高等数学 求导方法
大学高等数学公式大全
大学高等数学公式大全第一部分：微积分基础一、导数1. 导数的定义：导数是一个函数在某一点上的瞬时变化率，表示为f'(x)或dy/dx。
2. 导数的运算法则：常数函数的导数为0。
幂函数的导数为指数乘以底数的指数减1，即d/dx(x^n) =nx^(n1)。
指数函数的导数为指数函数乘以指数，即d/dx(a^x) = a^xln(a)。
对数函数的导数为1除以x乘以底数的对数，即d/dx(ln(x)) =1/x。
三角函数的导数：d/dx(sin(x)) = cos(x)，d/dx(cos(x)) =sin(x)，d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
3. 高阶导数：函数的导数可以继续求导，得到高阶导数。
例如，f''(x)表示二阶导数。
二、积分1. 定积分的定义：定积分是一个函数在某个区间上的累积和，表示为∫[a,b]f(x)dx。
2. 积分的运算法则：常数函数的积分为其乘以区间长度，即∫[a,b]c dx = c(ba)。
幂函数的积分为其指数加1除以指数加1乘以区间长度，即∫[a,b]x^n dx = (b^(n+1)a^(n+1))/(n+1)。
指数函数的积分为其指数函数除以指数，即∫[a,b]a^x dx = (a^ba^a)/ln(a)。
对数函数的积分为其对数函数乘以区间长度，即∫[a,b]ln(x) dx = (xln(x)x)。
三角函数的积分：∫[a,b]sin(x) dx = cos(x) + C，∫[a,b]cos(x) dx = sin(x) + C，∫[a,b]tan(x) dx = ln|cos(x)| + C。
3. 积分的性质：积分与导数互为逆运算，即d/dx(∫f(x)dx) = f(x)。
积分区间可以改变顺序，即∫[a,b]f(x)dx = ∫[b,a]f(x)dx。
积分可以分解为多个区间上的积分，即∫[a,c]f(x)dx =∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
导数表大全高等数学
导数表大全高等数学这里是高等数学的导数表大全，包括了常见的函数的导数公式以及一些常用的求导技巧和公式。
1. 常数函数的导数公式如果 $f(x) = C$ 是一个常数函数，那么它的导数就是 $f'(x) = 0$。
2. 幂函数的导数公式如果 $f(x) = x^n$ 是一个幂函数，那么它的导数就是 $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$。
3. 指数函数的导数公式如果 $f(x) = a^x$ 是一个指数函数，那么它的导数就是 $f'(x) = a^x \cdot \ln a$。
4. 对数函数的导数公式如果 $f(x) = \log_a x$ 是一个对数函数，那么它的导数就是$f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln a}$。
5. 三角函数的导数公式正弦函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$余弦函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$正切函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x$余切函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x$6. 反三角函数的导数公式反正弦函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \arcsin x =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$反余弦函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$反正切函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \arctan x =\frac{1}{1+x^2}$反余切函数的导数公式：$\frac{d}{dx} \text{arccot} x = -\frac{1}{1+x^2}$7. 复合函数的导数公式如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是可导函数，那么复合函数 $h(x) = f(g(x))$ 的导数就是 $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$。
高等数学-求导方法(已改)
(xey 0)
d (ey) ey dy
dx
dx
由 y 5 2 y x 3 x 7 0 确定的隐函数 y y ( x ) 的.导数
解 将方程两边同时对 x 求导，得：
5y4dy2dy121x60 dx dx
dy 1 21x6 dx 5y4 2
2求由方程 x2xyy2 4确定的隐函数 y y(x)
四阶导数
y(n),或 f(n)(x)， 或 dny。 y(n)y(n 1) n阶导数 dxn
2.2.3、隐函数的导数
由 方 程 F (x ,y ) 0 确 定 的 变 量 x 与 变 量 y 之 间 的 函 数 关 系 y y (x )， 称 为 隐 函 数 。
隐函数的求导方法——将方程两边同时对自变量x求导, 含有y的式子将y视为中间变量，按照复合函数求导 法则计算。
