第一章典型方程和定解条件的推导-
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*
1.0 预备知识－基本概念
例如
uuxyux y
ux
2 uy
2
1
uxxuyy 0
都是偏微分方程,
偏微分方程: 未知函数为多元函数的微分方程
fx ,y , L ,u ,u x ,u y , L ,u x x ,u x y , L 0( 1 )
1.0 预备知识－基本概念
偏微分方程的阶: 方程中未知函数的偏导的最 高阶数
TN
N'
其 中 f(x ,t)F ( x ,t)称 为 自 由 项 o . x
xdx
x
f0, 齐次f方 0, 程 非； 齐次方程
1.1 基本方程的建立
例 2. 传输线方程 研究高频传输线内电流流动规律。
待研究物理量: 电流强度 i (x,t),电压 v (x,t)
Rx
v
x
i
Lx Cx
ii
R — 每一回路单位的串联电阻,
例: uxxuyy 0
是二阶偏微分方程
u x x yx u yy3 u7y 是三阶偏微分方程.
1.0 预备知识－基本概念
➢线性偏微分方程: 对于未知函数及其所有偏导 数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于 自变量（或者为常数）
➢非线性偏微分方程:不是线性的偏微分方程
例
yu x x2x yu yyu1是二阶线性偏微分方程
u x2u y2 1 , u u x x u 0
是非线性偏微分方程
1.0 预备知识－基本概念
本课程的主要研究对象： n个自变量的二阶线性偏微分方程,一般形式为
n
n
au ij xixj biuxi fug (2)
i,j1
i1
这里 aij , bi , f 和 g 都是关于自变量 x i 的函数。
第一章 典型方程和 定解条件的推导
1.0 预备知识－基本概念
1.0 预备知识－基本概念
课程内容：研究数学物理方程的建立、求 解方法和解的物理意义的分析。
方程的导出和定解问题
数学物理方程基本解法分 积 行离 分 波变 变 法量 换法 法
Green函数法
特殊函数贝 勒 塞 让 尔 德 函 函 数 数
其中 s— 声 波 中 的 空 气 密 度 相 对 变 化 量 ，
－ 空 气 定 比 热 与 定 容 比 热 之 比 值 ，
M'
T'(xdx )
M
gds
T(x)
x
x+dx x
1.1 基本方程的建立
u
'
M’
T'(xdx )
牛由令顿于d运x动 很定小0律，：取极F 限= m得·a
M gds
垂由作倾于略直微s 用角是去i 其n 方积在很等重中向分弧 小式 力的a知t 段，（g ，2 力识T 即1可 M , ）'为可T c Tt得g 上t变M s g 知 i T 方 n '的t2成 u，u2 o 0 程x' 水 x T u ',在T (t平ag x x T 时Tc t ,' 2g t 方)s 'u刻 ',x20 tut向2't, tg o ,g 有d 的 近x Td g'0 力s 似 ( 为s 3d 得u d x )(x x T. (2 xu x )d (tx x 2,,xtt)).
微分形式
高频传 t2 i2输 ，L1CGxiv=0x2Ci,2LRv=ti 0
G与v一维0波两动 端对x微分
方
Ri
程类
0
两似 端对t微分*C
相减
2 v 1x 2 v t
—高频传输线方程
t 2 LC x 2
1.1 基本方程的建立
例3. 声学方程
三维波动 方程
stta22s0
(a2 p0 ) 0
1.0 预备知识－基本概念
微分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数的 导数或微分的方程
常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程.
