线性代数向量空间PPT课件

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线性代数课件6第三章向量空间

线性代数课件6第三章向量空间第三章向量空间3.13.23.33.4n维向量概念及其线性运算线性相关与线性无关向量组的秩向量空间3.1n维向量概念及其线性运算3.1.1n维向量及其线性运算3.1.2向量的线性组合3.1.1n维向量及其线性运算定义3.1.1由n个数a1,a2,……,an组成的有序数组(a1,a2,……,an)称为一个n维向量，数ai称为该向量的第i个分量i=1,2,…,n向量的维数指的是向量中分量的个数.向量写成一行(a1,a2,……,an)列向量写成一行(a1,a2,……,an)T列向量写成一列a1a2.an行向量用小写的黑体字母:α,β,某,y,…表示向量用带下标的白体字母:ai,bi,某i,yi,…表示向量1行、列不同不等：1,22次序不同不等：1,22,1n维向量——矩阵定义一个n维行向量a1,a2,,an.可以定义为一个1n的矩阵b1b2一个n维列向量bn.可以定义为一个n1的矩阵既然向量是一个特殊的矩阵则：1.向量相等=矩阵相等2.零向量=零矩阵3.负向量=负矩阵4.向量运算=矩阵运算a1,a2,,ana1,a2,,an几个定义(1)定义3.1.2所有分量都是0的n维向量称为n维0向量记作：0=(0,0,…,0).向量α=(a1,a2,…,an)的所有分量都取相反数组成的向量，称为α负向量-α=(-a1,-a2,…,-an)如果n维向量α=(a1,a2,…,an)与n维向量β=(b1,b2,…,bn)的对应分量都相等，即ai=bi,(i=1,2,…,n)则称向量α与β相等，记作α=β定义3.1.3几个定义(2)定义3.1.4(向量的加法)设n维向量α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),则α与β的和是向量α+βα+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn);α与β的差是向量α-βα-β=α+(-β)=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn)定义3.1.5(数与向量的乘法)设α=(a1,a2,…,an)是n维向量，k为一个数,则数k与α的乘积称为数乘向量，简称数乘，记作kα,并且kα=(ka1,ka2,…,kan).约定：kα=αk.线性运算律设α,β,γ都是n维向量，k,l是数，则(1)α+β=β+α;(加法交换律)(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);(加法结合律)(3)α+0=α;(4)α+(-α)=0;(5)1某α=α;(6)k(α+β)=kα+kβ;(数乘分配律)(7)(k+l)α=kα+lα;(数乘分配律)(8)(kl)α=k(lα).(数乘向量结合律)例1设α=(2,1,3),β=(-1,3,6),γ=(2,-1,4).求向量2α+3β-γ.解2α+3β-γ=2(2,1,3)+3(-1,3,6)-(2,-1,4)=(4,2,6)+(-3,9,18)-(2,-1,4)=(-1,12,20).例2设α=(1,0,-2,3),β=(4,-1,-2,3),求满足2α+3β+3γ=0向量γ.解γ=-1/3(2α+β)=-1/3[2(1,0,-2,3)+(4,-1,-2,3)]=-1/3[(2,0,-4,6)+(4,-1,-2,3)]=-1/3(6,-1,-6,9)=(-2,1/3,2,-3).练习习题3.1P862.(2)答案P184解某=3α-β=3(2,0,1)-(3,1,-1)=(6,0,3)-(3,1,-1)=(3,-1,4).3.1.2向量的线性组合1.向量的线性组合2.向量的线性表出关系的几何解释3.线性组合的——矩阵表示法4.表出系数的求法1.向量的线性组合定义3.1.6设α1,α2,…,αm是一组n维向量，k1,k2,…,km是一组常数，则称k1α1+k2α2+…+kmαm为的一个线性组合.常数k1,k2,…,km称为该线性组合的组合系数.若一个n维向量β可以表示成β=k1α1+k2α2+…+kmαm,则称β是α1,α2,…,αm的线性组合，或称β可用α1,α2,…,αm线性表出(线性表示).仍称k1,k2,…,km为该线性组合的组合系数，或表出系数显然，零向量可以用任意一组α1,α2,…,αm(同维向量)线性表出：0=0α1+0α2+…+0αm(k1=0,k2=0,…,km=0)零向量的平凡表出式表出系数全为0——必是0向量向量组若干同维数的向量组成的集合——向量组m个向量α1,α2,…,αm组成的向量组——记为R:α1,α2,…,αm或R={α1,α2,…,αm}例3:矩阵——向量组表示法Aaija11a21ai1am1a12a22ai2am2a1ja2jaijamjmna1na11,a12,,a1na2na21,a22,,a2nA的行向量组量m个n维行向ainai1,ai2,,ain(i1,2,,m)amnam1,am2,,amnAaijmna11a21ai1am1a12a22ai2am2a1ja2jaijamja1na2nainamnA的列向量组a1ja11a12a1na2ja21a22a2naijai1ai2ainaaaam1m2mnmjn个m维列向量(j1,2,,n)n维标准单位向量组Eaij100010nn01,0,01第i个分量为其余01,分量为00,1,,02i0,,0,1,0,,00i1,2,,n10,0,,1n。

