您的位置：360文档中心› 2020年学大教育高考高频考点测试卷(上海卷)数学

2020年学大教育高考高频考点测试卷(上海卷)数学

合集下载

2020年上海市高考数学卷详解版

2020年上海市高考数学卷详解版

2020年上海秋季高考数学试卷2020.7.7一、填空题1.已知集合{}{}5,4,2,4,2,1==B A ，则=B A 【答案】{}4,2 2.求极限=++∞→231lim n n n【答案】31【解析】21111limlim 13133n n n n n n→∞→++==-- 3.已知复数i z 21-=,求=z 【答案】5【解析】||z ==4.已知函数3)(x x f =，则=-)(1x f【答案】311)(x x f=-【解析】由3y x =反解得13x y=，互换得13y x=，注意x ∈R5.已知60321=d cb a，求=dc b a【答案】2【解析】将该行列式按第3行展开有26)1(313=⇒=-⨯+dc b a dc b a .6.已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-+003202y y x y x ，则x y z 2-=最大值为【答案】1-【解析】由可行域易得三个顶点为()()()1,12,03,0、、，依次代入可知：1121max-=⋅-=z.7.已知一组数据b a ,,2,1，这四个数的中位数为3，平均数为4，则=ab 【答案】36【解析】不妨假设b a ≤，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+94443322b a b a a，故36=ab .8.{}n a 为各项不为零的等差数列，且9101a a a =+，求=+⋅⋅⋅++10921a a a a【答案】827 【解析】设等差数列公差为d ，则d a d a d a a -=⇒+=++11118)9(，故8279369928991110921=+-+-=+⋅+=+⋅⋅⋅++d d d d d a da a a a a9.抗击疫情期间，要从6位志愿者中挑选4位去值班，每人值班一天，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人，问共有 种排法. 【答案】180【解析】法一：180122446=⋅⋅C C C .法二：41126432180C C C C =10.已知椭圆13422=+y x ，第二象限有一点P ，点P 与右焦点F 的连线所在直线与椭圆有一交点为Q ，点Q 与点Q '关于x 轴对称，且Q F PF '⊥，则PQ 直线方程是【答案】01=-+y x【解析】设点),(),,(),,(222211y x Q y x Q y x P -'，则1:+=my x l PQ . 由于Q F PF '⊥，故10)1(0))(()1)(1(02122121-=⇒=+-⇒=--+--⇒='⋅m y y m y y x x F （P 在第二象限）故01:=-+y x l PQ .11.设R a ∈，若存在定义域为R 的函数)(x f 满足①对任意R x ∈0，)(0x f 的值为0x 或20x ，②关于x 的方程a x f =)(无实数解，求a 取值范围 【答案】),1()1,0()0,(+∞-∞∈ a【解析】考虑)(a f ，由关于x 的方程a x f =)(无实数解，则a a a f ≠=2)(，故0≠a 且1≠a .注意此为必要条件.同时构造出⎩⎨⎧=≠=ax xa x x x f 2)(是满足条件的函数，故),1()1,0()0,(+∞-∞∈ a .12.已知平面向量1a ，2a ，12,,k b b b ⋅⋅⋅⋅()*∈N k 是平面内两两互不相等的向量，121aa -=，且对任意的2,1=i 及k j ,,2,1⋅⋅⋅=，{1,2}i j a b -∈，则k 最大值为【答案】6 【解析】不妨假设12(0,0),(0,1)a a ==，(,)j b x y =，由{1,2}i j a b -∈可得：221x y +=或222(1)1x y +-=或2，故k 的最大值即为两种不同颜色圆的交点个数.如图所示6个.二、选择题13.下列不等式恒成立的是（ ）A.ab b a 222≤+ B.ab b a 222-≥+ C.ab b a 2≤+ D.ab b a 2-≥+ 【答案】B【解析】对于B 选项，整理得2()0a b +≥，显然成立；对于A ：取1,1a b ==-错误；对于C ：取1a b ==-；对于D ：取0,1a b ==.14.直线0143=++y x 的一个参数方程可以是（ ）A.1314x t y t =+⎧⎨=-+⎩B.⎩⎨⎧--=-=ty t x 3141 C.1314x t y t =-⎧⎨=-+⎩ D.1413x t y t =+⎧⎨=--⎩ 【答案】D【解析】依次求解各参数方程对应的一般式方程，分别为：:4370A x y --=，:3470,:4310,:3410B x y C x y D x y --=+-=++=.15.在棱长为10的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为左侧面11A ADD 上一点，已知点P 到11D A 的距离为3，P 到1AA 的距离为2，则过点P 且与C A 1平行的直线相交的面是（ ）A.平面ABCDB.平面11CC BBC.平面11CC D DD.平面11AA B B 【答案】A【解析】法一：直线1A P 与线段AD 交于点E ，由于P 在平面DC A 1下方，所以过点P 作C A 1的平行线在平面1A EC 上,与底面ABCD 相交.法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则点1(8,0,7),(10,10,10)P CA =- ，故直线1A C 的方向向量为(1,1,1)n=- ，从而存在实数t ，使得(,,)PQ tn t t t ==-，点(8,,7)Q t t t +-+ ，令0810*******t t t ≤+≤⎧⎪≤-≤⎨⎪≤+≤⎩，得710-≤≤，分别令80t +=或10，0t -=或10，70t +=或10，只有7t =-满足，此时点(1,7,0)Q 在平面ABCD 内.16.命题p ：若存在R a ∈且0≠a ，对任意的R x ∈，有)()()(a f x f a x f +<+恒成立；已知命题1q ：)(x f 单调递减，且0)(>x f 恒成立；命题2q ：)(x f 单调递增，且存在00<x 使0)(0=x f .则下列说法正确的是（ ） A.1q ，2q 都是p 的充分条件 B. 只有1q 是p 的充分条件 C. 只有2q 是p 的充分条件 D. 1q ，2q 都不是p 的充分条件 【答案】A【解析】若1q 成立，取21x x >，则)()(21x f x f <，取021≠-=x x a ，则0)(>a f ，故)()()()()(2221a f x f x f a x f x f +<<+=成立，所以1q 是p 的充分条件；若2q 成立，取00<x ，使0)(0=x f ，由于x x x <+0且)(x f 单调增，取0x a =，有)()()()()()()(00a f x f x f x f x f x x f a x f +=+=<+=+，即)()()(a f x f a x f +<+.所以2q 是p 的充分条件.三、解答题17.已知边长为1的正方形ABCD ，正方形ABCD 绕AB 旋转形成一个圆柱. （1）求该圆柱表面积；（2）正方形ABCD 绕AB 逆时针旋转2π到11ABC D ，求直线1C D 与平面ABCD 所成的夹角【答案】（1）π4（2）2arctan2或33arcsin【解析】（1）由题意得，此圆柱底面半径为1，高为1，记侧面积为S 侧，底面积为S 底，则：22112,212S S ππππ=-⋅==⋅⋅=底侧，该圆柱的表面积为224πππ+=（2）连接BD ，因为11,,BC BC BC AB BC AB B ⊥⊥=，所以1BC ⊥平面ABCD ，直线BD 为直线1C D 在平面ABCD 上的射影，设1C D 与平面ABCD 所成的夹角为θ，则12tan 22BC BD θ===，因此直线1C D 与平面ABCD 所成的夹角为2arctan 2 18.已知)0(sin )(>=ωωx x f（1）若)(x f 的周期为π4，求ω以及21sin =x ω的解集； （2）设1=ω，[]2()()3()(),0,24g x f x f x f x x ππ⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦，求)(x g 值域.【答案】(1)21=ω，2(1),3k x x x k k ππ⎧⎫∈=+-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z ∣；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21【解析】（1）由题意可得，24||Tππω==，又0ω>，所以12ω= 所以此时由1()sin22x f x == ，可得(1),26k x k k Z ππ=+-⋅∈ 方程的解集为2(1),3k x x x k k ππ⎧⎫∈=+-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ （2）由题意知()sin f x x =，所以2()(sin ))sin 2g x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭化简得1cos221()sin 22262x x g x x π-⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭， 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()g x ∴在0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时为单调递减函数，在,64x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时为单调递增函数所以maxmin 1()(0)0,()62g x g g x g π⎛⎫====- ⎪⎝⎭，所以()g x 的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦19.在研究某市交通情况时发现，道路密度是指该路段上一定时间内用过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量xqv =，x 为道路密度， q 车辆密度，(0,80]x ∈，且801100135()040,3(040)854080xx v k x x k ⎧-<<⎪=⎨⎪--+≤≤>⎩. (1) 当交通流量95v >时， 求道路密度x 的取值范围；(2) 若道路密度80x =时，测得交通流量50v =，求出车辆密度q 的最大值.【答案】(1))380,0(∈x ；（2）728800. 【解析】（1）①当040x <<时，令801100135()953x ->，解得)380,0(∈x②当4080x ≤≤时，由于0,0k k >-<，故(40)8585v k x =--+≤，此时95v >时无解综上所述，)380,0(∈x . （2）因为80x =时，(8040)8550v k =-⋅-+=，求得7,8kq vx ==①当(0,40)x ∈时，所以808011100135,1350,400033xxq x x x q ⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅>∴<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②当[40,80]x ∈时，所以2277480288001208877q x x x ⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭ ∴当4807x =时，q 有最大值为288007又2880040007>，4807x ∴=时，q 取得最大值为28800720. 如图，已知双曲线)0(14:2221>=-b by x C 与圆22224:b y x C +=+交于点),(A A y x A （第一象限），曲线Γ满足A x x >，且在12C C 、上，2C 与x 轴的左、右交点分别记作12F F 、. (1)若6=A x ，求b 的值；(2)若5=b ,圆与x 轴交点分别为21,F F ，点P 在双曲线第一象限部分，且81=PF ，求21PF F ∠；(3)过点)22,0(2+b S 斜率为2b-的直线l 与曲线Γ交于M 、N 两点，用b 表示OM ON ⋅并求其取值范围.【解析】（1）由222222144x y b x y b ⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩消元得2222414x b x b +--=， 将6A x =代入可得2b =；（2）由题意可知22221459x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，易知点P 在第一象限的双曲线上，18PF =，2144PF PF ∴=-=，又易知126F F =，由余弦定理可得：2221284611cos 28416F PF +-∠==⨯⨯， 1211arccos16F PF ∠=∴ （3）设直线方程222:2++-=b x b y l ，直线与双曲线渐近线平行，与双曲线 只有一个交点，下面讨论与圆的交点情况，圆心到直线距离412222b b d ++=，半径24b R +=，计算可得R d =，直线与圆相切.分别将直线与双曲线和圆联立求出交点坐标)164164,)82(1612(224224++++++b b b b b b b M ，)2,(b N ，故44168821648216122224224224+=+++=+++++++=⋅b b b b b b b b b b ON OM . 又由于l 要与曲线Γ有两个交点，故6524252242222+>+⇒+>⇒>+⇒>b b b b N y A A .所以OM ON ⋅的取值范围是(6)++∞21. 已知有限数列{}n a 项数为m ，若其满足m a a a a a a -≤⋅⋅⋅≤-≤-13121，则称数列{}n a 满足性 质P .（1）判断数列1,5,2,3和1,5,2,3,4是否具有性质P ，请说明理由；（2）已知11=a ，公比为q 的等比数列，项数为10，具有性质P ，求q 的取值范围.（3）若n a 是m ,,2,1⋅⋅⋅的一个排列)4(≥m ，)1,,2,1(1-⋅⋅⋅==+m k a b k k ，若数列{}{}n n b a ,都具有性 质P ，求所有满足条件的{}n a .【解析】（1）第一个具有，第二个不具有； （2）【法一】①显然0>q 满足题意，②现研究0<q 时，此时必有2112-≤⇒-≤-q q q .而当2-≤q 时，验证3,111≥-≥--n a a a a n n ，即01121≥-----n n q q ※，而n 为偶数时，※0)1(211221>+-=+--=---q q q qn n n ；n 为奇数时，※02)1(11221>-+=+--=---q q q q n n n故(](),20,q ∈-∞-+∞.【法二】由题意可得111n n a a a a +-≤-，即()111*n n q q --≤-，对{2,3,,9}n ∈恒成立，对q 进行分类讨论： ①当1q≥时，()*式等价于11n n q q q -≥⇔≥，显然成立；②当01q <<时，()*式等价于11n n q q q -≤⇔≤，显然成立；数形结合千般好，化归转化离不了③当10q -≤<时，()*式等价于1n n q q -≤，当n 为偶数时10,0n n q q -><不成立，舍去； ④当1q <-时，若n 为奇数，11111()11n n n n n n qq q q q q ----=-<<-<-=-，()*式显然成立； 若n 为偶数，()*式等价于1111(1)2n n n q q q q ---≤-⇔+≥对{2,4,6,8}n ∈恒成立， 记1()(1)n f n q q -=+，易知n 为偶数时单调递增数列，故只需(2)(1)2f q q =+≥ 解得2q ≤-综上所述，实数q 的取值范围是(,2](0,)-∞-⋃+∞（3）①当11=a 时，必有m a a a a ≤⋅⋅⋅≤≤432，所以n a n =，此时{}n b 满足条件； 也可将此数列的第一项和第二项交换，得到数列m ,6,5,4,3,1,2⋅⋅⋅； 当m a =1时，必有m a a a a ≥⋅⋅⋅≥≥432,所以1+-=n m a n ，此时{}n b 满足条件； 同理将此数列的第一项和第二项交换，得到数列1,2,3,3,2,,1⋅⋅⋅---m m m m . ③再证明其他情况下的1a 均不满足，假设),1,2,1(,1m m k k a -≠=，将),4,3,2(1m i a a i ⋅⋅⋅=-从小到大排列后为k m k k k k k -⋅⋅⋅++--⋅⋅⋅,2,1,,1,1,3,3,2,2,1,1，即32,a a 为1,1+-k k ，54,a a 为2,2+-k k . 此时{}n b 必不满足性质P .综上所述，所有满足{}n a 条件的有四种，分别是m a n ,3,2,1⋅⋅⋅=或m a n ,3,1,2⋅⋅⋅=或1,,2,1,⋅⋅⋅--=m m m a n 或1,,2,,1⋅⋅⋅--=m m m a n。

2020年上海秋季高考数学逐题解析版(校对2

2020年上海秋季高考数学逐题解析版(校对2

2020年全国统一高考数学试卷（上海秋季卷）一、填空题：本题共15小题，1-6题4分，7-12题5分，共54分。

1．已知集合，，求 ．={124}A ，，={234}B ，，=A B 【答案】：{24}，【解析】： 与取交集，共有元素为和.A B 242．计算： ．1lim31n n n →∞+=-【答案】：13【解析】： .11111lim lim lim 1131333()33n n n n n n n n n →∞→∞→∞+++===---3．已知复数（为虚数单位），则 ．12i z=-i z =【解析】：z ==4．已知行列式，则行列式 ．126300a cd b =a cd b=【答案】：2【解析】：因为 .126300a cd b =所以.11300622a c c ad b b d⋅-⋅+=故.2a cd b=5．已知，则 ．()3f x x =()1fx -=【答案】：13x()x ∈R 【解析】： 考察反函数知识点，由 可得，注意.3x y =13y x =x ∈R 6．已知、、1、2的中位数为，平均数为，则 ．a b 34ab =【答案】：36【解析】：由平均数为，可得，由中位数为，可知和中有一个是413a b +=3a b 4，另一个是.97．已知，则的最大值为 ．20230x y y x y +⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤2z y x =-【答案】：1-【解析】：画出可行域，带入点.()11，8．为不等于零的等差数列，且，求.{}n a 1109a a a +=12910+a a a a ++= 【答案】：278【解析】：在等差数列中由，得，所以：1109a a a +=1a d =-.1291101+93627+98a a a a d a a d +++==9．从个人中选个人值班，第一天641个人，第二天1个人，第三天2个人，共有多少种排法 .【答案】：180【解析】：.112654C C C 180=10．已知椭圆：，第二象限有一点，点与右焦点22143y x +=P P F所在直线与椭圆交于一点，，且点与点关于轴对称，求Q 1PF FQ ⊥Q 1Q x PQ 的直线方程 .【答案】：1y x=-【解析】：，且点与点关于轴对称，知斜率为，所以1PF FQ ⊥Q 1Q x PF 1-PF方程为.1y x =-11．设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或a ∈R R ()f x 0x ∈R 0()f x 20x 0x ”又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为 x ()f x a =a 【答案】：且0a ≠1a ≠【解析】：题目转换为是否存在实数，使得存在函数满足“对于任意，a ()f x 0x ∈R 0()f x 的值为或”又满足“关于的方程无实数解”构造函数：20x 0x x ()f x a =，则方程，只有0,1两个实数解.2,(),x x af x x x a ≠⎧=⎨=⎩()f x a =12．设，已知平面向量两两不相同，，且对于任意的k ∈*N 1212,,,, k a a b b b 12||1a a -=，及,,求的最大值 1,2i =1,2,,j k = }{1,2i j a b -∈k 【答案】：6【解析】：设，这，因为，所以对于任意的1122,OA a OA a == 12||1A A =}{1,2i j a b -∈有，做，则我们有1,2,,j k = }{11,2j a b -∈ }{21,2j a b -∈ j j OB b = 1j A B 等于1或者2，且等于1或者2，所以点在以，2j A B ,(1,2,,)j B j k = i A ()1,2i =为圆心半径为1或者2的圆上，如图所示，总共有6个点满足条件.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年上海市高考数学试卷【含详答】