Fx,u,d du xL,d dxnu n0
偏微分方程: 未知函数为多元函数的微分方程
fx ,y , L ,u ,u x ,u y , L ,u x x ,u x y , L 0( 1 )
T(x1) T(x2)
坐标系oxu，位移u(x,t)
（2）微小振动
x1 x2
x
u x
2
来自百度文库
1
ds 1ux2dxdx
1.1 基本方程的建立
（3）弦柔软、均匀. 张力 T(x)沿切线方向 ,
密度为常数；
建立方程：
取微元 MM ' ，研究在水平方向和铅垂方向 MM '
在不受外力的情况下的运动情况。
u
'
如果 g 0 ，则称方程为齐次的；否则称为非齐次的。
1.0 预备知识－基本概念
主要内容
➢从不同的物理模型出发，建立三类典型方程； ➢根据系统边界所处的物理条件和初始状态列 出定解条件； ➢提出相应的定解问题
1.1 基本方程的建立
1.1 基本方程的建立
导出数学物理方程的一般方法：
➢ 确定所研究的物理量； ➢ 建立适当的坐标系； ➢ 划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出
x+dx x
（2）
弦 表 或等振示波式动时动（ 方 间 现T 2）s 程 象，in x可（ ， 表以 因3示T ）写d 而1 '位x s 中i成n 又置只 u 称x '。 含由为 |x 有 g 于d 一d x两s 它维 个u 们波x d 自s 描动| x 变 述2 方u 量(t的程x 2 T ,xt是。)u 和tt弦 （t的 T 1，g 振）其动中t
L — 每一回路单位的串联电感，
Gx vv C — 每单位长度的分路电容，
xx G — 每单位长度的分路电导，
1.1 基本方程的建立
Kirc2ihhoLff C第一2i ,二(R定C律GL)i GRi
x2
t2
t
2v i (i2vi)CxvvGxv
x2
LC t2
(RCGL)tt
GRv
v(vv)RxiLx—传ti 输线方程
1.1 基本方程的建立
注1：如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力，且 外力密度为F(x,t)，外力可以是压力、重力、阻力，则
F d s T sin T 'sin ' g d s u d s 2 u (tx 2,t)
弦的强迫振动方程为
ds
M' T '
2tu2 a2x2u2f(x,t),
M
gds
该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式； ➢ 简化整理，得到方程。
1.1 基本方程的建立
例 1. 弦的微小横振动
设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴
的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂
直外力作用后的运动状态。
u
假设与结论：
（1）横振动
1.0 预备知识－基本概念
例如
uuxyux y
ux
2 uy
2
1
uxxuyy 0
都是偏微分方程,
偏微分方程: 未知函数为多元函数的微分方程
fx ,y , L ,u ,u x ,u y , L ,u x x ,u x y , L 0( 1 )
1.0 预备知识－基本概念
偏微分方程的阶: 方程中未知函数的偏导的最 高阶数
TN
N'
其 中 f(x ,t)F ( x ,t)称 为 自 由 项 o . x
xdx
x
f0, 齐次f方 0, 程 非； 齐次方程
1.1 基本方程的建立
例 2. 传输线方程 研究高频传输线内电流流动规律。
待研究物理量: 电流强度 i (x,t),电压 v (x,t)
Rx
v
x
i
Lx Cx
ii
R — 每一回路单位的串联电阻,
例: uxxuyy 0
是二阶偏微分方程
u x x yx u yy3 u7y 是三阶偏微分方程.
1.0 预备知识－基本概念
➢线性偏微分方程: 对于未知函数及其所有偏导 数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于 自变量（或者为常数）
➢非线性偏微分方程:不是线性的偏微分方程
例
yu x x2x yu yyu1是二阶线性偏微分方程
u x2u y2 1 , u u x x u 0
是非线性偏微分方程
1.0 预备知识－基本概念
本课程的主要研究对象： n个自变量的二阶线性偏微分方程,一般形式为
n
n
au ij xixj biuxi fug (2)
i,j1
i1
这里 aij , bi , f 和 g 都是关于自变量 x i 的函数。
第一章 典型方程和 定解条件的推导
1.0 预备知识－基本概念
1.0 预备知识－基本概念
课程内容：研究数学物理方程的建立、求 解方法和解的物理意义的分析。
方程的导出和定解问题
数学物理方程基本解法分 积 行离 分 波变 变 法量 换法 法
Green函数法
特殊函数贝 勒 塞 让 尔 德 函 函 数 数
其中 s— 声 波 中 的 空 气 密 度 相 对 变 化 量 ，
－ 空 气 定 比 热 与 定 容 比 热 之 比 值 ，
M'
T'(xdx )
M
gds
T(x)
x
x+dx x
1.1 基本方程的建立
u
'
M’
T'(xdx )
牛由令顿于d运x动 很定小0律，：取极F 限= m得·a
M gds
垂由作倾于略直微s 用角是去i 其n 方积在很等重中向分弧 小式 力的a知t 段，（g ，2 力识T 即1可 M , ）'为可T c Tt得g 上t变M s g 知 i T 方 n '的t2成 u，u2 o 0 程x' 水 x T u ',在T (t平ag x x T 时Tc t ,' 2g t 方)s 'u刻 ',x20 tut向2't, tg o ,g 有d 的 近x Td g'0 力s 似 ( 为s 3d 得u d x )(x x T. (2 xu x )d (tx x 2,,xtt)).
