第11章Logistic回归分析教学案例

= p q X10 X10
px10
= e 1x1
1 px10
e 1 1
= e 10
=e1
假设建立了如下的logistic回归方程：
Logit P = α + βx
x 为二分变量，当暴露时，取值为1；
不暴露时，取值为0。
所以暴露时,
Logit(P1) = α + β， 比值(odds) = exp(α + β )
用发病概率来表示四格表，可以得到四格表的另外一种表示形式：
四格表的另外一种表达形式(2)
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发病(y=1)
不发病(y=0)
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暴露(x=1) e(α + β)/[1+ e (α + β)]
p1/q1 = exp(1.063) =2.895
未使用过雌激素的Logit 为： Logit P(x=0) = -0.2478 + 0 = -0.2478 即：Ln (p0/q0) = -0.2478 所以，未使用过雌激素的比值（odds) 为：
p0/q0 = (exp(-0.2478)) = 0.781
331
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2 = 17. 88 P〈0. 01
40岁以上服用OC的比例远小于40岁以下组。
Mantel-Haenszel分层分析法
按年龄分层,可以得到下表:
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〈40岁
≥40岁
1/ [1+ e (α + β)]
不暴露(x=0) e α/[1+ e α]
1/ [1+ e α]
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因为四格表的四个实际数为a,b,c及d， 故可构造似然函数为：
L = {e(α + β)/[1+ e (α + β)] }a {1/ [1+ e (α + β)] }b
不同年龄组内服用避孕药的比例
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年龄
服OC
不服OC
合计
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〈40
38(0.31) 85
123
≥40
25(0.12) 183
208
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合计
63
268
五、Logistic 回归模型的统计学检 验
• 多元线性回归的局限性 • 经典流行病学统计分析方法—分层分析的局限性
1.两种主要的流行病学设计 1）病历对照研究 2）队列研究
2.判断结局（疾病）和暴露（因素）联系强弱的指标 1） 相对危险度：RR = p1 / p0 p1: 暴露于某个危险因素下发病的概率 p0: 不暴露于某个危险因素下发病的概率（对照） 2）比值比：
每个格子中的样本例数太少）
❖定量资料需要分组，信息丢失 ❖不能对因素作用大小进行定量分析
（交互作用）
y
二、Logistic 回归原理 0 1
y = log2x
经过数理统计学家证明：把疾病概率 P 转换成
ln
1
p
p
，会使该回归方程的统计性能更好一些。而且，
在经
过转
换以
后，
ln
1
p
p
的
值域
为-∞
到+∞，
回归系数的流行病学意义是：在其它自变量都 不变的条件下，当因素X变化一个测量单位时所引起的 OR值自然对数的改变量。
三、Logistic 回归和OR值间的关系
ln1pp = 1x1
p e1x1 1 p
ORX1 =
p q X11 X11
...... px11 ...... 1 px11
e 1x1
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OR(1) = 2.803 2 (1)= 6.77 OR(2) = 2.776 2 (2)= 5.03
ORMH = (ai*di/ni) / (bi *ci/ni) ORMH =2.79
分层分析中，可以分别计算出分层后的各层OR 值，如果发现与总的OR有较大的差异，则可以认为 该风层因素是混杂因素。必须对该因素进行MH调整， 调整后的OR值才能真正反映因素和结局间的关系。
暴露者发病概率: p1 = exp(α + βx)/[1+ exp(α + βx)]
暴露者不发病概率: q0= 1- p1 = 1/ [1+ exp(α + βx)];
不暴露者发病概率: p0 = exp(α)/[1+ exp(α)]
不暴露者不发病概率: q0= 1- p0 = 1/[1+ exp(α)] ;
建立的logistic 回归方程形式为：
Logit P = -0.2478 + 1.3107 x X取值：1 使用过雌激素
0 未使用过雌激素
使用过雌激素的Logit 为： Logit P(x=1) = -0.2478 + 1.3107 = 1.063 即：Ln (p1/q1) = 1.063 所以，使用过雌激素的比值（odds) 为：
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暴露(x=1)
a
b
不暴露(x=0)
c
d
合计
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a+c
b+d
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暴露者发病概率 p1 = a /(a+b); 不暴露者发病概率 p0= c/(c+d)
OR= ad/(bc)
使用过雌激素相对于未使用过雌激素的比值比为： OR (odds ratio) = 2.895 / 0.781 = 3.709
四、Logistic 回归最大似然建模
以四格表为例来说明最大似然求解的意义及过程。
四格表的一般表达形式
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发病(y=1)
不发病(y=0)
Hale Waihona Puke Baidu解释；
• 了解条件Logistic回归的应用； • 掌握条件Logistic回归的SAS程序；
概述
• 线性回归模型和广义线性回归模型要求因变量是