2020年上海市高考数学试卷【含详答】

2020年上海市高考数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 下列等式恒成立的是( )A. a 2+b 2≤2abB. a 2+b 2≥−2abC. a +b ≥2√|ab|D. a 2+b 2≤−2ab2. 已知直线方程3x +4y +1=0的一个参数方程可以是( )A. { x =1+3t y =−1−4tB. {x =1−4t y =−1+3tC. {x =1−3t y =−1+4tD. {x =1+4ty =1−3t 3. 在棱长为10的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为左侧面ADD 1A 1上一点，已知点P到A 1D 1的距离为3，P 到AA 1的距离为2，则过点P 且与A 1C 平行的直线交正方体于P,Q 两点，则Q 点所在的平面是( )A. AA 1B 1BB. BB 1C 1CC. CC 1D 1DD. ABCD4. 命题p ：存在a ∈R 且a ≠0，对于任意的x ∈R ，使得f(x +a)<f(x)+f(a)； 命题q 1:f(x)单调递减且f(x)>0恒成立；命题q 2:f(x)单调递增，存在x 0<0使得f(x 0)=0，则下列说法正确的是( )A. 只有q 1是p 的充分条件B. 只有q 2是p 的充分条件C. q 1，q 2都是p 的充分条件D. q 1，q 2都不是p 的充分条件二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5. 已知集合A ={1,2，4}，集合B ={2,4，5}，则A ∩B = ．6. 计算：lim n→∞ n+13n−1= 7. 已知复数z =1−2i(i 为虚数单位)，则|z|= ．8. 已知函数f(x)=x 3，f′(x)是f(x)的反函数，则f′(x)= 。

9. 已知x 、y 满足{x +y −2≥0x +2y −3≤0y ≥0，则z =y −2x 的最大值为10. 已知行列式|1a b 2c d 300|=6，则|a b c d|= 11. 已知有四个数1，2，a ，b ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab = ． 12. 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 1+a 10=a 9，则a 1+a 2+⋯+a 9a 10= ．13.从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．14.已知椭圆C:x24+y23=1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点(点P在第二象限)，若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l 的方程是．15.设a∈R，若存在定义域为R的函数f(x)同时满足下列两个条件：(1)对任意的x0∈R，f(x0)的值为x0或x02；(2)关于x的方程f(x)=a无实数解，则a的取值范围是．16.已知a1⃗⃗⃗⃗ ，a2⃗⃗⃗⃗ ，b1⃗⃗⃗ ，b2⃗⃗⃗⃗ ，…，b k⃗⃗⃗⃗ (k∈N∗)是平面内两两互不相等的向量，满足|a1⃗⃗⃗⃗ −a2⃗⃗⃗⃗ |=1，且|a i⃗⃗⃗ −b j⃗⃗⃗ |∈{1,2}(其中i=1，2，j=1，2，…，k)，则k的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．(1)求该圆柱的表面积；(2)正方形ABCD绕AB逆时针旋转π2至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角．18.已知函数f(x)=sinωx，ω>0．(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；(2)已知ω=1，g(x)=f 2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x ∈[0,π4]，求g(x)的值域．19. 在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v =q x ，x 为道路密度，q 为车辆密度．v =f(x)={100−135⋅(13)x ,0<x <40−k(x −40)+85,40≤x ≤80． (1)若交通流量v >95，求道路密度x 的取值范围；(2)已知道路密度x =80，交通流量v =50，求车辆密度q 的最大值．20. 已知双曲线Γ1:x 24−y 2b =1与圆Γ2:x 2+y 2=4+b 2(b >0)交于点A(x A ,y A )(第一象限)，曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x >|x A |的部分．(1)若x A =√6，求b 的值；(2)当b =√5，Γ2与x 轴交点记作点F 1、F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF 1|=8，求∠F 1PF 2；(3)过点D(0,b 22+2)斜率为−b 2的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b 表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，并求OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21.已知数列{a n}为有限数列，满足|a1−a2|≤|a1−a3|≤⋯≤|a1−a m|，则称{a n}满足性质P．(1)判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；(2)若a1=1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；(3)若{a n}是1，2，3，…，m的一个排列(m≥4)，{b n}符合b k=a k+1(k=1,2，…，m−1)，{a n}、{b n}都具有性质P，求所有满足条件的数列{a n}．2020年上海市高考数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 下列等式恒成立的是( )A. a 2+b 2≤2abB. a 2+b 2≥−2abC. a +b ≥2√|ab|D. a 2+b 2≤−2ab【答案】B【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题．利用(a +b)2≥0恒成立，可直接得到a 2+b 2≥−2ab 成立，通过举反例可排除ACD ．【解答】解：A.显然当a <0，b >0时，不等式a 2+b 2≤2ab 不成立，故A 错误；B ．∵(a +b)2≥0，∴a 2+b 2+2ab ≥0，∴a 2+b 2≥−2ab ，故B 正确，D 错误； C.显然当a <0，b <0时，不等式a +b ≥2√|ab|不成立，故C 错误；故选：B ．2. 已知直线方程3x +4y +1=0的一个参数方程可以是( )A. { x =1+3t y =−1−4tB. {x =1−4t y =−1+3tC. {x =1−3t y =−1+4tD. {x =1+4ty =1−3t 【答案】B【解析】【分析】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化，是基本知识的考查．选项的参数方程，化为普通方程，判断即可．【解答】解：{ x =1+3t y =−1−4t的普通方程为：x−1y+1=−34，即4x +3y −1=0，不正确； {x =1−4t y =−1+3t的普通方程为：x−1y+1=−43，即3x +4y +1=0，正确； {x =1−3t y =−1+4t的普通方程为：x−1y+1=−34，即4x +3y −1=0，不正确； {x =1+4t y =1−3t的普通方程为：x−1y−1=−43，即3x +4y −7=0，不正确； 故选：B ．3.在棱长为10的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线交正方体于P,Q两点，则Q点所在的平面是()A. AA1B1BB. BB1C1CC. CC1D1DD. ABCD【答案】D【解析】【分析】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．【解答】解：如图，由点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，可得P在△AA1D内，过P作EF//A1D，且EF∩AA1于E，EF∩AD于F，在平面ABCD中，过F作FG//CD，交BC于G，则平面EFG//平面A1DC．连接AC，交FG于M，连接EM，∵平面EFG//平面A1DC，平面A1AC∩平面A1DC=A1C，平面A1AC∩平面EFM=EM，∴EM//A1C．在ΔEFM中，过P作PN//EM，且PN∩FM于N，则PN//A1C．∵线段FM在四边形ABCD内，N在线段FM上，∴N在四边形ABCD内．∴点N即为过点P且与A1C平行的直线与正方体的交点，即与点Q重合∴点Q在平面ABCD内故选：D．4.命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f(x+a)<f(x)+f(a)；命题q1:f(x)单调递减且f(x)>0恒成立；命题q2:f(x)单调递增，存在x0<0使得f(x0)=0，则下列说法正确的是()A. 只有q1是p的充分条件B. 只有q2是p的充分条件C. q1，q2都是p的充分条件D. q1，q2都不是p的充分条件【答案】C【解析】【分析】本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．对于命题q1：当a>0时，结合f(x)单调递减，可推出f(x+a)<f(x)<f(x)+f(a)，命题q1是命题p的充分条件．对于命题q2：当a=x0<0时，f(a)=f(x0)=0，结合f(x)单调递增，推出f(x+a)<f(x)，进而f(x+a)<f(x)+f(a)，命题q2都是p的充分条件．【解答】解：对于命题q1：当f(x)单调递减且f(x)>0恒成立时，当a>0时，此时x+a>x，又因为f(x)单调递减，所以f(x+a)<f(x)又因为f(x)>0恒成立时，所以f(x)<f(x)+f(a)，所以f(x+a)<f(x)+f(a)，所以命题q1⇒命题p，对于命题q2：当f(x)单调递增，存在x0<0使得f(x0)=0，当a=x0<0时，此时x+a<x，f(a)=f(x0)=0，又因为f(x)单调递增，所以f(x+a)<f(x)，所以f(x+a)<f(x)+f(a)，所以命题p2⇒命题p，所以q1，q2都是p的充分条件，故选：C．二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5.已知集合A={1,2，4}，集合B={2,4，5}，则A∩B=．【答案】{2,4}【解析】【分析】本题考查交集及其运算，属于基础题．由交集的定义可得出结论．【解答】解：因为A={1,2，3}，B={2,4，5}，则A∩B={2,4}．故答案为：{2,4}．6.计算：limn→∞ n+13n−1=【答案】13【解析】【分析】本题考查数列的极限的求法，注意运用极限的运算性质，考查运算能力，是一道基础题．由极限的运算法则和重要数列的极限公式，可得所求值．【解答】解：，故答案为：13．7.已知复数z=1−2i(i为虚数单位)，则|z|=．【答案】√5【解析】【分析】本题考查复数模的求法，属于基础题．由已知直接利用复数模的计算公式求解．【解答】解：由z=1−2i，得|z|=√12+(−2)2=√5．故答案为：√5．8. 已知函数f(x)=x 3，f′(x)是f(x)的反函数，则f′(x)= 。

2020年上海高考数学试卷(参考答案)

2020年上海高考数学试卷(参考答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（上海卷）一、填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 已知集合，，求_______2. ________3. 已知复数z 满足（为虚数单位），则_______4. 已知行列式，则行列式_______5.已知，则_______6.已知a 、b 、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab=________7.已知，则的最大值为___________8.已知是公差不为零的等差数列，且，则___________9.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有____种排法。

10.椭圆，过右焦点F 作直线交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限已知都在椭圆上，且，，则直线的方程为______11.设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或”又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为______12、已知是平面内两两互不平等的向量，满足，{}1,2,4A ={}2,3,4B =A B =1lim31n n n →∞+=-12z i =-i z =126300a cd b =a c d b=()3f x x =()1f x -=20230x y y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩2z y x =-{}n a 1109a a a +=12910a a a a ++⋅⋅⋅=22143x y +=l ()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y y'0Q Q y +='FQ PQ ⊥l a R ∈R ()f x 0x R ∈()0f x 20x 0x x ()f x a =α且(其中)，则K 的最大值为________二、选择题（本题共有4小题，每题5分，共计20分） 13、下列不等式恒成立的是（） A 、 B 、 C 、 D 、14、已知直线的解析式为，则下列各式是的参数方程的是（）A 、B 、C 、D 、15、在棱长为10的正方体.中，为左侧面上一点，已知点到的距离为3，点到的距离为2，则过点且与平行的直线交正方体于、1,21,2,...i j k ==，，222a b ab +≤22-2a b ab +≥2a b ab +≥-2a b ab +≤l 3410x y -+=l 4334x ty t=+⎧⎨=-⎩4334x t y t =+⎧⎨=+⎩1413x ty t =-⎧⎨=+⎩1413x ty t =+⎧⎨=+⎩1111ABCD A B C D -P 11ADD A P 11A D P 1AA P 1A C P两点，则点所在的平面是（ ）A. B. C. D.16.、若存在,对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质，已知：单调递减，且恒成立；单调递增，存在使得，则是具有性质的充分条件是（）A 、只有B 、只有C 、D 、都不是三、解答题（本题共5小题，共计76分） 综合题分割17、已知边长为1的正方形ABCD ，沿BC 旋转一周得到圆柱体。

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考理科数学试题及答案

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考理科数学试题及答案

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考理科数学试题及答案创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会创作单位： 明德智语学校一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i +D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ） A ．32B ．155C ．105D ．3312. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）A.2-B.32- C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年上海市高考数学试卷+参考答案+详情解析