微分形式
高频传 t2 i2输 ，L1CGxiv=0x2Ci,2LRv=ti 0
G与v一维0波两动 端对x微分
方
Ri
程类
0
两似 端对t微分*C
相减
2 v 1x 2 v t
—高频传输线方程
t 2 LC x 2
1.1 基本方程的建立
例3. 声学方程
三维波动 方程
stta22s0
(a2 p0 ) 0
1.0 预备知识－基本概念
微分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数的 导数或微分的方程
常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程.
Fx,u,d du xL,d dxnu n0
偏微分方程: 未知函数为多元函数的微分方程
fx ,y , L ,u ,u x ,u y , L ,u x x ,u x y , L 0( 1 )
T(x1) T(x2)
坐标系oxu，位移u(x,t)
（2）微小振动
x1 x2
x
u x
2
来自百度文库
1
ds 1ux2dxdx
1.1 基本方程的建立
（3）弦柔软、均匀. 张力 T(x)沿切线方向 ,
密度为常数；
建立方程：
取微元 MM ' ，研究在水平方向和铅垂方向 MM '
在不受外力的情况下的运动情况。
u
'
如果 g 0 ，则称方程为齐次的；否则称为非齐次的。
1.0 预备知识－基本概念
主要内容
➢从不同的物理模型出发，建立三类典型方程； ➢根据系统边界所处的物理条件和初始状态列 出定解条件； ➢提出相应的定解问题
1.1 基本方程的建立
1.1 基本方程的建立
导出数学物理方程的一般方法：
➢ 确定所研究的物理量； ➢ 建立适当的坐标系； ➢ 划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出
x+dx x
（2）
弦 表 或等振示波式动时动（ 方 间 现T 2）s 程 象，in x可（ ， 表以 因3示T ）写d 而1 '位x s 中i成n 又置只 u 称x '。 含由为 |x 有 g 于d 一d x两s 它维 个u 们波x d 自s 描动| x 变 述2 方u 量(t的程x 2 T ,xt是。)u 和tt弦 （t的 T 1，g 振）其动中t
L — 每一回路单位的串联电感，
Gx vv C — 每单位长度的分路电容，
xx G — 每单位长度的分路电导，
1.1 基本方程的建立
Kirc2ihhoLff C第一2i ,二(R定C律GL)i GRi
x2
t2
t
2v i (i2vi)CxvvGxv
x2
LC t2
(RCGL)tt
GRv
v(vv)RxiLx—传ti 输线方程
1.1 基本方程的建立
注1：如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力，且 外力密度为F(x,t)，外力可以是压力、重力、阻力，则
F d s T sin T 'sin ' g d s u d s 2 u (tx 2,t)
弦的强迫振动方程为
ds
M' T '
2tu2 a2x2u2f(x,t),
M
gds
该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式； ➢ 简化整理，得到方程。
1.1 基本方程的建立
例 1. 弦的微小横振动
设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴
的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂
直外力作用后的运动状态。
u
假设与结论：
（1）横振动