《线性代数》精品课件：3-5-向量空间

2 2 1 1 4 ( AB) 2 1 2 0 3
1 2 2 4 2
1 3 (r1
r2
~
r3 )
1 1 1 2 1 2 1 2 2
1 0 4
3 3 2
1
3 (r1
r2
~
r3 )
1 1 1 2 1 2 1 2 2
1 0 4
3 3 2
~ r2 2r1
r3 r1
§3.3 向量组的线性相关
性
• 一、向量空间的概念 • 二、子空间 • 三、向量空间的基与维数 • 复习小结
一、向量空间的概念
定义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V非空，
且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合 V为向量空间．
说明 1．集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指
空间．
说明
（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基．
（2）若把向量空间 V看作向量组，那末V的基
就是向量组的最大无关组, V 的维数就是向量组的秩.
（3）若向量组
1 ,2 ,
,
是向量空间
r
V
的一
个基，则 V 可表示为
V x 11 22 rr 1 , ,r R
例6 设矩阵
2 2 1
A (a1 ,a2 ,a3 ) 2 1 2 ,
1 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 4
B (b1 ,b2 ) 0 3,
4 2
验证a1 ,a2 ,a3 ,是R3的一个基，并把b1 ,b2用这个基
线性表示.
解要证a1, a2 , a3是R3的一个基，只要证a1, a2 , a3 线性无关，即只要证A ~ E.

线性代数第-章向量空间PPT课件

3
子空间在映射下的变化
线性映射可以导致子空间中的向量发生旋转、平移或拉伸等变化。
子空间与线性映射的相互影响
子空间对线性映射的限制
子空间的性质可以影响线性映射的作用范围和结果。
线性映射对子空间的构造
通过选择特定的线性映射，可以构造出具有特定性质的子空间。
子空间与线性映射的关系
子空间和线性映射之间存在密切的关系，它们在许多数学问题中都扮演着重要的角色。
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，这个子集中的向量之间同样可以进行加法运算和数乘运算，并且这些运算也满足封闭性、结合性和交换性等性质。子空间的定义是为了研究向量空间的一个特定部分，以便更好地理解和应用向量空间。
向量空间的基与维数
总结词
基是向量空间中线性无关的向量组，它能够生成整个向量空间；维数则是向量空间的基所包含的向量个数。
向量空间的推广到矩阵空间
将向量空间中的元素推广到矩阵，形成矩阵空间，使得线性变换和矩阵运算的结合更加紧密，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的推广到函数空间
将向量空间的元素推广到函数，形成函数空间，使得函数的线性组合、内积等运算成为可能，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的应用前景
判定条件二
如果存在一个线性映射f：V→W，使得V和W的基底之间存在一一对应关系，并且这种对应关系保持向量加法和标量乘法的运算关系，则称V和W同构。
同构的应用场景
线性变换
几何变换
同构映射可以应用于线性变换中，将一个向量空间中的线性变换转移到另一个向量空间中。
同构映射可以应用于几何变换中，如旋转、平移等，将一个向量空间中的几何变换转移到另一个向量空间中。

