柯西不等式在中学数学中的应用
高等数学重要不等式在高中数学中的技巧性应用
高等数学重要不等式在高中数学中的技巧性应用拉格朗日MJ 兰三中摘要：从凸函数出发证明cauchy不等式、radon不等式等一系列常用不等式，并举例应用。
关键词：cauchy不等式、radon不等式。
一、不等式的引入数学教育的理论研究在近二十年中经历了非常重要的转变。
自90年代以来，数学教育的现代研究明显表现出多样化、多方位的新特点，而且还表现出多学科的相互渗透与整合这一趋势，与国际教育界的现代发展潮流也完全吻合。
其中不等式的学习也变得尤为重要。
近年来，不等式在中学中的应用范围不断地扩大，但在初等数学这一领域应用的同时也需要更多的数学知识和技巧，学习起来也颇为不易。
所以，不等式的内容主要被列入高中数学课程。
高中这一阶段接触的基本不等式有：绝对值不等式，平均值不等式等，其中一些重要的不等式（比如柯西不等式、伯努利不等式等）和解绝对值不等式内容也被列入了高中数学教学要求。
对于不等式的证明问题，由于各类题型非常多变，而方法又十分灵活多样，具有极强的技巧性，通常也没有固定的程序可循，这不是单单用一种方法就可以解决的，它需要多种方法的巧妙应用。
不等式的概念和性质是证明不等式和解决不等式问题的主要依据，同时也是各类数学思想方法的集中体现。
要提高证明不等式的能力，必须熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式并能灵活运用不等式的各种常用的证明方法。
还有一些大学中相对比较常用的不等式，如Radon不等式，Jensen不等式等等。
在实际的问题解决过程中，综合法和分析法往往是交织起来使用的，利用分析法试误证明思路和方法，用综合法整理或形成证明过程。
有时候，上述的各种方法往往相互结合起来，再配上一些特殊技巧和策略来证明不等式的相关问题。
二、不等式在数学问题中求解的重要性不等式这个知识模块是数学竞赛的热门考点之一，从国际数学奥林匹克竞赛来看，到现在为止已经举行了47届，几乎每届都有不等式的题目，此外还有不少题涉及到不等式。
不等式一直是非常活跃而又有吸引力的研究领域，其研究的深度和广度都在迅速扩大。
浅谈柯西不等式在高中数学中的应用
征 ， 准 解 题 的 正 确 方 向 ， 理 地 变 形 、 妙 地 构 造 ． 为 新 课 程 的 选 修 内 找 合 巧 作
容 ， 西不等式 在数学 的多个 领域都 有着 广 泛的 应用 ， 仅 在代 数方 面能 柯 不 够解决 问题 ， 而且在解 决平面几 何 问题时也带 来极大 的方便 例 ６ 设 Ｐ是 三角形 Ａ Ｃ内的一点 ， 。 ， 是 Ｐ到三边 ａ ｂ Ｃ Ｂ ｘ ｙＺ ， ， 的距 离 ，
２ 柯 西不等式 在证 明不等式 中的应 用 对于柯 西不 等式 ． 它在 证 明不 等 式 以及 求 极值 等 方 面都 有 很 多 的应 用， 给我们 开拓 了思路 。主要就 是构 造 两个 数组 ， 再利 用柯 西 不 等式 把两 个 数组 的和缩小 成两个数 组的积 ・从 而使 问题 简化 ａ
解： 根据 条件和柯 西不等 式 ， 得
１ 柯西不等式常见的几种不同形式
（） １ 二维形 式 （ 。 （ ＋ｄ ） （ｅ ｄ ａ ＋ｂ ） ｃ ２ ａ ＋ｂ ）
（ ＋ ＋ ）１ ＋１≥（ ＋÷ ＋ （＋１ ） — ＿ ｌ 。 — ）， 。
丑 ‘ ｂ ‘
１ １ １
（） ２三维形式（ ＋ ； ；（ｉ ； ； （ ｂ＂ａ ２ ３３ ａ ａ＋ａ）ｂ＋ｂ＋ｂ） ａ １－２ ＋ａｂ） ｛ ｌ ｝ｂ
（＋ｂ ）÷ ＋÷ ＋ ） １ ＋１ ＝ ａ ＋ｃ（ ÷ ≥（＋１ ） ９
（推 形 ∑ａ ｋ ≤（ ｔ・∑ｂ ３ 广 式（ ） ∑ａ （ ｔ ） 。 ） ）
ｂ
即
（ ）≤（ ∑ ÷） ∑】 ∑ａ（ ）
１ ＋ １ ＋ １
（ ａ … ａ ＋ ＋ ＋ ≥２ ａ ｚ ＋ ） 吉 … ） ・＋ ＋ （ ｎ
例 ２ 求证 ： 对于任 意实数 ａ ，ｚ ｂ ，ｚ 下面 不等式恒 成立 ｌａ 和 ｌｂ ，
浅谈在中学数学解题中柯西不等式的运用---毕业论文 精品
【标题】浅谈在中学数学解题中柯西不等式的运用【作者】徐跃【关键词】柯西不等式中学数学应用证明【指导老师】刘春花【专业】数学教育【正文】1引言许多学生对不等式证明、求最值、求参数等题型感到困难，其原因有以下几方面：一是数学基础知识不扎实，二是识别数学模型和组织信息的能力训练不够，三是在思考和解决问题中缺乏理念、方向、方法和技能，四是在探索隐蔽模式显现化过程中缺乏必要的心理素质和技能.我们在解决数学问题时不必拘泥于某种单一的方法，可根据具体情况灵活选择最简单、最优化的方法，从而达到最佳的解题效果.经典的柯西不等式就能给我们解决许多数学问题带来很多的方便，关于柯西不等式的研究一直受到人们的关注，在高中数学新教材中也有选学内容.本文就是应用柯西不等式解决中学数学问题，在解题时将柯西不等式的解题思想渗透给学生，深刻论述柯西不等式在中学数学解题中的优越性.1.1问题的提出及研究意义1.1.1问题的提出柯西不等式是一个重要的不等式，它能够解决数学中很多问题.那么它的应用到底表现在哪些方面？对我们在中学数学解题中有什么好处？1.1.2研究的意义灵活巧妙地应用柯西不等式，可以使一些较为困难的问题迎刃而解.柯西不等式是解决许多数学问题的有力工具，既符合学生可接受性原则，又充分体现了数学知识的应用价值.研究柯西不等式在中学解题中的应用有利于培养学生思维，提高学生兴趣，能够引导学生去认识数学知识之间的联系.1.2本文研究的目的和内容1.2.1本文研究的目的柯西不等式有着广泛的应用，有许多中学数学问题都可用柯西不等式来求解.为了使柯西不等式解题思想在中学广泛应用，使学生能够熟练掌握运用柯西不等式进行解题，并将柯西不等式解题思路渗透给中学教师和学生，研究柯西不等式在中学解题中的应用具有实用价值.1.2.2本文研究的内容首先简单阐述柯西不等式的基本形式、向量形式及推论形式，然后用具体的例题论述柯西不等式在以下几方面的应用：(1) 柯西不等式在解方程中的应用;(2) 柯西不等式在求参数范围时的应用;(3) 柯西不等式在不等式证明中的应用;(4) 柯西不等式在求函数最值问题中的应用;(5) 柯西不等式在平面几何中的应用.2柯西不等式的一些形式我们知道，柯西不等式在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，它在不同的领域有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样.柯西不等式在初等数学和高等数学中有着不菲的价值，它的应用充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性.对柯西不等式本身的证明涉及有关不等式的一些基本方法和技巧.因此，熟练掌握此不等式的证明对提高我们解决一些数学问题有很大帮助.