2020年上海市高考数学试卷+参考答案+详情解析

2020年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，则A∩B＝．2．（4分）计算：＝．3．（4分）已知复数z＝1﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝．4．（4分）已知函数f（x）＝x3，f′（x）是f（x）的反函数，则f′（x）＝．5．（4分）已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为．6．（4分）已知行列式＝6，则＝．7．（5分）已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab＝．8．（5分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则＝．9．（5分）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．10．（5分）已知椭圆C：+＝1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C 于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是．11．（5分）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件：（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；（2）关于x的方程f（x）＝a无实数解，则a的取值范围是．12．（5分）已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 14．（5分）已知直线方程3x+4y+1＝0的一个参数方程可以是（）A．B．C．D．15．（5分）在棱长为10的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线相交的面是（）A．AA1B1B B．BB1C1C C．CC1D1D D．ABCD 16．（5分）命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f（x+a）＜f（x）+f（a）；命题q1：f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立；命题q2：f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，则下列说法正确的是（）A．只有q1是p的充分条件B．只有q2是p的充分条件C．q1，q2都是p的充分条件D．q1，q2都不是p的充分条件三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角．18．（14分）已知函数f（x）＝sinωx，ω＞0．（1）f（x）的周期是4π，求ω，并求f（x）＝的解集；（2）已知ω＝1，g（x）＝f2（x）+f（﹣x）f（﹣x），x∈[0，]，求g（x）的值域．19．（14分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v＝，x为道路密度，q为车辆密度．v＝f（x）＝．（1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围；（2）已知道路密度x＝80，交通流量v＝50，求车辆密度q的最大值．20．（16分）已知双曲线Γ1：﹣＝1与圆Γ2：x2+y2＝4+b2（b＞0）交于点A（x A，y A）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x＞|x A|的部分．（1）若x A＝，求b的值；（2）当b＝，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2；（3）过点D（0，+2）斜率为﹣的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示•，并求•的取值范围．21．（18分）已知数列{a n}为有限数列，满足|a1﹣a2|≤|a1﹣a3|≤…≤|a1﹣a m|，则称{a n}满足性质P．（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；（2）若a1＝1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；（3）若{a n}是1，2，3，…，m的一个排列（m≥4），{b n}符合b k＝a k+1（k＝1，2，…，m﹣1），{a n}、{b n}都具有性质P，求所有满足条件的数列{a n}．2020年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，则A∩B＝{2，4} ．【分析】由交集的定义可得出结论．【解答】解：因为A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则A∩B＝{2，4}．故答案为：{2，4}．【点评】本题考查交集的定义，属于基础题．2．（4分）计算：＝．【分析】由极限的运算法则和重要数列的极限公式，可得所求值．【解答】解：＝＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查数列的极限的求法，注意运用极限的运算性质，考查运算能力，是一道基础题．3．（4分）已知复数z＝1﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝．【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解．【解答】解：由z＝1﹣2i，得|z|＝．故答案为：．【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．4．（4分）已知函数f（x）＝x3，f′（x）是f（x）的反函数，则f′（x）＝x，x∈R．【分析】由已知求解x，然后把x与y互换即可求得原函数的反函数．【解答】解：由y＝f（x）＝x3，得x＝，把x与y互换，可得f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x）＝．故答案为：．【点评】本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．5．（4分）已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为﹣1 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图阴影部分，化目标函数z＝y﹣2x为y＝2x+z，由图可知，当直线y＝2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，联立，解得，即A（1，1）．z有最大值为1﹣2×1＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（4分）已知行列式＝6，则＝ 2 ．【分析】直接利用行列式的运算法则求解即可．【解答】解：行列式＝6，可得3＝6，解得＝2．故答案为：2．【点评】本题考查行列式的应用，代数余子式的应用，是基本知识的考查．7．（5分）已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab＝36 ．【分析】分别由题意结合中位数，平均数计算方法得a+b＝13，＝3，解得a，b，再算出答案即可．【解答】解：因为四个数的平均数为4，所以a+b＝4×4﹣1﹣2＝13，因为中位数是3，所以＝3，解得a＝4，代入上式得b＝13﹣4＝9，所以ab＝36，故答案为：36．【点评】本题考查样本的数字特征，中位数，平均数，属于基础题．8．（5分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则＝．【分析】根据等差数列的通项公式可由a1+a10＝a9，得a1＝﹣d，在利用等差数列前n 项和公式化简即可得出结论．【解答】解：根据题意，等差数列{a n}满足a1+a10＝a9，即a1+a1+9d＝a1+8d，变形可得a1＝﹣d，所以＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的前n项和与等差数列通项公式的应用，注意分析a1与d的关系，属于基础题．9．（5分）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有180 种安排情况．【分析】根据题意，由组合公式得共有排法，计算即可得出答案．【解答】解：根据题意，可得排法共有＝180种．故答案为：180．【点评】本题考查组合数公式，解题关键是正确理解题意并熟悉组合数公式，属于基础题．10．（5分）已知椭圆C：+＝1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是x+y﹣1＝0 ．【分析】求出椭圆的右焦点坐标，利用已知条件求出直线的斜率，然后求解直线方程．【解答】解：椭圆C：+＝1的右焦点为F（1，0），直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，可知直线l的斜率为﹣1，所以直线l的方程是：y＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0．故答案为：x+y﹣1＝0．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用直线与直线的对称关系的应用，直线方程的求法，是基本知识的考查．11．（5分）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件：（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；（2）关于x的方程f（x）＝a无实数解，则a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．【分析】根据条件（1）可知x0＝0或1，进而结合条件（2）可得a的范围【解答】解：根据条件（1）可得x0＝0或1，又因为关于x的方程f（x）＝a无实数解，所以a≠0或1，故a∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题．12．（5分）已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是 6 ．【分析】设，，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得k的最大值．【解答】解：如图，设，，由||＝1，且|﹣|∈{1，2}，分别以A1，A2为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k的最大值为6．故答案为：6．【点评】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 【分析】利用（a+b）2≥0恒成立，可直接得到a2+b2≥﹣2ab成立，通过举反例可排除ACD．【解答】解：A．显然当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故A错误；B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥﹣2ab，故B正确；C．显然当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2不成立，故C错误；D．显然当a＞0，b＞0时，不等式a2+b2≤﹣2ab不成立，故D错误．故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题．14．（5分）已知直线方程3x+4y+1＝0的一个参数方程可以是（）A．B．C．D．【分析】选项的参数方程，化为普通方程，判断即可．【解答】解：的普通方程为：，即4x+3y﹣1＝0，不正确；的普通方程为：，即3x+4y+1＝0，正确；的普通方程为：，即4x+3y﹣1＝0，不正确；的普通方程为：，即3x+4y﹣7＝0，不正确；故选：B．【点评】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化，是基本知识的考查．15．（5分）在棱长为10的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线相交的面是（）A．AA1B1B B．BB1C1C C．CC1D1D D．ABCD【分析】由图可知点P在△AA1D内，过P作EF∥A1D，且EF∩AA1于E，EF∩AD于F，在平面ABCD中，过F作FG∥CD，交BC于G，由平面与平面平行的判定可得平面EFG ∥平面A1DC，连接AC，交FG于M，连接EM，再由平面与平面平行的性质得EM∥A1C，在△EFM中，过P作PN∥EM，且PN∩FM于N，可得PN∥A1C，由此说明过点P且与A1C平行的直线相交的面是ABCD．【解答】解：如图，由点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，可得P在△AA1D内，过P作EF∥A1D，且EF∩AA1于E，EF∩AD于F，在平面ABCD中，过F作FG∥CD，交BC于G，则平面EFG∥平面A1DC．连接AC，交FG于M，连接EM，∵平面EFG∥平面A1DC，平面A1AC∩平面A1DC＝A1C，平面A1AC∩平面EFM＝EM，∴EM∥A1C．在△EFM中，过P作PN∥EM，且PN∩FM于N，则PN∥A1C．∵线段FM在四边形ABCD内，N在线段FM上，∴N在四边形ABCD内．∴过点P且与A1C平行的直线相交的面是ABCD．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．16．（5分）命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f（x+a）＜f（x）+f（a）；命题q1：f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立；命题q2：f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，则下列说法正确的是（）A．只有q1是p的充分条件B．只有q2是p的充分条件C．q1，q2都是p的充分条件D．q1，q2都不是p的充分条件【分析】对于命题q1：当a＞0时，结合f（x）单调递减，可推出f（x+a）＜f（x）＜f（x）+f（a），命题q1是命题p的充分条件．对于命题q2：当a＝x0＜0时，f（a）＝f（x0）＝0，结合f（x）单调递增，推出f（x+a）＜f（x），进而f（x+a）＜f（x）+f （a），命题q2都是p的充分条件．【解答】解：对于命题q1：当f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立时，当a＞0时，此时x+a＞x，又因为f（x）单调递减，所以f（x+a）＜f（x）又因为f（x）＞0恒成立时，所以f（x）＜f（x）+f（a），所以f（x+a）＜f（x）+f（a），所以命题q1⇒命题p，对于命题q2：当f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，当a＝x0＜0时，此时x+a＜x，f（a）＝f（x0）＝0，又因为f（x）单调递增，所以f（x+a）＜f（x），所以f（x+a）＜f（x）+f（a），所以命题p2⇒命题p，所以q1，q2都是p的充分条件，故选：C．【点评】本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角．【分析】（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，依次求出圆面和矩形的面积，相加即可；（2）先利用线面垂直的判定定理证明AD1⊥平面ADB，连接CD1，则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角，再利用三角函数的知识求出cos∠D1CA即可．【解答】解：（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，∴S＝2×π×12+2π×1＝4π．故该圆柱的表面积为4π．（2）∵正方形ABC1D1，∴AD1⊥AB，又∠DAD1＝，∴AD1⊥AD，∵AD∩AB＝A，且AD、AB⊂平面ADB，∴AD1⊥平面ADB，即D1在面ADB上的投影为A，连接CD1，则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角，而cos∠D1CA＝＝，∴线段CD1与平面ABCD所成的角为arccos．【点评】本题考查圆柱的表面积、空间线面夹角问题，熟练掌握线面垂直的判定定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．18．（14分）已知函数f（x）＝sinωx，ω＞0．（1）f（x）的周期是4π，求ω，并求f（x）＝的解集；（2）已知ω＝1，g（x）＝f2（x）+f（﹣x）f（﹣x），x∈[0，]，求g（x）的值域．【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．（2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．【解答】解：（1）由于f（x）的周期是4π，所以ω＝，所以f（x）＝sin．令sin，故或，整理得或．故解集为{x|或，k∈Z}．（2）由于ω＝1，所以f（x）＝sin x．所以g（x）＝＝＝﹣＝﹣sin（2x+）．由于x∈[0，]，所以．，故，故．所以函数g（x）的值域为[﹣．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．（14分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v＝，x为道路密度，q为车辆密度．v＝f（x）＝．（1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围；（2）已知道路密度x＝80，交通流量v＝50，求车辆密度q的最大值．【分析】（1）易知v越大，x越小，所以v＝f（x）是单调递减函数，k＞0，于是只需令，解不等式即可；（2）把x＝80，v＝50代入v＝f（x）的解析式中，求出k的值，利用q＝vx可得到q 关于x的函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上q的最大值，取较大者即可．【解答】解：（1）∵v＝，∴v越大，x越小，∴v＝f（x）是单调递减函数，k＞0，当40≤x≤80时，v最大为85，于是只需令，解得x＞3，故道路密度x的取值范围为（3，40）．（2）把x＝80，v＝50代入v＝f（x）＝﹣k（x﹣40）+85中，得50＝﹣k•40+85，解得k＝．∴q＝vx＝，当0＜x＜40时，q单调递增，q＜100×40﹣135×≈4000；当40≤x≤80时，q是关于x的二次函数，开口向下，对称轴为x＝，此时q有最大值，为＞4000．故车辆密度q的最大值为．【点评】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档题．20．（16分）已知双曲线Γ1：﹣＝1与圆Γ2：x2+y2＝4+b2（b＞0）交于点A（x A，y A）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x＞|x A|的部分．（1）若x A＝，求b的值；（2）当b＝，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2；（3）过点D（0，+2）斜率为﹣的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示•，并求•的取值范围．【分析】（1）联立曲线Γ1与曲线Γ2的方程，以及x A＝，解方程可得b；（2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角；（3）设直线l：y＝﹣x+，求得O到直线l的距离，判断直线l与圆的关系：相切，可设切点为M，考虑双曲线的渐近线方程，只有当y A＞2时，直线l才能与曲线Γ有两个交点，解不等式可得b的范围，由向量投影的定义求得•，进而得到所求范围．【解答】解：（1）由x A＝，点A为曲线Γ1与曲线Γ2的交点，联立，解得y A＝，b＝2；（2）由题意可得F1，F2为曲线Γ1的两个焦点，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|＝8，2a＝4，所以|PF2|＝8﹣4＝4，因为b＝，则c＝＝3，所以|F1F2|＝6，在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝＝，由0＜∠F1PF2＜π，可得∠F1PF2＝arccos；（3）设直线l：y＝﹣x+，可得原点O到直线l的距离d＝＝，所以直线l是圆的切线，设切点为M，所以k OM＝，并设OM：y＝x与圆x2+y2＝4+b2联立，可得x2+x2＝4+b2，可得x＝b，y＝2，即M（b，2），注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当y A＞2时，直线l才能与曲线Γ有两个交点，由，可得y A2＝，所以有4＜，解得b2＞2+2或b2＜2﹣2（舍去），因为为在上的投影可得，•＝4+b2，所以•＝4+b2＞6+2，则•∈（6+2，+∞）．【点评】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．21．（18分）已知数列{a n}为有限数列，满足|a1﹣a2|≤|a1﹣a3|≤…≤|a1﹣a m|，则称{a n}满足性质P．（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；（2）若a1＝1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；（3）若{a n}是1，2，3，…，m的一个排列（m≥4），{b n}符合b k＝a k+1（k＝1，2，…，m﹣1），{a n}、{b n}都具有性质P，求所有满足条件的数列{a n}．【分析】（1）根据定义，验证两个数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P 即可；（2）假设公比q的等比数列满足性质p，可得：|a1﹣a1q n|≥|a1﹣a1q n﹣1|，推出（q﹣1）q n﹣1[q n﹣1（q+1）﹣2]≥0，通过q≥1，0＜q≤1时，﹣1≤q＜0时：q＜﹣1时，四种情况讨论求解即可．（3）设a1＝p，分p＝1时，当p＝m时，当p＝2时，当p＝m﹣1时，以及P∈{3，4，…，m﹣3，m﹣2}，五种情况讨论，判断数列{a n}的可能情况，分别推出{b n}判断是否满足性质P即可．【解答】解：（1）对于数列3，2，5，1，有|2﹣3|＝1，|5﹣3|＝2，|1﹣3|＝2，满足题意，该数列满足性质P；对于第二个数列4、3、2、5、1，|3﹣4|＝1，|2﹣4|＝2，|5﹣4|＝1．不满足题意，该数列不满足性质P．（2）由题意：|a1﹣a1q n|≥|a1﹣a1q n﹣1|，可得：|q n﹣1|≥|q n﹣1﹣1|，n∈{2，3，…，9}，两边平方可得：q2n﹣2q n+1≥q2n﹣2﹣2q n﹣1+1，整理可得：（q﹣1）q n﹣1[q n﹣1（q+1）﹣2]≥0，当q≥1时，得q n﹣1（q+1）﹣2≥0此时关于n恒成立，所以等价于n＝2时，q（q+1）﹣2≥0，所以，（q+2）（q﹣1）≥0，所以q≤﹣2，或q≥1，所以取q≥1，当0＜q≤1时，得q n﹣1（q+1）﹣2≤0，此时关于n恒成立，所以等价于n＝2时，q （q+1）﹣2≤0，所以（q+2）（q﹣1）≤0，所以﹣2≤q≤1，所以取0＜q≤1．当﹣1≤q＜0时：q n﹣1[q n﹣1（q+1）﹣2]≤0，当n为奇数时，得q n﹣1（q+1）﹣2≤0，恒成立，当n为偶数时，q n﹣1（q+1）﹣2≥0，不恒成立；故当﹣1≤q＜0时，矛盾，舍去．当q＜﹣1时，得q n﹣1[q n﹣1（q+1）﹣2]≤0，当n为奇数时，得q n﹣1（q+1）﹣2≤0，恒成立，当n为偶数时，q n﹣1（q+1）﹣2≥0，恒成立；故等价于n＝2时，q（q+1）﹣2≥0，所以（q+2）（q﹣1）≥0，所以q≤﹣2或q≥1，所以取q≤﹣2，综上q∈（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．（3）设a1＝p，p∈{3，4，…，m﹣3，m﹣2}，因为a1＝p，a2可以取p﹣1，或p+1，a3可以取p﹣2，或p+2，如果a2或a3取了p﹣3或p+3，将使{a n}不满足性质P；所以{a n}的前5项有以下组合：①a1＝p，a2＝p﹣1；a3＝p+1；a4＝p﹣2；a5＝p+2；②a1＝p，a2＝p﹣1；a3＝p+1；a4＝p+2；a5＝p﹣2；③a1＝p，a2＝p+1；a3＝p﹣1；a4＝p﹣2；a5＝p+2；④a1＝p，a2＝p+1；a3＝p﹣1；a4＝p+2；a5＝p﹣2；对于①，b1＝p﹣1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝1，与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于②，b1＝p﹣1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝3，|b4﹣b1|＝2与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于③，b1＝p+1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝3，|b4﹣b1|＝1与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于④b1＝p+1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝1，与{b n}满足性质P矛盾，舍去；所以P∈{3，4，…，m﹣3，m﹣2}，均不能同时使{a n}、{b n}都具有性质P．当p＝1时，有数列{a n}：1，2，3，…，m﹣1，m满足题意．当p＝m时，有数列{a n}：m，m﹣，…，3，2，1满足题意．当p＝2时，有数列{a n}：2，1，3，…，m﹣1，m满足题意．当p＝m﹣1时，有数列{a n}：m﹣1，m，m﹣2，m﹣3，…，3，2，1满足题意．所以满足题意的数列{a n}只有以上四种．【点评】本题考查数列的综合应用，不等式以及不等关系，二次函数的性质以及函数的相关性质的综合应用，考查分析问题解决问题的能力是难度大的题目，必须由高的数学思维逻辑修养才能解答．。

2020年上海市高考数学试卷-含详细解析

2020年上海市高考数学试卷-含详细解析

2020年上海市高考数学试卷副标题题号 一 二 三 总分 得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 下列等式恒成立的是( )A. a 2+b 2≤2abB. a 2+b 2≥−2abC. a +b ≥2√|ab|D. a 2+b 2≤−2ab 2. 已知直线方程3x +4y +1=0的一个参数方程可以是( )A. { x =1+3ty =−1−4tB. {x =1−4ty =−1+3tC. {x =1−3ty =−1+4tD. {x =1+4ty =1−3t3. 在棱长为10的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为左侧面ADD 1A 1上一点，已知点P到A 1D 1的距离为3，P 到AA 1的距离为2，则过点P 且与A 1C 平行的直线交正方体于P,Q 两点，则Q 点所在的平面是( )A. AA 1B 1BB. BB 1C 1CC. CC 1D 1DD. ABCD4. 命题p ：存在a ∈R 且a ≠0，对于任意的x ∈R ，使得f(x +a)<f(x)+f(a)； 命题q 1:f(x)单调递减且f(x)>0恒成立； 命题q 2:f(x)单调递增，存在x 0<0使得f(x 0)=0， 则下列说法正确的是( )A. 只有q 1是p 的充分条件B. 只有q 2是p 的充分条件C. q 1，q 2都是p 的充分条件D. q 1，q 2都不是p 的充分条件二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5. 已知集合A ={1,2，4}，集合B ={2,4，5}，则A ∩B = ．6. 计算：lim n→∞ n+13n−1= 7. 已知复数z =1−2i(i 为虚数单位)，则|z|= ．8. 已知函数f(x)=x 3，f′(x)是f(x)的反函数，则f′(x)= 。

