第八章 不 定 积 分
高等数学与工程数学课件第八章多元函数积分学基础.ppt
第一节 二重积分的概念与性质
一、实例
1.曲顶柱体的体积 在空间直角坐标系Oxyz中,以在xOy平面上的有界闭区域D为 底,以D的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面为侧面,以z f (x, y)]表示的曲面S为顶[这里f (x, y) 0且在D上连续]的几何体称 为以曲面S为顶,区域D为底的曲顶住体(见图8-1)
f (x, y)d | f (x, y) | d
D
D
性质6 设M 和m分别为f (x, y)在闭区域D上的最大值和最小值,
是D的面积,则有不等式
m f (x, y)d M D
性质7 (二重积分的中值定理)设函数f (x, y)在闭区域D上连续,
是D的面积,则在D内至少存在一点( ,)使得下列等式成立
1 4
y4
1
0
dx
y
1 0
计算从1(x)到2 (x)的定积分,然后把计算结果(关于x的函数)再
对x计算从a到b的定积分.从而得到把二重积分化为先对y, 再对x 的二次积分公式为
b
2 ( x)
f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy
a
1 ( x )
D
类似地,若底面区域D为1( y) x 2 ( y), c y d, (见图8 6)
x
P(xi yi )
图8-2 曲顶柱体划分
n
(3)把n个小平顶柱体体积相加得 f (xi , yi )i ,它就是曲顶 i1
柱体体积V的近似值,即
n
V f (xi , yi )i i1
n
(4)对闭区域D的分割不断加细加密, f (xi , yi )i就越来越 i1
近曲顶柱体的体积V .当n个小闭区域的最大直径(指有界闭区域
不定积分
例7 求 解
∫ sin
2
x cos xdx .
5
sin 2 x cos 5 xdx = ∫ sin2 x cos4 xd(sin x) ∫
= ∫ sin 2 x (1 sin 2 x )2 d (sin x ) = ∫ (sin x 2 sin x + sin x )d (sin x )
不定积分的定义： 不定积分的定义：
在区间 I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意
常数项的原函数 称为 f ( x ) 在区间 I 内的
不定积分， 不定积分，记为 ∫ f ( x )dx .
被 ∫积 f (被 x )dx = F积 ( x ) + C任 分 号 积 函 数 积 表 达 式 分 变 量 意 常 数
结论： 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆 互逆的 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
二、 基本积分表
′ x x+1 实例 = x ∫ xdx = + C. +1 + 1 ( ≠ 1)
+1
能否根据求导公式得出积分公式？ 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式. 因此可以根据求导公式得出积分公式
2 4 6
1 3 2 5 1 7 = sin x sin x + sin x + C . 3 5 7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 当被积函数是三角函数相乘时， 次项去凑微分. 次项去凑微分
例8 求
∫ csc xdx .
1 1 解（一） ∫ csc xdx = ∫ dx dx = ∫ x x sin x 2sin cos 2 2 1 x 1 x d =∫ =∫ d tan 2 x x x 2 2 tan tan cos 2 2 2 x = ln tan + C = ln(csc x cot x ) + C . 2
不定积分定义
dx
ax
ln a
C.
( 1).
(5) ex dx ex C.
(6) sin x dx cos x C
第15页/共29页
(7) cos x dx sin x C.
(8)
dx
sin2 x
csc2 x
dx
cot x C.
(9)
dx cos2 x
sec2 x
dx
tan
x
C.
(10) sec xtan x dx sec x C.
解 设所求的曲线方程为 y f ( x),依题意可知
y' x，
所以
y
x
dx
1 2
x
2
C
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1，
因此所求曲线的方程为
x2 y 1.
2
第14页/共29页
二、基本积分公式
(1) k dx kx C
(2)
x
dx
x 1
1
C
(3)
dx x
ln
|
x
|
C
.
(4)
a
x
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例6 验证等式 sec xdx ln sec x tan x C成立.
解 依据不定积分的定义， 只要验证等式右端函数 的导数
是左端的被积函数即可 .
当（sec x tan x） 0时，由于
[ln(secx tan x)]
1
(sec x tan x sec2 x)
两个原函数只差一个常数项. 设 F(x) f (x), G(x) f (x)
G(x) F(x) G(x) F(x) 0
G(x) F(x) C, 即G(x) F(x) C
数学分析 不定积分概念与基本积分公式
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分 表
(3)
dx x
说明：
ln x x 0,
C;
dx x
ln
x
C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
dx x
ln(
x
)
C
,
dx x
ln
|
x
|
C
,
简写为
dx x
ln
x
C.
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
(14) sinh xdx cosh x C;
(15) cosh xdx sinh x C;
例 求积分 x2 xdx.
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
数学分析第八章 不定积分
或 df (x) f (x) C.
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3 不定积分的几何意义 函数f(x)的原函数的图形称 为f(x)的积分曲线。 函数f(x)的积分曲线有无限 多条。函数f(x)的不定积分 表示f(x)的一簇积分曲线， 而f(x)正是积分曲线的斜率。
结论: 若函数F为f 在区间I上的一个原函数,则 {F(x) c | c R}为f 在I上的原函数全体.
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(二) 不定积分
1. 定义2：函数f (x)在区间I上的全体原函数, 称 为f 在I上的不定积分，记作
f (x)dx
(3)
积分号 被积函数 积分变量
注1. 符号 f (x)dx 是一个整体记号.
1 (102x 102x ) 2x c 2 ln 10
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8) sec2 xdx tanx C
8 (tanx)' sec2 x
9) csc2 xdx cotx C 9 (cotx)' csc2 x
10) dx arcsin x C 10 (arcsin x)' 1
1 x2
1 x2
11)
dx 1 x2
arctanx C
11
(f g) = f g + f g ,
(f [ ]) = f [ ] 这些计算方法加上基本初等函数的导数公式， 我们可以解决初等函数的求导问题，即是，若 f 为 初等函数， f 的表达式能求出.
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我们现在来研究第五章求导问题的逆问题。
问题：在已知 f 的表达式时，f 的表 达式是什么形式呢？
1 (arctanx)' 1 x2
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数学分析第八章不定积分
数 , 则 k1 f + k2 g 在 I 上也存在原函数 , 且
∫ ∫ ∫ [ k1 f ( x ) + k2 g( x) ] d x = k1 f ( x) d x + k2 g( x ) d x .
( 5)
证 这是因为
∫ ∫ ∫ ∫ k1 f ( x )d x + k 2 g( x) d x ′= k1 f ( x )d x ′+ k 2 g( x) d x ′
知函数 .提出这个逆问题 , 首先是因为它出现在许多实际问题之中
.例如 : 已知速
度求路程 ; 已知加速度求速度 ; 已知曲线 上每一 点处 的切线 斜率 ( 或斜率 所满 足
的某一规律 ) , 求曲线方程等等 .本章与 其后两 章 ( 定 积分与 定积 分的 应用 ) 构 成
一元函数积分学 .一 原函数与不定积分源自(2 , 5) .3 . 验证
y=
x
2
sgn
x
是
| x| 在
∫ v( t) = ad t = at + C .
若已知 v( t0 ) = v0 , 代入上式后确定积分常数 C = v0 - at0 , 于是就有
v( t ) = a( t - t0 ) + v 0 . 又因 s′( t) = v( t ) , 所以又有
∫ s( t) = [ a( t - t 0 ) + v 0] d t
2 (-
1 cos 2x
都是 )′=
sin 2 x 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的原函数 ( - 1 cos 2 x + 1)′= sin 2 x .
