2015线性代数辅导讲义 答疑整理【日期更新至5.26】

学生问：2015线性代数辅导讲义，P2，评注2，第6页括号五，特征多项式公式，这两个地方没看明白，主要是不清楚行列式是怎么拆分的，以及怎么合并成特征多项式公式的，谢谢老师解答! 老师答：
11
1213
2122
2331
32
33
000000a a a a a a a a a λλλ--------- 行列式的性质将第1列拆开， 1213
22
233233000000a a a a a a λ
λλ--=--+--11
12
132122
2331
32
33
0000a a a a a a a a a λλ--------- 这两个矩阵分别再对第2列拆开，得四个行列式，再分别对四个行列式的第3列拆开， 得8个行列式，就是第二页的所给结果，这8个三阶行列式前7个都很好计算，（主对角线性，一列只有一个非零元素展开）。

按行也可以得出一样的结果，要点就是一行（列）元素拆成两元素之和，其他行（列）元素保持不变。

学生问：
老师你好，我想问一下，2015线性代数辅导讲义，P6，（3），1.10的推倒过程中前两个式子为什么相等～～～ 老师答：
这三个式子是相等的， 前两式子分别等于第3个，传递性知前两个式子相等。

学生问：2015线性代数辅导讲义，P6，关于副对角线的行列式从第一不到第二步看不懂，是怎样化的能详细点吗？副对角线跟主对角线有什么区别呢？谢谢老师。

老师答：这儿的两式子没有推导关系，只是结果相等的关系。

根据行列式的定义或展开计算得出1.8的结果。

副对角线行列式的结果不只是对角线上元素乘积，还有与阶数有关的符号。

学生问：2015线性代数辅导讲义，
（1）P8，图片画线处前后两个等号不理解，不知道怎么来的，以及后面那个行列式怎么的出来
（2）P4，为什么D1=4
老师答：
这个行列式用常数12,,
,n b b b ， 换掉前面系数行列式中第j 列的元素得到的行列式，记
为j D ，行列式按第j 列展开的计算式就是画线的式子。

4页，这就是第一行第一列一个元素的行列式。

学生问：老师，我想问一下，2015线性代数辅导讲义，P9，例1.1，为什么不能用分块矩阵的方法来做，谢谢。

老师答：怎么分块呢，对于这题分块矩阵都没有好的方法。

学生问：2015线性代数辅导讲义，P19， 例1.21，老师好，我有疑问 为什么用分块矩阵变成那样，第二个就是下面用行列式性质 我划线的部分是怎样变得
老师答：
矩阵乘法定义就是这样计算的。

行列式的性质，将第1列的—1倍加到第2 、3列，所得结果第2列的—1倍加第3列。

提取列向量前公因数，第3列的—3倍加第2列，第2列的—1倍加第1列。

学生问：
2015《线性代数辅导讲义》， P20，例题1.22的方法一等式右边化简不懂.
老师答：行列式的初等列变换，将第1列的—2倍加到第3列，第2列的—2倍加到第3列。

学生问：
老师你好！2015《线性代数辅导讲义》，P20，例1.22方法三用特征值怎么理解？
老师答：特征值的相关内容在第五章，暂时不理解可以先放放。

学生问：老师，您好。

可否解答一下2015线性代数辅导讲义，P21，练习1、2和P50，练习题，在书中我没有找到答案，很困惑，麻烦解答一下，万分感谢*^_^*
老师答：
学生问：老师您好：请问，2015线性代数辅导讲义，P21，练习（1）（2如何解答？）老师答：
学生问：2015《线性代数辅导讲义， P21 ，练习1，一点思路没有…
老师答：
学生问：2015线性代数辅导讲义，P23，例1.26（1994.1）我用了和老师解答不一样的做法。

总感觉哪里不对，红笔写的是我的拙见，请老师批阅希望老师指正
老师答：有零解不等于只有零解。

学生问：老师我想问下，2015线性代数辅导讲义，P23，[1.24].证法二，为什么s 和s 的转置秩为1？ 老师答：
ξ非零3维列向量。

就是只有一列三行总共3个元素的矩阵，它的子式最大的是1阶的，
就是一个元素，显然有元素不等于零，否则都等于零为零向量。

秩为1. 同样可以得出T
ξ的秩为1.
根据 ()()()()
min ,r AB r A r B ≤，知(
)()()()min ,1T
T
r r r ξξ
ξξ≤=
T ξξ中有非零元素，()1T r ξξ≥， 故()1T r ξξ=。

学生问：2015线性代数辅导讲义，P28，第4道选择题。

老师答：
A=⇒（B），
必要条件，就是0
A=⇒矩阵A的行向量线性相关，若存在某行向量为零，零向量为其余行线性组合，0
（B）成立.
若没有零向量，则存在不全为零的系数，移项就可得出（B）。