下面我们给出柯西不等式的基本形式、向量形式和部分推论形式.2.1柯西不等式的基本形式设、，则×，设、不全为零，当且仅当= ( 为实常数， 1,2, , )时不等式取等号[1] .证明:若 0，则 0，此时不等式显然成立.若 0，构造二次函数：2 0.对一切恒成立，所以二次函数的判别式：4 4 0，即..当时，显然不等式取等号；.当不等式取等号时 0，二次函数有唯一实根设为，则 0，即，所以柯西不等式×得证.2.2柯西不等式的向量形式设维向量，，则有，当且仅当时取等号[2] .2.3柯西不等式的推论形式推论[3]1：若令，， 0，,代入得到以下推论：.推论2[4]：设,则.当且仅当时，不等式取等号.证明：,即.从而得.3柯西不等式在解方程中的应用在以前我们见到的方程通常是个未知数和个方程的问题.很少看到方程个数多于未知数个数的问题，如果遇到这样的方程，它的解一般不唯一，但是也有可能是唯一解，在中学时很难解决这类方程，有时利用柯西不等式解决这类方程就相当简单.我们不妨来看一看.例1：在实数集内解方程分析：本题看似代数题实际是一个立体几何问题，它是关于一个球体（圆心在原点，半径为）与一个平面的交点问题.首先判断球与平面的位置关系，也就是圆心到该平面的距离，根据公式[5] ，容易得出，所以，即球体与面相切有且只有一个交点.然后求出通过圆心且垂直平面的直线.直线必然与球有两个交点，这两个交点中只有一个点在平面上，在平面上的点为所求点.但是应用这种方法时在求直线时比较麻烦，学生也很难理解，并且在求直线与球相交时也很复杂，计算量也大，所以这种方法不是解决本题最好方法.实际上本题可以构造柯西不等式来求解，以下是运用柯西不等式解决此题的全过程.解：由柯西不等式得,所以.又,,即不等式中只有等号成立.从而，柯西不等式中等号成立的条件，得.与式联立得、、.容易得到运用柯西不等式解决上题比传统方法简单，利用柯西不等式解决此题只要构建合理的柯西不等式模型即可，而传统方法步骤复杂，要进行多次问题转化.另外，我们在运用中学传统方法解此题时，已经将本题转化几何问题，所以我们还能得到：柯西不等式不但能解决代数问题，还能解决部分几何问题，足以见得，柯西不等式在中学解题中应用之广泛.4柯西不等式在求参数范围时的应用在中学求参数问题既是一个重点又是一个难点问题，在求参数时通常不能直接求解，都要经过多次问题转化，有时还要利用题设中的限制条件进行讨论，步骤相当复杂，稍不注意将会出错.例2[6]：已知对于满足等式 3的任意实数对恒有 2，求实数的取值范围.分析：首先用中学传统的方法去分析， 3是一个椭圆方程.再将条件 2转化为，于是原题转化为：“已知椭圆 3与直线相交，求的取值.”这样就将问题转化为中学的数形结合题.现在只要将椭圆方程和直线方程联立求解再结合的取值范围便可求解，但是在用这种方法求解时显得相当麻烦，首先要正确的转化问题，另外在联立求解时还要考虑的取值，在解答时还有可能分步讨论，这样如果分析不完全，将会出错.让我们想一想能否用更简单的方法来解此题，使之没有这么麻烦.仔细观察容易得到可以构造为柯西不等式模型：.解：由= . ,所以,要使对恒有.即所以, .容易看出：运用中学传统方法解答时进行了多次问题转化，步骤复杂，计算量也相当的大，所以学生吸收起来比较困难.然而运用柯西不等式解答时问题就迎刃而解，直接运用公式就可得到结论，相当方便，学生很容易吸收.5柯西不等式在不等式证明中的应用中学证明不等式的传统方法有比较法、综合法、换元法、放缩法等，方法相当多，但很少用柯西不等式证明不等式.例3[7]：设, , 1, 求证 4.分析：构建柯西不等式，通过观察，由于 1,所以,然而等式的右边恰好是柯西不等式的右边.证明：,4 .例4[8]：如果都是正数,且，求证+ .分析：由于可以构造为柯西不等式推论1的形式,然而等式的右边为推论1中不等式的左边形式.证明：由推论1可知,例5：设都是正实数，试证.分析：通过观察，可以看作是两向量相乘. 可以看作是一向量的模, 也可以看作是一向量的模,所以不等式的右边就是两向量模的乘积.然后结合，就可以解此题.证明：设向量，.则= ,.由柯西不等式向量形式得：,我们可以看到：运用柯西不等式证明不等式只要合理构造柯西不等式的模型就能使问题迎刃而解，绝大多数问题都可一步到位，也不用太多计算.利用这种方法解中学数学问题时能让学生领悟到数学的思想方法，还能提高学生的思维水平.6柯西不等式在求函数最值问题中的应用用导数法解决一类函数的最值问题，可谓方法绝妙，用这种方法求解，对一般学生难度不大，但是相当复杂.我们不妨利用柯西不等式来求解最值问题，有时要简单一些.例6[9]:求函数 2 的最大值.导数法：分析：先求出函数 2 的定义域为.再求出,再令 0，求出当 0时的值，找到函数的稳定点.最后将所有稳定点、不可导点与端点值比较大小，最大的值便是所求函数的最大值.柯西不等式法：解：函数 2 的定义域为.由柯西不等式推论2有：= ,所以 2 .通过以上例题我们不难发现：应用中学所学的导数法求解时，虽然思路清晰，学生也易吸收，但是步骤复杂，计算量也相当大，一不小心就会计算错误，特别是在求函数稳定点时更加明显.然而运用柯西不等式的方法求解时只要合理地构建柯西不等式的模型即可，这种方法不但思路清晰，而且步骤相当简单，也不用太多的计算. 7柯西不等式在平面几何中的应用柯西不等式不仅在代数方面能够帮助我们解决问题，在解决几何问题上也给我们带来了方便.例7[10]：为内一点，分别为到各边所引垂线的垂足，求所有使为最小的点.解：如图，设的三边长，，，面积为，记，，，则由柯西不等式，得即.即,当且仅当（即，也就是）时等号成立，因而使为最小的点是的内心. 由此可见:柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解.8主要结论柯西不等式可以直接运用到其它很多数学问题中，由此我们可以看到它的应用相当广泛，本文主要研究了柯西不等式在以下几方面的应用：(1) 解方程中的应用；(2) 求参数范围；(3) 不等式证明；(4) 求函数最值问题；(5) 平面几何中的应用.运用柯西不等式解决数学问题时的关键是“构造两组数”，并按照柯西不等式的形式进行探索.然而柯西不等式的形式有基本形式、向量形式还有推论形式以及向量形式，我们要合理选择.所以这两组数的构造需要一定的技巧.柯西不等式充分体现了数学的几个分支之间相互渗透、相互促进的内在联系.正如希尔伯特所说：“数学是一个有机整体，它的生命力依赖于各部分的联系.”上述利用柯西不等式解决的一系列数学问题是我们进行“数学探究”的极好的材料，对于培养学生的思维品质，使他们领悟数学思想方法，认识知识间的联系，促进创造性思维很有帮助.教师应该在具体的教学实践中鼓励和引导学生综合运用柯西不等式解决有关数学问题.在教学中教师应引导学生多思考，利用所学的知识将一些不等式进行推广,这样可以提高学生的学习兴趣，开阔他们的视野，培养他们的思维.从柯西不等式的应用可以看到，熟练应用柯西不等式是非常有意义的,我们应该多鼓励学生将柯西不等式应用到中学解题中.。
柯西不等式在初等数学中的基本应用