, 因为
2
2
如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推而得的话
数学《不定积分》讲义
第八章 不 定 积 分1 概念与基本积分公式引入 求导 (微分)运算的逆运算一、不定积分的定义 1、原函数例 1 ( )'211x =+ ( )'2cos x =- ( )'2x = (d dx )sin 2x e x -=-(d )xdx = ( )'arctan x = 21arctan ln(1)2x x x ⋅-+定义 1 设函数F 和f 在区间I 上都有定义. 若在I 上，有()()F x f x '=, 则称F 为f 在区间I 上的一个原函数.注1 若f 可导, 则f 为()f x '的一个原函数. 原函数的基本问题1) 什么样的函数存在原函数?2) 若已知原函数存在，是否唯一？ 如何求？ 定理 1 若f 在区间I 上连续，则f 在I 上存在原函数. 推论1 初等函数在其定义域上都有原函数.问题 定理 1的逆定理是否成立? 即若f 在I 上存在原函数, 则f 是否连续?(答案是否定的, 也就是说间断函数可能具有原函数,). 详细地说, 仅有第二类间断点的函数可能有原函数. 而具有第一类间断点的函数不可能具有原函数.定理2 1) 若()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则对任何常数c ，()F x c + 都是()f x 在区间I 上的原函数.2) 若函数()G x 也是()f x 在区间I 上的一个原函数，则必有常数c ，使得()()G x F x c =+. (任何两个原函数之间相差一个常数c )注2 若()F x 为()f x 的一个原函数, 则()f x 的所有原函数为{(); }F x c c R +∈. 2、不定积分定义 2 f 在区间I 上的全体原函数称为f 的不定积分, 记作()f x dx ⎰或 f dx ⎰, 其中⎰为积分号,f 为被积函数, x 为积分变量, ()f x dx 为被积表达式.例 2 21dxx+⎰arctan x c =+, 323x x dx c =+⎰注 3 若F 为f 在区间I 上的一个原函数，则f 的不定积分为()F x c +，即()f x dx ⎰()F x c =+，这说明求不定积分只需求一个原函数, 再加上常数c 即可. 特别地，()()f x dx f x c '=+⎰, (())()f x dx f x '=⎰或者微分形式 ()()df x f x c =+⎰, (())()d f x dx f x dx =⎰. 在忽略常数的意义下, 求积分与求导数是一对互逆运算.不定积分的几何意义 若()F x 为()f x 的一个原函数，则称曲线()y F x =为f 的一条积分曲线. 这样f 的不定积分在几何上就表示f 的某一条积分曲线沿纵轴(y 轴)方向任意平移所得的一切积分曲线组成的曲线簇.现在我们回到前面的原函数基本问题: 怎么求原函数? 即怎样求不定积分?例 3 设()f x 是有界闭区间[,]a b 上的非负连续函数. 曲线()y f x =与直线,x a x b ==及0y =所围成的平面图形ABCD 称为曲边梯形,下面讨论曲边梯形的面积S (严格论证以后给出).任取[,]x a b ∈. 记曲边梯形AMND 的面积为()S x 则()0, ()S a S b S ==. 当x 变到x x +∆时……0x ∆≈时, ()()()S S x x S x f x x ∆=+∆-≈∆ 因此 '()()S x f x =因而求导的逆问题也称为求积问题,求曲边梯形面积可归结为求原函数问题. 到底该如何求原函数? 求原函数也的确是一个比较困难的问题,即使是一些简单的函数, 如前面的arctan x ,也不能一下看出来, 这就需要引进一些积分方法. 二、不定积分的基本公式 1、设函数,f g 存在原函数, 则1) (())()f x dx f x '=⎰, (())()d f x dx f x dx =⎰; 2)()()f x dx f x c '=+⎰, ()()df x f x c =+⎰; 3) 0α≠，()()f x dx f x dx αα=⎰⎰; 4)()()()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.由3)、4) 可知不定积分为线性运算，即[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰ 22(,, 0)R αβαβ∀∈+≠. 2、基本积分表1) 0 dx c =⎰ 2) 1 dx x c =+⎰3) 11x x dx c ααα+=++⎰ (1)α≠- 4) 1ln ||dx x c x =+⎰5) xxe dx e c =+⎰ 6) ln xxa a dx c a=+⎰ (0,1)a a >≠7) sin cos x dx x c =-+⎰ 8) cos sin xdx x c =+⎰ 9) 2sec tan xdx x c =+⎰ 10) 2csc cot xdx x c =-+⎰ 11) sec tan sec x xdx x c =+⎰ 12) csc cot csc x xdx x c =-+⎰ 13)tan ln |cos |xdx x c =-+⎰ 14) cot ln |sin |xdx x c =+⎰15) sec ln |tan sec |xdx x x c =++⎰ 16) csc ln |csc cot |xdx x x c =-+⎰ 17)arcsin arccos x c x c =+=-+ 18)2arctan arccot 1dxx c x c x =+=-++⎰19)221arctan dx xc x a a a =++⎰ 20) 221ln ||2dx x ac x a a x a -=+-+⎰21)arcsinxc a=+ 22) ln(x c =++例 4 1) ⎰; 2)⎰;3) 01nn a a x a x dx ++⋅⋅⋅+⎰（）; 4) 221x dx x +⎰;5) 421x dx x +⎰;6) 2(1010)x x dx -+⎰; 7) 2312x x e dx --⎰;8) 2cos 2sin xdx x ⎰; 9) 22cos sin d θθθ⋅⎰;10) cos cos3x xdx ⋅⎰; 11) 22dx x +⎰;12)()()dxx a x b ++⎰; 13)22dx x -⎰;问题: ()f x dx ⎰与()f u du ⎰是否相同?例 5 已知()F x 为()2f x x =的一个原函数, 且(2)5F =, 求()F x .例 6 已知211dy dx x =-, 求()y y x =.例 7 考察21sin , 0;() 0, 0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的导函数性质.2 换元积分与分部积分法一、第一类换元法----凑微分法544sin 25sin 2(sin 2)10sin 2cos 2d x x x dx x xdx '=⋅=⋅4410sin2cos 25sin 2(sin 2)x xdx x x dx '⋅=⋅⎰⎰45sin 2sin 2xd x =⎰sin 2u x = 45u du ⎰55sin 2u c x c =+=+ 定理 1 若()()f u du F u c =+⎰，()u x ϕ=连续可导, 则(())()(())f x x dx F x c ϕϕϕ'⋅=+⎰，即若被积函数()g x 能够分解为()(())()g x f x x ϕϕ'=⋅, 则()(())()(())()g x dt f x x dt f x d x ϕϕϕϕ'=⋅=⎰⎰⎰()u x ϕ=()()(())f u dx F u c F x c ϕ=+=+⎰例 1 1) ()m ax b dx +⎰ (1,0)m a ≠-≠2) 2sec (53)x dx -⎰3) 1cos3cos 2(cos cos5)2x xdx x x dx ⋅=+⎰⎰凑法1 11()()()()f ax b dx f ax b d ax b f u du a a+=++=例 2 1) 21sin (1cos 2)2xdx x dx =-⎰⎰2)2122dx c x =+⎰ 221[arctan ]dx x c a x a a =++⎰3)22232(1)2dx dx c x x x ==+++++⎰⎰4) 211ln ||23(3)(1)43dx dx x c x x x x x -==++-+-+⎰⎰5) 223xdx x x +-⎰例 3 21xdx x +⎰凑法2 111()()()()k k k k x f x dx f x d x f u du k k-== 如 2221()()2xf x dx f x dx =2f =例 4 1) 4104x dx x+⎰2) 2sin x x dx ⋅⎰3)4) 2c ===⎰⎰或5) 2221ln (1)21dx x c x x x =+++⎰凑法3 (sin )cos (sin )sin f x xdx f x d x ⋅= (cos )sin (cos )cos f x xdx f x d x =- 2(tan )sec (tan )tan f x xdx f x d x = 例 5 1) 3sin cos x xdx ⎰2) 3sin xdx ⎰3) 2cos 11sin sec ln ||cos 21sin x xxdx dx c x x+==+-⎰⎰4) 622sec (1tan )tan xdx x d x =+⎰⎰5) 5342tan sec tan sec sec x xdx x xd x =⎰⎰凑法4 ()()x x x x f e e dx f e de = 例 6 1) 2t dte --⎰2) 2t dt e -⎰凑法5 1(ln )(ln )ln f x dx f x d x x =例 7 1) 1ln dx x x ⎰ 2)(12ln )dxx x +⎰凑法6(arcsin )(arcsin )dx f x d x =2(arctan )(arctan )arctan 1f x dx f x d x x =+例 82c =+注：第一类换元积分关键在于看被积函数的形式能否凑成(())()f x x ϕϕ'⋅的形式，或看被积函数(复合)哪一部分较复杂，先换元试试看.例 9 1) ln()x x x x x x e e dx e e c e e----=+++⎰ [()ln |()|()f x dx f x c f x '=+⎰]2) ln 1ln x dx x x+⎰ 3)2sec sec tan sec sec tan x x x xdx dx x x +=+⎰⎰4)5)6)2222x dx x x -++⎰ 7) 2223x dx x x -+-⎰8) 分析22Ax Bx C dx ax bx c ++++⎰形式积分9)2222cos sin cos sin x x dx a x b x +⎰ 10) 2222cos sin dx a x b x +⎰11)22sin dx x -⎰ 12) 22sin dx x +⎰13)2sin cos sin cos x x dx x x -+⎰二、第二类换元法----拆微分法sin x t = sin t 21cos 1cos 22tdt tdt ==+⎰⎰11sin 224t t c =++1(arcsin )2x x c =+ 定理 2 设()x t ϕ=是连续可微的,且()0t ϕ'≠. 若(())()f t t ϕϕ'⋅具有原函数()F t , 则有换元公式1()(())()()(())f x dx f t t dt F t c F x c ϕϕϕ-'=⋅=+=+⎰⎰.常见代换：三角代换、无理代换、双曲代换、倒代换、万能代换、Euler 代换等1、 三角代换1) (正) 弦代换 (0)a >的积分施行，目的是去掉根号，方法是令sin x a t =cos cos a t a tdt =⋅, arcsin x t a =. 例 10 1)arcsin x c a =+2)=2) (正) 切代换 (0)a >的积分施行，目的是去掉根号，方法是令tan x a t =sec a t =, 2sec dx a tdt =, arctan x t a =. 例 11 1)2)222()dx x a +⎰ (0)a >3) (正) 割代换 (0)a >的积分施行，目的是去掉根号，方法是令sec x a t =tan a t =, sec tan dx a t tdt =⋅, arccos a t x =.例 12 1)sec ln |sec tan |ln ||...x tdt t t c c a a ==++=++=⎰2)c =2、万能代换 常用于被积函数为三角函数的有理分式形式 令tan 2x t =，则22sin 1t x t=+, 221cos 1t x t -=+, 22tan 1t x t =-, 221dt dx t =+, 2arctan x t =. 例 13 1)2cos dx x +⎰2)1sin cos dx x x ++⎰3)2sin cos sin cos x x dx x x -+⎰4) 1sin sin (1cos )x dx x x ++⎰5)2222sin cos dx a x b x +⎰3、无理代换若被积函数中有⋅⋅⋅形式时，令n 为12,,k n n n ⋅⋅⋅的最小公倍数，作代换t =，则1, n n x t dx nt dt -==，将被积函数转化为t 的有理函数。
高数不定积分
1 2
sin2x
+
C.