(sinx)coscx os2sxinx(cosx)
cos2 xsin2 cos2 x
x
1 cos2 x
se (cotx)csc2x
求下列函数的导数
(1 )y se cx和 y c scx
(secx)secxtanx (cscx)cscxcotx
(2x3)(5x2)(3x)(7 )
23x252x30
6x210x3
例2 f(x)x34cosxsin ，求f(x) 及f()
2
2
解 f(x)3x24sinx
f() 32 4
24
sin 是常数
2
例 y tanx 求 y
解
y (tanx) csoinsxx (uv)uvv2uv（v0）
y13(x1 )(x2)( 11 1) 3 x3 x1 x23x
高等数学导数的计算教学ppt课件
25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
求导数的方法
4-3 隐函数的求导
例13 由方程 解
x sin y = cos( x + y )
，求 y ′(0, )
2
π
（x sin y )′x = (cos( x + y ))′x
sin y + x cos y ⋅ y ′ = − sin( x + y )(1 + y ′)
代入
x = 0和y =
π
2
得 y ′ = −2
y = sin u
u = 1+ x2
2 ′（ ′x y ′ = (sin u ) u 1 + x ）
= cosu × ( 2 x )
= 2 x cos(1 + x 2 )
例6 求 y = (1 − x 2 ) 5 的导数 解
y = u5
u = 1− x2
y ′ = ( u 5 ) ′（ − x 2 )′x = 5u 4 × ( − 2 x ) u 1
精品课程
序 言 第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 函 数 导 数 定积分 求导方法 导数应用 求积分方法 定积分应用 微分方程
4-1 求导公式与求导法则
即
(tan x ) ′ = sec
2
x
可类似推导出其它求导基本公式
′ = − csc2 x （cot x)
(secx)′ = secx tanx
1 y ′ cos y = 1，即y ′ = cos y
而 所以
cos y = 1 − sin 2 y = 1 − x 2
y′ = 1 1− x2
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高等数学导数公式大全
cos x
(4) 把 tan x 当作中间变量， y ' (etan x ) ' etan x (tan x) ' sec2 xetan x
(5) 把 - x 当作中间变量， y ' (2-x ) ' 2-x ln 2(-x) ' -2-x ln 2
求导方法小结：
先将要求导的函数分解成基本初等函数,或 常数与基本初等函数的和、差、积、商.
解：上式两边对x求导，则有y '＝(1) ' (xey ) ',即
y ' ey x (ey ) ey x ey y '
(1- xey ) y ' ey
y
'
ey 1- xey
隐函数的求导步骤： （1）方程两边对x求导，求导过程中把y视为中间变量，
得到一个含有y '的等式; （2）从所得等式中解出y '.
2) y sin( x - 2);
3) y ln cos x;
4) y etan x ;
5) y 2-x
解：(1)函数可以分解为y u3(x),u(x) 3x2 1, y ' [u3(x)]' 3u2 (x) u(x) ' 3(3x2 1)2 (3x2 1) '
3(3x2 1)2 6x 18x(3x2 1)2
v( u(
x) x)
u( x)v( x) - u( x)v( x)
[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
-
u( x) u2 ( x)
.
乘法法则的推广：
高等数学导数的四则运算
课题2导数的四则运算法则一、复习基本初等函数的导数公式用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。
本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。
二、导数的四则运算法则设函数)(x u u =、)(x v v =在点x 处可导，则函数)(x u ±)(x v ，)()(x v x u ⋅，)0)(()()(≠x v x v x u 也在点x 处可导，且有以下法则： （1） [])()()()(x v x u x v x u '±'='±推论：[]'±±'±'±'='±±±±n n u u u u u u u u 321321 （2） [])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='， 推论1： [])()(x u C x Cu '='（C 为常数）； 推论2：此法则可以推广到有限个函数的积的情形． 