柯西不等式在初等数学中的基本应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。
本文对柯西不等式的证明方法及其在初等数学中的基本应用作简单的阐述。
关键词：柯西不等式初等数学不等式基本应用正文：柯西不等式在数学的各个领域多有涉及，而在初等数学中，柯西不等式更占据了重要的位置。
我们先对柯西不等式的证明方法进行探讨，其次，通过对柯西不等式的领悟，应用它解决初等数学中遇到的一些问题。
一、柯西不等式的一般证法：柯西不等式（Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.在证明n维的柯西不等式之前，我们先对二维形式以及三角形式的柯西不等式进行证明。
然后，由简单到复杂，循序渐进，探讨一般形式的柯西不等式的证明方法。
（1）二维形式的证明：(a^2+b^2)(c^2+d^2) ≥(ac+bd)^2证明：(a^2+b^2)(c^2+d^2) （a,b,c,d∈R)=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。
（2）三角形式的证明：√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]证明：[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2) ≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d| 注： | |表示绝对值。
柯西不等式在高中数学中的应用及推广毕业论文
柯西不等式在高中数学中的应用及推广［摘要］本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的几种证明方法及其在初等数学解题中的应用。
同时对其在其他领域的推广进行了简要论述，并且对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论，对柯西不等式在高中数学解题中的应用进行了广泛的取证并得到了证明，从而肯定了其在高中数学学习中的重要性.[关键词]柯西(Cauchy ）不等式；应用函数最值；三角函数证明;不等式教学1 引言中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的雏形和影子。
在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习和应用不等式同时，都会觉得解题中困难重重。
而柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解.柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用.基于此，本文拟以柯西不等式为出发点，从其证明方法到推广及应用技巧等方面进行总结和归纳，并简谈其在中学数学中的一些应用。
2 柯西不等式的证明本文所说的柯西不等式是指()n i b a b a ni i n i i n i i i →=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===2,1121221 (1）当且仅当122n ina a ab bb===时，等号成立。
2。
1 构造二次函数证明首先 当120n a aa ====或120n b b b ====时，不等式显然成立.令22111,,nnni i i i i i i A B C a a b b ======∑∑∑当1,2,na aa中至少有一个不为零时，可知0>A ,构造二次函数()222,f x Ax Bx C =++展开得()()()22221120nnii i iiii i f x a x a b x ba xb ===++=+≥∑∑故()f x 的判别式2440B AC ∆=-≤，移项得2AC B ≥，得证。
2.2 向量法证明令()()123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b αβ==则对向量αβ，有()1,cos ≤=⋅⋅⋅βαβαβαβα 2222112211,,nnn n i i i i a b a b a b a b αβαβ==⋅=++==∑∑得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 121221当且仅当()cos ,1αβ=，即,αβ平行式等号成立。
妙用-柯西不等式-巧解题
解： 函数的定义域为 「 ， 」， 且 （ ） （
【 点评 ］ 此题利用柯西不等式， 结合 件， 实现快速解答 例 已知 的三边长分别为 、 ）
这一条
、 ， 其外接圆的半
） （
）
径为 ， 求证： （ 证明： 由正弦定理得
， ， ，
当且仅当 当
时， 等号成立， 即
所以 于是 （ （ · ） ）
妙用“ 柯西不霎贰” 巧解题
（ 山东省沂水县第一中学 ）
初等数学是高等数学的基础， 高等数学是初等数学的发展 在中学数学教材和教学中适当地渗透一些高等数学的知识是必 要的 《 普通高中课程标准实验教科书·数学 （ 选修 ）》 即 《 不等式选讲 》 中的“ 柯西不等式” 作为联系初等数学与高等数 学的重要桥梁， 在中学数学中的应用比较广泛， 它是异于“ 均 值不等式” 的另一个重要不等式， 灵活巧妙地运用它， 可以使 一些比较困难的问题迎刃而解 一、 柯西 （ 二维形式 若 、 、 、 当且仅当 都是实数， 则（ 时， 等号成立 都是实数， 则 时， 等号成立 · ） · ） （ ） （ ）， ） 不等式的几种形式 使 若 若 （ 故 （ （ ， 则 ， 则有 （ （ （） 当 （ · 因为 （） 所以判别式 · ） · ） ， ， ·， ）不全为零时， 则 ） （ · · · ） ） （ ） ） （ （ · （ 恒成立， （ ， ） （ ） ， 以上不等式取等号， 即存在唯一实数 ， ， ， ·， ）， （ ， ， ·， ）， 原不等式成立， ， ， ， ·， ）或 （ ， ， · ）· · · （ · ） ， ）
个定点呢？ 联立得 的横坐标成等差数列） 没 得 因为 、 所以 则 因为 所以 代入 所以 ， 为直线 的方程 恒过定点 （， 的方程为 ， 是上述方程的两根， ， ， 即为 （ ， 上任意一点， ， ， 得 ） （ ）上的动点，
柯西不等式在中学数学中的应用
柯西不等式在中学数学中的应用
柯西不等式（CauchyInequality）是一种常用的数学不等式，在很多分支领域都有着广泛的应用。
它的发现者柯西是十九世纪十八和十九世纪知名的数学家之一，他的发现对现代数学和数学分析具有深远意义，其影响已延续至今。
在中学数学中，柯西不等式也有着广泛的应用。
首先，在几何学中，柯西不等式可以用来证明某些多边形的定理。