利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不 定积分是非常有限的；我们可以把复合函数的微分 法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换， 得到复合函数的积分法，称为换元积分法。
x2 1 - x2 dx ? 令 x sint
x2 1 - x2dx (sint)2 1 - sin2 t costdt
2
2
例1140．
1
dx 4
sin2 x cos2 x
1 sin2
x
dx
-4ctg
x+C。
22
)
1 x
dx ln|x|+(C1，1)
1 dx arctgx+C。 1+ x2
例1151．
1 + x + x2 dx x(1 + x 2 )
x + (1 + x 2 ) dx x(1 + x 2 )
函数f(x)的原函数的图 形称为f(x)的积分曲线。
2xdx x 2 + C
y
函数f(x)的积分曲线也 有无限多条。函数f(x)的不 定积分表示f(x)的一簇积分 曲线，而f(x)正是积分曲线 的斜率。
C1 -1 O 1
y=x2+C1 y=x2
y=x2+C2 y=x2+xC3
C2
C3
例4．求过点(1, 3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。 解：设所求的曲线方程为 yf(x)，则 y f (x) 2x， 即f(x)是2x 的一个原函数。
f
(x)dx
f
(x)
4) f ' (x)dx f (x) + C
换元法求不定积分 ppt课件
(a23t2a2 1)23 C (a32a2xx23)23 C
当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
(1 ) f(x,na x b )d x,令 tnaxb
(2)
f(x,nc ax x d b)dx,
令
t
n
axb cxd
(3 ) f(x, a 2 x 2)d x,令 xasitn或 x a ctos
解: 令 x a sti,tn ( 2 , 2 ),则
a 2 x 2a 2 a 2 s2 it n aco t s
dxaco tdts
ax
∴ 原式 acotsacotdsta2 co2tsdt
a 2t sin2t C
t
a2 x2
24 s2 it n 2 sti cn to 2 s x
5
3
例9.
求
dx 1 ex
.
解法1
dx
1 ex
(1ex)ex 1ex
dx
dx
d(1ex) 1ex
xln1 (ex)C
解法2
dx
1 ex
ex 1ex
dx
d(1ex) 1ex
ln 1 (ex)C
l1 n e x ( ) le n x ( e x [ 1 )] 两法结果一样
例10. 求secxdx.
∴
原式
asettcatndt atant
setcdt
ln ste tc a t n C 1
ln ax
x2a2 a
C 1
x x2 a2
t
a
lnxx2a2C(C C 1 ln a )
当 xa时 ,令 xu,则ua,于是
巧用技巧求解不定积分
巧用技巧求解不定积分不定积分是微积分中的重要概念，解决不定积分问题可以使用多种技巧。
以下是一些巧妙的技巧，可以帮助简化不定积分的计算过程。
1."分块"技巧：将被积函数分成若干部分进行分块，然后分别进行积分计算。
这有助于简化复杂函数的积分过程。
2."洛必达法则"：当被积函数的分子与分母在其中一点都趋于零时，可以使用洛必达法则对不定积分进行求解。
该法则利用导数的性质来简化一些不定积分的计算。
3."部分分数分解"：当被积函数为有理函数时，可以将该有理函数分解为部分分数相加的形式，然后分别进行积分计算。
部分分数分解可以大幅简化复杂有理函数的积分计算。
4."积分换元法"：在不定积分中，当被积函数中存在复杂的函数关系时，可以通过合适的换元变量将积分问题转化为一个更简单的形式。
积分换元法可以帮助我们将难以计算的积分转化为简单的积分形式。
5."积分公式"：在不定积分中，有一些常用的积分公式，例如指数函数、三角函数和对数函数的基本积分公式等。
掌握这些积分公式可以大大简化计算过程。
6."分部积分法"：当被积函数可以表示为两个函数的乘积时，可以使用分部积分法来简化积分计算。
分部积分法基于积分的乘法法则，通过不断对乘积中的因子进行分解和积分，将原来的复杂积分转换为更加简单的积分形式。
7."换元换限法"：当解决一些特殊不定积分问题时，我们可以通过合适的变量代换来改变积分的限定范围。
这种技巧可以将原本难以计算的积分转化为更加简单的形式。
8. "特殊函数的性质"：有些特殊函数，如Gamma函数、Beta函数和误差函数等，具有特殊的性质和积分公式。
学习和熟悉这些特殊函数的性质可以帮助我们解决一些复杂的不定积分问题。
以上是一些巧用技巧，可以在解决不定积分问题时帮助简化计算过程。
10分钟掌握高数上不定积分问题(考研、期末复习均可以用)
10分钟掌握高数上不定积分问题（考研、期末复习均可以用）好久没有更新高数的内容了，之前一直更新的是概率论和线性代数的内容，其中概率基本更完了，线性代数还没，知识点有点多，道阻且长，哭唧唧T_T！！下面是之前更新的内容，请自取10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高等数学上册导数及微分问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高等数学上册函数图像绘制问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握中值定理相关问题（考研、期末复习均可以用）码字不易，观看后的同学请给个赞+关注如果有考研或是期末复习方面问题的话可以随时留言或者私信【答学百科】，更多期末复习资料更多更新内容也可以点击下方链接加入社群--------------分割线---------------首先简单介绍下积分，积分是导数的一个反向求解过程，很多人在高中的时候是学过导数的，所以在大学再学的时候会觉得比较简单，但是到了积分这一节，会突然卡住，发现怎么那么难，正着做会，反着就不会了，那么下面重点讲讲不定积分的求解吧一、原函数与不定积分的基本概念1、原函数设 f(x),F(x) 为定义在区间 I 上的函数，若对一切的 x\in I ，有 F'(x)=f(x) ，则称 F(x) 为 f(x) 的原函数备注：（1）函数 f(x) 是否存在原函数与区间 I 有关（2）连续函数一定存在原函数，反之不对（3）有第一类间断的函数一定不存在原函数，但有第二类间断点的函数可能有原函数（这句话还有另一种表达方式：即某个函数的导函数不一定连续），如F(x)=x^{2}sin\frac{1}{x}(x\ne0) ,F(x)=0(x=0)f(x)=2xsin\frac{1}{x}-cos\frac{1}{x}(x\ne0) ,f(x)=0(x=0)显然 F'(x)=f(x) ，但 x=0 为 f(x) 的二类间断点，即导函数不连续（4）若 f(x) 有原函数，则一定有无数个原函数，且任意两个原函数之差为常数（5）原函数、函数及导函数对比2、不定积分设 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，则 f(x) 的所有原函数F(x)+C 称为 f(x) 的不定积分，记为 \int f(x)dx=F(x)+C注解：（1）\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx （2） \int kf(x)dx=k\int f(x)dx【例题】\int (x+\frac{1}{x})dx=\int xdx+\int\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}x^{2}+ln\left| x\right|+C\int 5xdx=5\intxdx=5\times\frac{1}{2}x^{2}=\frac{5}{2}x^{2}+C二、不定积分基本公式1、常数函数积分\int kdx=kx+C2、幂函数积分\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C ，\int\frac{1}{x}dx=ln\left| x \right|+C3、指数函数积分\int a^{x}dx=\frac{1}{lna}a^{x}+C ，\inte^{x}dx=e^{x}+C4、三角函数积分\int sinxdx=-cosx+C ，\int cosxdx=sinx+C，\inttanxdx=-ln\left| cosx \right|+C， \int cotxdx=ln\left| sinx \right|+C ， \int secxdx=ln\left| secx+tanx\right|+C ， \int cscxdx=ln\left| cscx-cotx\right|+C ， \int sec^{2}xdx=tanx+C ， \intcsc^{2}xdx=-cotx+C ， \int secxtanxdx=secx+C ， \int