9. 已知x 、y 满足{x +y −2≥0x +2y −3≤0y ≥0，则z =y −2x 的最大值为10. 已知行列式|1ab2cd 30|=6，则|ab cd|=11.已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab=．12.已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1+a10=a9，则a1+a2+⋯+a9a10=．13.从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．14.已知椭圆C:x24+y23=1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点(点P在第二象限)，若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l 的方程是．15.设a∈R，若存在定义域为R的函数f(x)同时满足下列两个条件：(1)对任意的x0∈R，f(x0)的值为x0或x02；(2)关于x的方程f(x)=a无实数解，则a的取值范围是．16.已知a1⃗⃗⃗⃗ ，a2⃗⃗⃗⃗ ，b1⃗⃗⃗ ，b2⃗⃗⃗⃗ ，…，b k⃗⃗⃗⃗ (k∈N∗)是平面内两两互不相等的向量，满足|a1⃗⃗⃗⃗ −a2⃗⃗⃗⃗ |=1，且|a i⃗⃗⃗ −b j⃗⃗⃗ |∈{1,2}(其中i=1，2，j=1，2，…，k)，则k的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．(1)求该圆柱的表面积；(2)正方形ABCD绕AB逆时针旋转π2至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角．18.已知函数f(x)=sinωx，ω>0．(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；(2)已知ω=1，g(x)=f 2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x ∈[0,π4]，求g(x)的值域．19. 在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v =qx ，x 为道路密度，q 为车辆密度．v =f(x)={100−135⋅(13)x ,0<x <40−k(x −40)+85,40≤x ≤80．(1)若交通流量v >95，求道路密度x 的取值范围；(2)已知道路密度x =80，交通流量v =50，求车辆密度q 的最大值．20. 已知双曲线Γ1:x 24−y 2b 2=1与圆Γ2:x 2+y 2=4+b 2(b >0)交于点A(x A ,y A )(第一象限)，曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x >|x A |的部分． (1)若x A =√6，求b 的值；(2)当b =√5，Γ2与x 轴交点记作点F 1、F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF 1|=8，求∠F 1PF 2； (3)过点D(0,b 22+2)斜率为−b2的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b 表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，并求OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21.已知数列{a n}为有限数列，满足|a1−a2|≤|a1−a3|≤⋯≤|a1−a m|，则称{a n}满足性质P．(1)判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；(2)若a1=1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；(3)若{a n}是1，2，3，…，m的一个排列(m≥4)，{b n}符合b k=a k+1(k=1,2，…，m−1)，{a n}、{b n}都具有性质P，求所有满足条件的数列{a n}．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题．利用(a +b)2≥0恒成立，可直接得到a 2+b 2≥−2ab 成立，通过举反例可排除ACD ． 【解答】解：A.显然当a <0，b >0时，不等式a 2+b 2≤2ab 不成立，故A 错误；B ．∵(a +b)2≥0，∴a 2+b 2+2ab ≥0，∴a 2+b 2≥−2ab ，故B 正确，D 错误； C.显然当a <0，b <0时，不等式a +b ≥2√|ab|不成立，故C 错误； 故选：B ．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化，是基本知识的考查． 选项的参数方程，化为普通方程，判断即可． 【解答】解：{ x =1+3ty =−1−4t 的普通方程为：x−1y+1=−34，即4x +3y −1=0，不正确； {x =1−4t y =−1+3t的普通方程为：x−1y+1=−43，即3x +4y +1=0，正确； {x =1−3t y =−1+4t的普通方程为：x−1y+1=−34，即4x +3y −1=0，不正确； {x =1+4t y =1−3t的普通方程为：x−1y−1=−43，即3x +4y −7=0，不正确； 故选：B ．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 【解答】 解：如图，由点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，可得P在△AA1D内，过P作EF//A1D，且EF∩AA1于E，EF∩AD于F，在平面ABCD中，过F作FG//CD，交BC于G，则平面EFG//平面A1DC．连接AC，交FG于M，连接EM，∵平面EFG//平面A1DC，平面A1AC∩平面A1DC=A1C，平面A1AC∩平面EFM=EM，∴EM//A1C．在ΔEFM中，过P作PN//EM，且PN∩FM于N，则PN//A1C．∵线段FM在四边形ABCD内，N在线段FM上，∴N在四边形ABCD内．∴点N即为过点P且与A1C平行的直线与正方体的交点，即与点Q重合∴点Q在平面ABCD内故选：D．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．对于命题q1：当a>0时，结合f(x)单调递减，可推出f(x+a)<f(x)<f(x)+f(a)，命题q1是命题p的充分条件．对于命题q2：当a=x0<0时，f(a)=f(x0)=0，结合f(x)单调递增，推出f(x+a)<f(x)，进而f(x+a)<f(x)+f(a)，命题q2都是p的充分条件．【解答】解：对于命题q1：当f(x)单调递减且f(x)>0恒成立时，当a>0时，此时x+a>x，又因为f(x)单调递减，所以f(x+a)<f(x)又因为f(x)>0恒成立时，所以f(x)<f(x)+f(a)，所以f(x+a)<f(x)+f(a)，所以命题q1⇒命题p，对于命题q2：当f(x)单调递增，存在x0<0使得f(x0)=0，当a=x0<0时，此时x+a<x，f(a)=f(x0)=0，又因为f(x)单调递增，所以f(x+a)<f(x)，所以f(x+a)<f(x)+f(a)，所以命题p2⇒命题p，所以q1，q2都是p的充分条件，故选：C．5.【答案】{2,4}【解析】【分析】本题考查交集及其运算，属于基础题．由交集的定义可得出结论．【解答】解：因为A={1,2，3}，B={2,4，5}，则A∩B={2,4}．故答案为：{2,4}．6.【答案】13【解析】【分析】本题考查数列的极限的求法，注意运用极限的运算性质，考查运算能力，是一道基础题．由极限的运算法则和重要数列的极限公式，可得所求值．【解答】解：，故答案为：13．7.【答案】√5【解析】【分析】本题考查复数模的求法，属于基础题． 由已知直接利用复数模的计算公式求解． 【解答】解：由z =1−2i ，得|z|=√12+(−2)2=√5． 故答案为：√5．8.【答案】√x 3【解析】【分析】本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域是原函数的值域，是基础题． 由已知求解x ，然后把x 与y 互换即可求得原函数的反函数． 【解答】解：由y =f(x)=x 3，得x =√y 3，把x 与y 互换，可得f(x)=x 3的反函数为f −1(x)=√x 3． 故答案为：√x 3．9.【答案】−1【解析】【分析】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件{x +y −2≥0x +2y −3≤0y ≥0作出可行域如图阴影部分，化目标函数z =y −2x 为y =2x +z ，由图可知，当直线y =2x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大， 联立{x +y −2=0x +2y −3=0，解得{x =1y =1，即A(1,1)． z 有最大值为1−2×1=−1． 故答案为：−1．10.【答案】2【解析】【分析】本题考查行列式的应用，代数余子式的应用，是基本知识的考查． 直接利用行列式的运算法则求解即可． 【解答】 解：行列式|1ab2cd 300|=6， 可得3|ab cd |=6，解得|a bcd|=2． 故答案为：2．11.【答案】36【解析】【分析】本题考查样本的数字特征，中位数，平均数，属于基础题． 分别由题意结合中位数，平均数计算方法得a +b =13，2+a 2=3，解得a ，b ，再算出答案即可．【解答】解：因为四个数的平均数为4，所以a +b =4×4−1−2=13，因为中位数是3，所以2+a 2=3，解得a =4，代入上式得b =13−4=9，所以ab =36， 故答案为：36．12.【答案】278【解析】【分析】本题考查等差数列的前n 项和与等差数列通项公式的应用，注意分析a 1与d 的关系，属于基础题．根据等差数列的通项公式可由a 1+a 10=a 9，得a 1=−d ，在利用等差数列前n 项和公式化简a 1+a 2+⋯+a 9a 10即可得出结论．【解答】解：根据题意，等差数列{a n }满足a 1+a 10=a 9，即a 1+a 1+9d =a 1+8d ，变形可得a 1=−d ， 所以a 1+a 2+⋯+a 9a 10=9a 1+9×8d 2a 1+9d=9a 1+36d a 1+9d=−9d+36d −d+9d=278．故答案为：278．13.【答案】180【解析】【分析】本题考查组合数公式，解题关键是正确理解题意并熟悉组合数公式，属于基础题．根据题意，由组合公式得共有C 61C 51C 42排法，计算即可得出答案． 【解答】解：根据题意，可得排法共有C 61C 51C 42=180种． 故答案为：180．14.【答案】x +y −1=0【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用直线与直线的对称关系的应用，直线方程的求法，是基本知识的考查．求出椭圆的右焦点坐标，利用已知条件求出直线的斜率，然后求解直线方程． 【解答】 解：椭圆C:x 24+y 23=1的右焦点为F(1,0)，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点(点P 在第二象限)， 若点Q 关于x 轴对称点为Q′，且满足PQ ⊥FQ′，可知直线l 的斜率为−1，所以直线l 的方程是：y =−(x −1)， 即x +y −1=0． 故答案为：x +y −1=0．15.【答案】(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)【解析】【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，属于中档题．根据条件(1)可知x 0=0或1，进而结合条件(2)可得a 的范围． 【解答】解：根据条件(1)可得x 0=0或1，又因为关于x 的方程f(x)=a 无实数解，所以a ≠0或1， 故a ∈(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)， 故答案为：(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)．16.【答案】6【解析】【分析】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题． 设OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 1⃗⃗⃗⃗ ，OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2⃗⃗⃗⃗ ，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得k 的最大值．【解答】解：如图，设OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 1⃗⃗⃗⃗ ，OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2⃗⃗⃗⃗ ，由|a1⃗⃗⃗⃗ −a2⃗⃗⃗⃗ |=1，且|a i⃗⃗⃗ −b j⃗⃗⃗ |∈{1,2}，分别以A1，A2为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k的最大值为6．故答案为：6．17.【答案】解：(1)该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，∴S=2×π×12+2π×1=4π．故该圆柱的表面积为4π．(2)∵正方形ABC1D1，∴AD1⊥AB，又∠DAD1=π2，∴AD1⊥AD，∵AD∩AB=A，且AD、AB⊂平面ADB，∴AD1⊥平面ADB，即D1在面ADB上的投影为A，连接CD1，则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角，而cos∠D1CA=ACCD1=√2√3=√63，∴线段CD1与平面ABCD所成的角为arccos√63．【解析】本题考查圆柱的表面积、空间线面夹角问题，熟练掌握线面垂直的判定定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于中档题．(1)该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，依次求出圆面和矩形的面积，相加即可；(2)先利用线面垂直的判定定理证明AD1⊥平面ADB，连接CD1，则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角，再利用三角函数的知识求出cos∠D1CA即可．18.【答案】解：(1)由于f(x)的周期是4π，所以ω=2π4π=12，所以f(x)=sin12x．令sin12x=12，故12x=2kπ+π6或2kπ+5π6，整理得x=4kπ+π3或x=4kπ+5π3．故解集为{x|x=4kπ+π3或x=4kπ+5π3，k∈Z}．(2)由于ω=1，所以f(x)=sinx．所以g(x)=sin2x+√3sin(−x)sin(π2−x)=1−cos2x2−√32sin2x=−√32sin2x−12cos2x+1 2=12−sin(2x+π6)．由于x∈[0,π4]，所以π6≤2x+π6≤2π3．1 2≤sin(2x+π6)≤1，故−1≤−sin(2x+π6)≤−12，故−12≤g(x)≤0．所以函数g(x)的值域为[−12,0]．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．19.【答案】解：(1)∵v=qx，∴v越大，x越小，∴v=f(x)是单调递减函数，k>0，当40≤x ≤80时，v 最大为85，于是只需令100−135⋅(13)x >95，解得x >3， 故道路密度x 的取值范围为(3,40)．(2)把x =80，v =50代入v =f(x)=−k(x −40)+85中， 得50=−k ⋅40+85，解得k =78．∴q =vx ={100x −135⋅(13)x ⋅x,0<x <40−78(x −40)x +85x,40≤x ≤80, 当0<x <40时，q 单调递增，q <100×40−135×(13)40×40≈4000；当40≤x ≤80时，q 是关于x 的二次函数，开口向下，对称轴为x =4807，此时q 有最大值，为−78×(4807)2+120×4807=288007>4000．故车辆密度q 的最大值为288007．【解析】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档题．(1)易知v 越大，x 越小，所以v =f(x)是单调递减函数，k >0，于是只需令100−135⋅(13)x >95，解不等式即可；(2)把x =80，v =50代入v =f(x)的解析式中，求出k 的值，利用q =vx 可得到q 关于x 的函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上q 的最大值，取较大者即可．20.【答案】解：(1)由x A =√6，点A 为曲线Γ1与曲线Γ2的交点，联立{x A 24−y A 2b 2=1x A 2+y A 2=4+b2，解得y A =√2，b =2；(2)由题意可得F 1，F 2为曲线Γ1的两个焦点，由双曲线的定义可得|PF 1|−|PF 2|=2a ，又|PF 1|=8，2a =4，所以|PF 2|=8−4=4，因为b =√5，则c =√4+5=3， 所以|F 1F 2|=6，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1|⋅|PF 2|=64+16−362×8×4=1116，由0<∠F 1PF 2<π，可得∠F 1PF 2=arccos 1116；(3)设直线l:y =−b2x +4+b 22，可得原点O 到直线l 的距离d =|4+b 22|√1+b 24=√4+b 2，所以直线l 是圆的切线，设切点为M ，所以k OM =2b ，并设OM:y =2b x 与圆x 2+y 2=4+b 2联立，可得x 2+4b 2x 2=4+b 2， 可得x =b ，y =2，即M(b,2)，注意直线l 与双曲线的斜率为负的渐近线平行， 所以只有当y A >2时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，由{x A 24−y A 2b 2=1x A 2+y A 2=4+b 2，可得y A2=b 4a+b 2，所以有4<b 44+b 2，解得b 2>2+2√5或b 2<2−2√5(舍去)， 因为OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影可得，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+b 2， 所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+b 2>6+2√5， 则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈(6+2√5,+∞)．【解析】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于较难题． (1)联立曲线Γ1与曲线Γ2的方程，以及x A =√6，解方程可得b ； (2)由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角；(3)设直线l:y =−b2x +4+b 22，求得O 到直线l 的距离，判断直线l 与圆的关系：相切，可设切点为M ，考虑双曲线的渐近线方程，只有当y A >2时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，解不等式可得b 的范围，由向量投影的定义求得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而得到所求范围．21.【答案】解：(1)对于数列3，2，5，1，有|2−3|=1，|5−3|=2，|1−3|=2，满足题意，该数列满足性质P ；对于第二个数列4、3、2、5、1，|3−4|=1，|2−4|=2，|5−4|=1.不满足题意，该数列不满足性质P ．(2)由题意：|a 1−a 1q n |≥|a 1−a 1q n−1|，可得：|q n −1|≥|q n−1−1|，n ∈{2,3，…，9}，两边平方可得：q 2n −2q n +1≥q 2n−2−2q n−1+1，整理可得：(q −1)q n−1[q n−1(q +1)−2]≥0，当q ≥1时，得q n−1(q +1)−2≥0此时关于n 恒成立，所以等价于n =2时，q(q +1)−2≥0，所以，(q +2)(q −1)≥0，所以q ≤−2，或q ≥1，所以取q ≥1，当0<q ≤1时，得q n−1(q +1)−2≤0，此时关于n 恒成立，所以等价于n =2时，q(q +1)−2≤0，所以(q +2)(q −1)≤0，所以−2≤q ≤1，所以取0<q ≤1． 当−1≤q <0时：q n−1[q n−1(q +1)−2]≤0，当n 为奇数时，得q n−1(q +1)−2≤0，恒成立，当n 为偶数时，q n−1(q +1)−2≥0，不恒成立；故当−1≤q <0时，矛盾，舍去．当q <−1时，得q n−1[q n−1(q +1)−2]≤0，当n 为奇数时，得q n−1(q +1)−2≤0，恒成立，当n 为偶数时，q n−1(q +1)−2≥0，恒成立；故等价于n =2时，q(q +1)−2≥0， 所以(q +2)(q −1)≥0，所以q ≤−2或q ≥1，所以取q ≤−2， 综上．(3)设a 1=p ，p ∈{3,4，…，m −3，m −2}，因为a 1=p ，a 2可以取p −1，或p +1，a 3可以取p −2，或p +2，如果a 2或a 3取了p −3或p +3，将使{a n }不满足性质P ；所以{a n }的前5项有以下组合： ①a 1=p ，a 2=p −1；a 3=p +1；a 4=p −2；a 5=p +2；②a1=p，a2=p−1；a3=p+1；a4=p+2；a5=p−2；③a1=p，a2=p+1；a3=p−1；a4=p−2；a5=p+2；④a1=p，a2=p+1；a3=p−1；a4=p+2；a5=p−2；对于①，b1=p−1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=1，与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于②，b1=p−1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=3，|b4−b1|=2与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于③，b1=p+1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=3，|b4−b1|=1与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于④b1=p+1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=1，与{b n}满足性质P矛盾，舍去；所以P∈{3,4，…，m−3，m−2}，均不能同时使{a n}、{b n}都具有性质P．当p=1时，有数列{a n}:1，2，3，…，m−1，m满足题意．当p=m时，有数列{a n}:m，m−，…，3，2，1满足题意．当p=2时，有数列{a n}:2，1，3，…，m−1，m满足题意．当p=m−1时，有数列{a n}:m−1，m，m−2，m−3，…，3，2，1满足题意．所以满足题意的数列{a n}只有以上四种．【解析】本题考查数列的综合应用，不等式以及不等关系，二次函数的性质以及函数的相关性质的综合应用，考查分析问题解决问题的能力是难度大的题目，必须由高的数学思维逻辑修养才能解答．(1)根据定义，验证两个数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P即可；(2)假设公比q的等比数列满足性质p，可得：|a1−a1q n|≥|a1−a1q n−1|，推出(q−1)q n−1[q n−1(q+1)−2]≥0，通过q≥1，0<q≤1时，−1≤q<0时：q<−1时，四种情况讨论求解即可．(3)设a1=p，分p=1时，当p=m时，当p=2时，当p=m−1时，以及P∈{3,4，…，m−3，m−2}，五种情况讨论，判断数列{a n}的可能情况，分别推出{b n}判断是否满足性质P即可．。