例如，柯西不等式可以证明等腰三角形外接圆的直径等于该三角形的三条边长之和的一半；柯西不等式也可以用来证明正n边形的外接圆的半径是n条边长的比值的一半。
其次，柯西不等式可以用来求解平面几何、空间几何中的问题，例如多边形的最小凸包和最大内切圆等。
此外，柯西不等式可以用来求解三角型及其他多边形内接圆的半径，以及椭圆及其他曲线的焦点距离。
柯西不等式还可以用来证明梯形的面积等于其内接矩形的面积
加上其外接圆的面积，以及圆的面积等于其内接矩形的面积加上其外接梯形的面积，等等。
此外，柯西不等式在线性代数中也有应用。
例如，它可以用来证明矩阵的谱半径的算法。
它还可以用来证明一些线性变换的结论，如矩阵的最大值和最小值，矩阵的正定性和半正定性等。
最后，柯西不等式也可以应用于数论。
例如，它可以用来证明整数的欧拉定理，以及费马小定理等。
总之，柯西不等式在中学数学中有着广泛的应用，它可以用来证明一些定理，以及求解一些几何和线性代数问题，同时也可以用来证明一些数论定理。
由此可见，柯西不等式对中学数学的影响是非常重要的，它是中学生掌握数学知识时不可缺少的一部分。
论柯西不等式在高中数学中的应用
数 学 大 世 界 64
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学练研究
提高课后作业的有效性，给学生“正能量”
江苏省苏州工业园区星海小学 丁 琳
课后练习是数学学习中不可或缺的环节，有效的课后练习能够帮 助学生巩固所学知识，完善数学思维，提升学生的实践能力与应用能 力，促进学生数学素养的提升。因此在实际教学中我们要结合学生的 认知特点，设计与教学内容密切相关的练习供学生课后完成。本文结 合教学实际谈谈如何提升课后练习的有效性。
证明：a³+b³+c³ ≥
。
证明：利用柯西不等式有：
（a²+b²+c²）²=（a a +b b +c c ）² ≤ [（a ）²+
（b ）²+（c ）²]（a+b+c） 因为 a+b+c=1，
所以：[（a ）²+（b ）²+（c ）²]（a+b+c）=（a³+b³+c³） （a+b+c）²
又因为 a²+b²+c² ≥ ab+bc+ca，在不等式两边同乘以 2，再加上 a²+b²+c²，
【关键词】 柯西不等式；变式；应用
一、柯西不等式的主要变形公式
柯西不等式有多种变形，已经成为现在许多数学理论的出发点。
掌握几种常见的柯西不等式的变形，能够让我们对柯西不等式有更全
面的认识，在解决数学问题时，也可以快速使用合适的变形形式解题。
以下列举常见的几种柯西不等式的变形形式：
（1）：a1·b1+a2·b2+……+an·bn ≤ |a1·b1+a2·b2+……
柯西不等式在高中数学的应用探究
教学信息随着素质教育的深入开展及课程改革的持续进行，普通高中的数学课程标准也发生变化，标准指出学生在学习数学时要体会数学的科学、应用、人文及美学价值，从而提高创新能力和文化素质。
柯西不等式由于具有极高的教育价值、灵活多变的形式、解决困难问题的独到之处、开拓学生思维等优势使其在数学领域的证明、求解、极值及几何等方面得到了广泛的应用。
笔者对柯西不等式在高中数学中所体现的教育价值及解题技巧进行深入探究。
1、柯西不等式在高中数学的教育价值1.1 数学史的熏陶数学是人类文明发展过程的重要组成部分，学生在学习数学时，不仅要掌握数学知识，还应对数学的历史、应用、发展、对社会的作用等有所了解，培养学生正确的数学观。
在选讲柯西不等式，可以增加柯西本人的奋斗过程其来源过程，重视柯西不等式的历史价值不仅能使学生掌握知识，还能提高数学兴趣。
1.2 数学美的体验目前，多数学生认为数学是一门比较枯燥、难度较大的学科，部分原因是由于目前应试教育导致的结果，但笔者认为更重要的是教师在教学过程中没有展现出数学美的一面，在数学过程中，如何展现数学美是及其重要的。
在进行柯西不等式的选讲时，要注意展现其两种数学美：第一，优美的对称形式。
有 ，并且仅当a i =kb i（i=1，2，3…n ），或b 1=b 2=b 3=…b n 时，等号成立。
柯西不等式的上述表现形式两边设计到的是对称、和谐、协调，教师在进行讲解时应指出其中的美，让学生感受到数学不再是枯燥无味的，而是充满着和谐美。
第二，简洁的证法——简洁美。
数学的计算证明应该尽量是便捷的、明快的，所以人们总在不断的寻找新的计算方法，数学问题的解决，奇妙与简洁的解法总能带给人极大的快乐感和自我成就感，而柯西不等式的政法是简单、美妙的。
1.3 数学思维的培养高中数学的知识总体分为两种：表层知识和深层知识。
表层知识是指数学中的基本概念、公式、定理、法则等，深层知识是对表层知识的综合与提升，是数学教学中的精髓，教师在传授知识的过程中要不断渗透数学思维和教学方法，提高学生分析问题的能力和数学素质，柯西不等式的应用正好顺应了发展，渗透了多种数学思想思维方法。
柯西不等式在中学数学中的应用
柯西不等式在中学数学中的应用以《柯西不等式在中学数学中的应用》为标题，写一篇3000字的中文文章柯西不等式是一种数学定理，在数学理论中发挥着重要作用。
它可以广泛应用于中学数学教学中。
本文旨在通过分析柯西不等式的定义、应用范围及其在中学数学教学过程中的重要作用，对中学教师及学生对柯西不等式的运用提供建议。
首先，我们先了解柯西不等式的定义。
柯西不等式是一种数学定理，它指出：如果x和y是实数，则|x+y| |x|+|y|。
由此可见，该定理的含义是，当x和y的绝对值相加时，其和的绝对值不会超过它们的绝对值之和。
它可以帮助学生更加深入地理解绝对值的概念。
其次，柯西不等式可以广泛应用于中学数学教学中。
柯西不等式可用于证明一些数学定理，例如：如果a和b是实数，则a+b≥|a|+|b|。
此外，柯西不等式还可用于处理复数，复数属于公认的中学数学教学范围之内。
柯西不等式可以帮助学生更好地理解复数概念。
最后，柯西不等式在中学数学教学过程中发挥重要作用。
教师可以利用柯西不等式的定理来教授中学数学中的一些基本概念，例如求解几何问题、探究分数概念及学习向量等。
此外，柯西不等式还可以用于教授学生求解不等式，以便解决实际问题。
通过以上分析，可以看出柯西不等式在中学数学教学中十分重要，教师应该充分利用它的定理，引导学生更好地理解和运用它。
学生应根据教师的指导和练习，掌握柯西不等式的基本概念，用它解决实际问题。
只有这样，中学学生才能有效地运用柯西不等式，取得更好的数学成绩。
综上所述，柯西不等式对中学数学教学有着重要意义，学生与教师都应充分运用它，从而提高学生的数学素养，取得理想的数学成绩。
浅析中学数学中柯西不等式的应用
浅析中学数学中柯西不等式的应用刘小菲引言：柯西不等式在中学数学中的广泛的应用，它在中学数学特别是中学数学奥林匹克竞赛有着不容忽视的作用。
它在20届的IMO ，26届的IMO 以及1987年CMO 集训队试题等数学竞赛题中都有直接或者间接利用到。
作为一个基础不等式，它在高等数学中也起到重要的作用，在数学分析、概率论和泛函分析中都有所涉及，并且对证明其它不等式都有很大的作用。