cscxcotxdx=-cscx+C5、特殊函数积分\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=arcsinx+C ， \int\frac{1}{1+x^{2}}dx=arctanx+C三、不定积分的积分法不定积分的积分方法主要有五种：一类换元法、二类换元法、分步积分法、有理函数积分法、三角函数积分法，课本上一般只介绍了前三种，不够全面，下面具体来看看（一）一类换元法（凑微法）1、定义设 f(u) 的原函数为 F(u) ， \varphi(x) 为可导函数，则\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=\intf[\varphi(x)]d\varphi(x)令 \varphi(x)=u ，则原式 =\intf(u)du=F(u)+C=F[\varphi(x)]+C在微凑法里面，很多同学会懵逼：d后面那个是怎么来的，完全没有思路实际上，一类换元法的话会涉及到微分的知识，如果对微分熟悉的同学应该还是可以看懂的，下面简单讲解一下回顾下微分的内容， dy=f'(x)dx ，其中 y=f(x) ，基于这个点，看下几个例子y=x^{2},dy=2xdx\Rightarrowdx^{2}=2xdxy=sinx,dy=cosxdx\Rightarrowdsinx=cosxdx【例题】\int 2xdx=\int d(x^{2})=x^{2}+C\intcosxdx=\int d(sinx)=sinx+C上述两道题从第一步到第二部的变化现在应该可以看懂了，主要就是利用微分的形式进行变化的2、凑微法基本公式以下列举了一些凑微法中常用的公式，不过不建议大家去背下来，主要还是要靠题目去巩固【例题】\int \frac{arcsinx}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\intarcsinxdarcsinx=\frac{1}{2}(arcsinx)^2+C（二）二类换元法1、定义设 \varphi(t) 为单调可导函数，且\varphi'(t)\ne0， f(x) 有原函数，则令 x=\varphi(t)\int f(x)dx=\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt=\intg(t)dt=G(t)+C =G[\varphi^{-1}(x)]+C2、适用范围（1）二类换元法经常使用在根号下的平方相加减的积分计算中，这时候就利用三角替换进行解答主要利用两个三角函数公式的变换：sin^{2}x+cos^{2}x=1 ， tan^{2}x+1=sec^{2}x ，利用三角函数的变化，去掉根号，再进行计算，常用的替换如下：情形一：若函数中含有 \sqrt{a^{2}-x^{2}} ，变换 x=asint情形二：若函数中含有 \sqrt{a^{2}+x^{2}}，变换 x=atant情形三：若函数中含有 \sqrt{x^{2}-a^{2}}，变换 x=asect（2）无理函数化成有利函数的积分【例题1】求解\int \frac{dx}{\sqrt{x}+1}解答：令 \sqrt{x}=t,x=t^{2},dx=2tdt原式为 \int\frac{dx}{\sqrt{x}+1}=\int\frac{2tdt}{t+1}=\int \frac{2t+2-2}{t+1}dt=2-\int \frac{2}{t+1}dt=2t-2ln\left| t+1\right|+C最后将 t 换回 x 即可，即原函数为2\sqrt{x}-2ln\left| \sqrt{x}+1 \right|+C【例题2】求解 \int \frac{dx}{\sqrt{1+x^{2}}}解答：令 x=tant,dx=sec^{2}t原式为 \int\frac{sec^{2}tdt}{\sqrt{1+tan^{2}t}}=\int\frac{sec^2t}{sect}dt=\int sectdt=ln\left|tant+sect \right|+C做到这边很多人又有疑问了，tant 可以换回去 x ，那么 sect 呢，如何换成 x的表达式，这里介绍一种图像结合的方法，大家看下下面这张三角形结合直角三角形及t和x的函数关系，即可推导出其余三角函数的公式所以原式为 =ln\left|x+\sqrt{1+x^{2}} \right|+C（三）分部积分法1、定义设 u(x),v(x) 连续可导，则分部积分法公式为 \intu(x)dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)du(x)2、适用情况以下几种形式可以采用分部积分法进行计算：（1）被积函数为幂函数与指数函数之积，如\int x^ne^{x}dx （2）被积函数为幂函数与指数函数之积，如\int x^nlnxdx （3）被积函数为幂函数与三角函数之积（4）被积函数为幂函数与反三角函数之积（5）被积函数为指数函数与三角函数之积（6）被积函数含有 sec^nx 或 csc^nx （ n 为奇数）备注：用分部积分法时一定要注意，哪个函数设为 u(x) ，哪个函数为 v(x) ，下列简述下不同的设法最后的结果是怎么样的【例题】求解 \int xe^{x}dx解答一：u(x)=e^{x},v'(x)=x 则u'(x)=e^{x},v(x)=\frac{1}{2}x^2\intxe^{x}dx=\inte^{x}d\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}x^2e^{x}-\int\frac{1}{2}x^2e^{x}dx做到这发现一个问题，原来的积分仅为一次方，而用了一次分部积分后发现变成了二次方，解答难度变得更大了，这说明在函数的假设过程中是有问题的，若利用该方法继续往下算，会发现永远算不出来解答二：u(x)=x,v'(x)=e^{x} 则 u'(x)=1,v(x)=e^{x}\intxe^{x}dx=\int xde^{x}=xe^{x}-\inte^{x}dx=xe^{x}-e^{x}+C做到这里会发现分部积分法最重要的就是要将 u,v 设正确了，只要假设正确了，一般就能做出来（四）有理函数积分1、形式设 R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} ，其中 P(x),Q(x) 为多项式，此处仅考虑P(x)的次数比 Q(x) 次数低时的情况（若P(x)的次数比 Q(x) 次数高时，可对 P(x) 进行拆分）（1） \int \frac{dx}{(x+a)(x+b)}=\int\frac{A}{(x+a)}+\frac{B}{(x+b)}dx（2） \int \frac{dx}{(x+a)(x+b)^2}=\int\frac{A}{(x+a)}+\frac{B}{(x+b)}+\frac{C}{(x+b)^2}dx（3）\int \frac{dx}{(x+a)(x^2+bx+c)}=\int\frac{A}{(x+a)}+\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)}dx将有理函数设成上面带有 A,B,C 的函数，通过与原式对比，解答出 A,B,C ，再进行计算【例题】求解 \int \frac{x+1}{x^2-x-6}dx分析：\frac{x+1}{x^2-x-6}=\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x-3)}由 A(x-3)+B(x+2)=(A+B)x+(2B-3A)=x+1A+B=1 ， 2B-3A=1\RightarrowA=\frac{1}{5} ， B=\frac{4}{5}解答：\int \frac{x+1}{x^2-x-6}dx=\int\frac{1}{5}\frac{1}{x+2}+\frac{4}{5}\frac{1}{x-3}dx\frac{1}{5}ln\left| x+2\right|+\frac{4}{5}ln\left| x-3 \right|+C（五）三角函数积分三角函数的积分一般利用几个基础的三角变换公式进行化简，化简后再进行积分求解：1、倍角公式：sin2x=2sinxcosx ， cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x2、半角公式：利用背角公式进行推导，此处不进行列举3、和积化差公式：sin\alpha+sin\beta=2sin(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{ 2})cos(\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2})sin\alpha-sin\beta=2cos(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2})sin(\fr ac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2})cos\alpha+cos\beta=2cos(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{ 2})cos(\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2})cos\alpha-cos\beta=-2sin(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2})sin(\frac{\alpha }{2}-\frac{\beta}{2})4、万能公式法令 tan\frac{x}{2}=u ，则 sinx=\frac{2u}{1+u^2} ，cosx=\frac{1-u^2}{1+u^2} ， dx=\frac{2}{1+u^2}du利用万能公式便可将三角函数积分变换成有理函数积分进行求解，不过该解法相对比较麻烦，很少会采用该方法进行计算不定积分的解答方法基本就是这些了，方法比较多，但是不同方法有对应的积分形式，只要熟悉了积分形式，解答的时候也相对快捷--------------分割线---------------码字不易，请大家点个赞吧~另外如果有考研或者数学方面问题的话可以随时留言或者私信，有问必答哈~也可以点击头像加入社群进行交流~。