例 w uv w v u vw u uvw '+'+'=')(（3） )0(2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡v v v u v u v u ， 三、例题分析例：求 的导数解：例：已知x x y ln 3=，求y '解：)1ln 3(ln 3)(ln ln )()ln (222333+=+='+'='='x x x x x x x x x x x y例： 解：例：求的导数x x x x y ln cos sin 2⋅+⋅= 解3ln 11cos )(3++-=x x x x f ()()'+'⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛-'='3ln 11cos )(3x x x x f 0131sin 234+-+-=-x x x x xx x sin 13123--=(x)f ,1)(2'+=求设x xx f 22222)1()1()1()()1()(x x x x x x x x f +'+-+'='+='2222222)1(1)1(21x x x x x +-=+-+=x x x x x x xx x x x x x x x x x x x cos ln sin cos 2sin )(ln cos ln )(cos )(sin 2sin )(2)ln (cos )sin x 2y +-+='⋅+⋅'+'+'='⋅+'='（附加练习：求下列函数的导数（1）x x y 33log = （2）x x xy sin cos 41+-=，（3）π+-=x x y 32（4）xx y +=41（5） （6）设4sin cos 4)(3π-+=x x x f ，求)(x f '及)2(πf '（7）x x x y cos )ln 2(-=四、导数的应用 例1 [电流]电路中某点处的电流i 是通过该点处的电量q 关于时间的瞬时变化率，如果一电路中的电量为t t t q +=3)(，（1）求其电流函数i (t ) ？(2)t =3时的电流是多少？ 解：（1）13)()(23+='+==t t t t i ，（2）i(3)=28例2 [电压的变化率]一个电阻为 Ω6，可变电阻R 为的电路中的电压由下式给出： ，求在R=Ω7电压关于可变电阻R 的变化率 解例3[气球体积关于半径的变化率]现将一气体注入某一球状气球，假定气体的压力不变．问当半径为2cm 时，气球的体积关于半径的增加率是多少？解：气球的体积V 与半径r 之间的函数关系为气球的体积关于半径的变化率为 半径为2cm 时气球的体积关于半径的变化率为小结导数的四则运算作业 上册 p57 1—6),1()11)(1()(22f xx x f '-+=求3256++=R R V 26256333R R R V R R +++''==++（）-（625）（）（）07.01007)7(-=-='V 334r V π=24r V π=')/(1624/322cm cm dtdVr ππ=⋅==课题3复合函数的导数一、复习导数公式 导数的四则运算法则 二、复合函数的求导法则因为x x cos )(sin ='，是否可以类似写出x x 2cos )2(sin ='呢？ 由三角函数的倍角公式可知x x x cos sin 22sin = ])(cos sin cos )[(sin 2)2(sin '+'='x x x x x )sin (cos 222x x -= x 2c o s 2=显然x x 2cos )2(sin ≠'，因为x 2sin 不再是基本初等函数而是一个复合函数，对于求复合函数的导数给出如下法则．定理：如果函数)(x u ϕ=在点x 处可导，而函数)(u f y =在对应的u 处可导，则复合函数[])(x f y ϕ=也在x 处可导，且有dxdudu dy dx dy ⋅= 或 )()(]))(([x u f x f ϕϕ''='， 简记为 x u x u y y ''='证明：当)(x u φ=在x 的某邻域内不等于常数时, ∆u ≠0, 给自变量x 一增量x ∆，相应函数有增量y u ∆∆,因为0y 0x )()(→∆→∆==时，处连续，固有在处可导，可知在x x u x x u φφ)()(lim lim lim lim0000x u f xu u y x u u y x y x u x x ϕ'⋅'=∆∆∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆即 )()(]))(([x u f x f ϕϕ''=' 或 dxdudu dy dx dy ⋅= 当)(x u φ=在x 的某邻域内为常数时, y =f [ϕ(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立. 说明：（1）复合函数对自变量的导数等于它对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
医学高等数学课件 第二章第2节-求导法则(2)
函数f (x)的n阶导数,记作
f ( (n) x), y(n) , d n y 或 d n f ( x) .
dx n
dx n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。
2.高阶导数求法举例
例21 设y eax , 求 y(n).
解:
y aeax,
y a2 eax ,
y a3 ea x ,
y(n) aneax
dy dy dx d t
d x (t) . dt (t)
可导,
例19.求曲线
x y
t(1 sin t cos t
t
)
所确定的函数的导数
dy dx
解： dy dy dx cos t t sin t dx dt dt (1 sin t) t cos t
例20.求椭圆
x
y
a cos t b sin t
特别地 (ex )(n) e x
注: 求n阶导数时,求出1~3或4阶后,不要急于合并,
分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例23.设 y sin x, 求y (n).