本文先从三个不同的方法出发给出了柯西不等式的证明，并结合近年来中学数学，包括中学数学竞赛中的实例，采用从易到难的方法讨论了柯西不等式在证明不等式、求函数极值，解几何问题等方面的应用，并且描述了柯西不等式的几何意义，以及柯西不等式的推广形式。
1. 柯西不等式的证明柯西不等式的内容是：定理：设,i i a b R ∈（i=1,2……n ），则222111n nn i i i i i i i a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑（1-1） 当且仅当1212......n nb b b a a a ===时，不等式等号成立。
对于这个定理有如下证法。
证1：作关于x 的二次函数222111()2n n ni i i i i i i f x a x a b x b ===⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑若210ni i a ==∑，即12......0n a a a ====，显然不等式成立。
若210ni i a =≠∑，则有2221122()()()......()0n n f x a x b a x b a x b =-+-++-≥且210nii a =>∑，所以222111[2()]4()()0n n ni i ii i i i a b a b ===-⋅≤∑∑∑故 222111()()()n n niii i i i i a b a b ===⋅≥∑∑∑从上面的证明过程看出，当且仅当1212n nb b b a a a ==⋅⋅⋅=时，不等式取等号。
柯西不等式在中学数学中的应用
柯西不等式在中学数学中的应用
柯西不等式是一种历史悠久的数学不等式，曾经被用于解决许多有趣
的问题。
它在中学数学中有着广泛的应用，以下是其应用的几种常见情况：
1. 求定积分。
柯西不等式可以用来计算函数在一定区间上的定积分值。
使用柯西不等式可以将一个复杂的积分问题分解成多个简单的积分
问题，从而提高定积分的求解效率。
2. 求极限。
柯西不等式可以用来求取某个函数的极限，比如当x
趋向于某个数时，函数的值是多少。
3. 求最大值和最小值。
柯西不等式可以用来在一定区间上求出函数的最大值和最小值，从而可以用于解决多变量函数的最优化问题。
4. 求函数的最小值点。
柯西不等式可以用来求凸函数的最小值点，这可以帮助我们找到函数的最佳近似解决方案。
柯西不等式在中学数学中的应用
柯西不等式在中学数学中的应用作者：花新矿来源：《中学教学参考·理科版》2011年第10期柯西不等式在中学数学的应用比较广泛，其应用包括证明不等式，求函数的最值，解方程，解三角形相关问题，解析几何学上的应用等［柯西（）不等式定理］（），即，n)，当且仅当或为常数，i=1,2,…,n)时，等号成立.令则∵，∴f(x)≥0恒成立.∴-∴当且仅当或为常数，i＝1，2，…，n)时，等号成立.应用柯西不等式可以解决如下问题一、证明不等式【例1】已知a,b,c∈，且a+b+c=3.求证：证明：利用柯西不等式得∵a+b+c=3，∴，当且仅当a=b=c=1时，等号成立.二、求函数的最值问题【例2】求函数y=6x-2+86-x的最大值解：函数的定义域为［2，6］，由柯西不等式得：-2+86--2)+(6-，当且仅当6x-2=86-x，即x＝4.56时，等号成立.所以函数的最大值为20.三、解方程组【例3】解方程组：x+y+z=6，，解：由柯西不等式得，当且仅当x=y=z=2时，等号成立.四、解三角形的相关问题【例4】设D是△ABC内的一点，a、b、c分别为△ABC的三条边，x、y、z是点D到BC、AC、AB边的距离，R是△ABC外接圆的半径求证：（x+y+z）证明：利用柯西不等式得设△ABC的面积为S，则ax+by+cz=2S=2×abc4R=abc2R,∴五、在解析几何学上的应用柯西不等式变形公式：，＞0(i=1,2,3,…,n),则当且仅当时取等号.【例5】若直线通过点M（）,则（）.解：由题设可得：1＝（）∴所以选【例6】设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.解：依题意得，椭圆的方程为｜BO｜=1,｜AO｜＝2，由椭圆的对称性可知，四边形AEBF的面积等于四边形AOBF的两倍设点F（x,y）,则四边形AEBF的面积为＝2（△△）=x+2y.∵，∴x+2y≤22.四边形AEBF的面积的最大值为22，当且仅当x4=2y4，即x=2时取等号.责任编辑金铃）。
浅谈柯西不等式
论文题目：浅谈柯西不等式**：***单位：浙江省第五中学浅谈柯西不等式概要：柯西-许瓦尔兹（C au c h y-S c h w a rz ）不等式在初等数学中，应用非常地广泛,与高中的向量联系也非常密切。
关键词：柯西不等式、极值、建模一、概率方法证明柯西-许瓦尔兹（Ca u ch y -S ch w a r z ）不等式。
关于柯西-许瓦尔兹（C au c h y-S c h w ar z ）不等式证明，在书[]1中介绍了8种方法。
这些证明都用了初等的方法，而这里介绍一种用初等概率论的知识来证明它，证明过程非常地简洁、明了。
柯西-许瓦尔兹（C a u c h y-S c h w a rz ）不等式的一般形式为 对任意的实数有及,,...,,,...,,2121n n b b b a a a∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221其中等号当且仅当nn b a b a b a === (22)11时成立。
设ξ是一个只取有限个值的离散型随机变量，其概率分布为()n i p p a p i ii ,....,2,1,0=>==ξ则ξ的方差(),22ξξξE E D -=即()211212∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ni n i i i i i n i i i p a p a p E a ξ 由此可知()221122ξξE p a p a E n i i i i ni i =⎪⎭⎫ ⎝⎛≥=∑∑==且上式等号成立当且仅当n a a a ==...21。
证明：若都是零，则等式成立。