高等数学第8章第1节不定积分概念与基本积分公式
高等数学第8章第1节不定积分概念与基本积分公式第八章不定积分§1不定积分概念与基本积分公式一原函数与不定积分1原函数定义1 设函数/(x)与F(x)在区间/上有宦义.若F'(x) = /(x), xeZ,则称F(A)为/(x)在区间/上的一个原函数.如:丄十是兀2在R上的一个原函数：一丄cos2x, —cos2x+1, sin2x ,—cos2x等都有是sin2x在R上的原函数一一若函数/(x)存在原函数，则其原函数不是唯一的.问题1 /(x)在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有多少个？问题2 若函数/(朗的原函数存在，如何将它求岀？(这是本章的重点内容).2原函数存在定理定理8. 1若/(Q在区间/上连续，则/(x)在/上存在原函数F(x).证明：在第九章中进行.说明：(1)由于初等函数在其左义域内都是连续的，故初等函数在英左义域内必存在原函数(但苴原函数不一定仍是初等函数).(2)连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件.3原函数之间关系定理8. 2 设F(x)是/(X)在在区间/上的一个原函数，则(1)设F(x) + C是/(X)在在区间/上的原函数，其中C为任意常量(若/(对存在原函数，则苴个数必为无穷多个).(2)/(x)在/上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数(揭示了原函数间的关系).证明：由肚义即可得.4不定积分定义2 函数/(X)在区间/上的原函数的全体称为/(x)在/上的不定积分，记作：其中J 一一积分号；/(x)—一被积函数：f(x)dx一―被积表达式：兀一一积分变量.注1 J f(x)dx是一个整体记号：不宦积分与原函数是总体与个体的关系，即若F(x)是/G)的一个原函数，则/(X)的不眾积分是一个函数族{F(x) + C},其中C是任意常数，于是，记为：J/(x)心二F(x) + C.高等数学第8章第1节不定积分概念与基本积分公式此时称C 为积分常数，它可取任意实数・故有不定积分简单性质[J f(x}dx\ = /(A)——先枳后导正好还原：或 町 f(x)dx = f{x)dx.^f\x)dx = f(x) + C ——先导后积还原后需加上一个常数(不能完全还原).或 | = f(x) + C.如：|x~dx =冷 + C ,|sin 2xdx = 一£cos2x + C. 几何意义：若FW 是/(x)的一个原函数，则称y = F(x)的图象为/(x)的一条积分曲线.于是，/W 的不淀积分在几何上表示/(X )的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一载积分曲线组成的曲线族，如左图. 结论：若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行.注： 在求原函数的具体问题中，往往是先求出全体原函数，然后从中确左一个满足条件F(x 0) = y 0 (称之为初始条件，一般由具体问题确左)的原函数，它就是积分曲线族中通过点(兀,儿)的那条积分曲线.如：见P179.二基本积分公式1基本积分表由于不左积分的左义不象导数左义那样具有构造性，这就使得求原函数的问题要比求导数难得多，因此, 我们只能先按照微分法的已知结果去试探.首先，我们把基本导数公式改写成基本积分公式：x ^\ 2. | \dx = ^dx = x + C : 3. J x a dx =———-+ C 14. f . =arctanx + C = -arccotx + C }. J l + x 2注总：上述基本积分公式一立要牢记，因为其它函数的不加积分经运算变形后，最终归结为这些基本不 6."y c, (d>0,“Hl)： 7. [cosaxdx = — sin ax + C 9 (G HO)： J a4. = ln|x| + C , (x H 0) ：5. J e x dx = e x +C: 8. [sin axdx =——cosax+ C t (a HO)： 9. | sec 2 xdx = tan x + C ：1. j0Jx = C {a H -l,x > 0):10. fcsc ，x/ =-cotx + C ； jsecx ・ tanx"\・=secx + C:12. jcscx ・cotA/Zr = -cscx + C: 13. dx7arcsin x + C =一arccosx + C\ :高等数学第8章第1节不定积分概念与基本积分公式 泄积分.另外，还须借助一些积分法则才能求岀更多函数的不立积分.2线性运算法则定理8.3 若函数/(x)与g(x)在区间/上都存在原函数，k^k 2为两个任意常数，则kJE + k^E 也存在原函数，且J [匕/(X )+ 込g(x)]c/x = £J/(x)dx + 心j*(积分的线性).证明：由泄义即得.注：线性法则的一般形式为： f 士kjjgdx = f kJ/⑴必."r-1 i-l例 1 p{x) = a^x n + a x x n ^ + …+ + a n例 2 J 詔心 Z» +寿)心 y“2arcW + C.e ax rCOS 2X + sin 2X f e, 7 7 x , ------ ； --- ；—= -- ； ---- -——dx = (esc* x + seL x)dx J cos' xsin" x J cos~ xsin" x J= -cotx +tanx + C ・|cos3x • sin xdx = —J (sin4x -sin 2x)dx = —(-—cos4x +—cos2x) + C 2 2 4* 2=-^(cos4x - cos2A ) + C.j(10v -l O~x )2dx =J(102v +10_2t 一2)dx = J[(1O 2)V +(1O _2)X -2\dx=—(102t-10-2v )-22 + C ・2InlO 作业 P182 2, 3, 5 (1) " (16)j pMdx = Q ()严1 n+T'dx n。
第八章分式整章课件-1
x 4
2
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探索与思考
x2 4x 1 x2 4x 解:( 2 ) 2 ( 2 x2 x 4 x 4 x2 x
( x 2) 2 4x [ ] ( x 2 4) ( x 2)(x 2) ( x 2)(x 2)
a ab b a ( 2) , 2 ab ab 2 2 ab c bc (3) . 2 c a a
2
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x2 x 1 x4 (3)( 2 2 ) x 2x x 4x 4 x
练 习
1 x 3 x 2x 1 (4) 2 2 x 1 x 1 x 6x 9
2
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小 结
分式的混合运算法则：
先乘除、后加减，如有括 号，则先进行括号内的运 算.
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a2 1 a 1
a
(a 1)(a 1)
x2 4x 1 ( ) 2 2 有一道题“先化简，再求值： x2 x 4 x 4
其中x= “x= 这
探索与思考
3 ”。小玲做题时把“x= - 3
”错抄成
3 ”，但她的计算结果也是正确的，请你解释
练 习
1.计算
9a b (1) 2 b 6a
8n 2 (3)4mn m
2
2
x 3 x 3x (2) x3 4
2
x 6x 9 x 3 (4) 2 x2 x 4
2
1 x (5) ( y 1) x y 1
不定积分计算方法
1、曲边梯形的面积
在初等数学中，我们学习了一些简单的平面封闭图形(如三角形、圆等)的面积的计算. 但实际问题中出现的图形常具有不规则的“曲边”，我们怎样来计算它们的面积呢？下面以曲边梯形为例来讨论这个问题.