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷15

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷15

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）=（）A．﹣8B．8C．﹣8iD．8i2．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．63．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f （2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．5．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）6．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（）A．5B．8C．12D．188．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P 在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）A．B．C．D．212．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（）A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称B．C．D．f（x）既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则cotα=．14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种．（用数字作答）15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）等差数列{a n}的前n项和为S n．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项式．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．22．（12分）已知函数．（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；（II）设数列{a n}的通项a n=1+．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【考点】13：集合的确定性、互异性、无序性；1A：集合中元素个数的最值．【专题】11：计算题．【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a ∈A，b∈B}，所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选：B．【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．2．（5分）=（）A．﹣8B．8C．﹣8iD．8i【考点】A5：复数的运算．【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用1的立方虚根的性质（），化简即可．【解答】解：故选：A．【点评】复数代数形式的运算，是基础题．3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选：B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f （2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣．∴则函数f（2x+1）的定义域为．故选：B．【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．5．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数．注意反函数的定义域．【解答】解：设y=log2（1+），把y看作常数，求出x：1+=2y，x=，其中y＞0，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数：y=，故选：A．【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．6．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3a n+1+a n=0∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（）A．5B．8C．12D．18【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为2，写出出展开式中x2的系数，第二个因式y2的系数，即可得到结果．【解答】解：（x+1）3的展开式的通项为T r+1=C3r x r令r=2得到展开式中x2的系数是C32=3，（1+y）4的展开式的通项为T r+1=C4r y r令r=2得到展开式中y2的系数是C42=6，（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是：3×6=18，故选：D．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的．8．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P 在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．∵=，=，∴==，∵，∴，解得．故选：B．【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】53：导数的综合应用．【分析】由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，构造函数求出﹣2x在（，+∞）上的最值，可得a的取值范围．【解答】解：∵在（，+∞）上是增函数，故≥0在（，+∞）上恒成立，即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，令h（x）=﹣2x，则h′（x）=﹣﹣2，当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．∴h（x）＜h（）=3∴a≥3．故选：D．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】设AB=1，则AA 1=2，分别以的方向为x 轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．【解答】解：设AB=1，则AA 1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，故选：A．【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）A．B．C．D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=4+，x1x2=4．∴y1+y2=，y1y2=﹣16，又=0，∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0∴k=2．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（）A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称B．C．D．f（x）既是奇函数，又是周期函数【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对A、B两项加以验证，可得它们都正确．根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得f（x）=2sinx（1﹣sin2x），再换元：令t=sinx，得到关于t的三次函数，利用导数研究此函数的单调性可得f（x）的最大值为，故C 不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得D项正确．由此可得本题的答案．【解答】解：对于A，因为f（π+x）=cos（π+x）sin （2π+2x）=﹣cosxsin2x，f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin（2π﹣2x）=cosxsin2x，所以f （π+x）+f（π﹣x）=0，可得y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故A正确；对于B，因为f（+x）=cos（+x）sin（π+2x）=﹣sinx（﹣sin2x）=sinxsin2x，f（﹣x）=cos（﹣x）sin（π﹣2x）=sinxsin2x，所以f （+x）=f（﹣x），可得y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确；对于C，化简得f（x）=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx（1﹣sin2x），令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1﹣t2），﹣1≤t≤1，∵g（t）=2t（1﹣t2）的导数g'（t）=2﹣6t2=2（1+t）（1﹣t）∴当t∈（﹣1，﹣）时或t∈（，1）时g'（t）＜0，函数g（t）为减函数；当t∈（﹣，）时g'（t）＞0，函数g（t）为增函数．因此函数g（t）的最大值为t=﹣1时或t=时的函数值，结合g（﹣1）=0＜g（）=，可得g（t）的最大值为．由此可得f（x）的最大值为而不是，故C不正确；对于D，因为f（﹣x）=cos（﹣x）sin（﹣2x）=﹣cosxsin2x=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．因为f（2π+x）=cos（2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f （x），所以2π为函数的一个周期，得f（x）为周期函数．可得f （x）既是奇函数，又是周期函数，得D正确．综上所述，只有C项不正确．故选：C．【点评】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性．着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则cotα= 2．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】56：三角函数的求值．【分析】根据α是第三象限的角，得到cosα小于0，然后由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出cotα的值．【解答】解：由α是第三象限的角，得到cosα＜0，又sinα=﹣，所以cosα=﹣=﹣则cotα==2故答案为：2【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时注意α的范围．14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 480 种．（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有中方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有种方法，所以共有：=480．故答案为：480．【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题．15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是[，4]．【考点】7C：简单线性规划．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于 16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角根据题意得OC=，CK=在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即∴r2=4∴球O的表面积等于4πr2=16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）等差数列{a n}的前n项和为S n．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项式．【考点】85：等差数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由，结合等差数列的求和公式可求a 2，然后由，结合等差数列的求和公式进而可求公差d，即可求解通项公式【解答】解：设数列的公差为d由得，3∴a2=0或a2=3由题意可得，∴若a2=0，则可得d2=﹣2d2即d=0不符合题意若a2=3，则可得（6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d）解可得d=0或d=2∴a n=3或a n=2n﹣1【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，属于基础试题18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A ﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，又B为三角形的内角，则B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，则C=15°或C=45°．【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；M5：共线向量与共面向量．【专题】11：计算题；5G：空间角．【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，过点P作PO⊥平面ABCD于O，连接OA、OB、OD、OE．可证出四边形ABED是正方形，且O为正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，结合三垂线定理，证出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位线，可得OE∥CD，因此PB⊥CD；（II）由（I）的结论，证出CD⊥平面PBD，从而得到CD⊥PD．取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．连接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角，连接AG、EG，则EG∥PB，可得EG⊥OE．设AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的长，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π﹣arccos，即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大小．【解答】解：（I）取BC的中点E，连接DE，可得四边形ABED 是正方形过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA、OB、OD、OE∵△PAB与△PAD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD 因此，O是正方形ABED的对角线的交点，可得OE⊥OB∵PO⊥平面ABCD，得直线OB是直线PB在内的射影，∴OE⊥PB∵△BCD中，E、O分别为BC、BD的中点，∴OE∥CD，可得PB⊥CD；（II）由（I）知CD⊥PO，CD⊥PB∵PO、PB是平面PBD内的相交直线，∴CD⊥平面PBD∵PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，则FG为△PCD有中位线，∴FG∥CD，可得FG⊥PD连接AF，由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角连接AG、EG，则EG∥PB∵PB⊥OE，∴EG⊥OE，设AB=2，则AE=2，EG=PB=1，故AG==3在△AFG中，FG=CD=，AF=，AG=3∴cos∠AFG==﹣，得∠AFG=π﹣arccos，即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccos．【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识，属于中档题．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．（II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．【解答】解：（I）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．则A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）=；（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，则P（X=0）=P（B 1B2）=P（B1）P（B2）P（）=．P（X=2）=P（B 3）=P（）P（B3）=．P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=．从而EX=0×+1×+2×=．【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A （x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k 的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b2=8a2所以C的方程为8x2﹣y2=8a2将y=2代入上式，并求得x=±，由题设知，2=，解得a2=1所以a=1，b=2（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是|AF1|==﹣（3x1+1），|BF1|==3x2+1，|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即故=，解得，从而=﹣由于|AF2|==1﹣3x1，|BF2|==3x2﹣1，故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．22．（12分）已知函数．（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；（II）设数列{a n}的通项a n=1+．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；8E：数列的求和；8K：数列与不等式的综合．【专题】16：压轴题；35：转化思想；53：导数的综合应用；54：等差数列与等比数列．【分析】（I）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值；（II）根据（I）的证明，可取λ=，由于x＞0时，f（x）＜0得出，考察发现，若取x=，则可得出，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论【解答】解：（I）由已知，f（0）=0，f′（x）==，∴f′（0）=0欲使x≥0时，f（x）≤0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，+∞）上f′（x）＜0恒成立，当λ≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意，若0＜λ＜时，由f′（x）＞0解得x＜，则当0＜x＜，f′（x）＞0，所以当0＜x＜时，f（x）＞0，此时不合题意，若λ≥，则当x＞0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上必为减函数，所以当x＞0时，f（x）＜0恒成立，综上，符合题意的λ的取值范围是λ≥，即λ的最小值为（ II）令λ=，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即取x=，则于是a2n﹣a n+=++…++====＞=ln2n﹣lnn=ln2所以【点评】本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷理科9

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷理科9

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷理科创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．2．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=RC．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p44．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．85．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15B．20C．30D．357．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10B．12C．14D．168．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+29．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C 交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16B．14C．12D．1011．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5zB．5z＜2x＜3yC．3y＜5z＜2xD．3y＜2x＜5z 12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A 与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t 为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．2．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=RC．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x ﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15B．20C．30D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10B．12C．14D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin （2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C 交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16B．14C．12D．10【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y 1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5zB．5z＜2x＜3yC．3y＜5z＜2xD．3y＜2x＜5z 【考点】72：不等式比较大小．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n ≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=2．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为﹣5．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c 的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A （a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为4cm3．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】法一：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S △ABC=3，V==，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f （x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．法二：设正三角形的边长为x，则OG=，FG=SG=5﹣，SO=h===，由此能示出三棱锥的体积的最大值．【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD ⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=，∴FG=SG=5﹣，SO=h===，∴三棱锥的体积V===，令b（x）=5x4﹣，则，令b'（x）=0，则4x3﹣=0，解得x=4，∴（cm3）．故答案为：4cm3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB ⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A 与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性。

2020年上海高考数学真题试卷(word解析版)

2020年上海高考数学真题试卷(word解析版)