学生问：老师。

能解答一下2015线性代数辅导讲义，P26，那道练习题嘛？谢谢
老师答：
老师你好，我想问下2015线性代数辅导讲义，P28，如图为什么不能得出D选项。

老师答：行列式的前提是行数等于列数。

学生问：老师我想问下2015线性代数辅导讲义，P47，[2.16]，分块矩阵求逆不太懂。

老师答：参考39页的（2.8）。

这样求高阶矩阵的逆矩阵时，可以分块成小块矩阵来求逆，
要注意分块矩阵后逆矩阵对应的位置。

学生问：老师，2015线性代数辅导讲义，P50，例2.2这道题请问用秩怎么做呢？我憋了几
天都还是没有想出来秩怎么做？
老师答：证明不正确。

第一个小于等于怎么来的？如果BA E =，E BA O -=，还成立吗？
学生问：老师，2015线性代数辅导讲义 ，P50，例题2.21 不会变形的第二步。

老师答：利用互逆矩阵相乘等于单位矩阵。

()
()1
E A E A E -++=。

学生问：老师您好：请问2015线性代数辅导讲义，P50，例2.22练习如何证明？ 老师答：
学生问：矩阵的行转换与列转换能一起来？例如,2015线性代数辅导讲义，P54，例29，行列式也能？前面也出现过，为什么呢
老师答：矩阵是个数表，对行和列都可以进行变换。

变换的具体意义不同的情况，要具体分析。

等价矩阵，经过有限次的初等变换变成的矩阵。

（行、列都可以），这个变换保持了矩阵之间的等价关系。

线性方程组求解，对系数矩阵只做行初等变换。

这个变换保持了方程组是同解的。

学生问：2015线性代数辅导讲义, P53，例2.28，这样做为什么做出来是D，哪一步错了
老师答：矩阵有乘法，没有定义除法，所以矩阵不能作为分母。

学生问：老师，2015线性代数辅导讲义，P82，例3.20（2）的解法2原理是什么？矩阵的秩为什么要+1？？？
老师答：从向量组的秩等于极大无关组向量个数，加一个不能由向量组线性表出，也就是不能由向量组的极大无关组线性表出，极大无关组向量增加1个 。

也可以这样理解：不能线性表出 ，等价于方程组 ()12,,,m x ααα=β无解，
等价于 ()12,,
,1m r ααα+=()12,,,,m r αααβ。

学生问：老师，您好。

2015线性代数辅导讲义，P88，例3.29证法一的最后一句中，为什么r(BTAT)=
老师答：利用了上一步证明结果，()()r AB r B ≤。

学生问：2015线性代数辅导讲义，P89，例3.32，老师，这题您的评注中说本题可以用相似对角化做，学生我苦思冥想很久没结果。

望老师解答，谢谢！ 老师答：
A 是3阶实对称矩阵，故可以相似对角化。

存在可逆矩阵P ，使得11
2
3P AP λλλ-⎛⎫
⎪=
⎪ ⎪⎝⎭
， 2
1112
3P APP AP λλλ--⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
， 211222
23P A P λλλ-⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭， 21
22
223A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
222123000λλλ++=++，
1230λλλ===，三重
()0330r E A -=-=，()0r A =，A O =
学生问：2015线性代数辅导讲义，P86,3.25
老师答：
学生问：2015线性代数辅导讲义，P88，例3.29证法一B
老师答： 可能是零向量。

学生问：想问一下，2015线性代数辅导讲义，
（1）P75，我发的照片的红笔圈的是怎么来的。

（2）P82，如图。

老师答：
（1）P75， 方程组线性无关解的个数为()n r A -，方程组的解构成的向量组的秩最大为
()n r A -。

（2）P82， β可以有12,,
,m ααα线性表出，向量组12,,,m ααα与12,,,m ααα，β可
以相互线性表出，等价，秩相等。

秩表示向量组中极大线性无关组向量的个数，β不能用121,,
,m ααα-线性表出，线性无关
组的向量增加1个，秩+ 1.
学生问：老师我想问一下，2015线性代数辅导讲义，P89，例3.30评注里面第二条怎么证出来的，线性代数这么多定理怎么都记不住怎么办？ 老师答：
例3.30不就是证明吗。

评注是要你注意遇到这种情况就要本能的反应出这两隐含的条件。

定理要多用才能记住。

学生问：
请问下李永乐老师，n-r （A ），n 是什么意思啊？为什么讲义中例3.33说的n 是向量的维数？
n代表维数还是未知数个数啊？还有求解释2015线代讲义，P93，例3.37
老师答：
n-r（A），n是表示未知量的个数，未知量表示成向量就是n维向量。