设函数 在 上连续. 由曲线 与直线 、 、 轴所围成的图形称为曲边梯形(如图). 为讨论方便，假定 .
用这样的方法求出每个小曲边梯形面积的近似值,再求和,即得整个大曲边梯形面积的近似值 .
可以看出：对区间 所作的分划越细，上式右端的和式就越接近 .记 ，则当 时，误差也趋于零. 因此，所求面积
.(1)
2、变速直线运动的路程
设物体作直线运动，速度 是时间 的连续函数，且 . 求物体在时间间隔 内所经过的路程 .
．
由定积分的几何意义可直观地得出一些简单的积分值．如
； ．
三、定积分的基本性质
以下介绍定积分的基本性质，假定所列定积分都是存在的，以下不一一说明．
性质1函数代数和的定积分等于它们的定积分的代数和．即
．
这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形．
性质2被积函数的常数因子可以提到积分号前. 即
（ 为常数）．
第一讲定积分的概念
教学目的：掌握定积分的有关概念和基本性质
难 点：无限细分和累积的思维方法
重 点：微元法思想和定积分的基本性质
教学内容：
定积分是微积分学的重要内容之一，它和上一章讨论的不定积分有着密切的内在联系，并且，定积分的计算主要是通过不定积分来解决的. 定积分在各种实分的概念，然后讨论它的性质、计算方法与应用．
性质3不论 三点的相互位置如何，恒有
．
这性质表明定积分对于积分区间具有可加性．
性质4若在区间 上， ，则 ．
数学分析英文词汇
数学分析中的英语单词第一章real number and its properties 实数及其性质 rational number 有理数 irrational number 无理数 definition 定义 proposition 命题plus 加minus 减multiplied by/times 乘over/is to/divided by 除absolute value and inequality 绝对值与不等式 triangle inequality 三角不等式 inverse triangle inequality 反三角不等式 Bernoulli inequality 伯努利不等式 principles of supremum and infimum 确界原理open interval 开区间closed interval 闭区间semi-open interval 半开区间semi-closed interval 半闭区间finite interval 有限区间 infinite interval 无限区间 neighborhood 领域deleted neighborhood 去心邻域sum 和difference 差product 积quotient 商number axis/number line 数轴 closeness 封闭性 Archimedean property 阿基米德性质 density 稠密行upper and lower bounds 上界和下界 bounded set 有界集 unbounded set 无界集 existence domian 存在域 supremum 上确界 infimum 下确界order-complete set 有序完备集 completeness of real numbers 实数的完备性 complete ordered field 全序域 axiom of completeness 完备性公理 Dedekind cut 戴德金分割 Dedekind property 戴德金性质 constant and variable quantities 常量与变量 definition of function 函数的定义域 domain 定义域 range 值域 independent variable 自变量 dependent variable 因变量 intermediate variable 中间量 elementary function 初等函数 constant function 常量函数 power function 幂函数 exponential function 指数函数 logarithmic function 对数函数 trigonometric function 三角函数 inverse trigonometric function 反三角函数 compound function 复合函数 mapping 映射inverse mapping 逆映射 image 像primary image 原像 piecewise function 分段函数sign function 符号函数 Dirichlet function 狄利克雷函数 Riemann function 黎曼函数 bounded function 有界函数 monotone function 单调函数 monotone increasing function 单调增函数 strictly monotone function 严格单调函数 odd(even) function 奇函数（偶函数） minimal positive period 最小正周期 absolute value function 绝对值函数 identity function 恒等函数 polynomial function 多项式函数linear function 线性函数 quadratic function 二次函数rational function 有理函数 hyperbolic sine 双曲正弦 hyperbolic cosine 双曲余弦 trigonometric identity 三角恒等式odd-even identity 奇偶恒等式 cofunction identity 余函数恒等式 Pythagorean identity 毕达哥拉斯恒等式 half-angle identity 半角恒等式 product identity 积恒等式sum identity 和恒等式 addition identity 加法恒等式 double-angle identity 倍角恒等式第二章 数列极限limit of sequence 数列极限 divergent sequence 发散数列 infinitesimal sequence 无穷小数列 convergent sequence 收敛数列 uniqueness theorem 唯一性定理boundedness theorem 有界性定理 inheriting order properties 保序性inheriting inequality 保不等式 subsequence 子列strictly increasing 严格递增 monotone increasing sequence 单调递增序列 monotone decreasing sequence 单调递减序列 necessary condition 必要条件sufficient condition 充分条件squeeze principle 夹逼定理Cauchy convergence criterion 柯西收敛准则第三章 函数极限limit of function 函数极限infinite limit 无穷极限one-sided limit 单侧极限right(left)limit/right(left) hand limit 右（左）极限 property of limit of function 函数极限的性质 local boundedness 局部有界性Heine theorem 海涅定理infinity 无穷大量order of infinitesimal 无穷小量的阶 infinitesimal of higher(lower) order 高（低）阶无穷小量 infinitesimal of same order 同阶无穷小量 equivalent infinitesimal 等价无穷小量k-order infinitesimal k-阶无穷小量 vertical asymptote 垂直渐近线oblique asymptote 斜渐进线 horizontal asymptote 水平渐近线第四章函数的连续性increment of independent variable 自变量的增量 increment of function 函数的增量right(left) continuous 右(左)连续discontinuity point and its classification 间断点及其分类 removable discontinuity 可去间断点jump discontinuity 跳跃间断点 discontinuity of the first kind 第一类间断点 discontinuity of the second kind 第二类间断点local properties of continuous function 连续函数的局部性质 composition properties of continuous function 连续函数的复合性质闭区间上连续函数的性质 properties of continuous function over closedintervalextreme value theorem 极值定理maximum and minimum value theorem 最大值和最小值定理 intermediate value theorem 介值性定理zero-point theorem 零点定理uniform continuity theorem 一致连续定理continuity of inverse function 反函数的连续性local inheriting order property 局部保号性continuity of elementary function 初等函数的连续性第五章 导数和微分finite increment formula 有限增量公式rate of change 变化率difference quotient 差商left(right) derivative 左（右）导数 derivative function 导函数derivable function 可导函数geometric meaning of derivative 导数的集合意义Fermat theorem 费马定理Darboux theorem 达布定理intermediate value theorem of derivative function 导函数的介值定理 algebra of derivatives 导数的四则运算 derivative of sum 和的导数derivatives of difference 差的导数derivative of product 积的导数derivative of quotient 商的导数 derivative of inverse function 反函数的导数 maximum value 最大值minimum value 最小值 derivative of composite function 复合函数的导数 logarithmic derivative 对数求导法 parametric equation of circle 圆的参数方程 parametric equation of ellipse 椭圆的参数方程 parametric equation of cycloid 摆线的参数方程 parametric equation of asteroid 星形线的参数方程 second derivative 二阶导数third derivative 三阶导数n-th derivative n阶导数Leibniz formula 莱布尼茨公式 acceleration 加速度physical interpretation 物理解释 concept of differential 微分的概念 differentiable function 可微函数linear principal part 线性主部 differential of independent variable 自变量的微分 operational rules of differential 微分的运算法则 invariance of differential form 微分形式的不变性 geometric meaning of differential 微分的几何意义 higher-order differential 高阶微分第六章 微分中值定理Rolle mean value theorem 罗尔中值定理 Lagrange mean value theorem 拉格朗日中值定理 Cauchy mean value theorem 柯西中值定理 Taylor theorem 泰勒定理L’Hospital rule 洛必达法则limit of indeterminate form of type 0/0 0/0型不定式极限 indeterminate form of type ∞/∞ ∞/∞型不定式other indeterminate forms 其他类型不定式Taylor formula with Peano remainder 带有皮亚诺型余项的泰勒公式Taylor coefficient 泰勒系数Taylor polynomial 泰勒多项式remainder of Taylor formula 带有拉格朗日型余项的泰勒公式Taylor formula with Lagrange remainder 带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式extreme value of function 函数的极值test of extreme value 极值判断the first sufficient condition of extreme value 极值的第一充分条件 convexity and inflection point of function 函数的凸性和拐点 convex function 凸函数concave function 凹函数strictly convex function 严格凸函数strictly concave function 严格凹函数Jenson inequality 琴生不等式第七章实数的完备性实数击完备性的基本定理 fundamental theorems of completeness in the setof real numbersnested interval theorem 闭区间套定理Cauchy convergence criterion 柯西收敛准着 accumulation theorem 聚点定理finite covering theorem 有限覆盖定理upper and lower limits 上极限和下极限第八章 不定积分indefinite integral 不定积分primitive function 原函数integrand function 被积函数integral sign 积分符号expression of integrand 积分表达式integral constant 积分常数table of basic integrals 基本积分表 geometric meaning of indefinite 不定积分的几何意义 integral curve 积分曲线initial condition 初始条件 integration by parts 分部积分法 integration by substitutions 换元积分法formula of substitution of the first kind 第一换元公式 indefinite integral of rational function 有理函数的不定积分 proper fraction 