线性代数课件向量空间的基和维

线性无关
如果只有当$k_1 = k_2 = ldots = k_s = 0$时，才有$k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_salpha_s = 0$，则称向量组$V$线性无关。
极大线性无关组
极大线性无关组的定义：如果向量组$V$ 的一个部分组$V_1$ 满足
2. 向量组$V$中任意一个向量都可以由 $V_1$线性表示。
特征值与特征向量的性质
不同特征值对应的特征向量线性无关；k重特征值至多对应k个线性无关的特征向量。
3
特征值与特征向量的应用
在矩阵对角化、矩阵的幂运算、微分方程求解等问题中，特征值与特征向量具有重要作用。
二次型化标准型及规范型
二次型的标准型
通过可逆线性变换，将二次型化为只含有平方项的二次型，称为二次型的标准型。
正交矩阵的性质
正交矩阵的行列式为±1；正交矩阵的逆和转置都是正交矩阵；正交矩阵保持向量的长度和夹角不变。
正交变换与正交矩阵的关系
正交变换在标准正交基下的矩阵表示是正交矩阵；正交矩阵对应的线性变换是正交变换。
06
向量空间的应用举例
线性方程组解的结构
线性方程组解的存在性
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性方程组有解。
子空间的交与和
子空间的交
两个子空间的交集仍是一个子空间，它包含同时属于两个子空间
的所有向量。
子空间的和
由两个子空间中所有向量线性组合生成的向量空间，称为这两个
子空间的和。
性质
子空间的交与和都是子空间，但两个子空间的和不一定等于它们
所在的向量空间的全部。
05
向量空间中的正交性

线性代数课件--5.1向量空间基本概念

R( A) {v | v c1a1 c2a2 cnan , c1, 2 , , n R} c c
可等价写成
R( A) {v | v Ax，x Rn }
对一般线性代数方程组成立如下定理定理 m n线性代数方程组Ax=b相容的充要条件是
b R( A)
1 1 1 1 1 0 3 2 1 2 1 0 r 0 1 2 1 B ~ 0 0 0 0 2 1 4 3 2 3 0 1 0 0 0 0 所以r(A)r(B) 因此向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示
x1a1 x2a2 xnan b
a1 ，a2 ，… ，an 的线性组合则方程组有解的条件是 b 可作为
定义若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集
合称为向量组．有限向量组
a11 A34 a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 , , , a24 1 2 3 4 a34
因此
b R( A)
r ( A) r ( A)
例
试证m n齐次线性代数方程组Ax=0
的解集依向量线性运算法则是Rn的子空间. 解已知齐次线性代数方程组的解集非空，
若记此解集为N(A), 则显然有
1. 若 x1 N ( A),即 Ax1 0, 则对任意常数 c ，必 A(cx1 ) cAx1 c0 0 ，即 cx1 N ( A) ； 2. 若 x1 N ( A), x2 N ( A), 即 Ax1 0, Ax2 0, 则必
为讨论，先将方程组改写成向量形式
1 0 b1 x1 5 x 2 4 b2 记为 x1a1 x2 a2 b 2 4 b3