例3.33 是根据矩阵乘法的要求（列数=行数）；判断出未知量个数。

例3.37这部分涉及向量空间的内容，数学一要求的，看91页这部分的讲解。

学生问：2015线性代数辅导讲义， P90，Schmidt正交化图中画圈的部分怎么计算的，没太明白，请老师指教。

老师答：向量的内积，参见64页。

学生问：老师，我想请问一下2015线性代数辅导讲义，P96，的最后一道题、即解答第三小题，答案说k1,k2比不全为零，但我不明白。

还有最后的gama是怎么解出k[0,1,1]的？老师答：
学生问：2015线性代数辅导讲义，P114，例4.12
老师答：极大无关组是线性无关的，123,,ααα线性相关，肯定不是极大无关组。

这里
1234,,,αααα是方程组的系数矩阵的列向量，不是解向量。

学生问：2015线性代数辅导讲义，P115，例4.14
老师答：,a b 的结果是怎么得出来的，这儿最好要再写两步，说明一下。

学生问：2015线性代数辅导讲义，P121，例4.23
老师答：
上面必要性证明中，得出 ()
()211r A r A =+，（很长、很大的那个式子）
()
()221r A r A =+ ()()
21r A r A =
代入计算就可以得出。

学生问： 2015年线性代数辅导讲义，
（1）P122，图中红色箭头处不懂，望请老师解答
（2）P130，红色部分不懂，望老师解答
老师答：
（1）P122，从矩阵秩等于矩阵列向量组的秩，包含零向量，线性相关，
列向量组去掉零向量后是等价的。

或者从矩阵秩为不等于0的子式，最大的阶数，包含0元素的列在内的所有子式都为0. 秩就等于去掉0元素列和矩阵的秩。

（2）P130，向量组可以相互表出，等价，秩相等。

学生问：老师,2015线性代数辅导讲义，P131，一句是k重特征值至多有k个线性无关的特征向量一句是如λ是k重特征值，那么λ必有k个线性无关的特征向量，这两句话好相似啊有什么区别吗！结论还得出的不一样，后面会证，前一句不会证。

老师答：
区别: 至多与必有，前面是一般情况，后面是前面的特殊情况。

学生问：老师.2015线性代数辅导讲义，P134，里可对角化与可相似对角化是一个东西么？就是黑色笔勾起来的地方
老师答：以考研数学的要求，视为一样的。

学生问：老师您好我想请问一下，2015线性代数辅导讲义，P141，例5.7和5.8是性质还是什么？B(P的逆a)这个是怎么得出来的呢？谢谢老师了
老师答：这两题的结果都是比较常见的结论，结论是根据定义验证的，可以用。

例5.8这个是设想矩阵B的特征向量大概是什么样子，然后根据定义验证的。

当然不是一下子就能看出来的。

学生问：2015年线性代数辅导讲义，P159，黑色字体为我的一些见解，望老师回复
老师答：对的，线性无关的特征向量可以不同。

学生问：老师。

在2015线性代数辅导讲义，P160，例5.34，第一小题中，算B的特征值为1对应的特征向量时，答案是（1.1.0）和（0.1.1）。

但我算出的是（1.1.0）和（-1.0.1）。

不知道对不对？也就是实对称矩阵的2重特征值对应的两个特征向量是正交的嘛？
老师答：对的，特征向量可以不同。

实对称矩阵的2重特征值对应的特征向量存在正交的，但不是随意的两个都正交。

这就和施密特正交化联系起来了。

学生问：老师你好，2015线性代数辅导讲义，P160，最上面的解出γ3=(0.1.0) 这个是怎么解按正常取基础解系应x3先取1 结果是(1.-1.1)
老师答：书上解错了。

学生问：2015线性代数辅导讲义， P189，自测二的第5题, 用列向量的秩相等
来求解，只求得a=1时b=3,并不能确定a=1。

还望老师给予指导，谢谢老师！
老师答：提示答案只给了表示不唯一的情况。

学生问：老师好，2015线性代数辅导讲义，P184的选择题的第2题我认为A选项中 P矩阵可逆当矩阵A正定时则与单位矩阵合同也就是等价与C选项所以A正确请老师指点谢谢
老师答：A只是充分条件，存在不满足A的条件正定矩阵。

学生问：
老师，这是2015线性代数辅导讲义，P187，我实在不明白红色这块与下面的联系
老师答：
学生问：2015《线性代数辅导讲义》
（1）P183，练习题2那道选择题，解答过程。

（2）P105，练习题，解答过程。

老师答：
学生问：2015线性代数辅导讲义，
（1）P184，填空题（3）的答案是不是错了?应该是y1方-y2方+y3方？
（2）P168，“坐标变换”是不是和课本写的“可逆的线性变换”是一个意思？
（3）P133和P134的定理5.1和定理5.3提到的“矩阵A”是不是应该改为“n阶矩阵”或者“方阵A”，还是“矩阵A”也有特征值和特征向量？
老师答：
（1）二次型规范性一般不考虑变量的顺序。

习惯上把正的写在前。

（2）有区别，都用可逆矩阵来表示。

（3）特征值、特征向量的定义就是针对方阵的。

定理5.1,5.3在这里都理解成方阵。