真分式improper fraction 假分式 decomposition into partial fractions 部分分式分解 method of undermined coefficients 待定系数法第九章 定积分definite integral 定积分curvilinear trapezoid 曲边梯形dividing/partition 分割norm/modulus 模Riemann sum 黎曼和Riemann integral 黎曼积分 integrability in the sense of Riemann 黎曼可积interval of integration 积分区间upper and lower limits 上限和下限 geometric meaning of definite integral 定积分的几何意义 upper sum 上和lower sum 下和Darboux upper sum 达布上和Darboux lower sum 达布下和Newton-Leibniz formula 牛顿-莱布尼茨公式 necessary condition for integrability 可积的必要条件 necessary and sufficient conditions for integrability 可积的充要条件 integrable function class 可积函数类linear property of definite integral 定积分的线性性质 additive with respect to integral interval/additivityover integral interval积分区间的可加性 mean value theorem of integral 积分中值定理 average value 平均值integral with variant upper limit 变上限积分 existence of primitive function 原函数的存在性 integration by substitution 换元积分法 integration by parts 分部积分法integral form of reminder of Taylor formula 泰勒公式的积分类型 第十章 定积分的应用area of plane figure 平面图形的面积method of finding volume of a solid from the knows area of parallel sections 由平行截面面积求体积的方法arc length and curvature of plane curve 平面的曲线的弧长与曲率 smooth curve 光滑曲线differential of arc 弧微分circle of curvature 曲率圆radius of curvature 曲率半径area of revolution surface 旋转曲面的面积some applications of definite integral in physics 定积分在物理中的某些应用gravitation 引力work 功approximate computation of definite integral 定积分的近似计算 trapezoidal method 梯形法parabola method 抛物线法第十一章反常积分notion of improper integral 反常积分的概念 improper integral on infinite interval 无穷区间上的反常积分 improper integral of unbounded function 无界函数的反常积分 property of infinite integral and test of 无穷积分的性质和收敛判convergence 别absolutely convergent 绝对收敛comparison test 比较收敛法Cauchy test 柯西判别法Dirichlet test 狄利克雷判别法Abel test 阿贝尓判别法第十二章数项级数series with number terms 数项级数infinite series 无穷级数convergence of series 级数的收敛性 sequence of partial sum 部分和序列geometric series 几何级数harmonic series 调和级数Cauchy convergence criterion for series 级数收敛的柯西准则 series with positive terms 正项级数necessary condition for convergence 收敛的必要条件root test 根式判别法D’alembert(ratio) test 达朗贝尔判别法（比式判别法）limit form of ratio test 比式判别法的极限形式 Gauss test 高斯判别法integral test 积分判别法Raabe test 拉贝尓判别法p-series p级数series with arbitraty terms 一般项级数alternating series 交错级数Leibnitz test 莱布尼茨判别法 rearrangement of series 级数的重排Abel test 阿贝尓判别法Dirichlet test 狄利克雷判别法第十章 函数列与函数项级数convergent at x"在点x"收敛convergence domain/region of convergence 收敛域sum function 和函数limit function 极限函数series of functions 函数项级数uniform convergence 一致收敛test of uniform convergence 一致收敛判别法魏尔斯特拉判别法 Weierstrass’s test/Weierstrass uniformconvergence criterion/Weierstrass m-test foruniform convergenceuniform boundedness 一致有界Dirichlet test 狄利克列判别法第十四章幂级数power series 幂级数interval of convergence 收敛区间radius of convergence 收敛半径Abel theorem 阿贝尓定理operations of power series 幂级数的运算taylor series 泰勒级数expansion of power series of elementary function 初等函数的幂级数展开式 exponential function of complex variable 复变量的指数函数Euler formula 欧拉公式第十五章傅里叶级数Fourier series 傅里叶级数 trigonometric series 三角级数system of orthogonal functions 正交函数系simple harmonic vibration 简谐振动Fourier series for function of period 2π以2π为周期的函数的傅立叶级数angular frequency 角频率piecewise smooth 分段光滑Fourier coefficient 傅立叶系数 convergence theorem 收敛定理Fourier series of even and odd functions 奇函数与偶函数的傅立叶级数amplitude 振幅sine series 正弦级数cosine series 余弦级数periodic extension 周期延拓第十六章多元函数的极限与连续functions of several variables 多元函数plane point set 平面点集coordinate plane 坐标平面interior point 内点outer point 外点boundary point 界点boundary 边点isolated point 孤立点open set 开集closed set 闭集connectedness 连通性connected open set 连通开集open domain(region) 开域closed domain(region) 闭域bounded point set 有界点集unbounded point set 无界点集nested closed domain theorem 闭域套定理function of two variables 二元函数n-dimensional vector space n-维向量空间improper limit 非正常极限double limit 二重极限properties of continuous functions on bounded closed region 有界闭区域上连续函数的性质repeated limits 累次极限 total increment 全增量partial increment 偏增量第十七章多元函数微分学total differential 全微分partial derivative 偏导数continuously differentiate 连续可微tangent plane of surface 曲面的切平面normal plane of curve 曲线的法平面 differentiation of composite function 复合函数微分法chain rule for functions of several variables 多元函数的链式法则 invariance of differential form of first order 一阶微分形式的不变性 directional derivative and gradient 方向导数与梯度 differentiability 可微性Taylor formula 泰勒公式problem of extreme value 极值问题partial derivative of higher order 高阶偏导数mixed partial derivative 混合偏导数第十八章隐函数定理及其应用existence and uniqueness theorem of implicit隐函数存在唯一性定理 functionssystem of implicit functions 隐函数组functional determinant (Jacobian determinant) 函数行列式（雅可比行列式）system of inverse functions 反函数组coordinate transformation 坐标变换geometrical application 几何应用tangent line and normal line of plane curve 平面曲线的切线与法线 tangent line and normal plane of space curve 空间曲线的切线与法平面 conditional extremum 条件极值Lagrange multiplier method 拉格朗日乘数法第十九章 含参变量积分proper integral with parameter 含参量的正常积分 improper integral with parameter 含参量的反常积分Euler integral 欧拉积分 Weierstrass test 魏尔斯特拉判别法 Dicichlet test 狄利克雷判别法 improper integral with infinite bound 无穷限的反常积分 improper integral with unbounded 无界函数的反常积分 Gamma functionBeta function第二十章inner area 内面积outer area 外面积cylindrical body with tip surface 曲顶柱体fineness 细度integral region 积分区域double integral 二重积分x-type region x型区域y-type region y型区域triple integral 三重积分change of variable in triple integral 三重积分换元法 transformation of cylindrical 柱面坐标变换 transformation of spherical coordinates 球面坐标变换area of surface 曲面面积第十一章曲线积分第一型曲线积分 curvilinear integrals of the first kind/line integrationof 1-form第二型曲线积分 curvilinear integrals of the first kind/line integrationof 2-formrelation between two classes of curvilinear两次曲线积分的联系 integralsGreen formula 格林公式 independence of curvilinear integrals with曲线积分与路径无关性 pathsimple connected region 单连通区域complex connected region 复连通区域第二十二章曲面积分surface integral of the first kind 第一型曲面积分 surface integral of the second kind 第二型曲面积分 unilateral surface 单侧曲面bilateral surface/two sided face 双侧曲面right-hand rule 右手法则relation between two classes of surface integrals 两类曲面积分的关系 Gauss formula 高斯公式Stokes formula 斯托克斯公式 introduction to field 场论初步field of vectors 向量场gradient field 梯度场gravitation field 引力场divergence field 散度场rotation field 旋度场circulation 环流量。
第八章 不定积分
arctan x x + x
3
dx = ò
arctan x
dx x (1 + x )
= 2 ò arctan x d arctan x = arctan x
（4） ò
(
)
(
) + C
2
x 5
(x
3
- 2)
dx = ò 2
) x 3 (x 3 - 2 (x 3 - 2 ) 3
ò 1 +
(
)dt = 2 ò (t 6 - t 5 )dt x dx = 2 ò t 5 (t - 1
æ t 7 t 6 6 ö ç ÷ = 2 ç 7 ÷ + C è ø
)
5
说明
7 6 2 1 = 1 + x - 1 + x + C 7 3 第（2）题解法二的优点在于当被积函数这个二项式的指数较大时（如求
= 2 t + C = 2 arctan
说明 在使用第二换元积分公式
x - a + C b - x
ò f ( x )dx = ò f (j (t ))j ' (t )dt
时，为保证 t = j -1 (x ) 和 j -1 (x ) =
(
)
'
1
j ' (t )
的存在，要求 j ' (t ) ¹ 0 ，为此应指出 t 的合适范围，
2
2
1
1 æ 1 ö = - ln + 1 + ç ÷ + C x è x ø = ln 1 + x x 2 + 1 + C
第八章不定积分§1不定积分概念与基本积分公式教学内容1)不.