线性代数课件 03.向量空间

-9-
注意 1°零向量可由任一组向量线性表示。 2°向量组线性表示，中每个向量都可由向量组本身
i 01 0i 1 1i 0i 1 0 m
3°任一n元向量
都可由n元单位向量组线性表示，即
a1e1 a2e2 anen
-10-
A 的行组.
a11 a 21 a m1
再如:
a12 a 22 am 2
a1n a2n a mn
a11 a 21 a m1
a12 a 22 am 2
a1n a2n a mn
(转换为方程组) 方程组 x1 1 x 2 2 x n n
即 Ax A [ 1 , 2 ,, n ] 有解
(用矩阵的秩) r ( A) r[ A | ]
另外, 如果解唯一, 则表示方法是唯一的. 如果 ……
学会这种转换就可以了!

k

-2-
建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数(坐标)的运算.
( x1 , y1 , z1 ) , ( x2 , y2 , z 2 )
( x1 x 2 , y1 y2 , z1 z 2 )
k ( kx1 , ky1 , kz1 )
第三章
向量空间Rn
§3.1 向量及其线性组合
§3.2 一个n元向量组的线性相关性
§3.3 向量组的秩
§3.4 向量空间 §3.5 欧氏空间Rn
§3.1 向量及其线性组合
三维空间的向量: 有向线段。建立标准直角坐标系后，
P ( x, y, z )

向量空间ppt课件

27
s
ki i
i 1
k1a11
k1a12
k1a1n
k 2 a 21 k 2 a 22
ksas1 ksas2
k2a2n ksasn
k1a1 p1
k2a2 p1
s
ki i
k1a1p2
k2a2 p2
i1
k1a1pn k2a2 pn
上两式只是各分量的排列顺序不同，因此
k11 + k2 2 + + ks s =
3
§1 向量及其运算
背景：
中学数学中已经接触过平面上的向量，可以称为二维向量。高等数学介绍过空间几何中的向量，可以称为三维向量。然而仅仅考虑平面几何中的向量和空间几何中的向量是不够的。例如，人造卫星在太空运行中考虑它在某一个时刻的状态必须知道目前处于什么位置、其表面温度、此时受到的压力等等物理参数的情况，这时二维和三维向量就无法表达这么多的信息，必须推广到更多维数的向量。
答案：一定线性无关
15
例1 判断向量组 1 , 2 ,, n 的线性相关性。
其中， i 是 n 阶单位矩阵的第 i 列 (i = 1,,m)
解：对任意的一组数k1,k2,…,kn都有 k11 k2 2 kn n (k1, k2 , , kn )T
所以要使
k11 k22 knn
5
注意:向量一般用小写的希腊字母, 等表示，
其中n为向量的维数。一般所说的向量都是指列向量,行向量可看作是列向量的转置．
如: (a1, a2, , an )T
(b1, b2 , , bn )T
定义2 如果向量和对应的分量都相等，即
ai=bi，i=1,2,…,n

线性代数课件：3-4向量空间

(2) 求向量β＝2β1 -β2 -β3 在基α1, α2 , α3 下的坐标；
(3) 求由基α＝α1-2α2 +4α3在基β1 , β2 , β3下的坐标。
分析：关键是求出由基 α1, α2 , α3到 β1 , β2 , β3的过渡矩阵。如何求？
如果根据过渡矩阵的定义直接求，就意味着要解线性方程组，有3×3个未知数，比较麻烦，而且维数越高越麻烦。
量的非空集合，如果α, βV, kP满足
V , k V
则称集合V为数域P上的向量空间。
当P为实数域R时,称V为实向量空间, 当P为复数域C时,称V为复向量空间。
例3.4.1 实数域R上n维向量的全体Rn是一个向量空间，
R n (a1, a2 ,, an ) | ai R , i 1,2,, n
x1 x2
27 9
71 20
41 2 58 9 1 11
x3 4 12 8 1 12
(3) 由基α＝α1-2α2 +4α3在基β1 , β2 , β3 下的坐标为
13 19 181
y1 y2 y3
=
9
7
Байду номын сангаас
13 10
4 63
2
99
1 2 4
注意，向量空间的维数和该空间中向量的维数是两个不同的概念。
对于向量空间V的任一子空间V1， dimV1≤dimV。Why?
书上曰：“容易证明，若向量空间V 的维数是m，那么V中任意 m个线性无关的向量都是V的一组基。”如何证明？
Question: 如何找一个非零的向量空间的一组基？
Answer: n维向量空间V中任意 k(1≤ k ≤ n)个线性无关的向量都可以扩充成V的一组基。（证明之）