n b b b ,...,21 若不全是零，不妨设n b b b ,...,210...,...,2121===++n k k k b b b b b b 不是零，而首先证明⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===k i i k i i k i i i b a b a 121221 （1） 即∑∑∑∑====≤⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛k i i k j n i i j j k i i j a b b b b a 12211222112..现设随机变量ξ的概率分布为.,....2,1,.1222112k j b b b b a p ki i jj k i i j ==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==ξ 则∑∑∑∑=====⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k i i k j ki i j j ki i j a b b b b a E 12112221222..ξ且等号成立当且仅当nn b a b a b a === (22)11=l .进而 ∑∑∑===⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=k j ki i j j k i i j b b b b a E 11222112..ξ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑∑======n i i n i i k i i k i i k i i i n i i i b a b a b a b a 1212112121 其中等号当且仅当nn b a b a b a === (22)11=l 时成立，n a a a ==...21=0。
柯西不等式在中学数学中的证明和应用
（实验稿） ’+(* 北京 P 北京师范大学出版社， !AA$*
’!(பைடு நூலகம்华人民共和国教育部* 普通高中生物课程标准’+(* 北京 P
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（" ,3%,） 。这个不等式有很多证明方法， 如比较法， 3 构造函数法，构造向量法等都可以很快得出结论。 这个不等式为柯西不等式的二维形式， 在此基础上 做进一步的探究，并结合柯西不等式的 & 维形式， 从中发现在中学范围内灵活地应用柯西不等式， 可 以使一些较为困难地问题迎刃而解。本文就柯西不 等式的证明和应用两个方面， 探讨其在高中数学中 的应用。
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浅谈柯西不等式在高中数学中的应用
浅谈柯西不等式在高中数学中的应用作者：陈宝军来源：《神州》2012年第09期【中图分类号】G633.6 【文献标识码】C 【文章编号】1009-5071(2012)03-0213-02人教A版普通高中数学课程标准实验教科书（选修4-5）《不等式选讲》，第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。
本章介绍两个基本的不等式，以及它们的简单应用。
柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，柯西不等式在中学数学中的广泛的应用，它在中学数学特别是中学数学奥林匹克竞赛有着不容忽视的作用。
它不但在高等数学中起到重要的作用，在数学分析、概率论和泛函分析中都有所涉及，而且在近年来中学数学，高考中，中学数学竞赛中都有很大的作用。
柯西不等式是高中新课程的新增内容，在以后的高考中表现得比较活跃，将是经后高考的一个新亮点，倍受专家的青睐。
本文从以下几个方面讨论柯西不等式在证明不等式、求函数极值，解析几何、平面几何问题等方面的应用。
1 柯西不等式常见的几种不同形式（1）二维形式(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2（2）三维形式(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)(a1b1+a2b2+a3b3)2（3）推广形式(∑nk=1akbk)2(∑nk=1a2k)·(∑nk=1b2k)（4）向量形式｜α→｜｜β→｜｜α→·β→｜2 柯西不等式在证明不等式中的应用对于柯西不等式，它在证明不等式以及求极值等方面都有很多的应用，给我们开拓了思路。
主要就是构造两个数组，再利用柯西不等式把两个数组的和缩小成两个数组的积。
从而使问题简化。
例1 已知a1,a2,…an都是正数，求证：(a1+a2+…+an)(1a1+1a2 +…+1an)n2证明：利用柯西不等式，构造两个数组：a1,a2…an；1a1,1a2…1an利用柯西不等式有(∑ni=1ai·1ai)2[∑ni=1(ai)2]·[∑ni=1(1ai)2]即(∑ni=11)2(∑ni=1ai)(∑ni=11ai)∴(a1+a2+…+an)(1a1+1a2+…+1an)n2例2 求证：对于任意实数a1,a2和b1，b2,下面不等式恒成立a21+a22+b21+b22(a1+b1)2+(a2+b2)2证明：由柯西不等式，得：(a21+a22)(b21+b22)(a1b1+a2+b2)2 又(a21+a22+b21+b22)2=(a21+a22)+(b21+b22)+2(a21+a22)(b21+b22) (a21+a22)+(b21+b22)+2(a1b1+a2b2)=(a1+b1)2+(a2+b2)2两边开平方即得证。
浅析述柯西不等式在高考中的应用及解题技巧
浅析述柯西不等式在高考中的应用及解题技巧摘要：柯西不等式是高中数学新课程中的新增内容，其在解决数学问题中是非常重要并且高效的解题方法。
在解决证明命题问题或者最值等问题时，柯西不等式是较优的选择，同时，在培养学生的综合运用能力、分析能力以及转换能力方面都具有一定辅助作用，并且有利于帮助学生形成多方面思考的解题习惯，有利于创新思想的形成。
关键词：柯西不等式；高中数学；高考应用柯西不等式在其构造形式以及表现形式上，具有非常高的灵活性，学生可以运用数学归纳法、构造函数法、线性相关法、配方法、比较法、参数法或者均值不等式或向量内积等方法来证明柯西不等式。
同样的，柯西不等式也可以在多中不同的情况下，灵活巧妙的应用。
例如：解决数学中的不等式证明问题、最值求解问题、推到空间点导致先的距离公式等问题上都可以借助柯西不等式进行求解。
在高中阶段，较为常用的是利用柯西不等式解决最值问题、不等式的证明问题以及利用其变形公式进行求解的问题。
在本文中，将针对上述三种问题，具体论述柯西不等式在高考数学中的应用。
1.利用柯西不等式解决最值问题在利用柯西不等式解决最值问题时，有些可直接套用，有些可能需要对题目中所给的式子进行适当的配凑，再进行公式的套用。
在解决不等式问题时，可以应用到的方法很多，但是利用柯西不等式解决此类问题最大的特点便是效率，过程不再有那么繁琐，简单精简，显得干净利落。
并且，最值问题这类题目的难度系数不高，出现在高考中的可能性较大，如果能够掌握好柯西不等式的应用，对于解决此类问题十分重要。