f u ( x) u ( x)dx F (u ( x)) C
称这种为凑微分法，是因为在实际计算时，u ( x)的形式是“凑出 来”的，目的是使被积表达式可以看成为f (u )du，同时能积出来。
15
说明： 1 ）、凑微分法适用于求被积函数呈f u ( x) u ( x)dx的不定积分。 2）、用凑微分法求不定积分时，关键是把被积函数适当地分成两部分： 其积分过程为：
x
5、 sin xdx cos x C.
6、 cos xdx sin x C.
dx dx 7、 tgx C. 8、 2 ctgx C. 2 cos x sin x dx 9、 arcsin x C arccos x C. 1 x2 dx 10、 arctgx C. 2 1 x
6
思考题： 1、初等函数在其定义区间里是否一定存在原函数？（初等函数的原 函数不一定是初等函数） 2、若函数存在间断点，它是否一定存在原函数？（可考虑函数： sgn( x) 在点x 0 是否存在原函数） 定理8.2 设F 是 f 在区间I 的原函数，则： （）、 1 F C也是 f 的原函数，其中C是任意常量函数（或称为任意 常数）； (2)、 f 在区间I 上任意 两个原函数之间，只可能相差一个常数。 即是说，如果f 存在原函数F ( x), 则它有无限多个原函数, 且 f 的全体 原函数可表为 : F ( x) C。
第八章 不 定 积ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分
§1不定积分概念与基本积分公式 教学内容： 1）不定积分的概念 2）不定积分与微分的关系 3）不定积分的基本积分公式 4）不定积分的线性性质
重点：不定积分与微分的关系，基本积分公式 要求：熟记基本积分公式和不定积分的线性性质
数学分析(华东师大版)上第八章
05
不定积分
不定积分的定义
总结词
不定积分是微分的逆运算，其定义基于原函数的概念。
详细描述
不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程。给定一个函数f(x)，其不定积分是所有原函数F(x)的集合，即 ∫f(x)dx=F(x)+C，其中C是积分常数。
不定积分的性质
总结词
不定积分具有线性性质、可加性、可乘性等基本性质。
微积分基本定理
定积分的值可以通过被积 函数在积分上下限处的值 与积分区间的长度乘积的 差值来计算。
分部积分法
对于某些难以直接计算的 定积分，可以通过分部积 分法将其转化为易于计算 的定积分。
换元法
通过适当的变量替换，将 复杂的定积分转化为易于 计算的定积分。
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详细描述
不定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的不定积分，可以分别对每个函数进行不定积分后再求 和或求差；不定积分也具有可加性，即对于函数f(x)在两个区间上的不定积分，其和等于函数在整体区间 上的不定积分；此外，不定积分还具有可乘性，即对于任意常数k，有∫kf(x)dx=k∫f(x)dx。
积分的方法
总结词
不定积分的计算方法包括直接积分法、换元 积分法、分部积分法等。
详细描述
直接积分法是最基本的积分方法，它基于不 定积分的定义和性质，通过简单的代数运算 求得积分结果；换元积分法是通过引入新的 变量替换原变量，将复杂函数的不定积分转 化为简单函数的不定积分；分部积分法是通 过将两个函数的乘积进行不定积分，将问题
柯西中值定理
如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，且g'(x)≠0，那么 在开区间(a, b)内至少存在一点ξ，使得(f'(ξ)/g'(ξ))=(f(g(b)-f(g(a))/(g(b)-g(a))。
第八章积分与数值积分
求符号积分函数：int 格式：int(f,x,a,b) 功能：求f对积分变量x从a到b的定积分；当a与b 省略时为求不定积分 syms x 例8.1 求积分
(1) 1 1 x 1 xe x ( 2) dx 2 0 (1 x ) dx ( 3) x 2 2 x 3 dx 4
例8.2 神舟六号载人飞船与2005年10月12日发射升空后，在太 空中运行115小时32分，绕地球飞行76圈，其先在轨道倾角 42.4度、近地点高度200公里、远地点高度347公里的椭圆轨道 上运行5圈，实施变轨后，进入343公里圆形轨道。试计算神州 六号载人飞船在轨飞行公里数。
解 建立坐标系，使坐标原点位于椭圆 中心，x轴位于椭圆长轴上。 s1=200, s2=347, 地球半径r=6371 s2 s1 s2 2r 2a 1 椭圆长半轴 a ( s1 s2 2r ) 2
121.1 140.8 157.2 180.5 216.8 248.5 279.8 310.4
Y2
X Y1 Y2
176.6
51.9 275.4
165.5
56.8 258.2
158.6
72.8 235.2
155.6
66.6 228.9
186.8
55.5 198.5
252.4
65.5 195.5
268.8
沿该走向的地表曲线LAC为： z f ( t cos u , 300 t sin u ) h( t ) y 300 t sin u (0 t 100 113) x t cos u 7 8 , cos u , sin u 113 113
曲线LAC的弧长为：
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第八章不定积分
§1不定积分概念与基本积分公式
教学内容：1）不定积分的概念
2）不定积分与微分的关系
3）不定积分的基本积分公式
4）不定积分的线性性质
重点：不定积分与微分的关系，基本积分公式
要求：熟记基本积分公式和不定积分的线性性质
一原函数与不定积分
前面我们学习了导数与微分，由已知函数利用基本求导公式和求导法则可以求出它的导数，那自然会
想到：求导运算能否和数的四则运算那样，知道了导数反过来就能求出，比如知道了物体的运
动速度，求路程，知道了加速度求速度？
例1 一个静止的物体，其质量为m 在力的作用下沿直线运动，求物体的运动速度。
解由牛顿第二定理即
这就归结为已知求，由求导运算
得，其中 C 为待定常数，若初始时刻是静止的
从而得
我们称这类由求的运算为积分法。
定义（原函数）如果在区间 I 上，则称为在区间I上的原函数。
例如例1中的是的原函数；是
的原函数，等等
因为常数导数为零，所以如果的原函数存在，则对任意常数C，都是的原函数。
这就是说，原函数存在的话，它有无限多个。
而且容易证明，的任意两个原函数之间相差一个常数。
换句话说>的原函数的全体为，C为任意常数。
定义（不定积分）>在区间I上原函数的全体称为在I上的不定积分。
记作。
其中为积分号，为积分函数，为积分变量。
不定积分的几何意义
一个函数的原函数尽管有无限多个, 但它们的几何图形是一模一样的, 最多是在坐标系中的高低位
置不一样, 相差一个上下平移关系。
二基本积分公式
怎样求不定积分呢？我们先按照不定积分的定义给出一些常见函数的不定积分：
这些积分公式是我们后面计算不定积分的基础，一定要把它记住。
不定积分的基本性质:以下设和有原函数.
⑴. (先积后导, 形式不变).
⑵. (先导后积, 多个常数)
⑶>时，
⑷
由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对, 有
( 当时,上式右端应理解为任意常数. )
三．利用不定积分基本公式计算不定积分
例6 ，求.
例7 .例8 .
例9 .
例10 ⑴; ⑵
例11 .例12 .。