高等数学 求导方法

高等数学
2.2
求导运算
学习重点
导数的四则运算法则 复合函数，隐函数的求导
2.2.1、函数的四则运算求导法则
如果函数 u u ( x) 及 v v( x) 都在点 x 处可导， 那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外） 在点 x 处也可导， 且
(u v) u v (uv) uv uv
2 3x 2 5 2 x 3 0 6 x 10 x 3
2
(uv) Baidu Nhomakorabeav uv
例2 解
f ( x) x 4cos x sin ，求 f ( x) 及 f ( ) 2 2
3
2 f ( x) 3x 4sin x
3 2 f ( ) 4 2 4
相似地，二阶导数的导数称为函数的三阶导数，三 阶导数的导数称为四阶导数，…（n-1)阶导数的导数称 为函数的n阶导数，分别记作
d3y y '''，或f '''( x)，或 3 。 y ''' y 三阶导数 dx
4 d y (4) (4) y , 或f ( x)，或 4 。 y (4) y dx n d y (n) (n) y , 或f ( x)，或 n 。 y ( n ) y ( n1) dx
四阶导数
n阶导数
2.2.3、隐函数的导数
由方程 F ( x, y) 0 确定的变量 x 与变量 y之间的函数 关系 y y( x)，称为隐函数。
隐函数的求导方法——将方程两边同时对自变量x求导, 含有y的式子将y视为中间变量，按照复合函数求导 法则计算。
例
dy 求由方程 e xy e 0 所确定的隐函数y y ( x)的导数 。 dx
推广 对于复合函数 y f {[ ( x)]} ， 设 y f (u),
u (v), v ( x)均可导, 则
链式法则
dy dy du dv dx du dv dx
Chain Rule
例 设 解
dy y e ,求 dx
x3
ye
x3
可分解为
ye , u x .
2
y 2 x ln x cos x x cos x x ln x sin x
ln x (3) y x 1 ln x y x2
2.2.2、复合函数的求导法则
如果函数 u g ( x) 在 x 点可导,而 y f (u )在 对应点 u g ( x)处可导, 则复合函数 y f [ g ( x)] dy dy du 在点 x 处可导，且其导数为 dx du dx y y u 证明略 证明关键式子 x u x
1 1 x . . x x

例
解
y ln( x 1 x ), 求y ，确定该函数的定义域 1 2x y 1 2 2 x 1 x 2 1 x
2

1 x 1 x
2
1 x2 x 1 x
2

1 1 x2
◆高阶导数 ——导函数的导数
sin

2
是常数
例 解
y tan x
求 y
sin x u uv uv y (tan x) ( v ) v 2 （v 0） cos x (sin x) cos x sin x(cos x) cos 2 x sin 2 x 2 cos x cos 2 x
1 x x ( sin e ) (e ) x cos(e )
1 x x ( sin e ) e x cos(e )
环环 相扣
e tan(e )
x x
例
yx

dy 求 dx

ln x
解
y x e
e
ln x
dy 1 ln x d ( ln x ) ln x e . e dx dx x
1 x ( sin v) e u
x
dy dy du dv dx du dv dx
1 x x ( sin e ) e x cos(e )
e tan(e )
x x
熟练后不必写出中间变量
1 dy x x [cos( e )] [ln cos(e )] x cos(e ) dx
引例 设 y x10， 则 y 10 x9， 我们还可以对 y 继续求导，
90 x8 （y）
一般地，函数 y f ( x) 的导数 y f ( x) 仍然是x 的函数， 我们把 y f ( x) 的导数叫做 y f ( x) 的二阶导数，记作 y， 2 d y 而y 则称为一阶导数 或f ''( x)，或 2 ， dx
1 cos 2 x
sec x
2
2
2 (cot x) csc x
导数公式
(tan x) sec x
求下列函数的导数
(1) y sec x 和 y csc x
(sec x) sec x tan x
(2) y x ln x cos x
2
(csc x) csc x cot x
u 3
dy dy du 由法则 dx du dx
也可以不写出中间变量
dy x3 ( e ) dx
e ( x ) 3x e
3
x3
2 x3
dy 例 设 y ln cos(e ), 求 dx
x
解 y ln cos(e x ) 可分解为
y ln u, u cos v, v e
u uv uv ( ) （v 0） 2 v v
特别 推广
(Cu) Cu
1 v ( ) 2 （v 0） v v
(uvw) uvw uvw uvw
例1 设 解
y 2x3 5x2 3x 7 求 y
y (2x3 5x2 3x 7) (2x3 ) (5x2 ) (3x) (7)