⎨ ⎩ 2 2020 年全国高考数学真题试卷及解析（上海卷）一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）1. 已知集合 A = {1 ，2， 4} ，集合 B = {2 ，4， 5} ，则 AB = ．2. 计算： limn + 1= ．n →∞3n -13. 已知复数 z = 1 - 2i (i 为虚数单位），则| z |=．4. 已知函数 f (x ) = x 3 ， f '(x ) 是 f (x ) 的反函数，则 f '(x ) = ．⎧x + y - 2 05. 已知 x 、 y 满足⎪x + 2 y - 3… 0 ，则z = y - 2x 的最大值为 ．⎪ y 01 6. 已知行列式2 a ba b c d = 6 ，则 =．3 0 0c d7. 已知有四个数 1，2， a ， b ，这四个数的中位数是 3，平均数是 4，则ab =．8. 已知数列{a } 是公差不为零的等差数列，且a + a = a ，则 a 1 + a 2 +⋯+ a 9= ．n 1 10 9a 109. 从 6 个人挑选 4 个人去值班，每人值班一天，第一天安排 1 个人，第二天安排 1 个人，第三天安排 2 个人，则共有 种安排情况．2 10. 已知椭圆C : x + y= 1 的右焦点为 F ，直线l 经过椭圆右焦点 F ，交椭圆C 于 P 、Q 两4 3点（点 P 在第二象限），若点Q 关于 x 轴对称点为Q ' ，且满足PQ ⊥ FQ ' ，求直线l 的方程是 ．11. 设a ∈ R ，若存在定义域为 R 的函数 f (x ) 同时满足下列两个条件： （1） 对任意的 x ∈ R ， f (x ) 的值为 x 或 x 2 ；⎨ y = -1 - 4t⎨y = -1 + 3t ⎨y = -1 + 4t⎨y = 1 - 3t （2） 关于 x 的方程 f (x ) = a 无实数解，则 a 的取值范围是 ．12.已知a 1 ，a 2 ，b 1 ，b 2 ， ，b k (k ∈ N *) 是平面内两两互不相等的向量，满足| a 1 - a 2 |= 1 ，且| a i - b j |∈{1 ， 2} （其中i = 1 ，2， j = 1 ，2， ， k ) ，则k 的最大值是．二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13.下列等式恒成立的是( )A. a 2 + b 2… 2abB. a 2 + b 2…- 2abC. a + b …2D. a 2 + b 2…- 2ab14.已知直线方程3x + 4 y + 1 = 0 的一个参数方程可以是( )A. ⎧ x = 1 + 3t⎩ (t 为参数） B ． ⎧x = 1 - 4t ⎩ (t 为参数）C ． ⎧x = 1 - 3t ⎩ (t 为参数）D ． ⎧x = 1 + 4t (t 为参数） ⎩15.在棱长为 10 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，P 为左侧面 ADD 1 A 1 上一点，已知点 P 到 A 1 D 1的距离为 3， P 到 AA 1 的距离为 2，则过点 P 且与 A 1C 平行的直线相交的面是()A. AA 1 B 1 BB ． BB 1C 1CC ． CC 1D 1 DD ． ABCD16.命题 p ：存在a ∈ R 且a ≠ 0 ，对于任意的 x ∈ R ，使得 f (x + a ) < f (x ) + f （a ）；| ab |命题q1: f (x) 单调递减且f (x) > 0 恒成立；命题q2 : f (x) 单调递增，存在x< 0 使得f (x) = 0 ，则下列说法正确的是( )A.只有q1 是p 的充分条件B．只有q2是p 的充分条件C．q1 ，q2都是p 的充分条件D．q1，q2都不是p 的充分条件三、解答题（本大题共5 题，共14+14+14+16+18＝76 分）17．（14 分）已知ABCD 是边长为1 的正方形，正方形ABCD 绕AB 旋转形成一个圆柱．（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形ABCD 绕AB 逆时针旋转π至ABC D ，求线段CD 与平面ABCD 所成的角．2 1 1 118．（14 分）已知函数f (x) = sin ωx ，ω> 0 ．（1）f (x) 的周期是4π，求ω，并求f (x) =1的解集；2（2）已知ω= 1 ，g(x) =f 2 (x) + 3 f (-x) f (π-x) ，x ∈[0 ，π] ，求g(x) 的值域．246 ⎨19．（14 分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 v = q， x 为道路密度， q 为车x 辆密度．⎧100 - 135 (1)x , 0 < x < 40 v = f (x ) = ⎪3． ⎪⎩-k (x - 40) + 85, 40剟x 80（1） 若交通流量v > 95 ，求道路密度 x 的取值范围；（2） 已知道路密度 x = 80 ，交通流量v = 50 ，求车辆密度q 的最大值．x 2 y 2 Γ2 2 220．（16 分）已知双曲线Γ1 : 4 - = 1与圆 b2 2 : x + y = 4 + b (b > 0) 交于点 A (x A ， y A ) （第一象限），曲线Γ 为Γ1 、Γ2 上取满足 x >| x A | 的部分．（1） 若 x A = ，求b 的值；（2） 当b=5 ，Γ2 与 x 轴交点记作点 F 1 、F 2 ，P 是曲线Γ 上一点，且在第一象限，且| PF 1 |= 8 ，求∠F 1 PF 2 ；（3） 过点 D (0, b 2+ 2) 斜率为- b的直线l 与曲线Γ 只有两个交点，记为 M 、 N ，用b 表示2OM ON ，并求OM ON 的取值范围．21．（18 分）已知数列{a n } 为有限数列，满足| a 1 - a 2 |剟| a 1 - a 3 | ⋯? | a 1 - a m | ，则称{a n } 满足性质 P ．（1） 判断数列 3、2、5、1 和 4、3、2、5、1 是否具有性质 P ，请说明理由；（2） 若a 1 = 1 ，公比为q 的等比数列，项数为 10，具有性质 P ，求q 的取值范围；（3） 若{a n } 是 1，2，3， ，m 的一个排列(m …4) ，{b n } 符合b k = a k +1 (k = 1，2， ，m - 1) ，{a n } 、{b n } 都具有性质 P ，求所有满足条件的数列{a n } ．212 + (-2)2 5 5 3 y 3 x ⎨ ⎩4． 3 x参考答案1. {2 ， 4}【解析】因为 A = {1 ，2， 3} ， B = {2 ，4， 5} ，则 A B = {2 ， 4} ．故答案为：{2 ， 4} ．2.13【解析】lim n + 1 = lim1 + 1 n =1 + lim 1 n →∞ n = 1 + 0 = 1，故答案为： 1．n →∞ 3n -1 n →∞ 3 -1 n3 - lim 1 n →∞ n 3 - 0 3 33.【解析】由 z = 1 - 2i ，得| z |= = ．故答案为： ．【解析】由 y = f (x ) = x 3 ，得 x = ，把 x 与 y 互换，可得 f (x ) = x 3 的反函数为 f -1(x ) = ．故答案为： 3 x ．5．-1⎧x + y - 2 0【解析】由约束条件⎪x + 2 y - 3… 0 作出可行域如图阴影部分，⎪ y …0 5⎨x + 2 y - 3 = 0 ⎨y = 1化目标函数 z = y - 2x 为 y = 2x + z ，由图可知，当直线 y = 2x + z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，联立⎧x + y - 2 = 0 ⎩ ，解得⎧x = 1 ，即 A (1,1) ．⎩z 有最大值为1- 2⨯1 = -1．故答案为： -1 ．6．21 【解析】行列式 2a b c d = 6 ，可得3a b= 6 ，解得 a b= 2 ． 3 0 0c d c d故答案为：2．7．36【解析】因为四个数的平均数为 4，所以a + b = 4 ⨯ 4 - 1 - 2 = 13 ，因为中位数是 3，所以 2 + a = 3 ，解得a = 4 ，代入上式得b = 13 - 4 = 9 ，2所以ab = 36 ，故答案为：36．8．278【解析】根据题意，等差数列{a n } 满足a 1 + a 10 = a 9 ，即a 1 + a 1 + 9d = a 1 + 8d ，变形可得a 1 = -d ，所以 a 1+ a 2 +⋯+ a 9 =9a 1 + 9 ⨯ 8d 2=9a 1 + 36d = -9d + 36d = 27 ．a 10a 1 + 9da 1 + 9d -d + 9d86 5 4 2 故答案为：27 ．89．180【解析】根据题意，可得排法共有C 1C 1C 2=180 种．故答案为：180．10. x + y - 1 = 02【解析】椭圆C :x+y= 1 的右焦点为 F (1, 0) ，4 3直线l 经过椭圆右焦点 F ，交椭圆C 于 P 、Q 两点（点 P 在第二象限），若点Q 关于 x 轴对称点为Q ' ，且满足 PQ ⊥ FQ ' ，可知直线l 的斜率为-1 ，所以直线l 的方程是： y = -(x - 1) ，即 x + y - 1 = 0 ． 故答案为： x + y - 1 = 0 ．11. (-∞ ， 0) ⋃(0 ，1) ⋃(1 ， +∞)【解析】根据条件（1）可得 f (0) = 0 或 f （1） =1， 又因为关于 x 的方程 f (x ) = a 无实数解，所以a ≠ 0 或 1，故 a ∈ (-∞ ， 0) ⋃(0 ，1) ⋃(1 ， +∞) ， 故答案为： (-∞ ， 0) ⋃(0 ，1) ⋃(1 ， +∞) ．12．6OA 2 = a 2 ⎨y = -1 - 4t⎩⎩ 【解析】如图，设OA 1 = a 1 ， ，由| a 1 - a 2 |= 1 ，且| a i - b j |∈{1 ， 2} ，分别以 A 1 ， A 2 为圆心，以 1 和 2 为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有 6 个．故满足条件的k 的最大值为 6．故答案为：6． 13．B【解析】 A ．显然当a < 0 ， b > 0 时，不等式a 2 + b 2… 2ab 不成立，故 A 错误；B ． (a + b )2…0 ，∴ a 2 + b 2 + 2ab …0 ，∴ a 2 + b 2…- 2ab ，故 B 正确；C ．显然当a < 0 ， b < 0 时，不等式a + b …2 不成立，故C 错误；D ．显然当a > 0 ， b > 0 时，不等式a 2 + b 2… - 2ab 不成立，故 D 错误．故选： B ．14．B【解析】⎧ x = 1 + 3t ⎩ (t 为参数）的普通方程为： x -1 =- 3 ，即4x + 3y - 1 = 0 ，不正确；y + 1 4⎧x = 1 - 4t⎨y = -1 + 3t (t 为参数）的普通方程为： x -1 =- 4 ，即3x + 4 y + 1 = 0 ，正确； y + 1 3⎧x = 1 - 3t⎨y = -1 + 4t(t 为参数）的普通方程为： x -1 =- 3 ，即4x + 3y - 1 = 0 ，不正确； y + 1 4 | ab |FM ⎩ ⎧x = 1 + 4t (t 为参数）的普通方程为：x -1 =- 4，即3x + 4 y - 7 = 0 ，不正确；故选： B ． ⎨y = 1 - 3ty -1 315．D【解析】如图，由点 P 到 A 1 D 1 的距离为 3， P 到 AA 1 的距离为 2，可得 P 在△ AA 1D 内，过 P 作EF / / A 1 D ，且 EF AA 1 于 E ， EF AD 于 F ，在平面 ABCD 中，过 F 作 FG / /CD ，交 BC 于G ，则平面 EFG / / 平面 A 1DC ．连接 AC ，交FG 于 M ，连接 EM ， 平面 EFG / / 平面 A DC ，平面 A AC ⋂平面 A DC = AC ， 1111平面 A AC ⋂平面 EFM = EM ，∴ EM / / AC ．11在∆EFM 中，过 P 作 PN / / EM ，且 PN 于N ，则 PN / / A 1C ．线段 FM 在四边形 ABCD 内， N 在线段 FM 上，∴ N 在四边形 ABCD 内．∴过点 P 且与 A 1C 平行的直线相交的面是 ABCD ．故选： D ．16．C【解析】对于命题 q 1 ：当 f (x ) 单调递减且 f (x ) > 0 恒成立时，当 a > 0 时，此时 x + a > x ，又因为 f (x ) 单调递减，所以 f (x + a ) < f (x )2 3 1 又因为 f (x ) > 0 恒成立时，所以 f (x ) < f (x ) + f （a ），所以 f (x + a ) < f (x ) + f （a ），所以命题 q 1 ⇒ 命题 p ，对于命题q 2 ：当 f (x ) 单调递增，存在 x 0 < 0 使得 f (x 0 ) = 0 ，当 a = x 0 < 0 时，此时 x + a < x ， f （a ） = f (x 0 ) = 0 ，又因为 f (x ) 单调递增，所以 f (x + a ) < f (x ) ，所以 f (x + a ) < f (x ) + f （a ），所以命题 p 2 ⇒ 命题 p ，所以 q 1 ， q 2 都是 p 的充分条件，故选： C ．17.【解析】（1）该圆柱的表面由上下两个半径为 1 的圆面和一个长为2π 、宽为 1 的矩形组成，∴ S = 2 ⨯ π ⨯12 + 2π ⨯1 = 4π ．故该圆柱的表面积为4π ． （2） 正方形 ABC 1 D 1 ，∴ AD 1 ⊥ AB ，又∠DAD = π，∴ AD ⊥ AD ，121AD AB = A ，且 AD 、 AB ⊂ 平面 ADB ，∴ AD 1 ⊥ 平面 ADB ，即 D 1 在面 ADB 上的投影为 A ，连接CD 1 ，则∠D 1CA 即为线段CD 1 与平面 ABCD 所成的角，而cos ∠D CA = AC = =6 ，∴线段CD 与平面 ABCD 所成的角为arccos 6 ． CD 1 3 318.【解析】（1）由于 f (x ) 的周期是4π ，所以ω =2π= 1 ，所以 f (x ) = sin 1x ． 4π 2 2令sin 1 x = 1 ，故 1 x = 2k π + π 或2k π + 5π ，整理得 x = 4k π + π 或 x = 4k π + 5π．22266 33故解集为{x | x = 4k π +π或 x = 4k π + 5π ， k ∈ Z }．33（2）由于ω = 1 ，所以 f (x ) = sin x ．所以g (x ) = sin 2 x + 3 sin(-x ) s in(π - x ) =1 - cos 2x - 3 sin 2x = - 3 sin 2x - 1 cos 2x + 1 = 1 - sin(2x + π) 2 2 2 2 2 2 2 61(1)x> 95 36 135 ( ) ⎨ A A由于 x ∈[0 ， π ]，所以 π 剟2x +π2π ．46 631 剟sin(2x + π ) 1 ，故-1剟- sin(2x + π ) - 1 ，故- 1剟g (x ) 0 ． 2 6 6 2 2所以函数 g (x ) 的值域为[- 1, 0] ．219. 【解析】（1） ，∴v 越大， x 越小，∴v = f (x ) 是单调递减函数， k > 0 ，当 40剟x 80 时， v 最大为 85，于是只需令100 -135 ，解得x > 3 ，故道路密度 x 的取值范围为(3, 40) ．（2）把 x = 80 ， v = 50 代入v = f (x ) = -k (x - 40) + 85 中，得50 = -k 40 + 85 ，解得k = 7．8⎧100x - 1 x x , 0 < x < 40 ∴ q = vx = ⎪ ⎪- 7 ⎪⎩ 83 ， (x - 40)x + 85x , 40剟x 80当0 < x < 40 时， q 单调递增， q < 100 ⨯ 40 -135 ⨯ (1)40⨯ 40 ≈ 4000 ； 3当 40剟x 80 时， q 是关于 x 的二次函数，开口向下，对称轴为 x =480 ，7此时q 有最大值，为- 7 ⨯ (480)2 + 120 ⨯ 480 = 28800> 4000 ． 87 7 7故车辆密度q 的最大值为28800 ．7⎧ x 2 y 2⎪ A - A= 1 20. 【解析】（1）由 x A = ，点 A 为曲线Γ1 与曲线Γ2 的交点，联立⎨ 4 b2，解 ⎪⎩x 2 + y 2 = 4 + b 2 v = qx2 5 1 + b 244 + b 2 得 y A = ， b = 2 ；（2） 由题意可得 F 1 ， F 2 为曲线Γ1 的两个焦点，由双曲线的定义可得| PF 1 | - | PF 2 |= 2a ，又| PF 1 |= 8 ， 2a = 4 ，所以| PF 2 |= 8 - 4 = 4 ，因为b = ，则c = = 3 ，| PF |2 + | PF |2 - | F F |2所以| FF |= 6 ，在△ PF F 中，由余弦定理可得cos ∠F PF =121 21 2 1 22 | PF 1 | | PF 2 |= 64 + 16 - 36 = 11 ，由0 < ∠F PF< π ，可得∠F PF = arccos 11 ；2 ⨯ 8 ⨯ 4 16 121 2 16b 4 + b 24 + b 2| | （3） 设直线l : y = - x +，可得原点O 到直线l 的距离d = 2 2 2 = ，所以直线l 是圆的切线，设切点为 M ，所以k= 2 ，并设OM : y = 2 x 与圆x 2 + y 2 = 4 + b 2 联立，可得 x 2 + 4x 2 = 4 + b 2 ， OMb b b 2可得 x = b ， y = 2 ，即 M (b , 2) ，注意直线l 与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当 y A > 2 时，直线l 才能与曲线Γ 有两个交点，⎧ x 2 y 2⎪ A - A= 12 b 4 由⎨ 4 b 2 ，可得 y A = ， ⎪ 22 2 a + b 2 ⎩x A + y A = 4 + b所以有4 < b 44 + b 2，解得b 2 > 2 + 2 5 或b 2 < 2 - 2（舍去），因为OM 为 在OM 上的投影可得， OM ON = 4 + b 2 ，所以OM ON = 4 + b 2 > 6 + 2 ，则OM ON ∈(6 + 2 ， +∞) ．4 +5 5 ON 5 5 1 221.【解析】（1）对于数列3，2，5，1，有| 2 - 3 |= 1 ，| 5 - 3 |= 2 ，| 1 - 3 |= 2 ，满足题意，该数列满足性质P ；对于第二个数列4、3、2、5、1，| 3 - 4 |= 1 ，| 2 - 4 |= 2 ，| 5 - 4 |= 1．不满足题意，该数列不满足性质P ．（2）由题意：| a -a q n|…|a -a q n-1 | ，可得：| q n-1| …| q n-1-1| ，n ∈{2 ，3，，9} ，1 1 1 1两边平方可得：q2n- 2q n+1…q2n-2- 2q n-1+1，整理可得：(q -1)q n-1[q n-1(q +1) -2]…0，当q…1时，得q n-1(q +1) -2…0此时关于n 恒成立，所以等价于n = 2 时，q(q + 1) -2…0 ，所以，(q + 2)(q -1)…0，所以q… - 2 ，或q…1，所以取q…1，当0 <q… 1时，得q n-1(q +1) - 2… 0 ，此时关于n 恒成立，所以等价于n = 2 时，q(q +1) - 2… 0 ，所以(q + 2)(q -1)… 0 ，所以-2剟q1，所以取0 <q… 1．当-1… q < 0 时：q n-1[q n-1(q +1) -2]… 0，当n 为奇数时，得q n-1(q +1) - 2… 0 ，恒成立，当n 为偶数时，q n-1(q +1) -2…0，不恒成立；故当-1… q < 0 时，矛盾，舍去．当q <-1 时，得q n-1[q n-1(q +1) - 2]… 0 ，当n 为奇数时，得q n-1(q +1) - 2… 0 ，恒成立，当n 为偶数时，q n-1(q +1) -2…0，恒成立；故等价于n = 2 时，q(q +1) -2…0，所以(q + 2)(q -1)…0，所以q…-2 或q…1，所以取q…-2 ，综上q ∈ (-∞，-2] (0, +∞) ．（3）设a1=p ，p ∈{3 ，4，，m - 3 ，m - 2} ，因为a 1 = p ， a 2 可以取 p - 1 ，或 p + 1 ， a 3 可以取 p - 2 ，或 p + 2 ，如果a 2 或 a 3 取了 p - 3 或 p + 3 ，将使{a n } 不满足性质 P ；所以{a n } 的前 5 项有以下组合：① a 1 = p ， a 2 = p - 1 ； a 3 = p + 1 ； a 4 = p - 2 ； a 5 = p + 2 ；② a 1 = p ， a 2 = p - 1 ； a 3 = p + 1 ； a 4 = p + 2 ； a 5 = p - 2 ；③ a 1 = p ， a 2 = p + 1 ； a 3 = p - 1 ； a 4 = p - 2 ； a 5 = p + 2 ；④ a 1 = p ， a 2 = p + 1 ； a 3 = p - 1 ； a 4 = p + 2 ； a 5 = p - 2 ；对于①， b 1 = p - 1 ， | b 2 - b 1 |= 2 ， | b 3 - b 1 |= 1 ，与{b n } 满足性质 P 矛盾，舍去；对于②， b 1 = p - 1 ， | b 2 - b 1 |= 2 ， | b 3 - b 1 |= 3 ， | b 4 - b 1 |= 2 与{b n } 满足性质 P 矛盾，舍去；对于③， b 1 = p + 1， | b 2 - b 1 |= 2 ， | b 3 - b 1 |= 3 ， | b 4 - b 1 |= 1 与{b n } 满足性质 P 矛盾，舍去；对于④ b 1 = p + 1， | b 2 - b 1 |= 2 ， | b 3 - b 1 |= 1 ，与{b n } 满足性质 P 矛盾，舍去；所以 P ∈{3 ，4， ， m - 3 ， m - 2} ，均不能同时使{a n } 、{b n } 都具有性质P ．当 p = 1 时，有数列{a n }:1，2，3， ， m - 1 ， m 满足题意．当 p = m 时，有数列{a n }: m ， m -， ，3，2，1 满足题意．当 p = 2 时，有数列{a n }: 2 ，1，3， ， m - 1 ， m 满足题意．当 p = m - 1 时，有数列{a n }: m -1 ， m ， m - 2 ， m - 3 ， ，3，2，1 满足题意．所以满足题意的数列{a n } 只有以上四种。

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷普通高等学校招生全国统一考试数 学文科

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷普通高等学校招生全国统一考试数 学文科

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷普通高等学校招生全国统一考试数 学文科第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）．若A 位全体实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ）A ．}{2,1AB =--B ．()(,0)RC A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞D ．}{()2,1R C A B =--（2）．若(2,4)AB =，(1,3)AC =, 则BC =（ ）A ． （1，1）B ．（－1，－1）C ．（3，7）D ．（-3,-7）（3）．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖（4）．0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（5）．在三角形ABC 中，5,3,7AB AC BC ===,则BAC ∠的大小为（ ）A ．23π B ．56π C ．34π D ．3π （6）．函数2()(1)1(0)f x x x =-+≤的反函数为A．1()11)f x x -=-≥B ．1()11)f x x -=+≥C．1()12)f x x -=-≥ D ．1()12)f x x -=≥（7）．设88018(1),x a a x a x +=+++则0,18,,a a a 中奇数的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5（8）．函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=（9）．设函数1()21(0),f x x x x=+-< 则()f x （ ）A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数（10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A．[ B．(C．[D．(,)33-（11） 若A 为不等式组02x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为( )A ．34B ．1C ．74D ．5（12）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( ) A ．2686C AB ． 2283C AC ．2286C AD ．2285C A普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（文科） 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷．．．．．．．．．．．．．．上书写作答无效．．．．．．．．．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． （13）．函数2()f x =的定义域为．（14）．已知双曲线22112x y n n-=-n ＝ （15）在数列{}n a 在中，542n a n =-，212n a a a an bn ++=+，*n N ∈,其中,a b 为常数，则ab =（16）已知点,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB =AC =8AD =,则,B C 两点间的球面距离是三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）．（本小题满分12分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域 （18）．（本小题满分12分）在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g ”.（Ⅰ）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。

2020年上海高考数学试题(试卷版+解析版)

2020年上海高考数学试题(试卷版+解析版)

2020上海高考数学试题（试卷版+解析版）
1．已知集合{1A =，2，4}，集合{2B =，4，5}，则A B = ．
2．计算：1lim 31
n n n →∞+=- ． 3．已知复数12(z i i =-为虚数单位），则||z = ．
4．已知函数3
()f x x =，()f x '是()f x 的反函数，则()f x '= ． 5．已知x 、y 满足202300x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩
，则2z y x =-的最大值为 ．
6．已知行列式126300
a b c d =，则a b c d = ． 7．已知有四个数1，2，a ，b ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab = ．
8．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910
a a a a ++⋯+= ． 9．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有 种安排情况．
10．已知椭圆22
:143
x y C +=的右焦点为F ，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点P 在第二象限），若点Q 关于x 轴对称点为Q '，且满足PQ FQ ⊥'，求直线l 的方程是 ．
11．设a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件：
（1）对任意的0x R ∈，0()f x 的值为0x 或20x ；
（2）关于x 的方程()f x a =无实数解，
则a 的取值范围是 ．。