解: y cos x sin( x ) 2
y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 )
求导方法：
①两边取对数 ln y v ln u （隐函数）
②两边对x求导 1 y v ln u uv
y
u
③解方程 y uv ( vln u uv ) u
例16. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐函数
两边对 x 求导
1 y ln xx 1
y
x
y y(ln x 1) xx (ln x 1)
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
高等数学18个求导公式
高等数学18个求导公式高等数学的求导，是高等数学的重要的基本技能。
求导的基本定义是求出一个函数的变化率，也就是求函数的导数。
下面给出18个求导公式：1.常数项求导公式：若y = c，其中c为常数，则y′ = 0；2.幂函数求导公式：若y = x^n，其中n为正整数，则y′ = nx^{n-1}；3.多次幂函数求导公式：若y = x^n + a^n，其中n为正整数，则y′ = nx^{n-1} + na^{n-1}；4.指数函数求导公式：若y = a^x，其中a为正数，则y′ = a^xln a；5.对数函数求导公式：若y = lnx，则y′ = \frac{1}{x}；6.三角函数求导公式：若y = sin x，则y′ = cos x；若y = cos x，则y′ = -sin x；若y = tan x，则y′ = \frac{1}{cos^2 x}；7.反三角函数求导公式：若y = arcsin x，则y′ =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}；若y = arccos x，则y′ = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}；若y = arctan x，则y′ = \frac{1}{1+x^2}；8.指数函数的导数：若y = e^x，则y′ = e^x；9.乘法公式求导公式：若y = f(x)g(x)，则y′ = f'(x)g(x) +f(x)g'(x)；10.链式法则求导公式：若y = f(g(x))，则y′ = f'(g(x))g'(x)；11.求和求导公式：若y = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)，则y′ =\sum_{i=1}^{n} f'(x_i)；12.积分求导公式：若y = \int f(x)dx，则y′ = f(x)；13.极限求导公式：若y = \lim_{x \to a} f(x)，则y′ =\lim_{x \to a} f'(x)；14.复合函数求导公式：若y = f(g(x))，则y′ = f'(g(x))g'(x)；15.乘方公式求导公式：若y = (f(x))^n，其中n为正整数，则y′ = n(f(x))^{n-1}f'(x)；16.幂函数的导数：若y = x^n，则y′ = nx^{n-1}；17.对数函数的导数：若y = lnx，则y′ = \frac{1}{x}；18.三角函数的导数：若y = sinx，则y′ = cosx；若y = cosx，则y′ = -sinx；若y = tanx，则y′ = \frac{1}{cos^2 x}。
导数求解的常用方法
导数求解的常用方法导数求解的常用方法摘要：导数的求解问题在高等数学中是一个重点，也是一个难点。
又因为它是后继某些章节的基础，所以要想学好这一部分，就应该系统地总结导数求解的方法。
常用的求导方法有定义法、公式法、导数的四则运算、复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导以及高阶导数等。
关键词：函数求导方法导数的求解以及跟导数相关的命题在历年的考试中，无论是在自学考考还是在成人高考中，所占的比重都相当高。
这一部分也是后继内容如积分问题、微分方程问题、多元函数微积分等问题的必要基础。
因此学好这一部分是取得这门课程高分的关键!在以前的教学过程中，我发现很多学生对数学的学习很吃力，关键是没有找到学习这门课程的技巧和方法。
在此，我结合教学过程中学生经常出现的问题对导数的求解问题进行详细的介绍，以便帮助大家取得理想的成绩。
现在(主要以20XX年成人高考数学一以及20XX年4月份全国自学考试高等数学试题为例)就以上的各种方法进行详细的讨论。
一、定义法任何定义都是解决问题的基础，导数的定义同样也是。
导数的定义如下：设函数y=f(x)在点x 的某一邻域内有定义，若自变x在处x 的改变量为Δx（x ≠0，x +Δx仍在该邻域内）时，相应的函数有增量Δy=f(x +Δx)-f(x )；如果Δy与Δx之比当Δx→0时，有极限=存在，则称这个极限为函数y=f(x)在点x 的导数。
并且说，函数y=f(x)在点x 可导，记作f′（x ）。