线性代数课件：向量空间法(下)

解：方程组的系数矩阵 =
=
则原方程组与ቊ
1
1
1
1 1
，利用矩阵的初等行变换化为最简，即
−1 −1 1
1 1
1 1
1 −1 −1 1
1
(r +r )
2 1 2
−(r2 −r1 )
1 0
0 1
1 + 4 = 0
同解. 即
2 + 3 = 0
= 03 + (−4 )
ቊ 1
2 = −3 + 04
⋮
= −1 +1 − ⋯ − ,−
第二步，把+1 ，+2 ， ⋯ ，作为自由数，并令它们依次等于1 ，2 ， ⋯ ，− ，
即可得原方程组的通解为
1
−11
−12
⋮
⋮
⋮

−1
−2
+1 =
+ 2
1
0
1
+2
0
1
⋮
⋮
⋮

0
0
把上式记作 = 1 + 2 + ⋯ + − − ，
ቐ−0.31 + 0.92 − 0.43 = 0 ，
−0.51 − 0.12 + 0.83 = 0
0.8 −0.8 −0.4
设A = −0.3 0.9 −0.4 ，利用矩阵的初等行变换化为行最简形
−0.5 0.9 −0.2
0.8 −0.8 −0.4
−0.3 0.9 −0.4
−0.5 −0.1 0.8
3 +2
5

4 1
22
1
1
0

线性代数课件-4.5向量空间

S x Ax0
是一个向量空间.
证由
性质1 若 x = 1，x = 2 为 Ax 0的解，则 x = 1+2 也为 Ax 0 的解.
性质2 若 x = 1为 Ax 0的解，k为实数，则
x = k1也为 Ax 0 的解.
例21 证明非齐次线性方程组的解集
S x Axb
不是一个向量空间.
例22：设 a, b 为两个已知的 n 维向量，集合
故向量组 A0 就是 L 的一个基， A0中向量的个数就是 L 的维数.
4. 由a1 , a2 , ..., am 所生成的向量空间
L = { l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1, l2, ..., lm∈R }
所以，L 是一个向量空间．
定义：把集合
L = {l a + m b | l, m ∈R }
称为由向量 a, b 所生成的向量空间．一般地，把集合
L = {l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1, l2, ..., lm ∈R }
称为由向量a1 , a2 , ..., am 所生成的向量空间．
例：设向量组a1 , a2 , ..., am 和 b1 , b2 , ..., bs 等价，记
L1 = { l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1, l2, ..., lm∈R }， L2 = { m1b1 + m2b2 + …+ ms bs | m1, m2, ..., ms∈R }，
2
n
则
a b (0, a2b2,
,
a
n
b
)T

第3章3.5 向量空间线性代数课件

2
a
22
,
3
a
2 3
,
a 3 1
a 3 2
a 3 3
b1
b
2
b 3
a 11
若
A
a
2
1
a 12 a 22
a a
1 3 2 3
初等行变换
a 1 1
0
a 1 2 a 1 3
b 22
b
2
3
a 3 1 a 3 2 a 3 3
0 0 b 3 3
则 1 , 2 , 3 是 R 3 的一个基
( 0 , a2 b2 , a3 b3 , ...,an bn)V1 , R, ( 0 , a 2 , a 3 ,...,an) V1 ,
第1个分量是1，后面的分量全部是实数
例3 V 2 x ( 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ) x 2 , x 3 , ..., x n R
设
在基 1 , 则 x
2, 1 1
3 下的坐标为 ( x 2 2 x 3 3
x1, x ( 1 ,
2,x3) 2, 3)
x x
1 2
b1
b
2
即求 A X 中的 X
x 3 b 3
( A | ) 初等行变换 E|A1
2
2
1
5
0
例4 设
1
2
,
2
1
,
3
例2. V 1 x ( 0 , x 2 , x 3 , ..., x n ) x 2 , x 3 , ..., x n R
问：集合V1 是不是一个向量空间?
答是
对于V1中的任何两个向量