连续的正态分布变量，且自变量和因变量呈线性 关系。当因变量是分类型变量时，且自变量与因 变量没有线性关系时，线性回归模型的假设条件 遭到破坏。这时，最好的回归模型是Logistic回归 模型，它对因变量的分布没有要求，从数学角度 看，Logistic回归模型非常巧妙地避开了分类型变 量的分布问题，补充完善了线性回归模型和广义 线性回归模型的缺陷。从医学研究角度看， Logistic回归模型解决了一大批实际应用问题，对 医学的发展起着举足轻重的作用。
如果当分层后各层的OR值经过一致性检验发现： 各层间的OR值有统计学差异，这时说明分析因素在 分层因素的不同水平上与结局变量的联系强度是不同 的，这时分层因素和研究因素存在这交互作用（效应 修饰作用）。这时应该分层报告OR值，而不能计算 调整OR值。
分层分析的局限性
❖只能控制少数因素（分层因素过多，
{e α/[1+ e α] }c {1/ [1+ e α] }d
取对数，有 Ln (L) = a (α + β) – a ln[1+e(α + β) ]– b ln[1+e (α + β)]
+ c α – c ln [1+e α ] – d ln[1+e α ]
对以上似然函数分别求对α 和 β的一阶偏导数，再令两个偏导数为零， 就可以解得α 和 β的估计值。
以一个最简单的Logistic回归模型做为例子。
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使用过
未使用过
合计
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病例
55
128
183
对照
19
164
183
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合计
74
293
366
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用发病概率来表示四格表，可以得到四格表的另外一种表示形式：
四格表的另外一种表达形式(1)
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发病(y=1)
不发病(y=0)
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暴露(x=1)
p1
1- p1
不暴露(x=0)
p0
1- p0
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非条件Logistic回归
• 研究者将所研究的问题转换一个角度，不
是直接分析y与x的关系，而是分析y取某个
值的概率P与x的关系。例如，令y为1，0变
量，y=1表示有病，y=0表示未患病；x是
与患病有关的危险因素。如果P表示患病的 概率，即P=prob（y=1），那么研究患病 的概率P与危险因素x的关系就不是很困难
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MI 非MI 合计
MI 非MI 合计
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服OC 21 17 38
18 7 25
未—服—O—C——2—6———59———8—5——8—8———9—5———1—8—3
——
合计 47 76 123 106 102 208
而且
这
些
ln
1
p
p
值都可以
和在大于
0
小于
1
范围
内的
P
值相对
应。统计学中，常把
ln
1
p
p
称为
Logit
变换。
Logistic 回归方程：
ln
1
p
p
=
0 1 x1 n xn ，
而且有：
( 0 1x1 n xn )
p 1 e e ( 0 1x1 n xn )
Logistic 模型中系数的意义：
非条件Logistic回归
• 医学研究中经常需要分析分类型变量的问题。比如，生存
与死亡、有病与无病、有效与无效、感染与未感染等二分 类变量。研究者关心的问题是，哪些因素导致了人群中有 些人患某种病而有些人不患某种病，哪些因素导致了某种 治疗方法出现治愈、显效、好转和无效等不同的效果等。 这类问题，实质上是一个回归问题，因变量就是上述提到 的这些分类型变量，自变量x是与之有关的一些因素。但 是，这样的问题却不能直接用线性回归分析方法解决，其 根本原因在于因变量是分类型变量，严重违背了线性回归 分析对数据的假设条件。那么应该怎样解决这个问题呢？
所以不暴露时, Logit(P0) = α ， 比值(odds) = exp(α)
则，暴露对于不暴露的比值比(odds ratio)为： OR = exp(α + β ) / exp(α) = exp(β)
举例2 使用雌激素与子宫内膜癌病例对照研究
（病例对照，曾光《现代流行病学方法与应用》，P76）
OR = {P(D=1|E=1)/P(D=0|E=1)} / {P(D=1|E=0)/P(D=0|E=0)}
D=1: 患某种疾病， D=0：不患某种疾病 E=1: 暴露于某个危险因素， E=0: 不暴露于某个危险因素 可以简单地表述成：OR = (p1 / q1) / (p0 / q0)
p1 : 暴露于某个危险因素下发病的概率 q1 : 暴露于某个危险因素下不发病的概率 p0 : 不暴露于某个危险因素下发病的概率 q0 : 不暴露于某个危险因素下不发病的概率
• Logistic回归模型有条件与非条件之分，前者适用于配对
病例对照资料的分析，后者适用于队列研究或非配对的病 例-对照研究成组资料的分析。
问题的提出
• 在流行病学研究中，经常遇到因变量为离散型分
类变量的情况。如治疗效果的无效好转、显效、 痊愈；不同染毒剂量下小白鼠的存活或死亡；在 某种暴露下的发病与不发病等。最常见的情况是 因变量为二分变量的问题。
第11章 Logistic回归分析
学习目标
• 了解Logistic回归模型的建立和假设检验； • 了解Logistic回归模型的应用领域； • 掌握Logistic回归模型系数的解释，及回归系数与
OR值之间的关系；
• 掌握Logistic回归过程步； • 掌握哑变量的设置和结果的解释； • 掌握多元Logistic回归模型的逐步过程法和系数的
的事情了。
非条件Logistic回归
• 分析因变量y取某个值的概率P与自变量x的关系，就是寻
找一个连续函数，使得当x变化时，它对应的函数值P不超
出[0，1]范围。数学上这样的函数是存在且不唯一的， Logistic回归模型就是满足这种要求的函数之一。与线性 回归分析相似，Logistic回归分析的基本原理就是利用一 组数据拟合一个Logistic回归模型，然后借助这个模型揭 示总体中若干个自变量与一个因变量取某个值的概率之间 的关系。具体地说，Logistic回归分析可以从统计意义上 估计出在其它自变量固定不变的情况下，每个自变量对因 变量取某个值的概率的数值影响大小。