下面以两个例子，具体阐述柯西不等式的应用：例1：已知实数a、b、c、d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5试求a的最值：解：通过柯西不等式可知：（2b2+3c2+6d2）（1/2+1/3+1/6）≥（b+c）2a由条件可以得出：5—a2≥（3—a）解得：1≤a≤2 当且仅当时等等号成立代入：b=1,c=1/3,d=1/6时，可得a最大值为2b=1,c=2/3,d=1/3时，可得a最小值为1例2：求解函数的最大值解：根据题意可知：y>0，并且x的范围为1到5闭区间所以由柯西不等式可知：当且仅当：即当x=61/25时取等号所以函数的最大值为101.利用柯西不等式解决不等式证明问题柯西不等式是在证明一些不等式问题时的经常会使用的理论根据，通过利用柯西不等式以及对给出证明式的拆分变形，可以减少在证明不等式过程中会遇到的许多问题，有利于题目的求解。
浅谈柯西不等式在中学数学中的应用
浅谈柯西不等式在中学数学中的应用山南地区第二高级中学 潘丽平摘要：本文从柯西不等式的证明入手，提示柯西不等式的内在本质。
在此基础上归纳出柯西不等式的十种应用技巧。
进而在不等式的证明和求极值这两方面阐述柯西不等式在中学数学中的重要应用。
Abstract : In this paper, we reveal the internal essence of Cauchy inequality from its proof.On this base, we induct ten application skills about it, and discuss Cauchy inequality application in middle school math teaching from two facts －－identifying inequality and gaining extreme.关键词：柯西不等式；技巧；极值Key word : Cauchy inequality; skill; extreme一、为了证明柯西不等式在中学数学中的应用，下面先回忆一下柯西不等式。
柯西（Cauchy ）不等式：211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⋅∑∑∑===n i i i ni i n i i b a b a其中i i b a ,n i R ,...,2,1,=∈。
等号当且仅当i a =i kb ()n i ,...,2,1=时成立。
证明：证法一：构造法令()()∑=+=ni iib x a x f 12则()()∑=+=ni i i b x a x f 12=∑∑∑===+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛n i i n i i i n i i b x b a x a 1212122012>∑=ni i a ， ()0≥x f 恒成立。
∴ =∆044121221≤⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 即：∑∑∑===⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221当且仅当()n i b x a i i ,...,2,10==+即()n i kb a i i ,...,2,1==时等号成立。
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柯西不等式在中学数学中的应用数学科学学院数学与应用数学专业***(小4号仿宋体，居中)指导教师***(小4号仿宋体，居中)摘要：在数学中，柯西不等式处于重要地位，对解决许多重难点提供了简便。
灵活巧妙的运用它，可以的复杂的问题简单化。
为了突出柯西不等式的重要地位，自2008年全国将柯西不等式纳入高中数学课本。
从此，其正式走进高中课堂。
联系着中学数学的方方面面。
柯西不等式作为选修内容，它的学习可以使学生拓展知识结构，丰富解题方法，增强逻辑思维能力。
其也是中学数学的一个难点，选修课本中就柯西不等式的三种形式做出了详细的证明。
因此，本文首先给出柯西不等式的几种形式，其次，对其各种形式给出详细证明。
然后，通过典型题目论述各种形式在中学数学几大板块的应用，揭示其应用的广泛性。
最后，搜集有关柯西不等式的各类竞赛题，并阐述其对于教育的价值。
总结试题特点，提出应用柯西不等式不同形式解决试题的方法。
关键词：中学数学；柯西不等式；不等式证明Abstract：Cauchy inequality is widely used both in life and learning，Especially in the middle school mathematics learning，Proof of one of the most value, geometry, inequality and equality of its application is particularly prominent. If we use it flexibly, we can make complex problems simple. In order to highlight the important position of cauchy inequality。
Since 2008 the cauchy inequality into the high school mathematics textbook. Since then, its officially entered the high school classroom. Contact with all aspects of the middle school mathematics. Cauchy inequality as an elective，It can make students develop the knowledge structure，Rich problem-solving methods, enhance the ability of logical thinking，Therefore, this paper puts forward some forms of cauchy inequality，Second, the detailed proof is provided for its various forms. Then, by examples, discusses various forms of several major parts in the middle school mathematics application, To reveal the application of cauchy inequality universality. Finally, to collect all kinds of contest questions about cauchy inequality, And its value for education. Summary test question characteristic, put forward theapplication of cauchy inequality in different form solution to the questionsKey words：Cauchy inequality；Middle school mathematics；Maximum or minimum number；geometry；Proof of inequality1 绪论从九年义务教育的开始我们学习比较大小，到九年义务教育结束学习不等关系及不等式，乃至高中基本不等式等的学习，不等关系贯穿中学数学。