［１］对于导数定义的应用，一般来说，是用来解决如分段函数或者是针对定义的灵活应用上。
以成考试题的选择题第3题为例，题目如下：上面的题目就是对定义的考察，在处理这个题目的时候，一定要深刻理解定义的表达，下面从定义着手解答。
解答过程如下：因此正确的选择项为A。
对于分段函数的求导问题，自学考试的填空题第9题:[解]首先要求出左、右导数，然后比较二者是否相等。
由已知条件知道:由于左右极限存在但不相等，所以函数在x 处导数不存在。
高等数学求导公式打印版
高等数学求导公式打印版(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--I.基本函数的导数 01.()0C '=； 02.()1xxμμμ-'=；03.()sin cos x x '=； 04.()cos sin x x '=-；05.()2tan sec x x '=； 06.()2cot csc x x '=-；07.()sec sec tan x x x '=； 08.()csc csc cot x x x '=-；09.()ln x x a a a '=；10.()xx e e '=；11.()1log ln ax x a'=； 12.()1ln x x'=；13.()arcsin x '=；14.()arccos x '=； 15.()21arctan 1x x '=+； 16.()21arc cot 1x x '=-+。
II.和、差、积、商的导数 01.()u v u v '''±=±； 02.()Cu Cu ''=； 03.()uv u v uv '''=+； 04.2(0)u u v uv v v v '''-⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭。
III 复合函数的导数 若()(),y f u u x ϕ==，则dy dy dudx du dx= 或 ()()()y x f u x ϕ'''=。
● 计算极限时常用的等价无穷小lim sin x xx → 0lim tan x xx → ()201lim 1cos 2x x x →- ()lim 1xx e x →- ()lim ln 1xx x →+ 01lim 1x x n→ ● 两个重要极限: 0sin lim 1x x x →= 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭● 若 ()()lim 0, lim f x A g x B =>=，则 ()()lim g x B f x A =● 罗尔定理：()0F x '≠若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则存在一(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。
高等数学求导法则
五、 函数的可导性与连续性的关系
定理1. 定理 证: 设 存在 , 因此必有 其中 故 所以函数 在点 x 连续 . 在点 x 处可导, 即
∆x →0
y= x
y
注意: 连续未必可导. 注意 函数在点 x 连续未必可导 反例: 反例 在 x = 0 处连续 , 但不可导.
o
x
可导必连续, 但连续不一定可导;
(ax )′ =ax lna
1 (loga x)′ = xlna 1
(ex )′ = ex
1 (lnx)′ = x
2
(arcsinx)′ =
1− x 1 (arctanx)′ = 1+ x2
(arccosx)′ = −
1
1− x2 1 (arccot x)′ =− 1+ x2
四、 导数的几何意义
曲线 若 若 若 若 在点
dα 1 dh sec α⋅ = dt 500 dt
2
h
sec2 α =1+ tan2 α
dh 已知 =140m m , h = 500m 时, tanα =1,sec2 α = 2 , in dt dα 1 1 (rad/ m ) in = ⋅ ⋅140 dt 2 500
第五节 函数的微分
一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用
,求
解： 方程组两边同时对 t 求导, 得
dy ∴ d x t=0
x = t2 +2t (0 <ε <1 ) 例. 设由方程 2 t − y +ε sin y =1
确定函数 y = y(x), 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得
大一上学期同济版高数第二章求导法则
′ ln （ ） = −ex tan(ex ) f （ cos ex ）
这两个记号含义不同
f ′(u) u=lncos(ex )
19
高等数学
第十三讲
20
例6
求下列函数的导数
y = f sin2 x 2 解： 设 y = f (u) u = sin x 2 ′ = f ′(u) ⋅ 2sin xcos x ∴ y′ = f ′(u) ⋅ sin x = f ′(u) sin2x = f ′ sin2 x sin2x 1.
