第八章 不 定 积 分

第八章不定积分

§1不定积分概念与基本积分公式

教学内容：1）不定积分的概念

2）不定积分与微分的关系

3）不定积分的基本积分公式

4）不定积分的线性性质

重点：不定积分与微分的关系，基本积分公式

要求：熟记基本积分公式和不定积分的线性性质

一原函数与不定积分

前面我们学习了导数与微分，由已知函数利用基本求导公式和求导法则可以求出它的导数，那自然会

想到：求导运算能否和数的四则运算那样，知道了导数反过来就能求出，比如知道了物体的运

动速度，求路程，知道了加速度求速度？

例1 一个静止的物体，其质量为m 在力的作用下沿直线运动，求物体的运动速度。

解由牛顿第二定理即

这就归结为已知求，由求导运算

得，其中 C 为待定常数，若初始时刻是静止的

从而得

我们称这类由求的运算为积分法。

定义（原函数）如果在区间 I 上，则称为在区间I上的原函数。

例如例1中的是的原函数；是

的原函数，等等

因为常数导数为零，所以如果的原函数存在，则对任意常数C，都是的原函数。

这就是说，原函数存在的话，它有无限多个。而且容易证明，的任意两个原函数之间相差一个常数。

换句话说>的原函数的全体为，C为任意常数。

定义（不定积分）>在区间I上原函数的全体称为在I上的不定积分。记作。

其中为积分号，为积分函数，为积分变量。

不定积分的几何意义

一个函数的原函数尽管有无限多个, 但它们的几何图形是一模一样的, 最多是在坐标系中的高低位

置不一样, 相差一个上下平移关系。

二基本积分公式

怎样求不定积分呢？我们先按照不定积分的定义给出一些常见函数的不定积分：

这些积分公式是我们后面计算不定积分的基础，一定要把它记住。

不定积分的基本性质:以下设和有原函数.

⑴. (先积后导, 形式不变).

⑵. (先导后积, 多个常数)

⑶>时，

⑷

由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对, 有

( 当时,上式右端应理解为任意常数. )

三．利用不定积分基本公式计算不定积分

例6 ，求.

例7 .例8 .

例9 .

例10 ⑴; ⑵

例11 .例12 .