柯西不等式将复杂的问题简单化是它的“特色”，是解决大部分问题的好工具。
然而由于柯西不等式的形式多样，在应用时难免过于灵活1。
因此柯西不等式的证明是中学数学的重点，其应用是中学数学中的一个难点。
正由于柯西不等式的形式多样、考题涉及面非常广、综合性、技巧性比较强、方法灵活，所以在学生做题时就会出现不知如何下手、不能对号入座的现象，本文在介绍柯西不等式证明方法的同时也会对一些题型进行分类，希望通过此方法能更好的掌握柯西不等式的应用。
发现柯西不等式应用的巧妙之处与经典之处，进而培养学生对数学的兴趣，发展发散性思维，丰富知识结构。
在高中数学中经常出现老师讲题能听懂，可自己独立完成时却怎么也想不出解题办法的情况，当然引起这种情况出现的因素多样，与学生自身知识结构、自身思维方式、老师语言表达、老师教学流程以及题目本身难度皆有关系。
作为教育工作者，在关心学生求解问题的同时，对解题过程详细分析，巩固、加深学生的知识结构，只有在非常熟练知识的情况下才能做到对知识应用自如。
高中不仅仅是学习知识的阶段，更是学生提高思维品质，培养严密逻辑思维的关键时刻。
其学习对学生思维的提高有很大的作用。
因此本文从考虑学生实际情况与解题困惑方面出发，由浅到深的介绍了有关柯西不等式的一系列问题，从先让学生认识柯西不等式解题经典之处，让其产生兴趣，再让其认识柯西不等式的各种形式及证明并理解各种形式的不同之处，之后分块介绍其在中学中的应用，最后分析在高考、竞赛试题中的特点与应用。
希望学生在整个学习过1吴厚荣. 利用柯西不等式的一个推广公式再解竞赛题[J].黑龙江科技信息.2008，第10期：136.程中能够进一步了解柯西不等式，不再望而生畏。
希望这篇文章能通过对柯西不等式运用的介绍能强化学生数学应用意识，增强自我独立探究问题、解决问题的能力。
从跨入小学课堂，我们便开始了对不等关系的学习。
大学之前我们的数学只有两类数量关系——相等关系与不等关系。
高中作为中学与大学的衔接阶段，因此高中阶段学习的大量不等式显得尤为重要。
而柯西不等式在函数、最值、几何等中应用颇多。
作为高中不等式中的升华，其对于提高学生的整体素质是不可或缺的。
为了突破重难点，更进一步向高等数学靠拢，对柯西不等式的学习研究一整套方案是很有必要的。
2 中学中柯西不等式的几种常用形式及证明柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步2。
柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中非常重要，是高等数学研究内容之一。
柯西不等式渗透中学数学的方方面面，形式的多样决定着其应用的广泛，从等式到不等式，从几何到函数，因此它是九年义务教育数学中不可缺少的部分，由于其应用的灵活与广泛，因此在运用柯西不等式时，不仅仅要求对知识的熟练掌握，对分析能力以及处理题目的技巧也有较高的要求。
高中教材中介绍了其几种常用的形式，让学生从各个角度去理解柯西不等式，同时掌握柯西不等式在各个方面的运用，感受柯西不等式的解题的神奇之处。
接下来详细介绍二维形式的柯西不等式和一般形式的柯西不等式，并对其进行了证明，为接下来的研究提供参考。
2谢广寒.利用柯西不等式求最值的典型例题[J]. 中学生天地（C版）. 2009（12）：34-352.1 二维形式的柯西不等式及其证明作为柯西不等式的最简形式，排列不仅有迹可循，而且简洁、对称，在许多科目的学习中有重要作用。
ab b a 222≥+是我们已经学习的一个很重要的不等式，表示两个实数的平方和与乘积的大小关系，试通过类比该不等式推导过程，证明()()()22222bd ac d c b a +≥++。
分析：证明此类不等式是否成立，通常将其中一边向另一边靠拢，再根据具体情况选择不等式的证明方法。
证明：由于()()222222222222d b c b d a c a d c b a +++=++即，()()2222222222bc ad bd ac d b c b d a c a -++=+++ 又有，()02≥-bc ad 故，()222222222bd ac d b c b d a c a +≥+++ 即，()()()22222bd ac d c b a +≥++ 总结：不等式证明方法多样，我们通常采用将两式作差或者作商，再或者放大、缩小等方法，此证明使用将式子缩小的方法。
定理1[4]（二维形式）若a 、b 、c 、d R ∈，则()()()22222bd ac d c b a +≥++ 当且仅当bc ad =时，等号成立。
2.1.1 柯西不等式的向量形式及其证明向量总是与坐标联系在一起的，为此，可以联想到向量形式的证明应该与二维形式为基础，再通过坐标转换为向量形式。
()()()22222bd ac d c b a +≥++()02≥-bc ad ()bd ac bd ac d c b a +=+≥+⋅+∴22222 故bd ac d c b a +≥+⋅+2222当且仅当bc ad =时，等号成立。
又有()222222222d b c a d c b a d c b a +≥+⋅+=+⋅+()bd ac d b c a +=+2bd ac d c b a +≥+⋅+∴2222当且仅当bc ad =时，等号成立。
对于一个代数结果通常要借助几何背景加以诠释，那么柯西不等式的几何意义是什么呢？借助二维几何空间对其作出几何解释。
若用OA 表示α向量，OB 表示β向量，()b a A ,，()d c B ,，θ表示OA 与OB 的夹角()πθ≤≤0，如图12-。
图12-根据向量数量积定义，有θβαβαcos ⋅=⋅因此，θβαβαcos =⋅1cos ≤θβαβα≤⋅∴ ①换做平面中的向量坐标表示，为2222d c b a bd ac +⋅+≤+两边平方，得()()()22222d c b a bd ac ++≤+ ②②为它的二维形式，由于向量可以用坐标表示，因此我们得到二维形式和向量形式可以通过坐标进行互换，其中二维形式中的bc ad =即为向量形式中α或β为零向量，若α、β不为零向量，则等价于1cos =θ，即α和β共线，则存在实数k ，使得βαk =经分析我们可知，①②是从不同的角度表示柯西不等式，因此我们将①叫做柯西不等式②的向量形式。