1 x + x +1
2
⋅ ( 1+
) 2 x +1
x
=
2
1 x2 +1
2 2 2
（＋） x a ′ 2x ( x ± a )′ = = 2 2 2 x ± a 2 x2 ± a2 x = x2 ± a2
17
例3. 设 解：
1 −sin x cos x −(1+cos x) −1 y′ = [ − ]= = csc x 3 1+cos x sin x 3sin x(1+cos x) 3
由外向内逐层求导
y′ = (e
sinx2⋅ cos x2 ⋅ 2x
关键: 关键 搞清复合函数结构
注：函数的乘积中含有 eu(x)，求导后其必为各项的公 因子。计算时注意提在结果公式的前面。 [eu( x)v( x)]′ = eu( x)[u′( x)v( x) +v′( x)]
25
1 1 1+ x +1 2 ,求 y′. 例4. 设 y = arctan 1+ x + ln 2 4 1+ x2 −1 1 1 x 解: y′ = ⋅ 2 1+( 1+ x2 )2 1+ x2
对数求导法
对数求导法对数求导法是一种常用的求导方法，在高等数学的教学和科研中，都有广泛的应用。
该方法常用于解决一些含有幂函数或指数函数乘积或商的复杂导数问题，大大简化了计算过程。
本文将对该方法进行详细的介绍。
一、基本思想对数求导法的基本思想是，将一个函数先取对数，然后对其求导，最后再根据原函数的性质还原。
对数求导法的数学公式如下：$$\frac{d}{dx}\ln u(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}$$其中，$u(x)$为任意实函数，且$u(x)>0$。
二、基本性质1.对数求导法是一种复合函数求导的方法，通过对函数进行取对数、求导、还原的过程，简化了其中的计算步骤。
2.对数求导法要求被求导函数必须为正函数，即$u(x)>0$，否则无法应用此方法。
3.对数求导法适用于求导数含有幂函数或指数函数乘积或商的函数。
对于其他类型的函数，可能需要采用其他方法。
4.对数求导法可应用于函数的高阶导数的计算，原理与一阶导数计算相同。
三、应用举例1.幂函数的导数当$f(x)=x^n$（$n$为正整数）时，利用对数求导法可得：$$\begin{aligned}\frac{d}{dx}x^n&=\frac{d}{dx}\ln e^{n\lnx}\\&=\frac{1}{e^{n\ln x}}\cdot\frac{d}{dx}(e^{n\lnx})\\&=\frac{1}{x^n}\cdot(nx^{n-1})\\&=nx^{n-1}\end{aligned}$$需要注意的是，当$a=1$时，指数函数为常数函数，其导数为$0$。
需要注意的是，对数函数的自变量必须大于$0$，否则无法应用此方法。
设$f(x)=e^{x^2}$，$g(x)=\ln x$，求$h(x)=f(g(x))$的导数。
利用链式法则可得：因此，$h(x)$的导数为四、总结。
高等数学：第十讲 对数求导法
引例
观察下列函数，应该如何求导数？
(1) y 3 (x 1)2 (x 1)(x 2)
幂指函数
(2) y (tan x)x (tan x 0)
y exln tan x
直接求导，计算复杂 先变形，再求导
隐对函 数数 求导法
方法 在方程两边取对数,利用隐函数的求导方法求出导数.
设 y f (x) ( f (x)可导).
y 1 y 2 1 1 3 x 1 x 1 x 2
1 3 ( x 1)2 2 1 1 . 3 ( x 1)(x 2) x 1 x 1 x 2
例2：
设 y = (tan x)x (tan x>0)，求 y .
解 方程两边取对数，得
ln y = ln(tan x)x =xln(tan x)
1 2ln x 1 ln x 1 ln x 2 3
ln a ln a ln b b
ln ab ln a ln b
例1：
即 ln y 1 2ln x 1 ln x 1 ln x 2 3
两边对x求导，得
1 y 1 [2 1 1 1 ]
y
3 x 1 x 1 x 2
所以
不易求导
第一步 两边取以e为底的对数，得 ln y ln f (x) 第二步 利用对数的运算性质将方程右端化简，记为 ln y h(x)
第三步 方程两边同时对x求导，得
1 y h(x), y yh( x). y
ln x 1 xx
ln y y 1 y
适应类型
一、由几个含有变量的式子的乘、除、乘方、开方构成的函数 二、幂指函数 y u(x)v(x) (u(x) 0)
例1：
设y 3 (x 1)2 ，求y. (x 1)(x 2)
高等数学隐函数求导法则
高等数学隐函数求导法则
高等数学隐函数求导法则是指当被求导的函数中含有一个隐函数时，求函数和隐函数的导数。
这种情况下，不能像求常见函数的导数那样，使用常见的微积分中的微分法则来直接求解，而是要使用高等数学隐函数求导法则，使用更加复杂的求解方法。
高等数学隐函数求导法则的基本原理是：若函数f(x,y)
含有隐函数y=φ(x)，则y的导数可表示为
dy/dx=dy/dx+φ'(x)dx/dx，这里φ'(x)表示隐函数y=φ(x)
的导数。
这就是求解隐函数求导时， x 不变，只考虑 y 求导的原理，也是微积分中隐函数求解中常用到的法则，成为高等数学隐函数求导法则。
高等数学隐函数求导法则在求解函数和隐函数的导数时，都要求解隐函数的导数，这就需要考虑隐函数的定义域，即显函数的定义域这个问题，要严格遵守求解隐函数求导的基本原理。
例1.若f(x,y)=x+y，其中y=φ(x)=sin(x)，则隐函数的求导法则显示，dy/dx=x+cos(x)dx/dx=1+cos(x).
