PC，∠ BAC=∠ BCP，求解下列问题：
（ 1）求证： CP是⊙ O的切线；
（ 2）当∠ ABC=30°， BG=2 3 ， CG=4 3 时，求以 PD、 PE的长为两根的一元二次方程．
A
C
2．如图，已知直线 BC切⊙ O于 C， PD为⊙ O的直径， BP 的延长线与 CD?的延长线交于点 A，∠ A=28° , ∠ B=26°， 求∠ PDC的度数．
A
D
P
O
B
C
立身以立学为先，立学以读书为本
3．已知，如图， C 为半圆上一点， AC CE ，过 C 作直径的垂线 CP， P 为垂足，弦 AE 分别
1
MB=
OP=a．
2
∴△ MBP的周长为 2a+ 3 a．
例 4．如图，圆心在 Rt △ ABC斜边 AB 上的半圆切直角边 BC=8，求半圆的半径．
分析：设半径为 R，（一个未知数建立一个方程即可） ， 连 OM、 ON、 OC，
则 OM=ON=，R用面积， S△AOC +S△BOC=S△ABC ， 得 6R+8R=6× 8（一元一次方程） 14R=48 ，
2．圆内两条弦 AB和 CD相交于 P 点， AB长为 7， AB把 CD分成两部分的线段长为 2 和 6， ?求 AP的长．
3．如图， PA切⊙ O于点 A，PBC交⊙ O于 B、C，若 PB、PC的长是关于 x 的方程 x2-（m-?2） x+（ m+2） =0 的两个根，且 BC=4，求 m的值及 PA的长．
x 2+2ax-3a 2=0，
BP=x，则由
Aa O a B x P
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立身以立学为先，立学以读书为本
（ x+3a）（ x-a ） =0，
∴ x 1=a， x 2=-3a （舍去）
∴ x=a，即 BP=a，连结 MO（常作辅助线）
则∠ OMP=9°0 ，∵ OB=BP=，a 则 MB为 Rt △ OMP的斜边上的中线，∴
立身以立学为先，立学以读书为本
中考数学专题讲座 方程观点解几何计算题
概述：
含有未知数的等式便是方程，代数方面的应用题，
?几何方面的计算题便是求某些未知数
的值，都可用方程的观点去解决，一般一个未知数列一个方程，
?两个未知数列两个方程．
典型例题精析
例 1． 有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm， BC=8cm，现将直角边 AC?沿直线 AD折
2
4x =4， x=1． ∴பைடு நூலகம்CD=x+4x=5x=5．
例 3． 如图， AB 为⊙ O 的直径， P 点在 AB延
M 长线上， PM切⊙ O 于 M点，若 OA=a， PM= 3 a，
求△ PMB的周长． 分析：条件符合切割线定理，设
PM2=PB· PA（方程出来了）
得（ 3 a） 2=x（ x+2a），
叠，使它落在斜边 AB上，且与 AE 重合，求 CD长．
分析 ：Rt △ ABC，∠ C=90°， AC=6，BC=8 AB=10．由
A
题意知 △ ACD≌△ AED ∠ DEB=90°， DECD， AC=AE=6，
设 CD=x，则 DE=x，而 EB=4， 一个未知数， 需要一个方程， 从何而来， 图中有直角， 用勾股定理，有等式，有方程． ∴在 Rt△ DEB中，（ 8-x ） 2 =x2+42， 64-16 x+x 2=x 2+16， 16x=48 ， x=3 （cm）．
A O
PB
C
4．如图， D 是△ ABC的边 AC上一点， CD=2AD，AE⊥ BC，交 BC于点 E，若 BD=8，sin ∠ CBD=3 ， 4
求 AE 的长．
立身以立学为先，立学以读书为本
Ax D
2x
B EF
C
5．如图，在△ ABC中，∠ CAD=∠ B，若 AD=7， AB=8， AC=6，求 DC的长．
E
6
x
4
Cx D
8-x
B
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B
例 2．已知⊙ O中，两弦 AB、CD相交于 E，若 E 为 AB中点，
C
E
D
且 CE： ED=1： 4， AB=4，求 CD长．
O
解：∵ CE： ED=1： 4，
A
∴设 CE=x，则 ED=4x，由相交弦定理得
CE · ED=AE· EB，
即 x·4x=2× 2，
（ 2）若 BD、 CD的长是关于 x 的方程 x2-kx+16=0 的两个根，求 BF的长；
（ 3）在（ 2）的条件下，若 k 为整数，且满足
5k 3 2( k 1
k 7 13 2
12), 3 ，求 sin2 ∠ A 的值．
k. 2
A
F
E
B DO
C
考前热身训练
立身以立学为先，立学以读书为本
1．要用圆形铁片截出边长为 4cm的正方形铁片，求选用的圆形铁片的直径的最小值．
交 PC， CB于点 D， F．
（ 1）求证： AD=CD；
（ 2）若 DF=5 ，tan ∠ ECB=3 ，求 PB的长．
4
4
C
E
F D
A
P
O
B
4 ．已知关于 x 的方程 x 2- （ k+1） x+ 1 k 2+1=0 的两根是一个矩形两邻边的长． 4
（ 1）k 取何值时，方程有两个实数根；
（ 2）当矩形的对角线长为 5 时，求 k 的值．
（ 3）若（ 1）的条件不变， 当点 C 在劣弧 AD上运动时，应再具备什么条件可使结论 成立？试写出你的猜想，并说明理由．
2
BG=BF·DO
A
C O
E
FG D P
B
6 ．已知：如图所示， BC为⊙ O的直径， AD⊥BC，垂足为 D，弦 BF 和 AD交于 E，且 AE=BE．
（ 1）试猜想： AB 与 AF 有何大小关系？并证明你的猜想；