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷参考答案与试题解析

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷参考答案与试题解析

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷参考答案与试题解析创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 5 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）（•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 6 ．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）（•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．考点：复数求模．专数系的扩充和复数．题：分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）（•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为7 ．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）（•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）（•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3 ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）（•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为 3 ．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）（•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）（•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2 ．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）（•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c 恒成立，则实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4 ．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．点评：本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）（•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．解答：解：=+=+++=++=++，∴（a k•a k+1）=+++++++…++ =+0+0=．故答案为：9．点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）（•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）（•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f （t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）（•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）（•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）（•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k 依次构成等比数列？并说明理由．考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k 依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，答：得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g （x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤26．（10分）（•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．点评：25．（10分）（•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。

2020年上海市高考数学试卷(附答案详解)

2020年上海市高考数学试卷(附答案详解)

2020年上海市高考数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.(2020·上海市·历年真题)下列等式恒成立的是()A. a2+b2≤2abB. a2+b2≥−2abC. a+b≥2√|ab|D. a2+b2≤−2ab2.(2020·上海市·历年真题)已知直线方程3x+4y+1=0的一个参数方程可以是()A. {x=1+3ty=−1−4t B. {x=1−4ty=−1+3tC. {x=1−3ty=−1+4tD. {x=1+4ty=1−3t3.(2021·体验省·单元测试)在棱长为10的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线交正方体于P,Q两点，则Q点所在的平面是()A. AA1B1BB. BB1C1CC. CC1D1DD. ABCD4.(2020·上海市·历年真题)命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f(x+a)<f(x)+f(a)；命题q1:f(x)单调递减且f(x)>0恒成立；命题q2:f(x)单调递增，存在x0<0使得f(x0)=0，则下列说法正确的是()A. 只有q1是p的充分条件B. 只有q2是p的充分条件C. q1，q2都是p的充分条件D. q1，q2都不是p的充分条件二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.(2020·上海市·历年真题)已知集合A={1,2，4}，集合B={2,4，5}，则A∩B=．6. (2020·上海市·历年真题)计算：lim n→∞ n+13n−1= 7. (2020·上海市·历年真题)已知复数z =1−2i(i 为虚数单位)，则|z|= ． 8. (2020·上海市·历年真题)已知函数f(x)=x 3，f −1(x)是f(x)的反函数，则f −1(x)= 。

2020年高考卷 数学(上海卷)附答案

2020年高考卷 数学(上海卷)附答案

20201.已知集合，，求_______2.________3.已知复数z满足（为虚数单位），则_______4.已知行列式，则行列式_______5.已知，则_______6.已知a、b、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab=7.已知，则的最大值为8.已知是公差不为零的等差数列，且，则9.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有种排法。

10. 椭圆，过右焦点F作直线交椭圆于P、Q两点，P在第二象限已知都在椭圆上，且，，则直线的方程为11、设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或”又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为12、已知是平面内两两互不平等的向量，满足，且(其中)，则K的最大值为13、下列不等式恒成立的是（）ABCD14、已知直线的解析式为，则下列各式是的参数方程的是（）ABCD15、在棱长为10的正方体. 中，为左侧面上一点，已知点到的距离为3，点到的距离为2，则过点且与平行的直线交正方体于、两点，则点所在的平面是（）ABCD16.、若存在,对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质，已知：单调递减，且恒成立；单调递增，存在使得，则是具有性质的充分条件是（）A只有B只有CD都不是17、已知边长为1的正方形ABCD，沿BC旋转一周得到圆柱体。

（1）求圆柱体的表面积；（2）正方形ABCD绕BC逆时针旋转到，求与平面ABCD所成的角。

18、已知.（1）若f(x)的周期是4π，求，并求此时的解集；（2）已知，，，求g(x)的值域.19、已知：，，且，（1）若v>95，求x的取值范围；（2）已知x=80时，v=50，求x为多少时，q可以取得最大值，并求出该最大值。

20、双曲线，圆在第一象限交点为A，，曲线。

（1）若，求b；（2）若，与x轴交点记为,P是曲线上一点，且在第一象限，并满足，求∠；（3）过点且斜率为的直线交曲线于M、N两点，用b的代数式表示，并求出的取值范围。

2020年上海高考专题数学高考真卷

2020年上海高考专题数学高考真卷

2020年上海高考专题数学高考真卷一、填空题1. 已知集合A={1，2，4}，B={2，3，4}，求A∩B=_________.【答案】{2,4}【考点】交集及其运算【解析】本题考查交集的运算.【解答】解：∵集合A={1，2，4}，B={2，3，4}，∴ A∩B={2,4}.故答案为：{2,4}．2. limn→∞n+13n−1=________.【答案】13【考点】极限及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：limn→∞n+13n−1=limn→∞1+1n3−1n=13.故答案为：13.3. 已知复数z满足z=1−2i（i为虚数单位），则|z|=________. 【答案】√5【考点】复数的模【解析】此题暂无解析【解答】解：|z|=√12+(−2)2=√5.故答案为：√5.4. 已知行列式|1a c2d b300|=6，则行列式|a cd b|=________.【答案】2【考点】二阶行列式的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ |1ac 2d b 300|=3×(−1)3+1|a c d b |=3|a c d b|=6， ∴ |a c d b |=2. 故答案为：2.5. 已知f(x)=x 3，则f −1(x)=________.【答案】x 13【考点】反函数【解析】此题暂无解析【解答】解：设函数y =f(x)的定义域是D ，值域是f(D).如果对于值域f(D)中的每一个y ，在D 中有且只有一个x 使得g(y)=x ，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数y =f(x)的反函数，记为x =f −1(x)，y ∈f(D).则根据反函数的定义可得f −1(x)=√x 3=x 13(x ∈R).故答案为：x 13(x ∈R).6. 已知a ，b ，1，2的中位数为3，平均数为4，则ab =________.【答案】36【考点】众数、中位数、平均数【解析】此题暂无解析【解答】解：由平均数为4，可得a +b =4×4−(1+2)=13；由中位数为3，可知a 和b 中有一个是4，则另一个是9．∴ ab =36.故答案为：36.7. 已知 {x +y ≥2，y ≥0，x +2y −3≤0，则z =y −2x 的最大值为________.【答案】−1【考点】求线性目标函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：如下图所示作出可行域：直线y =−x +2与y =−12x +32的交点为(1,1)，当直线y =2x +z 过点(1,1)时，取最大值为z max =1−2×1=−1.故答案为：−1．8. 已知{a n }是公差不为零的等差数列，且a 1+a 10=a 9，则a 1+a 2+⋯+a 9a 10=________. 【答案】278【考点】等差数列的前n 项和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：设公差为d ，由a 1+a 10=a 9，得a 1+a 1+9d =a 1+8d ，即a 1=−d ，所以a 1+a 2+⋯+a 9a 10 =9a 1+36d 1 =278．故答案为：278.9. 从6个人中选4个人值班，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人，共有多少种排法________．【答案】180【考点】排列、组合及简单计数问题排列、组合的应用分步乘法计数原理【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，利用分步相乘原理，得C61C51C42=180．故答案为：180.10. 椭圆x24+y23=1，过右焦点F作直线l交椭圆于P、Q两点，P在第二象限，已知Q(x Q,y Q)，Q′(x Q′,y Q′)都在椭圆上，且y Q+y Q′=0，FQ′⊥PQ，则直线l的方程为________.【答案】x+y−1=0【考点】椭圆的标准方程直线的点斜式方程直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，因为y Q+y Q′=0，所以点Q(x Q,y Q)，Q′(x Q′,y Q′)关于x轴对称．因为FQ′⊥PQ，所以∠PFQ′=90∘，所以∠QFQ′=90∘，所以∠MFQ′=45∘，∠MFP =90∘+45∘=135∘.故直线l 的倾斜角为135∘，斜率为−1．因为c 2=a 2−b 2=4−3=1，所以c =1，所以F 的坐标为(1,0)，所以直线l 的方程为：x +y −1=0.故答案为：x +y −1=0.11. 设a ∈R ，若存在定义域R 的函数f (x )既满足“对于任意x 0∈R ，f (x 0)的值为x 02或x 0”又满足“关于x 的方程f (x )=a 无实数解”，则a 的取值范围为________.【答案】(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)【考点】分段函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：原命题转化为是否存在实数a ，使得存在函数f (x )满足“对于任意x 0∈R ，f (x 0)的值为x 02或x 0”又满足“关于x 的方程f (x )=a 无实数解”，构造函数：f(x)={x ，x ≠a ，x 2，x =a ，则方程f (x )=a 只有0，1两个实数解.所以a 的取值范围是(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).故答案为：(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).12. 已知a 1→，a 2→，b 1→，b 2→，⋯⋯，b k →(k∈N ∗)是平面内两两互不相等的向量，满足|a 1→−a 2→|=1且|a i →−b j →|∈{1,2}（其中i =1，2，j =1，2，⋯，k ），则k 的最大值为________.【答案】6【考点】向量的模【解析】此题暂无解析【解答】解：设a i→=OA i →(i =1，2)，b j →=OB j →(j =1，2，⋯,k)， 因为|a →1−a 2→|=1，所以|A 1A 2|=1.因为|a i →−b j →|∈{1,2}，所以|A 1B j |∈{1,2}且|A 2B j |∈{1,2}，即表示以A 1为圆心，半径为1或2与以A 2为圆心，半径为1或2的交点个数的最大值，如图，所以k 得最大值为6.故答案为：6.二、选择题下列不等式恒成立的是( )A.a 2+b 2≤2abB.a 2+b 2≥−2abC.a +b ≥−2√|ab|D.a +b ≤2√|ab|【答案】B【考点】基本不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：a 2+b 2≥2|ab|≥−2ab ，故A 错误，B 正确；a +b ≥2√|ab|，故C ，D 错误.故选B .已知直线l 的解析式为3x −4y +1=0，则下列各式是l 的参数方程的是( ) A.{x =4+3t y =3−4t B.{x =4+3t y =3+4t C.{x =1−4t y =1+3t D.{x =1+4t y =1+3t【答案】D【考点】直线的参数方程【解析】此题暂无解析【解答】解：将下列各式代入直线l 的解析式中，A ，3×(4+3t )−4×(3−4t )+1≠0，故A 选项错误；B ，3×(4+3t )−4×(3+4t )+1≠0，故B 选项错误；C ，3×(1−4t )−4×(1+3t )+1≠0，故C 选项错误；D ，3×(1+4t )−4×(1+3t )+1=0，故D 选项正确．故选D .在棱长为10的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，点P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线交正方体于P、Q两点，则Q点所在的平面是( )A.AA1B1BB.BB1C1C1D1DD.ABCD【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：记过点P和直线A1C的平面为α，则平面α与平面ADD1A1的交线为A1P.延长A1P与AD相交于点E，连结CE，则平面α与平面ABCD的交线为CE.若PQ//A1C，则Q点在CE上，所以点Q在平面ABCD内.故选D.若存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f(x+a)<f(x)+f(a)恒成立，则称函数f(x)具有性质P，已知：q1：f(x)单调递减，且f(x)>0恒成立；q2：f(x)单调递增，存在x0<0使得f(x0)=0，则使f(x)具有性质P的充分条件是( )A.只有q1B.只有q2C.q1和q2D.q1和q2都不是【答案】C【考点】函数的零点函数单调性的性质【解析】本题主要考查函数零点的求法，转化为两个图象的交点转为简单．【解答】解：对于q1，只需取a>0，则f(x+a)<f(x)<f(x)+f(a)，此时函数f(x)具有性质P；对于q2，只需取a=x0，则x+a=x+x0<x，又因为f(a)=f(x0)=0，所以f(x+a)=f(x+x0)<f(x)=f(x)+f(a)，故此时函数f(x)具有性质P．故选C.三、解答题已知边长为1的正方形ABCD，沿BC旋转一周得到圆柱体．(1)求圆柱体的表面积；(2)正方形ABCD绕BC逆时针旋转π2到A1BCD1，求AD1与平面ABCD所成的角．【答案】解：(1)由题意知r=1，ℎ=1，则S=2πrℎ+2πr2=4π.(2)如图，由题意知：D1C⊥平面ABCD，则∠D1AC即为AD1与平面ABCD所成的角.∵AB=BC=CD1=1，AC=√2，∴tan∠D1AC=CD1AC =√2=√22，则AD1与平面ABCD所成的角为arctan√22. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意知r=1，ℎ=1，则S=2πrℎ+2πr2=4π.(2)如图，由题意知：D1C⊥平面ABCD，则∠D1AC即为AD1与平面ABCD所成的角. ∵AB=BC=CD1=1，AC=√2，∴tan∠D1AC=CD1AC =√2=√22，则AD1与平面ABCD所成的角为arctan√22.已知f(x)=sinωx(ω>0).(1)若f(x)的周期是4π，求ω，并求此时f(x)=12的解集；(2)已知ω=1，g(x)=f2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x∈[0,π4]，求g(x)的值域．【答案】解：(1)由题可得T=2πω=4π⇒ω=12，∴f(x)=sin12x,当f(x)=12时，有sin12x=12，∴12x=2kπ+16π或12x=2kπ+56π(k∈Z)，∴{x|x=4kπ+π3或4kπ+53π,(k∈Z)}.(2)由ω=1得f(x)=sin x，∴g(x)=sin2x+√3sin(−x)sin(π2−x) =sin2x−√3sin x cos x=−√32sin2x+1−cos2x2=12−sin(2x+π6).∵x∈[0,π4]，∴2x∈[0,π2]，∴2x+π6∈[π6,2π3]，∴sin(2x+π6)∈[12,1]，∴g(x)∈[−12,0].【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式正弦函数的周期性正弦函数的定义域和值域三角函数线【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题可得T=2πω=4π⇒ω=12，∴f(x)=sin12x,当f(x)=12时，有sin12x=12，∴12x=2kπ+16π或12x=2kπ+56π(k∈Z)，∴{x|x=4kπ+π3或4kπ+53π,(k∈Z)}.(2)由ω=1得f(x)=sin x，∴g(x)=sin2x+√3sin(−x)sin(π2−x) =sin2x−√3sin x cos x=−√32sin2x+1−cos2x2=12−sin(2x+π6).∵x∈[0,π4]，∴2x∈[0,π2]，∴2x+π6∈[π6,2π3]，∴ sin (2x +π6)∈[12,1]， ∴ g(x)∈[−12,0].已知v =qx ，x ∈(0,80]，且v ={100−135(13)80x ,x ∈(0,40)−k(x −40)+85,x ∈[40,80](k >0).(1)若v >95，求x 的取值范围；(2)已知x =80时， v =50，求x 为多少时，q 可以取得最大值，并求出该最大值． 【答案】解：(1)当x ∈[40,80]时， v =−k (x −40)+85， 因为k >0， 所以v ≤85. 又因为v >95 ，所以x ∈[40,80]时无解. 当x ∈(0,40)时， 100−135(13)80x>95， 即 (13)80x<127， 即80x >3，则x <803.故x 的取值范围为(0,803). (2)因为x =80时， v =50， 所以−k ×(80−40)+85=50， 解得k =78.当x =80时，q =vx =80×50=4000. 故q =vx ={100x −135x(13)80x,x ∈(0,40)−78x(x −40)+85x ，x ∈[40,80]当x ∈(0,40)时，v =100−135(13)80x<100， q =vx <100×40=4000.当x ∈[40,80]时，q =−78x 2+120x ， 当x =−1202×(−78)=4807时，q max =−78×(4807)2+120×4807=288007>4000.综上所述：当x =4807时，q 可以取得最大值，最大值为288007.【考点】二次函数在闭区间上的最值 指数函数的单调性与特殊点【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当x ∈[40,80]时， v =−k (x −40)+85， 因为k >0， 所以v ≤85. 又因为v >95 ，所以x ∈[40,80]时无解. 当x ∈(0,40)时， 100−135(13)80x>95， 即 (13)80x<127， 即80x >3， 则x <803.故x 的取值范围为(0,803).(2)因为x =80时， v =50， 所以−k ×(80−40)+85=50， 解得k =78.当x =80时，q =vx =80×50=4000. 故q =vx ={100x −135x(13)80x ,x ∈(0,40)−78x(x −40)+85x ，x ∈[40,80]当x ∈(0,40)时，v =100−135(13)80x<100， q =vx <100×40=4000.当x ∈[40,80]时，q =−78x 2+120x ， 当x =−1202×(−78)=4807时，q max =−78×(4807)2+120×4807=288007>4000.综上所述：当x =4807时，q 可以取得最大值，最大值为288007.双曲线C 1：x 24−y 2b 2=1，圆C 2：x 2+y 2=4+b 2(b >0)在第一象限交点为A ，A (x A ,y A )，曲线Γ：{x 24−y 2b 2=1，|x|>x A ，x 2+y 2=4+b 2，|x|>x A .(1)若x A =√6，求b ．(2)若b =√5，C 2与x 轴交点记为F 1、F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足|PF 1|=8，求∠F 1PF 2.(3)过点S (0,2+b 22)且斜率为−b2的直线l 交曲线Γ于M ，N 两点，用b 的代数式表示OM →⋅ON →，并求出OM →⋅ON →的取值范围．【答案】解：(1)因为点A 是双曲线C 1和圆C 2的交点，且x A =√6，所以{64−y A2b 2=1①，6+y A2=4+b 2②，由①可得y A2b 2=12，将其代入到②中，得到6+12b 2=4+b 2， 所以b 2=4，解得b =±2（舍去负值）， 所以b =2.(2)当b =√5时，双曲线C 1的方程为x 24−y 25=1，曲线C 2的方程为x 2+y 2=9， 所以F 1(−3,0)，F 2(3,0)，所以F 1、F 2分别为双曲线C 1的左右焦点， 若点P 在曲线Γ上的圆的部分上，则|PF1|≤|F1F2|=6，不符合题意，舍去．所以点P在曲线Γ上的双曲线部分，所以根据双曲线的性质可得|PF1|−|PF2|=2a=4，所以|PF2|=4，所以在△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|2 2|PF1|⋅|PF2|=82+42−622×8×4=1116，所以∠F1PF2=arc cos1116.(3)设圆C2的半径为R，则R2=b2+4，由题意设直线l的方程为y=−b2x+b2+42，注意到直线l与双曲线C1的一条渐近线平行，且不经过原点，所以直线l与双曲线C1只有一个交点，因为原点O到直线l的距离为d=b2+42√1+b24=√b2+4，即原点O到直线l的距离等于圆C2的半径，所以直线l与圆C2相切．记直线l与圆C2的切点为点N，连接ON，OM，如图所示，因为直线l与圆C2相切，切点为点N，所以ON⊥MN，所以直线ON的方程为y=2bx，联立{y =−b2x +b 22+2，y =2b x ，得到{x =b ，y =2，所以N (b,2)，结合图象可知，若要使得直线l 与曲线Γ有两个交点， 则直线l 与圆C 2的切点N 在点A 的右下方，联立{x 24−y 2b 2=1，x 2+y 2=4+b 2，得到y A 2=b 4b 2+4，若点N (b,2)在点A 的右下方，则y N 2<y A 2，即4<b 4b 2+4，所以b 4−4b 2−16>0，所以b 2<2−2√5（舍去）或b 2>2+2√5， 即b 2>2+2√5， 因为ON ⊥MN ，所以OM →⋅ON →=(ON →+NM →)⋅ON →=|ON →|2+NM →⋅ON →=|ON →|2 =R 2=b 2+4，所以OM →⋅ON →=b 2+4∈(6+2√5,+∞). 【考点】圆与圆锥曲线的综合问题 余弦定理平面向量数量积的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)因为点A 是双曲线C 1和圆C 2的交点，且x A =√6， 所以{64−y A2b 2=1①，6+y A 2=4+b 2②，由①可得y A2b 2=12，将其代入到②中，得到6+12b 2=4+b 2， 所以b 2=4，解得b =±2（舍去负值）， 所以b =2.(2)当b =√5时，双曲线C 1的方程为x 24−y 25=1，曲线C2的方程为x2+y2=9，所以F1(−3,0)，F2(3,0)，所以F1、F2分别为双曲线C1的左右焦点，若点P在曲线Γ上的圆的部分上，则|PF1|≤|F1F2|=6，不符合题意，舍去．所以点P在曲线Γ上的双曲线部分，所以根据双曲线的性质可得|PF1|−|PF2|=2a=4，所以|PF2|=4，所以在△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|2 2|PF1|⋅|PF2|=82+42−622×8×4=1116，所以∠F1PF2=arc cos1116.(3)设圆C2的半径为R，则R2=b2+4，由题意设直线l的方程为y=−b2x+b2+42，注意到直线l与双曲线C1的一条渐近线平行，且不经过原点，所以直线l与双曲线C1只有一个交点，因为原点O到直线l的距离为d=b2+42√1+24=√b2+4，即原点O到直线l的距离等于圆C2的半径，所以直线l与圆C2相切．记直线l与圆C2的切点为点N，连接ON，OM，如图所示，因为直线l 与圆C 2相切，切点为点N ， 所以ON ⊥MN ，所以直线ON 的方程为y =2b x ， 联立{y =−b2x +b 22+2，y =2b x ， 得到{x =b ，y =2，所以N (b,2)，结合图象可知，若要使得直线l 与曲线Γ有两个交点， 则直线l 与圆C 2的切点N 在点A 的右下方，联立{x 24−y 2b 2=1，x 2+y 2=4+b 2，得到y A2=b 4b 2+4，若点N (b,2)在点A 的右下方，则y N 2<y A 2，即4<b 4b 2+4，所以b 4−4b 2−16>0，所以b 2<2−2√5（舍去）或b 2>2+2√5， 即b 2>2+2√5， 因为ON ⊥MN ，所以OM →⋅ON →=(ON →+NM →)⋅ON →=|ON →|2+NM →⋅ON →=|ON →|2 =R 2=b 2+4，所以OM →⋅ON →=b 2+4∈(6+2√5,+∞).有限数列{a n }，若满足|a 1−a 2|≤|a 1−a 3|≤⋯≤|a 1−a m |，m 是项数，则称{a n }满足性质P .(1)判断数列3，2，5，1和4，3，2，5，1是否具有性质P ，请说明理由.(2)若a 1=1，公比为q 的等比数列，项数为10，具有性质P ，求q 的取值范围.(3)若a n 是1，2，⋯，m 的一个排列m ≥4，b k =a k+1(k =1，2，⋯，m −1)，{a n }，{b n }都具有性质P ，求所有满足条件的{a n }.【答案】解：(1)对于第一个数列有|3−2|=1，|3−5|=2，|3−1|=2，满足题意，该数列满足性质P ；对于第二个数列有|4−3|=1，|4−2|=2，|4−5|=1，|4−1|=3，不满足题意，该数列不满足性质P．(2)由题意可得，|q n−1|≥|q n−1−1|，两边平方得：q2n−2q n+1≥q2n−2−2q n−1+1，整理得：(q−1)q n−1[q n−1(q+1)−2]≥0.当q≥1时，得q n−1(q+1)−2≥0，此时关于n恒成立，所以等价于n=2时，q(q+1)−2≥0，所以(q+2)(q−1)≥0，所以q≤−2或者q≥1，所以取q≥1.当0<q≤1时，得q n−1(q+1)−2≤0，此时关于n恒成立，所以等价于n=2时，q(q+1)−2≤0，所以(q+2)(q−1)≤0，所以−2≤q≤1，所以取0<q≤1.当−1≤q<0时，得q n−1[q n−1(q+1)−2]≤0，当n为奇数的时候，得q n−1(q+1)−2≤0，很明显成立，当n为偶数的时候，得q n−1(q+1)−2≥0，很明显不成立，故当−1≤q<0时，矛盾，舍去．当q<−1时，得q n−1[q n−1(q+1)−2]≤0，当n为奇数的时候，得q n−1(q+1)−2≤0，很明显成立，当n为偶数的时候，要使q n−1(q+1)−2≥0恒成立，所以等价于n=2时，q(q+1)−2≥0，所以(q+2)(q−1)≥0，所以q≤−2或者q≥1，所以取q≤−2．综上可得，q∈(−∞,−2]∪[0,+∞).(3)设a1=p，p={3,4，⋯，m+3，m+2}.因为a1=p，a2可以取p−1或者p+1，a3可以取p−2或者p+2，如果a2或者a3取了p−3或者p+3，将使{a n}不满足性质P，所以，{a n}的前五项有以下组合：①a1=p，a2=p−1，a3=p+1，a4=p−2，a5=p+2;②a1=p，a2=p−1，a3=p+1，a4=p+2，a5=p−2;③a1=p，a2=p+1，a3=p−1，a4=p−2，a5=p+2;④a1=p，a2=p+1，a3=p−1，a4=p+2，a5=p−2.对于①，b1=p−1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=1，与{b n}满足性质P矛盾，舍去．对于②，b1=p−1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=3，|b4−b1|=1与{b n}满足性质P矛盾，舍去．对于③，b1=p+1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=3，|b4−b1|=1与{b n}满足性质P矛盾，舍去．对于④，b1=p+1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=1与{b n}满足性质P矛盾，舍去．所以p∈{3,4,…，m−3,m−2}均不能同时使{a n}{b n}都具有性质P．当p=1时，有数列{a n}：1，2，3，…，m−1，m满足题意．当p=m时，有数列{a n}：m，m−1…，3，2，1满足题意．当p=2时，有数列{a n}：2，1，3，…，m−1，m满足题意．当p=m时，有数列{a n}：m−1，m，m−2，m−3，…，3，2，1满足题意．故满足题意的数列只有上面四种．【考点】数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)对于第一个数列有|3−2|=1，|3−5|=2，|3−1|=2，满足题意，该数列满足性质P；对于第二个数列有|4−3|=1，|4−2|=2，|4−5|=1，|4−1|=3，不满足题意，该数列不满足性质P．(2)由题意可得，|q n−1|≥|q n−1−1|，两边平方得：q2n−2q n+1≥q2n−2−2q n−1+1，整理得：(q−1)q n−1[q n−1(q+1)−2]≥0.当q≥1时，得q n−1(q+1)−2≥0，此时关于n恒成立，所以等价于n=2时，q(q+1)−2≥0，所以(q+2)(q−1)≥0，所以q≤−2或者q≥1，所以取q≥1.当0<q≤1时，得q n−1(q+1)−2≤0，此时关于n恒成立，所以等价于n=2时，q(q+1)−2≤0，所以(q+2)(q−1)≤0，所以−2≤q≤1，所以取0<q≤1.当−1≤q<0时，得q n−1[q n−1(q+1)−2]≤0，当n为奇数的时候，得q n−1(q+1)−2≤0，很明显成立，当n为偶数的时候，得q n−1(q+1)−2≥0，很明显不成立，故当−1≤q<0时，矛盾，舍去．当q<−1时，得q n−1[q n−1(q+1)−2]≤0，当n为奇数的时候，得q n−1(q+1)−2≤0，很明显成立，当n为偶数的时候，要使q n−1(q+1)−2≥0恒成立，所以等价于n=2时，q(q+1)−2≥0，所以(q+2)(q−1)≥0，所以q≤−2或者q≥1，所以取q≤−2．综上可得，q∈(−∞,−2]∪[0,+∞).(3)设a1=p，p={3,4，⋯，m+3，m+2}.因为a1=p，a2可以取p−1或者p+1，a3可以取p−2或者p+2，如果a2或者a3取了p−3或者p+3，将使{a n}不满足性质P，所以，{a n}的前五项有以下组合：①a1=p，a2=p−1，a3=p+1，a4=p−2，a5=p+2;②a1=p，a2=p−1，a3=p+1，a4=p+2，a5=p−2;③a1=p，a2=p+1，a3=p−1，a4=p−2，a5=p+2;④a1=p，a2=p+1，a3=p−1，a4=p+2，a5=p−2.对于①，b1=p−1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=1，与{b n}满足性质P矛盾，舍去．对于②，b1=p−1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=3，|b4−b1|=1与{b n}满足性质P矛盾，舍去．对于③，b1=p+1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=3，|b4−b1|=1与{b n}满足性质P矛盾，舍去．对于④，b1=p+1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=1与{b n}满足性质P矛盾，舍去．所以p∈{3,4,…，m−3,m−2}均不能同时使{a n}{b n}都具有性质P．当p=1时，有数列{a n}：1，2，3，…，m−1，m满足题意．当p=m时，有数列{a n}：m，m−1…，3，2，1满足题意．当p=2时，有数列{a n}：2，1，3，…，m−1，m满足题意．当p=m时，有数列{a n}：m−1，m，m−2，m−3，…，3，2，1满足题意．故满足题意的数列只有上面四种．。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【解析】：设圆柱底面半径为 r ，高为 h 2r 2 2rh r 2h 54
r 3, h 6
s 6 6 36
【难度】：易
【分值】：4
x 0,
7.
若不等式组
x
3y
4,
所表示的平面区域被直线
3x y 4
y kx 4 分为面 3
积相等的两部分，则 k 的值是
.