例2.若f(x,y)=2x+y，其中y=φ(x)=ln(x)，则隐函数的求导法则显示，dy/dx=2+1/x dx/dx = 2+1/x.
从上面几个例子来看，使用高等数学隐函数求导法则是一种既有系统又有效的方法，解决涉及到隐函数求导的问题。
最重要的是，要避免求导出现不对称或错误结果，就必须牢记求解隐函数求导的基本原理，严格按照高等数学隐函数求导法则进行求解。
高等数学-隐函数求导
y 1y 1 sin 2 J r x r x y2 r y x 2 同样有 2 2 y y x y2 x y
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内容小结
1. 隐函数( 组) 存在定理
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②
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结束
注意 J 0, 从方程组②解得 x 1 v u 1 1 y v 1 , x J 0 y J v x J v
同理, ①式两边对 y 求导, 可得
x 1 1y u y J u 0 u
u 1x , y J v
2z 2 2 2 例2. 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解法1 利用隐函数求导 z x z z 2x 2z 4 0 x 2 z x x
再对 x 求导
2
z 2 1 ( ) x
z 4 2 0 x
2
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Fu Fv Gu Gv 0 , 故得
公式 目录 上页 下页 返回 结束
u 1 ( F , G ) x J ( x, v )
v 1 ( F , G ) x J ( u , x )
同样可得
u 1 ( F , G ) y J ( y , v ) v 1 ( F , G ) y J ( u , y )
sin y ( y) 2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2 y 3 2 x0 dx
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定理2 . 若函数 F ( x, y, z ) 满足:
① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 则方程 在点 某一邻域足 并有连续偏导数 Fx z , x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 ,
高等数学复杂函数求导法
高等数学复杂函数求导法高等数学中，复杂函数的求导是一个重要而复杂的问题。
在本文中，我们将展示一些具体的操作方法，并通过分析性循序推理论点，给出实践导向的结论。
我们还将对该问题进行进一步阐释，并提供更多细节和扩展内容。
在复杂函数的求导中，我们首先需要了解一些基本的概念和技巧。
例如，我们需要掌握链式法则、乘法法则和除法法则等。
这些基本的求导法则是求解复杂函数导数的基础。
以求解一个实际的例子来说明这些操作方法。
假设我们有一个复杂函数f(x) = (3x^2 + 2x + 1)^2。
我们的目标是求解函数f(x)的导数。
首先，我们可以应用乘法法则，将f(x)展开为(3x^2 + 2x + 1) * (3x^2 +2x + 1)。
然后，我们可以利用链式法则，将函数中的每一项分别求导。
首先，我们对第一个括号内的函数(3x^2 + 2x + 1)应用链式法则，得到导数6x + 2。
然后，我们对第二个括号内的函数(3x^2 + 2x + 1)应用链式法则，得到导数6x + 2。
接下来，我们可以应用乘法法则，将得到的两个导数与原函数的另一个括号相乘。
具体来说，我们将(6x + 2) * (3x^2 + 2x + 1) + (6x + 2) * (3x^2 + 2x + 1)。
最后，我们可以将得到的表达式进一步化简，得到最终的结果。
具体来说，我们将每一项相加，得到(6x + 2) * (3x^2 + 2x + 1) + (6x + 2) * (3x^2 + 2x + 1)。
最终的导数结果为(6x + 2) * (3x^2 + 2x + 1) + (6x + 2) * (3x^2 + 2x + 1)。
通过以上步骤，我们成功地求解了函数f(x) = (3x^2 + 2x + 1)^2的导数。
这个例子展示了我们在求解复杂函数导数时可以采用的一些具体操作方法。
通过应用链式法则和乘法法则，我们可以将复杂函数拆解成简单的表达式，并逐步求解其导数。
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特别 推广
(Cu) Cu
1 v ( ) 2 （v 0） v v