向量空间线性代数的课堂PPT

中的坐标. 中的坐标
向量空间
向量空间的概念向量空间的基、向量空间的基、维数与坐标
一、向量空间的概念
维向量的集合，定义设 V 为 n 维向量的集合，并且 V 满足集合非空； ⑴ 集合非空；对于加法运算封闭； ⑵ 对于加法运算封闭；对于数乘运算封闭； ⑶ 对于数乘运算封闭；向量空间. 那么称集合 V 为向量空间
λ乘 3维向量仍然是 3维向量，它们都属于 R 3 . 维向量，
类似地，类似地， n维向量的全体 R n，也是一个向量空间.
R = {α = (a1 , a2 ,⋯ , an ) ai ∈ R}
n T
一、向量空间的概念
判别下列集合是否为向量空间. 例2 判别下列集合是否为向量空间
V1 = x = (0, x 2 , ⋯ , x n ) x 2 , ⋯ , x n ∈ R
T
因此，V1是向量空间 .
一、向量空间的概念
判别下列集合是否为向量空间. 例3 判别下列集合是否为向量空间
V2 = x = (1, x 2 , ⋯ , x n ) x 2 , ⋯ , x n ∈ R
T
{
}
解 V2不是向量空间 .
因为若α = (1, a 2 ,⋯, a n ) ∈ V2 ,
T
则2α = (2,2a 2 ,⋯,2a n ) ∉ V2 .
x = k1α 1 + k 2α 2 + ⋯ + k rα r , 数组 k1 , k 2 , ⋯ , k r 称为向量 x 在基 α 1 , α 2 , ⋯ , α r 中的坐标坐标. 中的坐标 ⇔ 线性表示的系数
• 基底改变，则相应的坐标随着改变. 基底改变，则相应的坐标随着改变.

第四章向量空间.ppt

1 3 2 1 3 r4r3 1 3 2 1 3
而(
A
|
B)
1 1
1
1 1 3
0 1 1
1 0 2
1 2 0
r3 r2
~
r2 r1
0 0 0
4 2 4
2 1 2
2 1 2
2 1 2
1 3 2 1 3
r4 r2
~
r3
1 2
r2
0 0 0
2 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0
，所以R(
定理3.向量组a1,a2 ,...,am线性相关的充要条件是它构成的矩阵A (a1,a2,...,am )的秩小于向量个数m ；向量组线性无关的充要条件是R( A) m
定理4：向量组a1,a2,…,am(m≥2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合.
证明：若向量组a1, a2 ,..., am线性相关，则有
B
1 2
2
2 1 3
1 4 0
0 3 1
r4 r3
~
r2 r1 r3 2r1
0 0 0
1 1 2
2 2 4
1 1 2
r3 r2
~
r4 2r2 r1 r2
0 0 0
1 0 0
2 0 0
1 0 0
所以R( A) R(B) 2，且a 2a1 a2
1 1 3 5 例2.设β1 01 β2 11 β3 11 β4 31,判断β4可否由β1、β2、β3线性表示？
定理2.向量组B：b1,b2 ,...,bp能由向量组A：a1,a2 ,...,am 线性表示的充要条件是矩阵A (a1,a2,...,am )的秩等于矩阵(A|B) (a1,a2,...,am | b1,b2,...,bp )的秩，即