7
【答案】
3
y kx 4 3
3
【答案】： a 8
【知识点】：抛物线的定义及其应用
【考查能力】：运算求解能力
【解析】：双曲线焦点为 (0,2) ，抛物线转换为标准方程： x2 1 y ， a 1
a
8
【难度】：易
【分值】：4
5. 若复数 1 i 2b （ i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数 b 的值为
.
1i
1
【答案】：
2
【知识点】：复数的有关概念
【考查能力】：运算求解能力
【解析】：本题考查复数的概念。 1 i 2b 2b i ，由 Re z Im z 可得 b 1
1i
2
【难度】：易
【分值】：4
6. 已知一个圆柱的表面积和体积都等于 54 ，则其轴截面的面积为 【答案】： 36
【知识点】：几何体的体积 【考查能力】：空间想象能力
的选派方案共有
种.
【答案】 292 【知识点】：特殊元素与特殊位置问题 【考查能力】：运算求解能力 【解析】总共有 P64 种情况，其中甲从事翻译工作有 P43 种情况，乙从事导游工作有 P43 种情况，然后甲从事翻译工作同时乙从事导游工作有 P42 种情况，∴ P64 2P43 P42 292 .
【难度】：中
【分值】：5
10. 若实数 a,b 0 ，满足 abc a b c ， a2 b2 1，则实数 c 的最小值为
.
【答案】 2 2
【知识点】：基本不等式的变形形式及应用
【考查能力】：运算求解能力
【解析】 abc a b c c a b ，∵ (a b)2 2(a2 b2 ) 2 ，∴ a b 2 ， ab 1
【知识点】：行列式的计算与应用 【考查能力】：推理论证能力
【 解 析 】： 本 题 考 查 行 列 式 判 断 方 程 组 ， D m 4 0 ， 1m
Dx
m2 m
4 m
Dy
m 1
m2 0 m
【难度】：易
【分值】：4 4. 若抛物线 y ax2 的焦点与双曲线 y2 x2 1 的焦点重合，则 a 的值为
【解析】：三角形垂心性质 tan A HA tan B HB tan C HC 0 .
， tan A : tan B : tan C 1: 2 : 3 ，设 tan A k ， tan B 2k ， tan C 3k ，
∵ tan( A B) tan C ，
∴ k 2k 1 2k 2
A M
B N
x 3y 4
3x y 4
【知识点】：线性规划
【考查能力】：空间想象能力
【解析】：本题考查线性规划，通过作图，需要注意直线“三看”，即“定点”、“斜率”、“截
距”的使用．
【难度】：中
【分值】：5 8.某组委会要从六名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，
若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同
∵ 2ab
a2
b2
1，∴ ab 1
1 2
， 2
1 ab 1
0
，∴ cmin
2
2 ，此时 a b
2 .
2
【难度】：中
【分值】：5
11.
设
H
是
ABC
的垂心，且
3HA
4HB
5HC
0
，则
cos BHC
的值为__________.
【答案】 2 2
【知识点】：有关向量数量积的综合问题
【考查能力】：运算求解能力
【难度】：中
【分值】：5
9.已知{an} 、{bn} 均是等差数列，cn an bn ，若{cn} 前三项是 7、9、9，则 c4
.
【答案】 7 【知识点】：等差数列的综合问题 【考查能力】：运算求解能力 【解析】，由题意可设 cn an2 bn c ，∴ c1 a b c 7 ， c2 4a 2b c 9 ， c3 9a 3b c 9 ，解得 a 1 ， b 5 ， c 3 ，∴ cn n2 5n 3 ，即 c4 7 .
2020 年学大教育高考高频考点测试卷（上海卷）-数学
考生注意：
1.答卷前，考生务必在 答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上
条形码
2.本试卷共有 21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 一. 填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）
所以
x 1 0
所以 1 x 4
所以 N (1,4]
所以 M N (1,3]
【难度】：易 【分值】：4
2. 已 知 点 1,3 在 函 数 f ( x) x2 a ， x 1, 的 图 像 上 ， 则 f (x) 的 反 函 数
f 1( x)
.
【答案】 x 2, x 3,
【知识点】：反函数的概念
1.
已知集合 M
x | x 1|
2, N
x
x
5
1
1,
x
R
,则
M
N
.
【答案】： M N 1,3
【知识点】：交集的求法 【考查能力】：运算求解能力
【解析】：因为 x 1 2
所以 2 x 1 2 所以 1 x 3
则 M [1,3]
因为
x
5
1
1
所以
5
x
x
1 1
0
(x 4)(x 1) 0
【考查能力】：运算求解能力
【解析】：把 1,3 代入 f ( x) x2 a 得 a 2 ，从而计算得： f 1(x) x 2, x 3,)
【难度】：易
【分值】：4
m 4 m2
3.已知二元一次方程组的增广矩阵是
1
m
m
，若该方程组无数解，则实数 m 的值
为___________．
【答案】： 2
3k ，即 k
1，∴ tan A 1 ， cos A
2 ，∵ 1、 2 互余， 2
1、 A 互余，∴ 2 A ， cos BHC cos 2 cos A
2 .
2
【难度】：难
【分值】：5 12. 已知函数 f (x) 的定义域为 R ，当 x (2, 4] 时， f (x) 2(x 2)(4 x) ，且对任意的 x R ，均有 f (x 2) 2 f (x) ，若不等式 f (x) 15 在 x (, a] 上恒成立，则实数 a 的
相关文档
最新文档