(uvw) uvw uvw uvw
例1 设 解
y 2x3 5x2 3x 7 求 y
y (2x3 5x2 3x 7) (2x3 ) (5x2 ) (3x) (7)
高等数学
2.2
求导运算
学习重点
导数的四则运算法则 复合函数，隐函数的求导
2.2.1、函数的四则运算求导法则
如果函数 u u ( x) 及 v v( x) 都在点 x 处可导， 那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外） 在点 x 处也可导， 且
(u v) u v (uv) uv uv
2
y 2 x ln x cos x x cos x x ln x sin x
ln x (3) y x 1 ln x y x2
2.2.2、复合函数的求导法则
如果函数 u g ( x) 在 x 点可导,而 y f (u )在 对应点 u g ( x)处可导, 则复合函数 y f [ g ( x)] dy dy du 在点 x 处可导，且其导数为 dx du dx y y u 证明略 证明关键式子 x u x
1 1 x . . x x
例
解
y ln( x 1 x ), 求y ，确定该函数的定义域 1 2x y 1 2 2 x 1 x 2 1 x
2
1 x 1 x
2
1 x2 x 1 x
2
1 1 x2
◆高阶导数 ——导函数的导数
四阶导数
n阶导数
2.2.3、隐函数的导数
由方程 F ( x, y) 0 确定的变量 x 与变量 y之间的函数 关系 y y( x)，称为隐函数。
隐函数的求导方法——将方程两边同时对自变量x求导, 含有y的式子将y视为中间变量，按照复合函数求导 法则计算。
例
dy 求由方程 e xy e 0 所确定的隐函数y y ( x)的导数 。 dx
相似地，二阶导数的导数称为函数的三阶导数，三 阶导数的导数称为四阶导数，…（n-1)阶导数的导数称 为函数的n阶导数，分别记作
d3y y '''，或f '''( x)，或 3 。 y ''' y 三阶导数 dx
4 d y (4) (4) y , 或f ( x)，或 4 。 y (4) y dx n d y (n) (n) y , 或f ( x)，或 n 。 y ( n ) y ( n1) dx
推广 对于复合函数 y f {[ ( x)]} ， 设 y f (u),
u (v), v ( x)均可导, 则
链式法则
dy dy du dv dx du dv dx
Chain Rule
例 设 解
dy y e ,求 dx
x3
ye
x3
可分解为
ye , u x .
u 3
dy dy du 由法则 dx du dx
也可以不写出中间变量
dy x3 ( e ) dx
e ( x ) 3x e
3
x3
2 x3
dy 例 设 y ln cos(e ), 求 dx
x
解 y ln cos(e x ) 可分解为
y ln u, u cos v, v e
2 3x 2 5 2 x 3 0 6 x 10 x 3
2
(uv) uv uv
例2 解
f ( x) x 4cos x sin ，求 f ( x) 及 f ( ) 2 2
3
2 f ( x) 3x 4sin x
3 2 f ( ) 4 2 4
1 cos 2 x
sec x
2
2
2 (cot x) cபைடு நூலகம்c x
导数公式
(tan x) sec x
求下列函数的导数
(1) y sec x 和 y csc x
(sec x) sec x tan x
(2) y x ln x cos x
2
(csc x) csc x cot x
sin
2
是常数
例 解
y tan x
求 y
sin x u uv uv y (tan x) ( v ) v 2 （v 0） cos x (sin x) cos x sin x(cos x) cos 2 x sin 2 x 2 cos x cos 2 x
1 x ( sin v) e u
x
dy dy du dv dx du dv dx
1 x x ( sin e ) e x cos(e )
e tan(e )
x x
熟练后不必写出中间变量
1 dy x x [cos( e )] [ln cos(e )] x cos(e ) dx
1 x x ( sin e ) (e ) x cos(e )
1 x x ( sin e ) e x cos(e )
环环 相扣
e tan(e )
x x
例
yx
dy 求 dx
ln x
解
y x e
e
ln x
dy 1 ln x d ( ln x ) ln x e . e dx dx x
引例 设 y x10， 则 y 10 x9， 我们还可以对 y 继续求导，
90 x8 （y）
一般地，函数 y f ( x) 的导数 y f ( x) 仍然是x 的函数， 我们把 y f ( x) 的导数叫做 y f ( x) 的二阶导数，记作 y， 2 d y 而y 则称为一阶导数 或f ''( x)，或 2 ， dx